钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十六
　　面部
　　　割圜(割圜八线/八线相求)　(六宗限内三要总法二简法/求象 各线)

　　割圜八线
圜周定为三百六十度大而周天小而寸许皆如之
　盖圜有大小而度分随之其为数则同自圜心平
　分圜周为四分名曰四象限每一象限九十度一
　象限之中设为正弦馀弦正矢馀矢正切馀切正
　割馀割名之曰割圜八线
　　　　　设如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全
　　　　　圜为甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每

　　　　　一象限皆九十度乃自圜心戊任作一
　　　　　戊己半径则将甲丁九十度之弧分为
　　　　　甲己己丁二段己丁为己戊丁角所对
　　　　　之弧甲己为甲戊己角所对之弧如命
　　　　　己戊丁为正角则甲戊己为馀角甲戊
　　　　　己为正角则己戊丁为馀角正角所对
　　　　　为正弧馀角所对为馀弧今以己丁为
　　　　　正弧故甲己为馀弧又自己与甲丙全
　　　　　径平行作己辛线谓之通弦其对己丁

　　　　　正弧而立于戊丁半径者曰正弦又与

　　　　　戊丁半径平行作壬己线谓之馀弦以
　　　　　其为甲己馀弧之所对也于戊丁半径
　　　　　内减戊庚馀庚丁谓之正矢于甲戊半
　　　　　径内减壬戊馀甲壬谓之馀矢自圜界
　　　　　与甲戊半径平行立于戊丁半径之末
　　　　　作垂线仍与己戊丁角相对者曰正切
　　　　　将己戊半径引长与正切相遇于癸成
　　　　　戊癸线谓之正割又自圜界与戊丁半

　　　　　径平行作甲子线谓之馀切戊癸正割
　　　　　被甲子馀切截于子所分戊子谓之馀
　　　　　割每一角一弧即有正弦馀弦正矢馀
　　　　　矢己成四线于圜界之内复引出半径
　　　　　于圜界之外而成正切馀切正割馀割
　　　　　之四线内外共为八线故曰割圜八线
　　　　　逐度逐分正弧之馀即为馀弧之正馀
　　　　　弧之正即为正弧之馀是以前四十五
　　　　　度之八线正馀互相对待为用不必复

　　　　　求后四十五度之八线也凡此八线皆

　　　　　九十度以内锐角之所成若直角九十
　　　　　度者则不能成八线盖因半径即九十
　　　　　度之正弦甲戊半径即甲丁弧之弦而
　　　　　切线割线为平行终无相遇之处也若
　　　　　钝角过九十度以外者则于半周一百
　　　　　八十度内减其角度用其馀度之八线
　　　　　即如己庚为己丁弧之正弦亦即乙己
　　　　　弧之正弦也要之八线以正弦为本有

　　　　　正弦则诸线皆由此生故六宗三要皆
　　　　　系正弦之法

　　六宗三要(二简法附/)
西洋历算家作割圜八线表始自圜内容六边四边
十边三边五边十五边名曰六宗盖用圜径求各等
边形之一边为相当弧之通弦以为立表之原故谓
之宗然六者实本于三如六边形之一边即圜之半
径不藉他求数无零馀而理最易见此其一也四边
形之一边则为半径所作正方形之对角斜弦此又
其一也十边形之一边则为半径所作连比例三率

之中率西法谓之理分中末线此又其一也至于三
边形则出于六边五边形则出于十边十五边形则
又出于三边及五边非别自立一法也既得此六种
形之一边各半之即得六种弧之各正弦爰命此六
种弧为本弧按法可求本弧之馀弦可求倍本弧之
正弦馀弦亦可求半本弧之正弦馀弦是为三要又
以不等两弧之正弦馀弦求相加相减弧之正弦又
两弧距六十度前后之度等得其两正弦之较即得
距弧之正弦是又名为二简法由此错综之可得正

弦一百二十其中最小者为四十五分之弦其次一

度三十分又次为二度十五分又次为三度如此每
越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦
则以比例求之因弧分甚微与直线所差无几故以
弦求弦而得之此西法立割圜八线表之大纲也尔
来西法对数表内有设连比例四率以求圜内容七
边九边二法因推广其理于六宗之外增求圜内容
十八边形十四边形之法俱以半径为首率求连比
例四率之第二率即十八边形十四边形之每一边

而七边又因之以生亦犹三边之出于六边五
边之出于十边也有此二形与六宗相参伍可得正
弦三百六十其中最小者为十五分之正弦又增一
法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一
分至四分之正弦较之四十五分为尤密可知矣今
以六宗三要二简法理分中末线并新增数法皆按
类具例于左

　　六宗(圜内容六边形四边形三边/形十边形五边形十五边形)
设如圜径二十万求内容六边形之一边几何
　　　　　法以圜径二十万折半得半径十万即
　　　　　圜内容六边形之每一边也如甲圜内
　　　　　容六边形每边之弧得圜周六分之一
　　　　　皆六十度试自圜心甲至圜界乙丙二
　　　　　处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙三
　　　　　角形则甲角所对之弧为六十度而甲

　　　　　乙甲丙两腰俱为半径既相等则乙角
　　　　　丙角亦必相等而各为六十度矣三角
　　　　　既等则三边亦必相等故乙丙边即与
　　　　　甲乙甲丙半径相等也乙丙弧既为六
　　　　　十度则乙丙边十万为六十度之通弦
　　　　　折半得乙丁五万即乙戊弧三十度之
　　　　　正弦也此即六边起算之理前设圜径
　　　　　为二兆者所以求其密合今设圜径为
　　　　　二十万所以取其便于用也

设如圜径二十万求内容三边形之一边几何

　　　　　法以圜径二十万为弦自乘得四百亿
　　　　　又以半径十万为勾自乘得一百亿相
　　　　　减馀三百亿开方得股一十七万三千
　　　　　二百零五(小馀○八○/七五六八)即圜内容三边
　　　　　形之每一边也如甲圜内容三边形每
　　　　　边之弧得圜周三分之一皆一百二十
　　　　　度为六边形每边弧之一倍试自乙角
　　　　　过圜心至对界作乙丁全径线又自丁

　　　　　依半径度至丙作丁丙线则成六边形
　　　　　之每一边其丙丁弧即为三边形之每
　　　　　边弧之一半而丙角立于圜界之一半
　　　　　必为直角故半径为勾全径为弦求得
　　　　　股即三边形之每一边也乙丙弧既为
　　　　　一百二十度则乙丙边一十七万三千
　　　　　二百零五(小馀○八○/七五六八)为一百二十度
　　　　　之通弦折半得乙戊八万六千六百零
　　　　　二(小馀五四○/三七八四)即乙己弧六十度之正

　　　　　弦也

设如圜径二十万求内容四边形之一边几何
　　　　　法以圜径二十万折半得半径十万自
　　　　　乘得一百亿倍之得二百亿开方得一
　　　　　十四万一千四百二十一(小馀三五六/二三七三)
　　　　　即圜内容四边形之每一边也如甲圜
　　　　　内容四边形每边之弧得圜周四分之
　　　　　一皆九十度试自圜心甲至圜界乙丙
　　　　　二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙

　　　　　勾股形若命甲乙半径为股则甲丙半
　　　　　径为勾若命甲丙半径为股则甲乙半
　　　　　径为勾因勾股皆为半径故以半径自
　　　　　乘倍之开方而得弦即如勾股各自乘
　　　　　并之开方而得弦也乙丙弧既为九十
　　　　　度则乙丙边一十四万一千四百二十
　　　　　一(小馀三五六/二三七三)为九十度之通弦折半
　　　　　得乙丁七万零七百一十(小馀六七八/一一八六)
　　　　　即乙戊弧四十五度之正弦也

　　理分中末线(此西法名也因命一线为首率将/此首率分为大小两分大分为中)

　　　(率小分为末率与原线共为相连/比例三率故谓之理分中末线也)
设如以十万为首率作相连比例三率使中率末率
　相加与首率等求中率末率各几何
　　　　　法以十万自乘得一百亿为长方积以
　　　　　十万为长阔之较用带纵较数开方法
　　　　　算之得阔六万一千八百零二即相连
　　　　　比例之中率以中率与首率十万相减
　　　　　馀三万八千一百九十七即相连比例

　　　　　之末率也此法盖因连比例三率之首
　　　　　率末率相乘之长方积与中率自乘之
　　　　　正方积等而首率之中有一中率一末
　　　　　率之数故首率自乘之一正方积中有
　　　　　首率中率相乘之一长方又有首率末
　　　　　率相乘之一长方即如甲乙为首率丙
　　　　　乙为中率甲丙为末率丙乙中率自乘
　　　　　之正方为丁戊乙丙甲丙末率与甲乙
　　　　　首率相乘之长方为甲丙庚辛(甲辛与/甲乙等)

　　　　　此一正方一长方之积等而甲乙首率

　　　　　自乘之正方为甲乙己辛丙乙中率与
　　　　　甲乙首率相乘之长方为丙乙己庚(丙/庚)
　　　　　(与甲/乙等)夫甲丙庚辛之长方既与丁戊乙
　　　　　丙之正方等则甲乙己辛之正方亦必
　　　　　与丁戊己庚之长方等是以丁戊己庚
　　　　　长方形之阔即中率其长比阔之较即
　　　　　首率故以首率自乘为长方积仍以首
　　　　　率为长比阔之较用带纵平方法开之

　　　　　得阔为中率也
　　　　　又法以首率十万为股首率十万折半
　　　　　得五万为勾求得弦一十一万一千八
　　　　　百零三内减勾五万馀六万一千八百
　　　　　零三为相连比例之中率以中率与首
　　　　　率相减馀三万八千一百九十七即为
　　　　　相连比例之末率也如图甲乙与乙丙
　　　　　皆为首率今以甲乙为股乙丙折半得
　　　　　乙丁为勾求得甲丁弦试依甲丁弦度

　　　　　将乙丁勾引长至戊作丁乙戊线仍自

　　　　　甲至戊作一圜界则甲丁戊丁同为半
　　　　　径且皆为弦于戊丁弦内减乙丁勾所
　　　　　馀乙戊与己乙等即中率于甲乙首率
　　　　　内减去与乙戊相等之己乙中率所馀
　　　　　甲己即末率也此法与前法理实相同
　　　　　带纵较数开方法有以半较自乘与原
　　　　　积相加开方得半和于半和内减半较
　　　　　得阔者今此法以首率为股自乘得甲

　　　　　乙丙壬正方形即与庚戊丙辛长方形
　　　　　积等乙丙即长阔之较乙丁即半较戊
　　　　　丁即半和今以乙丁为勾自乘甲乙为
　　　　　股自乘相加开方得甲丁弦即如乙丁
　　　　　半较自乘与甲乙自乘原积相加开方
　　　　　而得甲丁与戊丁等戊丁内减乙丁馀
　　　　　戊乙即半和内减半较得阔为中率也
设如圜径二十万求内容十边形之一边几何
　　　　　法用连比例三率有首率求中率末率

　　　　　使中率末率相加与首率等之法以圜

　　　　　径二十万折半得十万为首率自乘得
　　　　　一百亿为长方积以十万为长阔之较
　　　　　用带纵较数开方法算之得六万一千
　　　　　八百零三(小馀三九八/八七四九)为连比例之中
　　　　　率即圜内容十边形之每一边也如甲
　　　　　圜内容十边形每边之弧得圜周十分
　　　　　之一皆三十六度其通弦即圜内十边
　　　　　形之一边试自圜心甲至圜界乙丙二

　　　　　处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙
　　　　　三角形复自圜界乙至圜界戊作一乙
　　　　　戊线则截甲丙线于丁又成乙丙丁三
　　　　　角形而乙戊遂为一百零八度之通弦
　　　　　此乙丙丁三角形与甲乙丙三角形为
　　　　　同式形(乙丙丁三角形之乙角当戊丙/弧为乙丙弧之倍则乙丙丁三)
　　　　　(角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角/等又同用丙角其馀一角亦必等故为)
　　　　　(同式/形)其相当各边俱成相连比例故甲
　　　　　乙与乙丙之比同于乙丙与丙丁之比

　　　　　为相连比例三率而甲乙为首率乙丙

　　　　　为中率丙丁为末率也又甲乙丙三角
　　　　　形其甲角既居全圜十分之一为三十
　　　　　六度则乙角必比甲角大一倍为七十
　　　　　二度(三角形之三角共一百八十度甲/角既为三十六度则乙丙两角必)
　　　　　(为一百四十四度平分之各得/七十二度比甲角为大一倍也)而乙丙
　　　　　丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之
　　　　　甲角等则甲丁乙三角形之乙角亦必
　　　　　与甲角等是则甲丁乙三角形必两边

　　　　　相等之三角形而乙丙丁三角形亦为
　　　　　两边相等之三角形也夫甲丁既与丁
　　　　　乙等而丁乙又与乙丙中率等则甲丁
　　　　　亦必与中率等矣是以甲丁中率与丁
　　　　　丙末率相加与甲丙首率等故用连比
　　　　　例三率有首率求中率法算之得中率
　　　　　为十边形之一边也
　　　　　又法以圜径二十万折半得半径十万
　　　　　为股自乘得一百亿又以半径十万折

　　　　　半得五万为勾自乘得二十五亿相加

　　　　　得一百二十五亿开方得弦一十一万
　　　　　一千八百零三(小馀三九八/八七四九)于弦数内
　　　　　减去勾数馀六万一千八百零三(小馀/三九)
　　　　　(八八七/四九)即圜内容十边形之每一边也
　　　　　如甲圜内容十边形每边之弧得圜周
　　　　　十分之一皆三十六度试自圜心甲至
　　　　　圜界乙作甲乙半径线为股又自圜心
　　　　　甲取直角作甲丙半径线折半得甲丁

　　　　　为勾求得乙丁弦内减与甲丁相等之
　　　　　戊丁馀乙戊即与乙己等为圜内容十
　　　　　边形之每一边也乙己弧既为三十六
　　　　　度则乙己边六万一千八百零三(小馀/三九)
　　　　　(八八七/四九)为三十六度之通弦折半得乙
　　　　　庚三万零九百零一(小馀六九九/四三七四)即乙
　　　　　辛弧十八度之正弦也
设如圜径二十万求内容五边形之一边几何
　　　　　法以半径十万为底仍以半径十万与

　　　　　圜内容十边形之一边六万一千八百

　　　　　零三(小馀三九八/八七四九)为两腰用三角形求
　　　　　中垂线法算之得中垂线五万八千七
　　　　　百七十八(小馀五二五/二二九二)倍之得一十一
　　　　　万七千五百五十七(小馀○五○/四五八四)即圜
　　　　　内容五边形之每一边也如甲圜内容
　　　　　五边形每边之弧得圜周五分之一皆
　　　　　七十二度试自圜心甲至圜界乙丙二
　　　　　处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙

　　　　　三角形其乙丙边为七十二度之通弦
　　　　　如以乙丙弧七十二度折半于丁作乙
　　　　　丁线即圜内容十边形之一边仍自圜
　　　　　心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲
　　　　　乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于
　　　　　戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂
　　　　　线即五边形每边之一半故以甲丁半
　　　　　径为底甲乙半径为大腰乙丁十边形
　　　　　之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之

　　　　　为五边形之每一边也

　　　　　又法以半径十万为股自乘得一百亿
　　　　　圜内容十边形之一边六万一千八百
　　　　　零三(小馀三九八/八七四九)为勾自乘得三十八
　　　　　亿一千九百六十六万零一百一十二
　　　　　(小馀四八九九九○/五八五八五○○一)相加得一百三十
　　　　　八亿一千九百六十六万零一百一十
　　　　　二(小馀四八九九九○/五八五八五○○一)开方得弦一十
　　　　　一万七千五百五十七(小馀○五○/四五八四)即

　　　　　圜内容五边形之每一边也此法盖因
　　　　　半径自乘十边形之一边自乘两自乘
　　　　　方积相并即与五边形之一边自乘之
　　　　　方积等故用勾股求弦之法算之如甲
　　　　　圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作
　　　　　乙丁线即圜内容十边形之一边仍自
　　　　　圜心甲至丁作甲丁半径线遂成甲乙
　　　　　丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径
　　　　　于己作乙己线成乙己丁三角形与甲

　　　　　乙丁三角形为同式形故甲乙为首率

　　　　　乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙
　　　　　丁等为中率而乙丙边平分己丁末率
　　　　　于戊又成乙戊丁勾股形乙戊五边形
　　　　　每边之半为股丁戊末率之半为勾乙
　　　　　丁中率为弦试依甲丁半径度作甲庚
　　　　　辛丁正方形又依乙丙五边形之一边
　　　　　度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正
　　　　　方形内甲子丑已为乙丁弦自乘之一

　　　　　正方(甲已既与乙丁弦等故甲/子丑已为弦自乘之正方)已寅辛
　　　　　丁长方形亦与乙丁弦自乘之一正方
　　　　　等(丁辛原与甲丁首率等己丁末率与/丁辛首率相乘自与乙丁中率自乘)
　　　　　(之正/方等)而子庚寅丑长方形为乙丁弦自
　　　　　乘之一正方内少勾自乘之四正方(盖/子)
　　　　　(庚辛卯长方形为首率与末率相乘之/长方与乙丁中率自乘之正方等内却)
　　　　　(少丑寅辛卯正方形而丑寅辛卯正方/形实为戊丁勾自乘之四正方故子庚)
　　　　　(寅丑长方形为乙丁弦自乘之/一正方少勾自乘之四正方也)是则甲
　　　　　丁半径自乘之甲庚辛丁正方形内有

　　　　　弦自乘之三正方而少勾自乘之四正

　　　　　方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦
　　　　　自乘之四正方而少勾自乘之四正方
　　　　　大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之
　　　　　一正方股自乘之一正方今弦自乘之
　　　　　四正方内少勾自乘之四正方即与股
　　　　　自乘之四正方等而乙丙一边自乘之
　　　　　乙丙癸壬正方形实为乙戊股自乘之
　　　　　四正方然则甲丁半径自乘方与乙丁

　　　　　十边形之一边自乘方相并既与乙戊
　　　　　股自乘之四正方等而乙丙一边自乘
　　　　　之正方岂不与甲丁半径自乘乙丁十
　　　　　边形之一边自乘之两正方等乎故以
　　　　　甲丁半径为股乙丁十边形之一边为
　　　　　勾求得弦而为五边形之一边也
　　　　　又法以半径十万自乘得一百亿为长
　　　　　方积仍以半径十万为长阔之较用带
　　　　　纵较数开方法算之得长一十六万一

　　　　　千八百零三(小馀三九八/八七四九)折半得八万

　　　　　零九百零一(小馀六九九/四三七四)为自圜心至
　　　　　五边形每边之垂线乃以半径十万为
　　　　　弦圜心至五边形每边之垂线为股求
　　　　　得勾五万八千七百七十八(小馀五二/五二二九)
　　　　　(二/)倍之得一十一万七千五百五十七
　　　　　(小馀○五○/四五八四)即圜内容五边形之每一
　　　　　边也如甲圜内容五边形将乙丙弧折
　　　　　半于丁作乙丁线即圜内容十边形之

　　　　　一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线
　　　　　成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲
　　　　　丁半径于己作乙己线成乙己丁三角
　　　　　形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙
　　　　　为首率乙丁为中率己丁为末率甲己
　　　　　亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己
　　　　　丁末率于戊是以己戊与戊丁俱为半
　　　　　末率而甲戊自圜心至边之垂线则为
　　　　　一中率半末率之共数今以半径首率

　　　　　自乘为长方积开带纵平方得长乃首

　　　　　率与中率之和其内有两中率一末率
　　　　　折半得一中率半末率即甲戊自圜心
　　　　　至边之垂线既得甲戊垂线乃以甲乙
　　　　　半径为弦甲戊垂线为股求得乙戊勾
　　　　　倍之得乙丙即圜内容五边形之一边
　　　　　也或以乙丁中率为弦戊丁半末率为
　　　　　勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五边
　　　　　形之一边也乙丙弧既为七十二度则

　　　　　乙丙边一十一万七千五百五十七(小/馀)
　　　　　(○五○四/五八四)为七十二度之通弦折半得
　　　　　乙戊五万八千七百七十八(小馀五二/五二二九)
　　　　　(二/)即乙丁弧三十六度之正弦也
设如圜径二十万求内容十五边形之一边几何
　　　　　法以半径十万为弦圜内容五边形之
　　　　　半五万八千七百七十八(小馀五二五/二二九二)
　　　　　为勾求得股八万零九百零一(小馀六/九九四)
　　　　　(三七/五)内减半径之半五万馀三万零九

　　　　　百零一(小馀六九九/四三七五)为股次以圜内容

　　　　　三边形之一边一十七万三千二百零
　　　　　五(小馀○八○/七五六八)内减圜内容五边形之
　　　　　一边一十一万七千五百五十七(小馀/○五)
　　　　　(○四五/八四)馀五万五千六百四十八(小馀/○三)
　　　　　(○二九/八四)折半得二万七千八百二十四
　　　　　(小馀○一五/一四九二)为勾求得弦四万一千五
　　　　　百八十二(小馀三三八/一六三五)即圜内容十五
　　　　　边形之每一边也如甲圜内容十五边

　　　　　形每边之弧得圜周十五分之一皆二
　　　　　十四度试从圜界乙作圜内容三边形
　　　　　又作圜内容五边形将三边形之每一
　　　　　边弧分五段五边形之每一边弧分三
　　　　　段即得十五边形之每一边弧如戊庚
　　　　　与己丁二段皆为十五边形之弧故以
　　　　　甲丁半径为弦丁丙五边之半为勾求
　　　　　得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底
　　　　　边之垂线为半径之半馀辛丙与癸丁

　　　　　或壬庚等复于三边形之戊己边内减

　　　　　五边形之庚丁边即如戊己线内减壬
　　　　　癸馀戊壬与癸己二段折半得癸己或
　　　　　戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或
　　　　　戊壬为勾求得己丁弦或戊庚弦即圜
　　　　　内容十五边形之每一边也己丁弧既
　　　　　为二十四度则己丁边四万一千五百
　　　　　八十二(小馀三三八/一六三五)为二十四度之通
　　　　　弦折半得己子二万零七百九十一(小/馀)

　　　　　(一六九○/八一七)即己丑弧十二度之正弦也
　　新增按分作相连比例四率法
设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四
　率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何
　　　　　法以一率十万自乘再乘得一千兆(成/一)
　　　　　(立方/积)为实又以一率十万自乘三因之
　　　　　得三百亿(成三平/面积)为法以除原实一千
　　　　　兆得三万乃以三万自乘再乘得二十
　　　　　七兆益于原实一千兆内得一千零二

　　　　　十七兆为共实按除法以所得三万与

　　　　　法三百亿相因得九百兆与共实相减
　　　　　馀一百二十七兆为第二位实以法之
　　　　　三百亿除之得四千乃以首位所得三
　　　　　万合次位所得四千共三万四千自乘
　　　　　再乘得三十九兆三千零四十亿仍益
　　　　　于原实一千兆内得一千零三十九兆
　　　　　三千零四十亿为共实按除法减首位
　　　　　所得三万与法三百亿相因之九百兆

　　　　　又减次位所得四千与法三百亿相因
　　　　　之一百二十兆馀一十九兆三千零四
　　　　　十亿为第三位实以法之三百亿除之
　　　　　得六百所馀太多因益积故取略大之
　　　　　数为七百合前两位所得三万四千共
　　　　　三万四千七百自乘再乘得四十一兆
　　　　　七千八百一十九亿二千三百万仍益
　　　　　于原实一千兆内得一千零四十一兆
　　　　　七千八百一十九亿二千三百万为共

　　　　　实按除法减首位所得三万与法三百

　　　　　亿相因之九百兆又减次位所得四千
　　　　　与法三百亿相因之一百二十兆又减
　　　　　三位所得七百与法三百亿相因之二
　　　　　十一兆馀七千八百一十九亿二千三
　　　　　百万为第四位实以法之三百亿除之
　　　　　得二十合前三位所得三万四千七百
　　　　　共三万四千七百二十自乘再乘得四
　　　　　十一兆八千五百四十二亿一千零四

　　　　　万八千仍益于原实一千兆内得一千
　　　　　零四十一兆八千五百四十二亿一千
　　　　　零四万八千为共实按除法减首位所
　　　　　得三万与法三百亿相因之九百兆又
　　　　　减次位所得四千与法三百亿相因之
　　　　　一百二十兆又减三位所得七百与法
　　　　　三百亿相因之二十一兆又减四位所
　　　　　得二十与法三百亿相因之六千亿馀
　　　　　二千五百四十二亿一千零四万八千

　　　　　为末位实以法之三百亿除之得八所

　　　　　馀亦太多因益积仍取略大之数为九
　　　　　合前四位所得三万四千七百二十共
　　　　　三万四千七百二十九自乘再乘得四
　　　　　十一兆八千八百六十七亿六千六百
　　　　　四十万零二千四百八十九仍益于原
　　　　　实一千兆内得一千零四十一兆八千
　　　　　八百六十七亿六千六百四十万二千
　　　　　四百八十九为共实按除法以五次所

　　　　　得之数与法相因之数递减之仍馀一
　　　　　百六十七亿六千六百四十万二千四
　　　　　百八十九不尽是共除得三万四千七
　　　　　百二十九为相连比例之二率也以二
　　　　　率之三万四千七百二十九自乘得一
　　　　　十二亿零六百一十万三千四百四十
　　　　　一以一率之十万除之得一万二千零
　　　　　六十一为三率以二率之三万四千七
　　　　　百二十九三倍之得十万四千一百八

　　　　　十七内减去一率之十万馀四千一百

　　　　　八十七为四率如以三率之一万二千
　　　　　零六十一自乘以二率之三万四千七
　　　　　百二十九除之亦得四千一百八十七
　　　　　为四率也此为益实归除之法盖因此
　　　　　法止有一率之数作相连比例四率使
　　　　　一率与四率之共数与二率三倍等而
　　　　　连比例四率之理一率自乘用四率再
　　　　　乘与二率自乘再乘之数等今立法以

　　　　　一率自乘再乘为原实较之三倍二率
　　　　　与一率自乘之面积相乘之数却少一
　　　　　二率自乘再乘之数故以累除所得之
　　　　　数屡次自乘再乘益入原实然后按法
　　　　　除之始足二率三倍之数也如图甲乙
　　　　　为一率庚子子辰辰乙皆为二率庚甲
　　　　　为四率庚乙为一率四率之共数又为
　　　　　二率之三倍甲乙丙丁戊己为一率自
　　　　　乘再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为三

　　　　　倍二率与一率自乘面积相乘之长方

　　　　　体(一率自乘三因之得三平面如以二/率乘之成三扁方体合之即成三倍)
　　　　　(二率乘一率自乘/面积之一长方体)比一率自乘再乘之
　　　　　正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此
　　　　　扁方体即一率自乘用四率再乘之数
　　　　　与二率自乘再乘之积等若于一率自
　　　　　乘再乘之正方体内加入二率自乘再
　　　　　乘之正方体即如于甲乙丙丁戊己正
　　　　　方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体

　　　　　成庚乙丙丁壬癸之长方体而以一率
　　　　　自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙
　　　　　为二率之三倍苟合乙丙丁申与辰己
　　　　　午未及子丑寅卯三方面除之必得庚
　　　　　子或子辰或辰乙为二率若不加积止
　　　　　以三方面除之则所得仍为一率之三
　　　　　分之一比二率数必小故以屡除所得
　　　　　之数屡次自乘再乘益入原积则积渐
　　　　　增而得数亦渐大递及末位则所少之

　　　　　积已足而除得之数即为二率之全数

　　　　　焉
设如圜径二十万求内容十八边形之一边几何
　　　　　法用连比例四率有一率求二率使一
　　　　　率与四率相加与二率三倍等之法以
　　　　　圜径二十万折半得十万为一率自乘
　　　　　再乘得一千兆为实又以半径十万自
　　　　　乘三因之得三百亿为法按益实归除
　　　　　之法除实得三万四千七百二十九(小/馀)

　　　　　(六三五五/三三四)为二率即圜内十八边形之
　　　　　每一边也如甲圜内容十八边形每边
　　　　　之弧得圜周十八分之一皆二十度其
　　　　　通弦即圜内十八边形之一边试自圜
　　　　　心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线
　　　　　遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜
　　　　　界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又
　　　　　成乙丙戊三角形而乙庚为六十度之
　　　　　通弦复自圜界丙按丙戊线度至乙庚

　　　　　线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三

　　　　　角形此三三角形皆为同式形(乙丙戊/三角形)
　　　　　(之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍则乙/丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形)
　　　　　(之甲角等又与甲乙丙三角形同用丙/角丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半)
　　　　　(径平行则丙丁戊三角形之丙角与甲/丙辛三角形之甲角为相对错角亦必)
　　　　　(等又与乙丙戊三角形同用戊角是此/三三角形之各角互相等而为同式形)
　　　　　(也/)其相当各边俱成相连比例故甲乙
　　　　　与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙
　　　　　丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之

　　　　　比为相连比例四率而甲乙为一率乙
　　　　　丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也
　　　　　又乙庚为六十度之通弦与甲乙一率
　　　　　等而乙戊丁己己庚三段皆与乙丙二
　　　　　率等是乙庚一率中有乙丙二率之三
　　　　　倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率
　　　　　与丁戊四率相加方与乙丙二率之三
　　　　　倍等故用连比例四率有一率求二率
　　　　　法算之得二率为十八边形之一边也

　　　　　乙丙弧既为二十度乙丙边三万四千

　　　　　七百二十九(小馀六三五/五三三四)为二十度之
　　　　　通弦折半得一万七千三百六十四(小/馀)
　　　　　(八一七七/六六七)即十度之正弦也
设如圜径二十万求内容九边形之一边几何
　　　　　法以半径十万为底仍以半径十万与
　　　　　圜内容十八边形之一边三万四千七
　　　　　百二十九(小馀六三五/五三三四)为两腰用三角
　　　　　形求中垂线法算之得中垂线三万四

　　　　　千二百零二(小馀○一四/三三二六)倍之得六万
　　　　　八千四百零四(小馀○二八/六六五二)即圜内容
　　　　　九边形之每一边也如甲圜容九边形
　　　　　每边之弧得圜周九分之一皆四十度
　　　　　试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙
　　　　　甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其
　　　　　乙丙边为四十度之通弦如以乙丙弧
　　　　　四十度折半于丁作乙丁线即圜内容
　　　　　十八边形之一边仍自圜心甲至圜界

　　　　　丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形

　　　　　而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线
　　　　　为甲乙丁三角形之中垂线即九边形
　　　　　每边之一半故以甲丁半径为底甲乙
　　　　　半径为大腰乙丁十八边形之一边为
　　　　　小腰求得中垂线倍之为九边形之每
　　　　　一边也乙丙弧既为四十度乙丙边为
　　　　　四十度之通弦其乙戊中垂线三万四
　　　　　千二百零二(小馀○一四/三三二六)即乙丁弧二

　　　　　十度之正弦也
　　按分作相连比例四率又法
设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四
　率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率
　三率四率各几何
　　　　　法以一率十万自乘再乘得一千兆(成/一)
　　　　　(立方/体)为实又以一率十万自乘二因之
　　　　　得二百亿(成二平/面积)为法以除原实一千
　　　　　兆得五万为尽数因减实大于益实故

　　　　　取略小之数为四万乃以四万自乘再

　　　　　乘得六十四兆益于原实一千兆内得
　　　　　一千零六十四兆为益实复以所得四
　　　　　万自乘得一十六亿以一率十万再乘
　　　　　得一百六十兆于益实内减之馀九百
　　　　　零四兆为正实按除法以所得四万与
　　　　　法二百亿相因得八百兆与正实相减
　　　　　馀一百零四兆为第二位实以法之二
　　　　　百亿除之得五千仍取略小之数为四

　　　　　千乃以首位所得四万合次位所得四
　　　　　千共四万四千自乘再乘得八十五兆
　　　　　一千八百四十亿益于原实一千兆内
　　　　　得一千零八十五兆一千八百四十亿
　　　　　为益实复以所得四万四千自乘得一
　　　　　十九亿三千六百万以一率十万再乘
　　　　　得一百九十三兆六千亿于益实内减
　　　　　之馀八百九十一兆五千八百四十亿
　　　　　为正实按除法减首位所得四万与法

　　　　　二百亿相因之八百兆又减次位所得

　　　　　四千与法二百亿相因之八十兆馀一
　　　　　十一兆五千八百四十亿为第三位实
　　　　　以法之二百亿除之得五百合前两位
　　　　　所得四万四千共四万四千五百自乘
　　　　　再乘得八十八兆一千二百一十一亿
　　　　　二千五百万益于原实一千兆内得一
　　　　　千零八十八兆一千二百一十一亿二
　　　　　千五百万为益实复以所得四万四千

　　　　　五百自乘得一十九亿八千零二十五
　　　　　万以一率十万再乘得一百九十八兆
　　　　　零二百五十亿于益实内减之馀八百
　　　　　九十兆零九百六十一亿二千五百万
　　　　　为正实按除法减首位所得四万与法
　　　　　二百亿相因之八百兆又减次位所得
　　　　　四千与法二百亿相因之八十兆又减
　　　　　三位所得五百与法二百亿相因之一
　　　　　十兆馀九百六十一亿二千五百万为

　　　　　第四位实以法之二百亿除之实不足

　　　　　法乃以第四位为空位而第五位得四
　　　　　故以四为末位合前四位所得四万四
　　　　　千五百空十共四万四千五百零四自
　　　　　乘再乘得八十八兆一千四百四十八
　　　　　亿九千零一十三万六千零六十四益
　　　　　于原实一千兆内得一千零八十八兆
　　　　　一千四百四十八亿九千零一十三万
　　　　　六千零六十四为益实复以所得四万

　　　　　四千五百零四自乘得一十九亿八千
　　　　　零六十万六千零一十六以十万再乘
　　　　　得一百九十八兆零六百零六亿零一
　　　　　百六十万于益实内减之馀八百九十
　　　　　兆零八百四十二亿八千八百五十二
　　　　　万六千零六十四为正实按除法以五
　　　　　次所得之数于法相因之数递减之仍
　　　　　馀四十二亿八千八百五十三万六千
　　　　　零六十四不尽是共除得四万四千五

　　　　　百零四为相连比例之二率也以二率

　　　　　之四万四千五百零四自乘得一十九
　　　　　亿八千零六十万六千零一十六以一
　　　　　率之十万除之得一万九千八百零六
　　　　　为三率以二率之四万四千五百零四
　　　　　二因之与三率之一万九千八百零六
　　　　　相加得十万八千八百一十四减去一
　　　　　率之十万馀八千八百一十四为四率
　　　　　如以三率之一万九千八百零六自乘

　　　　　以一率之四万四千五百零四除之亦
　　　　　得八千八百一十四为四率也此为益
　　　　　实兼减实归除之法盖因此法止有一
　　　　　率之数作相连比例四率使一率与四
　　　　　率之共数与二率两倍再加一三率之
　　　　　数等而相连比例四率之理一率自乘
　　　　　用四率再乘与二率自乘再乘之数等
　　　　　又一率自乘用三率再乘与二率自乘
　　　　　用一率再乘之数等今立法以一率自

　　　　　乘再乘为原实较之二率加倍与一率

　　　　　自乘之面积相乘之数却少一一率自
　　　　　乘四率再乘之数又多一一率自乘三
　　　　　率再乘之数故以屡除所得之数屡次
　　　　　自乘再乘益入原实又以屡除所得之
　　　　　数屡次自乘以一率再乘与益实相减
　　　　　然后按法除之始足二率两倍之数也
　　　　　如图甲乙为一率庚子子辰皆为二率
　　　　　辰乙为三率庚甲为四率庚乙为一率