钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷九
　　线部七
　　　借衰互徵
　　　叠借互徵

　　借衰互徵
借衰互徵者有总数而无分数或有分数而无总数
或无总数分数之实率而但有其盈率则不得不别
借一衰数以为比例然后可以得其真数故曰借衰
然而所借之衰又各不同有借于本数之中者有借
于本数之外者借彼徵此借虚徵实故曰互徵盖先
借各项衰数合而为总衰数以总衰数与总真数相
比即若各项衰数与各项真数之比也或先借总衰

数加减出各衰数之较以各衰数之较与真数之较
相比即若总衰数与总真数之比也或以各衰数之
较与真数之较相比即若各项衰数与各项真数之
比也要之皆就比例之法而推广之耳
设如有银一千八百两命甲乙二人按分分之甲分
　比乙分有五倍问甲乙各得几何
　　　　　法借一为乙衰五为甲衰并之得六为
　　　　　一率总银一千八百两为二率乙衰一
　　　　　为三率得四率三百两即乙所分之数

　　　　　与一千八百两相减馀一千五百两即

　　　　　甲所分之数以三百两与一千五百两
　　　　　相较则甲有乙之五倍也此法既云甲
　　　　　有乙五倍则是甲有五分乙有一分故
　　　　　借一为乙衰五为甲衰并之得六为总
　　　　　衰以总衰与总银之比即若乙一衰与
　　　　　乙银一分之比也(此法即和数比例因/借衰之首故设一最)
　　　　　(易者以发/明其理云)
设如有三官接任共历一百年第二官比前官加一

　倍零六年第三官比　二官加一倍少二年问每
　官各该几年
　　　　　法借一衰为第一官年数借二衰多六
　　　　　年为第二官年数借四衰多十年为第
　　　　　三官年数并三官衰数得七为一率并
　　　　　后二官共多十六年于总年数内减之
　　　　　馀八十四年为二率第一官一衰为三
　　　　　率得四率十二年为第一官年数倍之
　　　　　加多六年得三十年为第二官年数又

　　　　　倍第二官年数减少二年得五十八年

　　　　　为第三官年数合三数而共为一百年
　　　　　也此法第一官既借一衰则第二官加
　　　　　一倍零六年者当借二衰多六年而第
　　　　　三官既比第二官又加一倍则当借四
　　　　　衰多十二年因少二年故借四衰多十
　　　　　年为第三官衰数也
设如有甲乙丙三人共银四十四两乙比甲银多一
　倍零四两丙比甲乙二人共数又多六两求各人

　银数几何
　　　　　法借一为甲衰借二多四两为乙衰借
　　　　　三多十两为丙衰并三衰得六为一率
　　　　　并乙丙二人多数为十四两于总银内
　　　　　减之馀三十两为二率甲衰一为三率
　　　　　得四率五两即甲银倍之加多四两得
　　　　　十四两为乙银并甲乙银又加多六两
　　　　　得二十五两即丙银也此法既以一为
　　　　　甲衰乙比甲加一倍零四两故借二多

　　　　　四两为乙衰也丙并甲乙共数多六两

　　　　　故借三多十两为丙衰也甲衰一乙衰
　　　　　二并之为三乙比甲多四两丙比甲乙
　　　　　共数又多六两并之为十两也
设如有甲乙二人入山采果共得三百枚但云甲数
　加六百枚乙数加二百枚则甲数比乙数多二倍
　问甲乙各得几何
　　　　　法借三为甲衰借一为乙衰并之得四
　　　　　为一率以三百枚与六百枚二百枚相

　　　　　加得一千一百为二率乙衰一为三率
　　　　　得四率二百七十五即乙一分之数减
　　　　　加数二百馀七十五即乙数以七十五
　　　　　与三百枚相减馀二百二十五即甲数
　　　　　以乙七十五与甲二百二十五相较则
　　　　　甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍
　　　　　则甲为三分乙为一分故借三为甲衰
　　　　　一为乙衰并之为总衰作一率又以原
　　　　　果与两加数相并为总数作二率盖总

　　　　　衰与总数之比即乙一衰与乙果一分

　　　　　之比也
设如有银一百九十六两买驼四匹马六匹驴十头
　马比驴价加一倍零二两驼比马价加一倍零四
　两问各价银若干
　　　　　法借一衰为驴价以驴十因之得十借
　　　　　二衰多二两为马价以马六因之得十
　　　　　二衰多十二两(一马多二两六/马故多十二两)借四衰
　　　　　多八两为驼价以驼四因之得十六衰

　　　　　多三十二两(一驼多八两四驼/故多三十二两)并三色
　　　　　衰数(驴十马十/二驼十六)共三十八为一率又并
　　　　　驼马多价(驼三十二两/马十二两)共四十四两于
　　　　　总银内减之馀一百五十二两为二率
　　　　　驴一衰为三率得四率四两即驴一头
　　　　　之价倍之加多二两得十两即马一匹
　　　　　之价又倍之加多四两得二十四两即驼
　　　　　一匹之价也此法既借一衰为驴价马
　　　　　比驴加一倍零二两故借二衰多二两

　　　　　为马价也驼比马又加一倍当借四衰

　　　　　多四两再加多马四两则四衰多八两
　　　　　为驼价也乃以各数因之(驴十马/六驼四)故得
　　　　　各项总衰数也
设如问一人岁数答曰我比弟长二年父年倍我仍
　多两岁伯父兼我三人岁数再加四年整百岁问
　四人各得年数几何
　　　　　法借一衰为其弟岁数借一衰零二年
　　　　　为本人岁数倍之得二衰零四年再加

　　　　　多两岁得二衰零六年为其父岁数总
　　　　　并之得四衰零八年为其伯之岁数即
　　　　　以四衰为一率八年四年相并得十二
　　　　　年与百岁相减馀八十八年为二率其
　　　　　弟一衰为三率得四率二十二即其弟
　　　　　之岁数加长二年得二十四即本人之
　　　　　岁数倍本人岁数再加多两岁得五十
　　　　　即其父之岁数并三人岁数得九十六
　　　　　即其伯之岁数再加四年是为整百岁

　　　　　也此法既借一衰为其弟岁数本人较

　　　　　长二年故借一衰零二年为本人岁数
　　　　　也其父年比本人加倍又多两岁故借
　　　　　二衰零六年为其父岁数也(加倍为二/衰零四年)
　　　　　(又加多两岁故为/二衰零六年也)将三人岁数相并得
　　　　　四衰零八年为其伯之岁数再加四年
　　　　　方整百岁则减四年又减所零之八年
　　　　　馀八十八年即四衰相当之数也
设如漏壶一具上有渴乌注水凡十二时而满下有

　一孔通天池泄水凡十八时而尽若上注下泄问
　几时可得水满
　　　　　法以十二时与十八时相乘得二百一
　　　　　十六时即借二百一十六分为壶水衰
　　　　　数又以十二时与十八时相减馀六时
　　　　　即借六分为一时水满分数乃以六分
　　　　　为一率一时为二率二百一十六分为
　　　　　三率得四率三十六即是水满一壶之
　　　　　时也此法以十二时乘十八时者即借

　　　　　一壶水作二百一十六分算也十二时

　　　　　满二百一十六分则一时满十八分十
　　　　　八时尽二百一十六分则一时泄十二
　　　　　分一时满十八分而泄十二分则壶中
　　　　　所存止得六分故以十二减十八馀六
　　　　　分为一时所满之水也满水六分既得
　　　　　一时则壶中满二百一十六分而得三
　　　　　十六时矣
设如漏壶一座注水于内下有三孔大孔流水二时

　而尽中孔流水三时而尽小孔流水六时而尽若
　三孔齐开问水几时可尽
　　　　　法以大孔之二时乘中孔之三时得六
　　　　　时又以小孔之六时乘之得三十六时
　　　　　即借三十六分为壶水总衰数以大孔
　　　　　二时除之得十八分以中孔三时除之
　　　　　得十二分以小孔六时除之得六分并
　　　　　三数得三十六为一率一时为二率借
　　　　　衰三十六为三率得四率一时即一时

　　　　　水可尽也此法盖以三色之数连乘为

　　　　　共分其大孔二时流尽则一时流十八
　　　　　分中孔三时流尽则一时流十二分小
　　　　　孔六时流尽则一时流六分故并三数
　　　　　而为一时所流者有三十六分今壶水
　　　　　止有三十六分故一时可以流尽也
设如有人自乡上城共一百二十里今行尚未到若
　以行过路六分之一与馀路三分之一相加便是
　到城里数问该若干

　　　　　法借十五衰为一率一百二十里为二
　　　　　率馀路三分即借三衰为三率得四率
　　　　　二十四里即到城里数也此法借十五
　　　　　衰为一率者因馀路取三分之一尚馀
　　　　　二分又取行过路六分之一补足馀路
　　　　　二分之数是行过路之一分即抵馀路
　　　　　之二分也今将馀路一分借一衰则行
　　　　　过路一分当借二衰六分则当借十二
　　　　　衰再加馀路三衰是共得十五衰故十

　　　　　五衰与一百二十里之比即馀路三分

　　　　　与二十四里之比也(每分该/八里)
设如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自
　水面向上取三分之一从水面往下取四分之一
　相并便是水深数问该几何
　　　　　法借十三衰为一率二丈六尺为二率
　　　　　自水面往下四分即借四衰为三率得
　　　　　四率八尺即水之深也此法借十三衰
　　　　　为一率者因水面往下取四分之一尚

　　　　　馀三分又取水面向上三分之一补足
　　　　　水面下三分之数是水面上之一分即
　　　　　准水面下之三分也今将水面下一分
　　　　　借一衰则水面上一分当借三衰一分
　　　　　借三衰则三分必当借九衰再加水面
　　　　　下四衰是共得十三衰故十三衰与二
　　　　　丈六尺之比即水面下四分与八尺之
　　　　　比也
设如有人问此时系何时刻答曰自子正到此时时

　刻折半与自此时到午正三分之一相加便是此

　时时刻
　　　　　法借二衰为自子正到此时衰数(时折/半者)
　　　　　(定为一衰今用/全数故借二衰)又借三衰为自此时到
　　　　　午正衰数(三分故借三衰因三分之一/与折半之数相等故亦将一)
　　　　　(分借/一衰)并之得五衰为子正到午正之分
　　　　　为一率又计子正到午正得十二小时
　　　　　因化为七百二十分为二率自子正到
　　　　　此时二衰为三率得四率二百八十八

　　　　　分收为四小时三刻三分即定为寅正
　　　　　三刻三分也此法因题言自子正到此
　　　　　时时刻折半故以折半数借为一衰今
　　　　　用全数为自子正起算故借二衰题又
　　　　　言到午正时刻三分之一与折半之数
　　　　　相加则是折半数即与三分之一之数
　　　　　相等故将三分亦借为三衰是子正到
　　　　　午正共为五衰矣计子正到午正时刻
　　　　　得七百二十分故五衰与七百二十分

　　　　　之比即二衰与二百八十八分之比既

　　　　　得二百八十八分收为四小时三刻三
　　　　　分即自子正到寅正三刻三分也
设如有人问到日落得几时答曰自日出到此时时
　刻取四分之一从此时到日落时刻折半两数相
　加即是此时时分
　　　　　法借二衰为自此时到日落时衰数(时/折)
　　　　　(半者借一衰今用/全数故借二衰)又借四衰为自日出
　　　　　到此时衰数(四分故借四衰因四分之/一与折半之数相等故亦)

　　　　　(将一分/借一衰)并之得六衰为一率又察昼夜
　　　　　长短如自日出至日落止有十小时即
　　　　　化作六百分为二率自此时到日落二
　　　　　衰为三率得四率二百分收为三小时
　　　　　一刻五分即到日落之时分也此法因
　　　　　题言自此时到日落时刻折半故以折
　　　　　半数借为一衰今用全数则当借为二
　　　　　衰题又言自日出到此时四分之一与
　　　　　折半之数相加则是折半数即与四分

　　　　　之一之数相等故将四分亦借为四衰

　　　　　是日出到日落共为六衰矣如日出至
　　　　　日落时刻得六百分则六衰与六百分
　　　　　之比即二衰与二百分之比故以二百
　　　　　分收为三时一刻五分也
设如有羊一群不知数目但云卖去三分之一又分
　四分之一另为一群下馀一千只问原共数几何
　　　　　法以两分母相乘得十二为总衰内减
　　　　　三分之一馀八又减四分之一馀五为

　　　　　一率一千为二率总衰十二为三率得
　　　　　四率二千四百即共数也此法因题言
　　　　　三分之一四分之一两分子同分母不
　　　　　同故以两分母相乘为总衰分内减三
　　　　　分之一又减四分之一所馀五即如总
　　　　　数分十二分而一千为其五分也故五
　　　　　衰与一千之比即如十二衰与二千四
　　　　　百之比也
设如有羊一群不知数目但云赏人七分之五又将

　所馀者卖五分之三尚馀八百只问原共数若干

　　　　　法以两分母相乘得三十五为总羊衰
　　　　　数内去七分之五馀一十(将三十五分/为七分每分)
　　　　　(得五今去五分为二/十五故仍馀一十也)又将一十为所馀
　　　　　羊衰数内去五分之三馀四(将一十分/为五分每)
　　　　　(分得二今去三分/为六故仍馀四也)即以四为一率所馀
　　　　　羊八百只为二率总衰三十五为三率
　　　　　得四率七千即原羊共数也此法盖因
　　　　　共数为七千内去七分之五是去五千

　　　　　馀二千又将二千去五分之三是去一
　　　　　千二百仍馀八百故借总衰三十五内
　　　　　去七分之五所馀又去五分之三而得
　　　　　馀衰四以馀衰四与馀羊八百之比即
　　　　　若总衰三十五与总羊七千之比也此
　　　　　法与前法微异者前法虽有三分四分
　　　　　之不同是于总数中计分故其为分则
　　　　　一此法赏人七分之五者是去总数内
　　　　　七分之五而卖五分之三者乃赏人后

　　　　　所馀之五分之三也立法少异故借衰

　　　　　中总分馀分相减亦别至减馀归四率
　　　　　其比例仍同也
设如有田七百四十二亩内有耕者种者耘者种者
　比耕者得十分之七耘者比种者得五分之三问
　每项各几何
　　　　　法以两分母两分子互相连乘共得一
　　　　　千零五十为耕者衰数此数十分之取
　　　　　其七分得七百三十五为种者衰数此

　　　　　数五分之取其三分得四百四十一为
　　　　　耘者衰数并三衰数得二千二百二十
　　　　　六为一率七百四十二亩为二率以耕
　　　　　者衰数一千零五十为三率得四率三
　　　　　百五十亩即所耕之田以种者衰数七
　　　　　百三十五为三率得四率二百四十五
　　　　　亩即所种之田以耘者衰数四百四十
　　　　　一为三率得四率一百四十七亩即所
　　　　　耘之田也此法因分母分子皆不同恐

　　　　　借数有奇零故即以本题分数连乘之

　　　　　得数后仍依各项分之则衰数无奇零
　　　　　而各分各数俱可比例而得矣
设如远望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分
　之二下尚露五分之一问共高若干
　　　　　法先借一数可分为三分五分者乃借
　　　　　三十为总衰此数三分之二得二十又
　　　　　五分之一得六两数相加得二十六与
　　　　　总衰三十相减馀四为一率上露三丈

　　　　　二尺为二率总衰三十为三率得四率
　　　　　二十四丈即塔之高也此法以减馀四
　　　　　衰与上露三丈二尺之比即总衰三十
　　　　　与塔总高二十四丈之比也二十四丈
　　　　　三分之二得十六丈五分之一得四丈
　　　　　八尺相加得二十丈零八尺又加上露
　　　　　三丈二尺则共二十四丈也
　　　　　又法于借衰三十内减去三分之二(减/去)
　　　　　(二/十)又减五分之一(减去/六)馀四衰即以四

　　　　　衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰为

　　　　　八尺也一衰为八尺则三十衰自得二
　　　　　百四十尺矣
设如有木匠与瓦匠小工三项分工价瓦匠得木匠
　五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多
　一两二钱问每项工价若干
　　　　　法以两分母两分子连乘共得四十为
　　　　　木匠衰数此数五分之二得十六为瓦
　　　　　匠衰数四分之一得十为小工衰数又

　　　　　将十六衰与十衰相减馀六为一率多
　　　　　一两二钱为二率木匠衰数四十为三
　　　　　率得四率八两即木匠价取五分之二
　　　　　得三两二钱即瓦匠价取四分之一得
　　　　　二两即小工价以二两与三两二钱相
　　　　　减馀一两二钱即瓦匠多于小工之数
　　　　　也此法亦以题中分母分子连乘作衰
　　　　　数但用瓦匠比小工所多衰数银数与
　　　　　木匠衰数银数为比例何也盖各项衰

　　　　　数与各项银数之比皆同今瓦匠衰数

　　　　　与小工衰数之比即瓦匠银数与小工
　　　　　银数之比也又瓦匠衰数多于小工衰
　　　　　数之六与瓦匠银数多于小工银数一
　　　　　两二钱之比即同于小工衰数与小工
　　　　　银数之比又即同于木匠衰数与木匠
　　　　　银数之比故直以六衰与多一两二钱
　　　　　为一率二率也
设如有金不足色欲炼成上等好金第一次入炉煅

　去三分之一第二次入炉煅去四分之一第三次
　入炉煅去五分之一第四次入炉煅去六分之一
　方净剩上等好金二十七两问原金几何
　　　　　法借三分四分五分六分俱分得尽之
　　　　　六十为原金总衰此数三分之一得二
　　　　　十四分之一得十五五分之一得十二
　　　　　六分之一得十四数相并得五十七与
　　　　　原借数六十相减馀三为一率净剩金
　　　　　二十七两为二率总衰六十为三率得

　　　　　四率五百四十两即原金数也此法因

　　　　　原金中镕销四次所馀二十七两故借
　　　　　衰中亦减去四次之数所馀为三衰以
　　　　　三衰与二十七两之比即六十衰与五
　　　　　百四十两之比也
设如有铜不知斤数但云取七分之三作上等仪器
　又取所馀之五分之二作中等仪器又取所馀之
　四分之一作三等仪器仍馀五十四斤问原铜共
　数几何

　　　　　法以三分母连乘得一百四十为总铜
　　　　　衰数取其七分之三馀八十为二次馀
　　　　　铜衰数(一百四十分为七分每分二十/今去三分为六十仍馀八十也)
　　　　　又将所馀八十取其五分之二馀四十
　　　　　八为三次馀铜衰数(八十分为五分每/分十六今去二分)
　　　　　(为三十二仍/馀四十八也)又将所馀四十八取其四
　　　　　分之一馀三十六为所馀衰数(四十八/分为四)
　　　　　(分每分十二今去一分/十二仍馀三十六也)即以三十六为
　　　　　一率馀铜五十四斤为二率总衰一百

　　　　　四十为三率得四率二百一十斤即原

　　　　　铜共数也盖二百一十斤内去七分之
　　　　　三是去九十斤馀一百二十斤又将一
　　　　　百二十斤内去五分之二是去四十八
　　　　　斤馀七十二斤又将七十二斤内去四
　　　　　分之一是去十八斤馀五十四斤而与
　　　　　原剩数合也此法亦是按节次另定分
　　　　　数与均分者不同故立衰数亦按节次
　　　　　减去取其馀衰三十六与馀铜五十四

　　　　　斤之比即若总衰一百四十与总铜二
　　　　　百一十斤之比也
设如问一老人岁数但云加三分之二减四分之一
　得一百三十六岁求其岁数几何
　　　　　法借十二为总衰数此数三分之二为
　　　　　八四分之一为三于总衰十二内加八
　　　　　减三得十七为一率一百三十六岁为
　　　　　二率总衰十二为三率得四率九十六
　　　　　岁即老人岁数也此法借十二衰即三

　　　　　分与四分相乘之数三分四分俱可以

　　　　　分尽也于总衰十二内加八即加三分
　　　　　之二也又减三即减四分之一也所得
　　　　　十七即加减衰数也以加减衰数与加
　　　　　减年数之比即若所借总衰与所得岁
　　　　　数之比也
设如有一数但云其数二分之一三分之一四分之
　一五分之一六分之一共并为五百二十二问原
　数几何

　　　　　法先借一数可分为二分三分四分五
　　　　　分六分者乃借六十为总衰数此数依
　　　　　法剖之其二分之一为三十其三分之
　　　　　一为二十其四分之一为十五其五分
　　　　　之一为十二其六分之一为十并之得
　　　　　八十七为一率共并数五百二十二为
　　　　　二率总衰六十为三率得四率三百六
　　　　　十即原数也此法借数六十与原数为
　　　　　比者因原数隐而未露故虚借一数作

　　　　　比例以互徵之盖并数八十七者原数

　　　　　为六十并数五百二十二者原数为三
　　　　　百六十其比例同也
设如有马一群但云加一倍又加二分之一又加三
　分之一又加四分之一又加一并原数共一百一
　十二匹问原数几何
　　　　　法先借一数可分为二分三分四分者
　　　　　乃借十二为衰数此数加一倍得二十
　　　　　四又加二分之一为六又加三分之一

　　　　　为四又加四分之一为三共得三十七
　　　　　为一率共数一百一十二减一馀一百
　　　　　一十一为二率衰数十二为三率得四
　　　　　率三十六即原数也此法与前法同但
　　　　　题中又加一匹是真数也故于总数内
　　　　　减去一匹为比例盖加分所得衰数三
　　　　　十七与加分所得共数一百一十一之
　　　　　比即若所借原衰十二与原数三十六
　　　　　之比也

设如一人为商三次第一次得利比本为三分之二

　将利加入本银第二次得利比本为四分之三又
　将此利加入本银第三次得利比本为五分之三
　三次本利共银一千四百两问原本银若干
　　　　　法借六十为本银衰数取其三分之二
　　　　　得四十与六十相加得一百又将一百
　　　　　取其四分之三得七十五与一百相加
　　　　　得一百七十五又将一百七十五取其
　　　　　五分之三得一百零五与一百七十五

　　　　　相加得二百八十为一率本利共银一
　　　　　千四百两为二率原借衰数六十为三
　　　　　率得四率三百两即原本银数也盖三
　　　　　百两三分之二得二百与本银相加得
　　　　　五百于五百内取四分之三得三百七
　　　　　十五仍与五百相加得八百七十五于
　　　　　八百七十五内取五分之三得五百二
　　　　　十五仍与八百七十五相加得一千四
　　　　　百以合原数其借六十为本银衰数加

　　　　　三分之二得一百即第一次本利共衰

　　　　　也又加四分之三得一百七十五即第
　　　　　二次本利共衰也又加五分之三得二
　　　　　百八十即第三次本利共衰也以本利
　　　　　共衰与本利共银之比即如本银借衰
　　　　　与原有本银之比也

　　叠借互徵
叠借互徵者因原问内设数隐伏一次借衰尚不能
得其真数故不得不借两数以比较之先借一数与
原数相较复借一数与原数相较然后据两较以立
算而真数可得故曰叠借盖以叠借之数比原问之
数或多或少乃作盈朒法算之以求两借数之较也
故其较之一多一少者用加或两较俱多两较俱少
者用减一如盈朒之例以两差数之较与两借数之

较为比而得借数与真数之较或以两借数互乘两
差数以两差数之较与互乘所得两差数之较为比
而得所求之真数其法虽繁实有条理亦借数之巧
也
设如有银一百两命甲丙丁三人分之甲比丙多一
　倍丙比丁多二倍问每人应得几何
　　　　　法先借十二两为甲银衰数则丙应得
　　　　　六两(比甲少/一倍)丁应得二两(比丙少/二倍)并三
　　　　　数得二十两与原银一百两相较少八

　　　　　十两再借二十四两为甲银衰数则丙

　　　　　应得十二两(比甲少/一倍)丁应得四两(比丙/少二)
　　　　　(倍/)并三数得四十两与原银一百两相
　　　　　较仍少六十两乃以前借数十二两少
　　　　　八十两书于右后借数二十四两少六
　　　　　十两书于左作两不足法算之于是两
　　　　　少数相减馀二十两为一率两借数相
　　　　　减馀十二两为二率前借数与原数相
　　　　　较之少八十两为三率得四率四十八

　　　　　两加入前借数十二两共得六十两即
　　　　　甲银数或以后借数与原数相较之少
　　　　　六十两为三率得四率三十六两加入
　　　　　后借数二十四两亦得六十两为甲银
　　　　　数既得甲银数减一倍得三十两即丙
　　　　　银数再取丙银三分之一得十两即丁
　　　　　银数也(因丙银比丁银多二倍故于/丙银中取三分之一即丁银)此
　　　　　法先借一人银数加减出三人银数与
　　　　　原总银相较得其差数又借一人银数

　　　　　加减出三人银数又与原总银相较复

　　　　　得一差数爰将两借数相减是得甲一
　　　　　人两借数之较也又将两差数相减(因/两)
　　　　　(差俱少故相减如/一多一少则相加)是得三人两差数之
　　　　　较也乃以比例求之以三人两差数之
　　　　　较比一人两借数之较即同于三人共
　　　　　数与原总银之差比一人借数与本银
　　　　　之差也故以二十两与十二两之比同
　　　　　于八十两与四十八两之比为借数十

　　　　　二两少于甲本银之差数或以二十两
　　　　　与十二两之比同于六十两与三十六
　　　　　两之比为借数二十四两少于甲本银
　　　　　之差数各与借数相加皆得甲本银数
　　　　　也(因其为少故与借数相加若/差数为多则与借数相减)此即盈
　　　　　朒先求适足之法盖两少数相差二十
　　　　　两由于两借数之相差十二两如欲补
　　　　　足所少之八十两则应加四十八两或
　　　　　欲补足所少之六十两则应加三十六

　　　　　两也

　　　　　又如欲借两数所得差数一多一少用
　　　　　相加立算则先借四十八两为甲银衰
　　　　　数丙应得二十四两丁应得八两并三
　　　　　数得八十两与原银一百两相较少二
　　　　　十两再借六十六两为甲银衰数丙应
　　　　　得三十三两丁应得十一两并三数得
　　　　　一百一十两与原银一百两相较则多
　　　　　十两乃以前借数四十八两少二十两

　　　　　书于右后借数六十六两多十两书于
　　　　　左作一盈一朒法算之于是一多数一
　　　　　少数相加得三十两为一率两借数相
　　　　　减馀十八两为二率前借数与原数相
　　　　　较之少二十两为三率得四率十二两
　　　　　加入前借数四十八两共得六十两即
　　　　　甲银数如以后借数与原数相较之多
　　　　　十两为三率得四率六两与后借数六
　　　　　十六两相减亦得六十两为甲银数既

　　　　　得甲银数其丙丁银数按分递减之即

　　　　　得矣
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数四十八两互乘后多十两
　　　　　为加四十八倍得多四百八十两以后
　　　　　借数六十六两互乘前少二十两为加
　　　　　六十六倍得少一千三百二十两乃以
　　　　　互乘所得一多一少两数相加得一千
　　　　　八百两为二率原一多一少两数相加

　　　　　得三十两为一率一人为三率得四率
　　　　　六十两即甲银数也盖所加四十八倍
　　　　　与六十六倍相差为十八倍则互乘所
　　　　　得一多一少两数相差之一千八百两
　　　　　即十八倍总银数也(见盈/朒法)然甲银为总
　　　　　银之三十分之十八(盖两差数之较为/三十则两借数之)
　　　　　(较为十八少数为二十则借数加一十/二多数为一十则借数减六皆三十与)
　　　　　(十八之/比例也)必为十八倍总银之三十分之
　　　　　一(盖三十分之十八者将总银分为三/十分而得其十八分也若十八倍总)

　　　　　(银则其一分/即十八也)故以三十分与一千八百

　　　　　两之比即同于一分与六十两之比即
　　　　　甲银数也
设如有香炉二座不言重数但知炉盖一个重一百
　五十斤如以盖加甲炉则重于乙炉二倍以盖加
　乙炉乃与甲炉相等求甲乙二炉各重几何
　　　　　法先借三十斤为甲炉衰数加盖一百
　　　　　五十斤共一百八十斤内取三分之一
　　　　　得六十斤为乙炉衰数(因甲炉加盖比/乙炉重二倍故)

　　　　　(以乙炉衰数定为甲炉/衰数加盖之三分之一)以乙炉衰数加
　　　　　盖一百五十斤共二百一十斤比所借
　　　　　甲炉衰数三十斤多一百八十斤则是
　　　　　所借甲炉衰数三十斤少一百八十斤
　　　　　再借九十斤为甲炉衰数加盖一百五
　　　　　十斤共二百四十斤内取三分之一得
　　　　　八十斤为乙炉衰数以乙炉衰数加盖
　　　　　一百五十斤共二百三十斤比所借甲
　　　　　炉衰数九十斤多一百四十斤则是所

　　　　　借甲炉衰数九十斤少一百四十斤乃

　　　　　以前借甲炉衰数三十斤少一百八十
　　　　　斤书于右后借甲炉衰数九十斤少一
　　　　　百四十斤书于左作两朒法算之于是
　　　　　两少数相减馀四十斤为一率两借数
　　　　　相减馀六十斤为二率前借数与原数
　　　　　相较之少一百八十斤为三率得四率
　　　　　二百七十斤加入前借数三十斤共三
　　　　　百斤即甲炉之重加盖一百五十斤共

　　　　　四百五十斤内取三分之一得一百五
　　　　　十斤即乙炉之重加盖一百五十斤共
　　　　　三百斤与甲炉相等也
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数三十斤互乘后少一百四
　　　　　十斤为加三十倍得少四千二百斤以
　　　　　后借数九十斤互乘前少一百八十斤
　　　　　为加九十倍得少一万六千二百斤乃
　　　　　以互乘所得两少数相减馀一万二千

　　　　　斤为二率原两少数相减馀四十斤为

　　　　　一率甲炉一为三率得四率三百斤即
　　　　　甲炉之重数也盖所加三十倍与九十
　　　　　倍相差为六十倍则互乘所得两少数
　　　　　相差之一万二千斤即六十倍总差数
　　　　　也然甲炉重数为总差数之四十分之
　　　　　六十(盖两差数之较为四十则两借数/之较为六十少数为一百八十则)
　　　　　(借数加二百七十皆四/十与六十之比例也)必为六十倍总
　　　　　差数之四十分之一(盖四十分之六十/者将总差数分为)

　　　　　(四十分而得其六十分也若六十/倍总差数则其一分即六十分也)故以
　　　　　四十分与一万二千斤之比即同于一
　　　　　分与三百斤之比也
设如有铜铸甲乙二钟未称斤数但云取乙钟铜八
　十斤入甲钟则所馀得甲钟四分之一若取甲钟
　铜八十斤入乙钟则所馀得乙钟三分之二问二
　钟各得铜数若干
　　　　　法先借一百二十斤为甲钟衰数取乙
　　　　　钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得二百

　　　　　斤此数四分之得五十斤(因取乙钟铜/八十斤入甲)

　　　　　(钟所馀得甲钟之四分之一/故四分之为乙钟之一分)加八十斤
　　　　　得一百三十斤为乙钟衰数(此乙钟未/取八十斤)
　　　　　(入甲钟时得一/百三十斤也)若取甲钟铜八十斤加
　　　　　入乙钟则乙钟得二百一十斤而甲钟
　　　　　止馀四十斤(甲钟一百二十斤中去/八十斤故馀四十斤)加
　　　　　一半二十斤得六十斤为乙钟数(因取/甲钟)
　　　　　(铜八十斤入乙钟所馀得乙钟三分之/二故四十斤为三分之二而加一分为)
　　　　　(二十斤共六十/斤为乙钟数)而与乙钟二百一十斤

　　　　　相较则少一百五十斤再借三百六十
　　　　　斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入
　　　　　甲钟则甲钟得四百四十斤此数四分
　　　　　之得一百一十斤(因取乙钟铜八十斤/入甲钟所馀得甲钟)
　　　　　(之四分之一故四分/之为乙钟之一分)加八十斤得一百
　　　　　九十斤为乙钟衰数(此乙钟未取八十/斤入甲钟时得一)
　　　　　(百九十/斤也)若取甲钟铜八十斤加入乙钟
　　　　　则乙钟得二百七十斤而甲钟止馀二
　　　　　百八十斤(甲钟三百六十斤中去八/十斤故馀二百八十斤)加

　　　　　一半一百四十斤得四百二十斤为乙

　　　　　钟数(因取甲钟铜八十斤入乙钟所馀/得乙钟三分之二故二百八十斤)
　　　　　(为三分之二而加一分为一百四/十斤共四百二十斤为乙钟数)而与
　　　　　乙钟二百七十斤相较则多一百五十
　　　　　斤乃将前借数一百二十斤少一百五
　　　　　十斤书于右后借数三百六十斤多一
　　　　　百五十斤书于左用盈朒法算之于是
　　　　　以一多一少两数相加得三百为一率
　　　　　两借数相减馀二百四十为二率前借

　　　　　数与乙衰相较之少一百五十斤为三
　　　　　率得四率一百二十斤加前借数一百
　　　　　二十斤共二百四十斤为甲钟斤数加
　　　　　入乙钟铜八十斤为三百二十斤四分
　　　　　之得八十斤(既取乙钟铜八十斤/入甲钟故馀此数)再加
　　　　　入甲钟铜八十斤得一百六十斤为乙
　　　　　钟斤数也
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数一百二十斤互乘后多一

　　　　　百五十斤为加一百二十倍得多一万

　　　　　八千斤以后借数三百六十斤互乘前
　　　　　少一百五十斤为加三百六十倍得少
　　　　　五万四千斤乃以互乘所得一多一少
　　　　　两数相加得七万二千斤为二率原一
　　　　　多一少两数相加得三百斤为一率甲
　　　　　钟一为三率得四率二百四十斤即甲
　　　　　钟重数也盖所加一百二十倍与三百
　　　　　六十倍相差为二百四十倍则互乘所

　　　　　得一多一少两数相加之七万二千斤
　　　　　即二百四十倍总差数也然甲钟重数
　　　　　为总差数之三百分之二百四十必为
　　　　　二百四十倍总差数之三百分之一故
　　　　　以三百分与七万二千斤之比即同于
　　　　　一分与二百四十斤之比也
设如甲丙二人入山采矿皆不知所得之数但云甲
　与丙二十四两则所馀得丙之四分之一若丙与
　甲三十两则所馀得甲之六分之一问两人各得

　之数若干

　　　　　法先借四十两为丙之衰数加甲与二
　　　　　十四两得六十四两此数四分之得十
　　　　　六两(因甲得丙四分之一/故将丙数四分也)加二十四两
　　　　　得四十两为甲之衰数(因甲与丙二十/四两所馀得丙)
　　　　　(四分之一故仍以二十/四两加入为甲衰数也)若丙与甲三十
　　　　　两则甲得七十两而丙止馀十两六因
　　　　　之得六十两为甲数(因丙与甲三十两/所馀得甲六分之)
　　　　　(一故将丙之十两/六因之为甲数)而与甲七十两相较

　　　　　则少十两再借六十两为丙之衰数加
　　　　　甲与二十四两得八十四两此数四分
　　　　　之得二十一两加二十四两得四十五
　　　　　两为甲之衰数(其所加所分/之故同前)若丙与甲
　　　　　三十两则甲得七十五两而丙止馀三
　　　　　十两六因之得一百八十两而与甲七
　　　　　十五两相较又多一百零五两乃将前
　　　　　借数四十两少十两书于右后借数六
　　　　　十两多一百零五两书于左用盈朒法

　　　　　算之于是以一多一少两数相加得一

　　　　　百一十五为一率两借数相减馀二十
　　　　　为二率前借数与甲相较之少十两为
　　　　　三率得四率一两七钱三分九釐一毫
　　　　　有馀加前借数四十两共四十一两七
　　　　　钱三分九釐一毫有馀为丙所得之数
　　　　　此数加二十四两得六十五两七钱三
　　　　　分九釐一毫有馀再四分之得一十六
　　　　　两四钱三分四釐七毫有馀(因甲得丙/银四分之)

　　　　　(一故四/分之)加入二十四两得四十两四钱
　　　　　三分四釐七毫有馀为甲所得之数(甲/既)
　　　　　(与丙二十四两故止剩一十六两有馀/若未与丙二十四两其全数则四十两)
　　　　　(有馀/也)若将甲数加三十两得七十两四
　　　　　钱三分四釐七毫有馀将丙数减三十
　　　　　两得十一两七钱三分九釐一毫有馀
　　　　　此丙十一两七钱三分九釐一毫有馀
　　　　　即为甲七十两四钱三分四釐七毫有
　　　　　馀之六分之一也(因丙与甲三十两则/丙数居甲数之六分)

　　　　　(之一故将四十两有馀再加八丙三十/两得七十两有馀则丙数内减去三十)

　　　　　(两止得十一两有馀故/为甲数之六分之一也)
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数四十两互乘后多一百零
　　　　　五两为加四十倍得多四千二百两以
　　　　　后借数六十两互乘前少十两为加六
　　　　　十倍得少六百两乃以互乘所得一多
　　　　　一少两数相加得四千八百两为二率
　　　　　原一多一少两数相加得一百一十五

　　　　　两为一率一人为三率得四率四十一
　　　　　两七钱三分九釐一毫有馀即丙所得
　　　　　之数也盖所加四十倍与六十倍相差
　　　　　为二十倍则互乘所得一多一少两数
　　　　　相加之四千八百两即二十倍总差数
　　　　　也然丙数为总差数之一百一十五分
　　　　　之二十必为二十倍总差数之一百一
　　　　　十五分之一故以一百一十五分与四
　　　　　千八百两之比即同于一分与四十一

　　　　　两七钱三分九釐一毫有馀之比也

设如有铜缸磁缸二面若于铜缸内添水五十斤则
　比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤则
　与铜缸内水数相等问二缸各得水数若干
　　　　　法先借十斤为铜缸水之衰数加五十
　　　　　斤得六十斤此数三分之得二十斤为
　　　　　磁缸水之衰数(因铜缸加五十斤则比/磁缸水多二倍故三分)
　　　　　(之为磁缸/水衰数也)以磁缸水衰数加五十斤得
　　　　　七十斤(因磁缸加五十斤与铜缸/水相等故亦加五十斤)比所

　　　　　借铜缸水之衰数十斤多六十斤则是
　　　　　所借铜缸水之衰数十斤少六十斤再
　　　　　借二十二斤为铜缸水之衰数加五十
　　　　　斤得七十二斤此数三分之得二十四
　　　　　斤为磁缸水之衰数以磁缸水衰数加
　　　　　五十斤得七十四斤比所借铜缸水之
　　　　　衰数二十二斤多五十二斤则是所借
　　　　　铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤
　　　　　乃以前借数十斤少六十斤书于右后

　　　　　借数二十二斤少五十二斤书于左作

　　　　　两朒法算之于是两少数相减馀八斤
　　　　　为一率两借数相减馀十二斤为二率
　　　　　前借数与铜缸相较之少六十斤为三
　　　　　率得四率九十斤加入前借数十斤共
　　　　　一百斤即铜缸之水数加五十斤得一
　　　　　百五十斤三分之得五十斤即磁缸之
　　　　　水数以磁缸水数加五十斤亦得一百
　　　　　斤与铜缸水数相等也

　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数十斤互乘后少五十二斤
　　　　　为加十倍得少五百二十斤以后借数
　　　　　二十二斤互乘前少六十斤为加二十
　　　　　二倍得少一千三百二十斤乃以互乘
　　　　　所得两少数相减馀八百斤为二率原
　　　　　两少数相减馀八斤为一率铜缸一为
　　　　　三率得四率一百斤即铜缸之水数也
　　　　　盖所加十倍与二十二倍相差为十二

　　　　　倍则互乘所得两少数相差之八百斤

　　　　　即十二倍总差数也然铜缸水数为总
　　　　　差数之八分之十二必为十二倍总差
　　　　　数之八分之一故以八分与八百斤之
　　　　　比即同于一分与一百斤之比也
设如有羊三群甲群四百只丙群为甲丁两群二分
　之一丁群为甲丙两群三分之一问丙丁两群羊
　数各若干
　　　　　法先借三百只为丙群衰数丙群既为

　　　　　甲丁两群二分之一则甲丁两群当有
　　　　　六百只内减甲群四百只馀二百只为
　　　　　丁群衰数又并甲丙二群得七百只丁
　　　　　群既为甲丙两群三分之一则将丁群
　　　　　二百只三因之得六百只与甲丙两群
　　　　　七百只相较则少一百只再借二百四
　　　　　十只为丙群衰数丙群既为甲丁两群
　　　　　二分之一则甲丁两群当有四百八十
　　　　　只内减甲群四百只馀八十只为丁群

　　　　　衰数又并甲丙二群得六百四十只丁

　　　　　群既为甲丙两群三分之一则将丁群
　　　　　八十只三因之得二百四十只与甲丙
　　　　　两群六百四十只相较则少四百只乃
　　　　　将前借数三百只少一百只书于右后
　　　　　借数二百四十只少四百只书于左用
　　　　　两不足法算之于是以两少数相减馀
　　　　　三百只为一率两借数相减馀六十只
　　　　　为二率前借数与甲丙两群相较之少

　　　　　一百只为三率得四率二十只加前借
　　　　　数三百只共三百二十只即丙群之羊
　　　　　数加入甲群四百只得七百二十只三
　　　　　分之得二百四十只即丁群之羊数也
　　　　　若并甲丁两群得六百四十只折半得
　　　　　三百二十只即丙群为甲丁两群二分
　　　　　之一也
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数三百只互乘后少四百只

　　　　　为加三百倍得少一十二万只以后借

　　　　　数二百四十只互乘前少一百只为加
　　　　　二百四十倍得少二万四千只乃以互
　　　　　乘所得两少数相减馀九万六千只为
　　　　　二率原两少数相减馀三百只为一率
　　　　　丙一群为三率得四率三百二十只即
　　　　　丙群之羊数也盖所加三百倍与二百
　　　　　四十倍相差为六十倍则互乘所得两
　　　　　少数相差之九万六千只即六十倍总

　　　　　差数也然丙群为总差数之三百分之
　　　　　六十必为六十倍总差数之三百分之
　　　　　一故以三百分与九万六千只之比即
　　　　　同于一分与三百二十只之比也
设如有田一百亩令甲乙二人分耕若以甲田三分
　之一与乙以乙田五分之一与甲则各得五十亩
　问甲乙原田数各若干
　　　　　法先借三十亩为甲原田之衰数此数
　　　　　与一百亩相减馀七十亩为乙原田之

　　　　　衰数甲原田三十亩之三分之一为十

　　　　　亩乙原田七十亩之五分之一为十四
　　　　　亩若甲与乙十亩乙与甲十四亩则甲
　　　　　得田三十四亩(甲三十亩与乙十亩馀/二十亩又得乙所与十)
　　　　　(四亩故为/三十四亩)与各五十亩相比则甲少十
　　　　　六亩再借六十亩为甲原田之衰数此
　　　　　数与一百亩相减馀四十亩为乙原田
　　　　　之衰数甲原田六十亩之三分之一为
　　　　　二十亩乙原田四十亩之五分之一为

　　　　　八亩若甲与乙二十亩乙与甲八亩则
　　　　　甲得田四十八亩(甲六十亩与乙二十/亩馀四十亩又得乙)
　　　　　(所与八亩故/为四十八亩)与各五十亩相比则甲少
　　　　　二亩乃将前借数三十亩少十六亩书
　　　　　于右后借数六十亩少二亩书于左用
　　　　　两不足法算之于是以两少数相减得
　　　　　十四亩为一率两借数相减馀三十亩
　　　　　为二率前借数与五十亩相较之少十
　　　　　六亩为三率得四率三十四亩二分八

　　　　　釐有馀加前借数三十亩共六十四亩

　　　　　二分八釐有馀即甲原田之数与一百
　　　　　亩相减馀三十五亩七分一釐有馀即
　　　　　乙原田之数也若甲以其三分之一二
　　　　　十一亩四分二釐有馀与乙而乙以其
　　　　　五分之一七亩一分四釐有馀与甲则
　　　　　两人各得五十亩矣
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数三十亩互乘后少二亩为

　　　　　加三十倍得少六十亩以后借数六十
　　　　　亩互乘前少十六亩为加六十倍得少
　　　　　九百六十亩乃以互乘所得两少数相
　　　　　减馀九百亩为二率原两少数相减馀
　　　　　十四亩为一率甲一人为三率得四率
　　　　　六十四亩二分八釐有馀即甲原田之
　　　　　数也盖所加三十倍与六十倍相差为
　　　　　三十倍则互乘所得两少数相差之九
　　　　　百亩即三十倍总差数也然甲原田为

　　　　　总差数之十四分之三十必为三十倍

　　　　　总差数之十四分之一故以十四分与
　　　　　九百亩之比即同于一分与六十四亩
　　　　　二分八釐有馀之比也
设如甲丙丁三人共有银二百一十两只云甲与丙
　四分之一丁与甲二分之一丙与丁三分之一则
　每人均得银七十两问各人原有之银数若干
　　　　　法先借十两为甲银衰数此数减四分
　　　　　之一二两五钱馀七两五钱与七十两

　　　　　相减馀六十二两五钱为丁银二分之
　　　　　一加一倍得一百二十五两为丁银衰
　　　　　数(因甲与丙四分之一丁与甲二分之/一成七十两故于甲衰十两内减四)
　　　　　(分之一馀七两五钱再加六十二两五/钱方凑成七十两故以六十二两五钱)
　　　　　(即为丁银二分之一加/一倍得丁银全数也)又并甲丁两衰
　　　　　数得一百三十五两与总银二百一十
　　　　　两相减馀七十五两为丙银衰数(因三/人共)
　　　　　(银二百一十两减去甲银十两丁银一/百二十五两所馀七十五两即丙之银)
　　　　　(数/也)又于丙衰七十五两内减三分之一

　　　　　二十五两馀五十两加甲衰四分之一

　　　　　二两五钱共得五十二两五钱(因丙与/丁三分)
　　　　　(之一甲与丙四分之一成七十两故于/丙衰七十五两内减与丁二十五两又)
　　　　　(加甲所与二两五钱/共五十二两五钱也)此数与七十两相
　　　　　较则少十七两五钱再借二十八两为
　　　　　甲银衰数此数减四分之一七两馀二
　　　　　十一两与七十两相减馀四十九两为
　　　　　丁银二分之一加一倍得九十八两为
　　　　　丁银衰数(甲银减四分之一馀四十九/两既为丁银二分之一故加)

　　　　　(一倍即为丁/银全数也)又并甲丁两衰数得一百
　　　　　二十六两与总银二百一十两相减馀
　　　　　八十四两为丙银衰数(因三人共银二/百一十两减去)
　　　　　(甲银二十八两丁银九十八两/其馀八十四两即丙之银数也)又于丙
　　　　　衰八十四两内减三分之一二十八两
　　　　　馀五十六两加甲衰四分之一七两共
　　　　　得六十三两(因丙与丁三分之一甲与/丙四分之一成七十两故)
　　　　　(于丙衰八十四两内减与丁二十八两/又加甲所与七两共得六十三两也)
　　　　　此数与七十两相较则少七两乃将前

　　　　　借数十两少十七两五钱书于右后借

　　　　　数二十八两少七两书于左用两不足
　　　　　法算之于是以两少数相减馀十两五
　　　　　钱为一率两借数相减馀十八两为二
　　　　　率前借数与七十两相较之少十七两
　　　　　五钱为三率得四率三十两加前借十
　　　　　两共四十两即甲之银数减四分之一
　　　　　十两馀三十两(因去一分/与丙也)与七十两相
　　　　　减馀四十两倍之得八十两即丁之银

　　　　　数并甲丁银数得一百二十两与总银
　　　　　二百一十两相减馀九十两即丙之银
　　　　　数也此叠借三色之法也借衰时加减
　　　　　甚繁然条理分明自能了然如此法前
　　　　　借数甲衰十两丙衰七十五两丁衰一
　　　　　百二十五两若于丁衰减去二分之一
　　　　　(减六十二两/五钱与甲)加丙衰三分之一(丙与丁/二十五)
　　　　　(两/)得八十七两五钱与七十两相较则
　　　　　多十七两五钱丙差与丁差其数一也

　　　　　至再借二十八两为甲衰其加减亦与

　　　　　前借数同惟甲成七十两至丙则少七
　　　　　两丁则多七两其数相同故但取丙差
　　　　　数就其两差之较数以比例之得甲之
　　　　　原银数也
　　　　　又法既得两借数之差用互乘以齐其
　　　　　分以前借数十两互乘后少七两为加
　　　　　十倍得少七十两以后借数二十八两
　　　　　互乘前少十七两五钱为加二十八倍

　　　　　得少四百九十两乃以互乘所得两少
　　　　　数相减馀四百二十两为二率原两少
　　　　　数相减馀十两五钱为一率甲一人为
　　　　　三率得四率四十两即甲银数也盖所
　　　　　加十倍与二十八倍相差为十八倍则
　　　　　互乘所得两少数相差之四百二十两
　　　　　即十八倍之总差数也然甲银为总差
　　　　　数之十分半之十八必为十八倍总差
　　　　　数之十分半之一故以十分半与四百

　　　　　二十两之比即同于一分与四十两之

　　　　　比也
设如甲丙两果园不知亩数将甲园扩出五十亩则
　比丙园大二倍若将丙园扩出五十亩则比甲园
　大一倍问两园原有之亩数若干
　　　　　法借四十亩为甲园衰数加五十亩得
　　　　　九十亩此数三分之得三十亩为丙园
　　　　　衰数(因甲加五十亩比丙园大二倍是/丙园为甲园三分之一也故三分)
　　　　　(之/)将丙园三十亩加五十亩得八十亩

　　　　　与甲园四十亩相较适大一倍此数已
　　　　　合则不必再借故凡叠借法中一借即
　　　　　合原数者皆如此例不必再借也
设如大小两船雇夫小船每人出银为大船每人五
　分之四若大船八人小船五人出银则不足七两
　若大船六人小船八人出银则不足三两问共银
　及每人各出银几何
　　　　　法以五分为大船每人衰数四分为小
　　　　　船每人衰数(因小船每人为大船/每人五分之四也)以五

　　　　　分与大船八人相乘得四十分为大船

　　　　　八人共衰数以四分与小船五人相乘
　　　　　得二十分为小船五人共衰数相加得
　　　　　六十分为大船八人小船五人共出银
　　　　　共分数又将五分与大船六人相乘得
　　　　　三十分为大船六人共衰数以四分与
　　　　　小船八人相乘得三十二分为小船八
　　　　　人共衰数相加得六十二分为大船六
　　　　　人小船八人共出银共分数乃将六十

　　　　　分少七两书于右六十二分少三两书
　　　　　于左用两朒求总银法算之于是以六
　　　　　十分与六十二分相减馀二分为一率
　　　　　以两少数相减馀四两为二率一分为
　　　　　三率得四率二两为每分之银数与六
　　　　　十分相乘得一百二十两加少七两得
　　　　　一百二十七两为雇夫之总银数(如与/六十)
　　　　　(二分相乘则得一百二十四两加少三/两亦得一百二十七两为雇夫之总银)
　　　　　(数/)又以每分二两与大船每人衰数五

　　　　　分相乘得十两为大船每人所出银数

　　　　　以每分二两与小船每人衰数四分相
　　　　　乘得八两为小船每人所出银数也此
　　　　　盈朒内两朒之正法但因有借分为衰
　　　　　数之故故附于此以备叠借之一体云
设如有石二块大小不等俱不知重数只有铜条一
　根重十二两互换称之而得二石之各重几何
　　　　　法先将铜条分作十二分每分又作十
　　　　　分用一绳系于第五分之上(系于五分/者随便取)

　　　　　(一数/也)乃以五分加一倍与十二分相较
　　　　　馀二分折半得一分与五分相加为六
　　　　　分乃以五分为一率六分为二率馀二
　　　　　分作二两为三率(因铜条重十二两分/为十二分今二分故)
　　　　　(为二/两也)得四率二两四钱(此四率是先将/铜条之五分处)
　　　　　(取均平之法盖提系在五分上必于五/分之端加二两四钱乃与七分相平也)
　　　　　爰以铜条作秤杆将大石挂在铜条一
　　　　　头离提系五分而以小石作锤称之今
　　　　　离提系得六分始平记之(如前/图)又将小

　　　　　石挂在铜条一头离提系五分而以大

　　　　　石作锤称之今离提系得四分始平亦
　　　　　记之(如后/图)乃先借二十六两四钱为大
　　　　　石衰数与前所得二两四钱相减馀二
　　　　　十四两(内减二两四钱者因铜条之五/分一边必加二两四钱始平今)
　　　　　(于借衰中减去者所以补足均/平之数然后较物之轻重也)用六分
　　　　　为一率(即小石在/六分之数)五分为二率(即大石/在五分)
　　　　　(之/数)二十四两为三率(即大石衰中减去/二两四钱所馀之)
　　　　　(数/)得四率二十两为小石之衰数(此四/率是)

　　　　　(以大石衰数/求小石衰数)因以小石衰数二十两与
　　　　　二两四钱相减馀十七两六钱(此亦减/去二两)
　　　　　(四钱因小石移在五分之/一边补足均平之数也)用四分为一
　　　　　率(即大石在/四分之数)五分为二率(即小石在/五分之数)十
　　　　　七两六钱为三率(即小石衰中减去二/两四钱所馀之数)
　　　　　得四率二十二两(此第二四率又以小/石衰数转求大石衰)
　　　　　(数试其/合否也)与所借大石衰数二十六两四
　　　　　钱相较则少四两四钱再加三十二两
　　　　　四钱为大石衰数与二两四钱相减馀

　　　　　三十两用六分为一率五分为二率三

　　　　　十两为三率得四率二十五两为小石
　　　　　之衰数因以小石衰数二十五两与二
　　　　　两四钱相减馀二十二两六钱用四分
　　　　　为一率五分为二率二十二两六钱为
　　　　　三率得四率二十八两二钱五分与所
　　　　　借大石衰数三十二两四钱相较则少
　　　　　四两一钱五分乃将前借数二十六两
　　　　　四钱少四两四钱书于右后借数三十

　　　　　二两四钱少四两一钱五分书于左用
　　　　　两不足法算之于是以两少数相减馀
　　　　　二钱五分为一率两借数相减馀六两
　　　　　为二率前借数与大石衰数相较之少
　　　　　四两四钱为三率得四率一百零五两
　　　　　六钱加前借数二十六两四钱共一百
　　　　　三十二两即大石之重数又于大石重
　　　　　数内减去二两四钱馀一百二十九两
　　　　　六钱用六分为一率五分为二率(即前/以大)

　　　　　(石衰数求小石衰数之法既有大/石真数故仍以前法求小石真数)一百

　　　　　二十九两六钱为三率得四率一百零
　　　　　八两为小石之重数也如以四分为一
　　　　　率五分为二率(即前以小石求/大石之重法)于小石
　　　　　重数一百零八两内减去二两四钱馀
　　　　　一百零五两六钱为三率得四率一百
　　　　　三十二两为大石之重数亦合前数也
　　　　　此法盖因铜条重十二两而分作十二
　　　　　分设如作一甲乙线为铜条分作十二

　　　　　分每分重一两提系在丙处甲丙与丙
　　　　　丁等则其重亦必等如以甲丁与甲乙
　　　　　相减则馀丁乙即丙乙多于甲丙之二
　　　　　分也既多二分必重二两如以二两重
　　　　　物挂于乙丁中间之戊处则丙乙自重
　　　　　于甲丙也今欲以物趁之使其两平则
　　　　　以甲丙五分为一率丙戊六分为二率
　　　　　二两为三率得四率二两四钱是将二
　　　　　两四钱之物加于甲处始得两平其以

　　　　　丙戊六分为二率者何也盖丙丁与甲

　　　　　　丙等而重者止在丁乙一段而戊为丁
　　　　　　乙之中戊去丙远甲去丙近惟近故加
　　　　　　重而后可以胜远之轻若于甲接长二
　　　　　　分则于二分之中施二两之物即称平
　　　　　　矣故以二两四钱加于甲处始能趁平
　　　　　　丁乙之二分也此法数层加减几用比
　　　　　　例颇觉繁琐而用方程算之微觉简明
　　　　　　但系叠借本法故两收之收入叠借者

　　　　　　所以存其理而收入方程者所以取其
　　　　　　简也
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷九