钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十六
　　体部四
　　　曲线体

　　曲线体
设如长圆体径与高皆七尺问积几何
　　　　　法以长圆体径七尺用求圆面积法求
　　　　　得圆面积三十八尺四十八寸四十五
　　　　　分零九釐九十六豪二十五丝有馀以
　　　　　高七尺乘之得二百六十九尺三百九
　　　　　十一寸五百六十九分七百三十七釐
　　　　　有馀即长圆体之积也如图甲乙丙丁

　　　　　长圆体先以乙丙底径求得乙己丙戊
　　　　　圆面积而以庚辛高乘之即得甲乙丙
　　　　　丁长圆体之积也
　　　　　又法以长圆体径七尺用径求周法求
　　　　　得圆周二十一尺九寸九分一釐一豪
　　　　　四丝八忽五微五纤有馀与高七尺相
　　　　　乘得一百五十三尺九十三寸八十分
　　　　　三十九釐八十五豪有馀为长圆体之
　　　　　外面积以半径三尺五寸乘之得五百

　　　　　三十八尺七百八十三寸一百三十九

　　　　　分四百七十五釐有馀折半得二百六
　　　　　十九尺三百九十一寸五百六十九分
　　　　　七百三十七釐有馀即长圆体之积也
　　　　　如图甲乙丙丁长圆体先求得乙己丙
　　　　　戊圆周与甲乙高相乘得甲乙丙丁外
　　　　　面积为底以庚甲半径乘之得庚甲丙
　　　　　辛长方体为甲乙丙丁长圆体积之二
　　　　　倍盖因长圆体之外面积与长方体之

　　　　　底面积等而长圆体之半径又与长方
　　　　　体之高度等则长圆体为长方体之一
　　　　　半(见几何原本五/卷第二十四节)故折半即得甲乙丙
　　　　　丁长圆体之积也
　　　　　又法用长方体长圆体之定率比例以
　　　　　长方体积一○○○○○○○○○为
　　　　　一率长圆体积七八五三九八一六三
　　　　　为二率今所设之长圆体径七尺自乘
　　　　　以高七尺再乘得三百四十三尺为三

　　　　　率求得四率二百六十九尺三百九十

　　　　　一寸五百六十九分九百零九釐有馀
　　　　　即长圆体之积也此法盖以长方体与
　　　　　长圆体为比例定率之一○○○○○
　　　　　○○○○为长方体积而七八五三九
　　　　　八一六三为长方体同高同径之长圆
　　　　　体积故以径自乘高再乘得长方体积
　　　　　彼定率之长方体与长圆体之比即同
　　　　　于今所得之长方体积与所求之长圆

　　　　　体积之比也
设如尖圆体底径六尺中高六尺问积几何
　　　　　法以底径六尺用求圆面积法求得底
　　　　　面积二十八尺二十七寸四十三分三
　　　　　十三釐八十五豪有馀以高六尺乘之
　　　　　得一百六十九尺六百四十六寸三分
　　　　　一百釐有馀三归之得五十六尺五百
　　　　　四十八寸六百六十七分七百釐有馀
　　　　　即尖圆体之积也如图甲乙丙丁戊尖

　　　　　圆体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底

　　　　　面积以甲己高乘之得庚乙丁辛长圆
　　　　　体为甲乙丙丁戊尖圆体之三倍盖因
　　　　　上下面平行各体与平底尖体同底同
　　　　　高者其平底尖体皆得上下面平行体
　　　　　之三分之一(见几何原本五/卷第二十三节)故以所得
　　　　　庚乙丁辛长圆体积三归之即得甲乙
　　　　　丙丁戊尖圆体积也
　　　　　又法用尖方体尖圆体之定率比例以

　　　　　尖方体积一○○○○○○○○○为
　　　　　一率尖圆体积七八五三九八一六三
　　　　　为二率今所设之尖圆体底径六尺自
　　　　　乘以高六尺再乘得二百一十六尺三
　　　　　归之得七十二尺成尖方体积为三率
　　　　　求得四率五十六尺五百四十八寸六
　　　　　百六十七分七百三十六釐有馀即尖
　　　　　圆体之积也盖尖方体为长方体之三
　　　　　分之一而尖圆体为长圆体之三分之

　　　　　一故尖方体与尖圆体之比即同于长

　　　　　方体与长圆体之比也
　　　　　又捷法定率比例以长方体积一○○
　　　　　○○○○○○○为一率尖圆体积二
　　　　　六一七九九三八八为二率今所设之
　　　　　尖圆体底径六尺自乘以高六尺再乘
　　　　　得二百一十六尺为三率求得四率五
　　　　　十六尺五百四十八寸六百六十七分
　　　　　八百零八釐有馀即尖圆体之积也此

　　　　　法盖以长方体与尖圆体为比例长方
　　　　　体积为一○○○○○○○○○则长
　　　　　圆体积为七八五三九八一六三将此
　　　　　长圆体积三归之则得尖圆体积为二
　　　　　六一七九九三八八故定率之长方体
　　　　　与尖圆体之比即同于今底径自乘高
　　　　　再乘所得之长方体积与所求之尖圆
　　　　　体积之比也
设如尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五

　尺求中垂线之高几何

　　　　　法以底周二十二尺用周求径法求得
　　　　　底径七尺零二釐八豪一丝七忽有馀
　　　　　折半得半径三尺五寸零一釐四豪零
　　　　　八忽有馀为勾以自尖至底周之斜线
　　　　　五尺为弦求得股三尺五寸六分九釐
　　　　　三豪三丝三忽有馀即中垂线之高也
　　　　　如图甲乙丙丁戊尖圆体以乙丙丁戊
　　　　　底周求得乙丁底径折半得乙巳半径

　　　　　为勾以自尖至底周之甲乙斜线为弦
　　　　　求得甲巳股即中垂线之高也
设如圆球径二尺问外面积几何
　　　　　法以圆球径二尺用径求周法求得周
　　　　　六尺二寸八分三釐一豪八丝五忽有
　　　　　馀与径二尺相乘得一十二尺五十六
　　　　　寸六十三分七十釐有馀即圆球之外
　　　　　面积也如图甲乙丙丁圆球体以甲丙
　　　　　全径与甲乙丙丁全周相乘即得圆球

　　　　　体之外面积盖因圆面半径与球体半

　　　　　径等者其圆面积为球体外面积之四
　　　　　分之一而圆面半径与球体全径等者
　　　　　其圆面积与球体外面积等(见几何原/本十卷第)
　　　　　(八/节)故圆球全径与全周相乘而得圆球
　　　　　之外面积也
设如圆球径一尺二寸问积几何
　　　　　法以圆球径一尺二寸用径求圆面积
　　　　　法求得圆面积一尺一十三寸零九分

　　　　　七十三釐三十五豪四十丝有馀以圆
　　　　　球径一尺二寸乘之得一尺三百五十
　　　　　七寸一百六十八分零二十四釐有馀
　　　　　为长圆体积三归之得四百五十二寸
　　　　　三百八十九分三百四十一釐有馀倍
　　　　　之得九百零四寸七百七十八分六百
　　　　　八十二釐有馀即圆球之体积也如图
　　　　　甲乙丙丁圆球体求得戊己庚辛平圆
　　　　　面积以甲丙全径乘之得与圆球同径

　　　　　同高之壬戊庚癸长圆体此球体之乙

　　　　　丁全径与长圆体之戊庚底径度等而
　　　　　球体之甲丙全径又与长圆体之壬戊
　　　　　高度等则球体积为长圆体积之三分
　　　　　之二(见几何原本/十卷第九节)试以圆球同径之平
　　　　　圆面积为底圆球之半径为高作一甲
　　　　　乙丁尖圆体则其积为甲乙丁半球体
　　　　　积之半夫尖圆体与长圆体同底同高
　　　　　其比例为三分之一而尖圆体又为半

　　　　　球体之二分之一则半球体必为半长
　　　　　圆体之三分之二半球体既为半长圆
　　　　　体之三分之二则全球体必为全长圆
　　　　　体之三分之二可知故以所得壬戊庚
　　　　　癸长圆体积三归倍之即得甲乙丙丁
　　　　　圆球体积也
　　　　　又法以圆球径一尺二寸用求圆球之
　　　　　外面积法求得圆球之外面积四尺五
　　　　　十二寸三十八分九十三釐四十一豪

　　　　　六十丝有馀以半径六寸乘之得二尺

　　　　　七百一十四寸三百三十六分四十九
　　　　　釐有馀三归之得九百零四寸七百七
　　　　　十八分六百八十三釐有馀即圆球之
　　　　　体积也如图甲乙丙丁圆球体先求得
　　　　　外面积乃以此外面积为底戊丙半径
　　　　　为高作一戊己庚尖圆体其体积必与
　　　　　圆球体积等盖尖圆体之底面积与球
　　　　　体之外面积等尖圆体之高度与球体

　　　　　之半径等则其体积亦必等(见几何原/本五卷第)
　　　　　(二十/五节)故以戊丙半径与外面积相乘三
　　　　　归之即如得戊己庚尖图体积而为甲
　　　　　乙丙丁圆球体积也
　　　　　又法以方边球径相等方积球积不同
　　　　　之定率比例以方积一○○○○○○
　　　　　○○○为一率球积五二三五九八七
　　　　　七五为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为

　　　　　三率求得四率九百零四寸七百七十

　　　　　八分六百八十三釐有馀即圆球之体
　　　　　积也此法盖因圆球径与正方边相等
　　　　　而圆球积与正方积不同故以圆球径
　　　　　自乘再乘作正方积为体与体之比例
　　　　　如子丑圆球径为一○○○则其自乘
　　　　　再乘之寅卯辰巳正方体积为一○○
　　　　　○○○○○○○而圆球径一○○○
　　　　　所得之子午丑未圆球体积为五二三

　　　　　五九八七七五故以子丑圆球径一○
　　　　　○○自乘再乘之寅卯辰巳正方体积
　　　　　一○○○○○○○○○与子丑圆球
　　　　　径所得之子午丑未圆球体积五二三
　　　　　五九八七七五之比即同于今所设之
　　　　　甲丙圆球径一尺二寸自乘再乘之戊
　　　　　己庚辛正方体积一尺七百二十八寸
　　　　　与今所得之甲乙丙丁圆球体积九百
　　　　　零四寸七百七十八分六百八十三釐

　　　　　有馀之比也

　　　　　又法用球积方积相等球径方边不同
　　　　　之定率比例以圆球径一○○○○○
　　　　　○○○为一率正方边八○五九九五
　　　　　九七为二率今所设之圆球径一尺二
　　　　　寸为三率求得四率九寸六分七釐一
　　　　　豪九丝五忽一微六纤有馀为与圆球
　　　　　积相等之正方体每边之数自乘再乘
　　　　　得九百零四寸七百七十八分六百四

　　　　　十九釐有馀即圆球之体积也此法盖
　　　　　以圆球积与正方积设为相等使圆球
　　　　　径与正方边不同先定为线与线之比
　　　　　例既得线而后自乘再乘之为体也如
　　　　　子丑圆球径一○○○○○○○○其
　　　　　所得之体积开立方则得八○五九九
　　　　　五九七即为寅卯辰巳正方体之每一
　　　　　边是子午丑未圆球积与寅卯辰巳正
　　　　　方积相等故子丑圆球径一○○○○

　　　　　○○○○与寅卯正方边八○五九九

　　　　　五九七之比即同于今所设之甲丙圆
　　　　　球径一尺二寸与今所得之戊巳正方
　　　　　边九寸六分七釐一豪九丝五忽一微
　　　　　六纤有馀之比既得戊己正方边自乘
　　　　　再乘得戊己庚辛正方体积即与甲乙
　　　　　丙丁圆球体积为相等也
　　　　　又法以二十一分为一率十一分为二
　　　　　率今所设之圆球径一尺二寸自乘再

　　　　　乘得一尺七百二十八寸为三率求得
　　　　　四率九百零五寸一百四十二分八百
　　　　　五十七釐有馀为圆球之体积也盖以
　　　　　正方体积一○○○○○○○○○圆
　　　　　球体积五二三五九八七七五之定率
　　　　　约之则正方体积二十一而圆球体积
　　　　　得一○九九有馀进而为十一则圆球
　　　　　体积稍大故今所得之圆球体积亦稍
　　　　　大也

设如圆球积六尺问径几何

　　　　　法用球径方边相等球积方积不同之
　　　　　定率比例以球积一○○○○○○○
　　　　　○○为一率方积一九○九八五九三
　　　　　一七为二率今所设之圆球积六尺为
　　　　　三率求得四率十一尺四百五十九寸
　　　　　一百五十五分九百零二釐有馀为与
　　　　　圆球径相等之正方边之正方体积开
　　　　　立方得二尺二寸五分四釐五豪零二

　　　　　忽有馀即圆球之径也盖圆球积为五
　　　　　二三五九八七七五则正方积为一○
　　　　　○○○○○○○○若圆球积为一○
　　　　　○○○○○○○○则正方积为一九
　　　　　○九八五九三一七其比例仍同故以
　　　　　圆球积一○○○○○○○○○为一
　　　　　率者即如以圆球积五二三五九八七
　　　　　七五为一率而以正方积一九○九八
　　　　　五九三一七为二率者即如以正方积

　　　　　一○○○○○○○○○为二率也

　　　　　又法用球积方积相等球径方边不同
　　　　　之定率比例以方边一○○○○○○
　　　　　○○为一率球径一二四○七○○九
　　　　　八为二率今所设之圆球积六尺开立
　　　　　方得一尺八寸一分七釐一豪二丝有
　　　　　馀为三率求得四率二尺二寸五分四
　　　　　釐五豪零二忽有馀即圆球之径也此
　　　　　法亦以圆球积与正方积设为相等使

　　　　　圆球径与正方边不同故以圆球积开
　　　　　立方得立方边为线与线之比例盖方
　　　　　边为八○五九九五九七则球径为一
　　　　　○○○○○○○○若方边为一○○
　　　　　○○○○○○则球径为一二四○七
　　　　　○○九八其比例仍同故以方边一○
　　　　　○○○○○○○为一率者即如以方
　　　　　边八○五九九五九七为一率而以球
　　　　　径一二四○七○○九八为二率者即

　　　　　如以球径一○○○○○○○○为二

　　　　　率也
设如撱圆体大径六寸小径四寸问积几何
　　　　　法以小径四寸用径求圆面积法求得
　　　　　圆面积一十二寸五十六分六十三釐
　　　　　七十豪六十丝有馀以大径六寸乘之
　　　　　得七十五寸三百九十八分二百二十
　　　　　三釐有馀为长圆体积三归之得二十
　　　　　五寸一百三十二分七百四十一釐有

　　　　　馀倍之得五十寸二百六十五分四百
　　　　　八十二釐有馀即撱圆体之积也如图
　　　　　甲乙丙丁撱圆体以乙丁小径求得戊
　　　　　己庚辛平圆面积再以甲丙大径乘之
　　　　　得壬戊庚癸长圆体此撱圆体积即为
　　　　　长圆体积之三分之二亦如圆球体积
　　　　　为同径同高之长圆体积之三分之二
　　　　　故以所得壬戊庚癸长圆体积三归倍
　　　　　之即得甲乙丙丁撱圆体积也

　　　　　又法以小径四寸自乘得十六寸以大

　　　　　径六寸再乘得九十六寸为长方体积
　　　　　乃用方积球积不同方边球径相等之
　　　　　定率比例以方积一○○○○○○○
　　　　　○○为一率球积五二三五九八七七
　　　　　五为二率今所得之长方体积九十六
　　　　　寸为三率求得四率五十寸二百六十
　　　　　五分四百八十二釐有馀即撱圆体之
　　　　　积也盖函撱圆之长方体与所函撱圆

　　　　　体之比同于函球之正方体与所函球
　　　　　体之比(见几何原本十/卷第十四节)如甲乙丙丁撱
　　　　　圆体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以
　　　　　乙丁小径自乘又以甲丙大径再乘遂
　　　　　成戊己庚辛长方体形此长方体积与
　　　　　撱圆体积之比即同于正方体积与圆
　　　　　球体积之比故以定率之正方体积为
　　　　　一率圆球体积为二率今所得之长方
　　　　　体积为三率求得四率为撱圆体之积

　　　　　也

设如撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小
　径各几何
　　　　　法用方积球积不同方边球径相等之
　　　　　定率比例以球积一○○○○○○○
　　　　　○○为一率方积一九○九八五九三
　　　　　一七为二率今所设之撱圆体积五十
　　　　　寸为三率求得四率九十五寸四百九
　　　　　十二分九百六十五釐八百五十豪有

　　　　　馀为长方体积乃以大径比小径多二
　　　　　寸为长与阔之较用带一纵开立方法
　　　　　算之得阔三寸九分九釐二豪有馀即
　　　　　撱圆体之小径加大径比小径多二寸
　　　　　得五寸九分九釐二豪有馀即撱圆体
　　　　　之大径也如图甲乙丙丁撱圆体用球
　　　　　积与方积之定率比例即成戊己庚辛
　　　　　长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚
　　　　　阔即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径

　　　　　多二寸即长阔之较故用带一纵开立

　　　　　方法算之得阔为撱圆体之小径得长
　　　　　为撱圆体之大径也
设如上下不等圆面体上径四尺下径六尺高八尺
　问积几何
　　　　　法以上径四尺用径求圆面积法求得
　　　　　上圆面积一十二尺五十六寸六十三
　　　　　分七十釐六十豪有馀又以下径六尺
　　　　　用径求圆面积法求得下圆面积二十

　　　　　八尺二十七寸四十三分三十三釐八
　　　　　十五豪有馀又以上径四尺与下径六
　　　　　尺相乘得二十四尺开方得中径四尺
　　　　　八寸九分八釐九豪七丝九忽四微八
　　　　　纤有馀用径求圆面积法求得中圆面
　　　　　积一十八尺八十四寸九十五分五十
　　　　　五釐八十五豪有馀三数相并得五十
　　　　　九尺六十九寸二分六十釐三十豪有
　　　　　馀与高八尺相乘得四百七十七尺五

　　　　　百二十二寸八十二分四百釐有馀三

　　　　　归之得一百五十九尺一百七十四寸
　　　　　二十七分四百六十六釐有馀即上下
　　　　　不等圆面体之积也盖上下不等圆面
　　　　　体立法与上下不等正方体同理但上
　　　　　下不等正方体上下俱系方面故求得
　　　　　上中下三方面积相并与高相乘三归
　　　　　之而得体积此上下俱系圆面故求得
　　　　　上中下三圆面积相并与高相乘三归

　　　　　之而得体积也
　　　　　又法以上径四尺与下径六尺相减馀
　　　　　二尺折半得一尺为一率高八尺为二
　　　　　率下径六尺折半得三尺为三率求得
　　　　　四率二十四尺为上下不等圆面体上
　　　　　补成一尖圆体之共高乃以下径六尺
　　　　　用径求圆面积法求得圆面积二十八
　　　　　尺二十七寸四十三分三十三釐八十
　　　　　五豪有馀与所得共高二十四尺相乘

　　　　　得六百七十八尺五百八十四寸一十

　　　　　二分四百釐有馀三归之得二百二十
　　　　　六尺一百九十四寸六百七十分八百
　　　　　釐有馀为大尖圆体之积又以高八尺
　　　　　与共高二十四尺相减馀十六尺为上
　　　　　尖圆体之高以上径四尺用径求圆面
　　　　　积法求得圆面积一十二尺五十六寸
　　　　　六十三分七十釐六十豪有馀与上高
　　　　　十六尺相乘得二百零一尺六十一寸

　　　　　九百二十九分六百釐有馀三归之得
　　　　　六十七尺二十寸六百四十三分二百
　　　　　釐有馀为上小尖圆体之积与大尖圆
　　　　　体积二百二十六尺一百九十四寸六
　　　　　百七十分八百釐有馀相减馀一百五
　　　　　十九尺一百七十四寸二十七分六百
　　　　　釐有馀即上下不等圆面体之积也如
　　　　　图甲乙丙丁上下不等圆面体如戊甲
　　　　　丁小尖圆体遂成戊乙丙大尖圆体故

　　　　　于戊乙丙大尖圆体积内减去戊甲丁

　　　　　小尖圆体积而得甲乙丙丁上下不等
　　　　　圆面体之积也
　　　　　又法用上下不等正方体与上下不等
　　　　　圆面体之定率比例以正方体积一○
　　　　　○○○○○○○○为一率圆面体积
　　　　　七八五三九八一六三为二率上径四
　　　　　尺自乘下径六尺自乘上径四尺与下
　　　　　径六尺相乘三数相并以高八尺乘之

　　　　　得六百零八尺三归之得二百零二尺
　　　　　六百六十六寸六百六十六分六百六
　　　　　十六釐有馀成上下不等正方体积为
　　　　　三率求得四率一百五十九尺一百七
　　　　　十四寸二十七分七百零一釐有馀即
　　　　　上下不等圆面体之积也
　　　　　又捷法定率比例以一○○○○○○
　　　　　○○○为一率二六一七九九三八八
　　　　　为二率上径四尺相乘下径六尺自乘

　　　　　上径四尺与下径六尺相乘三数相并

　　　　　以高八尺乘之得六百零八尺为三率
　　　　　求得四率一百五十九尺一百七十四
　　　　　寸二十七分九百釐有馀即上下不等
　　　　　圆面体之积也此法盖以三上下不等
　　　　　正方体与一上下不等圆面体为比例
　　　　　夫一上下不等正方体积为一○○○
　　　　　○○○○○○则一上下不等圆面体
　　　　　积为七八五三九八一六三若三上下

　　　　　不等正方体积为一○○○○○○○
　　　　　○○则一上下不等圆面体积为二六
　　　　　一七九九三八八故以上径自乘下径
　　　　　自乘上下径相乘三数相并以高乘之
　　　　　所得为三上下不等正方体积彼定率
　　　　　之三上下不等正方体与一上下不等
　　　　　圆面体之比即同于今所得之三上下
　　　　　不等正方体积与所求之一上下不等
　　　　　圆面体积之比也

设如上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下

　大径八尺小径六尺高十尺问积几何
　　　　　法以上大径四尺与上小径三尺相乘
　　　　　得一十二尺以下大径八尺与下小径
　　　　　六尺相乘得四十八尺又以上大径四
　　　　　尺与下小径六尺相乘下大径八尺与
　　　　　上小径三尺相乘共得四十八尺折半
　　　　　得二十四尺三数相并得八十四尺乃
　　　　　用方积圆积之定率比例以方积一○

　　　　　○○○○○○○○为一率圆积七八
　　　　　五三九八一六三为二率三数相并之
　　　　　八十四尺为三率求得四率六十五尺
　　　　　九十七寸三十四分四十五釐六十九
　　　　　豪有馀与高十尺相乘得六百五十九
　　　　　尺七百三十四寸四百五十六分九百
　　　　　釐有馀三归之得二百一十九尺九百
　　　　　一十一寸四百八十五分六百三十三
　　　　　釐有馀即上下不等撱圆面体之积也

　　　　　盖上下不等撱圆面体立法与上下不

　　　　　等圆面体同但上下不等圆面体上下
　　　　　俱系圆面故求得上中下三圆面积相
　　　　　并与高相乘三归之而得体积此上下
　　　　　俱系撱圆面故必求得上中下三长方
　　　　　面积相并用定率比例得三撱圆面积
　　　　　乃与高相乘三归之而得体积也
　　　　　又法以上大径四尺与下大径八尺相
　　　　　减馀四尺折半得二尺为一率高十尺

　　　　　为二率下大径八尺折半得四尺为三
　　　　　率求得四率二十尺为上下不等撱圆
　　　　　面体上补成一尖撱圆体之共高乃以
　　　　　下大径八尺小径六尺用求撱圆面积
　　　　　法求得下撱圆面积三十七尺六十九
　　　　　寸九十一分一十一釐六十八豪有馀
　　　　　与所得共高二十尺相乘得七百五十
　　　　　三尺九百八十二寸二百三十三分六
　　　　　百釐有馀三归之得二百五十一尺三

　　　　　百二十七寸四百一十一分三百釐有

　　　　　馀为大尖撱圆面体之积又以高十尺
　　　　　与共高二十尺相减馀十尺为上小尖
　　　　　撱圆面体之高以上大径四尺小径三
　　　　　尺用求撱圆面积法求得上撱圆面积
　　　　　九尺四十二寸四十七分七十七釐九
　　　　　十二豪有馀与上高十尺相乘得九十
　　　　　四尺二百四十七寸七百七十九分二
　　　　　百釐有馀三归之得三十一尺四百一

　　　　　十五寸九百二十六分四百釐有馀为
　　　　　上小尖撱圆面体积与大尖撱圆面体
　　　　　积二百五十一尺三百二十七寸四百
　　　　　一十一分三百釐有馀相减馀二百一
　　　　　十九尺九百一十一寸四百八十四分
　　　　　八百釐有馀即上下不等撱圆面体积
　　　　　也如图甲乙丙丁上下不等撱圆面体
　　　　　如戊甲丁小尖撱圆面积遂成戊乙丙
　　　　　大尖撱圆面体故于戊乙丙大尖撱圆

　　　　　面体内减戊甲丁小尖撱圆面体而得

　　　　　甲乙丙丁上下不等撱圆面体之积也
　　　　　又法用上下不等长方体与上下不等
　　　　　撱圆面体之定率比例以长方体积一
　　　　　○○○○○○○○○为一率长圆体
　　　　　积七八五三九八一六三为二率以上
　　　　　大径四尺倍之加下大径八尺共一十
　　　　　六尺与上小径三尺相乘得四十八尺
　　　　　以下大径八尺倍之加上大径四尺共

　　　　　二十尺与下小径六尺相乘得一百二
　　　　　十尺两数相并得一百六十八尺以高
　　　　　十尺乘之得一千六百八十尺六归之
　　　　　得二百八十尺成上下不等长方体积
　　　　　为三率求得四率二百一十九尺九百
　　　　　一十一寸四百八十五分六百四十釐
　　　　　有馀即上下不等撱圆面体之积也盖
　　　　　长方面积与撱圆面积之比同于方面
　　　　　积与圆面积之比故上下不等长方体

　　　　　与上下不等撱圆面体之比即同于长

　　　　　方体与长圆体之比也
　　　　　又捷法定率比例以一○○○○○○
　　　　　○○○为一率一三○八九九六九四
　　　　　为二率以上大径四尺倍之加下大径
　　　　　八尺共一十六尺与上小径三尺相乘
　　　　　得四十八尺以下大径八尺倍之加上
　　　　　大径四尺共二十尺与下小径六尺相
　　　　　乘得一百二十尺两数相并得一百六

　　　　　十八尺以高十尺乘之得一千六百八
　　　　　十尺为三率求得四率二百一十九尺
　　　　　九百一十一寸四百八十五分九百二
　　　　　十釐有馀即上下不等撱圆面体之积
　　　　　也此法盖以六上下不等长方体与一
　　　　　上下不等撱圆面体为比例夫一上下
　　　　　不等长方体积为一○○○○○○○
　　　　　○○则一上下不等撱圆面体积为七
　　　　　八五三九八一六三若六上下不等长

　　　　　方体积为一○○○○○○○○○则

　　　　　一上下不等撱圆面体积为一三○八
　　　　　九九六九四故以上大径倍之加下大
　　　　　径与上小径相乘以下大径倍之加上
　　　　　大径与下小径相乘两数相并以高乘
　　　　　之所得为六上下不等长方体积彼定
　　　　　率之六上下不等长方体积与一上下
　　　　　不等撱圆面体积之比即同于今所得
　　　　　之六上下不等长方体积与所求之一

　　　　　上下不等撱圆面体积之比也
设如截球体一段高二寸底径九寸六分问积几何
　　　　　法以高二寸为首率底径九寸六分折
　　　　　半得四寸八分为中率求得末率一尺
　　　　　一寸五分二釐为圆球之截径加高二
　　　　　寸得一尺三寸五分二釐为圆球之全
　　　　　径折半得六寸七分六釐为圆球之半
　　　　　径又以高二寸为勾底径九寸六分折
　　　　　半得四寸八分为股求得弦五寸二分

　　　　　作平圆半径用求圆面积法求得平圆

　　　　　面积八十四寸九十四分八十六釐有
　　　　　馀即为截球体一段之外面积与圆球
　　　　　半径六寸七分六釐相乘得五百七十
　　　　　四寸二百五十二分五百三十六釐有
　　　　　馀三归之得一百九十一寸四百一十
　　　　　七分五百一十二釐有馀为自圆球中
　　　　　心所分球面尖圆体积又以截球体底
　　　　　径九寸六分用求平圆面积法求得截

　　　　　球体之底面积七十二寸三十八分二
　　　　　十二釐有馀于圆球半径六寸七分六
　　　　　釐内减去截球体之高二寸馀四寸七
　　　　　分六釐与截球体之底面积七十二寸
　　　　　三十八分二十二釐有馀相乘得三百
　　　　　四十四寸五百三十九分二百七十二
　　　　　釐有馀三归之得一百一十四寸八百
　　　　　四十六分四百二十四釐有馀为自圆
　　　　　球中心至截球体底径所分平面尖圆

　　　　　体积与球面尖圆体积一百九十一寸

　　　　　四百一十七分五百一十二釐有馀相
　　　　　减馀七十六寸五百七十一分八十八
　　　　　釐有馀即截球体一段之积也如图甲
　　　　　乙丙截球体一段其乙丙底径即如弧
　　　　　矢形之弦长其甲丁高即如弧矢形之
　　　　　矢阔故甲丁为首率乙丙底径折半得
　　　　　乙丁为中率求得丁戊末率为截球径
　　　　　(见各面形弦/矢求圆径法)与甲丁高相加得甲戊为

　　　　　圆球全径折半得甲巳为圆球半径又
　　　　　以甲丁为勾乙丁为股求得甲乙弦乃
　　　　　以甲乙弦为半径求得庚乙丙平圆面
　　　　　积即与甲乙丙截球体一段之外面积
　　　　　等盖圆面半径与球体半径等者其圆
　　　　　面积为球体外面积之四分之一而圆
　　　　　面半径与球体全径等者其圆面积与
　　　　　球体外面积等(见几何原本/十卷第八节)故甲辛戊
　　　　　壬圆球体其外面积为同径子丑寅卯

　　　　　平圆面积之四倍若甲辛壬半球体其

　　　　　外面积必为子丑寅卯平圆面积之二
　　　　　倍然则甲己半径求得平圆面积又辛
　　　　　己半径亦求得平圆面积两面积相并
　　　　　必与甲辛壬半球体之外面积等矣今
　　　　　甲乙丙截球体一段若以甲丁为半径
　　　　　求得平圆面积又以乙丁为半径求得
　　　　　平圆面积两面积相并亦必与甲乙丙
　　　　　截球体一段之外面积等而甲乙弦自

　　　　　乘之正方与甲丁勾自乘之正方乙丁
　　　　　股自乘之正方相并之积等则甲乙弦
　　　　　为半径所得之圆面积亦必与甲丁勾
　　　　　为半径所得之圆面积乙丁股为半径
　　　　　所得之圆面积相并之积等故以甲乙
　　　　　弦为半径所得之庚乙丙平圆面积即
　　　　　与甲乙丙截球体一段之外面积相等
　　　　　也既得截球体一段之外面积与甲巳
　　　　　圆球半径相乘三归之得己丙甲乙球

　　　　　面尖圆体积又以乙丙截球体底径求

　　　　　得乙丙底面积与丁巳截半径相乘三
　　　　　归之得己丙丁乙平面尖圆体积与己
　　　　　丙甲乙球面尖圆体积相减所馀即甲
　　　　　乙丙截球体一段之积也
　　　　　又法先求得圆球径一尺三寸五分二
　　　　　釐用径求周法求得圆周四尺二寸四
　　　　　分七釐四豪三丝三忽有馀与截球体
　　　　　一段之高二寸相乘得八十四寸九十

　　　　　四分八十六釐有馀即为截球一段之
　　　　　外面积与圆球半径六寸七分六釐相
　　　　　乘得五百七十四寸二百五十二分五
　　　　　百三十六釐三归之得一百九十一寸
　　　　　四百一十七分五百一十二釐有馀为
　　　　　自圆球中心所分球面尖圆体积又以
　　　　　截球体底径九寸六分用求平圆面积
　　　　　法求得截球体之底面积七十二寸三
　　　　　十八分二十二釐有馀于圆球半径六

　　　　　寸七分六釐内减去截球体之高二寸

　　　　　馀四寸七分六釐与截球体之底面积
　　　　　七十二寸三十八分二十二釐有馀相
　　　　　乘得三百四十四寸五百三十九分二
　　　　　百七十二釐有馀三归之得一百一十
　　　　　四寸八百四十六分四百二十四釐有
　　　　　馀为自圆球中心至截球径所分平面
　　　　　尖圆体积与球面尖圆体积一百九十
　　　　　一寸四百一十七分五百一十二釐有

　　　　　馀相减馀七十六寸五百七十一分八
　　　　　十八釐有馀即截球体一段之积也如
　　　　　图甲乙丙截球体一段先求得甲戊全
　　　　　径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与
　　　　　甲丁高相乘得庚子丑辛截长圆体一
　　　　　段之外面积与甲乙丙截球体一段之
　　　　　外面积等盖球体全径与长圆体底径
　　　　　高度相等者其相当每段之外面积皆
　　　　　相等(见几何原本十/卷第十一节)既得甲乙丙截球

　　　　　体一段之外面积则与甲巳半径相乘

　　　　　三归之而得己丙甲乙球面尖圆体积
　　　　　又以乙丙截球体底面积与丁己截半
　　　　　径相乘三归之而得己丙丁乙平面尖
　　　　　圆体积与己丙甲乙球面尖圆体积相
　　　　　减馀即得甲乙丙截球体一段之积也
设如空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几
　何
　　　　　法用球径方边相等球积方积不同之

　　　　　定率比例以球积一○○○○○○○
　　　　　○○为一率方积一九○九八五九三
　　　　　一七为二率今所设之空心圆球积二
　　　　　千寸为三率求得四率三尺八百一十
　　　　　九寸七百一十八分六百三十四釐有
　　　　　馀为空心正方体积乃用算空心正方
　　　　　体法以厚三寸自乘再乘得二十七寸
　　　　　八因之得二百一十六寸与所得空心
　　　　　正方体积三尺八百一十九寸七百一

　　　　　十八分六百三十四釐相减馀三尺六

　　　　　百零三寸七百一十八分六百三十四
　　　　　釐有馀六归之得六百寸六百一十九
　　　　　分七百七十二釐有馀用厚三寸除之
　　　　　得三尺零二十分六十五釐九十豪为
　　　　　内径与外径相乘长方面积乃以厚三
　　　　　寸倍之得六寸为长阔之较用带纵较
　　　　　数开平方法算之得阔一尺一寸四分
　　　　　六釐三豪九丝七忽有馀即空心圆球

　　　　　内径得长一尺七寸四分六釐三豪九
　　　　　丝七忽有馀即空心圆球外径也此法
　　　　　盖以空心圆球体与空心正方体为比
　　　　　例即如用球积与方积定率为比例也
　　　　　如图甲乙丙丁戊己庚辛空心圆球体
　　　　　其甲丙外径与壬癸外方边等其戊庚
　　　　　内径与寅卯内方边等是以甲乙丙丁
　　　　　大球体与壬癸子丑大正方体为比戊
　　　　　己庚辛小球体与寅卯辰已小正方体

　　　　　为比而空心圆球体与空心正方体之

　　　　　比即如球体积与方体积之比也既得
　　　　　空心正方体积则用算空心正方体法
　　　　　以壬酉厚自乘再乘八因之得午巳未
　　　　　申类八小隅体与空心正方体相减则
　　　　　馀空心正方体之六面酉戌坎未类六
　　　　　长方扁体六归之得酉戌坎未一长方
　　　　　扁体用厚三寸除之得酉戌亥乾一长
　　　　　方面积其酉戌阔与戊庚等即内径其

　　　　　酉乾长与壬丑等即外径其酉寅巳乾
　　　　　皆与壬酉厚度等酉寅巳乾并之即长
　　　　　阔之较故以厚三寸倍之为带纵求得
　　　　　阔为内径长为外径也
　　　　　又法用定率比例求得空心正方体积
　　　　　以厚三寸倍之得六寸为内方边与外
　　　　　方边之较自乘再乘得二百一十六寸
　　　　　与所得空心正方体积三尺八百一十
　　　　　九寸七百一十八分六百三十四釐有

　　　　　馀相减馀三尺六百零三寸七百一十

　　　　　八分六百三十四釐有馀三归之得一
　　　　　尺二百零一寸二百三十九分五百四
　　　　　十四釐有馀以内外方边之较六寸除
　　　　　之得二尺零二十分六十五釐九十豪
　　　　　有馀为长方面积以内外方边之较六
　　　　　寸为长阔之较用带纵较数开平方法
　　　　　算之得阔一尺一寸四分六釐三豪九
　　　　　丝七忽有馀即空心圆球内径得长一

　　　　　尺七寸四分六釐三豪九丝七忽有馀
　　　　　即空心圆球外径也如图甲乙丙丁戊
　　　　　己庚辛空心圆球体用定率比例而得
　　　　　壬癸子丑寅卯辰巳空心正方体将寅
　　　　　卯辰巳空心小正方形移置癸角之一
　　　　　隅则空心正方体变为壬寅己辰子申
　　　　　未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚
　　　　　为甲丙外径与戊庚内径之较依开立
　　　　　方法分之得酉戌亥三方廉体乾坎艮

　　　　　三长廉体震一小隅体以壬寅厚度自

　　　　　乘再乘得震一小隅体与空心正方体
　　　　　积相减馀三方廉体三长廉体三归之
　　　　　则馀酉一方廉体乾一长廉体共成巽
　　　　　壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬
　　　　　寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方
　　　　　体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长阔
　　　　　之较故用带纵较数开平方法算之得
　　　　　卯辰阔与寅癸等即空心圆球之内径

　　　　　以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等
　　　　　即空心圆球之外径也
设如圆窖一座周二十四尺高十尺问盛米几何
　　　　　法以周二十四尺用圆周求面积法求
　　　　　得圆面积四十五尺八十三寸六十六
　　　　　分二十二釐有馀与高一丈相乘得四
　　　　　百五十八尺三百六十六寸二百二十
　　　　　分有馀为圆窖之积数乃以米一石积
　　　　　数定率二千五百寸为一率一石为二

　　　　　率圆窖体积四百五十八尺三百六十

　　　　　六寸二百二十分有馀为三率求得四
　　　　　率一百八十三石三斗四升六合四勺
　　　　　有馀即所盛之米数也此法与求长圆
　　　　　体积之法同如甲乙丙丁长圆窖以甲
　　　　　戊丁巳圆周求得平圆面积用甲乙高
　　　　　乘之即得甲乙丙丁长圆体积既得体
　　　　　积则以一石积数二千五百寸与一石
　　　　　之比同于今所得之体积与今所求之

　　　　　米数之比也
设如圆窖一座盛米一百六十石高十尺问周径各
　几何
　　　　　法以米一石为一率一石积数定率二
　　　　　千五百寸为二率盛米一百六十石为
　　　　　三率求得四率四百尺为圆窖之积数
　　　　　以高十尺除之得四十尺为圆窖之面
　　　　　积乃用圆积方积之定率比例以圆积
　　　　　一○○○○○○○○为一率方积一

　　　　　二七三二三九五四为二率今所得之

　　　　　圆窖面积四十尺为三率求得四率五
　　　　　十尺九十二寸九十五分八十一釐六
　　　　　十豪有馀开平方得七尺一寸三分六
　　　　　釐四豪九丝有馀即圆窖之径数再用
　　　　　径求周法求得周二十二尺四寸一分
　　　　　九釐九豪四丝有馀即圆窖之周数也
设如积米一堆高五尺底周十四尺问米数几何
　　　　　法以底周十四尺用圆周求面积法求

　　　　　得圆面积一十五尺五十九寸七十一
　　　　　分八十四釐一十二豪有馀为尖圆堆
　　　　　之底面积与高五尺相乘得七十七尺
　　　　　九百八十五寸九百二十分六百釐有
　　　　　馀三归之得二十五尺九百九十五寸
　　　　　三百零六分八百二十釐有馀为尖圆
　　　　　堆之积数乃以米一石积数定率二千
　　　　　五百寸为一率一石为二率今所得之
　　　　　尖圆堆之积数二十五尺九百九十五

　　　　　寸三百零六分八百二十釐有馀为三

　　　　　率求得四率一十石零三升九合八勺
　　　　　一抄有馀即所堆之米数也此法与尖
　　　　　圆体求积之法同既得尖圆堆之积而
　　　　　以一石之积数定率为比例即得米数
　　　　　也
设如倚壁积米一堆高四尺底周六尺问米数几何
　　　　　法以底周六尺为半周倍之得一十二
　　　　　尺为全周用圆周求面积法求得圆面

　　　　　积一十一尺四十五寸九十一分五十
　　　　　五釐有馀折半得五尺七十二寸九十
　　　　　五分七十七釐有馀为倚壁尖圆堆之
　　　　　底面积以高四尺乘之得二十二尺九
　　　　　百一十八寸三百零八分有馀三归之
　　　　　得七尺六百三十九寸四百三十六分
　　　　　有馀为倚壁尖圆堆之积数乃以米一
　　　　　石积数定率二千五百寸为一率一石
　　　　　为二率今所得之倚壁尖圆堆之积数

　　　　　七尺六百三十九寸四百三十六分有

　　　　　馀为三率求得四率三石零五升五合
　　　　　七勺七抄有馀即倚壁所堆之米数也
　　　　　盖倚壁尖圆堆即尖圆体之一半故求
　　　　　得平圆面积折半与高数相乘又以三
　　　　　归之得倚壁尖圆堆之积数而以一石
　　　　　积数为比例即得米数也
设如倚壁内角积米一堆高五尺周一十二尺问米
　数几何

　　　　　法以周一十二尺四因之得四十八尺
　　　　　为全周用圆周求面积法求得圆面积
　　　　　一百八十三尺三十四寸六十四分九
　　　　　十釐有馀四归之得四十五尺八十三
　　　　　寸六十六分二十二釐有馀为倚壁内
　　　　　角尖圆堆之底面积与高五尺相乘得
　　　　　二百二十九尺一百八十三寸一百一
　　　　　十分三归之得七十六尺三百九十四
　　　　　寸三百七十分为倚壁内角尖圆堆之

　　　　　积数乃以米一石积数定率二千五百

　　　　　寸为一率一石为二率今所得之倚壁
　　　　　内角尖圆堆之积数七十六尺三百九
　　　　　十四寸三百七十分为三率求得四率
　　　　　三十石零五斗五升七合七勺有馀即
　　　　　倚壁内角所堆之米数也盖倚壁内角
　　　　　尖圆堆即尖圆体之四分之一故求得
　　　　　平圆面积四归之与高数相乘又以三
　　　　　归之得倚壁内角尖圆堆之积数而以

　　　　　一石积数为比例即得米数也
设如倚壁外角积米一堆高六尺底周三十三尺问
　米数几何
　　　　　法以周三十三尺三归四因得四十四
　　　　　尺为全周用圆周求面积法求得圆面
　　　　　积一百五十四尺六寸一十九分八十
　　　　　一釐九十二豪有馀四归三因得一百
　　　　　一十五尺五十四寸六十四分八十八
　　　　　釐四十四豪有馀为倚壁外角尖圆堆

　　　　　之底面积以高六尺乘之得六百九十

　　　　　　三尺二百七十八寸九百一十八分六
　　　　　　百四十釐有馀三归之得二百三十一
　　　　　　尺九十二寸九百七十二分八百八十
　　　　　　釐有馀即倚壁外角尖圆堆之积数乃
　　　　　　以米一石积数定率二千五百寸为一
　　　　　　率一石为二率今所得之倚壁外角尖
　　　　　　圆堆之积数二百三十一尺九十二寸
　　　　　　九百七十二分八百八十釐有馀为三

　　　　　　率求得四率九十二石四斗三升七合
　　　　　　一勺八抄有馀即倚壁外角所堆之米
　　　　　　数也盖倚壁外角尖圆堆即尖圆体四
　　　　　　分之三故求得平圆面积四归三因与
　　　　　　高数相乘又以三归之得倚壁外角尖
　　　　　　圆堆之积数而以一石积数为比例即
　　　　　　得米数也
　
　

御制数理精蕴下编卷二十六