钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十七
　　面部
　　　三角形边线角度相求

　　三角形边线角度相求
三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为
两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或
有其三而分为二槩以边线相求者也至于割圜之
法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比
例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度
为准而三角之度必与两直角之度等角之大者所
对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边

但知其三而其馀者悉可得若直角则惟知其二而
其馀者亦可得此三角之法所由立而测量之用所
由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角
与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为
比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对
所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也
或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则
角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和
较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两

角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得

矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线
法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之
方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角
而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故
不成法盖角度为虚率而边线为实数无实数而虚
率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相
度得宜耳
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙

　角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何
　　　　　法以丙角五十七度与象限九十度相
　　　　　减馀三十三度为甲角乃以甲角为对
　　　　　所知之角其正弦五万四千四百六十
　　　　　四为一率丙角为对所求之角其正弦
　　　　　八万三千八百六十七为二率丙乙边
　　　　　为所知之边其数五丈为三率求得四
　　　　　率七丈六尺九寸九分三釐有馀即甲
　　　　　乙为所求之边也如丙丁戊一象限己

　　　　　戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之

　　　　　正弦丁己弧为丙角之馀弧即甲角之
　　　　　正弧辛己线为丙角之馀弦即甲角之
　　　　　正弦是故丙角五十七度之馀弧为三
　　　　　十三度丙角五十七度之馀弦为三十
　　　　　三度之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股
　　　　　形为同式形故甲角正弦丙庚(即辛/己)与
　　　　　丙角正弦己庚之比同于丙乙边与甲
　　　　　乙边之比为相当比例四率也

　　　　　又法以半径十万为一率丙角五十七
　　　　　度之正切一十五万三千九百八十六
　　　　　为二率丙乙边五丈为三率求得四率
　　　　　七丈六尺九寸九分三釐即甲乙边也
　　　　　如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线
　　　　　为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙
　　　　　与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊
　　　　　半径与庚戊正切之比同于丙乙边与
　　　　　甲乙边之比为相当比例四率也

设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙

　角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙
　边几何
　　　　　法以丙角二十三度三十五分与九十
　　　　　度相减馀六十六度二十五分为甲角
　　　　　乃以丙角为对所知之角其正弦四万
　　　　　零八为一率以甲角为对所求之角其
　　　　　正弦九万一千六百四十八为二率甲
　　　　　乙边为所知之边其数三十二丈为三

　　　　　率求得四率七十三丈三尺零三分有
　　　　　馀即丙乙为所求之边也如丙丁戊一
　　　　　象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为
　　　　　丙角之正弦丁己弧为丙角之馀弧即
　　　　　甲角之正弧辛己线为丙角之馀弦即
　　　　　甲角之正弦故丙角二十三度三十五
　　　　　分之馀弧为六十六度二十五分丙角
　　　　　二十三度三十五分之馀弦为六十六
　　　　　度二十五分之正弦己庚丙与甲乙丙

　　　　　两勾股形为同式形故丙角正弦己庚

　　　　　与甲角正弦丙庚之比同于甲乙边与
　　　　　丙乙边之比为相当比例四率也
　　　　　又法以半径十万为一率丙角二十三
　　　　　度三十五分之馀切线二十二万九千
　　　　　零七十三为二率甲乙边三十二丈为
　　　　　三率求得四率七十三丈三尺零三分
　　　　　有馀即丙乙边也如丙丁戊一象限切
　　　　　丁己弧作丁庚线为丙角之馀切即甲

　　　　　角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲
　　　　　乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径
　　　　　与丁庚馀切之比同于甲乙边与丙乙
　　　　　边之比为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙
　角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙
　边几何
　　　　　法以丙角四十三度三十七分与九十
　　　　　度相减馀四十六度二十三分为甲角

　　　　　乃以甲角为对所知之角其正弦七万

　　　　　二千三百九十七为一率(甲角正弦即/丙角馀弦或)
　　　　　(直用丙角/馀弦亦可)以乙角为对所求之角其正
　　　　　弦即半径十万为二率丙乙边为所知
　　　　　之边其数二十一尺为三率求得四率
　　　　　二十九尺零六釐有馀即甲丙为所求
　　　　　之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙
　　　　　角之正弧丁己弧为丙角之馀弧即甲
　　　　　角之正弧辛己线为丙角之馀弦即甲

　　　　　角之正弦(与丙/庚等)己丙线为半径即九十
　　　　　度之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股形
　　　　　为同式形故甲角正弦丙庚与半径己
　　　　　丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为
　　　　　相当比例四率也
　　　　　又法以半径十万为一率丙角四十三
　　　　　度三十七分之正割一十三万八千一
　　　　　百二十七为二率丙乙边二十一尺为
　　　　　三率求得四率二十九尺零六釐有馀

　　　　　即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊

　　　　　弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为
　　　　　半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两
　　　　　勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙
　　　　　正割之比同于丙乙边与甲丙边之比
　　　　　为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙
　角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸
　二分求甲乙边丙乙边各几何

　　　　　法以丙角五十一度五十一分与九十
　　　　　度相减馀三十八度零九分为甲角求
　　　　　甲乙边则以乙角为对所知之角其正
　　　　　弦即半径十万为一率以丙角为对所
　　　　　求之角其正弦七万八千六百四十为
　　　　　二率甲丙边为所知之边其数八十九
　　　　　丈零二寸二分为三率求得四率七十
　　　　　丈零六分有馀即甲乙为所求之边也
　　　　　求丙乙边亦以乙角为对所知之角其

　　　　　正弦即半径十万为一率而以甲角为

　　　　　对所求之角其正弦六万一千七百七
　　　　　十二为二率甲丙边为所知之边其数
　　　　　八十九丈零二寸二分为三率求得四
　　　　　率五十四丈九尺九寸有馀即丙乙为
　　　　　所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧
　　　　　为丙角之正弧己庚线为丙角之正弦
　　　　　丁己弧为丙角之馀弧即甲角之正弧
　　　　　辛己线为丙角之馀弦即甲角之正弦

　　　　　己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形
　　　　　故半径己丙与丙角正弦己庚之比同
　　　　　于甲丙边与甲乙边之比为相当比例
　　　　　四率又半径巳丙与甲角正弦丙庚之
　　　　　比同于甲丙边与丙乙边之比为相当
　　　　　比例四率也
　　　　　又法求甲乙边以丙角五十一度五十
　　　　　一分之正割一十六万一千八百八十
　　　　　五为一率其正切一十二万七千三百

　　　　　零六为二率甲丙边八十九丈零二寸

　　　　　二分为三率求得四率七十丈零六分
　　　　　有馀即甲乙边也求丙乙边则仍以丙
　　　　　角正割一十六万一千八百八十五为
　　　　　一率而以半径十万为二率仍以甲丙
　　　　　边八十九丈零二寸二分为三率求得
　　　　　四率五十四丈九尺九寸有馀即丙乙
　　　　　边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角
　　　　　之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线

　　　　　为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾
　　　　　股形为同式形故丙角正割庚丙与正
　　　　　切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之
　　　　　比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比
　　　　　同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当
　　　　　比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲
　乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求
　甲角丙角各几何

　　　　　法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三

　　　　　十四丈六尺四寸一分为二率半径十
　　　　　万为三率求得四率一十七万三千二
　　　　　百零五为甲角之正切捡八线表得六
　　　　　十度即甲角之度与九十度相减馀三
　　　　　十度即丙角之度也如先求丙角则以
　　　　　丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一
　　　　　率甲乙边二十丈为二率半径十万为
　　　　　三率求得四率五万七千七百三十五

　　　　　为丙角之正切捡八线表得三十度即
　　　　　丙角之度与九十度相减馀六十度即
　　　　　甲角之度也如图先求甲角则如甲丁
　　　　　戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧
　　　　　庚戊为甲角之正切甲戊为半径甲戊
　　　　　庚与甲乙丙两勾股形为同式形故甲
　　　　　乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与
　　　　　庚戊正切之比为相当比例四率先求
　　　　　丙角则如丙丁戊一象限己丁弧为丙

　　　　　角三十度之弧辛丁为丙角之正切丙

　　　　　丁为半径丙丁辛与丙乙甲两勾股形
　　　　　为同式形故丙乙边与甲乙边之比同
　　　　　于丙丁半径与辛丁正切之比为相当
　　　　　比例四率也
　　　　　又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十
　　　　　四丈六尺四寸一分相加得五十四丈
　　　　　六尺四寸一分为两边之和为一率又
　　　　　以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈

　　　　　六尺四寸一分相减馀一十四丈六尺
　　　　　四寸一分为两边之较为二率以乙角
　　　　　之外角九十度折半得四十五度为半
　　　　　外角其正切十万为三率(四十五度之/正切与半径)
　　　　　(十万/等)求得四率二十六万七千九百四
　　　　　十八为半较角之正切捡八线表得十
　　　　　五度为半较角与半外角四十五度相
　　　　　减馀三十度即丙角之度如以半较角
　　　　　十五度与半外角四十五度相加得六

　　　　　十度即甲角之度也如图甲乙丙直角

　　　　　三角形以乙直角为心甲乙小边为半
　　　　　径作一甲戊丁圜截丙乙大边于戊将
　　　　　丙乙引长至圜界丁则丁乙戊乙俱为
　　　　　半径与甲乙等自丁至丙即两边之和
　　　　　自戊至丙即两边之较甲乙丁角即乙
　　　　　角之外角试自甲至戊作一甲戊线则
　　　　　成甲乙戊直角三角形其乙甲戊与乙
　　　　　戊甲二角相并与甲乙丁外角度等今

　　　　　折半用其正切即如用甲戊乙角之正
　　　　　切又心角与边角度等其切线亦等故
　　　　　自甲至丁作一丁甲线即甲戊丁角之
　　　　　正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙
　　　　　角之较又即丙角小于甲戊乙角之较
　　　　　故于圜界戊至甲丙边己作己戊线与
　　　　　甲丁线平行即戊甲己角之正切且丙
　　　　　丁甲三角形与丙戊己三角形为同式
　　　　　形故两边之和丙丁与甲戊丁半外角

　　　　　切线甲丁之比即同于两边之较丙戊

　　　　　与半较角切线己戊之比为相当比例
　　　　　四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲
　乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何
　　　　　法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三
　　　　　十二尺为二率半径十万为三率求得
　　　　　四率五万三千三百三十三为甲角之
　　　　　正切捡八线表得二十八度零四分即

　　　　　甲角之度(如用丙乙边作一率甲乙/边作二率即先得丙角度)乃
　　　　　以甲角为对所知之角其正弦四万七
　　　　　千零五十为一率乙角为对所求之角
　　　　　其正弦即半径十万为二率丙乙边为
　　　　　所知之边其数三十二尺为三率求得
　　　　　四率六十八尺零一分二釐有馀即甲
　　　　　丙为所求之边也又既得甲角之后用
　　　　　割线法则以半径为一率甲角之正割
　　　　　为二率甲乙边为三率求得四率即甲

　　　　　丙为所求之边也或得丙角则用丙角

　　　　　之正割为二率丙乙边为三率亦得甲
　　　　　丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则
　　　　　用丙角馀割(即甲角/之正割)为二率而亦得甲
　　　　　丙边也
　　　　　又法用勾股求弦以甲乙为股丙乙为
　　　　　勾求得弦即甲丙边也法已载于勾股
　　　　　集中
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲

　丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角
　丙角各几何
　　　　　法以甲丙边为对所知之边其数一百
　　　　　零二丈二尺为一率丙乙边为对所求
　　　　　之边其数四十八丈为二率乙角为所
　　　　　知之角其正弦即半径十万为三率求
　　　　　得四率四万六千九百六十六为甲角
　　　　　之正弦捡八线表得二十八度零一分
　　　　　即甲角之度也甲角之馀弦即丙角之

　　　　　正弦如捡八线表馀弦数得六十一度

　　　　　五十九分即丙角之度也如甲丁戊一
　　　　　象限己庚为甲角正弦辛己与甲庚等
　　　　　为甲角之馀弦即丙角之正弦甲庚己
　　　　　与甲乙丙两勾股形为同式形故甲丙
　　　　　边与丙乙边之比同于甲己半径与己
　　　　　庚正弦之比为相当比例四率也
　　　　　又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙
　　　　　边一百零二丈二尺为二率半径十万

　　　　　为三率求得四率二十一万二千九百
　　　　　一十六为丙角之正割捡八线表得六
　　　　　十一度五十九分即丙角之度也其丙
　　　　　角之馀割即甲角之正割如捡馀割数
　　　　　得二十八度零一分即甲角之度也如
　　　　　丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙
　　　　　角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙
　　　　　与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙
　　　　　边与甲丙边之比同与丙戊半径与己

　　　　　丙正割之比为相当比例四率也

设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角
　六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何
　　　　　法以乙角六十度与丙角四十六度相
　　　　　加得一百零六度与半圜一百八十度
　　　　　相减馀七十四度为甲角求甲丙边则
　　　　　以甲角为对所知之角其正弦九万六
　　　　　千一百二十六为一率以乙角为对所
　　　　　求之角其正弦八万六千六百零三为

　　　　　二率乙丙边为所知之边其数三十二
　　　　　丈为三率求得四率二十八丈八尺二
　　　　　寸九分有馀即甲丙为所求之一边也
　　　　　求甲乙边则仍以甲角为对所知之角
　　　　　其正弦九万六千一百二十六为一率
　　　　　而以丙角为对所求之角其正弦七万
　　　　　一千九百三十四为二率仍以乙丙边
　　　　　为所知之边其数三十二丈为三率求
　　　　　得四率二十三丈九尺四寸六分有馀

　　　　　即甲乙为所求之又一边也如图甲乙

　　　　　丙三角形作含三角形之圜则每界角
　　　　　各对一弧试自圜心丁作三角形各边
　　　　　之垂线即将每角所对之弧平分一半
　　　　　各成两心角其每一心角与相当各界
　　　　　角之度等(见几何原本四/卷第十三节)是以乙角所
　　　　　对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚
　　　　　癸垂线所平分各为六十度一为甲丁
　　　　　癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角

　　　　　所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊
　　　　　辛垂线所平分各为四十六度一为甲
　　　　　丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲
　　　　　角所对乙丙弧原系一百四十八度今
　　　　　为丁己壬垂线所平分各为七十四度
　　　　　一为乙丁壬一为壬丁丙皆与甲角原
　　　　　度等乙己为乙丁壬角之正弦己丙为
　　　　　壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲
　　　　　庚为甲丁癸角之正弦庚丙为癸丁丙

　　　　　角之正弦亦即乙角之正弦甲戊为甲

　　　　　丁辛角之正弦戊乙为辛丁乙角之正
　　　　　弦亦即丙角之正弦故求甲丙边者以
　　　　　乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比
　　　　　皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙
　　　　　边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊
　　　　　乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是
　　　　　半与半全与全之比例而各为相当比
　　　　　例四率也又图求甲丙边者则用甲丙

　　　　　为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线
　　　　　为甲角正弦又依甲丙度截丙乙于戊
　　　　　使戊乙与甲丙等(凡用正弦比例因在/圜内皆同半径今使)
　　　　　(戊乙与甲丙相同而/后正弦之大小乃见)乃自戊至甲乙界
　　　　　又作戊己垂线为乙角正弦观戊己小
　　　　　于丙丁则知甲丙(同戊/乙)亦小于乙丙故
　　　　　甲角正弦丙丁与乙角正弦戊己之比
　　　　　同于乙丙边与甲丙边之比为相当比
　　　　　例四率也又如求甲乙边者则用甲乙

　　　　　为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线

　　　　　为甲角正弦又依甲乙度截乙丙于戊
　　　　　使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又
　　　　　作戊己垂线为丙角正弦观戊己小于
　　　　　乙丁则知甲乙(同戊/丙)亦小于乙丙故甲
　　　　　角正弦乙丁与丙角正弦戊己之比同
　　　　　于乙丙边与甲乙边之比为相当比例
　　　　　四率也
　　　　　又法求甲乙边以乙角六十度之馀切

　　　　　五万七千七百三十五与丙角四十六
　　　　　度之馀切九万六千五百六十九相加
　　　　　得一十五万四千三百零四为一率乙
　　　　　角之馀割一十一万五千四百七十为
　　　　　二率乙丙边三十二丈为三率求得四
　　　　　率二十三丈九尺四寸六分有馀即甲
　　　　　乙边求甲丙边则仍以两角馀切相加
　　　　　之一十五万四千三百零四为一率而
　　　　　以丙角馀割一十三万九千零一十六

　　　　　为二率仍以乙丙边三十二丈为三率

　　　　　求得四率二十八丈八尺二寸九分有
　　　　　馀即甲丙边也此法盖以甲乙丙一锐
　　　　　角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角
　　　　　三角形即如乙角六十度与象限九十
　　　　　度相减馀三十度为甲丁乙三角形之
　　　　　甲角又丙角四十六度与象限九十度
　　　　　相减馀四十四度为甲丁丙三角形之
　　　　　甲角乙角之馀切戊己即甲丁乙三角

　　　　　形之甲角之正切如壬癸乙角之馀割
　　　　　己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割
　　　　　如甲壬而丙角之馀切庚辛即甲丁丙
　　　　　三角形之甲角之正切如癸子丙角之
　　　　　馀割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之
　　　　　正割如甲子若乙角丙角两馀切相加
　　　　　即两甲角正切相加之和如壬子甲癸
　　　　　壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸
　　　　　子与甲丁丙两三角形为同式形故甲

　　　　　壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形

　　　　　是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比
　　　　　同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以
　　　　　壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之
　　　　　比皆为相当比例四率也
设如甲乙丙锐角三角形知甲角五十度乙角七十
　度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边
　各几何
　　　　　法以甲角五十度与乙角七十度相加

　　　　　得一百二十度与半圜一百八十度相
　　　　　减馀六十度为丙角求甲乙边则以甲
　　　　　角为对所知之角其正弦七万六千六
　　　　　百零四为一率以丙角为对所求之角
　　　　　其正弦八万六千六百零三为二率乙
　　　　　丙边为所知之边其数九丈七尺八寸
　　　　　为三率求得四率一十一丈零五寸六
　　　　　分有馀即甲乙为所求之一边也求甲
　　　　　丙边则仍以甲角为对所知之角其正

　　　　　弦七万六千六百零四为一率而以乙

　　　　　角为对所求之角其正弦九万三千九
　　　　　百六十九为二率仍以乙丙边为所知
　　　　　之边其数九丈七尺八寸为三率求得
　　　　　四率一十一丈九尺九寸六分有馀即
　　　　　甲丙为所求之又一边也此法所知之
　　　　　角与边虽与前法少异然总是有两角
　　　　　一边得其所馀一角则仍与前法同矣
设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三

　十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙
　边甲丙边各几何
　　　　　法以乙角二十四度与丙角三十六度
　　　　　三十分相加得六十度三十分与半圜
　　　　　一百八十度相减馀一百一十九度三
　　　　　十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角
　　　　　为对所知之角夫甲角既为钝角过九
　　　　　十度乃用其外角将甲角一百一十九
　　　　　度三十分与半圜一百八十度相减馀

　　　　　六十度三十分为甲角之外角其正弦

　　　　　八万七千零三十六为一率(凡钝角之/外角其正)
　　　　　(弦即钝角之正弦/解见割圜集内)丙角为对所求之角
　　　　　其正弦五万九千四百八十二为二率
　　　　　乙丙边为所知之边其数七十九丈零
　　　　　一寸为三率求得四率五十三丈九尺
　　　　　九寸七分即甲乙为所求之一边也如
　　　　　求甲丙边则仍以甲角为对所知之角
　　　　　用其外角正弦八万七千零三十六为

　　　　　一率而以乙角为对所求之角其正弦
　　　　　四万零六百七十四为二率仍以乙丙
　　　　　边七十九丈零一寸为三率求得四率
　　　　　三十六丈九尺二寸三分有馀(如既得/甲乙边)
　　　　　(而以丙角为对所知之角其正弦为一/率甲乙边为所知之边其数为三率所)
　　　　　(得亦/同)即甲丙为所求之又一边也此法
　　　　　亦有两角一边但甲为钝角故用外角
　　　　　正弦求法略异试以求甲乙边言之则
　　　　　甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂

　　　　　线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即

　　　　　乙甲丁外角之正弦又按甲乙边度截
　　　　　乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作
　　　　　戊己垂线即丙角之正弦夫戊己丙与
　　　　　乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁
　　　　　外角之正弦乙丁与丙角之正弦戊己
　　　　　之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊
　　　　　丙之比为相当比例四率也其求甲丙
　　　　　边用外角正弦其理亦同

　　　　　又法求甲乙边以乙角二十四度之馀
　　　　　切二十二万四千六百零四与丙角三
　　　　　十六度三十分之馀切一十三万五千
　　　　　一百四十二相加得三十五万九千七
　　　　　百四十六为一率乙角之馀割二十四
　　　　　万五千八百五十九为二率乙丙边七
　　　　　十九丈零一寸为三率求得四率五十
　　　　　三丈九尺九寸七分有馀即甲乙边求
　　　　　甲丙边则仍以两角馀切相加之三十

　　　　　五万九千七百四十六为一率而以丙

　　　　　角之馀割一十六万八千一百一十七
　　　　　为二率乙丙边七十九丈零一寸为三
　　　　　率求得四率三十六丈九尺二寸三分
　　　　　有馀即甲丙边也此法盖以甲乙丙一
　　　　　钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直
　　　　　角三角形其乙角之馀切戊己即甲丁
　　　　　乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角
　　　　　之馀割己乙即甲丁乙三角形之甲角

　　　　　之正割如甲壬而丙角之馀切庚辛即
　　　　　甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子
　　　　　丙角之馀割庚丙即甲丁丙三角形之
　　　　　甲角之正割如甲子乙角丙角两馀切
　　　　　相加之数即两甲角正切相加之和如
　　　　　壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同
　　　　　式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同
　　　　　式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦
　　　　　为同式形是以求甲乙边者以壬子与

　　　　　甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲

　　　　　丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙
　　　　　与甲丙之比皆为相当比例四率也
设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八
　分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一
　十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何
　　　　　法以乙角三十三度三十八分四十秒
　　　　　与丙外角五十五度五十三分相减馀
　　　　　二十二度一十四分二十秒即甲角(取/甲)

　　　　　(角当以丙外角与半圜一百八十度相/减馀为丙钝角仍以丙钝角与乙角相)
　　　　　(加又与半圜一百八十度相减馀为甲/角今止以丙外角内减乙角即得甲角)
　　　　　(者盖因丙外角与乙甲二内角相并之/度等又三角形三角相并共为一百八)
　　　　　(十度与半圜等今于半圜内减去丙钝/角所馀为丙外角而一百八十度内减)
　　　　　(丙钝角则馀乙甲二角共度是甲乙二/角共度与丙外角之度等故于丙外角)
　　　　　(内减去乙角/即甲角也)求甲乙边则以甲角为对
　　　　　所知之角其正弦三万七千八百四十
　　　　　七为一率以丙外角为对所求之角其
　　　　　正弦八万二千七百九十为二率乙丙

　　　　　边为所知之边其数一十六丈为三率

　　　　　求得四率三十五丈即甲乙为所求之
　　　　　一边求甲丙边则仍以甲角为对所知
　　　　　之角其正弦三万七千八百四十七为
　　　　　一率而以乙角为对所求之角其正弦
　　　　　五万五千四百零四为二率仍以乙丙
　　　　　边为所知之边其数一十六丈为三率
　　　　　求得四率二十三丈四尺二寸二分有
　　　　　馀(如既得甲乙边而以丙外角为对所/知之角其正弦为一率甲乙边为所)

　　　　　(知之边其数为/三率所得亦同)即甲丙为所求之又一
　　　　　边也此法亦有两角一边与前法同但
　　　　　先有外角少异耳
　　　　　又法求甲乙边以乙角三十三度三十
　　　　　八分四十秒之馀切一十五万零二百
　　　　　五十九与丙外角五十五度五十三分
　　　　　之馀切六万七千七百四十八相减馀
　　　　　八万二千五百一十一为一率乙角之
　　　　　馀割一十八万零四百九十三为二率

　　　　　乙丙边一十六丈为三率求得四率三

　　　　　十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两
　　　　　角馀切相减之八万二千五百一十一
　　　　　为一率而以丙外角之馀割一十二万
　　　　　零七百八十八为二率仍以乙丙边一
　　　　　十六丈为三率求得四率二十三丈四
　　　　　尺二寸二分有馀即甲丙边也此法盖
　　　　　以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂
　　　　　成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁

　　　　　丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之
　　　　　丙角之外角其馀切戊己即甲丁丙三
　　　　　角形之甲角之正切如壬癸丙外角之
　　　　　馀割己丙即甲丁丙三角形之甲角之
　　　　　正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之
　　　　　馀切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之
　　　　　正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之
　　　　　馀割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之
　　　　　正割如甲子甲丁丙三角形之丙角馀

　　　　　切与甲丁乙三角形之乙角馀切相减

　　　　　之数即两甲角之正切相减之较如子
　　　　　壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为
　　　　　同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角
　　　　　形为同式形故甲子壬三角形与甲乙
　　　　　丙三角形亦为同式形是以子壬与甲
　　　　　子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬
　　　　　与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆
　　　　　为相当比例四率也

设如甲乙丙锐角三角形知甲角六十度甲乙边四
　十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角
　及乙丙边各几何
　　　　　法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六
　　　　　丈一尺零八分相加得六十六丈一尺
　　　　　零八分为两边之和为一率又以甲乙
　　　　　边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零
　　　　　八分相减馀一十三丈八尺九寸二分
　　　　　为两边之较为二率以甲角六十度与

　　　　　半圜一百八十度相减馀一百二十度

　　　　　为外角折半得六十度为半外角其正
　　　　　切一十七万三千二百零五为三率求
　　　　　得四率三万六千三百九十七为半较
　　　　　角之正切捡八线表得二十度为半较
　　　　　角与半外角六十度相减馀四十度即
　　　　　乙角之度如以半较角二十度与半外
　　　　　角六十度相加得八十度即丙角之度
　　　　　也既得乙丙两角即以丙角为对所知

　　　　　之角其正弦九万八千四百八十一为
　　　　　一率以甲角为对所求之角其正弦八
　　　　　万六千六百零三为二率甲乙边为所
　　　　　知之边其数四十丈为三率求得四率
　　　　　三十五丈一尺七寸五分有馀即乙丙
　　　　　为所求之边也如图甲乙丙锐角三角
　　　　　形以甲角为心甲丙小边为半径作一
　　　　　丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引
　　　　　长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与

　　　　　甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至

　　　　　乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外
　　　　　角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙
　　　　　戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并
　　　　　之与丁甲丙外角度等今折半用其正
　　　　　切即如用丁戊丙角之正切又心角与
　　　　　边角度等其切线亦等故自丙至丁作
　　　　　一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙
　　　　　乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即

　　　　　乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊
　　　　　至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即
　　　　　戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与
　　　　　乙戊己三角形为同式形故两边之和
　　　　　丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比
　　　　　即同于两边之较戊乙与半较角切线
　　　　　戊己之比为相当比例四率也
　　　　　又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲
　　　　　丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直

　　　　　角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角

　　　　　为对所知之角其正弦即半径十万为
　　　　　一率以甲角为对所求之角其正弦八
　　　　　万六千六百零三为二率甲丙边为所
　　　　　知之边其数二十六丈一尺零八分为
　　　　　三率求得四率二十二丈六尺一寸有
　　　　　馀为丙丁垂线又以丁角为对所知之
　　　　　角其正弦即半径十万为一率以甲角
　　　　　六十度与九十度相减馀三十度即甲

　　　　　丙丁角(即丙之/分角)为对所求之角其正弦
　　　　　五万为二率(直用甲角/馀弦亦可)甲丙边为所知
　　　　　之边其数二十六丈一尺零八分为三
　　　　　率求得四率十三丈零五寸四分为甲
　　　　　丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四
　　　　　十丈相减馀二十六丈九尺四寸六分
　　　　　为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求
　　　　　乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺
　　　　　四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺

　　　　　一寸有馀为二率半径十万为三率求

　　　　　得四率八万三千九百零八为乙角正
　　　　　切捡八线表得四十度为乙角以乙角
　　　　　四十度与甲角六十度相加得一百度
　　　　　与一百八十度相减馀八十度为丙角
　　　　　既得乙丙两角则用两角一边求又一
　　　　　边之法算之即得乙丙边矣或先求乙
　　　　　丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六
　　　　　分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股

　　　　　求得弦三十五丈一尺七寸五分有馀
　　　　　即乙丙边也
　　　　　又法先求甲丁分边比例而得乙角以
　　　　　半径十万为一率(即丁直角/之正弦)以甲角六
　　　　　十度之馀弦五万为二率(即丙分角/之正弦)以
　　　　　甲丙边二十六丈一尺零八分为三率
　　　　　求得四率十三丈零五寸四分为甲丁
　　　　　分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四
　　　　　分为一率以甲丁分边与甲乙全边四

　　　　　十丈相减馀二十六丈九尺四寸六分

　　　　　为丁乙分边为二率甲角六十度之馀
　　　　　切五万七千七百三十五为三率求得
　　　　　四率一十一万九千一百七十六为乙
　　　　　角馀切捡表得四十度即乙角也如甲
　　　　　角之戊庚一象限其庚己为甲角之馀
　　　　　切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如
　　　　　乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之
　　　　　馀切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故

　　　　　甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之
　　　　　比也
　　　　　又法用甲角馀割馀切求乙角丙角以
　　　　　甲丙边二十六丈一尺零八分为一率
　　　　　甲乙边四十丈为二率甲角六十度馀
　　　　　割一十一万五千四百七十为三率求
　　　　　得四率一十七万六千九百一十一为
　　　　　甲角馀切与乙角馀切之共数即甲丙
　　　　　丁与乙丙丁两分角之共切又将甲角

　　　　　六十度与象限九十度相减馀三十度

　　　　　即甲丙丁之分角捡其正切五万七千
　　　　　七百三十五与两分角之共切一十七
　　　　　万六千九百一十一相减馀一十一万
　　　　　九千一百七十六为丁丙乙分角之正
　　　　　切即乙角之馀切捡表得四十度即乙
　　　　　角之度也以乙角四十度与甲角六十
　　　　　度相加得一百度又与半圜一百八十
　　　　　度相减馀八十度即丙角之度也如甲

　　　　　乙丙锐角三角形作丙丁垂线分为甲
　　　　　丁丙与乙丁丙两直角形以丙角为心
　　　　　作一戊己庚半圜则丙丁垂线平分于
　　　　　己两边各成一象限试与甲乙边平行
　　　　　作一辛壬线则辛己一段为甲丙丁分
　　　　　角之正切即甲角之馀切己壬一段为
　　　　　乙丙丁分角之正切又即乙角之馀切
　　　　　而辛丙为甲丙丁分角之正割亦即甲
　　　　　角之馀割辛壬丙与甲乙丙两三角形

　　　　　为同式形故甲丙边与甲乙边之比即

　　　　　同于甲角馀割辛丙(即甲丙丁分/角之正割)与甲
　　　　　丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛
　　　　　壬之比为相当比例四率也既得辛壬
　　　　　两分角之共切内减去甲丙丁分角三
　　　　　十度之正切辛己所馀己壬为乙丙丁
　　　　　分角之正切即为乙角之馀切捡表即
　　　　　得乙角也
设如甲乙丙钝角三角形知甲角一百一十九度三

　十四分甲乙边五十四尺甲丙边三十六尺九寸
　求乙角丙角及乙丙边各几何
　　　　　法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十
　　　　　六尺九寸相加得九十尺九寸为两边
　　　　　之和为一率又以甲乙边与甲丙边相
　　　　　减馀一十七尺一寸为两边之较为二
　　　　　率以甲角一百一十九度三十四分与
　　　　　半圜一百八十度相减馀六十度二十
　　　　　六分为外角折半得三十度一十三分

　　　　　为半外角其正切五万八千二百四十

　　　　　为三率求得四率一万零九百五十六
　　　　　为半较角之正切捡八线表得六度一
　　　　　十五分为半较角与半外角三十度一
　　　　　十三分相减馀二十三度五十八分即
　　　　　乙角之度如以半较角六度一十五分
　　　　　与半外角三十度一十三分相加得三
　　　　　十六度二十八分即丙角之度也既得
　　　　　乙丙二角求乙丙边则以丙角为对所

　　　　　知之角其正弦五万九千四百三十五
　　　　　为一率甲外角为对所求之角(甲角为/钝角故)
　　　　　(用外/角)其正弦八万六千九百七十八为
　　　　　二率甲乙边为所知之边其数五十四
　　　　　尺为三率求得四率七十九尺零二分
　　　　　四釐有馀即乙丙边也如图甲乙丙钝
　　　　　角三角形以甲角为心甲丙为半径作
　　　　　一丙丁戊圜其乙丁为两边之和乙戊
　　　　　为两边之较丙丁为半外角之正切己

　　　　　戊为半较角之正切乙丁丙三角形与

　　　　　乙戊己三角形为同式形故以两边之
　　　　　和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之
　　　　　比即同于两边之较乙戊与半较角切
　　　　　线己戊之比为相当比例四率也
　　　　　又法自丙角作丙丁垂线于形外成丙
　　　　　丁乙与丙丁甲两直角形先用丙丁乙
　　　　　直角形求丙丁垂线及甲丁虚边以丁
　　　　　直角为对所知之角其正弦即半径十

　　　　　万为一率以甲角一百一十九度三十
　　　　　四分与半圜一百八十度相减馀六十
　　　　　度二十六分即甲外角为对所求之角
　　　　　其正弦八万六千九百七十八为二率
　　　　　甲丙边为所知之边其数三十六尺九
　　　　　寸为三率求得四率三十二尺零九分
　　　　　五釐为丙丁垂线又以丁直角为对所
　　　　　知之角其正弦即半径十万为一率又
　　　　　以甲外角六十度二十六分与九十度

　　　　　相减馀二十九度三十四分为甲丙丁

　　　　　角(即丙外/分角)为对所求之角其正弦四万
　　　　　九千三百四十四为二率(如直用甲外/角之馀弦为)
　　　　　(二率/亦可)甲丙边为所知之边其数三十六
　　　　　尺九寸为三率求得四率十八尺二寸
　　　　　零八釐为甲丁虚边与甲乙边五十四
　　　　　尺相加得七十二尺二寸零八釐为乙
　　　　　丁全边又以乙丁全边七十二尺二寸
　　　　　零八釐为一率丙丁垂线三十二尺零

　　　　　九分五釐为二率半径十万为三率求
　　　　　得四率四万四千四百四十八为乙角
　　　　　正切捡八线表得二十三度五十八分
　　　　　为乙角之度与甲外角六十度二十六
　　　　　分相减馀三十六度二十八分即丙角
　　　　　之度(甲外角与乙丙二内角等/故减去乙角馀即丙角)既得乙
　　　　　丙二角则用两角一边求又一边之法
　　　　　算之即得乙丙边或先求乙丙边则以
　　　　　乙丁全边七十二尺二寸零八釐为股

　　　　　丙丁垂线三十二尺零九分五釐为勾

　　　　　求得弦七十九尺零二分即乙丙边也
　　　　　又法用甲角馀割馀切求乙角丙角以
　　　　　甲丙边三十六尺九寸为一率甲乙边
　　　　　五十四尺为二率以甲外角六十度二
　　　　　十六分之馀割一十一万四千九百七
　　　　　十一为三率求得四率一十六万八千
　　　　　二百五十为甲外角馀切与乙角馀切
　　　　　之较数乃以甲外角六十度二十六分

　　　　　之馀切五万六千七百三十一与两馀
　　　　　切之较相加得二十二万四千九百八
　　　　　十一为乙角馀切捡表得二十三度五
　　　　　十八分即乙角之度与甲角一百一十
　　　　　九度三十四分相加得一百四十三度
　　　　　三十二分与半圜一百八十度相减馀
　　　　　三十六度二十八分即丙角之度也如
　　　　　甲乙丙钝角形将甲乙边引长自丙角
　　　　　作丙丁垂线遂成丙丁甲丙丁乙两直

　　　　　角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲

　　　　　乙丙三角形之甲角之外角其馀切戊
　　　　　己即丙丁甲三角形之丙角之正切如
　　　　　庚辛甲外角之馀割甲己即丙丁甲三
　　　　　角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙
　　　　　三角形之乙角之馀切壬癸即丙丁乙
　　　　　三角形之丙角之正切如子辛若丙丁
　　　　　乙三角形之乙角馀切与丙丁甲三角
　　　　　形之甲角馀切相减即两丙角相差之

　　　　　较如子庚丙辛庚三角形与丙丁甲三
　　　　　角形为同式形丙辛子三角形与丙丁
　　　　　乙三角形为同式形故丙庚子三角形
　　　　　与丙甲乙三角形亦为同式形是以甲
　　　　　丙边与甲乙边之比同于甲外角馀割
　　　　　庚丙(即甲/己)与两馀切之较子庚之比为
　　　　　相当比例四率也既得子庚两馀切之
　　　　　较与甲外角之馀切庚辛(即戊/己)相加得
　　　　　子辛即乙角之馀切捡表得乙角度既

　　　　　得乙角则以乙角与甲角相并与半圜

　　　　　相减馀即丙角矣
设如甲乙丙锐角三角形知乙角六十度甲乙边八
　十丈甲丙边七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙
　丙边各几何
　　　　　法以甲丙边为对所知之边其数七十
　　　　　丈三尺四寸为一率甲乙边为对所求
　　　　　之边其数八十丈为二率乙角为所知
　　　　　之角其正弦八万六千六百零三为三

　　　　　率求得四率九万八千四百九十六为
　　　　　丙角正弦捡表得八十度零三分即丙
　　　　　角度也既得丙角度则以乙角六十度
　　　　　与丙角八十度零三分相加得一百四
　　　　　十度零三分与一百八十度相减馀三
　　　　　十九度五十七分即甲角度也既得甲
　　　　　角求乙丙边则以乙角为对所知之角
　　　　　其正弦八万六千六百零三为一率甲
　　　　　角为对所求之角其正弦六万四千二

　　　　　百一十二为二率甲丙边为所知之边

　　　　　其数七十丈三尺四寸为三率求得四
　　　　　率五十二丈一尺五寸三分有馀即乙
　　　　　丙为所求之边也
　　　　　又法用馀割求丙角以甲乙边八十丈
　　　　　为一率甲丙边七十丈三尺四寸为二
　　　　　率乙角六十度之馀割十一万五千四
　　　　　百七十为三率求得四率十万一千五
　　　　　百二十六为丙角馀割捡表得八十度

　　　　　零三分即丙角度也如甲乙丙锐角三
　　　　　角形作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙
　　　　　两直角三角形其乙角之馀割戊乙即
　　　　　甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚
　　　　　丙角之馀割己丙即甲丁丙三角形之
　　　　　甲角之正割如甲辛甲庚辛与甲乙丙
　　　　　两三角形为同式形故甲乙边与甲丙
　　　　　边之比同于乙角馀割甲庚(即戊/乙)与丙
　　　　　角馀割甲辛(即己/丙)之比为相当比例四

　　　　　率也

设如甲乙丙钝角三角形知丙角一百一十度甲乙
　边二十二丈五尺五寸甲丙边十二丈求甲角乙
　角及乙丙边各几何
　　　　　法以甲乙边为对所知之边其数二十
　　　　　二丈五尺五寸为一率甲丙边为对所
　　　　　求之边其数十二丈为二率丙角为所
　　　　　知之角其外角七十度之正弦九万三
　　　　　千九百六十九为三率求得四率五万

　　　　　为乙角正弦捡表得三十度即乙角度
　　　　　也既得乙角度则以乙角三十度与丙
　　　　　角一百一十度相加得一百四十度与
　　　　　一百八十度相减馀四十度即甲角度
　　　　　也既得甲角求乙丙边则以乙角为对
　　　　　所知之角其正弦五万为一率甲角为
　　　　　对所求之角其正弦六万四千二百七
　　　　　十九为二率甲丙边为所知之边其数
　　　　　十二丈为三率求得四率十五丈四尺

　　　　　二寸七分即乙丙为所求之边也

　　　　　又法用馀割求乙角以甲丙边十二丈
　　　　　为一率甲乙边二十二丈五尺五寸为
　　　　　二率丙外角七十度之馀割十万六千
　　　　　四百一十八为三率求得四率一十九
　　　　　万九千九百七十七为乙角之馀割捡
　　　　　表得三十度即乙角度也如甲乙丙钝
　　　　　角三角形将乙丙边引长自甲角作甲
　　　　　丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三

　　　　　角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙
　　　　　三角形之丙角之外角其馀割己丙即
　　　　　甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛
　　　　　甲丁乙三角形之乙角之馀割戊乙即
　　　　　甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚
　　　　　甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形
　　　　　故甲丙边与甲乙边之比同于丙外角
　　　　　馀割甲辛(即己/丙)与乙角馀割甲庚(即戊/乙)
　　　　　之比为相当比例四率也

设如甲乙丙锐角三角形知甲乙边一百二十二尺

　甲丙边一百一十二尺乙丙边一百五十尺求甲
　乙丙三角各几何
　　　　　法求丙角以甲丙边一百一十二尺与
　　　　　乙丙边一百五十尺相乘得一万六千
　　　　　八百尺倍之得三万三千六百尺为一
　　　　　率以甲丙边一百一十二尺自乘得一
　　　　　万二千五百四十四尺乙丙边一百五
　　　　　十尺自乘得二万二千五百尺以两边

　　　　　各自乘数相加得三万五千零四十四
　　　　　尺又以甲乙边一百二十二尺自乘得
　　　　　一万四千八百八十四尺与两边各自
　　　　　乘相加数三万五千零四十四尺相减
　　　　　馀二万零一尺六十尺为二率半径十
　　　　　万为三率求得四率六万为甲分角之
　　　　　正弦即丙角之馀弦捡表得五十三度
　　　　　零八分即丙角之度也求乙角则以甲
　　　　　乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率

　　　　　以甲乙边乙丙边各自乘相加内减去

　　　　　甲丙边自乘之数馀为二率半径十万
　　　　　为三率求得四率为甲分角之正弦即
　　　　　乙角之馀弦捡表即得乙角之度也或
　　　　　既得丙角用两边一角比例之法即得
　　　　　甲乙二角矣此法盖以三边之面积互
　　　　　相加减使面与面比而得线与线之比
　　　　　也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙边
　　　　　作一甲丁垂线分为甲丁丙甲丁乙两

　　　　　勾股形又作三边之各正方复作两边
　　　　　相乘之长方其甲丙戊己为甲丙边自
　　　　　乘之一正方庚辛乙甲为甲乙边自乘
　　　　　之一正方乙壬癸丙为乙丙边自乘之
　　　　　一正方丙癸丑子为甲丙边与乙丙边
　　　　　相乘之一长方倍之为丙癸卯寅一大
　　　　　长方今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正
　　　　　方相并数内减庚辛乙甲一正方则是
　　　　　减去辰己午甲一正方即如甲丙戊己

　　　　　之一正方又减去庚辛乙午己辰一磬

　　　　　折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊
　　　　　己之正方所多之较其积与乙壬申未
　　　　　一长方等(甲丁丙甲丁乙两勾股形同/用一甲丁股是以甲丙弦方)
　　　　　(内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙/弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因)
　　　　　(两三角形同用一股故其两弦较与两/弦和相乘之数两勾较与两勾和相乘)
　　　　　(之数必然相等午乙即两弦之较辰己/与辛乙相并即两弦之和庚辛乙午己)
　　　　　(辰磬折形即两弦较与两弦和相乘之/积而乙未为两勾之较乙丙为两勾之)
　　　　　(和乙壬申未即两勾较与两勾/和相乘之积所以知其相等也)所馀为

　　　　　未申癸丙一长方试以甲丁垂线引长
　　　　　则平分未申癸丙一长方为未申酉丁
　　　　　与丁酉癸丙二长方此二长方与丙癸
　　　　　丑子子丑卯寅二长方同用一边为二
　　　　　平行线内所有二方面互相为比同于
　　　　　其底互相为比之例故丙癸卯寅之长
　　　　　方与未申癸丙之长方之比即同于丙
　　　　　寅边与未丙边之比也又比例之理全
　　　　　与全半与半之比例相同故丙癸卯寅

　　　　　之长方(为甲丙边与乙丙边/相乘又加一倍之积)与未申癸