钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十八
　　体部六
　　　球内容各等面体
　　　球外切各等面体

　　球内容各等面体
设如圆球径一尺二寸求内容四面体之每一边及
　体积几何
　　　　　法以圆球径一尺二寸三归二因得八
　　　　　寸为圆球内容四面体自尖至每面中
　　　　　心之立垂线自乘得六十四寸二归三
　　　　　因得九十六寸开平方得九寸七分九
　　　　　釐七豪九丝五忽八微有馀即圆球内

　　　　　容四面体之每一边也乃以四面体之
　　　　　每一边用等边三角形求面积法求得
　　　　　每一面积四十一寸五十六分九十二
　　　　　釐一十九豪有馀与自尖至每面中心
　　　　　之立垂线八寸相乘得三百三十二寸
　　　　　五百五十三分七百五十釐有馀三归
　　　　　之得一百一十寸八百五十一分二百
　　　　　五十釐有馀即圆球内容四面体之积
　　　　　也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲

　　　　　丙丁戊四面体甲己与丙庚俱为自尖

　　　　　至每面中心之立垂线相交于辛为四
　　　　　面体之中心亦即圆球之中心甲辛与
　　　　　丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与
　　　　　甲庚辛勾股形为同式形(甲己壬勾股/形以甲己自)
　　　　　(尖至底中心立垂线为股己壬一面中/垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂)
　　　　　(线为弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中/垂线之三分之二为股庚辛四面体中)
　　　　　(心至每面中心之垂线为勾甲辛四面/体自尖至中心立垂线为弦故两勾股)
　　　　　(形同用一甲角而己角庚角同为直角/其壬角与辛角亦必相等所以为同式)

　　　　　(形/也)己壬为丙壬一面中垂线之三分之
　　　　　一亦为甲壬一面中垂线之三分之一
　　　　　故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中
　　　　　心立垂线之三分之一而甲辛即圆球
　　　　　之半径故庚辛亦为圆球半径之三分
　　　　　之一庚辛与辛已等今命甲辛圆球半
　　　　　径为三分则甲乙圆球全径为六分以
　　　　　辛己一分与甲辛三分相加则得甲巳
　　　　　四分是甲巳立垂线为甲乙圆球全径

　　　　　之六分之四即三分之二故以甲乙圆

　　　　　球径三归二因即得甲己为四面体自
　　　　　尖至每面中心之立垂线也又四面体
　　　　　之立垂线自乘方为每边自乘方之三
　　　　　分之二(见前四面/体求积法)故以甲己立垂线自
　　　　　乘二归三因即得每一边自乘方积开
　　　　　平方得甲丙为四面体之每一边也既
　　　　　得一边则用等边三角形求面积法求
　　　　　得丙丁戊三角形面积与甲巳立垂线

　　　　　相乘三归之即得甲丙丁戊四面体之
　　　　　积也
　　　　　又求边捷法以圆球径一尺二寸自乘
　　　　　三归二因得九十六寸开平方亦得九
　　　　　寸七分九釐七豪九丝五忽八微有馀
　　　　　为内容四面体之每一边也盖四面体
　　　　　之甲巳立垂线既为甲乙圆球径之三
　　　　　分之二则甲己自乘方必为甲乙自乘
　　　　　方之九分之四而甲己自乘方又为甲

　　　　　丙每边自乘方之三分之二即六分之

　　　　　四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆
　　　　　球径自乘方之九分之六即三分之二
　　　　　故以圆球径自乘三归二因开平方亦
　　　　　得四面体之每一边也如有四面体之
　　　　　一边求外切圆球径则先求得自尖至
　　　　　每面中心之立垂线二归三因即圆球
　　　　　径或以一边自乘二归三因开平方亦
　　　　　即得圆球径也

　　　　　又用求球内各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球内容四面体之一边八
　　　　　一六四九六五八为二率今所设之圆
　　　　　球径一尺二寸为三率求得四率九寸
　　　　　七分九釐七豪九丝五忽八微有馀即
　　　　　圆球内容四面体之一边也
　　　　　又用求球内各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体

　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆

　　　　　球内容四面体积六四一五○○二九
　　　　　为二率今所设之圆球径一尺二寸自
　　　　　乘再乘得一千七百二十八寸为三率
　　　　　求得四率一百一十寸八百五十一分
　　　　　二百五十釐有馀即圆球内容四面体
　　　　　之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率

　　　　　圆球内容四面体积一二二五一七五
　　　　　三○为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸求得圆球积九百零四寸七百七十
　　　　　八分六百八十四釐有馀为三率求得
　　　　　四率一百一十寸八百五十一分二百
　　　　　四十九釐有馀即圆球内容四面体之
　　　　　积也
设如圆球径一尺二寸求内容正方体之每一边及
　体积几何

　　　　　法以圆球径一尺二寸自乘得一百四

　　　　　十四寸三归之得四十八寸开平方得
　　　　　六寸九分二釐八豪二丝零三微有馀
　　　　　即圆球内容正方体之每一边以一边
　　　　　自乘再乘得三百三十二寸五百五十
　　　　　三分七百四十四釐有馀即圆球内容
　　　　　正方体之积也如图甲乙圆球径一尺
　　　　　二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方体试
　　　　　以丙丁一边为股丁乙一边为勾求得

　　　　　丙乙弦即每一面之对角斜线勾与股
　　　　　既相等则丙乙每一面对角斜线自乘
　　　　　方为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍
　　　　　矣又试以丙乙对角斜线为股甲丙一
　　　　　边为勾求得甲乙弦即圆球径则甲乙
　　　　　圆球径自乘方又为甲丙类每边自乘
　　　　　方之三倍矣故以圆球径自乘三归即
　　　　　得每边自乘之积开平方即得圆球内
　　　　　容正方体之一边以一边自乘再乘即

　　　　　得圆球内容正方体之积也如有正方

　　　　　体之一边求外切圆球径则以一边自
　　　　　乘三因之开平方即得圆球径也
　　　　　又用求球内各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球内容正方体之一边五
　　　　　七七三五○二六为二率今所设之圆
　　　　　球径一尺二寸为三率求得四率六寸
　　　　　九分二釐八豪二丝零三微有馀即圆

　　　　　球内容正方体之一边也
　　　　　又用求球内各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球内容正方体积一九二四五○○八
　　　　　六为二率今所设之圆球径一尺二寸
　　　　　自乘再乘得一千七百二十八寸为三
　　　　　率求得四率三百三十二寸五百五十
　　　　　三分七百四十八釐有馀即圆球内容

　　　　　正方体之积也

　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　圆球内容正方体积三六七五五二五
　　　　　九○为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸求得圆球积九百零四寸七百七十
　　　　　八分六百八十四釐有馀为三率求得
　　　　　四率三百三十二寸五百五十三分七
　　　　　百四十八釐有馀即圆球内容正方体

　　　　　之积也
设如圆球径一尺二寸求内容八面体之每一边及
　体积几何
　　　　　法以圆球径一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　十四寸折半得七十二寸开平方得八
　　　　　寸四分八釐五豪二丝八忽一微有馀
　　　　　即圆球内容八面体之每一边也乃以
　　　　　八面体之每一边自乘得七十二寸以
　　　　　球径一尺二寸再乘得八百六十四寸

　　　　　三归之得二百八十八寸即圆球内容

　　　　　八面体之积也如图甲乙圆球径一尺
　　　　　二寸内容甲丙乙丁戊己八面体自正
　　　　　中对四角平分截之则成甲丙己丁戊
　　　　　乙丁戊丙己二尖方体甲乙圆球径为
　　　　　二尖方体之共高即甲丙乙丁正方面
　　　　　之对角斜线试以甲丙一边为股乙丙
　　　　　一边为勾则甲乙球径为弦勾与股既
　　　　　相等则甲乙自乘方为甲丙自乘方之

　　　　　二倍故以甲乙球径自乘折半开方即
　　　　　得甲丙为内容八面体之一边以戊丙
　　　　　一边自乘得戊丙己丁二尖方体之共
　　　　　底面积以甲乙共高再乘三归之得二
　　　　　尖方体积即八面体之总积也如有八
　　　　　面体之一边求外切圆球径则以一边
　　　　　自乘加倍开平方得对角斜线即圆球
　　　　　径也
　　　　　又用求球内各形之一边之定率比例

　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○

　　　　　○为一率圆球内容八面体之一边七
　　　　　○七一○六七八为二率今所设之圆
　　　　　球径一尺二寸为三率求得四率八寸
　　　　　四分八釐五豪二丝八忽一微有馀即
　　　　　圆球内容八面体之一边也
　　　　　又用求球内各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆

　　　　　球内容八面体积一六六六六六六六
　　　　　六为二率今所设之圆球径一尺二寸
　　　　　自乘再乘得一千七百二十八寸为三
　　　　　率求得四率二百八十八寸即圆球内
　　　　　容八面体之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　圆球内容八面体积三一八三○九八
　　　　　八五为二率今所设之圆球径一尺二

　　　　　寸求得圆球积九百零四寸七百七十

　　　　　八分六百八十四釐有馀为三率求得
　　　　　四率二百八十七寸九百九十九分九
　　　　　百九十八釐有馀即圆球内容八面体
　　　　　之积也
设如圆球径一尺二寸求内容十二面体之每一边
　及体积几何
　　　　　法以理分中末线之全分一○○○○
　　　　　○○○○为股小分三八一九六六○

　　　　　一为勾求得弦一○七○四六六二六
　　　　　为一率小分三八一九六六○一为二
　　　　　率今所设之圆球径一尺二寸为三率
　　　　　求得四率四寸二分八釐一豪八丝六
　　　　　忽五微有馀即圆球内容十二面体之
　　　　　每一边也乃以十二面体之每一边用
　　　　　五等边形求面积法求得每一面积三
　　　　　十一寸五十四分三十八釐五十七豪
　　　　　有馀又用五等边形求外切圜径法求

　　　　　得半径(即分/角线)三寸六分四釐二豪三丝

　　　　　七忽一微有馀为勾圆球半径六寸为
　　　　　弦求得股四寸七分六釐七豪九丝二
　　　　　忽七微有馀为自圆球中心至每一面
　　　　　中心之立垂线与每一面积三十一寸
　　　　　五十四分三十八釐五十七豪相乘得
　　　　　一百五十寸三百九十八分八百零七
　　　　　釐有馀三归之得五十寸一百三十二
　　　　　分九百三十五釐为一五角尖体积十

　　　　　二因之得六百零一寸五百九十五分
　　　　　二百二十釐有馀即圆球内容十二面
　　　　　体之总积也如图甲乙圆球径一尺二
　　　　　寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中
　　　　　平分截之则成十等边面形其所截之
　　　　　处皆正当每边之一半故其所截之庚
　　　　　辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一
　　　　　半而为十等边形之一边试自十二面
　　　　　体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰

　　　　　垂线即为所截十等边形外切圜之半

　　　　　径与甲庚每边之半甲辰圆球半径共
　　　　　成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾
　　　　　甲辰为弦庚辰即如理分中末线之全
　　　　　分甲庚即如理分中末线之小分何以
　　　　　知之盖十二面体每面之壬子两角相
　　　　　对斜线(与甲/丙等)为全分则子丑一边(与甲/卯等)
　　　　　为大分若以壬子两角相对斜线为大
　　　　　分则子丑一边为小分两角相对斜线

　　　　　之一半庚辛为大分则每边之半甲庚
　　　　　即为小分矣又庚辰中心至每边正中
　　　　　之垂线既为十等边形外切圜之半径
　　　　　而庚辛为十等边形之一边则庚辛为
　　　　　大分而庚辰必为全分矣因庚辰全分
　　　　　为股甲庚小分为勾而甲辰圆球半径
　　　　　为弦故以理分中末线之全分为股小
　　　　　分为勾求得弦与小分之比同于甲辰
　　　　　半径与甲庚半边之比即同于今所设

　　　　　之甲乙全径与甲卯全边之比也既得

　　　　　一边则用五等边形求面积法求得壬
　　　　　癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸
　　　　　五等边形外切圜半径(即分/角线)乃以辰癸
　　　　　圆球半径为弦(与辰/甲等)已癸分角线为勾
　　　　　求得辰巳股即圆球中心至内容十二
　　　　　面体每面中心之立垂线与壬癸子丑
　　　　　寅五等边形面积相乘三归之得辰壬
　　　　　癸子丑寅一五角尖体积十二因之即

　　　　　得圆球内容十二面体之总积也如有
　　　　　十二面体之每一边求外切圆球径则
　　　　　先求得自中心至每边正中之垂线为
　　　　　股半边为勾求得弦倍之即圆球全径
　　　　　也
　　　　　又求边法用求圆球内容正方体之一
　　　　　边法以圆球径一尺二寸自乘得一百
　　　　　四十四寸三归之得四十八寸开平方
　　　　　得六寸九分二釐八豪二丝零三微有

　　　　　馀为圆球内容十二面体每一面两角

　　　　　相对斜线乃以理分中末线之全分一
　　　　　○○○○○○○○为一率大分六一
　　　　　八○三三九九为二率每一面两角相
　　　　　对斜线六寸九分二釐八豪二丝零三
　　　　　微为三率求得四率四寸二分八釐一
　　　　　豪八丝六忽四微有馀即圆球内容十
　　　　　二面体之每一边也如图甲乙圆球径
　　　　　一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体

　　　　　试于每一面各作一斜线相连则十二
　　　　　斜线之二十四端合为八角遂成正方
　　　　　体形其十二面之十二斜线即正方体
　　　　　之十二边其八角即正方体之八角皆
　　　　　切于圆球之面故用求球内容正方体
　　　　　法求得正方体之一边即十二面体每
　　　　　一面两角相对之斜线既得斜线则以
　　　　　理分中末线之全分与大分之比即同
　　　　　于两角相对之斜线与每一边之比而

　　　　　得十二面体之每一边也如有十二面

　　　　　体之每一边求外切圆球径则先求得
　　　　　每面两角相对斜线为正方体之一边
　　　　　用正方体求外切圆球径之法亦即得
　　　　　圆球径矣
　　　　　又用求球内各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球内容十二面体之一边
　　　　　三五六八二二○九为二率今所设之

　　　　　圆球径一尺二寸为三率求得四率四
　　　　　寸二分八釐一豪八丝六忽五微有馀
　　　　　即圆球内容十二面体之一边也
　　　　　又用求球内各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球内容十二面体积三四八一四五四
　　　　　八二为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸自乘再乘得一千七百二十八寸为

　　　　　三率求得四率六百零一寸五百九十

　　　　　五分三百九十二釐有馀即圆球内容
　　　　　十二面体之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　圆球内容十二面体积六六四九○八
　　　　　八九一为二率今所设之圆球径一尺
　　　　　二寸求得圆球积九百零四寸七百七
　　　　　十八分六百八十四釐有馀为三率求

　　　　　得四率六百零一寸五百九十五分三
　　　　　百九十一釐有馀即圆球内容十二面
　　　　　体之积也
设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每一边
　及体积几何
　　　　　法以理分中末线之全分一○○○○
　　　　　○○○○为股大分六一八○三三九
　　　　　九为勾求得弦一一七五五七○五○
　　　　　为一率大分六一八○三三九九为二

　　　　　率今所设之圆球径一尺二寸为三率

　　　　　求得四率六寸三分零八豪七丝七忽
　　　　　三微有馀即圆球内容二十面体之每
　　　　　一边也乃以二十面体之每一边用等
　　　　　边三角形求面积法求得每一面积一
　　　　　十七寸二十三分四十一釐七十豪有
　　　　　馀又用三等边形求外切圜径法求得
　　　　　半径(即分/角线)三寸六分四釐二豪三丝七
　　　　　忽一微有馀为勾圆球半径六寸为弦

　　　　　求得股四寸七分六釐七豪九丝二忽
　　　　　七微有馀为自圆球中心至每一面中
　　　　　心之立垂线与每一面积一十七寸二
　　　　　十三分四十一釐七十豪有馀相乘得
　　　　　八十二寸一百七十一分二百六十四
　　　　　釐有馀三归之得二十七寸三百九十
　　　　　分四百二十一釐有馀为一三角尖体
　　　　　积二十因之得五百四十七寸八百零
　　　　　八分四百二十釐有馀即圆球内容二

　　　　　十面体之总积也如图甲乙圆球径一

　　　　　尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自
　　　　　正中平分截之则成十等边面形其所
　　　　　截之处皆正当每边之一半故其所截
　　　　　之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而
　　　　　为十等边形之一边试自二十面体之
　　　　　甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线
　　　　　即为所截十等边形外切圜之半径与
　　　　　甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲

　　　　　庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬
　　　　　为弦庚壬即如理分中末线之全分甲
　　　　　庚即如理分中末线之大分何以知之
　　　　　盖庚壬中心至每边正中之斜线既为
　　　　　十等边形外切圜之半径庚辛既为十
　　　　　等边形之一边则庚辛为大分庚壬必
　　　　　为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每
　　　　　边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬
　　　　　全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半

　　　　　径为弦故以理分中末线之全分为股

　　　　　大分为勾求得弦与大分之比同于甲
　　　　　壬半径与甲庚半边之比即同于今所
　　　　　设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比
　　　　　也又图子丑圆球内容子丙寅丑卯已
　　　　　二十面体自丙已二处横截之则所截
　　　　　之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面
　　　　　形试自二十面体之巳角至寅角作已
　　　　　寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为

　　　　　股丙寅为勾已寅为弦以甲丙丁戊己
　　　　　五等边面形言之则巳丙股为两角相
　　　　　对斜线即如理分中末线之全分丙寅
　　　　　勾与丙丁一边同即如理分中末线之
　　　　　大分今己丙全分既为股丙寅大分既
　　　　　为勾巳寅与子丑同为圆球径既为弦
　　　　　故以理分中末线之全分为股大分为
　　　　　勾求得弦与大分之比即同于今所设
　　　　　之子丑全径与丙寅一边之比也既得

　　　　　一边则用三等边形求面积法求得辰

　　　　　已午三等边形面积又求得未巳三等
　　　　　边形外切圜半径即分角线乃以壬巳
　　　　　圆球半径(与甲/壬等)为弦未巳分角线为勾
　　　　　求得壬未股即圆球中心至内容二十
　　　　　面体每面中心之立垂线与辰巳午三
　　　　　等边形面积相乘三归之得壬辰巳午
　　　　　一三角尖体积二十因之即得圆球内
　　　　　容二十面体之积也如有二十面体之

　　　　　一边求外切圆球径则先求得自中心
　　　　　至每边正中之垂线为股半边为勾求
　　　　　得弦倍之即圆球全径也
　　　　　又用求球内各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球内容二十面体之一边
　　　　　五二五七三一一一为二率今所设之
　　　　　圆球径一尺二寸为三率求得四率六
　　　　　寸三分零八豪七丝七忽三微有馀即

　　　　　圆球内容二十面体之一边也

　　　　　又用求球内各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球内容二十面体积三一七○一八八
　　　　　三三为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸自乘再乘得一千七百二十八寸为
　　　　　三率求得四率五百四十七寸八百零
　　　　　八分五百四十三釐有馀即圆球内容

　　　　　二十面体之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　圆球内容二十面体积六○五四六一
　　　　　三七二为二率今所设之圆球径一尺
　　　　　二寸求得圆球积九百零四寸七百七
　　　　　十八分六百八十四釐有馀为三率求
　　　　　得四率五百四十七寸八百零八分五
　　　　　百四十三釐有馀即圆球内容二十面

　　　　　体之积也

　　球外切各等面体
设如圆球径一尺二寸求外切四面体之每一边及
　体积几何
　　　　　法以圆球径一尺二寸倍之得二尺四
　　　　　寸为圆球外切四面体自尖至每面中
　　　　　心之立垂线自乘得五尺七十六寸二
　　　　　归三因得八尺六十四寸开平方得二
　　　　　尺九寸三分九釐三豪八丝七忽六微

　　　　　有馀即圆球外切四面体之每一边也
　　　　　乃以四面体之每一边用等边三角形
　　　　　求面积法求得每一面积三尺七十四
　　　　　寸一十二分二十九釐七十二豪有馀
　　　　　与自尖至每面中心之立垂线二尺四
　　　　　寸相乘三归之得二尺九百九十二寸
　　　　　九百八十三分七百七十六釐有馀即
　　　　　圆球外切四面体之积也如图甲乙圆
　　　　　球径一尺二寸外切丙丁戊己四面体

　　　　　丙乙与丁庚俱为自尖至每面中心之

　　　　　立垂线相交于辛为四面体之中心亦
　　　　　即圆球之中心辛乙与辛庚俱为圆球
　　　　　半径丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形
　　　　　为同式形(丙乙壬勾股形以丙乙自尖/至底中心立垂线为股乙壬)
　　　　　(一面中垂线之三分之一为勾丙壬一/面中垂线为弦丙庚辛勾股形以丙庚)
　　　　　(一面中垂线之三分之二为股庚辛圆/球半径为勾丙辛四面体自尖至中心)
　　　　　(立垂线为弦故两勾股形同用一丙角/而乙角庚角同为直角其壬角与辛角)
　　　　　(亦必相等所/以为同式形)乙壬为丁壬一面中垂线

　　　　　之三分之一亦为丙壬一面中垂线之
　　　　　三分之一故庚辛亦必为丙辛四面体
　　　　　自尖至中心立垂线之三分之一而庚
　　　　　辛为圆球半径与甲辛等甲辛既为丙
　　　　　辛之三分之一则丙甲即为丙辛之三
　　　　　分之二与甲乙全径等故以甲乙圆球
　　　　　径倍之得丙乙为四面体自尖至每面
　　　　　中心之立垂线也又四面体之立垂线
　　　　　自乘方为每一边自乘方之三分之二

　　　　　(见前四面/体求积法)故以丙乙立垂线自乘二归

　　　　　三因得每一边自乘方积开平方得丙
　　　　　丁为四面体之每一边也既得一边则
　　　　　用等边三角形求面积法求得丁戊己
　　　　　三角形面积与丙乙立垂线相乘三归
　　　　　之即得丙丁戊己四面体之积也如有
　　　　　四面体之一边求内容圆球径则先求
　　　　　得自尖至每面中心之立垂线折半即
　　　　　内容圆球径也

　　　　　又用求球外各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率球外切四面体之一边二四
　　　　　四九四八九七四为二率今所设之圆
　　　　　球径一尺二寸为三率求得四率二尺
　　　　　九寸三分九釐三豪八丝七忽六微有
　　　　　馀即圆球外切四面体之一边也
　　　　　又用求球外各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体

　　　　　积一○○○○○○○○○为一率球

　　　　　外切四面体积一七三二○五○八○
　　　　　七为二率今所设之圆球径一尺二寸
　　　　　自乘再乘得一尺七百二十八寸为三
　　　　　率求得四率二尺九百九十二寸九百
　　　　　八十三分七百九十四釐有馀即圆球
　　　　　外切四面体之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率

　　　　　圆球外切四面体积三三○七九七三
　　　　　三七二为二率今所设之圆球径一尺
　　　　　二寸求得圆球积九百零四寸七百七
　　　　　十八分六百八十四釐有馀为三率求
　　　　　得四率二尺九百九十二寸九百八十
　　　　　三分七百九十四釐有馀即圆球外切
　　　　　四面体之积也
设如圆球径一尺二寸求外切正方体之每一边及
　体积几何

　　　　　法因圆球径一尺二寸即外切正方体

　　　　　之每一边自乘再乘得一尺七百二十
　　　　　八寸即外切正方体积故他法皆不设
　　　　　止存此题以备一体焉
设如圆球径一尺二寸求外切八面体之每一边及
　体积几何
　　　　　法以圆球径一尺二寸折半得六寸为
　　　　　圆球外切八面体中心至每面中心之
　　　　　立垂线自乘得三十六寸六因之得二

　　　　　百一十六寸开平方得一尺四寸六分
　　　　　九釐六豪九丝三忽八微有馀即圆球
　　　　　外切八面体之每一边也乃以八面体
　　　　　之每一边用等边三角形求面积法求
　　　　　得每一面积九十三寸五十三分零七
　　　　　釐四十三豪有馀与圆球半径六寸相
　　　　　乘三归之得一百八十七寸零六十一
　　　　　分四百八十六釐有馀为一三角尖体
　　　　　积八因之得一尺四百九十六寸四百

　　　　　九十一分八百八十八釐有馀即圆球

　　　　　外切八面体之总积也如图甲乙圆球
　　　　　径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面
　　　　　体自丁辛己庚四角平分之则成丙丁
　　　　　辛己庚戊己庚丁辛二尖方体将二尖
　　　　　方体自尖依各棱直剖之则又得子丙
　　　　　丁庚类八三角尖体圆球之外面皆切
　　　　　于各面之中心圆球之半径即外切八
　　　　　面体中心至每一面中心之立垂线试

　　　　　自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面
　　　　　中垂线又自八面体中心子至丙丁庚
　　　　　面中心癸作子癸立垂线复自八面体
　　　　　中心子至丁庚边正中壬作子壬线遂
　　　　　成壬癸子勾股形此形以子癸立垂线
　　　　　(即圆球/半径)为股丙壬一面中垂线之三分
　　　　　之一癸壬为勾八面体中心至每边正
　　　　　中斜线子壬为弦(子壬即八面体每边/之一半盖壬丑与庚)
　　　　　(己平行其度相等折半/于子故为每边之半)夫癸壬既为丙

　　　　　壬一面中垂线之三分之一则癸壬自

　　　　　乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之
　　　　　九分之一而丙壬一面中垂线自乘方
　　　　　原为丙丁每边自乘方之十二分之九
　　　　　则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方
　　　　　之十二分之一又子壬既为每边之半
　　　　　则其自乘方必为每边自乘方之四分
　　　　　之一今命为十二分之三癸壬勾自乘
　　　　　方既为每边自乘方十二分之一子壬

　　　　　弦自乘方又为每边自乘方十二分之
　　　　　三则子癸股自乘方必为每边自乘方
　　　　　十二分之二即六分之一故以子癸圆
　　　　　球半径自乘六因之得每边自乘方积
　　　　　开平方得八面体之每一边也既得每
　　　　　一边则用等边三角形求面积法求得
　　　　　丙丁庚一面积与子癸圆球半径相乘
　　　　　三归之得子丙丁庚一三角尖体积八
　　　　　因之即得丙丁戊己庚辛八面体之总

　　　　　积也如有八面体之一边求内容圆球

　　　　　径则求得自中心至每一面中心之立
　　　　　垂线即内容圆球之半径也
　　　　　又用求球外各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球外切八面体之一边一
　　　　　二二四七四四八七为二率今所设之
　　　　　圆球径一尺二寸为三率求得四率一
　　　　　尺四寸六分九釐六豪九丝三忽八微

　　　　　有馀即圆球外切八面体之一边也
　　　　　又用求球外各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球外切八面体积八六六○二五四○
　　　　　三为二率今所设之圆球径一尺二寸
　　　　　自乘再乘得一尺七百二十八寸为三
　　　　　率求得四率一尺四百九十六寸四百
　　　　　九十一分八百九十六釐有馀即圆球

　　　　　外切八面体之积也

　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　圆球外切八面体积一六五三九八六
　　　　　六八六为二率今所设之圆球径一尺
　　　　　二寸求得圆球积九百零四寸七百七
　　　　　十八分六百八十四釐有馀为三率求
　　　　　得四率一尺四百九十六寸四百九十
　　　　　一分八百九十七釐有馀即圆球外切

　　　　　八面体之积也
设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边
　及体积几何
　　　　　法以理分中末线之全分一○○○○
　　　　　○○○○为一率大分六一八○三三
　　　　　九九为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸折半得六寸为三率求得四率三寸
　　　　　七分零八豪二丝零三微有馀为圆球
　　　　　外切十二面体每一面中心至边之垂

　　　　　线又以全分一○○○○○○○○为

　　　　　一率倍小分七六三九三二○二为二
　　　　　率今所设之圆球半径六寸为三率求
　　　　　得四率四寸五分八釐三豪五丝九忽
　　　　　二微有馀为每一面中心至角之分角
　　　　　线乃以每一面之分角线为弦每一面
　　　　　中心至边之垂线为股求得勾二寸六
　　　　　分九釐四豪一丝六忽八微有馀倍之
　　　　　得五寸三分八釐八豪三丝三忽六微

　　　　　有馀即圆球外切十二面体之每一边
　　　　　也乃以十二面体之每一边与每一面
　　　　　中心至边之垂线相乘得数折半五因
　　　　　之得四十九寸九十五分二十六釐零
　　　　　九豪有馀为圆球外切十二面体之每
　　　　　一面之积与圆球半径六寸相乘三归
　　　　　之得九十九寸九百零五分二百一十
　　　　　八釐有馀为每一五角尖体积十二因
　　　　　之得一尺一百九十八寸八百六十二

　　　　　分六百一十六釐有馀即圆球外切十

　　　　　二面体之总积也盖圆球外切十二面
　　　　　体其圆球之外面皆切于各面之中心
　　　　　圆球之半径即外切十二面体中心至
　　　　　每一面中心之立垂线以圆球半径为
　　　　　理分中末线之全分则外切十二面体
　　　　　之每一面中心至边之垂线(即五等边/形内容圜)
　　　　　(半/径)为大分每一面中心至角之分角线
　　　　　(即五等边形/外切圆半径)为倍小分如甲乙圆球径

　　　　　一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体
　　　　　按其一面中垂线平分剖之则成丙辛
　　　　　壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸
　　　　　皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑
　　　　　丑丙皆为十二面体之每一面自一角
　　　　　至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十
　　　　　二面体中心至每边正中之垂线寅辰
　　　　　为十二面体中心至每面中心之立垂
　　　　　线即圆球半径辰丑为每面中心至边

　　　　　之垂线辰丙为每面中心至角之分角

　　　　　线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰
　　　　　丙为倍小分何以知之寅卯既为十二
　　　　　面体中心至每边正中之垂线平分丙
　　　　　辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为
　　　　　全分则丙卯为小分(盖十二面体中心/至每边正中之垂)
　　　　　(线为全分则其每一面两角相对斜线/之一半为大分而每边之半即为小分)
　　　　　(见球内容十/二面体法)试依寅卯全分度作丑巳
　　　　　卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全

　　　　　分巳卯既为全分而丙卯又为小分则
　　　　　巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰
　　　　　丑勾股形为同式形(寅辰丑勾股形之/丑角与寅角并之)
　　　　　(共九十度而寅长丑勾股形之丑角与/丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十)
　　　　　(度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅/辰角为相等辰角与巳角又同为直角)
　　　　　(其馀一角亦必/等故为同式形)丑已丙勾股形之丑巳
　　　　　股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾
　　　　　股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即
　　　　　为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每

　　　　　面中心至边之垂线之比即同于理分

　　　　　中末线之全分与大分之比也又凡五
　　　　　等边形自心至边之垂线为大分则自
　　　　　心至角之分角线即为倍小分如丙午
　　　　　未申酉五等边形其辰丑垂线为大分
　　　　　则辰申分角线为倍小分何以知之盖
　　　　　丙未两角相对斜线为全分则未甲一
　　　　　边为大分而酉未与丙申两两角相对
　　　　　斜线相交所截戌申一段即为小分成

　　　　　连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大
　　　　　分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线
　　　　　平分丙未两角相对斜线于亥则成丙
　　　　　亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式
　　　　　形(辰丑申勾股形之辰角当丑申半边/所对之弧为未申边所对之弧之一)
　　　　　(半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥/勾股形之丙角等丑角与亥角又同为)
　　　　　(直角其馀一角亦/必等故为同式形)夫丙未为全分则丙
　　　　　戌为大分丙未为大分则丙戌为小分
　　　　　若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即

　　　　　为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰

　　　　　申分角线亦即为倍小分今圆球半径
　　　　　与每面中心至边之垂线之比既同于
　　　　　全分与大分之比则圆球半径与每面
　　　　　分角线之比亦即同于全分与倍小分
　　　　　之比也既得辰丑垂线又得辰申分角
　　　　　线则用股弦求勾法求得丑申勾倍之
　　　　　得未申即圆球外切十二面体之每一
　　　　　边既得每一边又得每面中心至边之

　　　　　垂线则以辰丑每面中心至边之垂线
　　　　　与未申一边相乘折半五因之得丙午
　　　　　未申酉五等边形面积与寅辰圆球半
　　　　　径相乘三归之得寅丙午未申酉一五
　　　　　角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚
　　　　　十二面体之总积也如有十二面体之
　　　　　一边求内容圆球径则求得十二面体
　　　　　中心至每面中心之立垂线即内容圆
　　　　　球之半径也

　　　　　又用求球外各形之一边之定率比例

　　　　　以定率之圆球径一○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球外切十二面体之每一
　　　　　边四四九○二七九七为二率今所设
　　　　　之圆球径一尺二寸为三率求得四率
　　　　　五寸三分八釐八豪三丝三忽五微有
　　　　　馀即圆球外切十二面体之一边也
　　　　　又用求球外各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体

　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球外切十二面体积六九三七八六三
　　　　　六七为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为
　　　　　三率求得四率一尺一百九十八寸八
　　　　　百六十二分八百四十釐有馀即圆球
　　　　　外切十二面礼之积也
　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率

　　　　　圆球外切十二面体积一三二五○三

　　　　　四三五八为二率今所设之圆球径一
　　　　　尺二寸求得圆球积九百零四寸七百
　　　　　七十八分六百八十四釐有馀为三率
　　　　　求得四率一尺一百九十八寸八百六
　　　　　十二分八百四十二釐有馀即圆球外
　　　　　切十二面体之积也
设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边
　及体积几何

　　　　　法以理分中末线之全分一○○○○
　　　　　○○○○为一率小分三八一九六六
　　　　　○一为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸折半得六寸为三率求得四率二寸
　　　　　二分九釐一豪七丝九忽六微有馀为
　　　　　圆球外切二十面体每一面中心至边
　　　　　之垂线三因之得六寸八分七釐五豪
　　　　　三丝八忽八微有馀为每一面自一角
　　　　　至对边之中垂线自乘三归四因开平

　　　　　方得七寸九分三釐九豪零一忽四微

　　　　　有馀即圆球外切二十面体之每一边
　　　　　也乃以二十面体之每一边用等边三
　　　　　角形求面积法求得每一面积二十七
　　　　　寸二十九分一十九釐有馀与圆球半
　　　　　径六寸相乘三归之得五十四寸五百
　　　　　八十三分八百釐有馀为一三角尖体
　　　　　积二十因之得一尺九十一寸六百七
　　　　　十六分有馀即圆球外切二十面体之

　　　　　总积也盖圆球外切二十面体其圆球
　　　　　之外面皆切于各面之中心圆球之半
　　　　　径即外切二十面体中心至每一面中
　　　　　心之立垂线以圆球半径为理分中末
　　　　　线之全分则外切二十面体之每一面
　　　　　中心至边之垂线(即三等边形/内容圜半径)为小分
　　　　　每一面中心至角之分角线(即三等边/形外切圜)
　　　　　(半/径)为倍小分其每一面自一角至对边
　　　　　之中垂线为三小分如甲乙圆球径一

　　　　　尺二寸外切丙丁戊己庚二十面体按

　　　　　其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬
　　　　　癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆
　　　　　二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子
　　　　　丑皆为二十面体之每一面自一角至
　　　　　对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十
　　　　　面体中心至每边正中之垂线寅辰为
　　　　　二十面体中心至每面中心之立垂线
　　　　　即圆球半径辰丑为每面中心至边之

　　　　　垂线辰丙为每面中心至角之分角线
　　　　　今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙
　　　　　为倍小分丙丑即为三小分也何以知
　　　　　之寅卯既为二十面体中心至每边正
　　　　　中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为
　　　　　每边之半寅卯为全分则丙卯为大分
　　　　　(盖二十面体中心至每边正中之垂线/为全分则每边之半为大分见球内容)
　　　　　(二十面/体法)试依寅卯全分度作已卯寅丑
　　　　　正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已

　　　　　卯既为全分而丙卯又为大分则已丙

　　　　　即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾
　　　　　股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳
　　　　　股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾
　　　　　股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小
　　　　　分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中
　　　　　心至边之垂线之比即同于理分中末
　　　　　线之全分与小分之比也既得辰丑每
　　　　　面中心至边之垂线则以三因之即得

　　　　　丙丑每面自一角至对边之中垂线而
　　　　　每面自一角至对边之中垂线自乘方
　　　　　为每边自乘方之四分之三故以所得
　　　　　丙丑每面自一角至对边之中垂线自
　　　　　乘三归四因开平方即得午未为圆球
　　　　　外切二十面体之每一边既得午未一
　　　　　边与丙丑每面自一角至对边之中垂
　　　　　线相乘折半得丙午未一三角形面积
　　　　　与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙

　　　　　午未一三角尖体积二十因之即得丙

　　　　　丁戊己庚二十面体之总积也如有二
　　　　　十面体之每一边求内容圆球径则求
　　　　　得二十面体中心至每面中心之立垂
　　　　　线即内容圆球之半径也
　　　　　又用求球外各形之一边之定率比例
　　　　　以定率之圆球径○○○○○○○
　　　　　○为一率圆球外切二十面体之每一
　　　　　边六六一五八四五三为二率今所设

　　　　　之圆球径一尺二寸为三率求得四率
　　　　　七寸九分三釐九豪零一忽四微有馀
　　　　　即圆球外切二十面体之一边也
　　　　　又用求球外各形之体积之定率比例
　　　　　以定率之圆球径自乘再乘之正方体
　　　　　积一○○○○○○○○○为一率圆
　　　　　球外切二十面体积六三一七五六九
　　　　　九九为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为

　　　　　三率求得四率一尺九十一寸六百七

　　　　　　十六分零九十四釐有馀即圆球外切
　　　　　　二十面体之积也
　　　　　　又用圆球积之定率比例以定率之圆
　　　　　　球积一○○○○○○○○○为一率
　　　　　　圆球外切二十面体积一二○六五六
　　　　　　六九九一为二率今所设之圆球径一
　　　　　　尺二寸求得圆球积九百零四寸七百
　　　　　　七十八分六百八十四釐有馀为三率

　　　　　　求得四率一尺零九十一寸六百七十
　　　　　　六分零九十四釐有馀即圆球外切二
　　　　　　十面体之积也
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷二十八