钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十五
　　面部五
　　　割圜(屡求/勾股)

　　割圜
周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股
也盖因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人
用割圜之法内弦外切屡求勾股为无数多边形以
切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则
推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六
边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入
中国又有割圜八线六宗三要等说而圜度内外诸

线相求之法始备要之圜内六边起算者圜径折半
即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十
二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八
边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五
九二六五三有馀圜内四边起算者则以圜径为内
容正方之斜弦自乘折半开方而得四边之一亦用
屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自
十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而
周亦得三一四一五九二六五三有馀圜外四边起

算者圜径即四边之一圜径自乘倍之开方即圜外

正方之斜弦减去圜径即圜外两角之馀又即圜外
八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得弦
与半径相减即股弦较又即小同式形之勾乃以八
边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式
形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即
十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得
三一四一五九二六五三有馀圜外六边起算者圜
径为弦半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取

其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为
勾半径为股求得弦与半径相减即股弦较又即小
同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径
之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小
同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边
设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有馀
此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾
股小弦逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切
形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将

与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆

可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六
十度先求弧度通弦折半为正弦既得正弦而圜内
之正矢圜外之正切正割由之而生至于馀弦馀矢
馀切馀割则又由正而得名三百六十度平分四象
限每一象限九十度九十度之中得其正角为正馀
角为馀是以正馀相对而割圜八线之表以立一象
限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸
法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得

无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内
外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内
而正弦外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线
二者互相恭考俱为相符可见理之至者先后一揆
法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜
即勾股之用二者交相成而两相得乎

　　圜内容六边起算
设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何
　　　　　法以圜径二兆折半得一兆为圜内所
　　　　　容六边形之每一边乃以半径一兆为
　　　　　弦六边之一边一兆折半得五千亿为
　　　　　勾求得股八千六百六十亿二千五百
　　　　　四十万三千七百八十四(小馀四三八/六四六七六)
　　　　　(三七二三一七○七五二/九三六一八三四七一)与半径相减

　　　　　馀一千三百三十九亿七千四百五十
　　　　　九万六千二百一十五(小馀五六一三/五三二三六二)
　　　　　(七六八二九二四七○/六三八一六五二九)复为勾六边之
　　　　　一边折半之五千亿为股求得弦五千
　　　　　一百七十六亿三千八百零九万零二
　　　　　百零五(小馀○四一五二四六九七七/九七六七五二四八○九六六)
　　　　　(五七六/六四)为圜内所容十二边形之每一
　　　　　边如是屡求得圜内二十四边形之每
　　　　　一边为二千六百一十亿五千二百三

　　　　　十八万四千四百四十零(小馀一○三/一八三○九)

　　　　　(六八一二四五五七九○/九七八○二○三八七)圜内四十八
　　　　　边形之每一边为一千三百零八亿零
　　　　　六百二十五万八千四百六十零(小馀/二八)
　　　　　(六一三三六三○六三一一一七/五五○三五○八八二八七九)圜内
　　　　　九十六边形之每一边为六百五十四
　　　　　亿三千八百一十六万五千六百四十
　　　　　三(小馀五五二二八四一二七三一二/二八八二四一六○八六七八四三)
　　　　　(三/)圜内一百九十二边形之每一边为

　　　　　三百二十七亿二千三百四十六万三
　　　　　千二百五十二(小馀九七三五六三二/八五九二八五六五八)
　　　　　(九九一八九八/三三二一三)圜内三百八十四边形
　　　　　之每一边为一百六十三亿六千二百
　　　　　二十七万九千二百零七(小馀八七四/二五八五七)
　　　　　(○三九八一四六五八九/五二六六七九九六四)圜内七百六
　　　　　十八边形之每一边为八十一亿八千
　　　　　一百二十万八千零五十二(小馀四六/九五七九)
　　　　　(一八九二四八二一九九一/○○三六二五二三三七)圜内一千

　　　　　五百三十六边形之每一边为四十亿

　　　　　九千零六十一万二千五百八十二(小/馀)
　　　　　(三二八一九○二二八八二六一一/七九六八五八五一九○○三九)圜
　　　　　内三千零七十二边形之每一边为二
　　　　　十亿四千五百三十万七千三百六十
　　　　　零(小馀六七六六○九○八二三八五/九二二二九二一○二○七九○二)
　　　　　(九/)圜内六千一百四十四边形之每一
　　　　　边为一十亿二千二百六十五万三千
　　　　　八百一十四(小馀○二七三九五○二/二○二八五九八九五八)

　　　　　(八五二二四/三九一七)圜内一万二千二百八十
　　　　　八边形之每一边为五亿一千一百三
　　　　　十二万六千九百二十三(小馀七二四/八三四六二)
　　　　　(八一二三二九九○三一/九○八八四七六七九)圜内二万四
　　　　　千五百七十六边形之每一边为二亿
　　　　　五千五百六十六万三千四百六十三
　　　　　(小馀九五一三○九四八○五二三四/四九○一一一四一○六三一七六)
　　　　　圜内四万九千一百五十二边形之每
　　　　　一边为一亿二千七百八十三万一千

　　　　　七百三十二(小馀二三六七六六二六/一八六九四七六四六四)

　　　　　(○四九二○/九九九七)圜内九万八千三百零四
　　　　　边形之每一边为六千三百九十一万
　　　　　五千八百六十六(小馀一五一○二二/○七一一六○七○)
　　　　　(八○七一二六三/八七○七五三)圜内一十九万六千
　　　　　六百零八边形之每一边为三千一百
　　　　　九十五万七千九百三十三(小馀○七/九五九○)
　　　　　(九○三一○九三八一五四/一九三○六五三八○○)圜内三十
　　　　　九万三千二百一十六边形之每一边

　　　　　为一千五百九十七万八千九百六十
　　　　　六(小馀五四○三○五五二八八九六/二四八七七九三七二三七五九六)
　　　　　(七/)圜内七十八万六千四百三十二边
　　　　　形之每一边为七百九十八万九千四
　　　　　百八十三(小馀二七○二一六四六五/四二八○六六六八一○五)
　　　　　(六一一一/一四八)圜内一百五十七万二千八
　　　　　百六十四边形之每一边为三百九十
　　　　　九万四千七百四十一(小馀六二五一/一七四五二九)
　　　　　(七五八六八○七○六/八一一七九三三九)圜内三百一十

　　　　　四万五千七百二十八边形之每一边

　　　　　为一百九十九万七千三百七十零(小/馀)
　　　　　(八一七五五九○九六六六四○五/九二五四○○二八六七九六四)圜
　　　　　内六百二十九万一千四百五十六边
　　　　　形之每一边为九十九万八千六百八
　　　　　十五(小馀四○八七七九六七二八三/九七五五七五七四○六一一三)
　　　　　(六一/四)圜内一千二百五十八万二千九
　　　　　百一十二边形之每一边为四十九万
　　　　　九千三百四十二(小馀七○四三八九/八五一九八三三一)

　　　　　(二三六三九八二/九九六三五五)圜内二千五百一十
　　　　　六万五千八百二十四边形之每一边
　　　　　为二十四万九千六百七十一(小馀三/五二一)
　　　　　(九四九二七九三七○八八六/一七六九八八○二六五六)圜内五
　　　　　千零三十三万一千六百四十八边形
　　　　　之每一边为一十二万四千八百三十
　　　　　五(小馀六七六○九七四六四二一一/七二三三二二五○四七○九四一)
　　　　　(八/)圜内一亿零六十六万三千二百九
　　　　　十六边形之每一边为六万二千四百

　　　　　一十七(小馀八三八○四八七三二一/三六二五九○六三二○九五)

　　　　　(八七八/四三)圜内二亿零一百三十二万六
　　　　　千五百九十二边形之每一边为三万
　　　　　一千二百零八(小馀九一九○二四三/六六○七一九二九二)
　　　　　(○四二六九一/一八四○二)圜内四亿零二百六十
　　　　　五万三千一百八十四边形之每一边
　　　　　为一万五千六百零四(小馀四五九五/一二一八三○)
　　　　　(三六四三九四九七一/○七三二○九五一)圜内八亿零五
　　　　　百三十万六千三百六十八边形之每

　　　　　一边为七千八百零二(小馀二二九七/五六○九一五)
　　　　　(一八二七九一五○四/八二九一五一四二)圜内一十六亿
　　　　　一千零六十一万二千七百三十六边
　　　　　形之每一边为三千九百零一(小馀一/一四八)
　　　　　(七八○四五七五九一四六九/九六五八一四八七○一五)圜内三
　　　　　十二亿二千一百二十二万五千四百
　　　　　七十二边形之每一边为一千九百五
　　　　　十零(小馀五五七四三九○二二八七/九五七四五二九五三四四○六)
　　　　　(八七/四)圜内六十四亿四千二百四十五

　　　　　万零九百四十四边形之每一边为九

　　　　　百七十五(小馀二七八七一九五一一/四三九七八七三二九三六)
　　　　　(四一一九/九二六)圜内一百二十八亿八千四
　　　　　百九十万一千八百八十八边形之每
　　　　　一边为四百八十七(小馀六三九三五/九七五五七一九)
　　　　　(八九三六七七四九/八九○九九○五)圜内二百五十七
　　　　　亿六千九百八十万三千七百七十六
　　　　　边形之每一边为二百四十三(小馀八/一九六)
　　　　　(七九八七七八五九九四六八/三八七四九四五四九五三)圜内五

　　　　　百一十五亿三千九百六十万七千五
　　　　　百五十二边形之每一边为一百二十
　　　　　一(小馀九○九八三九九三八九二九/九七三四一四二四七九八七九○)
　　　　　(九/)乃以五百一十五亿三千九百六十
　　　　　万七千五百五十二边之数与其每一
　　　　　边一百二十一(小馀九○九八三九九/三八九二九九七三四)
　　　　　(一四二四七九/八七九○九)之数相乘得六兆二千
　　　　　八百三十一亿八千五百三十万七千
　　　　　一百七十九(小馀五八六四七六五八/○一三四八二二○三五)

　　　　　(五○一○八/八七六八)为圜径二兆之周数

　　圜内容四边起算
设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何
　　　　　法以圜径二兆折半得一兆自乘得一
　　　　　穰倍之开方得一兆四千一百四十二
　　　　　亿一千三百五十六万二千三百七十
　　　　　三(小馀○九五○四八八○一六八八/七二四二○九六九八○七八五六)
　　　　　(九/)为圜内所容四边形之每一边乃以
　　　　　半径一兆为弦四边之一边一兆四千

　　　　　一百四十二亿一千三百五十六万二
　　　　　千三百七十三(小馀○九五○四八八/○一六八八七二四二)
　　　　　(○九六九八○/七八五六九)折半得七千零七十一
　　　　　亿零六百七十八万一千一百八十六
　　　　　(小馀五四七五二四四○○八四四三/六二一○四八四九○三九二八四)
　　　　　为勾亦即为股(四边折半所成之勾/股形其勾与股相等)与
　　　　　半径相减馀二千九百二十八亿九千
　　　　　三百二十一万八千八百一十三(小馀/四五)
　　　　　(二四七五五九九一五五六三七/八九五一五○九六○七一六)复为

　　　　　勾四边之一边折半之七千零七十一

　　　　　亿零六百七十八万一千一百八十六
　　　　　(小馀五四七五二四四三九八四四三/六二一 四八四九 二八四)
　　　　　为股求得弦七千六百五十三亿六千
　　　　　六百八十六万四千七百三十零(小馀/一七)
　　　　　(九五四三四五六九一九九六八/ 六 七九七七三三五二三)为圜
　　　　　内所容八边形之每一边复以半径一
　　　　　兆为弦八边之一边折半得三千八百
　　　　　二十六亿八千三百四十三万二千三

　　　　　百六十五(小馀九八九七七一七二八/四五 九八四 三 三九)
　　　　　(八八六六/七六一)为勾求得股九千二百三十
　　　　　八亿七千九百五十三万二千五百一
　　　　　十一(小馀二八六七五六一二八一八/三一八九三九六七八八二八六)
　　　　　(八二/二)与半径相减馀七百六十一亿二
　　　　　千零四十六万七千四百八十八(小馀/七一)
　　　　　(三二四三八七一八一六八一○/六○三二一一七一三一七八)复为
　　　　　勾八边之一边折半之三千八百二十
　　　　　六亿八千三百四十三万二千三百六

　　　　　十五(小馀○八九七七一七二八四五/九九八四○三○三九八八六六)

　　　　　(七六/一)为股求得弦三千九百零一亿八
　　　　　千零六十四万四千零三十二(小馀二/五六五)
　　　　　(三五六九六五六九七三六九/五四○四四四八一八五五)为圜内
　　　　　所容十六边形之每一边如是屡求得
　　　　　圜内三十二边形之每一边为一千九
　　　　　百六十亿三千四百二十八万零六百
　　　　　五十九(小馀一二一二○三九八八三/九一一二七七七七二八三六)
　　　　　(九一七/二二)圜内六十四边形之每一边为

　　　　　九百八十一亿三千五百三十四万八
　　　　　千六百五十四(小馀八三六○二八五/○九九一五○七三五)
　　　　　(四一九二一八/○四五八六)圜内一百二十八边形
　　　　　之每一边为四百九十亿八千二百四
　　　　　十五万七千零四十五(小馀八二四五/七六○六三四)
　　　　　(七一六二一○六二○/八五七五四一三二)圜内二百五十
　　　　　六边形之每一边为二百四十五亿四
　　　　　千三百零七万六千五百七十一(小馀/四三)
　　　　　(九八五二一五八八一七八○五/二八三二二七○七一六○○)圜内

　　　　　五百一十二边形之每一边为一百二

　　　　　十二亿七千一百七十六万九千二百
　　　　　九十八(小馀三○八九五○七一九二/八一一○九八九七五三九一)
　　　　　(五○二/八七)圜内一千零二十四边形之每
　　　　　一边为六十一亿三千五百九十一万
　　　　　三千五百二十五(小馀九三四八一八/四○○九三五六一)
　　　　　(三五六一一八八/八五○三一八)圜内二千零四十八
　　　　　边形之每一边为三十亿六千七百九
　　　　　十六万零三百七十二(小馀五六九五/三一二二四六)

　　　　　(○七五五四四八二五/五三五七八○五四)圜内四千零九
　　　　　十六边形之每一边为一十五亿三千
　　　　　三百九十八万零六百三十七(小馀四/八五四)
　　　　　(○九○五三八七七二一六八/○六九八○五三六五二九)圜内八
　　　　　千一百九十二边形之每一边为七亿
　　　　　六千六百九十九万零三百七十五(小/馀)
　　　　　(一四二七九一一七八一四四九六/三四○七九一三二八八三一一)圜
　　　　　内一万六千三百八十四边形之每一
　　　　　边为三亿八千三百四十九万五千一

　　　　　百九十四(小馀六二一四○六六一四/八七九八三九一四六七五)

　　　　　(四三七○/三三三)圜内三万二千七百六十八
　　　　　边形之每一边为一亿九千一百七十
　　　　　四万七千五百九十八(小馀一九一九/五四六九一七)
　　　　　(四一○四四四三三三/四一二七四三一七)圜内六万五千
　　　　　五百三十六边形之每一边为九千五
　　　　　百八十七万三千七百九十九(小馀二/○六一)
　　　　　(三三七六九○九八○一二九/八六六八三四九五八○七)圜内一
　　　　　十三万一千零七十二边形之每一边

　　　　　为四千七百九十三万六千八百九十
　　　　　九(小馀六一六八三六四三七四五八/三七五六五七一七七一三四八二)
　　　　　(七/)圜内二十六万二千一百四十四边
　　　　　形之每一边为二千三百九十六万八
　　　　　千四百四十九(小馀八一○一三九四/一二八四三○四四三)
　　　　　(七四六一七五/二八三三○)圜内五十二万四千二
　　　　　百八十八边形之每一边为一千一百
　　　　　九十八万四千二百二十四(小馀九○/五二八四)
　　　　　(八五五六八五七六○○四/九三二九五五四六八八)圜内一百

　　　　　零四万八千五百七十六边形之每一

　　　　　边为五百九十九万二千一百一十二
　　　　　(小馀四五二六六九三二一五○○九/○九九三八七二六○○六○六五)
　　　　　圜内二百零九万七千一百五十二边
　　　　　形之每一边为二百九十九万六千零
　　　　　五十六(小馀二二六三三八○二二四/五七七○八七一四一二○二)
　　　　　(五三九/六六)圜内四百一十九万四千三百
　　　　　零四边形之每一边为一百四十九万
　　　　　八千零二十八(小馀一一三一六九四/三一四四二二六一○)

　　　　　(七五三四七四/三二九三三)圜内八百三十八万八
　　　　　千六百零八边形之每一边为七十四
　　　　　万九千零一十四(小馀○五六五八四/七六八二四七八○)
　　　　　(六三七七四六五/一五五○七七)圜内一千六百七十
　　　　　七万七千二百一十六边形之每一边
　　　　　为三十七万四千五百零七(小馀○二/八二九二)
　　　　　(三九○六八九七三七六六/八七○六六八○○三二)圜内三千
　　　　　三百五十五万四千四百三十二边形
　　　　　之每一边为一十八万七千二百五十

　　　　　三(小馀五一四一四六一九六一六五/五九八一四四三五○一○八二二)

　　　　　(四/)圜内六千七百一十万八千八百六
　　　　　十四边形之每一边为九万三千六百
　　　　　二十六(小馀七五七○七三○九八一/八五三九○二三五九二四六)
　　　　　(五○三/○六)圜内一亿三千四百二十一万
　　　　　七千七百二十八边形之每一边为四
　　　　　万六千八百一十三(小馀三七八五三/六五四九一○五)
　　　　　(五一九○一三四三/一○二四六八二)圜内二亿六千八
　　　　　百四十三万五千四百五十六边形之

　　　　　每一边为二万三千四百零六(小馀六/八九二)
　　　　　(六八二七四五五四三六二四/九三六四九○九九七八四)圜内五
　　　　　亿三千六百八十七万零九百一十二
　　　　　边形之每一边为一万一千七百零三
　　　　　(小馀三四四六三四一三七二七七三/八一六二○一九一二四八三二一)
　　　　　圜内一十亿七千三百七十四万一千
　　　　　八百二十四边形之每一边为五千八
　　　　　百五十一(小馀六七二三一七○六八/六三八七一五八五六七六)
　　　　　(六四六一/四六四)圜内二十一亿四千七百四

　　　　　十八万三千六百四十八边形之每一

　　　　　边为二千九百二十五(小馀八三六一/五八五三四三)
　　　　　(一九三六一○五九二/一七○八五三九四)圜内四十二亿
　　　　　九千四百九十六万七千二百九十六
　　　　　边形之每一边为一千四百六十二(小/馀)
　　　　　(九一八○七九二六七一五九六八/○九二○九六二七七四五二九)圜
　　　　　内八十五亿八千九百九十三万四千
　　　　　五百九十二边形之每一边为七百三
　　　　　十一(小馀四九五○三九六三三五七/九八四○五○三一四○一六六)

　　　　　(○二/七)圜内一百七十一亿七千九百八
　　　　　十六万九千一百八十四边形之每一
　　　　　边为三百六十五(小馀七二九五一九/八一六七八九九二)
　　　　　(○二五七六八四/九九二八八六)圜内三百四十三亿
　　　　　五千九百七十三万八千三百六十八
　　　　　边形之每一边为一百八十二(小馀八/六四七)
　　　　　(五九九○八三九四九六○一/二九六○六八六○七七○)乃以三
　　　　　百四十三亿五千九百七十三万八千
　　　　　三百六十八边之数与其每一边一百

　　　　　八十二(小馀八六四七五九九○八三/九四九六○一二九六○六八)

　　　　　(六○七/七○)之数相乘得六兆二千八百三
　　　　　十一亿八千五百三十万七千一百七
　　　　　十九(小馀五八六四七六八六三○八/三一○六七五五○○三○二三)
　　　　　(三六/○)为圜径二兆之周数

　　圜外切六边起算
设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何
　　　　　法以圜径二兆为弦半径一兆为勾求
　　　　　得股一兆七千三百二十亿五千零八
　　　　　十万七千五百六十八(小馀八七七二/九三五二七四)
　　　　　(四六三四一五○五八/七二三六六九四二)取其三分之二
　　　　　得一兆一千五百四十七亿零五十三
　　　　　万八千三百七十九(小馀二五一五二/九○一八二九七)

　　　　　(五六一○○三九一/四九一一二九五)即圜外六边形之
　　　　　每一边(盖圜径为弦半径为勾所得股/即圜外三边形之每边之一半)
　　　　　(倍之为圜外三边形之每一边其每一/边之三分之一即圜外六边形之每一)
　　　　　(边今以六边起算故省求三边止以所/得之股取其三分之二为六边形之每)
　　　　　(一边/也)乃以六边形之每一边一兆一千
　　　　　五百四十七亿零五十三万八千三百
　　　　　七十九(小馀二五一五二九○一八二/九七五六一○○三九一四九)
　　　　　(一一二/九五)折半得五千七百七十三亿五
　　　　　千零二十六万九千一百八十九(小馀/六二)

　　　　　(五七六四五○九一四八七八○/五○一九五七四五五六四七)为勾

　　　　　半径一兆为股即用六边之一边为弦
　　　　　(圜内六边与半径等圜外六边亦与本/形半径等故即用六边之一边为弦也)
　　　　　与半径相减馀一千五百四十七亿零
　　　　　五十三万八千三百七十九(小馀二五/一五二九)
　　　　　(○一八二九七五六一○○/三九一四九一一二九五)即股弦较
　　　　　又即小同式形之勾复以六边形之一
　　　　　边折半之勾五千七百七十三亿五千
　　　　　零二十六万九千一百八十九(小馀六/二五七)

　　　　　(六四五○九一四八七八○五/○一九五七四五五六四七)为一率
　　　　　半径之股一兆为二率小同式形之勾
　　　　　一千五百四十七亿零五十三万八千
　　　　　三百七十九(小馀二五一五二九○一/八二九七五六一○○三)
　　　　　(九一四九一/一二九五)为三率推得四率二千六
　　　　　百七十九亿四千九百一十九万二千
　　　　　四百三十一(小馀一二二七○六四七/二五五三六五八四九四)
　　　　　(一二七六三/三○五七)为小同式形之股倍之得
　　　　　五千三百五十八亿九千八百三十八

　　　　　万四千八百六十二(小馀二四五四一/二九四五一○七)

　　　　　(三一六九八八二五/五二六六一一四)为圜外十二边形
　　　　　之每一边如是屡求得圜外二十四边
　　　　　形之每一边为二千六百三十三亿零
　　　　　四百九十九万五千一百七十四(小馀/七九)
　　　　　(一七○六九四三○五二九一四/八一九四三四二○七一八四)圜外
　　　　　四十八边形之每一边为一千三百一
　　　　　十亿八千六百九十二万五千六百三
　　　　　十零(小馀四七六四五七一二九○八/七四四九七五九八八五五八九)

　　　　　(八四/二)圜外九十六边形之每一边为六
　　　　　百五十四亿七千三百二十二万零八
　　　　　百二十五(小馀九四五一七二八七八/五一七八九七七八六九一)
　　　　　(九二四七/三一○)圜外一百九十二边形之每
　　　　　一边为三百二十七亿二千七百八十
　　　　　四万四千二百七十零(小馀六二三一/六五三三○六)
　　　　　(八二一五七二二五九/三九八八九七五六)圜外三百八十
　　　　　四边形之每一边为一百六十三亿六
　　　　　千二百八十二万六千八百零七(小馀/五八)

　　　　　(七七五二七四○七五○一二四/一四二六二九三○五五○二)圜外

　　　　　七百六十八边形之每一边为八十一
　　　　　亿八千一百二十七万六千五百零一
　　　　　(小馀五七四七一二三四○五二八六/五四七○二○六三七八四二四六)
　　　　　圜外一千五百三十六边形之每一边
　　　　　为四十亿九千零六十二万一千一百
　　　　　三十八(小馀四三九四八七一七七○/七三八九五七六二五○九三)
　　　　　(○八六/七○)圜外三千零七十二边形之每
　　　　　一边为二十亿四千五百三十万八千

　　　　　四百三十零(小馀一八九六八二三○/九八七九八九二○四九)
　　　　　(四○七三○/一四三八)圜外六千一百四十四边
　　　　　形之每一边为一十亿二千二百六十
　　　　　五万三千九百四十七(小馀七一六五/○二九四○六)
　　　　　(○七九二三六一七○/八二四○○七六八)圜外一万二千
　　　　　二百八十八边形之每一边为五亿一
　　　　　千一百三十二万六千九百四十零(小/馀)
　　　　　(四三五九七二三○一一六二四八/九八六三九六七三七八二六二)圜
　　　　　外二万四千五百七十六边形之每一

　　　　　边为二亿五千五百六十六万三千四

　　　　　百六十六(小馀○四○二○一六六四/○五二四五三七一九三三)
　　　　　(九一五○/五八二)圜外四万九千一百五十二
　　　　　边形之每一边为一亿二千七百八十
　　　　　三万一千七百三十二(小馀四九七八/七七七八四○)
　　　　　(一○五六○七七四○/一○四六二三四八)圜外九万八千
　　　　　三百零四边形之每一边为六千三百
　　　　　九十一万五千八百六十六(小馀一八/三六六一)
　　　　　(○一一四○三三三五六四/一三七七六七八四八四)圜外一十

　　　　　九万六千六百零八边形之每一边为
　　　　　三千一百九十五万七千九百三十三
　　　　　(小馀○八三六七○七七○六三八九/二五一四九七五○二五一六九四)
　　　　　圜外三十九万三千二百一十六边形
　　　　　之每一边为一千五百九十七万八千
　　　　　九百六十六(小馀五四○八一五四一/八四三七○一○三七九)
　　　　　(二○二九四/三三二二)圜外七十八万六千四百
　　　　　三十二边形之每一边为七百九十八
　　　　　万九千四百八十三(小馀二七○二八/○二一三三五八)

　　　　　(二一○八七二五八/六○四二○三○)圜外一百五十七

　　　　　万二千八百六十四边形之每一边为
　　　　　三百九十九万四千七百四十一(小馀/六三)
　　　　　(五一二四一六九六九六五六九/○二八一四八七○四五五八)圜外
　　　　　三百一十四万五千七百二十八边形
　　　　　之每一边为一百九十九万七千三百
　　　　　七十零(小馀八一七五六○○九二七/二五四六七四七四九七七六)
　　　　　(四四三/五四)圜外六百二十九万一千四百
　　　　　五十六边形之每一边为九十九万八

　　　　　千六百八十五(小馀四○八七七九七/九七三四七三八一六)
　　　　　(○七九七四二/七五二九八)圜外一千二百五十八
　　　　　万二千九百一十二边形之每一边为
　　　　　四十九万九千三百四十二(小馀七○/四三八九)
　　　　　(八六七五四六七七一七八/七八○九四六一二一四)圜外二千
　　　　　五百一十六万五千八百二十四边形
　　　　　之每一边为二十四万九千六百七十
　　　　　一(小馀三五二一九四九二九八八二/五二一○六八八二八八四八八六)
　　　　　(二/)圜外五千零三十三万一千六百四

　　　　　十八边形之每一边为一十二万四千

　　　　　八百三十五(小馀六七六○九七四六/四四五四九○二三九八)
　　　　　(八一三七二/三○八二)圜外一亿零六十六万三
　　　　　千二百九十六边形之每一边为六万
　　　　　二千四百一十七(小馀八三八○四八/七三二一六六六五)
　　　　　(六四三五七○三/三九六九七六)圜外二亿零一百三
　　　　　十二万六千五百九十二边形之每一
　　　　　边为三万一千二百零八(小馀九一九/○二四三六)
　　　　　(六○七五七二八八七二/三八八七六五四二八)圜外四亿零

　　　　　二百六十五万三千一百八十四边形
　　　　　之每一边为一万五千六百零四(小馀/四五)
　　　　　(九五一二一八三○三六九一四/五一八○一一五一六○八○)圜外
　　　　　八亿零五百三十万六千三百六十八
　　　　　边形之每一边为七千八百零二(小馀/二二)
　　　　　(九七五六○九一五一八二三八/五一九二三二八九九七一○)圜外
　　　　　一十六亿一千零六十一万二千七百
　　　　　三十六边形之每一边为三千九百零
　　　　　一(小馀一一四八七八○四五七五九/一五四四一七一四四八四二五六)

　　　　　(二/)圜外三十二亿二千一百二十二万

　　　　　五千四百七十二边形之每一边为一
　　　　　千九百五十零(小馀五五七四三九○/二二八七九五七五三)
　　　　　(五三二六三四/七○三六八)圜外六十四亿四千二
　　　　　百四十五万零九百四十四边形之每
　　　　　一边为九百七十五(小馀二七八七一/九五一一四三九)
　　　　　(七八七四四四七一/八一一六三二○)圜外一百二十八
　　　　　亿八千四百九十万一千八百八十八
　　　　　边形之每一边为四百八十七(小馀六/三九三)

　　　　　(五九七五五七一九八九三六/九三三六九八五五八○二)圜外二
　　　　　百五十七亿六千九百八十万三千七
　　　　　百七十六边形之每一边为二百四十
　　　　　三(小馀八一九六七九八七七八五九/九四六八四三○六一二七七六○)
　　　　　(六/)圜外五百一十五亿三千九百六十
　　　　　万七千五百五十二边形之每一边为
　　　　　一百二十一(小馀九○九八三九九三/八九二九九七三四二一)
　　　　　(○七七六八/二五一六)乃以五百一十五亿三千
　　　　　九百六十万七千五百五十二边之数

　　　　　与其每一边一百二十一(小馀九○九/八三九九三)

　　　　　(八九二九九七三四二一/○七七六八二五一六)之数相乘得
　　　　　六兆二千八百三十一亿八千五百三
　　　　　十万七千一百七十九(小馀五八六四/七六九三二一)
　　　　　(五四六○一七七八二/八三九六○八三二)为圜径二兆之
　　　　　周数

　　圜外切四边起算
设如圜径二兆用外切四边起算问得圜周几何
　　　　　法以圜径二兆为外切四边形之每一
　　　　　边乃以圜径二兆为股亦即为勾求得
　　　　　弦二兆八千二百八十四亿二千七百
　　　　　一十二万四千七百四十六(小馀一九/○○九七)
　　　　　(六○三三七七四四八四一/九三九六一五七一三八)为圜外四
　　　　　边形之斜弦与圜径相减馀八千二百

　　　　　八十四亿二千七百一十二万四千七
　　　　　百四十六(小馀一九○○九七六○三/三七七四四八四一九三九)
　　　　　(六一五七/一三八)即圜外八边形之每一边又
　　　　　以八边形之每一边八千二百八十四
　　　　　亿二千七百一十二万四千七百四十
　　　　　六(小馀一九○○九七六○三三七七/四四八四一九三九六一五七一三)
　　　　　(八/)折半得四千一百四十二亿一千三
　　　　　百五十六万二千三百七十三(小馀○/九五○)
　　　　　(四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九)为勾半

　　　　　径一兆为股求得弦一兆零八百二十

　　　　　三亿九千二百二十万零二百九十二
　　　　　(小馀三九三九六八八九九四四六四/一○七三二七七八八四○一二一)
　　　　　与半径相减馀八百二十三亿九千二
　　　　　百二十万零二百九十二(小馀三九三/九六八八九)
　　　　　(九四四六四一○七三二/七七八八四○一二一)即股弦较又
　　　　　即小同式形之勾复以八边形之一边
　　　　　折半之勾四千一百四十二亿一千三
　　　　　百五十六万二千三百七十三(小馀○/九五○)

　　　　　(四八八○一六八八七二四二/○九六九八○七八五六九)为一率
　　　　　半径之股一兆为二率小同式形之勾
　　　　　八百二十三亿九千二百二十万零二
　　　　　百九十二(小馀三九三九六八八九九/四四六四一○七三二七七)
　　　　　(八八四○/一二一)为三率推得四率一千九百
　　　　　八十九亿一千二百三十六万七千三
　　　　　百七十九(小馀六五八○○六九一一/五九七六二二六四四六七)
　　　　　(六二二八/五九七)为小同式形之股倍之得三
　　　　　千九百七十八亿二千四百七十三万

　　　　　四千七百五十九(小馀三一六○一三/八二三一九五二四)

　　　　　(五二八九三五二/四五七一九四)为圜外十六边形之
　　　　　每一边如是屡求得圜外三十二边形
　　　　　之每一边为一千九百六十九亿八千
　　　　　二百八十万六千七百一十四(小馀三/二八五)
　　　　　(○六一五四三九五○四二五/八二六五四八六四五八四)圜外六
　　　　　十四边形之每一边为九百八十二亿
　　　　　五千三百六十九万九千五百三十八
　　　　　(小馀九三四五○八二一○六八六六/四二五四二六二七二三四一五八)

　　　　　圜外一百二十八边形之每一边为四
　　　　　百九十亿九千七百二十四万四千二
　　　　　百一十七(小馀八五○八八八二○九/一五九五○七九二一八一)
　　　　　(七四四二/三八四)圜外二百五十六边形之每
　　　　　一边为二百四十五亿四千四百九十
　　　　　二万四千七百五十九(小馀一三二五/五○四六一七)
　　　　　(七五一○六四六八五/四一五九二八九○)圜外五百一十
　　　　　二边形之每一边为一百二十二亿七
　　　　　千二百万零三百一十五(小馀二四六/八○三九二)

　　　　　(八五八八七三一二○二/六二一六七○五八二)圜外一千零

　　　　　二十四边形之每一边为六十一亿三
　　　　　千五百九十四万二千四百零二(小馀/八四)
　　　　　(五三二九九七四一四七八三一/三六四二四三四七六五八四)圜外
　　　　　二千零四十八边形之每一边为三十
　　　　　亿六千七百九十六万三千九百八十
　　　　　二(小馀一七七三三三○五六九八五/四四一六三六七○○八七四九四)
　　　　　(四/)圜外四千零九十六边形之每一边
　　　　　为一十五亿三千三百九十八万一千

　　　　　零八十八(小馀六八六一八五二一○/三四六四一五四二三二五)
　　　　　(五八四七/五三八)圜外八千一百九十二边形
　　　　　之每一边为七亿六千六百九十九万
　　　　　零四百三十一(小馀五四二八八一九/七六六九一四六八三)
　　　　　(六八一五四四/三九三二○)圜外一万六千三百八
　　　　　十四边形之每一边为三亿八千三百
　　　　　四十九万五千二百零一(小馀六七一/四一七七七)
　　　　　(○二九一五五五一二一/七二六一八二一一○)圜外三万二
　　　　　千七百六十八边形之每一边为一亿

　　　　　九千一百七十四万七千五百九十九

　　　　　(小馀○七三二○六○八○○九二二/九六○九三一四五一四六一○六)
　　　　　圜外六万五千五百三十六边形之每
　　　　　一边为九千五百八十七万三千七百
　　　　　九十九(小馀三一六二九○一九二四/五二○六五五二六二○七六)
　　　　　(一九八/五八)圜外一十三万一千零七十二
　　　　　边形之每一边为四千七百九十三万
　　　　　六千八百九十九(小馀六三○六○五/九九○三七一六九)
　　　　　(七五二九八八九/四六二九四四)圜外二十六万二千

　　　　　一百四十四边形之每一边为二千三
　　　　　百九十六万八千四百四十九(小馀八/一一八)
　　　　　(六○六○六九五七○二三二/六九五八九三○一三二○)圜外五
　　　　　十二万四千二百八十八边形之每一
　　　　　边为一千一百九十八万四千二百二
　　　　　十四(小馀九○五五○○○○四九五/○○○一一四八一五○○二三)
　　　　　(三六/六)圜外一百零四万八千五百七十
　　　　　六边形之每一边为五百九十九万二
　　　　　千一百一十二(小馀四五二六九六二/一五一五八九三九六)

　　　　　(六○一二八○/二○一五四)圜外二百零九万七千

　　　　　一百五十二边形之每一边为二百九
　　　　　十九万六千零五十六(小馀二二六三/四一三八四一)
　　　　　(六四九六二三○六三/四八二四八二二○)圜外四百一十
　　　　　九万四千三百零四边形之每一边为
　　　　　一百四十九万八千零二十八(小馀一/一三一)
　　　　　(六九八五一六五五六六七七/一五五三八六四一七五四)圜外八
　　　　　百三十八万八千六百零八边形之每
　　　　　一边为七十四万九千零一十四(小馀/○五)

　　　　　(六五八四八二○七七四四八二/一七八一五三二九一四五二)圜外
　　　　　一千六百七十七万七千二百一十六
　　　　　边形之每一边为三十七万四千五百
　　　　　零七(小馀○二八二九二三九七二五/五五七二一二九一二七四○四)
　　　　　(七三/○)圜外三千三百五十五万四千四
　　　　　百三十二边形之每一边为一十八万
　　　　　七千二百五十三(小馀五一四一四六/一九六九八六三二)
　　　　　(七四四四五七○/一三三五七四)圜外六千七百一十
　　　　　万八千八百六十四边形之每一边为

　　　　　九万三千六百二十六(小馀七五七○/七三○九八二)