钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十四
　　体部二
　　　带纵较数立方
　　　带纵和数立方(勾股法四条附/)

　　带纵较数立方
带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟
长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多
者则为带两纵相同之立方至于长与阔与高皆不
等者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立
方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以高与阔
相等惟长不同为问者则以初商为高与阔以之自
乘又以初商加纵数为长以之再乘得初商积至次

商以后亦有三方廉三长廉一小隅但其一方廉附
于初商积之方面者即初商数其二方廉附于初商
积之长面者则带纵也其二长廉附于初商积之方
边者即初商数其一长廉附于初商积之长边者则
带纵也其带两纵相同之法如以长与阔相等皆比
高多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘
又以初商为高以之再乘得初商积至次商以后其
一方廉附于初商积之正面者则带两纵其二方廉
附于初商积之旁面者则各带一纵也其一长廉附

于初商积之高边者即初商数其二长廉附于初商

积之长阔两边者则各带一纵也其𢃄两纵不同之
法如以阔比高多长比阔又多为问者则以初商为
高又以初商加阔纵为阔与高相乘又加长纵为长
以之再乘得初商积至次商以后其一方廉附于初
商积之正面者则𢃄两纵其二方廉附于初商积之
旁面者则一𢃄阔纵一𢃄长纵也其一长廉附于初
商积之高边者即初商数其二长廉附于初商积之
长阔两边者则各𢃄一纵也惟小隅则无论𢃄一纵

两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每
边之数即三方廉之厚亦即三长廉之阔与厚焉凡
有几层廉隅皆依次商之例递析推之法虽不一要
皆本于正方而后加𢃄纵故凡商出之数皆为小边
方体共十二边若𢃄一纵或𢃄两纵相同者则八边
相等四边相等若𢃄两纵不同者则每四边各相等
是故得其一边加入纵多即得各边也
设如𢃄一纵立方积一百一十二尺其高与阔相等
　长比高阔多三尺问高阔长各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其积一百一

　　　　　十二尺止可商四尺乃以四尺书于原
　　　　　积二尺之上而以所商四尺为高与阔
　　　　　(因高与阔等故四尺/即方之高与阔也)加纵多三尺得七
　　　　　尺为长即以高与阔四尺自乘得一十
　　　　　六尺又以长七尺再乘得一百一十二
　　　　　尺书于原积之下相减恰尽是知立方
　　　　　之高与阔俱四尺加纵多三尺得七尺
　　　　　即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长

　　　　　方体形容积一百一十二尺其甲乙为
　　　　　高甲已为阔己戊为长甲乙甲已俱四
　　　　　尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即
　　　　　所𢃄之纵甲乙壬辛庚己正方形即初
　　　　　商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即
　　　　　带纵所多之扁方积也盖因此法高与
　　　　　阔俱止一位其积止一位之积故初商
　　　　　所得即高与阔之边加入纵多即为长
　　　　　边也凡有带一纵无次商者依此法开

　　　　　之

设如𢃄一纵立方积二千四百四十八尺其高与阔相
　等长比高阔多五尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其二千尺为
　　　　　初商积可商十尺乃以十尺书于原积
　　　　　二千尺之上而以所商十尺为初商之
　　　　　高与阔加纵多五尺得十五尺为初商
　　　　　之长即以初商之高与阔十尺自乘得
　　　　　一百尺又以初商之长十五尺再乘得

　　　　　一千五百尺书于原积之下相减馀九
　　　　　百四十八尺为次商廉隅之共积乃以
　　　　　初商之高与阔十尺自乘得一百尺(此/一)
　　　　　(方廉初/商数也)又以初商之高与阔十尺与初
　　　　　商之长十五尺相乘得一百五十尺倍
　　　　　之得三百尺(加倍为𢃄纵两方廉/即初商加纵多也)两数
　　　　　相并得四百尺为次商三方廉面积以
　　　　　除次商廉隅之共积九百四十八尺足
　　　　　二尺则以二尺书于原积八尺之上而

　　　　　以初商之高与阔十尺倍之得二十尺

　　　　　(此两长廉/初商数也)与初商之长十五尺相并(此/𢃄)
　　　　　(纵一长/廉也)得三十五尺以次商之二尺乘
　　　　　之得七十尺为次商三长廉面积又以
　　　　　次商之二尺自乘得四尺为次商一小
　　　　　隅面积合三方廉三长廉一小隅面积
　　　　　共得四百七十四尺为廉隅共法以次
　　　　　商之二尺乘之得九百四十八尺书于
　　　　　馀积之下相减恰尽是知立方之高与

　　　　　阔俱一十二尺加纵多五尺得一十七
　　　　　尺即立方之长也如图甲乙丙丁长方
　　　　　体形容积二千四百四十八尺其甲乙
　　　　　高甲戊阔皆十二尺甲己长十七尺甲
　　　　　已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数
　　　　　其从一角所分辛乙癸壬长方体形壬
　　　　　癸与辛乙皆十尺即初商数壬辛十五
　　　　　尺即初商加纵多之数辛乙癸壬长方
　　　　　积一千五百尺即初商自乘又以初商

　　　　　加纵多再乘之数所馀子形丑形寅形

　　　　　为三方廉其中寅形为一正方廉每边
　　　　　十尺即初商数子形丑形为二长方廉
　　　　　每阔十尺长十五尺其长比阔多五尺
　　　　　即纵多之数其厚皆二尺即次商数卯
　　　　　形辰形巳形为三长廉其辰形巳形皆
　　　　　长十尺即初商数卯形比辰形巳形皆
　　　　　长五尺即纵多之数其阔与厚皆二尺
　　　　　亦即次商数其巳形一小正方体为隅

　　　　　其长阔与高皆二尺亦即次商数合子
　　　　　丑寅三方廉卯辰巳三长廉巳一小方
　　　　　隅共成一磬折体形附于初商长方体
　　　　　之三面而成甲乙丙丁之总长方体积
　　　　　也三商以后皆仿此递析开之
　　　　　又法以初商积二千尺商十尺书于原
　　　　　积二千尺之上而以所商十尺为初商
　　　　　之高与阔加纵多五尺得十五尺为初
　　　　　商之长即以初商之高与阔十尺自乘

　　　　　得一百尺又以初商之长十五尺再乘

　　　　　得一千五百尺书于原积之下相减馀
　　　　　九百四十八尺为次商积乃以初商之
　　　　　高与阔十尺自乘得一百尺又以初商
　　　　　之高与阔十尺与初商之长十五尺相
　　　　　乘得一百五十尺倍之得三百尺两数
　　　　　相并得四百尺为次商三方廉面积以
　　　　　除次商积九百四十八尺足二尺则以
　　　　　二尺书于原积八尺之上合初商次商

　　　　　共一十二尺为初商次商之高与阔加
　　　　　纵多五尺得十七尺为初商次商之长
　　　　　乃以初商次商之高与阔十二尺自乘
　　　　　得一百四十四尺又以初商次商之长
　　　　　十七尺再乘得二千四百四十八尺与
　　　　　原积相减恰尽即知立方之高与阔俱
　　　　　十二尺其长为十七尺也
设如带一纵立方积一万九千零八寸其高与阔相
　等长比高阔多一百二十寸问高阔长各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其一万九千

　　　　　寸为初商积可商二十寸则以二十寸
　　　　　为高与阔加纵多一百二十寸得一百
　　　　　四十寸为长即以高与阔二十寸自乘
　　　　　得四百寸又以长一百四十寸再乘得
　　　　　五万六千寸大于原积二倍有馀乃退
　　　　　商十寸书于原积九千寸之上而以所
　　　　　商十寸为初商之高与阔加纵多一百
　　　　　二十寸得一百三十寸为初商之长乃

　　　　　以初商之高与阔十寸自乘得一百寸
　　　　　又以初商之长一百三十寸再乘得一
　　　　　万三千寸书于原积之下相减馀六千
　　　　　零八寸为次商廉隅之共积乃以初商
　　　　　之高与阔十寸自乘得一百寸又以初
　　　　　商之高与阔十寸与初商之长一百三
　　　　　十寸相乘得一千三百寸倍之得二千
　　　　　六百寸两数相并得二千七百寸为次
　　　　　商三方廉面积以除次商廉隅之共积

　　　　　六千零八寸足二寸则以二寸书于原

　　　　　积八寸之上而以初商之高与阔十寸
　　　　　倍之得二十寸又与初商之长一百三
　　　　　十寸相并得一百五十寸以次商之二
　　　　　寸乘之得三百寸为次商三长廉面积
　　　　　又以次商之二寸自乘得四寸为次商
　　　　　一小隅面积合三方廉三长廉一小隅
　　　　　面积共得三千零四寸为廉隅共法以
　　　　　次商之二寸乘之得六千零八寸书于

　　　　　馀积之下相减恰尽是知立方之高与
　　　　　阔俱十二寸加纵多一百二十寸得一
　　　　　百三十二寸即立方之长也此法因带
　　　　　纵甚大按立方例所得初商数并加纵
　　　　　多所得初商积必大于原积几倍依次
　　　　　渐取小数开之又至甚烦故约略其分
　　　　　退商之至商出之积比原积微小而后
　　　　　可是则带纵立方立法之最难者也
设如带一纵立方积二丈零四十二尺四百一十五

　寸其高与阔相等长比高阔多一尺二寸问高阔

　长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其二丈为初
　　　　　商积可商一丈乃以一丈书于原积二
　　　　　丈之上而以所商一丈为初商之高与
　　　　　阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸
　　　　　为初商之长即以初商之高与阔一丈
　　　　　自乘仍得一丈又以初商之长一丈一
　　　　　尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于

　　　　　原积之下相减馀九百二十二尺四百
　　　　　一十五寸为次商廉隅之共积乃以初
　　　　　商之高与阔一丈作一十尺自乘得一
　　　　　百尺又以初商之长一丈一尺二寸作
　　　　　一十一尺二寸与初商之高与阔一十
　　　　　尺相乘得一百一十二尺倍之得二百
　　　　　二十四尺两数相并得三百二十四尺
　　　　　为次商三方廉面积以除次商廉隅之
　　　　　共积九百二十二尺足二尺则以二尺

　　　　　书于原积二尺之上而以初商之高与

　　　　　阔一十尺倍之得二十尺与初商之长
　　　　　一十一尺二寸相并得三十一尺二寸
　　　　　以次商之二尺乘之得六十二尺四十
　　　　　寸为次商三长廉面积又以次商之二
　　　　　尺自乘得四尺为次商一小隅面积合
　　　　　三方廉三长廉一小隅面积共得三百
　　　　　九十尺四十寸为廉隅共法以次商之
　　　　　二尺乘之得七百八十尺八百寸书于

　　　　　馀积之下相减仍馀一百四十一尺六
　　　　　百一十五寸即一十四万一千六百一
　　　　　十五寸为三商廉隅之共积其初商次
　　　　　商所得之一丈二尺为高与阔加纵多
　　　　　一尺二寸得一丈三尺二寸为长乃以
　　　　　初商次商之高与阔一丈二尺作一百
　　　　　二十寸自乘得一万四千四百寸又以
　　　　　初商次商之长一丈三尺二寸作一百
　　　　　三十二寸与初商次商之高与阔一百

　　　　　二十寸相乘得一万五千八百四十寸

　　　　　倍之得三万一千六百八十寸两数相
　　　　　并得四万六千零八十寸为三商三方
　　　　　廉面积以除三商廉隅之共积一十四
　　　　　万一千六百一十五寸足三寸则以三
　　　　　寸书于原积五寸之上而以初商次商
　　　　　之高与阔一百二十寸倍之得二百四
　　　　　十寸与长一百三十二寸相并得三百
　　　　　七十二寸以三商之三寸乘之得一千

　　　　　一百一十六寸为三商三长廉面积又
　　　　　以三商之三寸自乘得九寸为三商一
　　　　　小隅面积合三方廉三长廉一小隅面
　　　　　积共得四万七千二百零五寸为廉隅
　　　　　共法以三商之三寸乘之得一十四万
　　　　　一千六百一十五寸书于馀积之下相
　　　　　减恰尽是知立方之高与阔俱一丈二
　　　　　尺三寸加纵多一尺二寸俱一丈三尺
　　　　　五寸即立方之长也

　　　　　又法以初商积二丈商一丈书于原积

　　　　　二丈之上而以所商一丈为初商之高
　　　　　与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二
　　　　　寸为初商之长即以初商之高与阔一
　　　　　丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈
　　　　　一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书
　　　　　于原积之下相减馀九百二十二尺四
　　　　　百一十五寸为次商积乃以初商之高
　　　　　与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又

　　　　　以初商之长一丈一尺二寸作一十一
　　　　　尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘
　　　　　得一百一十二尺倍之得二百二十四
　　　　　尺两数相并得三百二十四尺为次商
　　　　　三方廉面积以除次商积九百二十二
　　　　　尺四百一十五寸足二尺则以二尺书
　　　　　于原积二尺之上合初商次商共一丈
　　　　　二尺为初商次商之高与阔加纵多一
　　　　　尺二寸得一丈三尺二寸为初商次商

　　　　　之长乃以初商次商之高与阔一丈二

　　　　　尺自乘得一丈四十四尺又以初商次
　　　　　商之长一丈三尺二寸再乘得一丈九
　　　　　百尺零八百寸与原积相减馀一百四
　　　　　十一尺六百一十五寸即一十四万一
　　　　　千六百一十五寸为三商积乃以初商
　　　　　次商之高与阔一丈二尺作一百二十
　　　　　寸自乘得一万四千四百寸又以初商
　　　　　次商之长一丈三尺二寸作一百三十

　　　　　二寸与初商次商之高与阔一百二十
　　　　　寸相乘得一万五千八百四十寸倍之
　　　　　得三万一千六百八十寸两数相并得
　　　　　四万六千零八十寸为三商三方廉面
　　　　　积以除三商积一十四万一千六百一
　　　　　十五寸足三寸则以三寸书于原积五
　　　　　寸之上合初商次商三商共一丈二尺
　　　　　三寸为初商次商三商之高与阔加纵
　　　　　多一尺二寸得一丈三尺五寸为初商

　　　　　次商三商之长乃以初商次商三商之

　　　　　高与阔一丈二尺三寸自乘得一丈五
　　　　　十一尺二十九寸又以初商次商三商
　　　　　之长一丈三尺五寸再乘得二丈零四
　　　　　十二尺四百一十五寸与原积相减恰
　　　　　尽即知立方之高与阔俱一丈二尺三
　　　　　寸其长为一丈三尺五寸也
设如带两纵相同立方积五百六十七尺其长与阔
　俱比高多二尺问长阔高各几何

　　　　　法列积如开立方法商之共积五百六
　　　　　十七尺可商八尺因留两纵积故取略
　　　　　小之数商七尺乃以七尺书于原积七
　　　　　尺之上而以所商七尺为高加纵多二
　　　　　尺得九尺为长与阔即以长与阔九尺
　　　　　自乘得八十一尺又以高七尺再乘得
　　　　　五百六十七尺书于原积之下相减恰
　　　　　尽是知立方之高为七尺加纵多二尺
　　　　　得九尺即立方之长与阔也如图甲乙

　　　　　丙丁戊己扁方体形容积五百六十七

　　　　　尺其甲乙为高甲子为阔甲巳为长甲
　　　　　乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即
　　　　　所带之纵其甲乙癸壬辛庚正方形即
　　　　　初商之积庚辛壬癸丙丁戊已磬折体
　　　　　形即所带之纵积也此法因长阔俱比
　　　　　高多故初商所得为高于高加纵多即
　　　　　长与阔也
设如带两纵相同立方积三千四百六十八尺其长

　与阔俱比高多五尺问长阔高各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其三千尺为
　　　　　初商积可商十尺乃以十尺书于原积
　　　　　三千尺之上而以初商十尺为初商之
　　　　　高加纵多五尺得十五尺为初商之长
　　　　　与阔即以初商之长与阔十五尺自乘
　　　　　得二百二十五尺又以初商之高十尺
　　　　　再乘得二千二百五十尺书于原积之
　　　　　下相减馀一千二百一十八尺为次商

　　　　　廉隅之共积乃以初商之长与阔十五

　　　　　尺自乘得二百二十五尺(此一方廉长/阔皆带一纵)
　　　　　(也/)又以初商之高十尺与初商之长与
　　　　　阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得
　　　　　三百尺(加倍为带纵两方廉/即初商加纵多也)两数相并
　　　　　得五百二十五尺为次商三方廉面积
　　　　　以除次商廉隅之共积一千二百一十
　　　　　八尺足二尺则以二尺书于原积八尺
　　　　　之上而以初商之长与阔十五尺倍之

　　　　　得三十尺(此两长廉即长/阔各带一纵也)与初商之高
　　　　　十尺相并(此一长廉/初商数也)得四十尺以次商
　　　　　之二尺乘之得八十尺为次商三长廉
　　　　　面积又以次商之二尺自乘得四尺为
　　　　　次商一小隅面积合三方廉三长廉一
　　　　　小隅面积共得六百零九尺为廉隅共
　　　　　法以次商之二尺乘之得一千二百一
　　　　　十八尺书于馀积之下相减恰尽是知
　　　　　立方之高为十二尺加纵多五尺得十

　　　　　七尺为立方之长与阔也如图甲乙丙

　　　　　丁扁方体形容积三千四百六十八尺
　　　　　其甲乙高十二尺甲戊长甲已阔俱十
　　　　　七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚
　　　　　己所多甲庚俱五尺即纵多之数其从
　　　　　一角所分壬乙子癸扁方体形癸子与
　　　　　壬乙皆十尺即初商数壬癸与癸申皆
　　　　　十五尺即初商加纵多之数壬乙子癸
　　　　　扁方积二千二百五十尺即初商加纵

　　　　　多自乘又以初商再乘之数所馀丑形
　　　　　寅形卯形为三方廉其中寅形为一正
　　　　　方廉每边十五尺即初商加纵多之数
　　　　　丑形卯形为二长方廉每高十尺长十
　　　　　五尺其长比高多五尺即纵多之数其
　　　　　厚皆二尺即次商数辰形巳形午形为
　　　　　三长廉巳形长十尺即初商数辰形午
　　　　　形比巳形俱长五尺即纵多之数其阔
　　　　　与厚皆一尺亦即次商数其巳形一小

　　　　　正方体为隅其长阔高皆二尺亦即次

　　　　　商数合丑寅卯三方廉辰巳午三长廉
　　　　　巳一小方隅共成一磬折体形附于初
　　　　　商长方体之三面而成甲乙丙丁之总
　　　　　扁方体积也三商以后皆仿此递析开
　　　　　之
　　　　　又法以初商积三千尺商十尺书于原
　　　　　积三千尺之上而以所商十尺为初商
　　　　　之高加纵多五尺得十五尺为初商之

　　　　　长与阔即以初商之长与阔十五尺自
　　　　　乘得二百二十五尺又以初商之高十
　　　　　尺再乘得二千二百五十尺书于原积
　　　　　之下相减馀一千二百一十八尺为次
　　　　　商积乃以初商之长与阔十五尺自乘
　　　　　得二百二十五尺又以初商之高十尺
　　　　　与初商之长与阔十五尺相乘得一百
　　　　　五十尺倍之得三百尺两数相并得五
　　　　　百二十五尺为次商三方廉面积以除

　　　　　次商积一千二百一十八尺足二尺则

　　　　　以二尺书于原积八尺之上合初商次
　　　　　商共十二尺为初商次商之高加纵多
　　　　　五尺得十七尺为初商次商之长与阔
　　　　　乃以初商次商之长与阔十七尺自乘
　　　　　得二百八十九尺又以初商次商之高
　　　　　十二尺再乘得三千四百六十八尺与
　　　　　原积相减恰尽即知立方之高为十二
　　　　　尺其长与阔得十七尺也

设如带两纵相同立方积一百零三万四千二百八
　十九寸其长与阔俱比高多三百三十寸问长阔
　高各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其一百万寸
　　　　　为初商积可商一百寸乃以所商一百
　　　　　寸为高加纵多三百三十寸得四百三
　　　　　十寸为长与阔即以长与阔四百三十
　　　　　寸自乘得一十八万四千九百寸又以
　　　　　高一百寸再乘得一千八百四十九万

　　　　　寸大于原积十倍有馀是初商不可商

　　　　　一百寸也乃改商十寸为高(既大于原/积十倍有)
　　　　　(馀故取十分之/一商之为十寸)加纵多三百三十寸得
　　　　　三百四十寸为长与阔即以长与阔三
　　　　　百四十寸自乘得一十一万五千六百
　　　　　寸又以高十寸再乘得一百一十五万
　　　　　六千寸仍大于原积是亦不可商一十
　　　　　寸也乃改商九寸书于原积九寸之上
　　　　　而以所商九寸为高加纵多三百三十

　　　　　寸得三百三十九寸为长与阔即以长
　　　　　与阔三百三十九寸自乘得一十一万
　　　　　四千九百二十一寸又以高九寸再乘
　　　　　得一百零三万四千二百八十九寸书
　　　　　于原积之下相减恰尽是知立方之高
　　　　　为九寸加纵多三百三十寸得三百三
　　　　　十九寸为立方之长与阔也
设如带两纵相同立方积一十一丈五百零九尺二
　百六十八寸其长与阔俱比高多二尺一寸问长

　阔高各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其一十一丈
　　　　　为初商积可商二丈乃以二丈书于原
　　　　　积一丈之上而以所商二丈为初商之
　　　　　高加纵多二尺一寸得二丈二尺一寸
　　　　　为初商之长与阔乃以初商之长与阔
　　　　　二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺
　　　　　四十一寸又以初商之高二丈再乘得
　　　　　九丈七百六十八尺二百寸书于原积

　　　　　之下相减馀一丈七百四十一尺零六
　　　　　十八寸即一千七百四十一尺零六十
　　　　　八寸为次商廉隅之共积乃以初商之
　　　　　长与阔二丈二尺一寸作二十二尺一
　　　　　寸自乘得四百八十八尺四十一寸又
　　　　　以初商之高二丈作二十尺与初商之
　　　　　长与阔二十二尺一寸相乘得四百四
　　　　　十二尺倍之得八百八十四尺两数相
　　　　　并得一千三百七十二尺四十一寸为

　　　　　次商三方廉面积以除次商廉隅之共

　　　　　积一千七百四十一尺零六十八寸足
　　　　　一尺则以一尺书于原积九尺之上而
　　　　　以初商之长与阔二十二尺一寸倍之
　　　　　得四十四尺二寸与初商之高二十尺
　　　　　相并得六十四尺二寸以次商之一尺
　　　　　乘之得六十四尺二十寸为次商三长
　　　　　廉面积又以次商之一尺自乘仍得一
　　　　　尺为次商一小隅面积合三方廉三长

　　　　　廉一小隅面积共得一千四百三十七
　　　　　尺六十一寸为廉隅共法以次商之一
　　　　　尺乘之得一千四百三十七尺六百一
　　　　　十寸书于馀积之下相减仍馀三百零
　　　　　三尺四百五十八寸即三十万三千四
　　　　　百五十八寸为三商廉隅之共积其初
　　　　　商次商所得之二丈一尺为高加纵多
　　　　　二尺一寸得二丈三尺一寸为长与阔
　　　　　乃以初商次商之长与阔二丈三尺一

　　　　　寸作二百三十一寸自乘得五万三千

　　　　　三百六十一寸又以初商次商之高二
　　　　　丈一尺作二百一十寸与初商次商之
　　　　　长与阔二百三十一寸相乘得四万八
　　　　　千五百一十寸倍之得九万七千零二
　　　　　十寸两数相并得一十五万零三百八
　　　　　十一寸为三商三方廉面积以除三商
　　　　　廉隅之共积三十万零三千四百五十
　　　　　八寸足二寸则以二寸书于原积八寸

　　　　　之上而以初商次商之长与阔二百三
　　　　　十一寸倍之得四百六十二寸与初商
　　　　　次商之高二百一十寸相加得六百七
　　　　　十二寸以三商之二寸乘之得一千三
　　　　　百四十四寸为三商三长廉面积又以
　　　　　三商之二寸自乘得四寸为三商一小
　　　　　隅面积合三方廉三长廉一小隅面积
　　　　　共得一十五万一千七百二十九寸为
　　　　　廉隅共法以三商之二寸乘之得三十

　　　　　万三千四百五十八寸书于馀积之下

　　　　　相减恰尽是知立方之高得二丈一尺
　　　　　二寸加纵多二尺一寸得二丈三尺三
　　　　　寸即立方之长与阔也
设如带两纵不同立方积一百九十二尺其阔比高
　多二尺其长比阔又多二尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其积一百九
　　　　　十二尺可商五尺乃以所商五尺为高
　　　　　加阔比高多二尺得七尺为阔再加长

　　　　　比阔多二尺得九尺为长即以高五尺
　　　　　与阔七尺相乘得三十五尺又以长九
　　　　　尺再乘得三百一十五尺大于原积乃
　　　　　改商四尺书于原积二尺之上而以所
　　　　　商四尺为高加阔比高多二尺得六尺
　　　　　为阔再加长比阔多二尺得八尺为长
　　　　　即以高四尺与阔六尺相乘得二十四
　　　　　尺又以长八尺再乘得一百九十二尺
　　　　　书于原积之下相减恰尽是知立方之

　　　　　高为四尺其阔为六尺其长为八尺也

　　　　　如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一
　　　　　百九十二尺其甲乙为高四尺甲已为
　　　　　阔六尺己戊为长八尺甲已比甲庚所
　　　　　多庚已二尺即阔比高所带之纵己戊
　　　　　比己辛所多辛戊四尺即长比高所带
　　　　　之纵甲乙子癸壬庚正方形即初商之
　　　　　正方积庚壬癸子丙丁戊辛已磬折体
　　　　　形即长阔两纵所多之长方积也此法

　　　　　因长比阔多阔又比高多故初商所得
　　　　　即为高于高加阔纵为阔于阔加长纵
　　　　　为长也
设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其阔比
　高多二尺其长比阔又多四尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其三千尺为
　　　　　初商积可商十尺乃以十尺书于原积
　　　　　三千尺之上而以所商十尺为初商之
　　　　　高加阔比高多二尺得十二尺为初商

　　　　　之阔再加长比阔多四尺得十六尺为

　　　　　初商之长乃以初商之高十尺与初商
　　　　　之阔十二尺相乘得一百二十尺又以
　　　　　初商之长十六尺再乘得一千九百二
　　　　　十尺书于原积之下相减馀一千一百
　　　　　零四尺为次商廉隅之共积乃以初商
　　　　　之高十尺与初商之阔十二尺相乘得
　　　　　一百二十尺(此带阔纵/一方廉也)又以初商之高
　　　　　十尺与初商之长十六尺相乘得一百

　　　　　六十尺(此带长纵/一方廉也)又以初商之阔十二
　　　　　尺与初商之长十六尺相乘得一百九
　　　　　十二尺(此带长阔两/纵一方廉也)三数相并得四百
　　　　　七十二尺为次商三方廉面积以除次
　　　　　商廉隅之共积一千一百零四尺足二
　　　　　尺则以二尺书于原积四尺之上而以
　　　　　初商之高十尺(此一长廉/初商数也)与初商之阔
　　　　　十二尺相并(此带阔纵/一长廉也)得二十二尺又
　　　　　与初商之长十六尺相并(此带长纵/一长廉也)得

　　　　　三十八尺以次商之二尺乘之得七十

　　　　　六尺为次商三长廉面积又以次商之
　　　　　二尺自乘得四尺为次商一小隅面积
　　　　　合三方廉三长廉一小隅面积共得五
　　　　　百五十二尺为廉隅共法以次商之二
　　　　　尺乘之得一千一百零四尺书于原积
　　　　　之下相减恰尽是知立方之高得十二
　　　　　尺加阔比高多二尺得十四尺为阔又
　　　　　加长比阔多四尺得十八尺为长也如

　　　　　图甲乙丙丁长方体形容积三千零二
　　　　　十四尺其甲乙高十二尺甲戊阔十四
　　　　　尺甲已长十八尺甲戊比甲庚所多二
　　　　　尺即阔比高所多之数甲已比辛己所
　　　　　多六尺即长比高所多之数其从一角
　　　　　所分壬乙子癸长方体形壬乙与癸子
　　　　　皆十尺即初商之数壬未与癸申皆十
　　　　　二尺即初商之高加阔多之数壬癸与
　　　　　未申皆十六尺即初商之高加阔多又

　　　　　加长多之数壬乙子癸长方体形所容

　　　　　一千九百二十尺即初商积所馀丑形
　　　　　寅形卯形为三方廉其卯形之高十尺
　　　　　即初商之数其带阔纵二尺如酉即阔
　　　　　多之数其丑形之高十尺亦即初商之
　　　　　数其带长纵六尺如戌即长多之数其
　　　　　寅形之阔十尺又带阔多二尺如亥即
　　　　　初商之高加阔多之数其带长纵六尺
　　　　　如乾即初商之高加阔多又加长多之

　　　　　数其厚皆二尺即次商之数辰形巳形
　　　　　午形为三长廉其辰形之长十尺即初
　　　　　商之数巳形比辰形所多二尺如坎即
　　　　　阔多之数其午形比辰形所多六尺如
　　　　　艮即长多之数其阔与厚皆二尺亦即
　　　　　次商之数其已形一小正方体为隅其
　　　　　长阔与高俱二尺亦即次商之数合三
　　　　　方廉三长廉一小隅共成一磬折体形
　　　　　附于初商长方体之三面而成甲乙丙

　　　　　丁之总长方体积也三商以后皆仿此

　　　　　递析开之
　　　　　又法以初商积三千尺商十尺书于原
　　　　　积三千尺之上而以所商十尺为初商
　　　　　之高加阔比高多二尺得十二尺为初
　　　　　商之阔再加长比阔多四尺得十六尺
　　　　　为初商之长即以初商之高十尺与初
　　　　　商之阔十二尺相乘得一百二十尺又
　　　　　以初商之长十六尺再乘得一千九百

　　　　　二十尺书于原积之下相减馀一千一
　　　　　百零四尺为次商积乃以初商之阔十
　　　　　二尺与初商之长十六尺相乘得一百
　　　　　九十二尺又以初商之高十尺与初商
　　　　　之阔十二尺相乘得一百二十尺又以
　　　　　初商之高十尺与初商之长十六尺相
　　　　　乘得一百六十尺三数相并得四百七
　　　　　十二尺为次商三方廉面积以除次商
　　　　　积一千一百零四尺足二尺则以二尺

　　　　　书于原积四尺之上合初商次商共十

　　　　　二尺为初商次商之高加阔比高多二
　　　　　尺得十四尺为初商次商之阔再加长
　　　　　比阔多四尺得十八尺为初商次商之
　　　　　长乃以初商次商之高十二尺与初商
　　　　　次商之阔十四尺相乘得一百六十八
　　　　　尺又以初商次商之长十八尺再乘得
　　　　　三千零二十四尺与原积相减恰尽即
　　　　　知立方之高为十二尺其阔为十四尺

　　　　　其长为十八尺也
设如带两纵不同立方积三十万零一百六十寸其
　阔比高多九十二寸其长比高多一百一十四寸
　问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其三十万寸
　　　　　为初商积可商六十寸乃以所商六十
　　　　　寸为高加阔比高多九十二寸得一百
　　　　　五十二寸为阔再加长比高多一百一
　　　　　十四寸得一百七十四寸为长即以高

　　　　　六十寸与阔一百五十二寸相乘得九

　　　　　千一百二十寸又以长一百七十四寸
　　　　　再乘得一百五十八万六千八百八十
　　　　　寸大于原积五倍有馀是初商不可商
　　　　　六十寸也乃改商二十寸书于原积空
　　　　　千寸之上而以所商二十寸为高加阔
　　　　　比高多九十二寸得一百一十二寸为
　　　　　阔又以高二十寸加长比高多一百一
　　　　　十四寸得一百三十四寸为长乃以高

　　　　　二十寸与阔一百一十二寸相乘得二
　　　　　千二百四十寸又以长一百三十四寸
　　　　　再乘得三十万零一百六十寸书于原
　　　　　积之下相减恰尽是知次商为空位而
　　　　　立方之高为二十寸其阔为一百一十
　　　　　二寸其长为一百三十四寸也
设如带两纵不同立方积一万三千二百八十四寸
　其阔比高多三寸其长比阔多一百一十一寸问
　高阔长各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其一万三千

　　　　　寸为初商积可商二十寸乃以所商二
　　　　　十寸为高加阔比高多三寸得二十三
　　　　　寸为阔再加长比阔多一百一十一寸
　　　　　得一百三十四寸为长即以高与阔与
　　　　　长按法相乘得六万一千六百四十寸
　　　　　大于原积四倍有馀是初商不可商二
　　　　　十寸也乃退商十寸而以所商十寸为
　　　　　高加阔比高多三寸得十三寸为阔再

　　　　　加长比阔多一百一十一寸得一百二
　　　　　十四寸为长即以高与阔与长按法相
　　　　　乘得一万六千一百二十寸仍大于原
　　　　　积乃复退商九寸书于原积四寸之上
　　　　　而以所商九寸为高加阔比高多三寸
　　　　　得十二寸为阔再加长比阔多一百一
　　　　　十一寸共一百二十三寸为长即以高
　　　　　九寸与阔十二寸相乘得一百零八寸
　　　　　又以长一百二十三寸再乘得一万三

　　　　　千二百八十四寸书于原积之下相减

　　　　　恰尽是知立方之高为九寸其阔为十
　　　　　二寸其长为一百二十三寸也
设如带两纵不同立方积一十三丈二百四十九尺
　五百四十五寸其阔比高多一尺其长比阔又多
　二尺二寸问高阔长几何
　　　　　法列积如开立方法商之其一十三丈
　　　　　为初商积可商二丈乃以二丈书于原
　　　　　积三丈之上而以所商二丈为初商之

　　　　　高加阔比高多一尺得二丈一尺为初
　　　　　商之阔再加长比阔多二尺二寸得二
　　　　　丈三尺二寸为初商之长即以初商之
　　　　　高二丈与初商之阔二丈一尺相乘得
　　　　　四丈二十尺又以初商之长二丈三尺
　　　　　二寸再乘得九丈七百四十四尺书于
　　　　　原积之下相减馀三丈五百零五尺五
　　　　　百四十五寸即三千五百零五尺五百
　　　　　四十五寸为次商廉隅之共积乃以初

　　　　　商之高二丈作二十尺初商之阔二丈

　　　　　一尺作二十一尺相乘得四百二十尺
　　　　　又以初商之长二丈三尺二寸作二十
　　　　　三尺二寸与初商之高二十尺相乘得
　　　　　四百六十四尺又以初商之阔二十一
　　　　　尺与初商之长二十三尺二寸相乘得
　　　　　四百八十七尺二十寸三数相并得一
　　　　　千三百七十一尺二十寸为次商三方
　　　　　廉面积以除次商廉隅之共积三千五

　　　　　百零五尺五百四十五寸足二尺则以
　　　　　二尺书于原积九尺之上而以初商之
　　　　　高二十尺与初商之阔二十一尺初商
　　　　　之长二十三尺二寸相并得六十四尺
　　　　　二寸以次商之二尺乘之得一百二十
　　　　　八尺四十寸为次商三长廉面积又以
　　　　　次商之二尺自乘得四尺为次商一小
　　　　　隅面积合三方廉三长廉一小隅面积
　　　　　共得一千五百零三尺六十寸为廉隅

　　　　　共法以次商之二尺乘之得三千零七

　　　　　尺二百寸书于馀积之下相减仍馀四
　　　　　百九十八尺三百四十五寸即四十九
　　　　　万八千三百四十五寸为三商廉隅之
　　　　　共积其初商次商所得之二丈二尺为
　　　　　高加阔比高多一尺得二丈三尺为阔
　　　　　又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺
　　　　　二寸为长乃以初商次商之高二丈二
　　　　　尺作二百二十寸初商次商之阔二丈

　　　　　三尺作二百三十寸相乘得五万零六
　　　　　百寸又以初商次商之长二丈五尺二
　　　　　寸作二百五十二寸与初商次商之高
　　　　　二百二十寸相乘得五万五千四百四
　　　　　十寸又以初商次商之阔二百三十寸
　　　　　与初商次商之长二百五十二寸相乘
　　　　　得五万七千九百六十寸三数相并得
　　　　　一十六万四千寸为三商三方廉面积
　　　　　以除三商廉隅之共积四十九万八千

　　　　　三百四十五寸足三寸则以三寸书于

　　　　　原积五寸之上而以初商次商之高二
　　　　　百二十寸与初商次商之阔二百三十
　　　　　寸初商次商之长二百五十二寸相并
　　　　　得七百零二寸以三商之三寸乘之得
　　　　　二千一百零六寸为三商三长廉面积
　　　　　又以三商之三寸自乘得九寸为三商
　　　　　一小隅面积合三方廉三长廉一小隅
　　　　　面积共得一十六万六千一百一十五

　　　　　寸为廉隅共法以三商之三寸乘之得
　　　　　四十九万八千三百四十五寸书于馀
　　　　　积之下相减恰尽是知立方之高得二
　　　　　丈二尺三寸加阔比高多一尺得二丈
　　　　　三尺三寸为阔又加长比阔多二尺二
　　　　　寸得二丈五尺五寸为长也
设如带两纵不同立方积一百三十二万八千二百
　五十尺其阔比高多五尺其长比阔又多五尺问
　高阔长各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其一百万尺

　　　　　为初商积可商一百尺乃以一百尺书
　　　　　于原积一百万尺之上而以所商之一
　　　　　百尺为初商之高加阔比高多五尺得
　　　　　一百零五尺为初商之阔再加长比阔
　　　　　多五尺得一百一十尺为初商之长乃
　　　　　以初商之高一百尺与初商之阔一百
　　　　　零五尺相乘得一万零五百尺又以初
　　　　　商之长一百一十尺再乘得一百一十

　　　　　五万五千尺书于原积之下相减馀一
　　　　　十七万三千二百五十尺为次商廉隅
　　　　　之共积乃以初商之高一百尺与初商
　　　　　之阔一百零五尺相乘得一万零五百
　　　　　尺又以初商之高一百尺与初商之长
　　　　　一百一十尺相乘得一万一千尺又以
　　　　　初商之阔一百零五尺与初商之长一
　　　　　百一十尺相乘得一万一千五百五十
　　　　　尺三数相并得三万三千零五十尺为

　　　　　次商三方廉面积以除次商廉隅之共

　　　　　积一十七万三千二百五十尺不足一
　　　　　十尺仅足五尺是次商为空位也乃书
　　　　　一空于原积八千尺之上以存次商之
　　　　　位复以所商五尺书于原积空尺之上
　　　　　而以初商次商之高一百尺与初商次
　　　　　商之阔一百零五尺初商次商之长一
　　　　　百一十尺相并得三百一十五尺以三
　　　　　商之五尺乘之得一千五百七十五尺

　　　　　为三商三长廉面积又以三商五尺自
　　　　　乘得二十五尺为三商一小隅面积合
　　　　　三方廉三长廉一小隅面积共得三万
　　　　　四千六百五十尺为廉隅共法以三商
　　　　　之五尺乘之得一十七万三千二百五
　　　　　十尺书于馀积之下相减恰尽是知立
　　　　　方之高为一百零五尺加阔比高多五
　　　　　尺得一百一十尺为阔又加长比阔多
　　　　　五尺得一百一十五尺为长也

设如一尺土方三万九千六百八十八尺筑堤一段

　其高与阔相等其长比高阔多六十尺问高阔长
　各几何
　　　　　法列积用带一纵立方法开之其三万
　　　　　九千尺为初商积可商三十尺乃以所
　　　　　商三十尺为高与阔加纵多六十尺得
　　　　　九十尺为长即以高与阔三十尺自乘
　　　　　得九百尺又以长九十尺再乘得八万
　　　　　一千尺大于原积乃改商二十尺书于

　　　　　原积九千尺之上而以所商二十尺为
　　　　　初商之高与阔加纵多六十尺得八十
　　　　　尺为初商之长即以初商之高与阔二
　　　　　十尺自乘得四百尺又以初商之长八
　　　　　十尺再乘得三万二千尺书于原积之
　　　　　下相减馀七千六百八十八尺为次商
　　　　　廉隅之共积乃以初商之高与阔二十
　　　　　尺自乘得四百尺又以初商之长八十
　　　　　尺与初商之高与阔二十尺相乘得一

　　　　　千六百尺倍之得三千二百尺两数相

　　　　　并得三千六百尺为次商三方廉面积
　　　　　以除次商廉隅之共积七千六百八十
　　　　　八尺足二尺则以二尺书于原积八尺
　　　　　之上而以初商之高与阔二十尺倍之
　　　　　得四十尺与初商之长八十尺相并得
　　　　　一百二十尺以次商之二尺乘之得二
　　　　　百四十尺为次商三长廉面积又以次
　　　　　商之二尺自乘得四尺为次商一小隅

　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共
　　　　　得三千八百四十四尺为廉隅共法以
　　　　　次商之二尺乘之得七千六百八十八
　　　　　尺书于馀积之下相减恰尽是知堤之
　　　　　高与阔俱二十二尺加长比高阔多六
　　　　　十尺得八十二尺为堤一段之长也
设如有仓一座容米二千四百石其仓之长与阔俱
　比高多五尺问仓之长阔高各几何
　　　　　法将米二千四百石用每石定法二尺

　　　　　五百寸乘之得六千尺乃以六千尺为

　　　　　带两纵相同立方积用带两纵相同法
　　　　　开之其六千尺为初商积可商十尺乃
　　　　　以十尺书于原积六千尺之上而以所
　　　　　商十尺为初商之高加纵多五尺得十
　　　　　五尺为初商之长与阔乃以初商之长
　　　　　与阔十五尺自乘得二百二十五尺又
　　　　　以初商之高十尺再乘得二千二百五
　　　　　十尺书于原积之下相减馀三千七百

　　　　　五十尺为次商廉隅之共积乃以初商
　　　　　之长与阔十五尺自乘得二百二十五
　　　　　尺又以初商之高十尺与初商之长与
　　　　　阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得
　　　　　三百尺两数相并得五百二十五尺为
　　　　　次商三方廉面积以除次商廉隅之共
　　　　　积三千七百五十尺足七尺乃按法算
　　　　　之得廉隅共法八百五十四尺以次商
　　　　　之七尺乘之得五千九百七十八尺大

　　　　　于次商廉隅之共积乃改商六尺按法

　　　　　算之得廉隅共法八百零一尺以次商
　　　　　之六尺乘之仍大于次商廉隅之共积
　　　　　又改商五尺书于原积空尺之上而以
　　　　　初商之长与阔十五尺倍之得三十尺
　　　　　与初商之高十尺相并得四十尺以次
　　　　　商之五尺乘之得二百尺为次商三长
　　　　　廉面积又以次商之五尺自乘得二十
　　　　　五尺为次商一小隅面积合三方廉三

　　　　　长廉一小隅面积共得七百五十尺为
　　　　　廉隅共法以次商之五尺乘之得三千
　　　　　七百五十尺书于馀积之下相减恰尽
　　　　　是知仓之高为一十五尺加纵多五尺
　　　　　得二十尺为仓之长与阔也
设如挑河一段但知挑出土方七万六千一百四十
　尺其宽比深多三尺其长比宽多二百六十四尺
　问宽长深各几何
　　　　　法列积用带两纵不同立方法开之其

　　　　　七万六千尺为初商积可商四十尺因

　　　　　长纵甚多故取小数商二十尺为深加
　　　　　宽比深多三尺得二十三尺为宽再加
　　　　　长比宽多二百六十四尺得二百八十
　　　　　七尺为长以三数相乘得十万三千二
　　　　　百零二十尺大于原积乃改商十尺书
　　　　　于原积六千尺之上而以所商十尺为
　　　　　初商之深加宽比深多三尺得十三尺
　　　　　为初商之宽再加长比宽多二百六十

　　　　　四尺得二百七十七尺为初商之长乃
　　　　　以初商之深十尺与初商之宽十三尺
　　　　　相乘得一百三十尺又以初商之长二
　　　　　百七十七尺再乘得三万六千零十尺
　　　　　书于原积之下相减馀四万零一百三
　　　　　十尺为次商廉隅之共积乃以初商之
　　　　　深十尺与初商之宽十三尺相乘得一
　　　　　百三十尺又以初商之宽十三尺与初
　　　　　商之长二百七十七尺相乘得三千六

　　　　　百零一尺又以初商之深十尺与初商

　　　　　之长二百七十七尺相乘得二千七百
　　　　　七十尺三数相并得六千五百零一尺
　　　　　为次商三方廉面积以除次商廉隅之
　　　　　共积四万零一百三十尺足五尺则以
　　　　　五尺书于原积空尺之上而以初商之
　　　　　深十尺与初商之宽十三尺初商之长
　　　　　二百七十七尺相并得三百尺以次商
　　　　　之五尺乘之得一千五百尺为次商三

　　　　　长廉面积又以次商之五尺自乘得二
　　　　　十五尺为次商一小隅面积合三方廉
　　　　　三长廉一小隅面积共得八千零二十
　　　　　六尺为廉隅共法以次商之五尺乘之
　　　　　得四万零一百三十尺书于馀积之下
　　　　　相减恰尽是知挑河之深为十五尺加
　　　　　宽比深多三尺得十八尺为宽再加长
　　　　　比宽多二百六十四尺得二百八十二
　　　　　尺为河一段之长也

　　𢃄纵和数立方
𢃄纵较数立方其法已难而𢃄纵和数立方立法尤
难故古无传而以理推之则法有与较数相对待者
其𢃄一纵立方高与阔相等惟长不同如以长与高
和或长与阔和为问者则以初商为高与阔而与和
数相减馀为长乃以高与阔自乘以长再乘为初商
积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大
于原积者则以和数除原积得数约开平方可得几

数取略大数以定初商初商减积有馀实者其初商
方积外有二方廉一长廉成两面磬折体形而初商
之高与阔少一次商初商之长多一次商故内少一
方廉积商除之法则以初商之高与阔与初商之长
相乘倍之为二方廉面积视馀实足方廉面积几倍
取略大数以定次商而以初商自乘次商再乘得一
方廉积与馀实相加始足次商二方廉一长廉之共
积故以次商与初商之长相减馀为初商次商之共
长与初商相乘倍之为二方廉面积又以初商次商

之共长与次商相乘为一长廉面积合二方廉一长

廉面积以次商乘之为二方廉一长廉之共积所谓
初商方积外成两面磬折体形是也其𢃄两纵相同
立方长与阔相等惟高不同如以高与阔和或高与
长和为问者则以初商为高与和数相减馀为长与
阔乃以长与阔自乘以高再乘为初商积其或和数
甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则
以和数自乘除原积约足几倍取略大数以定初商
初商减积有馀实者初商方积外止一方廉成一扁

方体形而初商之高少一次商初商之长与阔各多
一次商故内少二方廉一长廉积商除之法则以初
商之长与阔自乘为一方廉面积视馀实足方廉面
积几倍取略大数以定次商以次商与初商之长与
阔相减馀为初商次商之长与阔而与初商相乘次
商再乘倍之为二方廉积又以次商自乘初商再乘
为一长廉积合二方廉一长廉积与馀实相加始足
次商一方廉积故以初商次商之长与阔自乘次商
再乘为一方廉积所谓初商方积外成一扁方体形

是也其𢃄两纵不同立方与𢃄两纵相同立方同但

带两纵相同者其次商积为一正方廉带两纵不同
者其次商积为一长方廉耳要之定商皆以小于半
和为准有时退商而反不足进商而反有馀须合初
商次商以斟酌之至次商以后因有益积之法故廉
法亦不足凭则又须较量而增损之可也
设如带一纵立方积七百六十八尺其高与阔等长
　与阔和二十尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其积七百六

　　　　　十八尺可商九尺则以九尺为高与阔
　　　　　与长阔和二十尺相减馀十一尺为长
　　　　　即以高与阔九尺自乘得八十一尺又
　　　　　以长十一尺再乘得八百九十一尺大
　　　　　于原积乃退商八尺书于原积八尺之
　　　　　上而以所商八尺为高与阔与长阔和
　　　　　二十尺相减馀十二尺为长即以高与
　　　　　阔八尺自乘得六十四尺又以长十二
　　　　　尺再乘得七百六十八尺书于原积之

　　　　　下相减恰尽是知立方之高与阔俱八

　　　　　尺长十二尺也如图甲乙丙丁戊己长
　　　　　方体形容积七百六十八尺其甲乙为
　　　　　高乙丙为阔丙丁为长甲乙乙丙俱八
　　　　　尺丙丁为十二尺乙丙与丙丁共二十
　　　　　尺即长阔之和初商所得即高与阔于
　　　　　长阔和内减去初商所馀即长也此法
　　　　　与较数带纵立方有加减之异彼以所
　　　　　商之数与较数相加此则以所商之数

　　　　　与和数相减也
设如带一纵立方积二千四百四十八尺其高与阔
　相等长与阔和二十九尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其二千尺为
　　　　　初商积可商十尺乃以十尺书于原积
　　　　　二千尺之上而以所商十尺为初商之
　　　　　高与阔与长阔和二十九尺相减馀十
　　　　　九尺为初商之长即以初商之高与阔
　　　　　十尺自乘得一百尺又以初商之长十

　　　　　九尺再乘得一千九百尺书于原积之

　　　　　下相减馀五百四十八尺乃以初商之
　　　　　高与阔十尺与初商之长十九尺相乘
　　　　　得一百九十尺倍之得三百八十尺以
　　　　　除馀积五百四十八尺足一尺因仍益
　　　　　积且初商之长尚减去次商数故取大
　　　　　数为二尺则以二尺书于原积八尺之
　　　　　上而以初商十尺自乘又以次商二尺
　　　　　再乘得二百尺与馀积五百四十八尺

　　　　　相加得七百四十八尺为次商二方廉
　　　　　一长廉之共积乃以次商二尺与初高
　　　　　之长十九尺相减馀十七尺为初商次
　　　　　商之长与初商之高与阔十尺相乘得
　　　　　一百七十尺倍之得三百四十尺为二
　　　　　方廉面积又以次商二尺与初商次商
　　　　　之长十七尺相乘得三十四尺为一长
　　　　　廉面积合二方廉一长廉面积共三百
　　　　　七十四尺以次商二尺乘之得七百四

　　　　　十八尺书于馀积之下相减恰尽是知

　　　　　立方之高与阔俱十二尺长十七尺也
　　　　　如图甲乙丙丁长方体形甲乙高乙戊
　　　　　阔皆十二尺戊丙长十七尺乙戊与戊
　　　　　丙共二十九尺即长阔之和其从一角
　　　　　所分己乙壬癸长方体形己乙与乙庚
　　　　　皆十尺即初商数壬庚十九尺即长阔
　　　　　和内减初商所馀之数比戊丙多子壬
　　　　　一段即次商数己乙壬癸长方积一千

　　　　　九百尺即初商自乘又以初商与长阔
　　　　　和相减之馀再乘之数比初商原体积
　　　　　多丑寅壬癸一扁方体形因初商积内
　　　　　多减去此积故以初商自乘次商再乘
　　　　　而得丑寅壬癸扁方体积与馀积相加
　　　　　即得甲己辛庚丙丁两面磬折体形其
　　　　　辰形巳形为两方廉其阔十尺即初商
　　　　　数其长十七尺即长阔和内减初商次
　　　　　商之数其厚皆二尺即次商数午形为

　　　　　一长廉其长十七尺与方廉同其阔与

　　　　　厚皆二尺亦即次商数合二方廉一长
　　　　　廉共成一磬折体形附于长方体之两
　　　　　面而成甲乙丙丁之总长方体积也
设如带一纵立方积九万九千九百五十四尺其高
　与阔相等长与阔和一千二百四十三尺问高阔
　长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其九万九千
　　　　　尺为初商积可商四十尺而长阔和为

　　　　　一千二百四十三尺按法相乘过大于
　　　　　原积爰以长阔和一千二百四十三尺
　　　　　除原积九万九千九百五十四尺足八
　　　　　十尺有馀以八十尺开平方约足九尺
　　　　　乃以九尺书于原积四尺之上而以所
　　　　　商九尺为高与阔与长阔和一千二百
　　　　　四十三尺相减馀一千二百三十四尺
　　　　　为长即以高与阔九尺自乘得八十一
　　　　　尺又以长一千二百三十四尺再乘得

　　　　　九万九千九百五十四尺书于原积之

　　　　　下相减恰尽是知立方之高与阔俱九
　　　　　尺长一千二百三十四尺也此法盖因
　　　　　带一纵甚多高与阔甚少其长阔和比
　　　　　长所多无几故以长阔和除原积即得
　　　　　高与阔自乘之一面积而开平方所得
　　　　　即高与阔与长阔和相减所馀即长也
设如带两纵相同立方积三百八十四尺其长与阔
　相等高与阔和十四尺问高阔长各几何

　　　　　法列积如开立方法商之其积三百八
　　　　　十四尺可商七尺因欲得小于半和之
　　　　　数乃退商六尺书于原积四尺之上而
　　　　　以所商六尺为高与高阔和十四尺相
　　　　　减馀八尺为长与阔即以长与阔八尺
　　　　　自乘得六十四尺又以高六尺再乘得
　　　　　三百八十四尺书于原积之下相减恰
　　　　　尽是知立方之高为六尺长与阔皆八
　　　　　尺也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容

　　　　　积三百八十四尺其甲乙为高乙丙为

　　　　　阔丙丁为长甲乙六尺乙丙与丙丁皆
　　　　　八尺甲乙与乙丙共十四尺即高与阔
　　　　　之和初商所得为高于高阔和内减去
　　　　　初商所馀为阔亦即长也
设如带两纵相同立方积六千九百一十二尺其长
　与阔相等高与阔和三十六尺问高阔长各几何
　　　　　法列积如开立方法商之其六千尺为
　　　　　初商积可商十尺乃以十尺书于原积

　　　　　六千尺之上而以所商十尺为初商之
　　　　　高与高阔和三十六尺相减馀二十六
　　　　　尺为初商之长与阔即以初商之长与
　　　　　阔二十六尺自乘得六百七十六尺又
　　　　　以初商之高十尺再乘得六千七百六
　　　　　十尺书于原积之下相减馀一百五十
　　　　　二尺乃以初商之长与阔二十六尺自
　　　　　乘得六百七十六尺以除馀积一百五
　　　　　十二尺不足一尺因仍益积且初商之

　　　　　长与阔内尚减去次商数故取大数为