钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十
　　面部十
　　　曲线形

　　曲线形
设如圜径一尺二寸问周几何
　　　　　法用周径定率比例以径数一○○○
　　　　　○○○○○为一率周数三一四一五
　　　　　九二六五为二率今所设之圜径一尺
　　　　　二寸为三率求得四率三尺七寸六分
　　　　　九釐九豪一丝一忽一微八纤即所求
　　　　　之圜之周数也盖圜之数奇零不尽立

　　　　　法必自方数始是故圜内容形屡求勾
　　　　　股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿
　　　　　万边内外凑集使圜周变为直线精密
　　　　　已极始为得之爰设圜径为一而圜周
　　　　　得三一四一五九二六五有馀是为定
　　　　　率故以圜径一与圜周三一四一五九
　　　　　二六五之比即同于今所设之圜径一
　　　　　尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六
　　　　　分九釐九豪一丝一忽一微八纤之比

　　　　　也

　　　　　又周径定率比例以径数一一三为一
　　　　　率周数三五五为二率今所设之圜径
　　　　　一尺二寸为三率求得四率三尺七寸
　　　　　六分九釐九豪一丝一忽五微有馀为
　　　　　圜之周数也盖以径一周三一四一五
　　　　　九二六五之定率约之径一一三周得
　　　　　三五四九九九九六九有馀进而为三
　　　　　五五则周数微大故今所得圜周亦微

　　　　　大然止在忽微之间耳
　　　　　又周径定率比例以径数七为一率周
　　　　　数二十二为二率今所设之圜径一尺
　　　　　二寸为三率求得四率三尺七寸七分
　　　　　一釐四豪二丝八忽五微七纤有馀为
　　　　　圜之周数也盖以径一周三一四一五
　　　　　九二六五之定率约之径七周得二一
　　　　　九九一一四八五有馀进而为二二则
　　　　　周数大而所得周数亦大至于旧术径

　　　　　一围三乃圜内容六等边形之共度实

　　　　　小于圜之周线故径一则围三有馀围
　　　　　三则径一不足也
设如圜周一丈五尺问径几何
　　　　　法用周径定率比例以周数三一四一
　　　　　五九二六五为一率径数一○○○○
　　　　　○○○○为二率今所设之圜周一丈
　　　　　五尺为三率求得四率四尺七寸七分
　　　　　四釐六豪四丝八忽二微有馀即所求

　　　　　之圜之径数也盖前法有径求周故以
　　　　　定率之径与定率之周为比即如今所
　　　　　设之径与今所得之周为比此法有周
　　　　　求径故以定率之周与定率之径为比
　　　　　即如今所设之周与今所得之径为比
　　　　　也
　　　　　又周径定率比例以周数一○○○○
　　　　　○○○○为一率径数三一八三○九
　　　　　八八为二率今所设之圜周一丈五尺

　　　　　为三率求得四率四尺七寸七分四釐

　　　　　六豪四丝八忽二微为圜之径数也盖
　　　　　圜周为三一四一五九二六五则圜径
　　　　　为一○○○○○○○○若圜周为一
　　　　　○○○○○○○○则圜径为三一八
　　　　　三○九八八其比例仍同也如以周数
　　　　　三五五为一率径数一一三为二率今
　　　　　所设之圜周一丈五尺为三率亦得四
　　　　　率四尺七寸七分四釐六豪四丝七忽

　　　　　八微有馀为圜之径数又或以周数二
　　　　　二为一率径数七为二率今所设之圜
　　　　　周一丈五尺为三率则得四率四尺七
　　　　　寸七分二釐七豪二丝七忽二微有馀
　　　　　较之前法所得径数稍小盖径为七而
　　　　　周稍小于二二若周为二二径必稍大
　　　　　于七今截而为七则径数稍小故所得
　　　　　径数亦稍小也
设如圜径八寸问面积几何

　　　　　法以圜径八寸用径求周法求得圜周

　　　　　二尺五寸一分三釐二豪七丝四忽一
　　　　　微二纤折半得一尺二寸五分六釐六
　　　　　豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘
　　　　　得五十寸二十六分五十四釐八十二
　　　　　豪有馀即圜之面积也盖圜之半径线
　　　　　若与直角三角形之小边线度等而圜
　　　　　之周界又与直角三角形之大边线度
　　　　　等则此直角三角形之面积与圜形之

　　　　　面积相等(见几何原本四/卷第二十一节)如甲乙丙丁
　　　　　圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角
　　　　　形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜
　　　　　周界与己庚辛直角三角形之庚辛大
　　　　　边线度等则此己庚辛三角形之面积
　　　　　即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故
　　　　　以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半
　　　　　周相等之庚壬相乘所得之癸壬庚己
　　　　　长方形(癸壬庚己长方形积即/与己庚辛三角形积等)即为圜

　　　　　之面积也如以全周与全径相乘则以

　　　　　四归之亦得圜面积盖全径为半径之
　　　　　倍全周为半周之倍则全周全径相乘
　　　　　之积必大于半周半径相乘之积四倍
　　　　　为隔一位相加之比例故全周与全径
　　　　　相乘以四归之而得圜面积也
　　　　　又法用方边圜径相等方积圜积不同
　　　　　之定率比例以方积一○○○○○○
　　　　　○○为一率圜积七八五三九八一六

　　　　　为二率今所设之圜径八寸自乘得六
　　　　　十四寸为三率求得四率五十寸二十
　　　　　六分五十四釐八十二豪有馀即圜之
　　　　　面积也此法盖因圜径方边相等圜积
　　　　　方积不同故以圜径自乘作方积定为
　　　　　面与面之比例如子寅圜径为一○○
　　　　　○○则其自乘之辰己午未正方积为
　　　　　一○○○○○○○○而圜径一○○
　　　　　○○所得之子丑寅卯圜面积为七八

　　　　　五三九八一六故以子寅圜径一○○

　　　　　○○自乘之辰己午未正方积一○○
　　　　　○○○○○○与子寅圜径所得之子
　　　　　丑寅卯圜面积七八五三九八一六之
　　　　　比即同于今所设之甲丙圜径八寸自
　　　　　乘之戊己庚辛正方积六十四寸与今
　　　　　所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十
　　　　　六分五十四釐八十二豪有馀之比也
　　　　　又法用圜积方积相等圜径方边不同

　　　　　之定率比例以圜径一○○○○○○
　　　　　○○为一率方边八八六二二六九二
　　　　　为二率今所设之圜径八寸为三率求
　　　　　得四率七寸零八釐九豪八丝一忽五
　　　　　微四纤有馀为与圜面积相等之正方
　　　　　形每边之数自乘得五十寸二十六分
　　　　　五十四釐八十二豪有馀即圜之面积
　　　　　也此法盖以圜积方积设为相等使圜
　　　　　径与方边不同先定为线与线之比例

　　　　　既得线而后自乘之为面也如子寅圜

　　　　　径一○○○○○○○○其所得之积
　　　　　开方则得八八六二二六九二即为辰
　　　　　己午未正方之每边是以子丑寅卯圜
　　　　　面积与辰己午未方面积为相等故子
　　　　　寅圜径一○○○○○○○○与辰己
　　　　　方边八八六二二六九二之比即同于
　　　　　今所设之甲丙圜径八寸与今所得之
　　　　　戊己方边七寸零八釐九豪八丝一忽

　　　　　五微四纤之比既得戊己方边自乘得
　　　　　戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面
　　　　　积为相等也
　　　　　又法用方周圜周定率比例以方周数
　　　　　四五二为一率圜周数三五五为二率
　　　　　圜径八寸自乘得六十四寸为三率求
　　　　　得四率五十寸二十六分五十四釐八
　　　　　十六豪有馀即圜之面积也此法盖因
　　　　　方周与圜周之比同于方积与圜积之

　　　　　比(见算法原本二/卷第二十八节)如子丑圜径为一一

　　　　　三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正
　　　　　方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰
　　　　　己方周为四五二(方边一一三以四/因之则得四五二)试
　　　　　以正方面之午丑半径为高寅卯辰己
　　　　　方周为底作一午丑未申长方形则比
　　　　　寅卯辰己正方形之面积大一倍又以
　　　　　圜面之午丑半径为高子丑圜周为底
　　　　　作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形

　　　　　之面积亦大一倍此两长方形同以午
　　　　　丑为高故此两长方面积之比例必同
　　　　　于两底边丑未与丑酉之比例且全与
　　　　　全之比例又同于半与半之比例故方
　　　　　积与圜积之比例亦必同于两底边丑
　　　　　未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰
　　　　　己方周丑酉即子丑圜周故以方周四
　　　　　五二与圜周三五五之比即同于今所
　　　　　设之甲丙圜径自乘之戊己庚辛正方

　　　　　积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比

　　　　　也
　　　　　又法以十四分为一率十一分为二率
　　　　　圜径八寸自乘得六十四寸为三率求
　　　　　得四率五十寸二十八分五十七釐一
　　　　　十四豪有馀为圜之面积也此法亦系
　　　　　方周与圜周之比同于方积与圜积之
　　　　　比盖圜径七则圜周为二二半之得一
　　　　　一方边七则方周为二八半之得一四

　　　　　故以十四分与十一分之比亦同于今
　　　　　所设圜径自乘之方积与今所得圜面
　　　　　积之比也然所得之面积过大者因径
　　　　　七围二十二之定率其周既大故所得
　　　　　之圜积亦大也旧术圜积得方积四分
　　　　　之三求积则以圜径自乘四分损一得
　　　　　圜积求径则以圜积三分益一开方得
　　　　　圜径此仍以径一围三立法故径求积
　　　　　所得之数必小积求径所得之数必大

　　　　　也

设如圜周六尺六寸问面积几何
　　　　　法以圜周六尺六寸用圜周求径法求
　　　　　得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二
　　　　　微有馀折半得一尺零五分零四豪二
　　　　　丝二忽六微有馀与半周三尺三寸相
　　　　　乘得三尺四十六寸六十三分九十四
　　　　　釐五十八豪有馀即圜之面积也
　　　　　又法用圜周方积与圜积定率比例以

　　　　　圜周方积一○○○○○○○○为一
　　　　　率圜积七九五七七四七为二率今所
　　　　　设之圜周六尺六寸自乘得四十三尺
　　　　　五十六寸为三率求得四率三尺四十
　　　　　六寸六十三分九十四釐五十九豪有
　　　　　馀即圜之面积也此法盖以圜周自乘
　　　　　之正方积与圜积设为比例为面与面
　　　　　之比例也圜周为一○○○○则其自
　　　　　乘方积为一○○○○○○○○而圜

　　　　　周一○○○○所得之圜面积为七九

　　　　　　五七七四七有馀故以圜周一○○○
　　　　　　○自乘之方积一○○○○○○○○
　　　　　　与圜积七九五七七四七之比即同于
　　　　　　今所设之圜周六尺六寸自乘之方积
　　　　　　四十三尺五十六寸与今所得之圜面
　　　　　　积三尺四十六寸六十三分九十四釐
　　　　　　五十九豪有馀之比也旧术圜积为周
　　　　　　自乘方积十二分之一有圜周求积则

　　　　　　以圜周自乘以十二除之得圜积有圜
　　　　　　积求周则将圜积以十二因之开方得
　　　　　　圜周此仍以径一围三立法故周求积
　　　　　　所得之数必大积求周所得之数必小
　　　　　　也
设如圜面积六尺一十六寸问径几何
　　　　　　法用圜径方边相等圜积方积不同之
　　　　　　定率比例以圜积一○○○○○○○
　　　　　　○为一率方积一二七三二三九五四

　　　　　　为二率今所设之圜面积六尺一十六

　　　　　寸为三率求得四率七尺八十四寸三
　　　　　十一分五十五釐五十六豪六十四丝
　　　　　为与圜径相等之正方边之正方面积
　　　　　开方得二尺八寸零五豪六丝有馀即
　　　　　圜之径数也盖圜积为七八五三九八
　　　　　一六则方积为一○○○○○○○○
　　　　　若圜积为一○○○○○○○○则方
　　　　　积为一二七三二三九五四其比例仍

　　　　　同故以圜积一○○○○○○○○为
　　　　　一率者即如以圜积七八五三九八一
　　　　　六为一率而以方积一二七三二三九
　　　　　五四为二率者即如以方积一○○○
　　　　　○○○○○为二率也
　　　　　又法用圜积方积相等圜径方边不同
　　　　　之定率比例以方边一○○○○○○
　　　　　○○为一率圜径一一二八三七九一
　　　　　六为二率今所设之圜面积六尺一十

　　　　　六寸开方得二尺四寸八分一釐九豪

　　　　　三丝四忽有馀为三率求得四率二尺
　　　　　八寸零五豪六丝二忽有馀即圜之径
　　　　　数也此法亦以圜积方积设为相等使
　　　　　圜径与方边不同故以圜面积开方得
　　　　　方边为线与线之比例盖方边为八八
　　　　　六二二六九二则圜径为一○○○○
　　　　　○○○○若方边为一○○○○○○
　　　　　○○则圜径为一一二八三七九一六

　　　　　其比例仍同故以方边一○○○○○
　　　　　○○○为一率者即如以方边八八六
　　　　　二二六九二为一率而以圜径一一二
　　　　　八三七九一六为二率者即如以圜径
　　　　　一○○○○○○○○为二率也
　　　　　又法用圜周方周定率比例以圜周三
　　　　　五五为一率方周四五二为二率今所
　　　　　设之圜面积六尺一十六寸为三率求
　　　　　得四率七尺八十四寸三十一分五十

　　　　　四釐九十二豪九十五丝有馀开方亦

　　　　　得二尺八寸零五豪六丝有馀为圜之
　　　　　径数也
　　　　　又法以十一分为一率十四分为二率
　　　　　今所设之圜面积六尺一十六寸为三
　　　　　率求得四率七尺八十四寸开方得二
　　　　　尺八寸为圜之径数也盖径七围二十
　　　　　二之定率其径既小则方周与方积亦
　　　　　皆小故开方所得之圜径亦小也

设如圜面积六尺一十六寸问周几何
　　　　　法以圜面积六尺一十六寸用圜积求
　　　　　径法求得圜径二尺八寸零五豪六丝
　　　　　有馀又用圜径求周法求得八尺七寸
　　　　　九分八釐二豪二丝有馀即圜之周数
　　　　　也
　　　　　又法用圜积与圜周方积定率比例以
　　　　　圜积一○○○○○○○○为一率圜
　　　　　周方积一二五六六三七○六二为二

　　　　　率今所设之圜面积六尺一十六寸为

　　　　　三率求得四率七十七尺四十寸八十
　　　　　八分四十三釐零一豪有馀开方得八
　　　　　尺七寸九分八釐二豪有馀即圜之周
　　　　　数也盖圜积为七九五七七四七则圜
　　　　　周自乘方积为一○○○○○○○○
　　　　　若圜积为一○○○○○○○○则圜
　　　　　周自乘方积为一二五六六三七○六
　　　　　二其比例仍同故以圜积一○○○○

　　　　　○○○○与圜周自乘方积一二五六
　　　　　六三七○六二之比即同于今所设之
　　　　　圜面积六尺一十六寸与今所得之圜
　　　　　周自乘方积七十七尺四十寸八十八
　　　　　分四十三釐零一豪之比既得圜周自
　　　　　乘方积开方即得圜周也
设如撱圜形(一音鸭/蛋形)大径九尺小径六尺问面积几
　何
　　　　　法以大径九尺与小径六尺相乘得五

　　　　　十四尺为长方积乃用方边圜径相等

　　　　　　方积圜积不同之定率比例以方积一
　　　　　　○○○○○○○○为一率圜积七八
　　　　　　五三九八一六为二率今所得之大小
　　　　　　径相乘之长方积五十四尺为三率求
　　　　　　得四率四十二尺四十一寸一十五分
　　　　　　零六十四豪即撱圜形之面积也盖圜
　　　　　　面积与撱圜面积之比同于圜外所切
　　　　　　之正方形积与撱圜形外所切之长方

　　　　　　积之比(见几何原本八/卷第十二节)则圜外所切之
　　　　　　正方形积与圜面积之比亦必同于撱
　　　　　　圜形外所切之长方形积与撱圜面积
　　　　　　之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大径
　　　　　　九尺乙丁小径六尺以大径与小径相
　　　　　　乘遂成戊己庚辛长方形此长方形积
　　　　　　与撱圜形积之比即同于正方积与圜
　　　　　　积之比故以定率之方积数为一率圜
　　　　　　积数为二率今所得之大小径相乘之

　　　　　　长方积为三率求得四率为撱圜形之

　　　　　　面积也
设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零
　六十四豪大径九尺问小径几何
　　　　　　法用圜径方边相等圜积方积不同之
　　　　　　定率比例以圜积一○○○○○○○
　　　　　　○为一率方积一二七三二三九五四
　　　　　　为二率今所设之撱圜形面积四十二
　　　　　　尺四十一寸一十五分零六十四豪为

　　　　　　三率求得四率五十四尺为长方积以
　　　　　　大径九尺除之得六尺即撱圜形之小
　　　　　　径也盖方面积与圜面积之比既同于
　　　　　　长方面积与撱圜形面积之比则圜面
　　　　　　积与方面积之比亦必同于撱圜形面
　　　　　　积与长方面积之比也如甲乙丙丁撱
　　　　　　圜形用定率比例而得戊己庚辛长方
　　　　　　形其戊己长与甲丙大径等其己庚阔
　　　　　　与乙丁小径等故以大径除之得小径

　　　　　　也如有小径求大径则以所得长方积

　　　　　　用小径除之而得大径也
设如圆环形外周二十一尺三寸内周七尺一寸阔
　二尺二寸六分求面积几何
　　　　　　法以外周二十一尺三寸与内周七尺
　　　　　　一寸相加得二十八尺四寸折半得一
　　　　　　十四尺二寸以阔二尺二寸六分乘之
　　　　　　得三十二尺零九寸二十分即圆环形
　　　　　　之面积也如图甲乙丙丁圆环形甲乙

　　　　　　外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一
　　　　　　寸甲丙与丁乙皆二尺二寸六分试依
　　　　　　甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周
　　　　　　度作一己庚辛直角三角形其己庚小
　　　　　　边与甲乙大圜之戊乙半径等庚辛大
　　　　　　边与大圜之周界等则己庚辛直角三
　　　　　　角形之面积与甲乙大圜之面积等又
　　　　　　依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三
　　　　　　角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜

　　　　　　周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬

　　　　　　癸一小直角三角形其面积与丙丁小
　　　　　　圜之面积等如于己庚辛大三角形内
　　　　　　减己壬癸小三角形所馀癸辛庚壬斜
　　　　　　尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形
　　　　　　之面积等矣故如斜尖方形求积法以
　　　　　　如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之
　　　　　　庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙阔
　　　　　　之壬庚乘之得子丑庚壬一长方形与

　　　　　　癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圆
　　　　　　环形之面积也
设如圆环形外径二尺四寸内径一尺二寸求面积
　几何
　　　　　　法以外径二尺四寸求得周七尺五寸
　　　　　　三分九釐八豪二丝有馀又以内径一
　　　　　　尺二寸求得周三尺七寸六分九釐九
　　　　　　豪一丝有馀乃以内径一尺二寸与外
　　　　　　径二尺四寸相减馀一尺二寸折半得

　　　　　　六寸为圆环形之阔依前法算之得三

　　　　　　尺三十九寸二十九分二十釐有馀为
　　　　　　圆环形之面积也
　　　　　　又法以外径二尺四寸自乘得五尺七
　　　　　　十六寸又以内径一尺二寸自乘得一
　　　　　　尺四十四寸两数相减馀四尺三十二
　　　　　　寸为方环面积乃用方积圜积定率比
　　　　　　例以方积一○○○○○○○○为一
　　　　　　率圜积七八五三九八一六为二率今

　　　　　　所得之方环面积四尺三十二寸为三
　　　　　　率求得四率三尺三十九寸二十九分
　　　　　　二十釐有馀即圆环形之面积也此法
　　　　　　盖以方环圆环为比例即如用方积圜
　　　　　　积定率为比例也分而言之则外径自
　　　　　　乘与外大圜面积为比内径自乘与内
　　　　　　小圜面积为比既得两圜面积相减始
　　　　　　为圆环面积今以内外径各自乘相减
　　　　　　即用方积圜积定率比例是合两比例

　　　　　　而为一比例也

设如圆环形外周六尺六寸内周二尺二寸求面积
　几何
　　　　　　法以外周六尺六寸求得径二尺一寸
　　　　　　零八豪四丝有馀又以内周二尺二寸
　　　　　　求得径七寸零二豪八丝有馀两径相
　　　　　　减馀一尺四寸零五豪六丝有馀折半
　　　　　　得七寸零二豪八丝有馀为圆环形之
　　　　　　阔依前法算之得三尺零八寸一十二

　　　　　　分三十二釐有馀即圆环形之面积也
　　　　　　又法以外周六尺六寸自乘得四十三
　　　　　　尺五十六寸内周二尺二寸自乘得四
　　　　　　尺八十四寸两数相减馀三十八尺七
　　　　　　十二寸乃用圜周方积与圜积定率比
　　　　　　例以圜周方积一○○○○○○○○
　　　　　　为一率圜积七九五七七四七为二率
　　　　　　两周自乘相减之馀三十八尺七十二
　　　　　　寸为三率求得四率三尺零八寸一十

　　　　　　二分三十九釐有馀即圆环形之面积

　　　　　　也此法盖以两圜周自乘相减之馀积
　　　　　　与圆环积为比例即如用圜周方积圜
　　　　　　积定率为比例也分而言之则外周自
　　　　　　乘与外大圜面积为比内周自乘与内
　　　　　　小圜面积为比既得两圜面积相减始
　　　　　　为圆环面积今以内外周各自乘相减
　　　　　　即用圜周方积圜积定率比例是合两
　　　　　　比例而为一比例也

设如圆环形面积四百六十二尺阔七尺求内外径
　各几何
　　　　　　法以阔七尺除圆环面积四百六十二
　　　　　　尺得六十六尺即内外周相并折半之
　　　　　　数为中周乃以周求径法求得径二十
　　　　　　一尺零八釐四豪五丝有馀为内外径
　　　　　　相并折半之数为中径加阔七尺得二
　　　　　　十八尺零八釐四豪五丝有馀即外径
　　　　　　中径内减阔七尺馀一十四尺零八釐

　　　　　　四豪五丝有馀即内径也如图甲乙丙

　　　　　　丁圆环形其面积四百六十二尺甲丙
　　　　　　与丁乙皆七尺先所得之中周六十六
　　　　　　尺为戊己周次所得之中径二十一尺
　　　　　　零八釐四豪五丝有馀为戊己径其甲
　　　　　　戊与戊丙等丁己与己乙等故甲戊与
　　　　　　己乙两段戊丙与丁己两段皆与丁乙
　　　　　　及甲丙阔度等是以于中径内加阔得
　　　　　　外径减阔得内径也

　　　　　　又法先用圜积方积定率比例以圜积
　　　　　　一○○○○○○○○为一率方积一
　　　　　　二七三二三九五四为二率圆环积四
　　　　　　百六十二尺为三率求得四率五百八
　　　　　　十八尺二十三寸六十六分六十七釐
　　　　　　有馀为方环积乃以阔七尺自乘得四
　　　　　　十九尺以四因之得一百九十六尺与
　　　　　　所得之方环积相减馀三百九十二尺
　　　　　　二十三寸六十六分六十七釐有馀四

　　　　　　归之得九十八尺零五寸九十一分六

　　　　　　十六釐有馀以阔七尺除之得一十四
　　　　　　尺零八釐四豪五丝有馀为内圜径加
　　　　　　倍阔十四尺得二十八尺零八釐四豪
　　　　　　五丝有馀为外圜径也此法盖以圆环
　　　　　　积变为方环积即如前法方环积变为
　　　　　　圆环积也如甲乙丙丁圆环形变为戊
　　　　　　己庚辛壬癸子丑方环形内减戊寅壬
　　　　　　辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛阔自

　　　　　　乘之四正方形馀寅卯癸壬癸巳午子
　　　　　　丑子酉申辰壬丑未四长方形四归之
　　　　　　馀寅卯癸壬一长方形以寅壬阔除之
　　　　　　得壬癸长与丙丁内径等加甲丙与丁
　　　　　　乙得甲乙即外径也
设如圆环形面积三百零八尺阔七尺求内外周各
　几何
　　　　　　法以阔七尺除圆环面积三百零八尺
　　　　　　得四十四尺为内外周相并折半之数

　　　　　　为中周又用径求周法以径数一○○

　　　　　　○○○○○○为一率周数三一四一
　　　　　　五九二六五为二率阔七尺为三率求
　　　　　　得四率二十一尺九寸九分一釐一豪
　　　　　　四丝有馀为内外周相减折半之数为
　　　　　　半较乃以半较二十一尺九寸九分一
　　　　　　釐一豪四丝有馀与中周四十四尺相
　　　　　　加得六十五尺九寸九分一釐一豪四
　　　　　　丝有馀即外周数以半较二十一尺九

　　　　　　寸九分一釐一豪四丝有馀与中周四
　　　　　　十四尺相减馀二十二尺零八釐八豪
　　　　　　六丝有馀即内周数也如图甲乙丙丁
　　　　　　圆环形其面积三百零八尺丁乙阔七
　　　　　　尺试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲
　　　　　　乙圜周度作一己庚辛直角三角形则
　　　　　　己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之
　　　　　　面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截
　　　　　　己庚辛三角形之己庚小边于壬又依

　　　　　　丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行

　　　　　　则成己壬癸一小直角之三角形积乃
　　　　　　与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大
　　　　　　三角形内减己壬癸小三角形所馀癸
　　　　　　辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙
　　　　　　丁圆环面积等矣而癸辛庚壬斜尖方
　　　　　　形积又与子丑庚壬长方形积等故以
　　　　　　如丁乙阔之壬庚除之得丑庚为内外
　　　　　　周相并折半之中周数又以寅庚全径

　　　　　　与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔(与/子)
　　　　　　(丑/等)与辛丑半较之比盖丁乙为内外径
　　　　　　相减折半之较辛丑即内外周相减折
　　　　　　半之较为相当比例四率也既得辛丑
　　　　　　与丑卯等即辛庚外周大于丑庚中周
　　　　　　之较亦即癸壬内周(与卯/庚等)小于丑庚中
　　　　　　周之较故于中周加半较得外周减半
　　　　　　较得内周也
设如圆环形面积三尺三十六寸内周一尺一寸求

　外周及阔各几何

　　　　　　法以内周一尺一寸用周求径法求得
　　　　　　内径三寸五分零一豪有馀又用周径
　　　　　　求积法求得内周圜面积九寸六十二
　　　　　　分七十七釐五十豪有馀与圆环积三
　　　　　　尺三十六寸相加得三尺四十五寸六
　　　　　　十二分七十七釐五十豪有馀即外周
　　　　　　圆面积乃用圜积方积定率比例以圜
　　　　　　积一○○○○○○○○为一率方积

　　　　　　一二七三二三九五四为二率今所得
　　　　　　之外周圜面积三尺四十五寸六十二
　　　　　　分七十七釐五十豪有馀为三率求得
　　　　　　四率四尺四十寸零六分六十九釐一
　　　　　　十七豪有馀为外径自乘之方积开方
　　　　　　得二尺零九分七釐七豪有馀即外径
　　　　　　减去内径三寸五分零一豪馀一尺七
　　　　　　寸四分七釐六豪折半得八寸七分三
　　　　　　釐八豪即圆环形之阔又用径求周法

　　　　　　求得周六尺五寸九分零一豪有馀即

　　　　　　外周数也
设如圆环形面积三百八十四尺外周八十八尺求
　内周及阔各几何
　　　　　　法以外周八十八尺用周求径法求得
　　　　　　外径二十八尺零一分一釐二豪有馀
　　　　　　又用周径求积法求得外周圜面积六
　　　　　　百一十六尺二十四寸六十四分有馀
　　　　　　内减去圆环积三百八十四尺馀二百

　　　　　　三十二尺二十四寸六十四分有馀为
　　　　　　内周圜面积乃用圜积方积定率比例
　　　　　　以圜积一○○○○○○○○为一率
　　　　　　方积一二七三二三九五四为二率今
　　　　　　所得之内周圜面积二百三十二尺二
　　　　　　十四寸六十四分为三率求得四率二
　　　　　　百九十五尺七十寸五十二分九十九
　　　　　　釐五十豪有馀即内径自乘之方积开
　　　　　　方得一十七尺一寸九分六釐有馀即

　　　　　　内径与外径二十八尺零一分一釐二

　　　　　　豪相减馀一十尺八寸一分五釐二豪
　　　　　　有馀折半得五尺四寸零七釐六豪即
　　　　　　圆环形之阔又用径求周法求得周五
　　　　　　十四尺零二分二釐八豪有馀即内周
　　　　　　数也
设如圜径一尺二寸今截弧矢形一段矢阔二寸四
　分求弦长几何
　　　　　　法以矢阔二寸四分为首率圜径一尺

　　　　　　二寸内减矢阔二寸四分馀九寸六分
　　　　　　为末率首率末率相乘得二十三寸零
　　　　　　四分开方得四寸八分为中率倍之得
　　　　　　九寸六分即弧矢形之弦数也如图甲
　　　　　　乙圜径一尺二寸截甲丙丁弧矢形其
　　　　　　甲戊为矢阔二寸四分试自甲至丙作
　　　　　　甲丙线自丙至乙作丙乙线遂成甲丙
　　　　　　乙直角三角形而丙戊半弦即为其垂
　　　　　　线故所截甲戊为首率戊乙为末率求

　　　　　　得丙戊为中率(见几何原本九卷第二/节并见勾股卷定勾股)

　　　　　　(无零数/法中)倍之得丙丁即弧矢形之弦也
　　　　　　又法以圜径一尺二寸折半得半径六
　　　　　　寸为弦矢阔二寸四分与半径六寸相
　　　　　　减馀三寸六分为勾求得股四寸八分
　　　　　　倍之得九寸六分得弧矢形之弦数也
　　　　　　如图甲乙圜径一尺二寸折半得甲己
　　　　　　半径六寸与丙己等为弦又于甲己半
　　　　　　径六寸内减甲戊矢阔二寸四分馀戊

　　　　　　己三寸六分为勾求得丙戊股倍之得
　　　　　　丙丁为弧矢形之弦也
设如圜径一　尺七寸今截弧矢形一段弦长一尺五
　寸求矢阔几何
　　　　　　法以弦长一尺五寸折半得半弦七寸
　　　　　　五分自乘得五十六寸二十五分为长
　　　　　　方积以圜径一尺七寸为长阔和用带
　　　　　　纵和数开方法算之得阔四寸五分即
　　　　　　矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸截

　　　　　　甲丙丁弧矢形其丙丁为弦长一尺五

　　　　　　寸自甲至丙自丙至乙作二线成甲丙
　　　　　　乙直角三角形而丙戊为垂线故甲戊
　　　　　　为首率戊乙为末率丙戊为中率中率
　　　　　　自乘之正方与首率末率相乘之长方
　　　　　　等今以丙丁弦折半得半弦丙戊自乘
　　　　　　即与甲戊矢为阔戊乙截径为长相乘
　　　　　　之长方等故以甲乙为长阔和求得甲
　　　　　　戊阔即矢也

　　　　　　又法以圜径一尺七寸折半得八寸五
　　　　　　分为弦以弦长一尺五寸折半得七寸
　　　　　　五分为股求得勾四寸与半径八寸五
　　　　　　分相减馀四寸五分即矢之阔也如图
　　　　　　甲乙圜径一尺七寸折半得丙己半径
　　　　　　八寸五分为弦丙丁弦一尺五寸折半
　　　　　　得丙戊七寸五分为股求得戊己勾与
　　　　　　甲己半径相减馀甲戊即矢之阔也
　　　　　　又法以圜径一尺七寸为弦弧弦一尺

　　　　　　五寸为股求得勾八寸与圜径一尺七

　　　　　　寸相减馀九寸折半得四寸五分即矢
　　　　　　之阔也如图甲乙圜径一尺七寸与丁
　　　　　　庚等如自丙至庚作丙庚线则成丁丙
　　　　　　庚直角三角形故以丁庚为弦丙丁为
　　　　　　股求得丙庚勾与戊辛等以戊辛与甲
　　　　　　乙全径相减馀甲戊与辛乙两段折半
　　　　　　即得甲戊为矢之阔也
设如弧矢形弦长一尺二寸矢阔四寸求圜径几何

　　　　　　法以矢阔四寸为首率弦长一尺二寸
　　　　　　折半得六寸为中率乃以中率六寸自
　　　　　　乘用首率四寸除之得九寸为圜之截
　　　　　　径加矢阔四寸得一尺三寸即圜之径
　　　　　　数也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙弦长
　　　　　　一尺二寸丁乙矢阔四寸试继甲丁丙
　　　　　　弧作一全圜(法见几何原本/十一卷十三节)将丁乙矢
　　　　　　线引长作丁戊全径线又自甲至丁作
　　　　　　甲丁线自甲至戊作甲戊线遂成丁甲

　　　　　　戊直角三角形而甲乙半弦即为其中

　　　　　　垂线故丁乙矢为首率乙戊截径为末
　　　　　　率而甲乙半弦即为中率故丁乙与甲
　　　　　　乙之比同于甲乙与乙戊之比而得乙
　　　　　　戊截径加丁乙矢即得丁戊为圜之全
　　　　　　径也
设如弧矢形弦长八尺矢阔二尺求面积几何
　　　　　　法先用弧矢形有弦矢求圜径法求得
　　　　　　圜之全径十尺折半得半径五尺为一

　　　　　　率半弦四尺为二率以半径十万为三
　　　　　　率求得四率八万为正弦数捡八线表
　　　　　　得五十三度零七分四十九秒为半弧
　　　　　　之度分倍之得一百零六度一十五分
　　　　　　三十八秒为全弧之度分乃以全圜三
　　　　　　百六十度化作一百二十九万六千秒
　　　　　　为一率全弧一百零六度十五分三十
　　　　　　八秒化作三十八万二千五百三十八
　　　　　　秒为二率全径十尺求得全周三十一

　　　　　　尺四寸一分五釐九豪二丝有馀为三

　　　　　　率求得四率九尺二寸七分二釐九豪
　　　　　　八丝有馀为全弧之数与半径五尺相
　　　　　　乘得四十六尺三十六寸四十九分折
　　　　　　半得二十三尺一十八寸二十四分五
　　　　　　十釐为自圜心所分弧背三角形积又
　　　　　　于半径五尺内减矢二尺馀三尺与弦
　　　　　　八尺相乘得二十四尺折半得十二尺
　　　　　　为自圜心至弦所分直线三角形积与

　　　　　　弧背三角形积二十三尺一十八寸二
　　　　　　十四分五十釐相减馀一十一尺一十
　　　　　　八寸二十四分五十釐即弧矢形之面
　　　　　　积也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙弦长
　　　　　　八尺丁乙矢阔二尺甲乙为半弦四尺
　　　　　　试继此弧作一全圜求得丁戊全径(解/见)
　　　　　　(前/)折半得己丁半径既得半径而甲乙
　　　　　　半弦又即为甲丁半弧之正弦故比例
　　　　　　得正弦数捡表而得甲丁半弧之度分

　　　　　　倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙

　　　　　　丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分
　　　　　　之比同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲
　　　　　　丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全
　　　　　　弧之数与己丁半径相乘折半即得甲
　　　　　　己丙丁弧背三角形之面积又于丁己
　　　　　　半径内减丁乙矢馀乙己为截半径与
　　　　　　甲丙弦相乘折半得甲己丙直线三角
　　　　　　形面积与甲己丙丁弧背三角形面积

　　　　　　相减馀即甲乙丙丁弧矢形之面积也
设如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界
　长二尺二寸求圜径及弦长矢阔各几何
　　　　　　法以截弧一百二十度为一率全圜三
　　　　　　百六十度为二率截弧二尺二寸为三
　　　　　　率求得四率六尺六寸为圜之周数用
　　　　　　圜周求径法求得圜径二尺一寸零八
　　　　　　豪四丝有馀乃以半径十万为一率截
　　　　　　弧一百二十度折半得六十度查正弦

　　　　　　得八万六千六百零三倍之得一十七

　　　　　　万三千二百零六即一百二十度之通
　　　　　　弦为二率今所得之圜径二尺一寸零
　　　　　　八豪四丝有馀折半得一尺零五分零
　　　　　　四豪二丝有馀为三率求得四率一尺
　　　　　　八寸一分九釐三豪九丝有馀即弧矢
　　　　　　形之弦数又以半径十万为一率六十
　　　　　　度之馀弦五万与半径十万相减馀五
　　　　　　万即六十度之正矢为二率今所得之

　　　　　　半径一尺零五分零四豪二丝有馀为
　　　　　　三率求得四率五寸二分五釐二豪一
　　　　　　丝有馀即弧矢形之矢数也如图甲乙
　　　　　　丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知
　　　　　　乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧
　　　　　　界为二尺二寸求甲丙全径及乙丁弦
　　　　　　甲戊矢则以乙甲丁弧一百二十度与
　　　　　　甲乙丙丁全圜三百六十度之比即同
　　　　　　于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁

　　　　　　全圜界六尺六寸之比也既得全周求

　　　　　　得甲丙全径折半于己心自己至乙作
　　　　　　己乙半径线则乙戊即如六十度之正
　　　　　　弦乙丁即如一百二十度之通弦甲戊
　　　　　　即如六十度之正矢故以半径十万与
　　　　　　一百二十度之通弦一十七万三千二
　　　　　　百零六之比即同于己乙半径一尺零
　　　　　　五分零四豪二丝有馀与乙丁全弦一
　　　　　　尺八寸一分九釐三豪九丝有馀之比

　　　　　　又半径十万与六十度之正矢五万之
　　　　　　比即同于己乙半径与甲戊矢五寸二
　　　　　　分五釐二豪一丝有馀之比也
设如圜形截弧矢一段任自弧界一处对圜心至弦
　作一斜线长一尺二寸将全弦分为大小两段大
　段长一尺八寸小段长一尺六寸问圜径几何
　　　　　　法以所作之斜线一尺二寸为一率截
　　　　　　弦小段一尺六寸为二率大段一尺八
　　　　　　寸为三率求得四率二尺四寸为自截

　　　　　　弦处过圜心至圜对界之线将此线与

　　　　　　所作之斜线一尺二寸相加得三尺六
　　　　　　寸即圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲
　　　　　　乙丁弧矢形任自圜界甲对圜心戊至
　　　　　　乙丁弦上作甲己斜线将乙丁弦分为
　　　　　　乙己己丁两段乙己小段一尺六寸己
　　　　　　丁大段一尺八寸试将甲己斜线引长
　　　　　　过圜心至圜对界丙作甲丙线又自甲
　　　　　　至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线

　　　　　　遂成甲己乙丁己丙两同式三角形(乙/角)
　　　　　　(对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙/丙弧丁角亦对乙丙弧两己角为对角)
　　　　　　(故两三角形/为同式形也)故以甲己与乙己之比即
　　　　　　同于己丁与己丙之比既得己丙与甲
　　　　　　己相加即得甲丙为圜径也
设如圜形截弧矢一段任自弧界一处至弦作一垂
　线长一尺二寸将全弦分为大小两段其大段长
　三尺小段长一尺问圜径几何
　　　　　　法以所作垂线一尺二寸为一率截弦

　　　　　　小段一尺为二率大段三尺为三率求

　　　　　　得四率二尺五寸为自截弦处至圜对
　　　　　　界之直线乃以此线与所作之垂线一
　　　　　　尺二寸相加得三尺七寸为股以截弦
　　　　　　小段一尺与大段三尺相减馀二尺为
　　　　　　勾求得弦四尺二寸即圜径也如图甲
　　　　　　乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧
　　　　　　界甲至乙丁弦上作甲戊垂线长一尺
　　　　　　二寸将乙丁弦分为乙戊戊丁两段乙

　　　　　　戊小段一尺戊丁大段三尺试将甲戊
　　　　　　垂线引长至圜对界丙作甲丙线又自
　　　　　　甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙
　　　　　　线遂成甲戊乙丁戊丙两同式三角形
　　　　　　(乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角/对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两戊角俱)
　　　　　　(为直角故两三角/形为同式形也)故以甲戊与戊乙之
　　　　　　比同于丁戊与戊丙之比既得戊丙与
　　　　　　甲戊相加即得甲丙又以乙戊(同己/丁)与
　　　　　　戊丁相减馀戊己与甲庚等乃自甲至

　　　　　　庚作甲庚线与乙丁平行则甲角为直

　　　　　　角必立于圜界之一半又自庚至丙作
　　　　　　庚丙线则又成庚甲丙勾股形故以庚
　　　　　　甲为勾甲丙为股求得庚丙弦即圜径
　　　　　　也
设如一大圜形内容四小圜形但知大圜形径一尺
　二寸求小圜形径几何
　　　　　　法以大圜形径一尺二寸自乘倍之开
　　　　　　方得一尺六寸九分七釐零五丝有馀

　　　　　　内减大圜形径一尺二寸馀四寸九分
　　　　　　七釐零五丝有馀即小圜形径也如图
　　　　　　甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试
　　　　　　切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其
　　　　　　方边即大圜形全径用方边求斜弦法
　　　　　　求得壬庚己辛两斜弦即成己甲壬己
　　　　　　甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容
　　　　　　一小圜形而四方边遂为四勾股形之
　　　　　　各弦两斜弦各折半遂各为四勾股形

　　　　　　之各勾股任取一勾股和减弦即得容

　　　　　　圜全径也(解见勾股/容圜法中)
设如一大圜形内容四小圜形但知小圜形径五寸
　求大圜形径几何
　　　　　　法以小圜形径五寸自乘倍之开方得
　　　　　　七寸零七釐一豪有馀加小圜形径五
　　　　　　寸得一尺二寸零七釐一豪有馀即大
　　　　　　圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁
　　　　　　戊四小圜形试连四小圜形中心作乙

　　　　　　丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊
　　　　　　一正方形用方边求斜弦法求得乙丁
　　　　　　斜弦加己乙与丁庚两半径(即一小圜/形之全径)
　　　　　　即得己庚大圜形全径也
设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺
　二寸求内容小圜形径几何
　　　　　　法以大圜形径一尺二寸求得外切三
　　　　　　角形之每边为二尺零七分八釐四豪
　　　　　　六丝有馀乃以大圜形径一尺二寸为

　　　　　　三角形之两腰半径六寸为中垂线用

　　　　　　三角形容圜法求得容圜半径二寸七
　　　　　　分八釐四豪六丝有馀倍之得五寸五
　　　　　　分六釐九豪二丝有馀即小圜形全径
　　　　　　也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜
　　　　　　形试求外切甲大圜界戊己庚三角形
　　　　　　自圜心甲至戊己庚三角各作一分角
　　　　　　线皆与圜之全径等即成戊甲己己甲
　　　　　　庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形

　　　　　　故任以两全径为两腰一半径为中垂
　　　　　　线用三角形容圜法算之即得一小圜
　　　　　　径也
设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸
　求大圜形径几何
　　　　　　法以小圜形径五寸为等边三角形之
　　　　　　每一边用等边三角形求外切圜形全
　　　　　　径法求得外切圜径五寸七分七釐三
　　　　　　豪五丝有馀加小圜全径五寸得一尺

　　　　　　零七分七釐三豪五丝有馀即大圜形

　　　　　　　全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三
　　　　　　　小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙
　　　　　　　丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形
　　　　　　　其每边皆与小圜全径等又切乙丙丁
　　　　　　　三角作一圜形用等边三角形求外切
　　　　　　　圜形全径法(解见三/角形卷)求得乙戊径线加
　　　　　　　己乙与戊庚两半径(即一小圜/形之全径)即得己
　　　　　　　庚大圜形全径也

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷二十