钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十三
　　体部一
　　　立方

　　立方
立方者等边六面之体积也以形而言虽为六面十
二边之所合以积而言则为自乘再乘之数因其纵
横与高俱相等故十二边皆如一线得其一边而十
二边莫不相同其积之也自线而面自面而体次第
相乘而后得其全积其开之也必次第析之而后得
其一边是故古人立为方廉长廉之制每积三位而
得边之一位所谓一千商十定无疑三万才为三十

馀九十九万不离十百万方为一百推是也其法先
从一角而剖其体以自一至九自乘再乘之数为方
根与实相审量其足减者而定之是为初商初商减
尽无馀则方根止一位若有馀实即初商方积外别
成一缺角三面磬折体其附初商之三面者谓之方
廉其附初商之三边者谓之长廉其附初商之角者
谓之隅廉有三故以三为廉法隅惟一而隅之三面
即符于三长廉之端合三方廉三长廉一隅始合次
商之数故商除之法以初商自乘三因为三方廉面

积视初商馀实足方廉面积几倍即定为次商乃以

次商乘三长廉为三长廉面积又以次商自乘为小
隅面积共合三方廉三长廉及一小隅面积以次商
数乘之为次商廉隅之共积所谓初商方积外别成
一缺角三面磬折体者是也如次商外尚有不尽之
实则初商次商方积外仍为三方廉三长廉一小隅
又成一三面磬折体但较前方廉愈大长廉愈长而
隅愈小耳凡有几层廉隅俱照次商之例递析之实
尽而止如开至多位实仍不尽者必非自乘再乘之

正数此开立方之定法也体形不一而容积皆以立
方为准故立方为算诸体之本诸体必通之立方而
法乃可施也
设如正方体积一百二十五尺开立方问每一边数
　几何
　　　　　法列正方体积一百二十五尺自末位
　　　　　起算每方积三位定方边一位今积止
　　　　　有三位则于五尺上作记定单位以自
　　　　　一至九自乘再乘之方根数与之相审

　　　　　知与五尺自乘再乘之数恰合乃以五

　　　　　　尺书于方积五尺之上而以五尺自乘
　　　　　　再乘之一百二十五尺书于方积原数
　　　　　　之下相减恰尽即得开方之数为五尺
　　　　　　也如图甲乙丙丁戊己正方体形每边
　　　　　　皆五尺其中函一尺小方体一百二十
　　　　　　五自边计之为五尺自面计之则为五
　　　　　　尺自乘之二十五尺自通体计之则为
　　　　　　五尺自乘再乘之一百二十五尺以积

　　　　　　开之则与五尺自乘再乘之数相准故
　　　　　　商除之恰尽也盖方积为三位是以方
　　　　　　边止一位方积即五尺自乘再乘之数
　　　　　　别无廉隅故不用次商如有馀实则自
　　　　　　成廉隅而用次商矣
设如正方体积一丈七百二十八尺开立方问每一
　边数几何
　　　　　　法列正方体积一丈七百二十八尺自
　　　　　　末位起算每方积三位定方边一位故

　　　　　　隔二位作记即于八尺上定尺位一丈

　　　　　　上定丈位其一丈为初商积与一丈自
　　　　　　乘再乘之数相合即定初商为一丈书
　　　　　　于方积一丈之上而以一丈自乘再乘
　　　　　　之一丈书于初商积之下相减恰尽爰
　　　　　　以方边末位馀积七百二十八尺续书
　　　　　　于下(大凡以馀积续书于下者每取方/积之三位以当方边之一位也)
　　　　　　为次商廉隅之共积乃以初商之一丈
　　　　　　作一十尺自乘得一百尺三因之得三

　　　　　　百尺为次商三方廉面积以除方积七
　　　　　　百二十八尺足二尺即定次商为二尺
　　　　　　书于方积八尺之上而以初商之一十
　　　　　　尺与次商之二尺相乘得二十尺三因
　　　　　　之得六十尺为次商三长廉面积复以
　　　　　　次商二尺自乘得四尺为次商一小隅
　　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共
　　　　　　得三百六十四尺为廉隅共法书于馀
　　　　　　积之左以次商之二尺乘之得七百二

　　　　　　十八尺与馀积相减恰尽是开得一丈

　　　　　　二尺为正方体积每一边之数也如图
　　　　　　甲乙丙丁正方体形每边皆一丈二尺
　　　　　　其中函积一丈七百二十八尺是为共
　　　　　　积其先从一角所分戊乙庚己方体每
　　　　　　边一丈即初商数其中函积亦一丈即
　　　　　　初商自乘再乘之数所馀辛形壬形癸
　　　　　　形三方体为三方廉其每边一丈即初
　　　　　　商数其厚二尺即次商数而子形丑形

　　　　　　寅形三长方体为三长廉其每边一丈
　　　　　　亦即初商数其阔其厚皆二尺亦即次
　　　　　　商数方廉有三故三倍初商之自乘为
　　　　　　廉法以定次商其卯形一小正方体为
　　　　　　隅其长与阔与厚皆同为二尺亦即次
　　　　　　商数故以次商为隅法合辛壬癸三方
　　　　　　廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬
　　　　　　折体形附于初商自乘再乘之方体三
　　　　　　面而成一甲乙丙丁之总正方体积此

　　　　　　立方廉隅之法所由生也三商以后皆

　　　　　　仿此递析开之
　　　　　　又法列积一丈七百二十八尺自末位
　　　　　　起算作记定位同前乃截一丈为初商
　　　　　　积与一丈自乘再乘之数相合则定初
　　　　　　商为一丈书于方积一丈之上而以一
　　　　　　丈自乘再乘之一丈书于初商积之下
　　　　　　相减恰尽乃以方边末位馀积七百二
　　　　　　十八尺续书于下为次商廉隅之共积

　　　　　　而以初商之一丈作一十尺自乘得一
　　　　　　百尺三因之得三百尺为次商三方廉
　　　　　　面积即以三方廉面积三百尺除方积
　　　　　　七百二十八尺足二尺则定次商为二
　　　　　　尺书于方积八尺之上合初商共一丈
　　　　　　二尺自乘再乘得一丈七百二十八尺
　　　　　　与原积符合相减恰尽即定立方边为
　　　　　　一丈二尺也此法止用三方廉面积除
　　　　　　立方体积得次商数即并初商数自乘

　　　　　　再乘得数与原积相减虽为省去长廉

　　　　　　小隅一层然方边位数少者还为简易
　　　　　　至于方边位数过四位以上则累次自
　　　　　　乘再乘反比递析之理为烦矣
设如正方体积一十四万八千八百七十七尺开立
　方问每一边数几何(此题正方体积之六位皆以/尺命位似与前题分丈尺者)
　(不同然其取方积三位续书于下其末/位即命为单位立算则与丈尺同也)
　　　　　　法列正方体积一十四万八千八百七
　　　　　　十七尺自末位起算每方积三位定方

　　　　　　边一位故隔二位作记乃于七尺上定
　　　　　　单位八千尺上定十位其一十四万八
　　　　　　千尺为初商积以初商本位计之则八
　　　　　　千尺为初商积之单位而一十四万八
　　　　　　千尺为一百四十八止与五自乘再乘
　　　　　　之数相准即定初商为五书于方积八
　　　　　　千尺之上而以五自乘再乘之一百二
　　　　　　十五书于初商积之下相减馀二万三
　　　　　　千尺爰以方边第二位馀积八百七十

　　　　　　七尺续书于下共二万三千八百七十

　　　　　　七尺为次商廉隅之共积乃以初商之
　　　　　　五作五十尺自乘得二千五百尺三因
　　　　　　之得七千五百尺为次商三方廉面积
　　　　　　以除方积二万三千八百七十七尺足
　　　　　　三尺即定次商为三尺书于方积七尺
　　　　　　之上而以初商之五十尺与次商之三
　　　　　　尺相乘得一百五十尺三因之得四百
　　　　　　五十尺为次商三长廉面积复以次商

　　　　　　三尺自乘得九尺为次商一小隅面积
　　　　　　合三方廉三长廉一小隅面积共得七
　　　　　　千九百五十九尺为廉隅共法书于馀
　　　　　　积之左以次商之三尺乘之得二万三
　　　　　　千八百七十七尺与馀积相减恰尽是
　　　　　　开得五十三尺为正方体积每一边之
　　　　　　数也如图甲乙丙丁正方体形每边五
　　　　　　十三尺其中函积一十四万八千八百
　　　　　　七十七尺是为共积其从一角所分戊

　　　　　　乙庚己方体每边五十尺即初商边数

　　　　　　其中函积一十二万五千尺即初商自
　　　　　　乘再乘之数所馀辛形壬形癸形三方
　　　　　　体为三方廉其每边五十尺即初商数
　　　　　　其厚三尺即次商数而子形丑形寅形
　　　　　　三长方体为三长廉其每边五十尺亦
　　　　　　即初商数其阔其厚皆三尺亦即次商
　　　　　　数方廉有三故三倍初商之自乘为廉
　　　　　　法以定次商其卯形一小正方体为隅

　　　　　　其长与阔与厚皆同为三尺亦即次商
　　　　　　数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉
　　　　　　子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折
　　　　　　体形附于初商自乘再乘之方体三面
　　　　　　而成一甲乙丙丁之总正方体积也
　　　　　　又法列积一十四万八千八百七十七
　　　　　　尺自末位起算作记定位同前乃截一
　　　　　　十四万八千尺为初商积与五十自乘
　　　　　　再乘之数相准则定初商五十尺书于

　　　　　　方积八千尺之上而以五十自乘再乘

　　　　　　之一十二万五千尺书于原积一十四
　　　　　　万八千之下相减馀二万三千尺乃合
　　　　　　第二位积八百七十七尺共二万三千
　　　　　　八百七十七尺为次商廉隅之共积而
　　　　　　以初商五十尺自乘得二千五百尺三
　　　　　　因之得七千五百尺为次商三方廉面
　　　　　　积即以三方廉面积除方积二万三千
　　　　　　八百七十七尺足三尺即定次商为三

　　　　　　尺书于方积七尺之上合初商共得五
　　　　　　十三尺自乘再乘得一十四万八千八
　　　　　　百七十七尺与原积符合相减恰尽即
　　　　　　定立方边为五十三尺也此法亦止用
　　　　　　三方廉面积除立方体积得次商数即
　　　　　　并初商数自乘再乘以减原积也
设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸开
　立方问每一边数几何
　　　　　　法列正方体积一丈八百六十尺八百

　　　　　　六十七寸自末位起算每方积三位定

　　　　　　方边一位故隔二位作记即于七寸上
　　　　　　定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位
　　　　　　其一丈为初商积与一丈自乘再乘之
　　　　　　数相合即定初商为一丈书于方积一
　　　　　　丈之上而以一丈自乘再乘之一丈书
　　　　　　于初商积之下相减恰尽爰以方边第
　　　　　　二位馀积八百六十尺续书于下为次
　　　　　　商廉隅之共积乃以初商之一丈作一

　　　　　　十尺自乘得一百尺三因之得三百尺
　　　　　　为次商三方廉面积以除八百六十尺
　　　　　　足二尺即定次商为二尺书于方积空
　　　　　　尺之上而以初商之一十尺与次商之
　　　　　　二尺相乘得二十尺三因之得六十尺
　　　　　　为次商三长廉面积复以次商之二尺
　　　　　　自乘得四尺为次商一小隅面积合三
　　　　　　方廉三长廉一小隅面积共得三百六
　　　　　　十四尺为次商廉隅共法书于馀积之

　　　　　　左以次商之二尺乘之得七百二十八

　　　　　　尺与次商廉隅共积相减馀一百三十
　　　　　　二尺即一十三万二千寸复以方边第
　　　　　　三位馀积八百六十七寸续书于下共
　　　　　　一十三万二千八百六十七寸为三商
　　　　　　廉隅之共积乃以初商次商之一丈二
　　　　　　尺作一百二十寸自乘得一万四千四
　　　　　　百寸三因之得四万三千二百寸为三
　　　　　　商三方廉面积以除一十三万二千八

　　　　　　百六十七寸足三寸即定三商为三寸
　　　　　　书于方积七寸之上而以初商次商之
　　　　　　一百二十寸与三商之三寸相乘得三
　　　　　　百六十寸三因之得一千零八十寸为
　　　　　　三商三长廉面积复以三商之三寸自
　　　　　　乘得九寸为三商一小隅面积合三方
　　　　　　廉三长廉一小隅面积共得四万四千
　　　　　　二百八十九寸为三商廉隅共法书于
　　　　　　馀积之左以三商之三寸乘之得一十

　　　　　　三万二千八百六十七寸与三商廉隅

　　　　　　共积相减恰尽是开得一丈二尺三寸
　　　　　　为正方体积每一边之数也
设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十
　六尺开立方问每一边数几何
　　　　　　法列正方体积九千四百八十一万八
　　　　　　千八百一十六尺自末位起算每方积
　　　　　　三位定方边一位故隔二位作记乃于
　　　　　　六尺上定单位八千尺上定十位四百

　　　　　　万尺上定百位其九千四百万尺为初
　　　　　　商积以初商本位计之则四百万尺为
　　　　　　初商积之单位而九千四百万尺为九
　　　　　　十四止与四自乘再乘之数相准即定
　　　　　　初商为四书于方积四百万尺之上而
　　　　　　以四自乘再乘之六十四书于初商积
　　　　　　之下相减馀三千万尺爰以方边第二
　　　　　　位馀积八十一万八千尺续书于下共
　　　　　　三十零八十一万八千尺为次商廉隅

　　　　　　之共积以次商本位计之则八千尺为

　　　　　　次商积之单位而三千零八十一万八
　　　　　　千尺为三万零八百一十八而初商之
　　　　　　四即为四十乃以初商之四十自乘得
　　　　　　一千六百三因之得四千八百为次商
　　　　　　三方廉面积以除三万零八百一十八
　　　　　　足五倍即定次商为五书于方积八千
　　　　　　尺之上而以初商之四十与次商之五
　　　　　　相乘得二百三因之得六百为次商三

　　　　　　长廉面积复以次商之五自乘得二十
　　　　　　五为次商一小隅面积合三方廉三长
　　　　　　廉一小隅面积共得五千四百二十五
　　　　　　为次商廉隅共法书于馀积之左以次
　　　　　　商之五乘之得二万七千一百二十五
　　　　　　与次商廉隅共积相减馀三百六十九
　　　　　　万三千尺复以方边末位馀积八百一
　　　　　　十六尺续书于下共三百六十九万三
　　　　　　千八百一十六尺为三商廉隅之共积

　　　　　　以三商本位计之则积与边皆仍为本

　　　　　　位乃以初商次商之四百五十尺自乘
　　　　　　得二十万零二千五百三因之得六十
　　　　　　万零七千五百为三商三方廉面积以
　　　　　　除三百六十九万三千八百一十六尺
　　　　　　足六倍即定三商为六书于方积六尺
　　　　　　之上而以初商次商之四百五十与三
　　　　　　商之六相乘得二千七百三因之得八
　　　　　　千一百为三商三长廉面积复以三商

　　　　　　之六自乘得三十六为三商一小隅面
　　　　　　积合三方廉三长廉一小隅面积共得
　　　　　　六十一万五千六百三十六为三商廉
　　　　　　隅共法书于馀积之左以三商之六乘
　　　　　　之得三百六十九万三千八百一十六
　　　　　　与三商廉隅共积相减恰尽是开得四
　　　　　　百五十六尺为正方体积每一边之数
　　　　　　也
设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百

　二十七寸开立方问每一边数几何

　　　　　　法列正方体积三百四十七丈四百二
　　　　　　十八尺九百二十七寸自末位起算每
　　　　　　隔二位作记即于七寸上定寸位八尺
　　　　　　上定尺位七丈上定丈位其三百四十
　　　　　　七丈为初商积与七丈自乘再乘之数
　　　　　　相准即定初商为七丈书于方积七丈
　　　　　　之上而以七丈自乘再乘之三百四十
　　　　　　三丈书于初商积之下相减馀四丈即

　　　　　　四千尺爰以方边第二位馀积四百二
　　　　　　十八尺续书于下共四千四百二十八
　　　　　　尺为次商廉隅之共积乃以初商之七
　　　　　　丈作七十尺自乘得四千九百尺三因
　　　　　　之得一万四千七百尺为次商三方廉
　　　　　　面积以除方积四千四百二十八尺其
　　　　　　数不足是次商为空位也乃书一空于
　　　　　　方积八尺之上以存次商之位复以方
　　　　　　边末位馀积九百二十七寸续书于下

　　　　　　共四千四百二十八尺九百二十七寸

　　　　　　即四百四十二万八千九百二十七寸
　　　　　　为三商廉隅之共积仍以次商三方廉
　　　　　　面积一万四千七百尺作一百四十七
　　　　　　万寸为廉法以除四百四十二万八千
　　　　　　九百二十七寸足三寸即定三商为三
　　　　　　寸书于方积七寸之上又以初商之七
　　　　　　丈为七百寸与三商之三寸相乘得二
　　　　　　千一百寸三因之得六千三百寸为三

　　　　　　商三长廉面积复以三商之三寸自乘
　　　　　　得九寸为三商一小隅面积合三方廉
　　　　　　三长廉一小隅面积共得一百四十七
　　　　　　万六千三百零九寸为三商廉隅共法
　　　　　　书于馀积之左以三商之三寸乘之得
　　　　　　四百四十二万八千九百二十七寸与
　　　　　　三商廉隅共积相减恰尽是开得七丈
　　　　　　零三寸为正方体积每一边之数也此
　　　　　　法商出之方边有空位凡廉法除馀积

　　　　　　而数不足者皆依此例推之

设如正方体积三千九百三十万四千尺开立方问
　每一边数几何
　　　　　　法列正方体积三千九百三十万四千
　　　　　　尺补三空位以足其分自末空位起算
　　　　　　每隔二位作记乃于空尺上定单位四
　　　　　　千尺上定十位九百万尺上定百位其
　　　　　　三千九百万尺为初商积以初商本位
　　　　　　计之则九百万尺为初商积之单位而

　　　　　　三千九百为三十九止与三自乘再乘
　　　　　　之数相准即定初商为三书于方积九
　　　　　　百万尺之上而以三自乘再乘之二十
　　　　　　七书于初商积之下相减馀一千二百
　　　　　　万尺爰以方边第二位馀积三十万四
　　　　　　千尺续书于下共一千二百三十万四
　　　　　　千尺为次商廉隅之共积以次商本位
　　　　　　计之则四千尺为次商积之单位而一
　　　　　　千二百三十万四千尺为一万二千三

　　　　　　百零四而初商之三即为三十乃以初

　　　　　　商之三十自乘得九百三因之得二千
　　　　　　七百为次商三方廉面积以除馀积一
　　　　　　万二千三百零四足四倍即定次商为
　　　　　　四书于方积四千尺之上又以初商之
　　　　　　三十与次商之四相乘得一百二十三
　　　　　　因之得三百六十为次商三长廉面积
　　　　　　复以次商之四自乘得一十六为次商
　　　　　　一小隅面积合三方廉三长廉一小隅

　　　　　　面积共得三千零七十六为次商廉隅
　　　　　　共法书于馀积之左以次商之四乘之
　　　　　　得一万二千三百零四与馀积相减恰
　　　　　　尽是开得三百四十尺为正方体积每
　　　　　　一边之数也此法方积之末有三空位
　　　　　　故所得方边之末亦补一空位凡设数
　　　　　　未至单位者皆依此例补足位分然后
　　　　　　开之
设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百

　零四分开立方问每一边数几何

　　　　　　法列正方体积一丈八百七十九尺零
　　　　　　八十寸九百零四分自末位起算每隔
　　　　　　二位作记于四分上定分位空寸上定
　　　　　　寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其
　　　　　　一丈为初商积与一丈自乘再乘之数
　　　　　　相合即定初商为一丈书于方积一丈
　　　　　　之上而以一丈自乘再乘之一丈书于
　　　　　　初商积之下相减恰尽爰以方边第二

　　　　　　位馀积八百七十九尺续书于下为次
　　　　　　商廉隅之共积乃以初商之一丈作一
　　　　　　十尺自乘得一百尺三因之得三百尺
　　　　　　为次商三方廉面积以除八百七十九
　　　　　　尺足二尺即定次商为二尺书于方积
　　　　　　九尺之上而以初商之一十尺与次商
　　　　　　之二尺相乘得二十尺三因之得六十
　　　　　　尺为次商三长廉而积复以次商之二
　　　　　　尺自乘得四尺为次商一小隅面积合

　　　　　　三方廉三长廉一小隅面积共得三百

　　　　　　六十四尺为次商廉隅共法书于馀积
　　　　　　之左以次商之二尺乘之得七百二十
　　　　　　八尺与馀积相减仍馀一百五十一尺
　　　　　　即一十五万一千寸又以方边第三位
　　　　　　馀积八十寸续书于下共一十五万一
　　　　　　千零八十寸为三商廉隅之共积乃以
　　　　　　初商次商之一丈二尺作一百二十寸
　　　　　　自乘得一万四千四百寸三因之得四

　　　　　　万三千二百寸为三商三方廉面积以
　　　　　　除一十五万一千零八十寸足三寸即
　　　　　　定三商为三寸书于方积空寸之上而
　　　　　　以初商次商之一百二十寸与三商之
　　　　　　三寸相乘得三百六十寸三因之得一
　　　　　　千零八十寸为三商三长廉面积复以
　　　　　　三商之三寸自乘得九寸为三商一小
　　　　　　隅面积合三方廉三长廉一小隅面积
　　　　　　共得四万四千二百八十九寸为三商

　　　　　　廉隅共法书于馀积之左以三商之三

　　　　　　寸乘之得一十三万二千八百六十七
　　　　　　寸与馀积相减仍馀一万八千二百一
　　　　　　十三寸即一千八百二十一万三千分
　　　　　　又以方边第四位馀积九百零四分续
　　　　　　书于下共一千八百二十一万三千九
　　　　　　百零四分为四商廉隅之共积乃以初
　　　　　　商次商三商之一百二十三寸作一千
　　　　　　二百三十分自乘得一百五十一万二

　　　　　　千九百分三因之得四百五十三万八
　　　　　　千七百分为四商三方廉面积以除一
　　　　　　千八百二十一万三千九百零四分足
　　　　　　四分即定四商为四分书于方积四分
　　　　　　之上而以初商次商三商之一千二百
　　　　　　三十分与四商之四分相乘得四千九
　　　　　　百二十分三因之得一万四千七百六
　　　　　　十分为四商三长廉面积复以四商之
　　　　　　四分自乘得一十六分为四商一小隅

　　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共

　　　　　　得四百五十五万三千四百七十六分
　　　　　　为四商廉隅共法书于馀积之左以四
　　　　　　商之四分乘之得一千八百二十一万
　　　　　　三千九百零四分与馀积相减恰尽是
　　　　　　开得一丈二尺三寸四分为正方体积
　　　　　　每一边之数也
设如正方体积八十亿六千零一十五万零一百二
　十五尺开立方问每一边数几何

　　　　　　法列正方体积八十亿六千零一十五
　　　　　　万零一百二十五尺自末位起算每隔
　　　　　　二位作记于五尺上定单位空千尺上
　　　　　　定十位空百万尺上定百位八十亿尺
　　　　　　上定千位其八十亿尺为初商积以初
　　　　　　商本位计之则八十亿尺为初商积之
　　　　　　单位而八十亿尺为八止与二自乘再
　　　　　　乘之数相合即定初商为二书于方积
　　　　　　八十亿尺之上而以二自乘再乘之八

　　　　　　书于初商积之下相减恰尽爰以方边

　　　　　　第二位馀积六千万尺续书于下为次
　　　　　　商廉隅之共积以次商本位计之则空
　　　　　　百万尺为次商之单位而六千万尺为
　　　　　　六十而初商之二即为二十故以初商
　　　　　　之二十自乘得四百三因之得一千二
　　　　　　百为次商三方廉面积以除六十其数
　　　　　　不足是次商为空位乃书一空于方积
　　　　　　空百万尺之上以存次商之位复以方

　　　　　　边第三位馀积一十五万尺续书于下
　　　　　　共六千零一十五万尺为三商廉隅之
　　　　　　共积以三商本位计之则空千尺为三
　　　　　　商之单位而六千零一十五万尺为六
　　　　　　万零一百五十而初商之二即为二百
　　　　　　次商之空即为空十故以初商次商之
　　　　　　二空作二百自乘得四万三因之得十
　　　　　　二万为三商三方廉面积以除六万零
　　　　　　一百五十其数仍不足是三商亦为空

　　　　　　位乃再书一空于方积空千尺之上以

　　　　　　存三商之位复以方边末位馀积一百
　　　　　　二十五尺续书于下共六千零一十五
　　　　　　万零一百二十五尺为四商廉隅之共
　　　　　　积以四商本位计之则积与边皆仍为
　　　　　　本位乃以初商次商三商之二千空百
　　　　　　空十自乘得四百万尺三因之得一千
　　　　　　二百万尺为四商三方廉面积以除六
　　　　　　千零一十五万零一百二十五尺足五

　　　　　　尺即定四商为五尺书于方积五尺之
　　　　　　上而以初商之二千尺与四商之五尺
　　　　　　相乘得一万尺三因之得三万尺为四
　　　　　　商三长廉面积复以四商之五尺自乘
　　　　　　得二十五尺为四商一小隅面积合三
　　　　　　方廉三长廉一小隅面积共得一千二
　　　　　　百零三万零二十五尺为四商廉隅共
　　　　　　法书于馀积之左以四商之五尺乘之
　　　　　　得六千零一十五万零一百二十五尺

　　　　　　与馀积相减恰尽是开得二千零五尺

　　　　　　为正方体积每一边之数也此法商出
　　　　　　之方边有二空位凡开立方遇此类者
　　　　　　皆依此例推之
设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千
　二百七十二尺开立方问每一边数几何
　　　　　　法列正方体积三十二亿九千四百六
　　　　　　十四万六千二百七十二尺自末位起
　　　　　　算每隔二位作记于二尺上定单位六

　　　　　　千尺上定十位四百万尺上定百位三
　　　　　　十亿尺上定千位其三十亿尺为初商
　　　　　　积以初商本位计之则三十亿尺为初
　　　　　　商积之单位而三十亿尺为三止与一
　　　　　　自乘再乘之数相准即定初商为一书
　　　　　　于方积三十亿尺之上而以一自乘再
　　　　　　乘之一书于初商积之下相减馀二十
　　　　　　亿尺爰以方边第二位馀积二亿九千
　　　　　　四百万尺续书于下共二十二亿九千

　　　　　　四百万尺为次商廉隅之共积以次商

　　　　　　本位计之则四百万尺为次商积之单
　　　　　　位而二十二亿九千四百万尺为二千
　　　　　　二百九十四而初商之一即为一十乃
　　　　　　以初商之一十自乘得一百三因之得
　　　　　　三百为次商三方廉面积以除二千二
　　　　　　百九十四足七倍因定次商为七而以
　　　　　　初商之一十与次商之七相乘得七十
　　　　　　三因之得二百一十为次商三长廉面

　　　　　　积复以次商之七自乘得四十九为次
　　　　　　商一小隅面积合三方廉三长廉一小
　　　　　　隅面积共得五百五十九为次商廉隅
　　　　　　共法以次商之七乘之得三千九百一
　　　　　　十三大于次商廉隅之共积是次商不
　　　　　　可商七也乃改商六而以初商之一十
　　　　　　与次商之六相乘得六十三因之得一
　　　　　　百八十为次商三长廉面积复以次商
　　　　　　之六自乘得三十六为次商一小隅面

　　　　　　积合三方廉三长廉一小隅面积共得

　　　　　　五百一十六为次商廉隅共法以次商
　　　　　　之六乘之得三千零九十六仍大于次
　　　　　　商廉隅之共积是次商不可商六也又
　　　　　　改商五而以初商之一十与次商之五
　　　　　　相乘得五十三因之得一百五十为次
　　　　　　商三长廉面积复以次商之五自乘得
　　　　　　二十五为次商一小隅面积合三方廉
　　　　　　三长廉一小隅面积共得四百七十五

　　　　　　为次商廉隅共法以次商之五乘之得
　　　　　　二千三百七十五仍大于次商廉隅之
　　　　　　共积是次商又不可商五也乃改商四
　　　　　　而以初商之一十与次商之四相乘得
　　　　　　四十三因之得一百二十为次商三长
　　　　　　廉面积复以次商之四自乘得一十六
　　　　　　为次商一小隅面积合三方廉三长廉
　　　　　　一小隅面积共得四百三十六为次商
　　　　　　廉隅共法以次商之四乘之得一千七

　　　　　　百四十四是小于次商廉隅之共积可

　　　　　　减也乃以次商之四书于方积四百万
　　　　　　尺之上而以次商乘廉隅共法之一千
　　　　　　七百四十四与次商廉隅之共积相减
　　　　　　馀五亿五千万尺复以方边第三位馀
　　　　　　积六十四万六千尺续书于下共五亿
　　　　　　五千零六十四万六千尺为三商廉隅
　　　　　　之共积以三商本位计之则六千尺为
　　　　　　三商积之单位而五亿五千零六十四

　　　　　　万六千尺为五十五万零六百四十六
　　　　　　而初商次商之一十四即为一百四十
　　　　　　乃以初商之一百四十自乘得一万九
　　　　　　千六百三因之得五万八千八百为三
　　　　　　商三方廉面积以除五十五万零六百
　　　　　　四十六足九倍因定三商为九而以初
　　　　　　商次商之一百四十与三商之九相乘
　　　　　　得一千二百六十三因之得三千七百
　　　　　　八十为三商三长廉面积复以三商之

　　　　　　九自乘得八十一为三商一小隅面积

　　　　　　合三方廉三长廉一小隅面积共得六
　　　　　　万二千六百六十一为三商廉隅共法
　　　　　　以三商之九乘之得五十六万三千九
　　　　　　百四十九大于三商廉隅之共积是三
　　　　　　商不可商九也乃改商八而以初商次
　　　　　　商之一百四十与三商之八相乘得一
　　　　　　千一百二十三因之得三千三百六十
　　　　　　为三商三长廉面积复以三商之八自

　　　　　　乘得六十四为三商一小隅面积合三
　　　　　　方廉三长廉一小隅面积共得六万二
　　　　　　千二百二十四为三商廉隅共法以三
　　　　　　商之八乘之得四十九万七千七百九
　　　　　　十二是小于三商廉隅之共积可减也
　　　　　　乃以三商之八书于方积六千尺之上
　　　　　　而以三商乘廉隅共法之四十九万七
　　　　　　千七百九十二与三商廉隅之共积相
　　　　　　减馀五千二百八十五万四千尺复以

　　　　　　方边末位馀积二百七十二尺续书于

　　　　　　下共五千二百八十五万四千二百七
　　　　　　十二尺为四商廉隅之共积以四商本
　　　　　　位计之则积与边皆仍为本位乃以初
　　　　　　商次商三商之一千四百八十尺自乘
　　　　　　得二百一十九万零四百三因之得六
　　　　　　百五十七万一千二百为四商三方廉
　　　　　　面积以除五千二百八十五万四千二
　　　　　　百七十二足八倍即定四商为八书于

　　　　　　方积二尺之上而以初商次商三商之
　　　　　　一千四百八十与四商之八相乘得一
　　　　　　万一千八百四十三因之得三万五千
　　　　　　五百二十为四商三长廉面积复以四
　　　　　　商之八自乘得六十四为四商一小隅
　　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共
　　　　　　得六百六十万六千七百八十四为四
　　　　　　商廉隅共法以四商之八乘之得五千
　　　　　　二百八十五万四千二百七十二与馀

　　　　　　积相减恰尽是开得一千四百八十八

　　　　　　尺为正方体积每一边之数也此法盖
　　　　　　因方边之第三位第四位二数太大故
　　　　　　次商廉隅之共积以次商之三方廉除
　　　　　　得次商之边继而以次商之边与次商
　　　　　　廉隅共法相乘大于原积甚多改商三
　　　　　　次所乘之数始与次商廉隅之共积相
　　　　　　准而后次商之数可定凡开立方遇此
　　　　　　类者皆依此例推之如或廉隅共法与

　　　　　　商出之数相乘得数大于廉隅共积几
　　　　　　一倍者则改商必审其与廉隅共积相
　　　　　　近小数始可为准也
设如有积一万四千七百三十四尺开立方问每一
　边数几何
　　　　　　法列积一万四千七百三十四尺自末
　　　　　　位起算隔二位作记于四尺上定单位
　　　　　　四千尺上定十位其一万四千尺为初
　　　　　　商积以初商本位计之则四千尺为初

　　　　　　商积之单位而一万四千为一十四止

　　　　　　与二自乘再乘之数相准即定初商为
　　　　　　二书于方积四千尺之上而以二自乘
　　　　　　再乘之八书于初商积之下相减馀六
　　　　　　千尺爰以方边第二位馀积七百三十
　　　　　　四尺续书于下共六千七百三十四尺
　　　　　　为次商廉隅之共积以次商本位计之
　　　　　　则边与积皆仍为本位而初商之二则
　　　　　　为二十尺乃以初商之二十尺自乘得

　　　　　　四百尺三因之得一千二百尺为次商
　　　　　　三方廉面积以除方积六千七百三十
　　　　　　四尺足五尺乃以初商之二十尺与次
　　　　　　商之五尺相乘得一百尺三因之得三
　　　　　　百尺为次商三长廉面积复以次商之
　　　　　　五尺自乘得二十五尺为次商一小隅
　　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共
　　　　　　一千五百二十五尺为次商廉隅共法
　　　　　　以次商之五尺乘之得七千六百二十

　　　　　　五尺大于次商廉隅之共积是次商不

　　　　　　可商五尺也乃改商四尺书于方积四
　　　　　　尺之上而以初商之二十尺与次商之
　　　　　　四尺相乘得八十尺三因之得二百四
　　　　　　十尺为次商三长廉面积复以次商之
　　　　　　四尺自乘得一十六尺为次商一小隅
　　　　　　面积合三方廉三长廉一小隅面积共
　　　　　　得一千四百五十六尺为次商廉隅共
　　　　　　法书于馀积之左以次商之四尺乘之

　　　　　　得五千八百二十四尺与馀积相减仍
　　　　　　馀九百一十尺是开得二十四尺为方
　　　　　　体每一边之数仍馀九百一十尺不尽
　　　　　　也如欲以馀数再开则得方边之寸数
　　　　　　乃增三空于总积之后复续书三空于
　　　　　　九百一十尺之后为几百几十几寸之
　　　　　　位是则九百一十尺作九十一万寸为
　　　　　　三商廉隅之共积爰以初商次商之二
　　　　　　十四尺作二百四十寸自乘得五万七

　　　　　　千六百寸三因之得一十七万二千八

　　　　　　百寸为三商三方廉面积以除馀积九
　　　　　　十一万寸足五寸即定三商为五寸书
　　　　　　于馀积空寸之上而以初商次商之二
　　　　　　百四十寸与三商之五寸相乘得一千
　　　　　　二百寸三因之得三千六百寸为三商
　　　　　　三长廉面积复以三商之五寸自乘得
　　　　　　二十五寸为三商一小隅面积合三方
　　　　　　廉三长廉一小隅面积共得一十七万

　　　　　　六千四百二十五寸为三商廉隅共法
　　　　　　书于馀积之左以三商之五寸乘之得
　　　　　　八十八万二千一百二十五寸与馀积
　　　　　　相减仍馀二万七千八百七十五寸不
　　　　　　尽如再以馀数开之则得方边之分数
　　　　　　乃又续书三空于原积空寸之后复续
　　　　　　书三空于二万七千八百七十五寸之
　　　　　　后为几百几十几分之位是则二万七
　　　　　　千八百七十五寸作二千七百八十七

　　　　　　万五千分为四商廉隅之共积爰以初

　　　　　　商次商三商之二十四尺五寸作二千
　　　　　　四百五十分自乘得六百万零二千五
　　　　　　百分三因之得一千八百万零七千五
　　　　　　百分为四商三方廉面积以除馀积二
　　　　　　千七百八十七万五千分足一分即定
　　　　　　四商为一分书于馀积空分之上而以
　　　　　　初商次商三商之二千四百五十分与
　　　　　　四商之一分相乘仍得二千四百五十

　　　　　　分三因之得七千三百五十分为四商
　　　　　　三长廉面积复以四商之一分自乘仍
　　　　　　得一分为四商一小隅面积合三方廉
　　　　　　三长廉一小隅面积共得一千八百零
　　　　　　一万四千八百五十一分为四商廉隅
　　　　　　共法书于馀积之左以四商之一分乘
　　　　　　之仍得一千八百零一万四千八百五
　　　　　　十一分与馀积相减仍馀九百八十六
　　　　　　万零一百四十九分不尽是开得二十

　　　　　　四尺五寸一分为方体每一边之数也

　　　　　　此法原积本非自乘再乘所得之数虽
　　　　　　递析之终不能尽凡开立方遇此类者
　　　　　　皆以此例推之
设如有方亭几座用方砖铺地共用一千七百二十
　八块其所铺之座数与每座每行之砖数相等问
　亭之座数几何
　　　　　　法列方砖一千七百二十八块为立方
　　　　　　积用开立方法开之于八块上定单位

　　　　　　一千块上定十位其一千块为初商积
　　　　　　以初商本位计之则一千为初商积之
　　　　　　单位与一自乘再乘之数相合即定初
　　　　　　商为一书于方积一千之上而以一自
　　　　　　乘再乘之一书于初商积之下相减恰
　　　　　　尽爰以第二位馀积七百二十八块续
　　　　　　书于下为次商廉隅之共积而以初商
　　　　　　之一作一十自乘得一百三因之得三
　　　　　　百为次商三方廉面积以除七百二十

　　　　　　八足二倍即定次商为二书于方积八

　　　　　　块之上而以初商之一十与次商之二
　　　　　　相乘得二十三因之得六十为次商三
　　　　　　长廉面积复以次商之二自乘得四为
　　　　　　次商一小隅面积合三方廉三长廉一
　　　　　　小隅面积共得三百六十四书于馀积
　　　　　　之左以次商之二乘之得七百二十八
　　　　　　与馀积相减恰尽是得所铺亭数为一
　　　　　　十二座也此法因所铺之亭数与每行

　　　　　　砖数相等是每行砖一十二块其亭亦
　　　　　　一十二座虽非立方形而法则立方法
　　　　　　也故用立方开之
设如有方仓一座共盛粮八百七十八石八斗问仓
　高几何
　　　　　　法以每石定法二尺五百寸乘八百七
　　　　　　十八石八斗得二千一百九十七尺为
　　　　　　立方积用开立方法开之其二千尺为
　　　　　　初商积以初商本位计之则二千尺为

　　　　　　初商积之单位止与一自乘再乘之数

　　　　　　相准即定初商为一书于方积二千之
　　　　　　上而以一自乘再乘之一书于初商积
　　　　　　之下相减馀一千尺爰以第二位馀积
　　　　　　一百九十七尺续书于下共一千一百
　　　　　　九十七尺为次商廉隅之共积而以初
　　　　　　商之一作一十自乘得一百三因之得
　　　　　　三百为次商三方廉面积以除一千一
　　　　　　百九十七尺足三倍即定次商为三书

　　　　　　于方积七尺之上而以初商之一十与
　　　　　　次商之三相乘得三十三因之得九十
　　　　　　为次商三长廉面积复以次商之三自
　　　　　　乘得九为次商一小隅面积合三方廉
　　　　　　三长廉一小隅面积共得三百九十九
　　　　　　为次商廉隅共法书于馀积之左以次
　　　　　　商之三乘之得一千一百九十七尺与
　　　　　　馀积相减恰尽是开得方仓之高为一
　　　　　　十三尺也此法因粮是石法所问乃仓

　　　　　　之尺数故先将石变为尺而开立方即

　　　　　　得仓之高也
设如有方石一块重一二万六千六百二十两问每边
　尺寸几何
　　　　　　法以石之定率每寸重二两五钱除二
　　　　　　万六千六百二十两得一万零六百四
　　　　　　十八寸为立方积用开立方法开之其
　　　　　　一万寸为初商积以初商本位计之则
　　　　　　空千位为初商积之单位而一万尺为

　　　　　　一十与二自乘再乘之数相准即定初
　　　　　　商为二书于空千寸之上而以二自乘
　　　　　　再乘之八书于初商积之下相减馀二
　　　　　　千寸爰以第二位馀积六百四十八寸
　　　　　　续书于下共二千六百四十八寸为次
　　　　　　商廉隅之共积而以初商之二作二十
　　　　　　自乘得四百三因之得一千二百为次
　　　　　　商三方廉面积以除二千六百四十八
　　　　　　寸足二倍即定次商为二书于方积八

　　　　　　寸之上而以初商之二十与次商之二

　　　　　　相乘得四十三因之得一百二十为次
　　　　　　商三长廉面积复以次商之二自乘得
　　　　　　四为次商一小隅面积合三方廉三长
　　　　　　廉一小隅面积共得一千三百二十四
　　　　　　为次商廉隅共法书于馀积之左以次
　　　　　　商之二乘之得二千六百四十八寸与
　　　　　　馀积相减恰尽是开得二十二寸为正
　　　　　　方石每一边之数也此法因石是两数

　　　　　　所问乃石之寸数故先将石之两数变
　　　　　　为寸而开立方即得石之寸数也
设如有水银一万六千三百四十四两六钱八分欲
　作一方匣盛之问匣高几何
　　　　　　法先以水银定率每寸重一十二两二
　　　　　　钱八分除一万六千三百四十四两六
　　　　　　钱八分得一千三百三十一寸为立方
　　　　　　积用开立方法开之其一千寸为初商
　　　　　　积以初商本位计之则一千为初商积

　　　　　　之单位与一自乘再乘之数相合即定

　　　　　　初商为一书于一千寸之上而以一自
　　　　　　乘再乘之一书于方积一千寸之下相
　　　　　　减恰尽爰以第二位馀积三百三十一
　　　　　　寸续书于下为次商廉隅之共积而以
　　　　　　初商之一作一十自乘得一百三因之
　　　　　　得三百为次商三方廉面积以除三百
　　　　　　三十一寸足一倍即定次商为一书于
　　　　　　方积一寸之上而以初商之一十与次

　　　　　　商之一相乘得一十三因之得三十为
　　　　　　次商三长廉面积复以次商之一自乘
　　　　　　仍得一为一小隅面积合三方廉三长
　　　　　　廉一小隅面积共得三百三十一为次
　　　　　　商廉隅共法书于馀积之左以次商之
　　　　　　一乘之仍得三百三十一与馀积相减
　　　　　　恰尽是开得一十一寸为方匣之高也
设如有方池一区其深与方相等容水四千零九十
　六尺问深几何

　　　　　　法列四千零九十六尺为立方积用开

　　　　　　立方法开之其四千尺为初商积以初
　　　　　　商本位计之则四千为初商积之单位
　　　　　　与一自乘再乘之数相准即定初商为
　　　　　　一书于四千尺之上而以一自乘再乘
　　　　　　之一书于方积四千尺之下相减馀三
　　　　　　千尺爰以第二位馀积九十六尺续书
　　　　　　于下共三千零九十六尺为次商廉隅
　　　　　　之共积而以初商之一作一十自乘得

　　　　　　一百三因之得三百为次商三方廉面
　　　　　　积以除三千零九十六尺可得十尺若
　　　　　　商十尺则合于初商之数再合方廉长
　　　　　　廉小隅面积必大于次商廉隅之共积
　　　　　　可知故商九尺八尺七尺皆仍大于次
　　　　　　商廉隅之共积乃改商六尺书于方积
　　　　　　六尺之上而以初商之一十与次商之
　　　　　　六相乘得六十三因之得一百八十为
　　　　　　次商三长廉面积复以次商之六自乘

　　　　　　得三十六为次商一小隅面积合三方

　　　　　　　廉三长廉一小隅面积共得五百一十
　　　　　　　六为次商廉隅共法书于馀积之左以
　　　　　　　次商之六乘之得三千零九十六与馀
　　　　　　　积相减恰尽是开得一十六尺为池之
　　　　　　　深也此法因池之深与方相等其所容
　　　　　　　水数即正方体积故立方开之得一边
　　　　　　　之数即池之深也
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷二十三