钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十一
　　面部十一
　　　圜内容各等边形
　　　圜外切各等边形

　　　圜内容各等边形
设如圜径一尺二寸求内容三等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸为弦半径六寸为
　　　　　　勾求得股一尺零三分九釐二豪三丝
　　　　　　有馀为圜内容三等边形之每一边爰
　　　　　　以三等边形之每一边为弦每一边折
　　　　　　半为勾求得股九寸或以圜径一尺二

　　　　　　寸取其四分之三亦得九寸为圜内容
　　　　　　三等边形之中垂线乃以每一边之一
　　　　　　尺零三分九釐二豪三丝有馀与中垂
　　　　　　线九寸相乘得九十三寸五十三分零
　　　　　　七釐有馀折半得四十六寸七十六分
　　　　　　五十三釐有馀即圜内容三等边形之
　　　　　　面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容
　　　　　　甲丙丁三等边形试自丁至乙作丁乙
　　　　　　线即圜内容六等边形之每一边与丁

　　　　　　戊半径等甲乙全径丁乙半径与甲丁

　　　　　　边遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全径
　　　　　　为弦丁乙半径为勾求得甲丁股即圜
　　　　　　内容三等边形之每一边也其甲己中
　　　　　　垂线即甲丁弦己丁勾所求之股又为
　　　　　　圜径四分之三既得一边又得中垂线
　　　　　　即如三角形求面积法算之而得圜内
　　　　　　容三等边形之面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度三分之每分

　　　　　　得一百二十度折半得六十度乃以半
　　　　　　径十万为一率六十度之正弦八万六
　　　　　　千六百零三为二率今所设之半径六
　　　　　　寸为三率求得四率五寸一分九釐六
　　　　　　豪一丝八忽倍之得一尺零三分九釐
　　　　　　二豪三丝六忽为圜内容三等边形之
　　　　　　每一边既得每一边之数乃取圜径四
　　　　　　分之三为中垂线与每一边之数相乘
　　　　　　折半得四十六寸七十六分五十六釐

　　　　　　有馀即圜内容三等边形之面积也如

　　　　　　图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三
　　　　　　等边形每一边之弧皆一百二十度试
　　　　　　将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊
　　　　　　庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚
　　　　　　弧为六十度甲戊即六十度之正弦甲
　　　　　　丙即一百二十度之通弦是故半径十
　　　　　　万与六十度之正弦之比即如所设之
　　　　　　半径六寸与甲戊之半边之比既得半

　　　　　　边倍之即全边也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容三等边形之每一边八
　　　　　　六六○二五四○为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率一尺零
　　　　　　三分九釐二豪三丝有馀即圜内容三
　　　　　　等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例

　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○

　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容三等
　　　　　　边形之面积三二四七五九五三为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率四十六
　　　　　　寸七十六分五十三釐有馀即圜内容
　　　　　　三等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜

　　　　　　内容三等边形之面积四一三四九六
　　　　　　六七为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率四十六
　　　　　　寸七十六分五十三釐有馀即圜内容
　　　　　　三等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容四等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸

　　　　　　自乘得三十六寸倍之得七十二寸开

　　　　　　方得八寸四分八釐五豪二丝八忽有
　　　　　　馀为圜内容四等边形之每一边其半
　　　　　　径自乘倍之所得七十二寸即圜内容
　　　　　　四等边形之面积也如图甲乙圜径一
　　　　　　尺二寸内容甲丙乙丁四等边形试自
　　　　　　圜心戊至丁角作戊丁半径线遂成甲
　　　　　　戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同为半径
　　　　　　一为勾一即为股故止以半径自乘倍

　　　　　　之开方而得甲丁弦即圜内容四等边
　　　　　　形之每一边也每一边自乘是仍为半
　　　　　　径自乘倍之之数即圜内容四等边形
　　　　　　之面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度四分之每分
　　　　　　得九十度折半得四十五度乃以半径
　　　　　　十万为一率四十五度之正弦七万零
　　　　　　七百一十一为二率今所设之半径六
　　　　　　寸为三率求得四率四寸二分四釐二

　　　　　　豪六丝六忽倍之得八寸四分八釐五

　　　　　　豪三丝二忽为圜内容四等边形之每
　　　　　　一边既得每一边之数即以每一边自
　　　　　　乘得七十二寸即圜内容四等边形之
　　　　　　面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容
　　　　　　甲丙乙丁四等边形每一边之弧皆九
　　　　　　十度试将甲丙边折半于戊自圜心己
　　　　　　作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚
　　　　　　则甲庚弧为四十五度甲戊即四十五

　　　　　　度之正弦甲丙即九十度之通弦是故
　　　　　　半径十万与四十五度之正弦之比即
　　　　　　如所设之半径六寸与甲戊之半边之
　　　　　　比既得半边倍之即全边也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容四等边形之每一边七
　　　　　　○七一○六七八为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率八寸四

　　　　　　分八釐五豪二丝八忽有馀即圜内容

　　　　　　四等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容四等
　　　　　　边形之面积五○○○○○○○为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率七十二
　　　　　　寸即圜内容四等边形之面积也

　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　内容四等边形之面积六三六六一九
　　　　　　七七为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率七十二
　　　　　　寸即圜内容四等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容五等边形之每一边及
　面积几何

　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸

　　　　　　为首率用连比例三率有首率求中率
　　　　　　末率使中率末率相加与首率等之法
　　　　　　求得中率三寸七分零八豪二丝有馀
　　　　　　即圜内容十等边形之每一边(详见割/圜卷中)
　　　　　　乃以所得中率与半径首率相减馀二
　　　　　　寸二分九釐一豪八丝为末率折半得
　　　　　　一寸一分四釐五豪九丝为半末率即
　　　　　　以此半末率为勾中率为弦求得股三

　　　　　　寸五分二釐六豪七丝一忽有馀倍之
　　　　　　得七寸零五釐三豪四丝二忽有馀为
　　　　　　圜内容五等边形之每一边又以中率
　　　　　　与半末率相加得四寸八分五釐四豪
　　　　　　一丝有馀为自圜心至每一边之中垂
　　　　　　线乃以每一边折半之数与中垂线相
　　　　　　乘得一十七寸一十一分九十釐有馀
　　　　　　五因之得八十五寸五十九分五十釐
　　　　　　有馀即圜内容五等边形之面积也如

　　　　　　图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊

　　　　　　己五等边形试自圜心庚至每角各作
　　　　　　一半径线即分五等边形为五三角形
　　　　　　又自乙至戊作乙戊线即圜内容十等
　　　　　　边形之每一边庚乙庚戊半径与乙戊
　　　　　　边遂成庚乙戊三角形又依乙戊线度
　　　　　　截庚乙半径于辛作戊辛线则又成戊
　　　　　　辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式
　　　　　　形故庚乙为首率乙戊戊辛俱为中率

　　　　　　辛乙为末率辛壬与壬乙俱为半末率
　　　　　　是以壬乙半末率为勾乙戊中率为弦
　　　　　　求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五
　　　　　　等边形之每一边又以庚辛中率与辛
　　　　　　壬半末率相加得庚壬中垂线用三角
　　　　　　形求面积法算之得庚丁戊一三角形
　　　　　　面积五倍之而得圜内容五等边形之
　　　　　　总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度五分之每分

　　　　　　得七十二度折半得三十六度乃以半

　　　　　　径十万为一率三十六度之正弦五万
　　　　　　八千七百七十九为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率三寸五分二
　　　　　　釐六豪七丝四忽倍之得七寸零五釐
　　　　　　三豪四丝八忽为圜内容五等边形之
　　　　　　每一边次以半径十万为一率三十六
　　　　　　度之馀弦八万零九百零二为二率今
　　　　　　所设之半径六寸为三率求得四率四

　　　　　　寸八分五釐四豪一丝二忽为自圜心
　　　　　　至每一边之中垂线与每一边折半之
　　　　　　数相乘五因之得八十五寸五十九分
　　　　　　六十釐有馀为圜内容五等边形之面
　　　　　　积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲
　　　　　　丙丁戊己五等边形每一边之弧皆七
　　　　　　十二度试将甲丙边折半于庚自圜心
　　　　　　辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于
　　　　　　壬则甲壬弧为三十六度甲庚即三十

　　　　　　六度之正弦甲丙即七十二度之通弦

　　　　　　辛庚即三十六度之馀弦是故半径十
　　　　　　万与三十六度之正弦之比即如所设
　　　　　　之半径六寸与甲庚之半边之比既得
　　　　　　半边倍之即全边又半径十万与三十
　　　　　　六度之馀弦之比即如所设之半径六
　　　　　　寸与辛庚中垂线之比也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○

　　　　　　为一率圜内容五等边形之每一边五
　　　　　　八七七八五二五为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率七寸零
　　　　　　五釐三豪四丝二忽有馀即圜内容五
　　　　　　等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容五等
　　　　　　边形之面积五九四四一○三一为二

　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率八十五
　　　　　　寸五十九分五十釐有馀即圜内容五
　　　　　　等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　内容五等边形之面积七五六八二六
　　　　　　七二为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率八十五
　　　　　　寸五十九分五十釐有馀即圜内容五
　　　　　　等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容六等边形之每一边及
　　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸
　　　　　　即圜内容六等边形之每一边爰以半
　　　　　　径六寸为弦每一边折半得三寸为勾
　　　　　　求得股五寸一分九釐六豪一丝五忽

　　　　　　有馀为自圜心至每一边之中垂线乃

　　　　　　以每一边折半之数与中垂线相乘得
　　　　　　一十五寸五十八分八十四釐有馀六
　　　　　　因之得九十三寸五十三分零四釐有
　　　　　　馀即圜内容六等边形之面积也如图
　　　　　　甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊
　　　　　　己六等边形其每一边皆六寸与半径
　　　　　　等试自圜心庚至每角各作一半径线
　　　　　　即分六等边形为六三角形以甲庚半

　　　　　　径为弦甲丙一边折半得甲辛为勾求
　　　　　　得股为庚辛中垂线用三角形求面积
　　　　　　法算之得甲丙庚一三角形之面积六
　　　　　　倍之而得圜内容六等边形之总面积
　　　　　　也
　　　　　　又法以全圜三百六十度六分之每分
　　　　　　得六十度折半得三十度乃以半径十
　　　　　　万为一率三十度之正弦五万为二率
　　　　　　今所设之半径六寸为三率求得四率

　　　　　　三寸倍之得六寸为圜内容六等边形

　　　　　　之每一边次以半径十万为一率三十
　　　　　　度之馀弦八万六千六百零三为二率
　　　　　　今所设之半径六寸为三率求得四率
　　　　　　五寸一分九釐六豪一丝八忽为自圜
　　　　　　心至每一边之中垂线与每一边折半
　　　　　　之数相乘六因之得九十三寸五十三
　　　　　　分一十二釐有馀为圜内容六等边形
　　　　　　之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内

　　　　　　容甲丙丁乙戊己六等边形每一边之
　　　　　　弧皆六十度试将甲丙边折半于庚自
　　　　　　圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙
　　　　　　弧于壬则甲壬弧为三十度甲庚即三
　　　　　　十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛
　　　　　　庚即三十度之馀弦是故半径十万与
　　　　　　三十度之正弦之比即如所设之半径
　　　　　　六寸与甲庚之半边之比既得半边倍
　　　　　　之即全边又半径十万与三十度之馀

　　　　　　弦之比即如所设之半径六寸与辛庚

　　　　　　中垂线之比也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容六等边形之每一边五
　　　　　　○○○○○○○为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率六寸即
　　　　　　圜内容六等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例

　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容六等
　　　　　　边形之面积六四九五一九○五为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率九十三
　　　　　　寸五十三分零七釐有馀即圜内容六
　　　　　　等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜

　　　　　　内容六等边形之面积八二六九九三

　　　　　　三四为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率九十三
　　　　　　寸五十三分零七釐有馀即圜内容六
　　　　　　等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容七等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸

　　　　　　为一率用连比例四率有一率求二率
　　　　　　三率四率使一率与四率相加与二率
　　　　　　两倍再加一三率等之法求得二率二
　　　　　　寸六分七釐零二丝五忽有馀为圜内
　　　　　　容十四等边形之每一边(详见割/圜卷中)乃以
　　　　　　半径六寸为底仍以半径六寸与十四
　　　　　　等边形之每一边二寸六分七釐零二
　　　　　　丝五忽有馀为两腰用三角形求中垂
　　　　　　线法算之得二寸六分零三豪三丝有

　　　　　　馀倍之得五寸二分零六豪六丝有馀

　　　　　　为圜内容七等边形之每一边爰以半
　　　　　　径六寸为弦七等边形之每一边折半
　　　　　　为勾求得股五寸四分零五豪八丝一
　　　　　　忽有馀为自圜心至每一边之中垂线
　　　　　　乃以每一边折半之数与中垂线相乘
　　　　　　得一十四寸零七分二十九釐有馀七
　　　　　　因之得九十八寸五十一分零三釐有
　　　　　　馀即圜内容七等边形之面积也如图

　　　　　　甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己
　　　　　　庚辛七等边形试自圜心壬至每角各
　　　　　　作一半径线即分七等边形为七三角
　　　　　　形又自戊至乙作戊乙线即圜内容十
　　　　　　四等边形之每一边壬乙壬戊半径与
　　　　　　戊乙边遂成壬戊乙三角形故以壬乙
　　　　　　半径为底壬戊半径与戊乙十四等边
　　　　　　形之每一边为两腰求得戊癸垂线倍
　　　　　　之得戊己即圜内容七等边形之每一

　　　　　　边也又壬戊为弦戊癸为勾求得股为

　　　　　　壬癸中垂线用三角形求面积法算之
　　　　　　得壬戊己一三角形之面积七倍之而
　　　　　　得圜内容七等边形之总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度七分之每分
　　　　　　得五十一度二十五分四十二秒有馀
　　　　　　折半得二十五度四十二分五十一秒
　　　　　　有馀乃以半径十万为一率二十五度
　　　　　　四十二分五十一秒有馀之正弦四万

　　　　　　三千三百八十八为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率二寸六分零
　　　　　　三豪二丝八忽倍之得五寸二分零六
　　　　　　豪五丝六忽为圜内容七等边形之每
　　　　　　一边次以半径十万为一率二十五度
　　　　　　四十二分五十一秒有馀之馀弦九万
　　　　　　零九十七为二率今所设之半径六寸
　　　　　　为三率求得四率五寸四分零五豪八
　　　　　　丝二忽为自圜心至每一边之中垂线

　　　　　　与每一边折半之数相乘七因之得九

　　　　　　十八寸五十分九十六釐有馀为圜内
　　　　　　容七等边形之面积也如图甲乙圜径
　　　　　　一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等
　　　　　　边形每一边之弧皆五十一度二十五
　　　　　　分四十二秒有馀试将甲丙边折半于
　　　　　　壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分
　　　　　　甲丙弧于子则甲子弧为二十五度四
　　　　　　十二分五十一秒有馀甲壬即二十五

　　　　　　度四十二分五十一秒有馀之正弦甲
　　　　　　丙即五十一度二十五分四十二秒有
　　　　　　馀之通弦癸壬即二十五度四十二分
　　　　　　五十一秒有馀之馀弦是故半径十万
　　　　　　与二十五度四十二分五十一秒有馀
　　　　　　之正弦之比即如所设之半径六寸与
　　　　　　甲壬之半边之比既得半边倍之即全
　　　　　　边又半径十万与二十五度四十二分
　　　　　　五十一秒有馀之馀弦之比即如所设

　　　　　　之半径六寸与癸壬中垂线之比也

　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容七等边形之每一边四
　　　　　　三三八八三七四为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率五寸二
　　　　　　分零六豪六丝有馀即圜内容七等边
　　　　　　形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例

　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容七等
　　　　　　边形之面积六八四一○二五四为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率九十八
　　　　　　寸五十一分零七釐有馀即圜内容七
　　　　　　等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜

　　　　　　内容七等边形之面积八七一○二六

　　　　　　四一为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率九十八
　　　　　　寸五十一分零七釐有馀即圜内容七
　　　　　　等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容八等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸求得圜内容四等

　　　　　　边形之每一边为八寸四分八釐五毫
　　　　　　二丝八忽有馀折半得四寸二分四釐
　　　　　　二毫六丝四忽有馀为股又以四边之
　　　　　　半四寸二分四釐二豪六丝四忽有馀
　　　　　　与半径六寸相减馀一寸七分五釐七
　　　　　　毫三丝六忽有馀为勾求得弦四寸五
　　　　　　分九釐二豪一丝九忽有馀为圜内容
　　　　　　八等边形之每一边爰以半径六寸为
　　　　　　弦八等边形之每一边折半得二寸二

　　　　　　分九釐六豪零九忽有馀为勾求得股

　　　　　　五寸五分四釐三豪二丝八忽有馀为
　　　　　　自圜心至每一边之中垂线乃以每一
　　　　　　边折半之数与中垂线相乘得一十二
　　　　　　寸七十二分七十八釐有馀八因之得
　　　　　　一尺零一寸八十二分二十四釐有馀
　　　　　　即圜内容八等边形之面积也如图甲
　　　　　　乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己
　　　　　　庚辛八等边形先求得圜内容四等边

　　　　　　形之每一边为戊己折半得戊壬与癸
　　　　　　壬等为股以癸壬与癸乙半径相减馀
　　　　　　壬乙为勾求得戊乙弦为圜内容八等
　　　　　　边形之每一边试自圜心至每角各作
　　　　　　一半径线即分八等边形为八三角形
　　　　　　以癸乙半径为弦戊乙折半得子乙为
　　　　　　勾求得股为癸子中垂线用三角形求
　　　　　　面积法算之得癸戊乙一三角形之面
　　　　　　积八倍之而得圜内容八等边形之总

　　　　　　面积也

　　　　　　又法以全圜三百六十度八分之每分
　　　　　　得四十五度折半得二十二度三十分
　　　　　　乃以半径十万为一率二十二度三十
　　　　　　分之正弦三万八千二百六十八为二
　　　　　　率今所设之半径六寸为三率求得四
　　　　　　率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得
　　　　　　四寸五分九釐二豪一丝六忽为圜内
　　　　　　容八等边形之每一边次以半径十万

　　　　　　为一率二十二度三十分之馀弦九万
　　　　　　二千三百八十八为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率五寸五分四
　　　　　　釐三豪二丝八忽为自圜心至每一边
　　　　　　之中垂线与每一边折半之数相乘八
　　　　　　因之得一尺零一寸八十二分二十四
　　　　　　釐有馀为圜内容八等边形之面积也
　　　　　　如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁
　　　　　　戊乙己庚辛八等边形每一边之弧皆

　　　　　　四十五度试将甲丙边折半于壬自圜

　　　　　　心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧
　　　　　　于子则甲子弧为二十二度三十分甲
　　　　　　壬即二十二度三十分之正弦甲丙即
　　　　　　四十五度之通弦癸壬即二十二度三
　　　　　　十分之馀弦是故半径十万与二十二
　　　　　　度三十分之正弦之比即如所设之半
　　　　　　径六寸与甲壬之半边之比既得半边
　　　　　　倍之即全边又半径十万与二十二度

　　　　　　三十分之馀弦之比即如所设之半径
　　　　　　六寸与癸壬中垂线之比也
　　　　　　乂用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容八等边形之每一边三
　　　　　　八二六八三四三为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率四寸五
　　　　　　分九釐二豪二丝有馀即圜内容八等
　　　　　　边形之每一边也

　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例

　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容八等
　　　　　　边形之面积七○七一○六七八为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺零
　　　　　　一寸八十二分三十三釐有馀即圜内
　　　　　　容八等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜

　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　内容八等边形之面积九○○三一六
　　　　　　三一为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率一尺零
　　　　　　一寸八十二分三十三釐有馀即圜内
　　　　　　容八等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容九等边形之每一边及
　　面积几何

　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸

　　　　　　为一率用连比例四率有一率求二率
　　　　　　三率四率使一率与四率相加与二率
　　　　　　三倍等之法求得二率二寸零八釐三
　　　　　　豪七丝七忽有馀为圜内容十八等边
　　　　　　形之每一边(详见割/圜卷中)乃以半径六寸为
　　　　　　底仍以半径六寸与圜内容十八等边
　　　　　　形之每一边二寸零八釐三豪七丝七
　　　　　　忽有馀为两腰用三角形求中垂线法

　　　　　　算之得二寸零五釐二豪一丝一忽有
　　　　　　馀倍之得四寸一分零四豪二丝二忽
　　　　　　有馀即圜内容九等边形之每一边爰
　　　　　　以半径六寸为弦九等边形之每一边
　　　　　　折半为勾求得股五寸六分三釐八豪
　　　　　　一丝五忽有馀为自圜心至每一边之
　　　　　　中垂线乃以每一边折半之数与中垂
　　　　　　线相乘得一十一寸五十七分零一釐
　　　　　　有馀九因之得一尺零四寸一十三分

　　　　　　零九釐有馀即圜内容九等边形之面

　　　　　　积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲
　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸九等边形试自圜
　　　　　　心子至每角各作一半径线即分九等
　　　　　　边形为九三角形又自己至乙作己乙
　　　　　　线即圜内容十八等边形之每一边子
　　　　　　乙子己半径与己乙边遂成子己乙三
　　　　　　角形故以子乙半径为底子己半径与
　　　　　　己乙十八等边形之每一边为两腰求

　　　　　　得己丑垂线倍之得己庚为圜内容九
　　　　　　等边形之每一边也又子己为弦己丑
　　　　　　为勾求得股为子丑中垂线用三角形
　　　　　　求面积法算之得子己庚一三角形之
　　　　　　面积九倍之而得圜内容九等边形之
　　　　　　总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度九分之每分
　　　　　　得四十度折半得二十度乃以半径十
　　　　　　万为一率二十度之正弦三万四千二

　　　　　　百零二为二率今所设之半径六寸为

　　　　　　三率求得四率二寸零五釐二豪一丝
　　　　　　二忽倍之得四寸一分零四豪二丝四
　　　　　　忽为圜内容九等边形之每一边次以
　　　　　　半径十万为一率二十度之馀弦九万
　　　　　　三千九百六十九为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率五寸六分三
　　　　　　釐八豪一丝四忽为自圜心至每一边
　　　　　　之中垂线与每一边折半之数相乘九

　　　　　　因之得一尺零四寸一十三分零九釐
　　　　　　有馀为圜内容九等边形之面积也如
　　　　　　图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊
　　　　　　己庚辛壬癸九等边形每一边之弧皆
　　　　　　四十度试将甲丙边折半于子自圜心
　　　　　　丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于
　　　　　　寅则甲寅弧为二十度甲子即二十度
　　　　　　之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即
　　　　　　二十度之馀弦是故半径十万与二十

　　　　　　度之正弦之比即如所设之半径六寸

　　　　　　与甲子之半边之比既得半边倍之即
　　　　　　全边又半径十万与二十度之馀弦之
　　　　　　比即如所设之半径六寸与丑子中垂
　　　　　　线之比也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜内容九等边形之每一边三
　　　　　　四二○二○一四为二率今所设之圜

　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率四寸一
　　　　　　分零四豪二丝四忽有馀即圜内容九
　　　　　　等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容九等
　　　　　　边形之面积七二三一三六○六为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺零

　　　　　　四寸一十三分一十五釐有馀即圜内

　　　　　　容九等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　内容九等边形之面积九二○七二五
　　　　　　四二为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七
　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率一尺零
　　　　　　四寸一十三分一十五釐有馀即圜内

　　　　　　容九等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求内容十等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸
　　　　　　为首率用连比例三率有首率求中率
　　　　　　末率使中率末率相加与首率等之法
　　　　　　求得中率三寸七分零八豪二丝有馀
　　　　　　即圜内容十等边形之每一边(详见割/圜卷中)
　　　　　　爰以半径六寸为弦十等边形之每一

　　　　　　边折半得一寸八分五釐四豪一丝有

　　　　　　馀为勾求得股五寸七分零六豪三丝
　　　　　　三忽有馀为自圜心至每一边之中垂
　　　　　　线乃以每一边折半之数与中垂线相
　　　　　　乘得一十寸五十八分零一釐有馀十
　　　　　　因之得一尺零五寸八十分一十釐有
　　　　　　馀即圜内容十等边形之面积也如图
　　　　　　甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己
　　　　　　乙庚辛壬癸十等边形其子乙半径为

　　　　　　首率己乙每一边为中率其每一边皆
　　　　　　三寸七分零八豪二丝有馀试自圜心
　　　　　　子至每角各作一半径线即分十等边
　　　　　　形为十三角形以子乙半径为弦己乙
　　　　　　折半得丑乙为勾求得股为子丑中垂
　　　　　　线用三角形求面积法算之得子己乙
　　　　　　一三角形之面积十倍之而得圜内容
　　　　　　十等边形之总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度十分之每分

　　　　　　得三十六度折半得十八度乃以半径

　　　　　　十万为一率十八度之正弦三万零九
　　　　　　百零二为二率今所设之半径六寸为
　　　　　　三率求得四率一寸八分五釐四豪一
　　　　　　丝二忽倍之得三寸七分零八豪二丝
　　　　　　四忽为圜内容十等边形之每一边次
　　　　　　以半径十万为一率十八度之馀弦九
　　　　　　万五千一百零六为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率五寸七分零

　　　　　　六豪三丝六忽为自圜心至每一边之
　　　　　　中垂线与每一边折半之数相乘十因
　　　　　　之得一尺零五寸八十分二十七釐有
　　　　　　馀为圜内容十等边形之面积也如图
　　　　　　甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己
　　　　　　乙庚辛壬癸十等边形每一边之弧皆
　　　　　　三十六度试将甲丙边折半于子自圜
　　　　　　心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧
　　　　　　于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八

　　　　　　度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑

　　　　　　子即十八度之馀弦是故半径十万与
　　　　　　十八度之正弦之比即如所设之半径
　　　　　　六寸与甲子之半边之比既得半边倍
　　　　　　之即全边又半径十万与十八度之馀
　　　　　　弦之比即如所设之半径六寸与丑子
　　　　　　中垂线之比也
　　　　　　又用求圜内各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○

　　　　　　为一率圜内容十等边形之每一边三
　　　　　　○九○一六九九为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率三寸七
　　　　　　分零八豪二丝有馀即圜内容十等边
　　　　　　形之每一边也
　　　　　　又用求圜内各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜内容十等
　　　　　　边形之面积七三四七三一五六为二

　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺零
　　　　　　五寸八十分一十三釐有馀即圜内容
　　　　　　十等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　内容十等边形之面积九三五四八九
　　　　　　二八为二率今所设之圜径一尺二寸
　　　　　　求得圜面积一尺一十三寸零九分七

　　　　　　十三釐有馀为三率求得四率一尺零
　　　　　　五寸八十分一十三釐有馀即圜内容
　　　　　　十等边形之面积也

　　　圜外切各等边形
设如圜径一尺二寸求外切三等边形之每一边及
　　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸为弦半径六寸为
　　　　　　勾求得股一尺零三分九釐二豪三丝
　　　　　　有馀倍之得二尺零七分八釐四豪六
　　　　　　丝有馀为圜外切三等边形之每一边
　　　　　　爰以三等边形之每一边为弦每一边

　　　　　　折半为勾求得股一尺八寸或以半径
　　　　　　六寸三倍之得一尺八寸为圜外切三
　　　　　　等边形之中垂线乃以每一边之二尺
　　　　　　零七分八釐四豪六丝有馀与中垂线
　　　　　　一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十
　　　　　　二分二十八釐有馀折半得一尺八十
　　　　　　七寸零六分一十四釐有馀即圜外切
　　　　　　三等边形之面积也如图甲乙圜径一
　　　　　　尺二寸外切丙丁戊三等边形试将丙

　　　　　　丁边折半于己自圜心庚作庚己半径

　　　　　　线则成丙巳庚三角形其丙庚巳角为
　　　　　　六十度丙巳庚角为九十度庚丙巳角
　　　　　　为三十度又自甲至己作甲己线为圜
　　　　　　内容六等边形之每一边则又成甲己
　　　　　　庚甲己丙两三角形其甲己庚三角形
　　　　　　之甲己庚角为六十度故甲己丙三角
　　　　　　形之甲己丙角为三十度而甲丙己角
　　　　　　亦为三十度则丙甲与甲己皆与半径

　　　　　　等矣故丙庚即全径为弦庚己即半径
　　　　　　为勾求得丙己股倍之得丙丁为圜外
　　　　　　切三等边形之每一边也又丙甲既与
　　　　　　半径等则丙乙中垂线为半径之三倍
　　　　　　用三角形求面积法算之而得圜外切
　　　　　　三等边形之面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度三分之每分
　　　　　　得一百二十度折半得六十度乃以半
　　　　　　径十万为一率六十度之正切一十七

　　　　　　万三千二百零五为二率今所设之半

　　　　　　径六寸为三率求得四率一尺零三分
　　　　　　九釐二豪三丝倍之得二尺零七分八
　　　　　　釐四豪六丝为圜外切三等边形之每
　　　　　　一边也既得三等边形之每一边乃以
　　　　　　半径三因之与每一边之数相乘折半
　　　　　　得一尺八十七寸零六分一十四釐为
　　　　　　圜外切三等边形之面积也如图甲乙
　　　　　　圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形

　　　　　　每一边之弧皆一百二十度试将丙丁
　　　　　　边折半于己自圜心庚作庚己半径线
　　　　　　则甲己弧为六十度丙己即六十度之
　　　　　　正切丙丁即六十度正切之倍是故半
　　　　　　径十万与六十度之正切之比即如所
　　　　　　设之半径六寸与丙己之半边之比既
　　　　　　得半边倍之即全边也
　　　　　　又用求圜外各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○

　　　　　　为一率圜外切三等边形之每一边一

　　　　　　七三二○五○八○为二率今所设之
　　　　　　圜径一尺二寸为三率求得四率二尺
　　　　　　零七分八釐四豪六丝即圜外切三等
　　　　　　边形之每一边也
　　　　　　又用求圜外各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜外切三等
　　　　　　边形之面积一二九九○三八一○为

　　　　　　二率今所设之圜径一尺二寸自乘得
　　　　　　一尺四十四寸为三率求得四率一尺
　　　　　　八十七寸零六分一十四釐有馀即圜
　　　　　　外切三等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　外切三等边形之面积一六五三九八
　　　　　　六六九为二率今所设之圜径一尺二
　　　　　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分

　　　　　　七十三釐有馀为三率求得四率一尺

　　　　　　八十七寸零六分一十四釐有馀即圜
　　　　　　外切三等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切四等边形之每一边及
　　面积几何
　　　　　　法因圜径一尺二寸即外切四等边形
　　　　　　之每一边自乘得一尺四十四寸即圜
　　　　　　外切四等边形之面积故他法皆不设
　　　　　　止存一题以备体焉

设如圜径一尺二寸求外切五等边形之每一边及
　　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸
　　　　　　为首率用连比例三率有首率求中率
　　　　　　之法求得中率三寸七分零八豪二丝
　　　　　　有馀倍之得七寸四分一釐六豪四丝
　　　　　　有馀为自圜心至外切五等边形各角
　　　　　　之分角线乃以分角线为弦圜之半径
　　　　　　为股求得勾四寸三分五釐九豪二丝

　　　　　　四忽有馀倍之得八寸七分一釐八豪

　　　　　　四丝八忽有馀为圜外切五等边形之
　　　　　　每一边爰以每一边之八寸七分一釐
　　　　　　八豪四丝八忽有馀与半径六寸相乘
　　　　　　得五十二寸三十一分零八釐有馀折
　　　　　　半得二十六寸一十五分五十四釐有
　　　　　　馀五因之得一尺三十寸七十七分七
　　　　　　十二釐有馀即圜外切五等边形之面
　　　　　　积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙

　　　　　　丁戊己庚五等边形以辛乙半径为首
　　　　　　率(即理分中末/线之全分)则自圜心至角之辛己
　　　　　　分角线为倍中率(即倍理分中/末线之大分)何以知
　　　　　　之试自丙角至戊己二角作丙戊丙己
　　　　　　两角相对斜线成丙戊己三角形复自
　　　　　　戊角至庚角作戊庚两角相对斜线截
　　　　　　丙己斜线于壬又成戊己壬三角形与
　　　　　　丙戊己三角形为同式形(戊己壬三角/形之戊角当)
　　　　　　(巳庚边与戊巳边等故戊己壬三角形/之戊角与丙戊己三角形之丙角等又)

　　　　　　(同用一巳角则其馀一/角亦必等故为同式形)而丙戊为首率

　　　　　　(即理分中末/线之全分)戊己为中率(即理分中末/线之大分)
　　　　　　己壬为末率(即理分中末/线之小分)丙壬亦与戊
　　　　　　己等为中率乃自壬至丙戊线作壬癸
　　　　　　垂线平分丙戊边于癸遂成丙癸壬勾
　　　　　　股形与辛乙己勾股形为同式形(辛乙/己勾)
　　　　　　(股形之辛角当乙己边为戊己边之半/故辛乙巳勾股之辛角与丙癸壬勾股)
　　　　　　(之丙角等癸角与乙角又同为直角/则其馀一角亦必等故为同式形)夫
　　　　　　丙戊既为首率丙壬既为中率若以丙

　　　　　　戊之半丙癸为首率则丙壬之半丙子
　　　　　　亦为中率而丙壬即为倍中率丙癸壬
　　　　　　勾股形与辛乙巳勾股形既为同式形
　　　　　　则辛乙己勾股形之辛乙股与辛己弦
　　　　　　之比必同于丙癸壬勾股形之丙癸股
　　　　　　与丙壬弦之比是以辛乙半径为首率
　　　　　　则辛己分角线亦即为倍中率也既得
　　　　　　辛己分角线乃以辛己分角线为弦辛
　　　　　　乙半径为股求得乙己勾倍之得戊己

　　　　　　即圜外切五等边形之每一边也又自

　　　　　　圜心至各角作分角线即分五等边形
　　　　　　为五三角形其辛乙中垂线即圜之半
　　　　　　径故以所得圜外切五等边形之每一
　　　　　　边与半径相乘折半得辛戊巳一三角
　　　　　　形之面积五倍之而得圜外切五等边
　　　　　　形之总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度五分之每分
　　　　　　得七十二度折半得三十六度乃以半

　　　　　　径十万为一率三十六度之正切七万
　　　　　　二千六百五十四为二率今所设之半
　　　　　　径六寸为三率求得四率四寸三分五
　　　　　　釐九豪二丝四忽倍之得八寸七分一
　　　　　　釐八豪四丝八忽为圜外切五等边形
　　　　　　之每一边既得五等边形之每一边乃
　　　　　　以半径与每一边之数相乘折半五因
　　　　　　之得一尺三十寸七十七分七十二釐
　　　　　　为圜外切五等边形之面积也如图甲

　　　　　　乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚五

　　　　　　等边形每一边之弧皆七十二度试将
　　　　　　丙丁边折半于辛自圜心壬作壬辛半
　　　　　　径线又作壬丙分角线割圜界于甲则
　　　　　　甲辛弧为三十六度丙辛即三十六度
　　　　　　之正切丙丁即三十六度正切之倍是
　　　　　　故半径十万与三十六度之正切之比
　　　　　　即如所设之半径六寸与丙辛之半边
　　　　　　之比既得半边倍之即全边也

　　　　　　又用求圜外各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜外切五等边形之每一边七
　　　　　　二六五四二五二为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率八寸七
　　　　　　分一釐八豪五丝一忽有馀即圜外切
　　　　　　五等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜外各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○

　　　　　　○○○○○○○为一率圜外切五等

　　　　　　边形之面积九○八一七八一六为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺三
　　　　　　十寸七十七分七十六釐有馀即圜外
　　　　　　切五等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　外切五等边形之面积一一五六三二

　　　　　　八三四为二率今所设之圜径一尺二
　　　　　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分
　　　　　　七十三釐有馀为三率求得四率一尺
　　　　　　三十寸七十七分七十六釐即圜外切
　　　　　　五等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切六等边形之每一边及
　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸折半得半径六寸
　　　　　　自乘得三十六寸三归四因得四十八

　　　　　　寸开方得六寸九分二釐八豪二丝有

　　　　　　馀即圜外切六等边形之每一边乃以
　　　　　　每一边之六寸九分二釐八豪二丝有
　　　　　　馀与半径六寸相乘得四十一寸五十
　　　　　　六分九十二釐有馀折半得二十寸七
　　　　　　十八分四十六釐有馀六因之得一尺
　　　　　　二十四寸七十分七十六釐有馀即圜
　　　　　　外切六等边形之面积也如图甲乙圜
　　　　　　径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等

　　　　　　边形试自圜心至各角作分角线即分
　　　　　　六等边形为六三角形其壬乙半径即
　　　　　　每一三角形之中垂线而中垂线自乘
　　　　　　之方为每边自乘之方之四分之三故
　　　　　　以半径自乘三归四因开方即得圜外
　　　　　　切六等边形之每一边也既得每一边
　　　　　　与半径相乘折半得壬戊己一三角形
　　　　　　之面积六倍之而得圜外切六等边形
　　　　　　之总面积也

　　　　　　又法以全圜三百六十度六分之每分

　　　　　　得六十度折半得三十度乃以半径十
　　　　　　万为一率三十度之正切五万七千七
　　　　　　百三十五为二率今所设之半径六寸
　　　　　　为三率求得四率三寸四分六釐四豪
　　　　　　一丝倍之得六寸九分二釐八豪二丝
　　　　　　为圜外切六等边形之每一边既得六
　　　　　　等边形之每一边乃以半径与每一边
　　　　　　之数相乘折半六因之得一尺二十四

　　　　　　寸七十分七十六釐为圜外切六等边
　　　　　　形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸
　　　　　　外切丙丁戊己庚辛六等边形每一边
　　　　　　之弧皆六十度试将丙丁边折半于壬
　　　　　　自圜心癸作癸壬半径线又作癸丙分
　　　　　　角线割圜界于子则子壬弧为三十度
　　　　　　丙壬即三十度之正切丙丁即三十度
　　　　　　正切之倍是故半径十万与三十度之
　　　　　　正切之比即如所设之半径六寸与丙

　　　　　　壬之半边之比既得半边倍之即全边

　　　　　　也
　　　　　　又用求圜外各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜外切六等边形之每一边五
　　　　　　七七三五○二七为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率六寸九
　　　　　　分二釐八豪二丝有馀即圜外切六等
　　　　　　边形之每一边也

　　　　　　又用求圜外各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜外切六等
　　　　　　边形之面积八六六○二五四○为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺二
　　　　　　十四寸七十分七十六釐有馀即圜外
　　　　　　切六等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜

　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜

　　　　　　外切六等边形之面积一一○二六五
　　　　　　七八一为二率今所设之圜径一尺二
　　　　　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分
　　　　　　七十三釐有馀为三率求得四率一尺
　　　　　　二十四寸七十分七十六釐有馀即圜
　　　　　　外切六等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切七等边形之每一边及
　面积几何

　　　　　　法以圜径一尺二寸求得内容七等边
　　　　　　形之每一边为五寸二分零六豪六丝
　　　　　　有馀又求得自圜心至每一边之中垂
　　　　　　线为五寸四分零五豪八丝一忽有馀
　　　　　　乃以中垂线之数为一率每一边之数
　　　　　　为二率今所设之半径六寸为三率求
　　　　　　得四率五寸七分七釐八豪八丝九忽
　　　　　　有馀为圜外切七等边形之每一边爰
　　　　　　以每一边之五寸七分七釐八豪八丝

　　　　　　九忽有馀与半径六寸相乘得三十四

　　　　　　寸六十七分三十三釐有馀折半得一
　　　　　　十七寸三十三分六十六釐有馀七因
　　　　　　之得一尺二十一寸三十五分六十二
　　　　　　釐有馀即圜外切七等边形之面积也
　　　　　　如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊
　　　　　　己庚辛壬七等边形先求得圜内容七
　　　　　　等边形之每一边为癸子又求得圜心
　　　　　　至每一边之中垂线为丑寅以丑寅与

　　　　　　癸子之比即同于丑乙与巳庚之比为
　　　　　　相当比例四率也又自圜心至各角作
　　　　　　分角线即分七等边形为七三角形其
　　　　　　丑乙中垂线即圜之半径故以所得圜
　　　　　　外切七等边形之每一边与半径相乘
　　　　　　折半得丑己庚一三角形之面积七倍
　　　　　　之而得圜外切七等边形之总面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度七分之每分
　　　　　　得五十一度二十五分四十二秒有馀

　　　　　　折半得二十五度四十二分五十一秒

　　　　　　有馀乃以半径十万为一率二十五度
　　　　　　四十二分五十一秒之正切四万八千
　　　　　　一百五十七为二率今所设之半径六
　　　　　　寸为三率求得四率二寸八分八釐九
　　　　　　毫四丝二忽有馀倍之得五寸七分七
　　　　　　釐八毫八丝四忽有馀为圜外切七等
　　　　　　边形之每一边既得七等边形之每一
　　　　　　边乃以半径与每一边之数相乘折半

　　　　　　七因之得一尺二十一寸三十五分五
　　　　　　十六釐有馀为圜外切七等边形之面
　　　　　　积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙
　　　　　　丁戊己庚辛壬七等边形每一边之弧
　　　　　　皆五十一度二十五分四十二秒有馀
　　　　　　试将丙丁边折半于癸自圜心子作子
　　　　　　癸半径线又作子丙分角线割圜界于
　　　　　　甲则甲癸弧为二十五度四十二分五
　　　　　　十一秒有馀丙癸即二十五度四十二

　　　　　　分五十一秒有馀之正切丙丁即二十

　　　　　　五度四十二分五十一秒有馀之正切
　　　　　　之倍是故半径十万与二十五度四十
　　　　　　二分五十一秒有馀之正切之比即如
　　　　　　所设之半径六寸与丙癸之半边之比
　　　　　　既得半边倍之即全边也
　　　　　　又用求圜外各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜外切七等边形之每一边四

　　　　　　八一五七四六二为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率五寸七
　　　　　　分七釐八豪八丝九忽有馀即圜外切
　　　　　　七等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜外各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜外切七等
　　　　　　边形之面积八四二七五五五八为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一

　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺二

　　　　　　十一寸三十五分六十八釐有馀即圜
　　　　　　外切七等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　外切七等边形之面积一○七三○二
　　　　　　九七四为二率今所设之圜径一尺二
　　　　　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分
　　　　　　七十三釐有馀为三率求得四率一尺

　　　　　　二十一寸三十五分六十八釐有馀即
　　　　　　圜外切七等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切八等边形之每一边及
　　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十
　　　　　　四寸倍之得二尺八十八寸开方得一
　　　　　　尺六寸九分七釐零五丝六忽有馀内
　　　　　　减圜径一尺二寸馀四寸九分七釐零
　　　　　　五丝六忽有馀即圜外切八等边形之

　　　　　　每一边乃以每一边之四寸九分七釐

　　　　　　零五丝六忽有馀与半径六寸相乘得
　　　　　　二十九寸八十二分三十三釐有馀折
　　　　　　半得一十四寸九十一分一十六釐有
　　　　　　馀八因之得一尺一十九寸二十九分
　　　　　　二十八釐有馀即圜外切八等边形之
　　　　　　面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切
　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸八等边形试依甲
　　　　　　乙圜径度作子丑寅卯正方形又作子

　　　　　　寅对角斜线于子寅对角斜线内减与
　　　　　　甲乙圜径相等之辰己馀子辰巳寅两
　　　　　　段即与圜外切八等边形之丙丁一边
　　　　　　相等也何则丙子丁勾股形因子寅斜
　　　　　　线平分为子辰丙子辰丁两勾股形与
　　　　　　原形为同式形(子辰丙勾股形之辰角/与丙子丁勾股形之子)
　　　　　　(角同为直角又同用一丙角/其馀一角必等故为同式形)丙子既与
　　　　　　子丁等子辰必与丙辰等而为丙丁之
　　　　　　一半则子辰巳寅两段亦必与丙丁一

　　　　　　边等故以圜径自乘倍之开方而得对

　　　　　　角斜线于斜线内减圜径即圜外切八
　　　　　　等边形之每一边也又自圜心至各角
　　　　　　作分角线即分八等边形为八三角形
　　　　　　其午乙中垂线即圜之半径故以所得
　　　　　　圜外切八等边形之每一边与半径相
　　　　　　乘折半得午己庚一三角形之面积八
　　　　　　倍之而得圜外切八等边形之总面积
　　　　　　也

　　　　　　又法以全圜三百六十度八分之每分
　　　　　　得四十五度折半得二十二度三十分
　　　　　　乃以半径十万为一率二十二度三十
　　　　　　分之正切四万一千四百二十一为二
　　　　　　率今所设之半径六寸为三率求得四
　　　　　　率二寸四分八釐五豪二丝六忽倍之
　　　　　　得四寸九分七釐零五丝二忽为圜外
　　　　　　切八等边形之每一边既得八等边形
　　　　　　之每一边乃以半径与每一边之数相

　　　　　　乘折半八因之得一尺一十九寸二十

　　　　　　九分二十四釐有馀为圜外切八等边
　　　　　　形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸
　　　　　　外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形每
　　　　　　一边之弧皆四十五度试将丙丁边折
　　　　　　半于子自圜心五作丑子半径线又作
　　　　　　丑丙分角线割圜界于寅则寅子弧为
　　　　　　二十二度三十分丙子即二十二度三
　　　　　　十分之正切丙丁即二十二度三十分

　　　　　　之正切之倍是故半径十万与二十二
　　　　　　度三十分之正切之比即如所设之半
　　　　　　径六寸与丙子之半边之比既得半边
　　　　　　倍之即全边也
　　　　　　又用求圜外各形之一边之定率比例
　　　　　　以定率之圜径一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜外切八等边形之每一边四
　　　　　　一四二一三五六为二率今所设之圜
　　　　　　径一尺二寸为三率求得四率四寸九

　　　　　　分七釐零五丝六忽有馀即圜外切八

　　　　　　等边形之每一边也
　　　　　　又用求圜外各形之面积之定率比例
　　　　　　以定率之圜径自乘之正方面积一○
　　　　　　○○○○○○○为一率圜外切八等
　　　　　　边形之面积八二八四二七一二为二
　　　　　　率今所设之圜径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸为三率求得四率一尺一
　　　　　　十九寸二十九分三十五釐有馀即圜

　　　　　　外切八等边形之面积也
　　　　　　又用圜面积之定率比例以定率之圜
　　　　　　面积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　　外切八等边形之面积一○五四七八
　　　　　　六一七为二率今所设之圜径一尺二
　　　　　　寸求得圜面积一尺一十三寸零九分
　　　　　　七十三釐有馀为三率求得四率一尺
　　　　　　一十九寸二十九分三十五釐有馀即
　　　　　　圜外切八等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求外切九等边形之每一边及

　面积几何
　　　　　　法以圜径一尺二寸求得内容九等边
　　　　　　形之每一边为四寸一分零四豪二丝
　　　　　　二忽有馀又求得自圜心至每一边之
　　　　　　中垂线为五寸六分三釐八豪一丝五
　　　　　　忽有馀乃以中垂线之数为一率每一
　　　　　　边之数为二率今所设之半径六寸为
　　　　　　三率求得四率四寸三分六釐七豪六

　　　　　　丝二忽有馀为圜外切九等边形之每
　　　　　　一边爰以每一边之四寸三分六釐七
　　　　　　豪六丝二忽有馀与半径六寸相乘得
　　　　　　二十六寸二十分五十七釐有馀折半
　　　　　　得一十三寸一十分二十八釐有馀九
　　　　　　因之得一尺一十七寸九十二分五十
　　　　　　七釐有馀即圜外切九等边形之面积
　　　　　　也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁
　　　　　　戊己庚辛壬癸子九等边形先求得圜

　　　　　　内容九等边形之每一边为丑寅又求

　　　　　　得圜心至每一边之中垂线为卯辰以
　　　　　　卯辰与丑寅之比即同于卯乙与庚辛
　　　　　　之比为相当比例四率也又自圜心至
　　　　　　各角作分角线即分九等边形为九三
　　　　　　角形其卯乙中垂线即圜之半径故以
　　　　　　所得圜外切九等边形之每一边与半
　　　　　　径相乘折半得卯庚辛一三角形之面
　　　　　　积九倍之而得圜外切九等边形之总

　　　　　　面积也
　　　　　　又法以全圜三百六十度九分之每分
　　　　　　得四十度折半得二十度乃以半径十
　　　　　　万为一率二十度之正切三万六千三
　　　　　　百九十七为二率今所设之半径六寸
　　　　　　为三率求得四率二寸一分八釐三豪
　　　　　　八丝二忽倍之得四寸三分六釐七豪
　　　　　　六丝四忽为圜外切九等边形之每一
　　　　　　边既得九等边形之每一边乃以半径

　　　　　　与每一边之数相乘折半九因之得一