钦定四库全书
御制数理精蕴卷二十二
　　面部十二
　　各等边形
　　　更面形

　　　各等边形
设如五等边形每边一尺二寸问面积几何
　　　　　　法以全圜三百六十度五分之每分得
　　　　　　七十二度折半得三十六度爰以三十
　　　　　　六度之正弦五万八千七百七十九为
　　　　　　一率半径十万为二率今所设之五等
　　　　　　边形之每边一尺二寸折半得六寸为
　　　　　　三率求得四率一尺零二分零七豪七

　　　　　　丝二忽有馀为五等边形外切圜之半
　　　　　　径或用求圜内容五等边形之一边之
　　　　　　定率比例以定率之圜内容五等边形
　　　　　　之每边五八七七八五二五为一率圜
　　　　　　径一○○○○○○○○为二率今所
　　　　　　设之五等边形之每边一尺二寸为三
　　　　　　率求得四率二尺零四分一釐五豪六
　　　　　　丝一忽有馀折半得一尺零二分零七
　　　　　　豪八丝有馀为五等边形外切圜之半

　　　　　　径乃以此半径为弦五等边形之每边

　　　　　　折半为勾求得股八寸二分五釐八豪
　　　　　　二丝七忽有馀为五等边形之中心至
　　　　　　每边正中之垂线或以三十六度之正
　　　　　　弦五万八千七百七十九为一率三十
　　　　　　六度之馀弦八万零九百零二为二率
　　　　　　今所设之五等边形之每边之半六寸
　　　　　　为三率求得四率八寸二分五釐八豪
　　　　　　二丝五忽有馀为五等边形之中心至

　　　　　　每边正中之垂线既得此垂线乃与每
　　　　　　边折半之数相乘得四十九寸五十四
　　　　　　分九十釐有馀五因之得二尺四十七
　　　　　　寸七十四分五十釐有馀即五等边形
　　　　　　之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形
　　　　　　试作一外切圜形则每边之弧皆为七
　　　　　　十二度将甲乙边折半于己自圜心庚
　　　　　　作庚己辛半径线遂平分甲乙弧于辛
　　　　　　则甲辛弧为三十六度甲己即三十六

　　　　　　度之正弦庚己即三十六度之馀弦是

　　　　　　故三十六度之正弦与半径十万之比
　　　　　　即如今所设之每边之半甲己与所得
　　　　　　之半径甲庚之比又三十六度之正弦
　　　　　　与三十六度之馀弦之比即如今所设
　　　　　　之每边之半甲己与所得之垂线庚己
　　　　　　之比也(此即圜内容五等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法以三十六度之正切七万二千六
　　　　　　百五十四为一率半径十万为二率今

　　　　　　所设之五等边形之每边之半六寸为
　　　　　　三率求得四率八寸二分五釐八豪三
　　　　　　丝二忽有馀为五等边形内容圜之半
　　　　　　径或用求圜外切五等边形之一边之
　　　　　　定率比例以定率之圜外切五等边形
　　　　　　之每边七二六五四二五二为一率圜
　　　　　　径一○○○○○○○○为二率今所
　　　　　　设之五等边形之每边一尺二寸为三
　　　　　　率求得四率一尺六寸五分一釐六豪

　　　　　　五丝八忽有馀折半得八寸二分五釐

　　　　　　八豪二丝九忽有馀为五等边形内容
　　　　　　圜之半径即五等边形之中心至每边
　　　　　　正中之垂线乃与每边折半之数相乘
　　　　　　五因之得二尺四十七寸七十四分八
　　　　　　十七釐有馀为五等边形之面积也如
　　　　　　图甲乙丙丁戊五等边形试作一内容
　　　　　　圜形自甲角过圜心己作甲己庚线遂
　　　　　　平分丙丁边于庚则丙庚即三十六度

　　　　　　之正切故以三十六度之正切与半径
　　　　　　十万之比同于今所设之每边之半丙
　　　　　　庚与所得之内容圜半径己庚之比也
　　　　　　(此即圜外切五等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法用连比例三率有中率求末率之
　　　　　　法以每边一尺二寸为中率求得末率
　　　　　　七寸四分一釐六豪四丝有馀(中率求/末率即)
　　　　　　(如首率求/中率也)乃以末率与中率相加得一
　　　　　　尺九寸四分一釐六豪四丝有馀为首

　　　　　　率即五等边形两角相对之斜线乃以

　　　　　　此斜线为弦每边之半为勾求得股一
　　　　　　尺八寸四方六釐六豪零九忽有馀为
　　　　　　五等边形中心至每边正中之垂线与
　　　　　　分角线之和(即五等边形自一角/至每边正中之垂线)复以
　　　　　　此垂线为首率每边之半为中率求得
　　　　　　末率一寸九分四釐九豪五丝二忽为
　　　　　　五等边形中心至每边正中之垂线与
　　　　　　分角线之较乃以此较数与先所得和

　　　　　　数相加得二尺零四分一釐五豪六丝
　　　　　　一忽有馀折半得一尺零二分零七豪
　　　　　　八丝有馀为五等边形之分角线(即五/等边)
　　　　　　(形外切圜/之半径)仍以此较数与先所得和数
　　　　　　相减得一尺六寸五分一釐六豪五丝
　　　　　　七忽有馀折半得八寸二分五釐八豪
　　　　　　二丝八忽有馀为五等边形中心至每
　　　　　　边正中之垂线(即五等边形内/容圜之半径)乃以此
　　　　　　垂线与每边之半相乘五因之得二尺

　　　　　　四十七寸七十四分八十四釐有馀即

　　　　　　五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊
　　　　　　五等边形巳为五等边形之中心试自
　　　　　　甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线成
　　　　　　甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁
　　　　　　乙线截甲丙线于庚则又成丁庚丙三
　　　　　　角形此两三角形为同式形故甲丙线
　　　　　　为首率(即理分中末/线之全分)丙丁边为中率(即/理)
　　　　　　(分中末线/之大分)而所截之甲庚一段与丙丁

　　　　　　边等亦为中率庚丙一段即为末率(即/理)
　　　　　　(分中末线/之小分)其比例为甲丙首率与丙丁
　　　　　　中率之比即同于丙丁中率与庚丙末
　　　　　　率之比故按连比例三率有中率求末
　　　　　　率之法求得庚丙末率与甲庚中率相
　　　　　　加即得甲丙首率为两角相对斜线爰
　　　　　　用甲丙斜线为弦丙辛每边之半为勾
　　　　　　求得用辛股为己辛中心至边之垂线
　　　　　　与甲己分角线之和既得甲辛线则用

　　　　　　连比例有首率中率求末率之法以甲

　　　　　　辛为首率丙辛为中率求得辛壬末率
　　　　　　即己辛中心至边之垂线与甲己分角
　　　　　　线之较既得辛壬与甲辛相加折半得
　　　　　　甲己即分角线又为五等边形外切圜
　　　　　　之半径以辛壬与甲辛相减折半得己
　　　　　　辛即中心至每边之垂线又为五等边
　　　　　　形内容圜之半径既得己辛垂线与丙
　　　　　　丁每边之半丙辛相乘得己丙丁一三

　　　　　　角形之面积五倍之即五等边形之面
　　　　　　积也
　　　　　　又既得五等边形两角相对之斜线与
　　　　　　自一角至每边正中之垂线求面积捷
　　　　　　法以所得末率七寸四分一釐六豪四
　　　　　　丝有馀加每边之半六寸得一尺三寸
　　　　　　四分一釐六豪四丝有馀与自一角至
　　　　　　每边正中之垂线一尺八寸四分六釐
　　　　　　六豪零九忽有馀相乘得二尺四十七

　　　　　　寸七十四分八十四釐有馀即五等边

　　　　　　形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边
　　　　　　形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二
　　　　　　线遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角
　　　　　　形又自甲至己作甲己垂线则甲己垂
　　　　　　线与丙己每边之半相乘即得甲丙丁
　　　　　　三角形面积又自乙角至甲丙线上作
　　　　　　乙庚垂线则乙庚垂线与甲丙斜线相
　　　　　　乘即得甲乙丙甲戊丁两三角形之共

　　　　　　面积然无乙庚之数今试自丁角至乙
　　　　　　角作丁乙斜线截甲丙斜线于辛则甲
　　　　　　辛与丁辛等俱为中率乙辛与辛丙等
　　　　　　俱为末率又成乙辛庚勾股形与甲丙
　　　　　　己勾股形为同式形(丁辛丙三角形之/辛角原与丙角等)
　　　　　　(而与乙辛庚勾股形之辛角为对角其/度亦等庚角与己角又同为直角其馀)
　　　　　　(一角亦必等所/以为同式形)故甲丙为一率甲己为
　　　　　　二率乙辛为三率乙庚为四率凡二率
　　　　　　三率相乘与一率四率相乘之数等今

　　　　　　以甲己垂线与乙辛末率相乘必与乙

　　　　　　庚垂线与甲丙斜线相乘之积等是即
　　　　　　甲乙丙甲戊丁两三角形之共积矣故
　　　　　　以乙辛末率与丙己每边之半相加而
　　　　　　与甲己垂线相乘即得甲乙丙丁戊五
　　　　　　等边形之面积也
　　　　　　又法用边线相等面积不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方面积一○○○○○
　　　　　　○○○为一率五等边形面积一七二

　　　　　　○四七七四一为二率今所设之五等
　　　　　　边形之每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸为三率求得四率二尺四十七
　　　　　　寸七十四分八十七釐有馀即五等边
　　　　　　形之面积也盖五等边形之每一边为
　　　　　　一○○○○则其自乘之正方面积为
　　　　　　一○○○○○○○○而五等边形之
　　　　　　每一边一○○○○所得之五等边形
　　　　　　面积为一七二○四七七四一故以子

　　　　　　丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○

　　　　　　○○○自乘之寅卯己午正方面积一
　　　　　　○○○○○○○○与子丑寅卯辰五
　　　　　　等边形面积一七二○四七七四一之
　　　　　　比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等
　　　　　　边形之每一边一尺二寸自乘之丙丁
　　　　　　己庚正方面积一尺四十四寸与今所
　　　　　　得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺
　　　　　　四十七寸七十四分八十七釐有馀之

　　　　　　比也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之五等边形之每边七六二
　　　　　　三八七○五为一率正方形之每边一
　　　　　　○○○○○○○○为二率今所设之
　　　　　　五等边形之每边一尺二寸为三率求
　　　　　　得四率一尺五寸七分四釐零三忽有
　　　　　　馀为与五等边形面积相等之正方形
　　　　　　每边之数自乘得二尺四十七寸七十

　　　　　　四分八十五釐有馀即五等边形之面

　　　　　　积也盖五等边形之每边为七六二三
　　　　　　八七○五正方形之每边为一○○○
　　　　　　○○○○○则两面积相等故以子丑
　　　　　　寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二
　　　　　　三八七○五与己午未申正方形之午
　　　　　　未一边一○○○○○○○○之比即
　　　　　　同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形
　　　　　　之丙丁一边一尺二寸与今所得之己

　　　　　　庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸
　　　　　　七分四釐零三忽有馀之比既得庚辛
　　　　　　一边自乘得己庚辛壬正方面积即与
　　　　　　甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等
　　　　　　也
　　　　　　如有五等边形之面积二尺四十七寸
　　　　　　七十四分八十七釐求每边之数则用
　　　　　　边线相等面积不同之定率比例以定
　　　　　　率之五等边形之面积一七二○四七

　　　　　　七四一为一率正方形之面积一○○

　　　　　　○○○○○○为二率今所设之五等
　　　　　　边形之面积二尺四十七寸七十四分
　　　　　　八十七釐为三率求得四率一尺四十
　　　　　　四寸开方得一尺二寸即五等边形之
　　　　　　每一边也此法盖因五等边形之每边
　　　　　　与正方形之每边相等五等边形之面
　　　　　　积与正方形之面积不同故先定为面
　　　　　　与面之比例既得面积而后开方得线

　　　　　　也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方形之每边一○○○
　　　　　　○○○○○为一率五等边形之每边
　　　　　　七六二三八七○五为二率今所设之
　　　　　　五等边形之面积二尺四十七寸七十
　　　　　　四分八十七釐开方得一尺五寸七分
　　　　　　四釐零三忽有馀为三率求得四率一
　　　　　　尺二寸即五等边形之每一边也此法

　　　　　　盖因五等边形之面积与正方形之面

　　　　　　积相等五等边形之每边与正方形之
　　　　　　每边不同故以五等边形之面积先开
　　　　　　方既得方边而后为线与线之比例也
设如六等边形每边一尺二寸问面积几何
　　　　　　法因六等边形之每边与分角线(即六/等边)
　　　　　　(形外切圜/之半径)相等故即以每边一尺二寸
　　　　　　为弦每边之半六寸为勾求得股一尺
　　　　　　零三分九釐二豪三丝有馀为六等边

　　　　　　形中心至每边正中之垂线(即六等边/形内容圜)
　　　　　　(之半/径)乃以此垂线与每边之半相乘六
　　　　　　因之得三尺七十四寸一十二分二十
　　　　　　八釐有馀即六等边形之面积也如图
　　　　　　甲乙丙丁戊己六等边形庚为六等边
　　　　　　形之中心其庚丙分角线与丙丁类每
　　　　　　边等故以庚丙为弦每边之半丙辛为
　　　　　　勾求得庚辛股即六等边形中心至每
　　　　　　边正中之垂线既得垂线与丙丁之半

　　　　　　丙辛相乘得庚丙丁一三角形面积六

　　　　　　倍之即六等边形之面积也
　　　　　　又法用边线相等面积不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方面积一○○○○○
　　　　　　○○○为一率六等边形面积二五九
　　　　　　八○七六二○为二率今所设之六等
　　　　　　边形之每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸为三率求得四率三尺七十四
　　　　　　寸一十二分二十九釐有馀即六等边

　　　　　　形之面积也盖六等边形之每一边为
　　　　　　一○○○○则其自乘之正方面积为
　　　　　　一○○○○○○○○而六等边形之
　　　　　　每一边一○○○○所得之六等边形
　　　　　　面积为二五九八○七六二○故以子
　　　　　　丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一
　　　　　　○○○○自乘之寅卯午未正方面积
　　　　　　一○○○○○○○○与子丑寅卯辰
　　　　　　己六等边形面积二五九八○七六二

　　　　　　○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊

　　　　　　己六等边形之每一边一尺二寸自乘
　　　　　　之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸
　　　　　　与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形
　　　　　　面积三尺七十四寸一十二分二十九
　　　　　　釐有馀之比也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之六等边形之每边六二○
　　　　　　四○三二四为一率正方形之每边一

　　　　　　○○○○○○○○为二率今所设之
　　　　　　六等边形之每边一尺二寸为三率求
　　　　　　得四率一尺九寸三分四釐二豪二丝
　　　　　　五忽有馀为与六等边形面积相等之
　　　　　　正方形每边之数自乘得三尺七十四
　　　　　　寸一十二分二十六釐有馀即六等边
　　　　　　形之面积也盖六等边形之每边为六
　　　　　　二○四○三二四正方形之每边为一
　　　　　　○○○○○○○○则两面积相等故

　　　　　　以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一

　　　　　　边六二○四○三二四与午未申酉正
　　　　　　方形之未申一边一○○○○○○○
　　　　　　○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊
　　　　　　己六等边形之丙丁一边一尺二寸与
　　　　　　今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一
　　　　　　边一尺九寸三分四釐二豪二丝五忽
　　　　　　有馀之比既得辛壬一边自乘得庚辛
　　　　　　壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六

　　　　　　等边形之面积为相等也
　　　　　　如有六等边形之面积三尺七十四寸
　　　　　　一十二分二十九釐求每边之数则用
　　　　　　边线相等面积不同之定率比例以定
　　　　　　率之六等边形之面积二五九八○七
　　　　　　六二○为一率正方形之面积一○○
　　　　　　○○○○○○为二率今所设之六等
　　　　　　边形之面积三尺七十四寸一十二分
　　　　　　二十九釐为三率求得四率一尺四十

　　　　　　四寸开方得一尺二寸即六等边形之

　　　　　　每一边也此法盖因六等边形之每边
　　　　　　与正方形之每边相等六等边形之面
　　　　　　积与正方形之面积不同故先定为面
　　　　　　与面之比例既得面积而后开方得线
　　　　　　也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方形之每边一○○○
　　　　　　○○○○○为一率六等边形之每边

　　　　　　六二○四○三二四为二率今所设之六
　　　　　　等边形之面积三尺七十四寸一十
　　　　　　二分二十九釐开方得一尺九寸三分
　　　　　　四釐二豪二丝五忽有馀为三率求得
　　　　　　四率一尺二寸即六等边形之每一边
　　　　　　也此法盖因六等边形之面积与正方
　　　　　　形之面积相等六等边形之每边与正
　　　　　　方形之每边不同故以六等边形之面
　　　　　　积先开方既得方边而后为线与线之

　　　　　　比例也

设如七等边形每边一尺二寸问面积几何
　　　　　　法以全圜三百六十度七分之每分得
　　　　　　五十一度二十五分四十二秒有馀折
　　　　　　半得二十五度四十二分五十一秒有
　　　　　　馀爰以二十五度四十二分五十一秒
　　　　　　有馀之正弦四万三千三百八十八为
　　　　　　一率半径十万为二率今所设之七等
　　　　　　边形之每边一尺二寸折半得六寸为

　　　　　　三率求得四率一尺三寸八分二釐八
　　　　　　豪七丝有馀为七等边形外切圜之半
　　　　　　径或用求圜内容七等边形之一边之
　　　　　　定率比例以定率之圜内容七等边形
　　　　　　之每边四三三八八三七四为一率圜
　　　　　　径一○○○○○○○○为二率今所
　　　　　　设之七等边形之每边一尺二寸为三
　　　　　　率求得四率二尺七寸六分五釐七豪
　　　　　　一丝七忽有馀折半得一尺三寸八分

　　　　　　二釐八豪五丝八忽有馀为七率边形

　　　　　　外切圜之半径乃以此半径为弦七等
　　　　　　边形之每边折半为勾求得股一尺二
　　　　　　寸四分五釐九豪二丝五忽有馀为七
　　　　　　等边形之中心至每边正中之垂线或
　　　　　　以二十五度四十二分五十一秒有馀
　　　　　　之正弦四万三千三百八十八为一率
　　　　　　二十五度四十二分五十一秒有馀之
　　　　　　馀弦九万零九十七为二率今所设之

　　　　　　七等边形之每边之半六寸为三率求
　　　　　　得四率一尺二寸四分五釐九豪二丝
　　　　　　五忽有馀为七等边形之中心至每边
　　　　　　正中之垂线既得此垂线乃与每边折
　　　　　　半之数相乘得七十四寸七十五分五
　　　　　　十五釐有馀七因之得五尺二十三寸
　　　　　　二十八分八十五釐有馀即七等边形
　　　　　　之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等
　　　　　　边形试作一外切圜形则每边之弧皆

　　　　　　为五十一度二十五分四十二秒有馀

　　　　　　将甲乙边折半于辛自圜心壬作壬辛
　　　　　　癸半径线遂平分甲乙弧于癸则甲癸
　　　　　　弧为二十五度四十二分五十一秒有
　　　　　　馀甲辛即二十五度四十二分五十一
　　　　　　秒有馀之正弦壬辛即二十五度四十
　　　　　　二分五十一秒有馀之馀弦是故二十
　　　　　　五度四十二分五十一秒有馀之正弦
　　　　　　与半径十万之比即如今所设之每边

　　　　　　之半甲辛与所得之半径甲壬之比又
　　　　　　二十五度四十二分五十一秒有馀之
　　　　　　正弦与二十五度四十二分五十一秒
　　　　　　有馀之馀弦之比即如今所设之每边
　　　　　　之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也
　　　　　　(此即圜内容七等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法以二十五度四十二分五十一秒
　　　　　　有馀之正切四万八千一百五十七为
　　　　　　一率半径十万为二率今所设之七等

　　　　　　边形之每边之半六寸为三率求得四

　　　　　　率一尺二寸四分五釐九豪二丝四忽
　　　　　　有馀为七等边形内容圜之半径或用
　　　　　　求圜外切七等边形之一边之定率比
　　　　　　例以定率之圜外切七等边形之每边
　　　　　　四八一五七四六二为一率圜径一○
　　　　　　○○○○○○○为二率今所设之七
　　　　　　等边形之每边一尺二寸为三率求得
　　　　　　四率二尺四寸九分一釐八豪二丝五

　　　　　　忽有馀折半得一尺二寸四分五釐九
　　　　　　豪一丝二忽有馀为七等边形内容圜
　　　　　　之半径即七等边形之中心至每边正
　　　　　　中之垂线乃与每边折半之数相乘七
　　　　　　因之得五尺二十三寸二十八分三十
　　　　　　釐有馀即七等边形之面积也如图甲
　　　　　　乙丙丁戊己庚七等边形试作一内容
　　　　　　圜形自甲角过圜心辛作甲辛壬线遂
　　　　　　平分丁戊边于壬则丁壬即二十五度

　　　　　　四十二分五十一秒有馀之正切故以

　　　　　　二十五度四十二分五十一秒有馀之
　　　　　　正切与半径十万之比同于今所设之
　　　　　　每边之半丁壬与所得之内容圜半径
　　　　　　辛壬之比也(此即圜外切七等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法用边线相等面积不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方面积一○○○○○
　　　　　　○○○为一率七等边形面积三六三
　　　　　　三九一二四○为二率今所设之七等

　　　　　　边形之每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸为三率求得四率五尺二十三
　　　　　　寸二十八分三十三釐有馀即七等边
　　　　　　形之面积也盖七等边形之每一边为
　　　　　　一○○○○则其自乘之正方面积为
　　　　　　一○○○○○○○○而七等边形之
　　　　　　每一边一○○○○所得之七等边形
　　　　　　面积为三六三三九一二四○故以子
　　　　　　丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边

　　　　　　一○○○○自乘之卯辰未申正方面

　　　　　　积一○○○○○○○○与子丑寅卯
　　　　　　辰己午七等边形面积三六三三九一
　　　　　　二四○之比即同于今所设之甲乙丙
　　　　　　丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二
　　　　　　寸自乘之丁戊辛壬正方面积一尺四
　　　　　　十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚
　　　　　　七等边形面积五尺二十三寸二十八
　　　　　　分三十三釐有馀之比也

　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之七等边形之每边五二四
　　　　　　五八一二六为一率正方形之每边一
　　　　　　○○○○○○○○为二率今所设之
　　　　　　七等边形之每边一尺二寸为三率求
　　　　　　得四率二尺二寸八分七釐五豪三丝
　　　　　　八忽有馀为与七等边形面积相等之
　　　　　　正方形每边之数自乘得五尺二十三
　　　　　　寸二十八分三十釐有馀即七等边形

　　　　　　之面积也盖七等边形之每边为五二

　　　　　　四五八一二六正方形之每边为一○
　　　　　　○○○○○○○则两面积相等故以
　　　　　　子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一
　　　　　　边五二四五八一二六与未申酉戌正
　　　　　　方形之申酉一边一○○○○○○○
　　　　　　○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊
　　　　　　己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸
　　　　　　与今所得之辛壬癸乾正方形之壬癸

　　　　　　一边二尺二寸八分七釐五豪三丝八
　　　　　　忽有馀之比既得壬癸一边自乘得辛
　　　　　　壬癸乾正方面积即与甲乙丙丁戊己
　　　　　　庚七等边形之面积为相等也
　　　　　　如有七等边形之面积五尺二十三寸
　　　　　　二十八分三十三釐求每边之数则用
　　　　　　边线相等面积不同之定率比例以定
　　　　　　率之七等边形之面积三六三三九一
　　　　　　二四○为一率正方形之面积一○○

　　　　　　○○○○○○为二率今所设之七等

　　　　　　边形之面积五尺二十三寸二十八分
　　　　　　三十三釐为三率求得四率一尺四十
　　　　　　四寸开方得一尺二寸即七等边形之
　　　　　　每一边也此法盖因七等边形之每边
　　　　　　与正方形之每边相等七等边形之面
　　　　　　积与正方形之面积不同故先定为面
　　　　　　与面之比例既得面积而后开方得线
　　　　　　也

　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方形之每边一○○○
　　　　　　○○○○○为一率七等边形之每边
　　　　　　五二四五八一二六为二率今所设之
　　　　　　七等边形之面积五尺二十三寸二十
　　　　　　八分三十三釐开方得二尺二寸八分
　　　　　　七釐五豪三丝八忽有馀为三率求得
　　　　　　四率一尺二寸即七等边形之每一边
　　　　　　也此法盖因七等边形之面积与正方

　　　　　　形之面积相等七等边形之每边与正

　　　　　　方形之每边不同故以七等边形之面
　　　　　　积先开方既得方边而后为线与线之
　　　　　　比例也
设如八等边形每边一尺二寸问面积几何
　　　　　　法以全圜三百六十度八分之每分得
　　　　　　四十五度折半得二十二度三十分爰
　　　　　　以二十二度三十分之正弦三万八千
　　　　　　二百六十八为一率半径十万为二率

　　　　　　今所设之八等边形之每边一尺二寸
　　　　　　折半得六寸为三率求得四率一尺五
　　　　　　寸六分七釐八豪八丝九忽有馀为八
　　　　　　等边形外切圜之半径或用求圜内容
　　　　　　八等边形之一边之定率比例以定率
　　　　　　之圜内容八等边形之每边三八二六
　　　　　　八三四三为一率圜径一○○○○○
　　　　　　○○○为二率今所设之八等边形之
　　　　　　每边一尺二寸为三率求得四率三尺

　　　　　　一寸三分五釐七豪五丝一忽有馀折

　　　　　　半得一尺五寸六分七釐八豪七丝五
　　　　　　忽有馀为八等边形之切圜之半径乃
　　　　　　以此半径为弦八等边形之每边折半
　　　　　　为勾求得股一尺四寸四分八釐五豪
　　　　　　二丝七忽有馀为八等边形之中心至
　　　　　　每边正中之垂线或以二十二度三十
　　　　　　分之正弦三万八千二百六十八为一
　　　　　　率二十二度三十分之馀弦九万二千

　　　　　　三百八十八为二率今所设之八等边
　　　　　　形之每边之半六寸为三率求得四率
　　　　　　一尺四寸四分八釐五豪四丝一忽有
　　　　　　馀为八等边形之中心至每边正中之
　　　　　　垂线既得此垂线乃与每边折半之数
　　　　　　相乘得八十六寸九十一分二十四釐
　　　　　　有馀八因之得六尺九十五寸二十九
　　　　　　分九十二釐有馀即八等边形之面积
　　　　　　也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形

　　　　　　试作一外切圜形则每边之弧皆为四

　　　　　　十五度将甲乙边折半于壬自圜心癸
　　　　　　作癸壬子半径线遂平分甲乙弧于子
　　　　　　则甲子弧为二十二度三十分甲壬即
　　　　　　二十二度三十分之正弦癸壬即二十
　　　　　　二度三十分之馀弦是故二十二度三
　　　　　　十分之正弦与半径十万之比即如今
　　　　　　所设之每边之半甲壬与所得之半径
　　　　　　甲癸之比又二十二度三十分之正弦

　　　　　　与二十二度三十分之馀弦之比即如
　　　　　　今所设之每边之半甲壬与所得之垂
　　　　　　线癸壬之比也(此即圜内容八等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法以二十二度三十分之正切四万
　　　　　　一千四百二十一为一率半径十万为
　　　　　　二率今所设之八等边形之每边之半
　　　　　　六寸为三率求得四率一尺四寸四分
　　　　　　八釐五豪四丝有馀为八等边形内容
　　　　　　圜之半径或用求圜外切八等边形之

　　　　　　一边之定率比例以定率之圜外切八

　　　　　　等边形之每边四一四二一三五六为
　　　　　　一率圜径一○○○○○○○○为二
　　　　　　率今所设之八等边形之每边一尺二
　　　　　　寸为三率求得四率二尺八寸九分七
　　　　　　釐零五丝六忽有馀折半得一尺四寸
　　　　　　四分八釐五豪二丝八忽有馀为八等
　　　　　　边形内容圜之半径即八等边形之中
　　　　　　心至每边正中之垂线乃与每边折半

　　　　　　之数相乘八因之得六尺九十五寸二
　　　　　　十九分三十四釐有馀为八等边形之
　　　　　　面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等
　　　　　　边形试作一内容圜形自圜心壬作壬
　　　　　　癸中心至每边正中之垂线遂平分丁
　　　　　　戊边于癸则丁癸即二十二度三十分
　　　　　　之正切故以二十二度三十分之正切
　　　　　　与半径十万之比同于今所设之每边
　　　　　　之半丁癸与所得之内容圜半径壬癸

　　　　　　之比也(此即圜外切八等边/形之法而转用之也)

　　　　　　又法以每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸折半得七十二寸开方得八寸
　　　　　　四分八釐五豪二丝八忽有馀与每边
　　　　　　之半六寸相加得一尺四寸四分八釐
　　　　　　五豪二丝八忽有馀为自中心至每边
　　　　　　正中之垂线乃以此垂线与每边之半
　　　　　　相乘八因之得六尺九十五寸二十九
　　　　　　分三十四釐为八等边形之面积也如

　　　　　　图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形壬为
　　　　　　八等边形之中心试将辛甲乙丙丁戊
　　　　　　己庚四边俱引长相交遂成癸子丑寅
　　　　　　正方形其四角丙子丁类勾股相等之
　　　　　　四勾股形之弦即八等边形之每一边
　　　　　　故以丙丁一边自乘折半开方得丙子
　　　　　　或子丁于丙子内再加乙丙边之半卯
　　　　　　丙得卯子与壬辰等即八等边形自中
　　　　　　心至每边正中之垂线既得垂线与每

　　　　　　边之半相乘八因之即得八等边形之

　　　　　　面积也
　　　　　　又法用边线相等面积不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方面积一○○○○○
　　　　　　○○○为一率八等边形面积四八二
　　　　　　八四二七一二为二率今所设之八等
　　　　　　边形之每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸为三率求得四率六尺九十五
　　　　　　寸二十九分三十五釐有馀即八等边

　　　　　　形之面积也盖八等边形之每一边为
　　　　　　一○○○○则其自乘之正方面积为
　　　　　　一○○○○○○○○而八等边形之
　　　　　　每一边一○○○○所得之八等边形
　　　　　　面积为四八二八四二七一二故以子
　　　　　　丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一
　　　　　　边一○○○○自乘之卯辰申酉正方
　　　　　　面积一○○○○○○○○与子丑寅
　　　　　　卯辰巳午未八等边形面积四八二八

　　　　　　四二七一二之比即同于今所设之甲

　　　　　　乙丙丁戊己庚辛八等边形之每一边
　　　　　　一尺二寸自乘之丁戊壬癸正方面积
　　　　　　一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁
　　　　　　戊己庚辛八等边形面积六尺九十五
　　　　　　寸二十九分三十五釐有馀之比也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之八等边形之每边四五五
　　　　　　○八九八五为一率正方形之每边一

　　　　　　○○○○○○○○为二率今所设之
　　　　　　八等边形之每边一尺二寸为三率求
　　　　　　得四率二尺六寸三分六釐八豪四丝
　　　　　　一忽有馀为与八等边形面积相等之
　　　　　　正方形每边之数自乘得六尺九十五
　　　　　　寸二十九分三十五釐有馀即八等边
　　　　　　形之面积也盖八等边形之每边为四
　　　　　　五五○八九八五正方形之每边为一
　　　　　　○○○○○○○○则两面积相等故

　　　　　　以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯

　　　　　　辰一边四五五○八九八五与申酉戌
　　　　　　亥正方形之酉戌一边一○○○○○
　　　　　　○○○之比即同于今所设之甲乙丙
　　　　　　丁戊己庚辛八等边形之丁戊一边一
　　　　　　尺二寸与今所得之癸乾一边二尺六
　　　　　　寸三分六釐八豪四丝一忽有馀之比
　　　　　　既得癸乾一边自乘得壬癸乾坎正方
　　　　　　面积即与甲乙丙丁戊己庚辛八等边

　　　　　　形之面积为相等也
　　　　　　如有八等边形之面积六尺九十五寸
　　　　　　二十九分三十五釐求每边之数则用
　　　　　　边线相等面积不同之定率比例以定
　　　　　　率之八等边形之面积四八二八四二
　　　　　　七一二为一率正方形之面积一○○
　　　　　　○○○○○○为二率今所设之八等
　　　　　　边形之面积六尺九十五寸二十九分
　　　　　　三十五釐为三率求得四率一尺四十

　　　　　　四寸开方得一尺二寸即八等边形之

　　　　　　每一边也此法盖因八等边形之每边
　　　　　　与正方形之每边相等八等边形之面
　　　　　　积与正方形之面积不同故先定为面
　　　　　　与面之比例既得面积而后开方得线
　　　　　　也
　　　　　　又法用面积相等边线不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方形之每边一○○○
　　　　　　○○○○○为一率八等边形之每边

　　　　　　四五五○八九八五为二率今所设之
　　　　　　八等边形之面积六尺九十五寸二十
　　　　　　九分三十五釐开方得二尺六寸三分
　　　　　　六釐八豪四丝一忽有馀为三率求得
　　　　　　四率一尺二寸即八等边形之每一边
　　　　　　也此法盖因八等边形之面积与正方
　　　　　　形之面积相等八等边形之每边与正
　　　　　　方形之每边不同故以八等边形之面
　　　　　　积先开方既得方边而后为线与线之

　　　　　　比例也

设如九等边形每边一尺二寸问面积几何
　　　　　　法以全圜三百六十度九分之每分得
　　　　　　四十度折半得二十度爰以二十度之
　　　　　　正弦三万四千二百零二为一率半径
　　　　　　十万为二率今所设之九等边形之每
　　　　　　边一尺二寸折半得六寸为三率求得
　　　　　　四率一尺七寸五分四釐二豪八丝三
　　　　　　忽有馀为九等边形外切圜之半径或

　　　　　　用求圜内容九等边形之一边之定率
　　　　　　比例以定率之圜内容九等边形之每
　　　　　　边三四二○二○一四为一率圜径一
　　　　　　○○○○○○○○为二率今所设之
　　　　　　九等边形之每边一尺二寸为三率求
　　　　　　得四率三尺五寸零八釐五豪六丝五
　　　　　　忽有馀折半得一尺七寸五分四釐二
　　　　　　豪八丝二忽有馀为九等边形外切圜
　　　　　　之半径乃以此半径为弦九等边形之

　　　　　　每边折半为勾求得股一尺六寸四分

　　　　　　八釐四豪八丝六忽有馀为九等边形
　　　　　　之中心至每边正中之垂线或以二十
　　　　　　度之正弦三万四千二百零二为一率
　　　　　　二十度之馀弦九万三千九百六十九
　　　　　　为二率今所设之九等边形之每边之
　　　　　　半六寸为三率求得四率一尺六寸四
　　　　　　分八釐四豪八丝二忽有馀为九等边
　　　　　　形之中心至每边正中之垂线既得此

　　　　　　垂线乃与每边折半之数相乘得九十
　　　　　　八寸九十分八十九釐有馀九因之得
　　　　　　八尺九十寸一十八分零一釐有馀即
　　　　　　九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊
　　　　　　己庚辛壬九等边形试作一外切圜形
　　　　　　则每边之弧皆为四十度将甲乙边折
　　　　　　半于癸自圜心子作子癸丑半径线遂
　　　　　　平分甲乙弧于丑则甲丑弧为二十度
　　　　　　甲癸即二十度之正弦子癸即二十度

　　　　　　之馀弦是故二十度之正弦与半径十

　　　　　　万之比即如今所设之每边之半甲癸
　　　　　　与所得之半径甲子之比又二十度之
　　　　　　正弦与二十度之馀弦之比即如今所
　　　　　　设之每边之半甲癸与所得之垂线子
　　　　　　癸之比也(此即圜内容九等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法以二十度之正切三万六千三百
　　　　　　九十七为一率半径十万为二率今所
　　　　　　设之九等边形之每边之半六寸为三

　　　　　　率求得四率一尺六寸四分八釐四豪
　　　　　　八丝七忽有馀为九等边形内容圜之
　　　　　　半径或用求圜外切九等边形之一边
　　　　　　之定率比例以定率之圜外切九等边
　　　　　　形之每边三六三九七○二四为一率
　　　　　　圜径一○○○○○○○○为二率今
　　　　　　所设之九等边形之每边一尺二寸为
　　　　　　三率求得四率三尺二寸九分六釐九
　　　　　　豪七丝二忽有馀折半得一尺六寸四

　　　　　　分八釐四豪八丝六忽有馀为九等边

　　　　　　形内容圜之半径即九等边形之中心
　　　　　　至每边正中之垂线乃与每边折半之
　　　　　　数相乘九因之得八尺九十寸一十八
　　　　　　分一十九釐有馀为九等边形之面积
　　　　　　也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边
　　　　　　形试作一内容圜形自甲角过圜心癸
　　　　　　作甲癸子线遂平分戊巳边于子则戊
　　　　　　子即二十度之正切故以二十度之正

　　　　　　切与半径十万之比同于今所设之每
　　　　　　边之半戊子与所得之内容圜半径癸
　　　　　　子之比也(此即圜外切九等边/形之法而转用之也)
　　　　　　又法用边线相等面积不同之定率比
　　　　　　例以定率之正方面积一○○○○○
　　　　　　○○○为一率九等边形面积六一八
　　　　　　一八二四二○为二率今所设之九等
　　　　　　边形之每边一尺二寸自乘得一尺四
　　　　　　十四寸为三率求得四率八尺九十寸

　　　　　　一十八分二十六釐有馀即九等边形

　　　　　　之面积也盖九等边形之每一边为一
　　　　　　○○○○则其自乘之正方面积为一
　　　　　　○○○○○○○○而九等边形之每
　　　　　　一边一○○○○所得之九等边形面
　　　　　　积为六一八一八二四二○故以子丑
　　　　　　寅卯辰巳午未申九等边形之辰已一
　　　　　　边一○○○○自乘之辰已酉戌正方
　　　　　　面积一○○○○○○○○与子丑寅