钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十一
　　末部一
　　　借根方比例(定位法/乘法)　(除加法/ 法)　　(减法/)

　　借根方比例
借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必
借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本
数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止
可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中
有借根借方之不同盖因根者方之边数即所谓线
以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次
乘即得累次多乘方故以线类为问者则借根数以

比之以面类为问者则借平方长方以比之以体类
为问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数
又有一定之位与降位之法(定位降位/法俱详后)要之此法设
立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与
真数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也
　　定位法
众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定
位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变为几
根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常

法稍异故变从简易设表如左

　
　
右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位
其借数者即比例也根与方数俱为相连比例率如
根为二则平方为四立方为八以立方与平方之比
同于平方与根数之比即为八与四之比同于四与
二之比也然必借方借根者何也盖以巳知未知之
数权约为几根几方以统御之加减后馀几根几方

即知真数若干矣(如根为二数其平方即为四若馀/二平方即知其真数有八或馀二)
(根即知其真/数有四也)其定位者即视根方所对之位也乘法
定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即
乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其
减馀数所对之方即除出之方也(乘法以真数乘根/仍得根盖根对一)
(而真数对○无可加也如以根乘根即得平方盖根/对一一与一相加得二二所对之表为平方故定乘)
(得之数为平方也如以根乘平方即得立方盖根对/一平方对二一二相加得三而三所对之表为立方)
(故定乘得之数为立方也又如以平方乘平方则二/与二相加为四查所对之表得三乘方以平方乘立)
(方则二与三相加为五查所对之表得四乘方以立/方乘立方则三与三相加为六查所对之表得五乘)

(一一与一相减得○而○所对之表为真数故定除/得之数为真数也如以根除平方即得根盖根对一)
(平方对二一二相减馀一而一所对之表为根故定/除得之数为根数也又如以平方除平方则二与二)
(减尽为○查所对之表得真数以平方除立方则二/与三相减馀一查所对之表得根数以立方除立方)
(则三与三相减得○查所对/之表亦得真数也馀皆仿此)
　　定多少与相同号式
　　　　　凡数有多者用此号一如一平方多二
　　　　　根则如此列之
　　　　　凡数有少者用此号一如一立方少二

　　　　　平方则如此列之
　　　　　凡数有相等者用此号一如二立方与
　　　　　十六相等则如此列之
至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不
变者有以多变少以少变多者俱详于本法

　　加法
凡多与多加得数仍为多少与少加得数仍为少多
与少加少与多加则反相减为所得数而多数大则
得数亦为多少数大则得数亦为少其故何也盖因
多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚
有馀也少数大多数小以其所多补其所少而其所
少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣
设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得

　几何
　　　　　法以三平方与二平方相加得五平方
　　　　　四根与三根相加得七根是为五平方
　　　　　多七根即所求之数也此多与多加得
　　　　　数仍为多也如以数明之以根为二则
　　　　　一平方为四上数三平方得十二多四
　　　　　根得多八是十二多八共二十下数二
　　　　　平方得八多三根得多六是八多六共
　　　　　十四上十二与下八相加得二十即五

　　　　　平方之数上多八与下多六相加得十

　　　　　四即多七根之数盖上数共二十下数
　　　　　共十四两数相加得三十四即二十多
　　　　　十四也
设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加
　问得几何
　　　　　法以四立方与三立方相加得七立方
　　　　　一平方与二平方相加得三平方是为
　　　　　七立方少三平方即所求之数也此少

　　　　　与少加得数仍为少也如以数明之以
　　　　　平方为九则一立方为二十七上数四
　　　　　立方得一百零八少一平方得少九是
　　　　　一百零八少九为九十九下数三立方
　　　　　得八十一少二平方得少十八是八十
　　　　　一少十八为六十三上一百零八与下
　　　　　八十一相加得一百八十九即七立方
　　　　　之数上少九与下少十八相加得二十
　　　　　七即少三平方之数盖上数九十九下

　　　　　数六十三两数相加得一百六十二即

　　　　　一百八十九少二十七也
设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得
　几何
　　　　　法以四平方与二平方相加得六平方
　　　　　四根与三根相加应得七根今多少两
　　　　　数不同故于多四根内反减去少三根
　　　　　馀一根因多数大故得数为多是为六
　　　　　平方多一根即所求之数也此多少两

　　　　　数不同相加所多数大以其所多补足
　　　　　所少而所多仍有馀盖以上数多四根
　　　　　补足下数少三根仍多一根也如以数
　　　　　明之以根为二则一平方为四上数四
　　　　　平方得十六多四根得多八是十六多
　　　　　八共二十四下数二平方得八少三根
　　　　　得少六是八少六为二上十六与下八
　　　　　相加得二十四即六平方之数上多八
　　　　　补足下少六仍馀二即多一根之数盖

　　　　　上数二十四下数二两数相加得二十

　　　　　六即二十四多二也
设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加
　问得几何
　　　　　法以二立方与一立方相加得三立方
　　　　　三平方与二平方相加应得五平方今
　　　　　多少两数不同故于少三平方内反减
　　　　　去多二平方馀一平方因少数大故得
　　　　　数为少是为三立方少一平方即所求

　　　　　之数也此多少两数不同相加所少数
　　　　　大以其所多补其所少而所少仍不足
　　　　　盖于上数少三平方内增入下数多二
　　　　　平方仍少一平方也如以数明之以平
　　　　　方为九则一立方为二十七上数二立
　　　　　方得五十四少三平方得少二十七是
　　　　　五十四少二十七为二十七下数一立
　　　　　方得二十七多二平方得多十八是二
　　　　　十七多十八共四十五上五十四与下

　　　　　二十七相加得八十一即三立方之数

　　　　　上少二十七内增入下多十八仍少九
　　　　　即少一平方之数盖上数二十七下数
　　　　　四十五两数相加得七十二即八十一
　　　　　少九也
设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平
　方少三根相加问得几何
　　　　　法以二立方与一立方相加得三立方
　　　　　三平方与二平方相加得五平方四根

　　　　　与三根相加得七根是为三立方多五
　　　　　平方少七根即所求之数也此三位相
　　　　　加多少各自相同故多与多加仍为多
　　　　　少与少加仍为少也如以数明之以根
　　　　　为二则一平方为四一立方为八上数
　　　　　二立方得十六多三平方得多十二少
　　　　　四根得少八是十六多十二又少八为
　　　　　二十下数一立方得八多二平方得多
　　　　　八少三根得少六是八多八又少六为

　　　　　十上十六与下八相加得二十四即三

　　　　　立方之数上多十二与下多八相加得
　　　　　二十即多五平方之数上少八与下少
　　　　　六相加得十四即少七根之数盖上数
　　　　　二十下数十两数相加得三十即二十
　　　　　四多二十又少十四也
设如有四立方多三平方少二根多五真数与五立
　方少一平方多三根少二真数相加问得几何
　　　　　法以四立方与五立方相加得九立方

　　　　　多三平方与少一平方相减馀二平方
　　　　　多数大故为多少二根与多三根相减
　　　　　馀一根多数大故为多多五真数与少
　　　　　二真数相减馀三真数多数大故为多
　　　　　是为九立方多二平方多一根多三真
　　　　　数即所求之数也此四位相加而多少
　　　　　各自不同须各以所多补足所少故相
　　　　　减所馀为所得数也如以数明之以根
　　　　　为二则一平方为四一立方为八上数

　　　　　四立方得三十二多三平方得多十二

　　　　　少二根得少四又多真数五是三十二
　　　　　多十二少四又多五为四十五下数五
　　　　　立方得四十少一平方得少四多三根
　　　　　得多六又少真数二是四十少四多六
　　　　　又少二为四十上三十二与下四十相
　　　　　加得七十二即九立方之数上多十二
　　　　　补足下少四仍馀八即多二平方之数
　　　　　上少四增入下多六反多二即多一根

　　　　　之数上多五补足下少二仍馀三即多
　　　　　三真数盖上数四十五下数四十两数
　　　　　相加得八十五即七十二多八又多二
　　　　　又多三也
设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得
　几何
　　　　　法以一立方与一平方相加得一立方
　　　　　多一平方多三根与少一根相减馀二
　　　　　根多数大故为多是为一立方多一平

　　　　　方多二根即所求之数也此相加两数

　　　　　位分不同须各按位列号补足位分始
　　　　　不相淆今上层无平方位而下层却有
　　　　　平方位故上层列一空平方位以补之
　　　　　凡法皆当如此也如以数明之以根为
　　　　　三则一平方为九一立方为二十七上
　　　　　数一立方得二十七多三根得多九是
　　　　　二十七多九共三十六下数一平方得
　　　　　九少一根得少三是九少三为六上二

　　　　　十七与下无可加仍得二十七即一立
　　　　　方之数下九与上空位亦无可加仍得
　　　　　九即一平方之数上多九补足下少三
　　　　　仍馀六即多二根之数盖上数三十六
　　　　　下数六两数相加得四十二即二十七
　　　　　多九又多六也

　　减法
凡多与多减原数大于减数则减馀仍为多少与少
减原数大于减数则减馀仍为少若多与多减减数
大于原数则反减而减馀即变为少盖减数之所多
既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数
之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所
大之几何则所馀之整分内即少几何矣若少与少
减减数大于原数则反减而减馀即变为多盖减数

之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽
与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少
减所大之几何故所馀之整分内即多几何矣至于
多与少减少与多减则反相加为减馀数而原数多
则减馀仍为多原数少则减馀仍为少其故何也盖
因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于
此是所馀益多也原数少减数多则原数已少在彼
而减数又多于此是所馀益少也多少之号明而减
法不淆矣

设如有四平方多五根内减二平方多二根问所馀

　几何
　　　　　法以四平方减二平方馀二平方五根
　　　　　减二根馀三根是为二平方多三根即
　　　　　所求之数也此多与多减原数大于减
　　　　　数故减馀仍为多也如以数明之以根
　　　　　为三则一平方为九上数四平方得三
　　　　　十六多五根得多十五是三十六多十
　　　　　五共五十一下数二平方得十八多二

　　　　　根得多六是十八多六共二十四上三
　　　　　十六内减下十八馀十八即二平方之
　　　　　数上十五内减下六馀九即三根之数
　　　　　盖上数共五十一下数共二十四两数
　　　　　相减馀二十七即十八多九也
设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问
　所馀几何
　　　　　法以四立方减三立方馀一立方三平
　　　　　方减二平方馀一平方是为一立方少

　　　　　一平方即所求之数也此少与少减原

　　　　　数大于减数故减馀仍为少也如以数
　　　　　明之以平方为九则一立方为二十七
　　　　　上数四立方得一百零八少三平方得
　　　　　少二十七是一百零八少二十七为八
　　　　　十一下数三立方得八十一少二平方
　　　　　得少十八是八十一少十八为六十三
　　　　　上一百零八内减下八十一馀二十七
　　　　　即一立方之数上二十七内减下十八

　　　　　馀九即少一平方之数盖上数八十一
　　　　　下数六十三两数相减馀十八即二十
　　　　　七少九也
设如有七平方多三根内减四平方多五根问所馀
　几何
　　　　　法以七平方减四平方馀三平方三根
　　　　　内不能减五根乃于下数多五根内反
　　　　　减上数多三根馀二根即变为少是为
　　　　　三平方少二根即所求之数也此多与

　　　　　多减减数大于原数故反减而减馀即

　　　　　变为少盖原数多三根减数多五根是
　　　　　减数比原数大二根如于原数三根内
　　　　　减去减数三根则减数仍馀二根此二
　　　　　根必须于原数平方内减之原数既多
　　　　　减二根则馀数即少二根也如以数明
　　　　　之以根为三则一平方为九上数七平
　　　　　方得六十三多三根得多九是六十三
　　　　　多九共七十二下数四平方得三十六

　　　　　多五根得多十五是三十六多十五共
　　　　　五十一上六十三内减下三十六馀二
　　　　　十七即三平方之数下十五内反减上
　　　　　九馀六即少二根之数盖上数共七十
　　　　　二下数共五十一两数相减馀二十一
　　　　　即二十七少六也
设如有六平方少三根内减二平方少四根问所馀
　几何
　　　　　法以六平方减二平方馀四平方三根

　　　　　内不能减四根乃于下数少四根内反

　　　　　减上数少三根馀一根即变为多是为
　　　　　四平方多一根即所求之数也此少与
　　　　　少减减数大于原数故反减而减馀即
　　　　　变为多盖原数少三根减数少四根是
　　　　　减数比原数大一根如于原数三根内
　　　　　减去减数三根则减数仍馀一根此一
　　　　　根系原数平方内所少减之一根原数
　　　　　既少减一根则馀数即多一根也如以

　　　　　数明之以根为四则一平方为十六上
　　　　　数六平方得九十六少三根得少十二
　　　　　是九十六少十二为八十四下数二平
　　　　　方得三十二少四根得少十六是三十
　　　　　二少十六为十六上九十六内减下三
　　　　　十二馀六十四即四平方之数下十六
　　　　　反减上十二馀四即多一根之数盖上
　　　　　数八十四下数十六两数相减馀六十
　　　　　八即六十四多四也

设如有三平方多四根内减二平方少一根问所馀

　几何
　　　　　法以三平方减二平方馀一平方四根
　　　　　减一根应馀三根今多少两数不同故
　　　　　反相加得五根因原数多故得数仍为
　　　　　多是为一平方多五根即所求之数也
　　　　　此多少两数不同相减原数多减数少
　　　　　原数已多而减数又少则所馀者愈多
　　　　　盖原数多四根减数少一根是原数比

　　　　　减数已多五根故减馀即为多五根也
　　　　　如以数明之以根为四则一平方为十
　　　　　六上数三平方得四十八多四根得多
　　　　　十六是四十八多十六共六十四下数
　　　　　二平方得三十二少一根得少四是三
　　　　　十二少四为二十八上四十八内减下
　　　　　三十二馀十六即一平方之数上多十
　　　　　六加下少四得二十即多五根之数盖
　　　　　上数六十四下数二十八两数相减馀

　　　　　三十六即十六多二十也

设如有五平方少二根内减三平方多三根问所馀
　几何
　　　　　法以五平方减三平方馀二平方二根
　　　　　不能减三根且多少两数不同故反相
　　　　　加得五根因原数少故得数仍为少是
　　　　　为二平方少五根即所求之数也此多
　　　　　少两数不同相减原数少减数多原数
　　　　　已少减数又多则所馀者愈少盖原数

　　　　　少二根减数多三根是原数比减数已
　　　　　少五根故减馀即为少五根也如以数
　　　　　明之以根为五则一平方为二十五上
　　　　　数五平方得一百二十五少二根得少
　　　　　十是一百二十五少十为一百一十五
　　　　　下数三平方得七十五多三根得多十
　　　　　五是七十五多十五共九十上一百二
　　　　　十五内减下七十五馀五十即二平方
　　　　　之数上少十加下多十五得二十五即

　　　　　少五根之数盖上数一百一十五下数

　　　　　九十两数相减馀二十五即五十少二
　　　　　十五也
设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多
　三根问所馀几何
　　　　　法以四立方减二立方馀二立方六平
　　　　　方减三平方再减三根馀三平方少三
　　　　　根是为二立方多三平方少三根即所
　　　　　求之数也此相减两数位分不同须各

　　　　　按位列号补足位分始不相淆今上层
　　　　　无根位而下层却有根位故上层作一
　　　　　空根位以补之是原根位无数而减数
　　　　　多三根故所馀即少三根也如以数明
　　　　　之以根为二则一平方为四一立方为
　　　　　八上数四立方得三十二多六平方得
　　　　　多二十四是三十二多二十四共五十
　　　　　六下数二立方得十六多三平方得多
　　　　　十二多三根得多六是十六多十二又

　　　　　多六为三十四上三十二内减下十六

　　　　　馀十六即二立方之数上二十四内减
　　　　　下十二馀十二即三平方之数下六无
　　　　　可减仍为六即少三根之数盖上数五
　　　　　十六下数三十四两数相减馀二十二
　　　　　即十六多十二又少六也
设如有五立方多四平方多三根少八真数内减四
　立方多二平方多二根少九真数问所馀几何
　　　　　法以五立方减四立方馀一立方四平

　　　　　方减二平方馀二平方多与多减原数
　　　　　大故为多多三根减二根馀一根多与
　　　　　多减原数大故为多八真数不能减九
　　　　　真数乃于下数少九内反减上数少八
　　　　　馀一即变为多是为一立方多二平方
　　　　　多一根多一真数即所求之数也如以
　　　　　数明之以根为三则一平方为九一立
　　　　　方为二十七上数五立方得一百三十
　　　　　五多四平方得多三十六多三根得多

　　　　　九又少真数八是一百三十五多三十

　　　　　六又多九又少八为一百七十二下数
　　　　　四立方得一百零八多二平方得多十
　　　　　八多二根得多六又少真数九是一百
　　　　　零八多十八又多六又少九为一百二
　　　　　十三上一百三十五内减下一百零八
　　　　　馀二十七即一立方之数上三十六内
　　　　　减下十八馀十八即多二平方之数上
　　　　　九内减下六馀三即多一根之数下九

　　　　　反减上八馀一即多一真数盖上数一
　　　　　百七十二下数一百二十三两数相减
　　　　　馀四十九即二十七多十八又多三又
　　　　　多一也
设如有二立方多三根内减一平方少一根问所馀
　几何
　　　　　法以二立方减一平方馀二立方少一
　　　　　平方三根减一根应馀二根今多少两
　　　　　数不同故反相加得四根因原数多故

　　　　　得数仍为多是为二立方少一平方多

　　　　　四根即所求之数也如以数明之以根
　　　　　为三则一平方为九一立方为二十七
　　　　　上数二立方得五十四多三根得多九
　　　　　是五十四多九共六十三下数一平方
　　　　　得九少一根得少三是九少三为六上
　　　　　五十四无可减仍为五十四即二立方
　　　　　之数下九无可减仍为九即少一平方
　　　　　之数上多九与下少三相加得十二即

　　　　　多四根之数盖上数六十三下数六两
　　　　　数相减馀五十七即五十四少九又多
　　　　　十二也

　　乘法
凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与
常法同其书乘出之数以类相从(如乘出之数为根/俱书于根之下乘)
(出之数为平方俱书于平/方之下皆依定位表例)其定多少之号则临期互
有转移盖法实俱止一位者其乘出之数为多不必
言矣法实不止一位俱系多者(如几平方多几根或/几根多几真数又或)
(几平方多几根又/多几真数之类)其乘出之数亦俱为多盖以多乘
多则多者益多也法实两数俱系少者其为首一位

已系整数为多(如几平方少几根或几根少几真数/或几平方少几根又少几真数之类)
故乘出之数则有多少之分如为首一位相乘系多
与多乘其乘出之数为多而次位为少者与首位乘
是为少与多乘或首位与次位为少者乘是为多与
少乘则其乘出之数俱为少盖少与多乘多与少乘
则少者益少而得数固少也(如几平方少几根与几/真数相乘以真数乘平)
(方即为多与多乘以真数/乘根即为多与少乘也)至于少与少乘其乘出之
数反变为多(如几立方少几平方与几根少几真数/相乘以真数乘平方即为少与少乘也)
其故何也盖法实首位为多次位以后为少则乘出

之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出

首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数
相合(除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与/少乘为多而次位对首位乘必为少与多乘或)
(多与少乘则此两数俱为少合之为首位数内少次/位之数而多末位之数盖因次位所少数内有两分)
(末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去/一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后)
(再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既/不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数)
(反加入一/末位数也)所谓减者即少数所谓加者即多数多少
之分既定则依加法相加即为所得之数也
设如有三根多二真数以三真数乘之问得几何

　　　　　法以三真数乘二真数得多六真数(以/多)
　　　　　(与多乘故为多也又几以真数乘根方/之数其位皆不变如以真数乘真数仍)
　　　　　(得真数以真数乘根仍得根盖定位表/中真数之位为○于根方之位无所加)
　　　　　(也/)以三真数乘三根得多九根是为九
　　　　　根多六真数即所求之数也如以数明
　　　　　之以根为四则上数三根得十二多二
　　　　　真数共得十四以下真数三乘之所得
　　　　　三十六即九根之数所得多六即多六
　　　　　真数盖以下数三与上数十四相乘得

　　　　　四十二即三十六多六也

设如有四根多二真数以二根多三真数乘之问得
　几何
　　　　　法以多三真数乘多二真数得多六真
　　　　　数以多三真数乘四根得多十二根又
　　　　　以二根乘多二真数得多四根以二根
　　　　　乘四根得八平方(以根与根乘即得平/方盖根所对之位为)
　　　　　(一以一加一为二即平方所/对之位故得数定为平方)相加得八
　　　　　平方多一十六根又多六真数即所求

　　　　　之数也如图甲乙为四根乙丙为多二
　　　　　真数甲丁为二根丁戊为多三真数以
　　　　　甲丙四根多二真数与甲戊二根多三
　　　　　真数相乘成甲戊己丙长方形其甲丁
　　　　　庚乙长方形即八平方其乙庚辛丙与
　　　　　丁戊壬庚二长方形即所多十六根其
　　　　　庚壬己辛长方形即所多六真数也如
　　　　　以数明之以根为四则一平方为十六
　　　　　上数四根得十六多二真数共得十八

　　　　　下数二根得八多三真数共得十一相

　　　　　乘所得一百二十八即八平方之数所
　　　　　得多六十四即多十六根之数所得多
　　　　　六即多六真数盖以下数十一与上数
　　　　　十八相乘得一百九十八即一百二十
　　　　　八多六十四又多六也
设如有二平方多三根以二根多四真数乘之问得
　几何
　　　　　法因上层无真数位故列一空位以补

　　　　　之以多四真数乘空真数仍为空以多
　　　　　四真数乘多三根得多十二根以多四
　　　　　真数乘二平方得多八平方以二根乘
　　　　　空真数仍为空以二根乘多三根得多
　　　　　六平方以二根乘二平方得四立方(以/根)
　　　　　(乘平方即得立方盖根所对之位为一/平方所对之位为二以一加二得三即)
　　　　　(立方所对/之位也)相加得四立方多十四平方
　　　　　又多十二根即所求之数也此相乘两
　　　　　数位分不同须各按位列号补足位分

　　　　　始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙

　　　　　丁为二平方丁丙戊己为多三根庚辛
　　　　　为二根戊庚为多四真数以甲乙戊己
　　　　　二平方多三根与戊辛二根多四真数
　　　　　相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子
　　　　　十二根即四真数乘三根之数其甲乙
　　　　　丙丁子丑八平方即四真数乘二平方
　　　　　之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根
　　　　　乘三根之数其丑子卯癸四立方即二

　　　　　根乘二平方之数也如以数明之以根
　　　　　为五则一平方为二十五一立方为一
　　　　　百二十五上数二平方得五十多三根
　　　　　得多十五共得六十五下数二根得一
　　　　　十多四真数共得十四相乘所得五百
　　　　　即四立方之数所得多三百五十即多
　　　　　十四平方之数所得多六十即多十二
　　　　　根之数盖以下数十四与上数六十五
　　　　　相乘得九百一十即五百多三百五十

　　　　　又多六十也

设如有二根少四真数以一根多三真数乘之问得
　几何
　　　　　法以多三真数乘少四真数得少十二
　　　　　真数(多与少乘/故为少)以多三真数乘二根得
　　　　　多六根(凡为首一位皆为多而数前无/号者亦即为多今以多三真数)
　　　　　(与多二根相乘故/其得数仍为多)又以一根乘少四真
　　　　　数得少四根(以多与少/乘故为少)以一根乘二根
　　　　　得二平方相加得二平方多二根少十

　　　　　二真数即所求之数也如图甲乙为二
　　　　　根丙乙为少四真数甲丁为一根丁戊
　　　　　为多三真数以甲乙二根少四真数与
　　　　　甲戊一根多三真数相乘成甲戊己乙
　　　　　长方形其庚壬己辛长方形即多三真
　　　　　数乘少四真数之十二真数丁戊己辛
　　　　　长方形即多三真数乘二根之六根丙
　　　　　庚辛乙长方形即一根乘少四真数之
　　　　　四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根

　　　　　之二平方合之为甲丁辛乙二平方而

　　　　　少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之
　　　　　六根而少庚壬己辛之十二真数今以
　　　　　丁戊己辛之多六根少十二真数补丙
　　　　　庚辛乙之少四根仍多二根而少十二
　　　　　真数也如以数明之以根为六则一平
　　　　　方为三十六上数二根得十二少四真
　　　　　数则馀八下数一根得六多三真数共
　　　　　得九相乘所得七十二即二平方之数

　　　　　所得多十二即多二根之数所得少十
　　　　　二即少十二真数之数盖以下数九与
　　　　　上数八相乘得七十二即七十二多十
　　　　　二又少十二也
设如有一根少一真数以一根少二真数乘之问得
　几何
　　　　　法以少二真数乘少一真数得多二真
　　　　　数(少与少乘/故为多)以少二真数乘一根得少
　　　　　二根(一根为首且无号故为多今以少/二真数与多一根相乘故其得数)

　　　　　(亦为/少也)又以一根乘少一真数得少一根

　　　　　(多与少乘/故为少)以一根乘一根得一平方相
　　　　　加得一平方少三根多二真数即所求
　　　　　之数也如图甲乙为一根丙乙为少一
　　　　　真数甲丁亦为一根戊丁为少二真数
　　　　　以甲乙一根少一真数与甲丁一根少
　　　　　二真数相乘成甲乙己丁正方形其庚
　　　　　壬己辛小长方形即少二真数乘少一
　　　　　真数之二真数其戊壬己丁即二真数

　　　　　乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘
　　　　　少一真数之一根其甲乙己丁为一根
　　　　　乘一根之一平方合之为甲乙己丁一
　　　　　平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬
　　　　　己丁之二根而多庚壬己辛之二真数
　　　　　实得甲丙庚戊之一长方形盖甲乙己
　　　　　丁之一正方内减戊壬己丁之二根又
　　　　　减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己
　　　　　辛之二真数则甲丙庚戊长方内必缺

　　　　　二真数故将少二真数乘少一真数所

　　　　　得之二真数即预定为多号以补重减
　　　　　之分然后得甲丙庚戊之一长方为所
　　　　　得之实数也是则少与少乘之为多者
　　　　　非于整数之外有盈分而为多实因所
　　　　　少之数有过分而为多也如以数明之
　　　　　以根为六则一平方为三十六上数一
　　　　　根为六少一真数则馀五下数一根为
　　　　　六少二真数则馀四相乘所得三十六

　　　　　即一平方之数所得少十八即少三根
　　　　　之数所得多二即多二真数之数盖以
　　　　　下数四与上数五相乘得二十即三十
　　　　　六少十八多二也
设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根
　乘之问得几何
　　　　　法因上下两层皆无真数位故各列一
　　　　　空位以补之以空真数乘上层各位仍
　　　　　得各空位以少二根乘空真数仍得空

　　　　　根以少二根乘少一根得多二平方以

　　　　　少二根乘少二平方得多四立方以少
　　　　　二根乘二立方得少四三乘方又以二
　　　　　平方乘空真数仍得空平方以二平方
　　　　　乘少一根得少二立方以二平方乘少
　　　　　二平方得少四三乘方以二平方乘二
　　　　　立方得四四乘方相加共得四四乘方
　　　　　少八三乘方多二立方又多二平方即
　　　　　所求之数也如以数明之以根为三则

　　　　　一平方为九一立方为二十七一三乘
　　　　　方为八十一一四乘方为二百四十三
　　　　　上数二立方得五十四少二平方得少
　　　　　十八少一根得少三是五十四少十八
　　　　　又少三为三十三下数二平方得十八
　　　　　少二根得少六是十八少六为十二相
　　　　　乘所得九百七十二即四四乘方之数
　　　　　所得少六百四十八即少八三乘方之
　　　　　数所得多五十四即多二立方之数所

　　　　　得多十八即多二平方之数盖以下数

　　　　　十二与上数三十三相乘得三百九十
　　　　　六即九百七十二内少六百四十八又
　　　　　多五十四复多十八也
设如有三平方少二根多二真数与一平方多二根
　少三真数相乘问得几何
　　　　　法以少三真数乘多二真数得少六真
　　　　　数以少三真数乘少二根得多六根以
　　　　　少三真数乘三平方得少九平方又以

　　　　　多二根乘多二真数得多四根以多二
　　　　　根乘少二根得少四平方以多二根乘
　　　　　三平方得多六立方又以一平方乘多
　　　　　二真数得多二平方以一平方乘少二
　　　　　根得少二立方以一平方乘三平方得
　　　　　三三乘方相加得三三乘方多四立方
　　　　　少十一平方多十根少六真数即所求
　　　　　之数也如以数明之以根为四则一平
　　　　　方为十六一立方为六十四一三乘方

　　　　　为二百五十六上数三平方得四十八

　　　　　少二根得少八多二真数共得四十二
　　　　　下数一平方得十六多二根得多八少
　　　　　三真数共得二十一相乘所得七百六
　　　　　十八即三三乘方之数所得多二百五
　　　　　十六即多四立方之数所得少一百七
　　　　　十六即少十一平方之数所得多四十
　　　　　即多十根之数所得少六即少六真数
　　　　　之数盖以下数二十一与上数四十二

　　　　　相乘得八百八十二即七百六十八多
　　　　　二百五十六又少一百七十六仍多四
　　　　　十复少六也

　　除法
凡除法按位列数必以真数为单位法尾未至真数
者须补○以存其位(如法尾为根则补一○以存真/数位法尾为平方则补二○以)
(存真数位法尾为立方/则补三○以存真数位)将得数首位纪于真数之上
(如真数之位为○者/则纪于○位之上)真数所对实中之位即得数首
位之数(如真数对实中根位即定得数首位为根如/真数对实中平方位即定得数首位为平方)
(如真数对实中立方位即定/得数首位为立方馀俱仿此)其归除递减皆与常法
同至于定号亦与乘法同俱详设如于左

设如有十二立方多九平方多六根以三真数除之
　问得几何
　　　　　法以三真数除十二立方得四立方以
　　　　　四立方乘三真数得十二立方与实相
　　　　　减恰尽馀多九平方多六根复以三真
　　　　　数除多九平方得多三平方以多三平
　　　　　方乘三真数得多九平方与实相减恰
　　　　　尽馀多六根又以三真数除多六根得
　　　　　多二根以多二根乘三真数得多六根

　　　　　与实相减恰尽无馀是为四立方多三

　　　　　平方多二根即所求之数也此法盖因
　　　　　真数除立方多平方与多根故得数之
　　　　　位仍从实数之位且真数之位下对实
　　　　　中立方之位故定得数首位亦为立方
　　　　　又因实数皆为多故得数亦皆为多也
　　　　　如以数明之以根为三则一平方为九
　　　　　一立方为二十七实数十二立方得三
　　　　　百二十四多九平方得多八十一多六

　　　　　根得多十八是三百二十四多八十一
　　　　　又多十八共为四百二十三以真数三
　　　　　除之所得一百零八即四立方之数所
　　　　　得多二十七即多三平方之数所得多
　　　　　六即多二根之数盖以四百二十三以
　　　　　三除之得一百四十一即一百零八多
　　　　　二十七又多六也
设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问
　得几何

　　　　　法因法尾未至真数位故设一空真数

　　　　　位以补之以二根除十二立方得六平
　　　　　方以六平方乘二根得十二立方与实
　　　　　相减恰尽馀多八平方多六根复以二
　　　　　根除多八平方得多四根以多四根乘
　　　　　二根得多八平方与实相减恰尽馀多
　　　　　六根复以二根除多六根得多三真数
　　　　　以多三真数乘二根得多六根与实相
　　　　　减恰尽无馀是为六平方多四根多三

　　　　　真数即所求之数也此法盖因根数除
　　　　　立方多平方与多根故根除立方得平
　　　　　方根除多平方得多根根除多根而得
　　　　　多真数且真数之位下对实中平方之
　　　　　位故定得数首位亦为平方又因实数
　　　　　皆为多故得数亦皆为多也如以数明
　　　　　之以根为二则一平方为四一立方为
　　　　　八实数十二立方得九十六多八平方
　　　　　得多三十二多六根得多十二是九十

　　　　　六多三十二又多十二共为一百四十

　　　　　法数二根为四除之所得二十四即六
　　　　　平方之数所得多八即多四根之数所
　　　　　得多三即多三真数之数盖一百四十
　　　　　以四除之得三十五即二十四多八又
　　　　　多三也
设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方
　除之问得几何
　　　　　法以四平方除四三乘方得一平方以

　　　　　一平方乘四平方得四三乘方与实相
　　　　　减恰尽馀多八立方多八平方复以四
　　　　　平方除多八立方得多二根以多二根
　　　　　乘四平方得多八立方与实相减恰尽
　　　　　馀多八平方又以四平方除多八平方
　　　　　得多二真数以多二真数乘四平方得
　　　　　多八平方与实相减恰尽无馀是为一
　　　　　平方多二根又多二真数即所求之数
　　　　　也此法盖因平方除三乘方多立方与

　　　　　多平方故平方除三乘方得平方平方

　　　　　除多立方得多根平方除多平方得多
　　　　　真数且真数之位下对实中平方之位
　　　　　故定得数首位亦为平方又因实数皆
　　　　　为多故得数亦皆为多也如以数明之
　　　　　以根为三则一平方为九一立方为二
　　　　　十七一三乘方为八十一实数四三乘
　　　　　方得三百二十四多八立方得多二百
　　　　　一十六多八平方得多七十二是三百

　　　　　二十四多二百一十六又多七十二共
　　　　　为六百一十二法数四平方为三十六
　　　　　除之所得之九即一平方之数所得多
　　　　　六即多二根之数所得多二即多二真
　　　　　数之数盖六百一十二以三十六除之
　　　　　得十七即九多六又多二也
设如有四立方多八平方多七根多二真数以二平
　方多三根多二真数除之问得几何
　　　　　法以二平方多三根多二真数除四立

　　　　　方多八平方多七根得二根以二根乘

　　　　　多二真数得多四根以二根乘多三根
　　　　　得多六平方以二根乘二平方得四立
　　　　　方与实相减馀多二平方多三根多二
　　　　　真数复以二平方多三根多二真数除
　　　　　二平方多三根多二真数得多一真数
　　　　　以多一真数乘多二真数得多二真数
　　　　　以多一真数乘多三根得多三根以多
　　　　　一真数乘二平方得多二平方与实相

　　　　　减恰尽无馀是为二根多一真数即所
　　　　　求之数也此法盖因平方多根多真数
　　　　　除立方多平方多根多真数故以平方
　　　　　除立方得根以平方除多平方得多真
　　　　　数且真数之位下对实中根位故定得
　　　　　数首位为根又因实数皆为多故得数
　　　　　亦皆为多也如以数明之以根为三则
　　　　　一平方为九一立方为二十七实数四
　　　　　立方得一百零八多八平方得多七十

　　　　　二多七根得多二十一多二真数即多

　　　　　二是为一百零八多七十二又多二十
　　　　　一又多二共为二百零三法数二平方
　　　　　得十八多三根得多九多二真数即多
　　　　　二是为十八多九又多二共为二十九
　　　　　除之所得之六即二根之数所得多一
　　　　　即多一真数盖二百零三以二十九除
　　　　　之得七即六多一也
设如有六平方少一根少十五真数以三根少五真

　数除之问得几何
　　　　　法以三根少五真数除六平方少一根
　　　　　得二根以二根乘少五真数得少十根
　　　　　以二根乘三根得六平方与实相减平
　　　　　方恰尽根之减数大于原数转减之馀
　　　　　多九根少十五真数复以三根少五真
　　　　　数除多九根少十五真数得多三真数
　　　　　(减馀之九根为多故除/得之三真数亦为多也)以多三真数与
　　　　　少五真数相乘得少十五真数以多三

　　　　　真数与三根相乘得多九根与实相减

　　　　　恰尽无馀是为二根多三真数即所求
　　　　　之数也此法盖因根少真数除平方少
　　　　　根少真数故以根除平方得根以根除
　　　　　多根(根原为少而减/馀数变为多)得多真数且真数
　　　　　之位下对实中根位故定得数首位为
　　　　　根又因实数原为少而次位馀实之数
　　　　　变为多故定得数次位为多也如以数
　　　　　明之以根为五则一平方为二十五实

　　　　　数六平方得一百五十少一根得少五
　　　　　少十五真数即少十五是为一百五十
　　　　　少五又少十五共为一百三十法数三
　　　　　根得十五少五真数即少五是为十五
　　　　　少五共为一十除之所得之一十即二
　　　　　根之数所得之多三即多三真数之数
　　　　　盖一百三十以十除之得十三即十多
　　　　　三也
设如有九立方少十二平方少五根多六真数以三

　平方少二根少三真数除之问得几何

　　　　　法以三平方少二根少三真数除九立
　　　　　方少十二平方少五根得三根以三根
　　　　　乘少三真数得少九根以三根乘少二
　　　　　根得少六平方以三根乘三平方得九
　　　　　立方与实相减立方恰尽原少十二平
　　　　　方减少六平方馀少六平方原少五根
　　　　　不能减九根转减之馀多四根又多六
　　　　　真数复以三平方少二根少三真数除

　　　　　少六平方多四根多六真数得少二真
　　　　　数以少二真数乘少三真数得多六真
　　　　　数以少二真数乘少二根得多四根以
　　　　　少二真数乘三平方得少六平方与实
　　　　　相减恰尽无馀是为三根少二真数即
　　　　　所求之数也此法盖因平方少根少真
　　　　　数除立方少平方少根与多真数故以
　　　　　平方除立方得根以平方除少平方得
　　　　　少真数且真数之位下对实中根位故

　　　　　定得数首位为根又实数之号虽有少

　　　　　有多不同而次位馀实之首数为少故
　　　　　定得数次位为少也如以数明之以根
　　　　　为七则一平方为四十九一立方为三
　　　　　百四十三实数九立方得三千零八十
　　　　　七少十二平方得少五百八十八少五
　　　　　根得少三十五多六真数即多六是为
　　　　　三千零八十七少五百八十八又少三
　　　　　十五仍多六共为二千四百七十法数

　　　　　三平方得一百四十七少二根得少十
　　　　　四少三真数即少三是为一百四十七
　　　　　少十四又少三共为一百三十除之所
　　　　　得之二十一即三根之数所得之少二
　　　　　即少二真数之数盖二千四百七十以
　　　　　一百三十除之得十九即二十一少二
　　　　　也
设如有八立方多八平方多二根少四真数以二平
　方多三根多二真数除之问得几何

　　　　　法以二平方多三根多二真数除八立

　　　　　方多八平方多二根得四根以四根乘
　　　　　多二真数得多八根以四根乘多三根
　　　　　得多十二平方以四根乘二平方得八
　　　　　立方与实相减立方恰尽平方与根之
　　　　　减数俱大于原数故皆转减之馀少四
　　　　　平方少六根又少四真数复以二平方
　　　　　多三根多二真数除少四平方少六根
　　　　　少四真数得少二真数以少二真数乘

　　　　　多二真数得少四真数以少二真数乘
　　　　　多三根得少六根以少二真数乘二平
　　　　　方得少四平方与实相减恰尽无馀是
　　　　　为四根少二真数即所求之数也此法
　　　　　盖因平方多根多真数除立方多平方
　　　　　多根与少真数故以平方除立方得根
　　　　　以平方除少平方(平方原为多而/减馀数变为少)得少
　　　　　真数且真数之位下对实中根位故定
　　　　　得数首位为根又实数之号虽有多有

　　　　　少不同而次位馀实皆变为少故定得

　　　　　数次位为少也如以数明之以根为三
　　　　　则一平方为九一立方为二十七实数
　　　　　八立方得二百一十六多八平方得多
　　　　　七十二多二根得多六少四真数即少
　　　　　四是二百一十六多七十二又多六仍
　　　　　少四共为二百九十法数二平方得十
　　　　　八多三根得多九多二真数即多二是
　　　　　十八多九又多二共为二十九除之所

　　　　　得十二即四根之数所得少二即少二
　　　　　真数之数盖二百九十以二十九除之
　　　　　得十即十二少二也
设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二
　真数以二平方少二根多一真数除之问得几何
　　　　　法以二平方少二根多一真数除四三
　　　　　乘方少二立方少四平方得二平方以
　　　　　二平方乘多一真数得多二平方以二
　　　　　平方乘少二根得少四立方以二平方

　　　　　乘二平方得四三乘方与实相减三乘

　　　　　方恰尽原少二立方不能减少四立方
　　　　　转减之馀多二立方原少四平方减多
　　　　　二平方故相加为少六平方仍多五根
　　　　　复以二平方少二根多一真数除多二
　　　　　立方少六平方多五根得多一根以多
　　　　　一根乘多一真数得多一根以多一根
　　　　　乘少二根得少二平方以多一根乘二
　　　　　平方得多二立方与实相减立方恰尽

　　　　　原少六平方减少二平方馀少四平方
　　　　　原多五根减多一根馀多四根仍少二
　　　　　真数又以二平方少二根多一真数除
　　　　　少四平方多四根少二真数得少二真
　　　　　数以少二真数乘多一真数得少二真
　　　　　数以少二真数乘少二根得多四根以
　　　　　少二真数乘二平方得少四平方与实
　　　　　相减恰尽无馀是为二平方多一根少
　　　　　二真数即所求之数也此法盖因平方

　　　　　少根多真数除三乘方少立方又少平

　　　　　方仍多根与少真数故以平方除三乘
　　　　　方得平方以平方除多立方(立方原为/少而减馀)
　　　　　(数变/为多)得多根以平方除少平方得少真
　　　　　数且真数之位下对实中平方之位故
　　　　　定得数首位为平方又实数之号虽有
　　　　　多有少不同而次位馀实之首数变为
　　　　　多三位馀实之首数仍为少故定得数
　　　　　之次位为多三位为少也如以数明之

　　　　　以根为六则一平方为三十六一立方
　　　　　为二百一十六一三乘方为一千二百
　　　　　九十六实数四三乘方得五千一百八
　　　　　十四少二立方得少四百三十二少四
　　　　　平方得少一百四十四多五根得多三
　　　　　十少二真数即少二是五千一百八十
　　　　　四少四百三十二又少一百四十四仍
　　　　　多三十复少二共为四千六百三十六
　　　　　法数二平方得七十二少二根得少十

　　　　　二多一真数即多一是七十二少十二

　　　　　　又多一共为六十一除之所得七十二
　　　　　　即二平方之数所得多六即多一根之
　　　　　　数所得少二即少二真数之数盖四千
　　　　　　六百三十六以六十一除之得七十六
　　　　　　即七十二多六少二也
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷三十一