钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十一
　　面部一
　　　平方
　　　带纵平方

　　平方
平方者等边四直角之面积也以形而言则为两矩
所合以积而言则为自乘之数因其有广无厚故曰
平方因其纵横相等故曰正方盖方积面也而其边
则线也有线求面则相乘而得积有面求线则开方
而得边开之之法略与归除同但归除有法有实而
开方则有实而无法故古人立为商除廉隅之制以
相求每积二位得边之一位所谓一百一十定无疑

一千三十有零馀九千九百不离十一万方为一百
推是也其法先从一角而剖其幂以自一至九自乘
之数为方根与所有之积相审量其足减者而定之
是为初商初商减尽无馀则方边止一位若有馀实
即初商方积外别成一磬折形其附初商之两旁者
谓之廉两廉之角所合一小方谓之隅廉有二故倍
初商为两廉之共长是为廉法视馀积足廉法几倍
即是次商隅即次商之自乘故次商为隅法合廉隅
而以次商乘之则得两廉一隅之共积所谓初商方

积外别成一磬折形者是也故次商为初商所得方

边之零如次商数与初商馀积相减尚有不尽之实
则又成一磬折形而仍为两廉一隅但较前廉愈长
而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照初商之例逐层递
析之实尽而止实不尽者必非自乘之正数递析之
至于纤尘终有奇零若馀实不足廉隅法之数者则
方边为空位此开方之定法也面形不一而容积皆
以方积为准故平方为算诸面之本诸面必通之方
积而后可施其法也

设如正方面积三十六尺开方问每一边数几何
　　　　　法列方积三十六尺自末位起算每方
　　　　　积二位定方边一位今积止有二位则
　　　　　于六尺上作记定单位以自一至九自
　　　　　乘之方根数与之相审知与六尺自乘
　　　　　之数恰合乃以六尺书于方积六尺之
　　　　　上而以六尺自乘之三十六尺书于方
　　　　　积原数之下相减恰尽即得开方之数
　　　　　为六尺也如图甲乙丙丁正方形每边

　　　　　皆六尺其中函一尺小正方三十六自

　　　　　边计之为六尺自乘之积以积开之则
　　　　　与六尺自乘方根之数相准故商除之
　　　　　恰尽也盖方积为二位是以方边止一
　　　　　位方积即六尺自乘之数故无廉隅之
　　　　　可用次商如有馀积则自成廉隅而用
　　　　　次商矣
设如正方面积一丈四十四尺开方问每一边数几
　何

　　　　　法列方积一丈四十四尺自末位起算
　　　　　每方积二位定方边一位故隔一位作
　　　　　记即于四尺上定尺位一丈上定丈位
　　　　　其一丈为初商积与一丈自乘之数相
　　　　　合即定初商为一丈书于方积一丈之
　　　　　上而以一丈自乘之正方一丈书于初
　　　　　商积之下相减恰尽爰以方边末位积
　　　　　四十四尺续书于下(大凡以馀积续书/于下者每取方积)
　　　　　(之二位以当方/边之一位也)为次商廉隅之共积乃

　　　　　以初商之一丈作一十尺倍之得二十

　　　　　尺为廉法以除四十四尺足二尺即定
　　　　　次商为二尺书于方积四尺之上而以
　　　　　次商二尺为隅法与廉法二十尺相加
　　　　　共得二十二尺为廉隅共法书于馀积
　　　　　之左以次商二尺乘之得四十四尺与
　　　　　次商廉隅共积相减恰尽是开得一丈
　　　　　二尺为方面每一边之数也如图甲乙
　　　　　丙丁正方形每边皆一丈二尺其中函

　　　　　积一丈四十四尺是为共积其从一角
　　　　　所分甲庚己戊正方形每边一丈即初
　　　　　商数其中函正方积一丈即初商自乘
　　　　　数所馀庚己壬乙戊己辛丁两长方为
　　　　　两廉其各长十尺即初商数其各阔二
　　　　　尺即次商数廉有二故倍初商为廉法
　　　　　其己壬丙辛一小正方为隅其边二尺
　　　　　亦即次商数故以次商为隅法合两廉
　　　　　一隅成一磬折形附于初商自乘方之

　　　　　两边而成一总正方形此廉隅之法所

　　　　　由生也
设如正方面积五百二十九尺开方问每一边数几
　何(此题正方面积之三位皆以尺命位似与前题/分丈尺者不同然其取方积二位续书于下其)
　(末位即命为单位立/算则与丈尺同也)
　　　　　法列方积五百二十九尺自末位起算
　　　　　每方积二位定方边一位故隔一位作
　　　　　记乃于九尺上定单位五百尺上定十
　　　　　位其五百尺为初商积以初商本位计

　　　　　之则五百尺为初商积之单位止与二
　　　　　自乘之数相准即定初商为二书于方
　　　　　积五百尺之上而以二自乘之四书于
　　　　　初商积之下相减馀一百尺爰以方边
　　　　　第二位积二十九尺续书于下共一百
　　　　　二十九尺为次商廉隅之共积乃以初
　　　　　商之二作二十尺倍之得四十尺为廉
　　　　　法以除一百二十九尺足三尺即定次
　　　　　商为三尺书于方积九尺之上而以次

　　　　　商三尺为隅法与廉法四十尺相加共

　　　　　得四十三尺为廉隅共法书于馀积之
　　　　　左以次商三尺乘之得一百二十九尺
　　　　　与次商廉隅共积相减恰尽是开得二
　　　　　十三尺为方面每一边之数也如图甲
　　　　　乙丙丁正方形每边皆二十三尺其中
　　　　　函积五百二十九尺是为共积其从一
　　　　　角所分甲庚己戊正方形每边二十尺
　　　　　即初商数其中函积四百尺即初商自

　　　　　乘数所馀庚己壬乙戊己辛丁两长方
　　　　　为两廉其各长二十尺即初商数其各
　　　　　阔三尺即次商数其己壬丙辛一小正
　　　　　方为隅其边三尺亦即次商数合两廉
　　　　　一隅成一磬折形附于初商自乘方之
　　　　　两边而成一总正方形也
设如正方面积五丈四十七尺五十六寸开方问每
　一边数几何
　　　　　法列方积五丈四十七尺五十六寸自

　　　　　末位起算每方积二位定方边一位故

　　　　　隔一位作记即于六寸上定寸位七尺
　　　　　上定尺位五丈上定丈位其五丈为初
　　　　　商积与二丈自乘之数相准即定初商
　　　　　为二丈书于方积五丈之上而以二丈
　　　　　自乘之四丈书于初商积之下相减馀
　　　　　一丈即一百尺爰以方边第二位积四
　　　　　十七尺续书于下共一百四十七尺为
　　　　　次商廉隅之共积乃以初商之二丈作

　　　　　二十尺倍之得四十尺为廉法以除一
　　　　　百四十七尺足三尺即定次商为三尺
　　　　　书于方积七尺之上而以次商三尺为
　　　　　隅法与廉法四十尺相加共得四十三
　　　　　尺为廉隅共法书于馀积之左以次商
　　　　　三尺乘之得一百二十九尺与次商廉
　　　　　隅共积相减馀一十八尺即一千八百
　　　　　寸复以方边末位积五十六寸续书于
　　　　　下共一千八百五十六寸为三商廉隅

　　　　　之共积乃以初商次商之二丈三尺作

　　　　　二百三十寸倍之得四百六十寸为廉
　　　　　法以除一千八百五十六寸足四寸即
　　　　　定三商为四寸书于方积六寸之上而
　　　　　以三商四寸为隅法与廉法四百六十
　　　　　寸相加共得四百六十四寸为廉隅共
　　　　　法书于馀积之左以三商四寸乘之得
　　　　　一千八百五十六寸与三商廉隅共积
　　　　　相减恰尽是开得二丈三尺四寸为方

　　　　　面每一边之数也
设如正方面积四十五万九千六百八十四尺开方
　问每一边数几何(此题正方面积之六位皆以尺/命位似与前题分丈尺寸三色)
　(者不同然其每取方积二位续书于下其/末位即命为单位立算仍与丈尺寸同也)
　　　　　法列方积四十五万九千六百八十四
　　　　　尺自末位起算每方积二位定方边一
　　　　　位故隔一位作记乃于四尺上定单位
　　　　　六百尺上定十位五万尺上定百位其
　　　　　四十五万尺为初商积以初商本位计

　　　　　之则五万尺为初商积之单位而四十

　　　　　五万尺为四十五与六自乘之数相准
　　　　　即定初商为六书于方积五万尺之上
　　　　　而以六自乘之三十六书于初商积之
　　　　　下相减馀九万尺爰以方边第二位积
　　　　　九千六百尺续书于下共九万九千六
　　　　　百尺为次商廉隅之共积以次商本位
　　　　　计之则六百尺为次商积之单位而九
　　　　　万九千六百尺为九百九十六而初商

　　　　　之六即为六十故以初商之六作六十
　　　　　倍之得一百二十为廉法以除九百九
　　　　　十六足七倍即定次商为七书于方积
　　　　　六百尺之上而以次商七为隅法与廉
　　　　　法一百二十相加共得一百二十七为
　　　　　廉隅共法书于馀积之左以次商七乘
　　　　　之得八百八十九与次商廉隅共积相
　　　　　减馀一万零七百尺复以方边末位积
　　　　　八十四尺续书于下共一万零七百八

　　　　　十四尺为三商廉隅之共积以三商本

　　　　　位计之则积与边皆仍为本位乃以初
　　　　　商次商之六百七十倍之得一千三百
　　　　　四十为廉法以除一万零七百八十四
　　　　　足八倍即定三商为八书于方积四尺
　　　　　之上而以三商八为隅法与廉法一千
　　　　　三百四十相加共得一千三百四十八
　　　　　为廉隅共法书于馀积之左以三商八
　　　　　乘之得一万零七百八十四与三商廉

　　　　　隅共积相减恰尽是开得六百七十八
　　　　　尺为方面每一边之数也
设如正方面积三十五丈九十一尺六十寸四十九
　分开方问每一边数几何
　　　　　法列方积三十五丈九十一尺六十寸
　　　　　四十九分自末位起算每隔一位作记
　　　　　即于九分上定分位空寸上定寸位一
　　　　　尺上定尺位五丈上定丈位其三十五
　　　　　丈为初商积与五丈自乘之数相准即

　　　　　定初商为五丈书于方积五丈之上而

　　　　　以五丈自乘之二十五丈书于初商积
　　　　　之下相减馀一十丈即一千尺爰以方
　　　　　边第二位积九十一尺续书于下共一
　　　　　千零九十一尺为次商廉隅之共积乃
　　　　　以初商五丈作五十尺倍之得一百尺
　　　　　为廉法以除一千零九十一尺足九尺
　　　　　即定次商为九尺书于方积一丈之上
　　　　　而以次商九尺为隅法与廉法一百尺

　　　　　相加共得一百零九尺为廉隅共法书
　　　　　于馀积之左以次商九尺乘之得九百
　　　　　八十一尺与次商廉隅共积相减馀一
　　　　　百一十尺即一万一千寸复以方边第
　　　　　三位积六十寸续书于下共一万一千
　　　　　零六十寸为三商廉隅之共积乃以初
　　　　　商次商之五丈九尺作五百九十寸倍
　　　　　之得一千一百八十寸为廉法以除一
　　　　　万一千零六十寸足九寸即定三商为

　　　　　九寸书于方积空寸之上而以三商九

　　　　　寸为隅法与廉法一千一百八十寸相
　　　　　加共得一千一百八十九寸为廉隅共
　　　　　法书于馀积之左以三商九寸乘之得
　　　　　一万零七百零一寸与三商廉隅共积
　　　　　相减馀三百五十九寸即三万五千九
　　　　　百分复以方边末位积四十九分续书
　　　　　于下共三万五千九百四十九分为四
　　　　　商廉隅之共积乃以初商次商三商之

　　　　　五丈九尺九寸作五千九百九十分倍
　　　　　之得一万一千九百八十分为廉法以
　　　　　除三万五千九百四十九分足三分即
　　　　　定四商为三分书于方积九分之上而
　　　　　以四商三分为隅法与廉法一万一千
　　　　　九百八十分相加共得一万一千九百
　　　　　八十三分为廉隅共法书于馀积之左
　　　　　以四商三分乘之得三万五千九百四
　　　　　十九分与四商廉隅共积相减恰尽是

　　　　　开得五丈九尺九寸三分为方面每一

　　　　　边之数也
设如正方面积五百八十五万六千四百尺开方问
　每一边数几何
　　　　　法列方积五百八十五万六千四百尺
　　　　　补二空位以足其分自末空位起算每
　　　　　隔一位作记于空尺上定单位四百尺
　　　　　上定十位五万尺上定百位五百万尺
　　　　　上定千位其五百万尺为初商积以初

　　　　　商本位计之则五百万尺为初商积之
　　　　　单位止与二自乘之数相准即定初商
　　　　　为二书于方积五百万尺之上而以二
　　　　　自乘之四书于初商积之下相减馀一
　　　　　百万尺爰以方边第二位积八十五万
　　　　　尺续书于下共一百八十五万尺为次
　　　　　商廉隅之共积以次商本位计之则五
　　　　　万尺为次商积之单位而一百八十五
　　　　　万尺为一百八十五而初商之二即为

　　　　　二十故以初商之二作二十倍之得四

　　　　　十为廉法以除一百八十五足四倍即
　　　　　定次商为四书于方积五万尺之上而
　　　　　以次商四为隅法与廉法四十相加共
　　　　　得四十四为廉隅共法书于馀积之左
　　　　　以次商四乘之得一百七十六与次商
　　　　　廉隅共积相减馀九万尺复以方边第
　　　　　三位积六千四百尺续书于下共九万
　　　　　六千四百尺为三商廉隅之共积以三

　　　　　商本位计之则四百为三商积之单位
　　　　　而九万六千四百尺为九百六十四而
　　　　　初商之二即为二百次商之四即为四
　　　　　十故以初商次商之二四作二百四十
　　　　　倍之得四百八十为廉法以除九百六
　　　　　十四足二倍即定三商为二书于方积
　　　　　四百尺之上而以三商二为隅法与廉
　　　　　法四百八十相加共得四百八十二为
　　　　　廉隅共法书于馀积之左以三商二乘

　　　　　之得九百六十四与三商廉隅共积相

　　　　　减恰尽是开得二千四百二十尺为方
　　　　　面每一边之数也此法方积之末有二
　　　　　空位故所得方边之末亦补一空位凡
　　　　　设数未至单位者皆依此例补足位分
　　　　　然后开之
设如正方面积八十二丈六十二尺八十一寸开方
　问每一边数几何
　　　　　法列方积八十二丈六十二尺八十一

　　　　　寸自末位起算每隔一位作记于一寸
　　　　　上定寸位于二尺上定尺位于二丈上
　　　　　定丈位其八十二丈为初商积与九丈
　　　　　自乘之数相准即定初商为九丈书于
　　　　　方积二丈之上而以九丈自乘之八十
　　　　　一丈书于方积八十二丈之下相减馀
　　　　　一丈即一百尺爰以方边第二位积六
　　　　　十二尺续书于下共一百六十二尺为
　　　　　次商廉隅之共积乃以初商九丈作九

　　　　　十尺倍之得一百八十尺为廉法以除

　　　　　一百六十二尺其数不足是次商为空
　　　　　位也乃书一空于方积二尺之上以存
　　　　　次商之位复以方边末位积八十一寸
　　　　　续书于下共一百六十二尺八十一寸
　　　　　即一万六千二百八十一寸为三商廉
　　　　　隅之共积仍以一百八十尺作一千八
　　　　　百寸为廉法以除一万六千二百八十
　　　　　一寸足九寸即定三商为九寸书于方

　　　　　积一寸之上而以三商九寸为隅法与
　　　　　廉法一千八百寸相加共得一千八百
　　　　　零九寸为廉隅共法书于馀积之左而
　　　　　以三商九寸乘之得一万六千二百八
　　　　　十一寸与三商廉隅共积相减恰尽是
　　　　　开得九丈零九寸为方面每一边之数
　　　　　也此法方积无空位而商出之方边有
　　　　　空位凡廉法除馀积而数不足者皆依
　　　　　此例推之

设如正方面积六千四百一十一万二千零四十九

　尺开方问每一边数几何
　　　　　法列方积六千四百一十一万二千零
　　　　　四十九尺自末位起算每隔一位作记
　　　　　于九尺上定单位空百尺上定十位一
　　　　　万尺上定百位四百万尺上定千位其
　　　　　六千四百万尺为初商积以初商本位
　　　　　计之则四百万为初商积之单位而六
　　　　　千四百万为六千四与八自乘之数相

　　　　　合即定初商为八书于方积四百万尺
　　　　　之上而以八自乘之六十四书于初商
　　　　　积之下相减无馀爰以方边第二位积
　　　　　一十一万尺续书于下为次商廉隅之
　　　　　共积以次商本位计之则一万尺为次
　　　　　商积之单位而一十一万尺为一十一
　　　　　而初商之八即为八十故以初商之八
　　　　　作八十倍之得一百六十为廉法以除
　　　　　一十一其数不足是次商为空位乃书

　　　　　一空于方积一万尺之上以存次商之

　　　　　位复以方边第三位积二千尺续书于
　　　　　下共一十一万二千尺为三商廉隅之
　　　　　共积以三商本位计之则空百尺为三
　　　　　商积之单位而一十一万二千尺为一
　　　　　千一百二十尺而初商之八即为八百
　　　　　次商之空即为空十故以初商次商之
　　　　　八空作八百倍之得一千六百为廉法
　　　　　以除一千一百二十其数仍不足是三

　　　　　商之为空位乃再书一空于方积空百
　　　　　尺之上以存三商之位复以方边末位
　　　　　积四十九尺续书于下共一十一万二
　　　　　千零四十九尺为四商廉隅之共积以
　　　　　四商本位计之则积与边皆仍为本位
　　　　　乃以初商次商三商之八千倍之得一
　　　　　万六千为廉法以除一十一万二千零
　　　　　四十九足七倍即定四商为七书于方
　　　　　积九尺之上而以四商七为隅法与廉

　　　　　法一万六千相加共得一万六千零七

　　　　　为廉隅共法书于馀积之左而以四商
　　　　　七乘之得一十一万二千零四十九与
　　　　　馀积相减恰尽是开得八千零七尺为
　　　　　方面每一边之数也此法方积中虽有
　　　　　一空位而商出之方边却有二空位凡
　　　　　开方遇此类者皆依此例推之
设如有积一万四千九百二十八尺开方问每一边
　数几何

　　　　　法列积一万四千九百二十八尺自末
　　　　　位起算每隔一位作记于八尺上定单
　　　　　位九百尺上定十位一万尺上定百位
　　　　　其一万尺为初商积以初商本位计之
　　　　　则一万尺为初商积之单位止与一自
　　　　　乘之数相合即定初商为一书于方积
　　　　　一万尺之上而以一自乘之一书于初
　　　　　商积之下相减无馀爰以方边第二位
　　　　　积四千九百尺续书于下为次商廉隅

　　　　　之共积以次商本位计之则九百尺为

　　　　　次商积之单位而四千九百尺为四十
　　　　　九而初商之一即为一十故以初商之
　　　　　一作一十倍之得二十为廉法以除四
　　　　　十九足二倍即定次商为二书于方积
　　　　　九百尺之上而以次商二为隅法与廉
　　　　　法二十相加共得二十二为廉隅共法
　　　　　书于馀积之左以次商二乘之得四十
　　　　　四与次商廉隅共积相减馀五百尺复

　　　　　以方边末位积二十八尺续书于下共
　　　　　五百二十八尺为三商廉隅之共积以
　　　　　三商本位计之则积与边皆仍为本位
　　　　　乃以初商次商之一百二十俱倍之得
　　　　　二百四十为廉法以除五百二十八足
　　　　　二倍即定三商为二书于方积八尺之
　　　　　上而以三商二为隅法与廉法二百四
　　　　　十相加共得二百四十二为廉隅共法
　　　　　书于馀积之左以三商二乘之得四百

　　　　　八十四与三商廉隅共积相减馀四十

　　　　　四尺不尽是开得一百二十二尺为方
　　　　　面每一边之数仍馀四十四尺不尽也
　　　　　如欲以馀数再开则得方边之寸数乃
　　　　　增书两空于总积之后复续书两空于
　　　　　四十四尺之后为几十几寸之位是则
　　　　　四十四尺作四千四百寸为四商廉隅
　　　　　之共积爰以初商次商三商之一百二
　　　　　十二尺作一千二百二十寸倍之得二

　　　　　千四百四十寸为廉法以除四千四百
　　　　　寸足一倍即定四商为一寸书于馀积
　　　　　空寸之上而以四商一为隅法与廉法
　　　　　二千四百四十寸相加共得二千四百
　　　　　四十一寸为廉隅共法书于馀积之左
　　　　　以四商一寸乘之仍得二千四百四十
　　　　　一寸与馀积相减馀一千九百五十九
　　　　　寸不尽如再以馀数开之则得方边之
　　　　　分数乃又续书两空于后增空十空寸

　　　　　之后复续书两空于五十九寸之后为

　　　　　几十几分之位是则一千九百五十九
　　　　　寸作一十九万五千九百分为五商廉
　　　　　隅之共积爰以初商次商三商四商之
　　　　　一百二十二尺一寸作一万二千二百
　　　　　一十分倍之得二万四千四百二十分
　　　　　为廉法以除一十九万五千九百分足
　　　　　八倍即定五商为八分书于馀积空分
　　　　　之上而以五商八为隅法与廉法二万

　　　　　四千四百二十分相加共得二万四千
　　　　　四百二十八分为廉隅共法书于馀积
　　　　　之左以五商八分乘之得一十九万五
　　　　　千四百二十四分与馀积相减仍馀四
　　　　　百七十六分不尽是开得一百二十二
　　　　　尺一寸八分为方面每一边之数也此
　　　　　法原积本非自乘所得之数虽递析之
　　　　　终不能尽凡开方遇此类者皆依此例
　　　　　推之

设如有一方台上面共铺方砖四千零九十六块问

　每一边得砖几何
　　　　　法列方砖四千零九十六块为方积于
　　　　　六块上定单位空百块上定十位其四
　　　　　千块为初商积以初商本位计之则空
　　　　　百块为初商积之单位而四千块为四
　　　　　十与六自乘之数相准即定初商为六
　　　　　书于方积空百块之上而以六自乘之
　　　　　三十六书于初商积之下相减馀四百

　　　　　块爰以馀积九十六块续书于下共四
　　　　　百九十六块为次商廉隅之共积而以
　　　　　初商六作六十倍之得一百二十为廉
　　　　　法以除四百九十六足四倍即定次商
　　　　　为四书于方积六块之上而以次商四
　　　　　为隅法与廉法一百二十相加共得一
　　　　　百二十四为廉隅共法书于馀积之左
　　　　　以次商四乘之得四百九十六与馀积
　　　　　相减恰尽是开得六十四块为方台上

　　　　　面每一边之砖数也

设如有三百六十一人用船分载其每船所载人数
　与共船数相等问共船几何
　　　　　法列三百六十一人为方积于一人上
　　　　　定单位三百人上定十位其三百人为
　　　　　初商积以初商本位计之则三百为初
　　　　　商积之单位止与一自乘之数相准即
　　　　　定初商为一书于方积三百之上而以
　　　　　一自乘之一书于初商积之下相减馀

　　　　　二百爰以馀积六十一续书于下共二
　　　　　百六十一为次商廉隅之共积而以初
　　　　　商一作一十倍之得二十为廉法以除
　　　　　二百六十一足九倍即定次商为九书
　　　　　于方积一人之上而以次商九为隅法
　　　　　与廉法二十相加共得二十九为廉隅
　　　　　共法书于馀积之左以次商九乘之得
　　　　　二百六十一与馀积相减恰尽是开得
　　　　　十九为共船数而每船载十九人也

设如有银七百八十四两散给夫匠其每人所得银

　数与其人数相等问共人数几何
　　　　　法列七百八十四两为方积于四两上
　　　　　定单位七百两上定十位其七百两为
　　　　　初商积以初商本位计之则七百为初
　　　　　商积之单位止与二自乘之数相准即
　　　　　定初商为二书于方积七百之上而以
　　　　　二自乘之四书于初商积之下相减馀
　　　　　三百爰以馀积八十四续书于下共三

　　　　　百八十四为次商廉隅之共积而以初
　　　　　商二作二十倍之得四十为廉法以除
　　　　　三百八十四足八倍即定次商为八书
　　　　　于方积四两之上而以次商八为隅法
　　　　　与廉法四十相加共得四十八为廉隅
　　　　　共法书于馀积之左以次商八乘之得
　　　　　三百八十四与馀积相减恰尽是开得
　　　　　二十八为共人数而每人得银二十八
　　　　　两也

设如用船运粮六千五百六十一石欲取一船别用

　将此船米分载各船每船领去一石其本船尚馀
　一石问共船几何
　　　　　法列米六千五百六十一石为方积于
　　　　　一石上定单位五百石上定十位其六
　　　　　千五百石为初商积以初商本位计之
　　　　　则五百石为初商积之单位而六千五
　　　　　百为六十五与八自乘之数相准即定
　　　　　初商为八书于方积五百之上而以八

　　　　　自乘之六十四书于初商积之下相减
　　　　　馀一百爰以馀积六十一续书于下共
　　　　　一百六十一为次商廉隅之共积而以
　　　　　初商八作八十倍之得一百六十为廉
　　　　　法以除一百六十一足一倍即定次商
　　　　　为一书于方积一石之上而以次商一
　　　　　为隅法与廉法一百六十相加共得一
　　　　　百六十一为廉隅共法书于馀积之左
　　　　　以次商一乘之仍得一百六十一与馀

　　　　　积相减恰尽是开得八十一为共船数

　　　　　而每船载米八十一石也此法盖因一
　　　　　船所载之米分与各船每船各领一石
　　　　　即共去八十石故本船尚馀一石也
设如有钱一万五千六百二十五文买瓜每瓜一个
　与脚钱一文因无现钱将一瓜准作脚钱问瓜数
　几何
　　　　　法列钱一万五千六百二十五为方积
　　　　　于五文上定单位六百上定十位一万

　　　　　上定百位其一万为初商积以初商本
　　　　　位计之则一万为初商积之单位止与
　　　　　一自乘之数相合即定初商为一书于
　　　　　方积一万之上而以一自乘之一书于
　　　　　初商积之下相减无馀爰以第二位积
　　　　　五千六百续书于下为次商廉隅之共
　　　　　积以次商本位计之则六百为次商积
　　　　　之单位而五千六百为五十六而初商
　　　　　之一即为一十故以初商之一作一十

　　　　　倍之得二十为廉法以除五十六足二

　　　　　倍即定次商为二书于方积六百之上
　　　　　而以次商二为隅法与廉法二十相加
　　　　　共得二十二为廉隅共法书于馀积之
　　　　　左以次商二乘之得四十四与次商廉
　　　　　隅共积相减馀一千二百复以末位积
　　　　　二十五续书于下共一千二百二十五
　　　　　为三商廉隅之共积以三商本位计之
　　　　　则积与边皆仍为本位乃以初商次商

　　　　　之一百二十俱倍之得二百四十为廉
　　　　　法以除一千二百二十五足五倍即定
　　　　　三商为五书于方积五文之上而以三
　　　　　商五为隅法与廉法二百四十相加共
　　　　　得二百四十五为廉隅共法书于馀积
　　　　　之左以三商五乘之得一千二百二十
　　　　　五与馀积相减恰尽是开得一百二十
　　　　　五为共瓜之数亦即每瓜之价也此法
　　　　　因每瓜应给脚钱一文今以一瓜准之

　　　　　即知一瓜之价与瓜之共数相等故以

　　　　　开方法算之而得也

　　带纵平方
带纵平方者两等边直角长方面积也有积数因长
比阔之较或长与阔之和而得边故曰带纵盖正方
之纵横皆同故止有积即可得其边若长方则纵横
不等知其积又必知其纵横相差之较或纵横相并
之和始能得其边故以长阔之较为问者则皆较为
带纵加所开之数商除之而得阔或四因积数加较
自乘平方开之即长阔之和和加较半之而得长和

减较半之而得阔或半较自乘加原积而开平方即
得半和加半较而得长减半较而得阔如以长阔之
和为问者则用和为带纵减去所开之数商除之而
得阔或四因积数减和自乘平方开之即长阔之较
较减和半之而得阔较加和半之而得长或半和自
乘减原积而开平方即得半较加半和而得长减半
和而得阔夫用半较半和之法与四因积数之法同
出一理盖四因积数加全较自乘故开方而得全和
半较自乘加原积故开方而得半和四因积数减全

和自乘故开方而得全较半和自乘减原积故开方

而得半较此即面与线之比例面加四倍而边加一
倍边得其半而积为四分之一也法虽不一要之皆
使归于正方以求其和较是则虽曰带纵仍不外乎
平方之理也
设如有长方面积八尺纵多二尺问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之积八尺止可
　　　　　商二尺乃以二尺书于原积八尺之上
　　　　　而以所商二尺加纵多二尺得四尺以

　　　　　所商二尺乘之得八尺书于原积之下
　　　　　相减恰尽即知长方之阔得二尺加入
　　　　　纵多二尺得四尺即为长方之长也如
　　　　　图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙
　　　　　边长四尺甲丁边阔二尺其甲乙长比
　　　　　甲丁阔所多戊乙即纵多之数初商所
　　　　　得二尺即甲戊己丁正方之每一边盖
　　　　　因此法长阔两边俱止一位而积亦止
　　　　　一位故初商所得即为一边而加入纵

　　　　　多即又一边是以两边相乘而与原积

　　　　　相等也
　　　　　又法以积八尺用四因之得三十二尺
　　　　　而以纵多二尺自乘得四尺加八四因
　　　　　之数得三十六尺开方得六尺即为长
　　　　　阔相和之数乃以纵多二尺与长阔之
　　　　　和六尺相加得八尺折半得四尺即长
　　　　　方之长减纵多二尺得二尺即长方之
　　　　　阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺

　　　　　四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸
　　　　　己子丁丑壬四长方形回环相凑成一
　　　　　空心正方式再加入纵多二尺自乘之
　　　　　丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛
　　　　　子之一大正方形其甲戊类每一边即
　　　　　长阔之和故开方得长阔之和既得和
　　　　　加纵多是为倍长故折半而得长减纵
　　　　　多则为倍阔故折半而得阔或得长而
　　　　　减纵多亦得阔也

　　　　　又法先将纵多二尺折半得一尺为半

　　　　　较自乘仍得一尺与原积八尺相加得
　　　　　九尺平方开之得三尺为半和于半和
　　　　　减半较得二尺为阔于半和加半较得
　　　　　四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙
　　　　　为长甲丁为阔戊乙为纵多之较将较
　　　　　折半于庚而移庚乙丙辛置于丁己癸
　　　　　壬再加己辛子癸半较自乘之方则成
　　　　　甲庚子壬一正方形故开方而得甲庚

　　　　　甲壬之边皆为半和也于甲壬之半和
　　　　　减丁壬之半较得甲丁之阔于甲庚之
　　　　　半和加庚乙之半较得甲乙之长也又
　　　　　图甲乙丙丁长方形容积八尺将甲丁
　　　　　边引长作丁辛与丁丙等则甲辛为长
　　　　　阔之和又如甲乙边截甲丁于庚则庚
　　　　　丁为长阔之较甲辛和折半于己而庚
　　　　　丁较亦折半于己故以己为心甲为界
　　　　　作一半圜而引丙丁边至戊界作一戊

　　　　　丁直线戊巳辐线则甲巳戊己巳辛皆

　　　　　为半和而庚己己丁皆为半较且甲丁
　　　　　戊丁丁辛又为连比例之三线矣其戊
　　　　　丁中率自乘之方与甲丁首率丁辛末
　　　　　率相乘之长方等(见几何原本/九卷第三节)则是戊
　　　　　丁自乘之方与原设甲乙丙丁长方之
　　　　　积等也又戊丁巳为勾股形其戊丁边
　　　　　自乘之方与己丁边自乘之方相并而
　　　　　与戊巳自乘之方等(见几何原本/九卷第四节)故与

　　　　　原设甲乙丙丁长方积等之戊丁自乘
　　　　　之方加以己丁半较自乘之数开方而
　　　　　得戊巳为半和于戊巳相等之己辛半
　　　　　和减己丁半较而得丁辛与丁丙等之
　　　　　阔又与戊巳相等之甲巳半和加己丁
　　　　　半较而得甲丁之长也
设如有长方面积一千二百五十四尺纵多五尺问
　长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其一千二百

　　　　　为初商积可商三十尺乃以三十尺书

　　　　　于原积二十尺之上而以初商三十尺
　　　　　加纵多五尺得三十五尺以初商三十
　　　　　尺乘之得一千零五十尺书于原积之
　　　　　下相减馀二百零四尺为次商廉隅之
　　　　　共积乃以初商三十尺倍之得六十尺
　　　　　加纵多五尺得六十五尺为廉法以除
　　　　　二百零四尺足三尺则以三尺书于原
　　　　　积四尺之上而以廉法六十五尺加隅

　　　　　法三尺得六十八尺为廉隅共法以次
　　　　　商三尺乘之得二百零四尺书于馀积
　　　　　之下与馀积相减恰尽即知长方之阔
　　　　　得三十三尺加纵多五尺得三十八尺
　　　　　即为长方之长也如图甲乙丙丁长方
　　　　　形容积一千二百五十四尺其甲乙边
　　　　　长三十八尺甲丁边阔三十三尺其甲
　　　　　乙长比甲丁阔所多之甲辛即纵多之
　　　　　数其甲戊己庚长方形容积一千零五

　　　　　十尺即初商所减之积其辛壬与辛戊

　　　　　俱三十尺即初商数其甲戊三十五尺
　　　　　即初商加纵多之数其戊乙丑己壬己
　　　　　子癸两长方为两方廉庚壬癸丁小长
　　　　　方为纵廉方廉有二纵廉止一故倍初
　　　　　商加纵多数为廉法其己丑丙子为隅
　　　　　其长阔皆与次商等故以次商为隅法
　　　　　合两方廉一纵廉一小隅成一磬折形
　　　　　环附初商长方之两傍成一大长方与

　　　　　平方之理无异若次商仍减积不尽则
　　　　　又为两方廉一纵廉一小隅复成一磬
　　　　　折形得三商四商以至多商皆依此法
　　　　　递析开之
　　　　　又法以积一千二百五十四尺用四因
　　　　　之得五千零一十六尺而以纵多五尺
　　　　　自乘得二十五尺加入四因之数得五
　　　　　千零四十一尺开方得七十一尺即为
　　　　　长阔相和之数乃以纵多五尺与长阔

　　　　　之和七十一尺相加得七十六尺折半

　　　　　得三十八尺即长方之长减纵多五尺
　　　　　即长方之阔也
　　　　　又法先将纵多五尺折半得二尺五寸
　　　　　为半较自乘得六尺二十五寸与原积
　　　　　一千二百五十四尺相加得一千二百
　　　　　六十尺二十五寸开方得三十五尺五
　　　　　寸为半和于半和减半较得三十三尺
　　　　　为阔于半和加半较得三十八尺为长

　　　　　也
设如有长方面积一十八万一千四百六十丈纵多
　八丈问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其一十八万
　　　　　丈为初商积可商四百丈乃以四百丈
　　　　　书于原积八万丈之上而以初商四百
　　　　　丈加纵多八丈得四百零八丈以初商
　　　　　四百丈乘之得一十六万三千二百丈
　　　　　书于原积之下相减馀一万八千二百

　　　　　六十丈为次商廉隅之共积乃以初商

　　　　　四百丈倍之得八百丈加纵多八丈得
　　　　　八百零八丈为廉法以除一万八千二
　　　　　百六十丈足二十丈则以二十丈书于
　　　　　原积四百丈之上而以廉法八百零八
　　　　　丈加隅法二十丈得八百二十八丈为
　　　　　廉隅共法以次商二十丈乘之得一万
　　　　　六千五百六十丈书于馀积之下与馀
　　　　　积相减馀一千七百丈为三商廉隅之

　　　　　共积乃以初商次商之二百四十丈俱
　　　　　倍之得八百四十丈加纵多八丈得八
　　　　　百四十八丈为廉法以除一千七百丈
　　　　　足二丈则以二丈书于原积空丈之上
　　　　　而以廉法八百四十八丈加隅法二丈
　　　　　得八百五十丈为廉隅共法以三商二
　　　　　丈乘之得一千七百丈书于馀积之下
　　　　　与馀积相减恰尽即知长方之阔得四
　　　　　百二十二丈加纵多八丈得四百三十

　　　　　丈即为长方之长也

　　　　　又法以纵多八丈折半得四丈为半较
　　　　　自乘得十六丈与原积一十八万一千
　　　　　四百六十丈相加得一十八万一千四
　　　　　百七十六丈开方得四百二十六丈为
　　　　　半和于半和减半较得四百二十二丈
　　　　　为阔于半和加半较得四百三十丈为
　　　　　长也
设如有长方面积四万五千二百九十六尺纵多一

　百四十六尺问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其四万尺为
　　　　　初商积可商二百尺加纵多一百四十
　　　　　六尺得三百四十六尺以所商二百尺
　　　　　乘之得六万九千二百尺大于原积是
　　　　　初商不可商二百尺也乃改商一百尺
　　　　　书于原积四万尺之上而以所商一百
　　　　　尺加纵多一百四十六尺得二百四十
　　　　　六尺以初商一百尺乘之得二万四千

　　　　　六百尺书于原积之下相减馀二万零

　　　　　六百九十六尺为次商廉隅之共积乃
　　　　　以初商一百尺倍之得二百尺加纵多
　　　　　一百四十六尺得三百四十六尺为廉
　　　　　法以除二万零六百九十六尺足五十
　　　　　尺则以五十尺书于原积二百尺之上
　　　　　而以廉法三百四十六尺加隅法五十
　　　　　尺得三百九十六尺为廉隅共法以次
　　　　　商五十尺乘之得一万九千八百尺书

　　　　　于馀积之下与馀积相减馀八百九十
　　　　　六尺为三商廉隅之共积乃以初商次
　　　　　商之一百五十尺倍之得三百尺加纵
　　　　　多一百四十六尺得四百四十六尺为
　　　　　廉法以除八百九十六尺足二尺则以
　　　　　二尺书于原积六尺之上而以廉法四
　　　　　百四十六尺加隅法二尺得四百四十
　　　　　八尺为廉隅共法以三商二尺乘之得
　　　　　八百九十六尺书于馀积之下与馀积

　　　　　相减恰尽即知长方之阔得一百五十

　　　　　二尺加纵多一百四十六尺得二百九
　　　　　十八尺即为长方之长也此法原积初
　　　　　商应得二百尺因加纵多相乘得数大
　　　　　于原积故改商一百尺始合凡开带纵
　　　　　方遇此类者皆依此例推之
　　　　　又法加纵多一百四十六尺折半得七
　　　　　十三尺为半较自乘得五千三百二十
　　　　　九尺与原积四万五千二百九十六尺

　　　　　相加得五万零六百二十五尺开方得
　　　　　二百二十五尺为半和于半和减半较
　　　　　得一百五十二尺为阔于半和加半较
　　　　　得二百九十八尺为长也
设如有长方面积一万六千一百二十八尺纵多七
　十二尺问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其一万为初
　　　　　商积可商一百尺加纵多七十二尺得
　　　　　一百七十二尺以初商一百尺乘之得

　　　　　一万七千二百尺大于原积是初商不

　　　　　可商一百尺也乃改商九十尺书于原
　　　　　积一百尺之上而以所商九十尺加纵
　　　　　多七十二尺得一百六十二尺以所商
　　　　　九十尺乘之得一万四千五百八十尺
　　　　　书于原积之下相减馀一千五百四十
　　　　　八尺为次商廉隅之共积乃以初商九
　　　　　十尺倍之得一百八十尺加纵多七十
　　　　　二尺得二百五十二尺为廉法以除一

　　　　　千五百四十八尺足六尺则以六尺书
　　　　　于原积八尺之上而以廉法二百五十
　　　　　二尺加隅法六尺得二百五十八尺为
　　　　　廉隅共法以次商六尺乘之得一千五
　　　　　百四十八尺书于馀积之下与馀积相
　　　　　减恰尽即知长方之阔为九十六尺加
　　　　　纵多七十二尺得一百六十八尺即长
　　　　　方之长也此法原积初商应得一百尺
　　　　　因加纵多相乘得数大于原积故改商

　　　　　九十尺而原积一万尺之上应开百位

　　　　　者空其位而不计也或纵多太大过于
　　　　　初商所得之数则用四因积数之法或
　　　　　用纵多折半之法设例在后
设如有长方面积三万四千五百六十九尺纵多三
　千八百三十二尺问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其三万尺为
　　　　　初商积应商一百尺而纵多数为三千
　　　　　转大如初商数凡遇此类则用四因积

　　　　　数加较自乘开方法之或用半较自乘
　　　　　加于原积开方之法为明白简易也故
　　　　　以纵多三千八百三十二尺折半得一
　　　　　千九百一十六尺为半较自乘得三百
　　　　　六十七万一千零五十六尺与原积三
　　　　　万四千五百六十九尺相加得三百七
　　　　　十万五千六百二十五尺开方得一千
　　　　　九百二十五尺为半和于半和减半较
　　　　　得九尺为阔于半和加半较得三千八

　　　　　百四十一尺为长也

设如有月台一座共用方砖一千九百二十块其长
　比阔多八块问长阔两面各用砖几何
　　　　　法以长比阔多八块折半得四块为半
　　　　　较自乘得十六块与积数一千九百二
　　　　　十块相加得一千九百三十六块开方
　　　　　得四十四块为半和于半和四十四块
　　　　　减半较得四十块为阔面砖数于半和
　　　　　加半较得四十八块为长面砖数也

设如有银三百六十两赏人其人数比每人所得银
　数为五分之二问人数及每人所得银数各几何
　　　　　法先用比例分其总银数以五分为一
　　　　　率二分为二率三百六十两为三率得
　　　　　四率一百四十四两开方得十二为人
　　　　　数以人数除共银数三百六十两得三
　　　　　十两为每人所得之银数也此法以人
　　　　　数为阔其每人所得银数为长成一长
　　　　　方形人数既居银数之五分之二是阔

　　　　　为二分长为五分也今将其共银分作

　　　　　五分而取其二分即人数与所得银数
　　　　　相等而成正方形矣故开方而得人数
　　　　　也
设如有长方面积八尺长阔相和六尺问长阔各几
　何
　　　　　法列积如开平方法商之积八尺止可
　　　　　商二尺乃以二尺书于原积八尺之上
　　　　　而以所商二尺与和数六尺相减馀四

　　　　　尺以所商二尺乘之得八尺书于原积
　　　　　之下相减恰尽即知长方之阔得二尺
　　　　　与和六尺相减得四尺即为长方之长
　　　　　也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其
　　　　　甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲丁
　　　　　与甲乙相并得六尺即长阔之和初商
　　　　　所得二尺即甲戊己丁正方之每一边
　　　　　盖两边俱止一位故以初商所得为一
　　　　　边于长阔和内减去初商所馀即又一

　　　　　边是以两边相乘而与原积相等也此

　　　　　法比较数为问者在加减之异其以较
　　　　　数为问者以所商之数与较数相加此
　　　　　以和数为问者则以所商之数与和数
　　　　　相减也
　　　　　又法以积八尺用四因之得三十二尺
　　　　　而以和数六尺自乘得三十六尺减去
　　　　　四因之数馀四尺开方得二尺即为长
　　　　　阔相较之数乃以较数二尺与和数六

　　　　　尺相加得八尺折半得四尺即长方之
　　　　　长减较二尺得二尺即长方之阔也如
　　　　　图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之
　　　　　得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁
　　　　　丑壬四长方形回环相凑成一空心正
　　　　　方式较之和数六尺自乘之甲戊辛子
　　　　　正方形所少者止正中之一小正方形
　　　　　故相减即馀丑丙庚癸之一小正方形
　　　　　其丑丙类每一边即长阔之较故开方

　　　　　得长阔之较既得较加于和数是为倍

　　　　　长故折半而得长长减较而得阔也此
　　　　　法比较数为问者亦在加减之异其以
　　　　　较为问者用较自乘与四因数相加开
　　　　　方而得和此以和为问者用和自乘与
　　　　　四因数相减开方而得较也
　　　　　又法先将和数六尺折半得三尺为半
　　　　　和自乘得九尺与原积八尺相减得一
　　　　　尺平方开之仍得一尺为半较于半和

　　　　　减半较得二尺为阔于半和加半较得
　　　　　四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙
　　　　　为阔甲丁为长甲壬为长阔和(丁壬与/丁丙阔)
　　　　　(等/)折半为甲庚半和将甲乙丙丁长方
　　　　　内之庚辛丙丁移于乙丑癸己则成甲
　　　　　丑癸己辛庚一磬折形与甲庚半和自
　　　　　乘之甲丑子庚正方形相减馀己癸子
　　　　　辛一小正方形即半较自乘之方故开
　　　　　方而得半较也故甲丑之半和减乙丑

　　　　　之半较得甲乙之阔于甲庚之半和加

　　　　　庚丁之半较得甲丁之长也又图甲乙
　　　　　丙丁长方形容积八尺甲壬为长阔之
　　　　　和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁长减等
　　　　　甲乙阔之甲戊馀戊丁为长阔之较其
　　　　　庚丁则为半较而甲丁己丁丁壬又为
　　　　　连比例之三线故己丁中率自乘之方
　　　　　与甲丁首率丁壬末率相乘之长方等
　　　　　(见几何原本/九卷第三节)则是己丁自乘之方与原

　　　　　设甲乙丙丁长方之积等也又己庚丁
　　　　　为勾股形其己丁边自乘之方与丁庚
　　　　　边自乘之方相并而与己庚自乘之方
　　　　　等(见几何原本/九卷第四节)故于己庚半和自乘方
　　　　　内减去与原设甲乙丙丁长方积相等
　　　　　之己丁自乘之数开方而得庚丁为半
　　　　　较于己庚相等之庚壬半和内减庚丁
　　　　　半较而得丁壬与丁丙等之阔又于己
　　　　　庚相等之甲庚半和加庚丁半较而得

　　　　　甲丁之长也

设如有长方面积八百六十四尺长阔相和六十尺
　问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其八百尺为
　　　　　初商积可商二十尺乃以二十尺书于
　　　　　原积八百尺之上而以初商二十尺与
　　　　　和数六十尺相减得四十尺以初商二
　　　　　十尺乘之得八百尺书于原积之下相
　　　　　减馀六十四尺为次商廉隅之共积乃

　　　　　以初商二十尺倍之得四十尺与和数
　　　　　六十尺相减馀二十尺为廉法以除六
　　　　　十四尺足三尺因廉法内尚要减去商
　　　　　数为法故取大数为四尺则以四尺书
　　　　　于原积四尺之上而以廉法二十尺与
　　　　　次商四尺相减得十六尺以次商四尺
　　　　　乘之得六十四尺书于馀积之下与馀
　　　　　积相减恰尽即知长方之阔得二十四
　　　　　尺与和六十尺相减馀三十六尺即为

　　　　　长方之长也如图甲乙丙丁长方形容

　　　　　积八百六十四尺其甲乙边阔二十四
　　　　　尺甲丁边长三十六尺甲戊为长阔和
　　　　　六十尺其丁戊与甲乙等甲子二十尺
　　　　　为初商数与辛戊等甲辛四十尺则和
　　　　　内减去初商之数两数相乘成甲子己
　　　　　辛长方形即初商所减之积也丁戊既
　　　　　与甲乙等辛戊又与甲子等则丁辛与
　　　　　子乙等丁庚己辛小长方积与庚丑壬

　　　　　丙长方积等是则次商廉隅之共积即
　　　　　子乙壬丑之积也次于甲戊和内减倍
　　　　　初商数四十尺如寅戊馀甲寅二十尺
　　　　　与子癸等为廉法子乙者为次商数也
　　　　　子乙与丑癸等则于子癸廉法内减丑
　　　　　癸馀子丑与次商子乙相乘得子乙壬
　　　　　丑小长方即次商所减之积故减原积
　　　　　恰尽也以初商甲子二十尺合次商子
　　　　　乙四尺得甲乙二十四尺为阔于甲戊

　　　　　长阔和六十尺内减与甲乙相等之丁

　　　　　戊阔二十四尺得甲丁三十六尺为长
　　　　　也三商以后皆仿此递析开之
　　　　　又法以积八百六十四尺用四因之得
　　　　　三千四百五十六尺而以和六十尺自
　　　　　乘得三千六百尺减去四因之数馀一
　　　　　百四十四尺开方得一十二尺即为长
　　　　　阔之较乃以较十二尺与和六十尺相
　　　　　加得七十二尺折半得三十六尺即长

　　　　　方之长减较十二尺得二十四尺即长
　　　　　方之阔也
　　　　　又法先将和数六十尺折半得三十尺
　　　　　为半和自乘得九百尺与原积八百六
　　　　　十四尺相减得三十六尺开方得六尺
　　　　　为半较于半和减半较得二十四尺为
　　　　　阔于半和加半较得三十六尺为长也
设如有长方面积一万九千三百一十二尺长阔相
　和二百七十八尺问长阔各几何

　　　　　法列积如开平方法商之其一万尺为

　　　　　初商积可商一百尺乃以一百尺书于
　　　　　原积一万尺之上而以初商一百尺与
　　　　　和数二百七十八尺相减得一百七十
　　　　　八尺以初商一百尺乘之得一万七千
　　　　　八百尺书于原积之下相减馀一千五
　　　　　百一十二尺为次商廉隅之共积乃以
　　　　　初商一百尺倍之得二百尺与和数相
　　　　　减得七十八尺为廉法以除一千五百

　　　　　一十二尺止足一十尺因廉法内尚要
　　　　　减去商数为法故取大数为三十尺则
　　　　　以三十尺书于原积三百尺之上而以
　　　　　廉法七十八尺与次商三十尺相减得
　　　　　四十八尺以次商三十尺乘之得一千
　　　　　四百四十尺书与馀积之下与馀积相
　　　　　减馀七十二尺为三商廉隅之共积乃
　　　　　以初商次商之一百三十尺倍之得二
　　　　　百六十尺与和数二百七十八尺相减

　　　　　馀十八尺为廉法以除七十二尺止足

　　　　　四尺亦因取大于足除之数故定为六
　　　　　尺则以六尺书于原积二尺之上而以
　　　　　廉法十八尺与三商六尺相减得十二
　　　　　尺以三商六尺乘之得七十二尺书于
　　　　　馀积之下与馀积相减恰尽即知长方
　　　　　之阔得一百三十六尺与和二百七十
　　　　　八尺相减馀一百四十二尺即为长方
　　　　　之长也此法次商三商皆取大于足除

　　　　　之数反覆商除始能相符不若四因积
　　　　　数减和自乘开方之法或半和自乘减
　　　　　原积开方之法为整齐也法以一万九
　　　　　千三百一十二尺用四因之得七万七
　　　　　千二百四十八尺而以和二百七十八
　　　　　尺自乘得七万七千二百八十四尺减
　　　　　去四因之数馀三十六尺开方得六尺
　　　　　即为长阔之较乃以较六尺与和二百
　　　　　七十八尺相加得二百八十四尺折半

　　　　　得一百四十二尺即长方之长减较六

　　　　　尺得一百三十六尺即长方之阔也
设如有长方面积六万九千三百六十尺长阔相和
　七百八十二尺问长阔各几何
　　　　　法列积如开平方法商之其六万为初
　　　　　商积可除二百尺而以二百尺与和数
　　　　　七百八十二尺相减得五百八十二尺
　　　　　以初商二百尺乘之得十一万六千四
　　　　　百尺大于积数乃改商一百尺书于原

　　　　　积六万尺之上而以所商一百尺与和
　　　　　数七百八十二尺相减得六百八十二
　　　　　尺以初商一百尺乘之得六万八千二
　　　　　百尺书于原积之下相减馀一千一百
　　　　　六十尺为次商廉隅之共积乃以初商
　　　　　一百尺倍之得二百尺与和数七百八
　　　　　十二尺相减得五百八十二尺为廉法
　　　　　以除一千一百六十尺止足二尺爰书
　　　　　空位于原积三百尺之上而以二尺书

　　　　　于原积空尺之上而以廉法五百八十

　　　　　二尺与三商二尺相减得五百八十尺
　　　　　以三商二尺乘之得一千一百六十尺
　　　　　书于原积之下与馀积相减恰尽即知
　　　　　长方之阔得一百零二尺与和七百八
　　　　　十二尺相减馀六百八十尺即为长方
　　　　　之长也此法初商应商二百尺因减纵
　　　　　相乘得数转大于原积故改商一百尺
　　　　　凡遇此类不若用四因积数之法与半

　　　　　和自乘之法算之法以和数七百八十
　　　　　二尺折半得三百九十一尺自乘得一
　　　　　十五万二千八百八十一尺与原积六
　　　　　万九千三百六十尺相减馀八万三千
　　　　　五百二十一尺开方得二百八十九尺
　　　　　为半较于半和减半较得一百零二尺
　　　　　为阔于半和加半较得六百八十尺为
　　　　　长也
设如有钱四千七百六十文买果树不知数但知树

　之共数与每株之价相加得一百七十四问树数

　及价各几何
　　　　　法以共数一百七十四折半得八十七
　　　　　为半和自乘得七千五百六十九与共
　　　　　钱四千七百六十文相减馀二千八百
　　　　　零九开方得五十三为半较于半和减
　　　　　半较馀三十四为树数于半和加半较
　　　　　得一百四十为树价也此法以树数为
　　　　　阔树价为长成一长方形其树数与树

　　　　　价相加即如长阔之和故以半和自乘
　　　　　减积开方得半较既得半较以减半和
　　　　　为树数加半和为树价也
设如有法书一卷共一千一百五十九字其行数与
　每行字数相加共八十问行数及字数各几何
　　　　　法以和数八十折半得四十为半和自
　　　　　乘得一千六百与共字一千一百五十
　　　　　九相减馀四百四十一开方得二十一
　　　　　为半较于半和加半较得六十一为行

　　　　　数于半和减半较馀十九为每行字数

　　　　　也
设如有五百八十八人用船均载其船数与每船所
　载人数相加比船数多四分之三问船数与每船
　所载人数各几何
　　　　　法先用比例分其积以三分为一率一
　　　　　分为二率五百八十八人为三率得四
　　　　　率一百九十六人用开平方法开之得
　　　　　十四为船数以三因之得四十二为每

　　　　　船所载之人数也此以船数为阔每船
　　　　　所载人数为长成一长方形船数与人
　　　　　数相加即如长阔之和和数既比船数
　　　　　多四分之三则是和数为四分每船所
　　　　　载人数为三分船数为一分即阔为一
　　　　　分长为三分也故将共人数三分之而
　　　　　取其一则人数与船数同为一分而成
　　　　　正方形矣故平方开之即得船数每船
　　　　　所载人数既为船数之三倍故三因之

　　　　　为所载人数也

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
御制数理精蕴下编卷十一