钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十二
　　面部二
　　　勾股(定勾股无零数法形内勾股弦相求法附勾/股求积 勾股 求中垂线及容方圆)
　　　(等形相求勾股弦/和较 法)

　　勾股
周髀曰折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外
半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有
五是为积矩此言勾股正数之所以立法也盖勾股
得长方之半形故其一角必成矩(所谓直/角也)而后可谓
勾股如其一角不能成矩则为三角形而非勾股矣
因勾股一角必直故立于圜界之正一半而自直角
所作垂线遂成连比例三率是以直角相对界所作

方形之积必与两傍二界所作两方形之积等(见几/何原)
(本九卷/第四节)而勾股弦彼此相求之法于此生焉其法所
该有四一勾股弦三者知其二而得其一或知其二
而得其积一勾股形自其直角对弦界求垂线一勾
股形内容方圆等形一勾股弦三者知其一复知其
馀二者之较或二者之和而得其二或知其两较或
两和或一较一和而得其三(勾股弦和较之法虽杂/出多端然皆不出勾股)
(弦方积相求之理较有勾股较勾弦较股弦较和有/勾股和勾弦和股弦和和较相叠则又有弦与勾股)
(和相和或名之曰弦和和有弦与勾股和相较或名/之曰弦和较有弦与勾股较相和或名之曰弦较和)

(或名之曰股和和即弦和和也勾与股弦和相较者/或名之曰勾和较股与勾弦较相和者或名之曰股)
(较和即弦较和也股与勾弦和相较者或名之曰股/和较勾与股弦较相和者或名之曰勾较和即弦较)
(较也勾与股弦较相较者或名之曰勾较较股与/勾弦较相较者或名之曰股较较即弦和较也)此
四者皆勾股之正法理一定而数随之者也至若勾
三股四弦五之类倍之至于亿兆而总不越此一定
之分者名曰正勾股槩以比例推之则三者止有其
一即可得其二或有积而即得其三界此为数一定
而法随之者也一一按类列题发明如左

　　定勾股弦无零数法
设如用二四八连比例三率定勾股弦无零数问各
　得几何
　　　　　法以中率四命为四尺为股首率二尺
　　　　　与末率八尺相减馀六尺折半得三尺
　　　　　为勾首率二尺与末率八尺相加得十
　　　　　尺折半得五尺为弦也如图甲乙为首
　　　　　率二尺丙乙为中率四尺乙丁为末率
　　　　　八尺今以甲乙与乙丁相和共为甲丁

　　　　　十尺而以丙乙立于甲丁线相和之乙

　　　　　处乃以甲丁折半于戊以戊为心甲丙
　　　　　丁为界作半圜复以丙至甲至丁作丙
　　　　　甲丙丁二线遂成甲丙丁勾股形其丙
　　　　　角立于圜界之半必为直角(见几何原/本四卷第)
　　　　　(十四/节)而丙乙为垂线即将甲丙丁勾股
　　　　　形分为甲乙丙丙乙丁两勾股形而与
　　　　　原形为同式三勾股形矣(见几何原本/九卷第一节)
　　　　　其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁

　　　　　之比为连比例三率故以中率丙乙为
　　　　　股而首率甲乙(与己/丁等)与末率乙丁相减
　　　　　馀乙己折半得乙戊为勾又首率甲乙
　　　　　与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊
　　　　　戊丁二半径与丙戊等为弦也此法原
　　　　　为定勾股弦三者俱无零数之法所设
　　　　　之数必彼此可以度尽始可立为准则
　　　　　否则勾股弦三者必有一不尽之数矣
设如有四六可以度尽之两数欲定勾股弦无零数

　问各得几何

　　　　　法以四尺为首率六尺为中率将中率
　　　　　六尺自乘得三十六尺用首率四尺除
　　　　　之得九尺为末率乃以中率六尺为股
　　　　　首率四尺与末率九尺相减馀五尺折
　　　　　半得二尺五寸为勾首率四尺与末率
　　　　　九尺相加得十三尺折半得六尺五寸
　　　　　为弦也如图甲乙为首率四尺丙乙为
　　　　　中率六尺今以中率六尺自乘用首率

　　　　　四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲
　　　　　乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊
　　　　　为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲
　　　　　至丁作二线则成甲丙丁直角三角形
　　　　　其丙乙中率即为丙直角之垂线故以
　　　　　中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙
　　　　　丁相减馀乙己折半得乙戊为勾而首
　　　　　率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半
　　　　　得甲戊戊丁与丙戊等为弦也

设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定

　勾弦无零数问各得几何
　　　　　法以首率四尺与末率九尺相减馀五
　　　　　尺为勾首率四尺与末率九尺相加得
　　　　　十三尺为弦也如图甲乙为首率四尺
　　　　　丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰
　　　　　以甲乙首率与乙丁末率相和折半于
　　　　　戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复
　　　　　自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直

　　　　　角三角形其丙乙中率即为丙直角之
　　　　　垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为
　　　　　股故以首率甲乙(与己/丁等)与末率乙丁相
　　　　　减馀乙己与庚辛等为勾又首率甲乙
　　　　　与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛
　　　　　等为弦也盖前二法用中率为股故以
　　　　　首率末率相减折半为勾首率末率相
　　　　　加折半为弦此法则倍中率为股故以
　　　　　首率末率相减即为勾首率末率相加

　　　　　即为弦而皆不用折半也又图甲乙为

　　　　　首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首
　　　　　率与末率相加之十三尺丁丙为首率
　　　　　与末率相减所馀之五尺如依甲丙线
　　　　　度作甲戊己丙正方形即为弦自乘之
　　　　　方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形
　　　　　即为勾自乘之方今以乙丙末率亦作
　　　　　一正方形将两边线引长至甲戊己丙
　　　　　正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子

　　　　　二长方形仍馀癸戊壬丑一小正方形
　　　　　又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长
　　　　　至乙丑子丙正方形之丑子界则又成
　　　　　乙丑寅丁一长方形与前一长方形等
　　　　　仍馀庚寅子辛一小长方形合前癸戊
　　　　　壬丑一小正方形则亦与前一长方形
　　　　　等是此四长方形皆为首率与末率相
　　　　　乘之长方而与中率自乘之正方形相
　　　　　等矣(见算法原本/二卷第三节)如以此四长方形共

　　　　　计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今

　　　　　甲戊己丙既为弦自乘之一正方而丁
　　　　　庚辛丙又为勾自乘之一正方则两方
　　　　　相减所馀之甲戊己辛庚丁磬折形之
　　　　　积与股自乘之一正方等(见几何原本/九卷第四节)
　　　　　甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之
　　　　　共积则四长方之共积亦必与股自乘
　　　　　之一正方等首率末率相乘之四长方
　　　　　既与股自乘之一正方等则中率自乘

　　　　　之四正方亦必与股自乘之一正方等
　　　　　是故中率自乘之四正方合之而为股
　　　　　自乘之一正方则其每边必比中率各
　　　　　大一倍(见几何原本/七卷第五节)故倍中率而为股
　　　　　者必取首率末率之和而为弦首率末
　　　　　率之较而为勾盖首率末率相和自乘
　　　　　之一正方内减去首率末率相较自乘
　　　　　之一正方甫能得中率加倍自乘之一
　　　　　正方积也

　　勾股弦相求法(勾股求积附/)
设如有股四尺勾三尺求弦几何
　　　　　法以股四尺自乘得十六尺勾三尺自
　　　　　乘得九尺相加得二十五尺开方得五
　　　　　尺即为弦也如图甲乙丙勾股形其甲
　　　　　乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾
　　　　　所作乙己庚丙正方形积相并必与甲
　　　　　丙弦所作甲丙壬辛正方形积等试自

　　　　　乙直角过甲丙弦作一乙癸子线则将
　　　　　甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙
　　　　　壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为
　　　　　甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲
　　　　　癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比
　　　　　为连比例三率故甲乙中率所作丁戊
　　　　　乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相
　　　　　等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积
　　　　　相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙

　　　　　与甲丙之比为连比例三率故乙丙中

　　　　　率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率
　　　　　甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子
　　　　　长方形之积相等也一正方所分之二
　　　　　长方既与二正方之积相等则此二正
　　　　　方之积相合与彼一正方之积相等可
　　　　　知矣
设如有勾五尺弦十三尺求股几何
　　　　　法以勾五尺自乘得二十五尺弦十三

　　　　　尺自乘得一百六十九尺相减馀一百
　　　　　四十四尺开方得十二尺即为股也如
　　　　　图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙弦
　　　　　作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形
　　　　　分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其
　　　　　癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙
　　　　　己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方
　　　　　形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形
　　　　　积等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形

　　　　　内减去与乙己庚丙正方形相等之癸

　　　　　丙壬子长方形馀甲癸子辛长方形即
　　　　　与丁戊乙甲正方形之积相等故开方
　　　　　而得甲乙为股也
设如有股二十一尺弦二十九尺求勾几何
　　　　　法以股二十一尺自乘得四百四十一
　　　　　尺弦二十九尺自乘得八百四十一尺
　　　　　相减馀四百尺开方得二十尺即为勾
　　　　　也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲

　　　　　丙弦作一乙癸子线则将甲丙壬辛正
　　　　　方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方
　　　　　形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所
　　　　　作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子
　　　　　长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正
　　　　　方形积等故甲丙弦所作甲丙壬辛正
　　　　　方形内减去与丁戊乙甲正方形相等
　　　　　之甲癸子辛长方形馀癸丙壬子长方
　　　　　形即与乙己庚丙正方形之积相等故

　　　　　开方而得乙丙为勾也

设如有勾六尺股八尺求面积几何
　　　　　法以勾六尺与股八尺相乘得四十八
　　　　　尺折半得二十四尺为面积也如图甲
　　　　　乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乘
　　　　　则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙
　　　　　勾股形正大一倍故折半得勾股积也
　　　　　若有勾弦求面积则用勾弦求股之法
　　　　　得股与勾相乘折半得面积或有股弦

　　　　　求面积则用股弦求勾之法得勾与股
　　　　　相乘折半得面积也
　　　　　又法将勾六尺折半得三尺与股八尺
　　　　　相乘亦得二十四尺为面积也如图甲
　　　　　乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与
　　　　　甲乙股相乘成甲乙丁戊长方形其甲
　　　　　戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之
　　　　　积等如以甲戊己小勾股形移于己丁
　　　　　丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊

　　　　　长方形积与甲乙丙勾股形积相等也

　　勾股形内求中垂线及容方圆等形
设如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角对弦界作
　垂线问得几何
　　　　　法以弦十尺为一率勾六尺为二率股
　　　　　八尺为三率推得四率四尺八寸即为
　　　　　自直角对弦界所作垂线也如图甲乙
　　　　　丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾
　　　　　股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆