钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十九
　　面部九
　　　各面形总论
　　　直线形

　　各面形总论
面之为形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成
皆圜之类立法则方为圜之本度圜者必以方而度
方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜
又为众界形之本盖众界形或函圜或函于圜其边
皆当弧线之度故求众界形者必以圜界为宗也因
有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众
界形之每一边与圜径俱设为一○○○○则方面

积为一○○○○○○○○而圜面积为七八五三
九八一六三等边形之面积为四三三○一二七○
五等边形之面积为一七二○四七七四一六等边
形之面积为二五九八○七六二○七等边形之面
积为三六三三九一二四○八等边形之面积为四
八二八四二七一二九等边形之面积为六一八一
八二四二○十等边形之面积为七六九四二○八
八三此各形之面积皆以方积比例者也或以圜面
积设为一○○○○○○○○则圜径得一一二八

三小馀七九一六如圜径与众界形之每一边俱设

为一一二八三小馀七九一六则圜面积为一○○
○○○○○○而三等边形之面积为五五一三二
八八九方面积为一二七三二三九五四五等边形
之面积为二一九○五七九八六六等边形之面积
为三三○七九七三三四七等边形之面积为四六
二六八四○九八八等边形之面积为六一四七七
四四三五九等边形之面积为七八七○九四三○
二十等边形之面积为九七九六五七○九九此各

形之面积皆以圜积比例者也盖因各形之边线相
等面积不同故皆定为面与面之比例也面积等者
边线不等如众界形之面积与圜面积俱设为一○
○○○○○○○○○○○○○○○则方边为一
○○○○○○○○而圜径为一一二八三七九一
六三等边形之每边为一五一九六七一三七五等
边形之每边为七六二三八七○五六等边形之每
边为六二○四○三二四七等边形之每边为五二
四五八一二六八等边形之每边为四五五○八九

八五九等边形之每边为四○二一九九六三十等

边形之每边为三六○五一○五八此各形之边线
皆以方边比例者也或以圜径设为一○○○○○
○○○则圜面积为七八五三九八一六三三九七
四四八三如圜面积与众界形之面积俱设为七八
五三九八一六三三九七四四八三则圜径为一○
○○○○○○○而二等边形之每边为一三四六
七七三六九四等边形(即正/方)之每边为八八六二二
六九二五等边形之每边为六七五六四七九三六

等边形之每边为五四九八一八○五七等边形之
每边为四六四八九八○三八等边形之每边为四
○三三一二八八九等边形之每边为三五六四四
○一四十等边形之每边为三一九四九四一八此
各形之边线皆以圜径比例者也盖因各形之面积
相等边线不同故皆定为线与线之比例也然自众
界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股为准
则故勾股三角形虽为面而不囿于面之中却别立
一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者

归之正方引而伸之触类而长之凡为面形者不能

违是也

　　直线形
设如正方形每边五十尺问对角斜线几何
　　　　　　法以方边五十尺自乘得二千五百尺
　　　　　　倍之得五千尺开方得七十尺七寸一
　　　　　　分零六豪有馀即所求之对角斜线也
　　　　　　如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙
　　　　　　丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对
　　　　　　角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为

　　　　　　股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆
　　　　　　可互为勾股故以一边自乘倍之开方
　　　　　　得弦即如各自乘相并开方而得弦也
　　　　　　又用定率比例法以定率之方边一○
　　　　　　○○○○○○为一率对角斜线一四
　　　　　　一四二一三五为二率今所设之方边
　　　　　　五十尺为三率求得四率七十尺七寸
　　　　　　一分零六豪有馀即所求之对角斜线
　　　　　　也盖定率设方边为一千万其对角斜

　　　　　　线为一千四百一十四万二千一百三

　　　　　　十五故定率之方边一千万与定率之
　　　　　　对角斜线一千四百一十四万二千一
　　　　　　百三十五之比即如今所设之方边五
　　　　　　十尺与所求之对角斜线七十尺七寸
　　　　　　一分零六豪有馀之比也
　　　　　　若有对角斜线求方边则以对角斜线
　　　　　　自乘折半开方所得为正方形之每一
　　　　　　边也盖甲丙弦自乘之方与甲乙股乙

　　　　　　丙勾两正方相并之积等今以甲丙弦
　　　　　　自乘折半则必与甲乙或乙丙自乘之
　　　　　　一正方相等故开方而得每一边也或
　　　　　　用定率比例法以定率之对角斜线一
　　　　　　四一四二一三五为一率方边一○○
　　　　　　○○○○○为二率今所设之对角斜
　　　　　　线为三率求得四率即方边也
设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几
　何

　　　　　　法以每边二尺自乘得四尺倍之得八

　　　　　　尺开方得二尺八寸二分八釐四豪有
　　　　　　馀即所求之方边数也如图甲乙丙丁
　　　　　　正方形每边二尺其面积四尺倍之得
　　　　　　八尺即如戊乙己庚正方形其每边即
　　　　　　甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙
　　　　　　己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以
　　　　　　乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切
　　　　　　则丁乙与己乙皆为半径其度相等盖

　　　　　　丁乙对角斜线自乘之方为甲乙边自
　　　　　　乘之方之二倍故戊乙己庚正方形即
　　　　　　为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁
　　　　　　丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方
　　　　　　形积相等也
设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边
　几何
　　　　　　法以每边二尺倍之得四尺即所求之
　　　　　　方边数也如图甲乙丙丁正方形每边

　　　　　　二尺其面积四尺四倍之得一十六尺

　　　　　　即如戊乙己庚正方形之面积其每边
　　　　　　得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故
　　　　　　不用四倍其积开方止以每边二尺倍
　　　　　　之而即得也此法盖因两方面之比例
　　　　　　比之两界之比例为连比例隔一位相
　　　　　　加之比例(见几何原本/七卷第五节)故戊乙己庚正
　　　　　　方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面
　　　　　　积之四尺相比为四分之一而戊乙己

　　　　　　庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边
　　　　　　之二尺之比为二分之一夫十六与八
　　　　　　八与四四与二皆为二分之一之连比
　　　　　　例而十六与四之比其间隔八之一位
　　　　　　故为连比例隔一位相加之比例也
设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与
　原形为同式形问得长阔各几何
　　　　　　法以阔八尺自乘得六十四尺倍之得
　　　　　　一百二十八尺开方得一十一尺三寸

　　　　　　一分三釐七豪有馀即所求之阔既得

　　　　　　阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺
　　　　　　为二率今所得阔一十一尺三寸一分
　　　　　　三釐七豪有馀为三率求得四率一十
　　　　　　六尺九寸七分零五豪有馀即所求之
　　　　　　长也或以长十二尺自乘倍之开方亦
　　　　　　得一十六尺九寸七分零五豪有馀为
　　　　　　所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲
　　　　　　乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之

　　　　　　即如戊己庚辛长方形此两长方面积
　　　　　　之比例即同于其相当二界各作一正
　　　　　　方面积之比例(见几何原本/七卷第七节)故依甲乙
　　　　　　丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸
　　　　　　正方形将其积倍之即如戊己庚辛长
　　　　　　方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正
　　　　　　方形故开方得辛庚为所求之阔也既
　　　　　　得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比即
　　　　　　同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求

　　　　　　之长也若以原长自乘倍之开方即如

　　　　　　以二长界各作一正方形互相为比例
　　　　　　也
设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍
　与原形为同式形问得长阔各几何
　　　　　　法以阔八尺倍之得十六尺即所求之
　　　　　　阔又以原长十二尺倍之得二十四尺
　　　　　　即所求之长也如图甲乙丙丁长方形
　　　　　　甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四

　　　　　　倍之即如戊己庚辛长方形其每边得
　　　　　　甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不
　　　　　　用四倍其积开方止以各边之数倍之
　　　　　　而即得也此法盖因两长方面之比例
　　　　　　既同于其相当二界各作一正方面之
　　　　　　比例而两正方面之比例比之二界之
　　　　　　比例为连比例隔一位相加之比例故
　　　　　　两长方面之比例较之两界之比例亦
　　　　　　为连比例隔一位相加之比例也

设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何