钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四
　　线部二
　　　按分递折比例(二八差分/递折差分)　(三七差分差分四六差分/加倍减半)

　　按分递折比例
差分之款项虽多而按分递折者皆为相连比例故
约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为
总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分
为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差
分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细
分其目如左
二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得

十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数
盖八与三十二之比即如二与八之比也有四色者
则以二与八与三十二与一百二十八为衰数盖三
十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于
五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二
八之比例故曰二八差分
三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得
十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为
衰数(以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之/数七作三分必至奇零不尽故以三因三得九)

(为三分则以三因七得二十一为七分如/二十一转为三分则四十九又为七分矣)盖九与二

十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三
与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一
百四十七与三百四十三为衰数(以三因九得二十/七为三分故以七)
(因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百/四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十)
(三又为/七分矣)盖二十七与六十三六十三与一百四十七
一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五
色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七
之比例故曰三七差分

四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得
十分之六有三色者则以四与六与九为衰数盖六
与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与
六与九与一三五为衰数盖九与一三五之比亦如
四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰
数总不越乎四六之比例故曰四六差分
递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其
六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为
十分之半故载于倍半法中而别为一类

加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则

数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有
定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以
求正数也
　　二八差分
设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若
　干
　　　　　法以二分八分相并得十分为一率银
　　　　　三千两为二率二分为三率推得四率

　　　　　六百两为下等人户所纳之数仍以二
　　　　　分八分相并之十分为一率银三千两
　　　　　为二率以八分为三率推得四率二千
　　　　　四百两即为上等人户所纳之数也此
　　　　　法两用四率者正为明比例之理盖二
　　　　　分八分相并之十分与总银三千之比
　　　　　即如二分之与六百之比八分之与二
　　　　　千四百之比也
　　　　　又捷法以二八所并之十分归除总银

　　　　　三千两得每分三百两以二分乘之得

　　　　　六百以八分乘之得二千四百盖每一
　　　　　分得三百而二分得六百八分得二千
　　　　　四百也又或先得二分所纳之数于总
　　　　　银内减之即八分所纳之数此又正法
　　　　　外之变法也
设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银
　人若干赏米人若干
　　　　　法以二分八分相并得十分为一率人

　　　　　一千六百名为二率二分为三率推得
　　　　　四率三百二十名为应赏银之人如以
　　　　　八分为三率推得四率一千二百八十
　　　　　名即应赏米之人也盖二分八分相并
　　　　　之十分与总人一千六百之比即如二
　　　　　分之与三百二十名之比八分之与一
　　　　　千二百八十名之比也
　　　　　又捷法以二八所并之十分归除总人
　　　　　数一千六百名得每分一百六十名以

　　　　　二分乘之得赏银人三百二十名以八

　　　　　分乘之得赏米人一千二百八十名盖
　　　　　每一分得一百六十名而二分得三百
　　　　　二十名八分得一千二百八十名也
设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之
　问每人应得几何
　　　　　法以二分为甲衰八分为乙衰三十二
　　　　　分为丙衰相并得四十二分为一率总
　　　　　米五百八十八石为二率以甲二分为

　　　　　三率推得四率二十八石即甲分米数
　　　　　以乙八分为三率得四率一百一十二
　　　　　石即乙分米数以丙三十二分为三率
　　　　　得四率四百四十八石即丙分米数也
　　　　　此法用二与八八与三十二者即二八
　　　　　相连比例分盖总分数四十二分与总
　　　　　米五百八十八石之比即二分与二十
　　　　　八石之比八分与一百一十二石之比
　　　　　即三十二分与四百四十八石之比也

　　　　　又捷法以总数四十二分归除总米五

　　　　　百八十八石得每分一十四石以二分
　　　　　乘之得甲米二十八石以八分乘之得
　　　　　乙米一百一十二石以三十二分乘之
　　　　　得丙米四百四十八石也
设如有铜五百二十斤鍊成精铜每十分中去渣二
　分馀精铜八分问精铜与渣各得若干
　　　　　法以十分为一率铜五百二十斤为二
　　　　　率八分为三率推得四率四百一十六

　　　　　斤为精铜之数如以二分为三率推得
　　　　　四率一百零四斤即铜渣之数也盖十
　　　　　分与五百二十斤之比即如八分之与
　　　　　四百一十六斤之比二分之与一百零
　　　　　四斤之比也
　　　　　又捷法以十分归除总铜五百二十斤
　　　　　得每分五十二斤以八分乘之得四百
　　　　　一十六斤以二分乘之得一百零四斤
　　　　　盖每一分五十二斤而二分得一百零

　　　　　四斤八分得四百一十六斤也又或先

　　　　　得精铜八分数减总铜馀即铜渣二分
　　　　　数也
设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递
　次二八分种问各田应得几何
　　　　　法以二分为麻衰八分为豆衰三十二
　　　　　分为谷衰一百二十八分为麦衰并之
　　　　　得一百七十分为一率总田二千六百
　　　　　三十五亩为二率以麦一百二十八分

　　　　　为三率得四率一千九百八十四亩即
　　　　　麦田数如以谷三十二分为三率得四
　　　　　率四百九十六亩即谷田数如以豆八
　　　　　分或麻二分为三率所得四率即豆一
　　　　　百二十四亩与麻三十一亩之田数也
　　　　　又捷法以总数一百七十分除总田数
　　　　　二千六百三十五亩得每分一十五亩
　　　　　五分乃以每色分数乘之即得每色应
　　　　　种数也

设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出

　问各出几何
　　　　　法以一商为二分一商为八分一商为
　　　　　三十二分一商为一百二十八分一商
　　　　　为五百一十二分并之得六百八十二
　　　　　分为一率总银三千四百一十两为二
　　　　　率以五百一十二分为三率得四率二
　　　　　千五百六十两即五百一十二分应出
　　　　　之数如以一百二十八分为三率得四

　　　　　率六百四十两即一百二十八分应出
　　　　　之数如以三十二分为三率得四率一
　　　　　百六十两即三十二分应出之数如以
　　　　　八分或二分为三率所得四率四十两
　　　　　即八分应出之数一十两即二分应出
　　　　　之数也
　　　　　又捷法以总数六百八十二分除总银
　　　　　三千四百一十两得每分五两再以每
　　　　　人分数乘之即得每人应出银数也

设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊

　五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户
　丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何
　各等户共纳几何
　　　　　法以五百一十二为甲一户分数再以
　　　　　甲三十户乘之得一万五千三百六十
　　　　　为甲三十户共分数以一百二十八为
　　　　　乙一户分数再以乙四十户乘之得五
　　　　　千一百二十为乙四十户共分数又以

　　　　　三十二为丙一户分数再以丙五十户
　　　　　乘之得一千六百为丙五十户共分数
　　　　　又以八为丁一户分数再以丁六十户
　　　　　乘之得四百八十为丁六十户共分数
　　　　　又以二为戊一户分数再以戊七十户
　　　　　乘之得一百四十为戊七十户共分数
　　　　　以所得五等共分数并之得二万二千
　　　　　七百为总分数为一率总粮二千六百
　　　　　五十五石九斗为二率以甲五百一十

　　　　　二分为三率得甲一户纳五十九石九

　　　　　斗零四合又以甲三十户乘之得甲共
　　　　　纳一千七百九十七石一斗二升以乙
　　　　　一百二十八分为三率得乙一户纳十
　　　　　四石九斗七升六合又以乙四十户乘
　　　　　之得乙共纳五百九十九石零四升以
　　　　　丙三十二分为三率得丙一户纳三石
　　　　　七斗四升四合又以丙五十户乘之得
　　　　　丙共纳一百八十七石二斗以丁八分

　　　　　为三率得丁一户纳九斗三升六合又
　　　　　以丁六十户乘之得丁共纳五十六石
　　　　　一斗六升以戊二分为三率得戊一户
　　　　　纳二斗三升四合又以戊七十户乘之
　　　　　得戊共纳十六石三斗八升也
　　　　　又捷法以总分数除总粮数得每一分
　　　　　一斗一升七合以各等一户分数乘之
　　　　　得各等一户纳粮之数以各等共户分
　　　　　数乘之得各等共户纳粮之数盖前法

　　　　　有各等户而各等之中又有众户故以

　　　　　定分数(二八三十二一百二十/八五百一十二之数)为各等
　　　　　分数又以众户乘之为各等共户之分
　　　　　数此捷法以总分数除总粮是得各等
　　　　　每一户中之一分故以每一户分数乘
　　　　　之得每一户之数以每一等共分数乘
　　　　　之得每一等之全数也
　　三七差分
设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几

　何
　　　　　法以七分为东县衰数三分为西县衰
　　　　　数并之得十分为一率总银五千两为
　　　　　二率以七分为三率得四率三千五百
　　　　　两即东县应支之数如以三分为三率
　　　　　得四率一千五百两即西县应支之数
　　　　　也盖三七比例亦以总衰数与总银数
　　　　　之比即若每县衰数与每县银数之比
　　　　　故十分与五千之比即若三分与一千

　　　　　五百之比七分与三千五百之比也

　　　　　又捷法先以总衰十分除总银五千两
　　　　　得每分五百两以七分乘之即东县之
　　　　　数以三分乘之即西县之数或得东县
　　　　　数于总银内减之馀即西县数也此法
　　　　　以总衰除总银得每分五百两以七乘
　　　　　之即得七分以三乘之即得三分也前
　　　　　法先乘而后除后法先除而后乘其理
　　　　　一也

设如有田二千五百亩令上等户七分种之下等户
　三分种之问各该几何
　　　　　法以七分三分相并得十分为一率二
　　　　　千五百亩为二率上户七分为三率得
　　　　　四率一千七百五十亩即上户应种田
　　　　　数如以三分为三率得四率七百五十
　　　　　亩即下户应种田数盖十分与二千五
　　　　　百亩之比即七分与一千七百五十亩
　　　　　之比三分与七百五十亩之比也

　　　　　又捷法以三七相并之十分归除总田

　　　　　二千五百亩得每分二百五十亩以三
　　　　　分乘之得下户七百五十亩以七分乘
　　　　　之得上户一千七百五十亩盖一分为
　　　　　二百五十亩而三分得七百五十亩七
　　　　　分得一千七百五十亩也
设如以车运物行十里二十刻到今已行七里问尚
　得几刻到
　　　　　法以十里为一率二十刻为二率以七

　　　　　里与十里相减馀三里为三率推得四
　　　　　率六刻即运到刻数也如以七里为三
　　　　　率推得四率十四刻与总二十刻相减
　　　　　馀六刻亦即运到刻数也盖十里与二
　　　　　十刻之比即三里与六刻之比七里与
　　　　　十四刻之比也
　　　　　又捷法以十里归除二十刻得每里二
　　　　　刻以三里乘之得六刻以七里乘之得
　　　　　十四刻盖每一里为二刻则三里得六

　　　　　刻七里得十四刻也

设如种树一千一百六十株按松柏桃柳四色递次
　三七分种问各该几何
　　　　　法以三百四十三分为松衰一百四十
　　　　　七分为柏衰六十三分为桃衰二十七
　　　　　分为柳衰并之得五百八十分为一率
　　　　　一千一百六十株为二率以三百四十
　　　　　三分为三率得四率六百八十六株即
　　　　　种松之数以一百四十七分为三率得

　　　　　四率二百九十四株即种柏之数以六
　　　　　十三分为三率得四率一百二十六株
　　　　　即种桃之数以二十七分为三率得四
　　　　　率五十四株即种柳之数也
　　　　　又捷法以总衰数五百八十归除总树
　　　　　一千一百六十得每分二株以三百四
　　　　　十三分乘之得种松之数以一百四十
　　　　　七分乘之得种柏之数以六十三分乘
　　　　　之得种桃之数以二十七分乘之得种

　　　　　柳之数也此法有四位故以三因九得

　　　　　二十七为柳衰数又递用七因三归为
　　　　　桃柏松之衰数也
设如有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三
　七分织问各该丝几何
　　　　　法以九分为绢衰二十一分为绫衰四
　　　　　十九分为缎衰并之得七十九分为一
　　　　　率丝四百九十七两七钱为二率以缎
　　　　　四十九分为三率得四率三百零八两

　　　　　七钱即缎丝数如以绫二十一分为三
　　　　　率得四率一百三十二两三钱即绫丝
　　　　　数如以绢九分为三率得四率五十六
　　　　　两七钱即绢丝数也
　　　　　又捷法以总衰数七十九分除总丝四
　　　　　百九十七两七钱得每分六两三钱以
　　　　　缎四十九分乘之得缎丝之数以绫二
　　　　　十一分乘之得绫丝之数以绢九分乘
　　　　　之得绢丝之数也此法有三位故以三

　　　　　因三得九为绢之衰数又递用七因三

　　　　　归为绫与缎之衰数盖九与二十一二
　　　　　十一与四十九为相连比例三率而九
　　　　　与二十一之比即二十一与四十九之
　　　　　比也
设如编银八百二十八两二钱令甲乙丙丁戊五等
　户三七徵纳问各户所纳几何
　　　　　法以八十一分为甲衰一百八十九分
　　　　　为乙衰四百四十一分为丙衰一千零

　　　　　二十九分为丁衰二千四百零一分为
　　　　　戊衰并之得四千一百四十一分为一
　　　　　率总银八百二十八两二钱为二率以
　　　　　每人分数各为三率得四率之一十六
　　　　　两二钱即甲所纳银数得四率之三十
　　　　　七两八钱即乙所纳银数得四率之八
　　　　　十八两二钱即丙所纳银数得四率之
　　　　　二百零五两八钱即丁所纳银数得四
　　　　　率之四百八十两二钱即戊所纳银数

　　　　　也

　　　　　又捷法以总衰数四千一百四十一分
　　　　　归除总银八百二十八两二钱得每分
　　　　　二钱以甲乙丙丁戊各人分数乘之即
　　　　　得各人所纳银数也此法有五位故以
　　　　　三因二十七得八十一分为甲之衰数
　　　　　又递用七因三归即得乙丙丁戊各衰
　　　　　数矣
设如有田一百三十八亩每亩徵米二斗今七分徵

　米三分折丝每米一石折丝一斤问各该几何
　　　　　法以七分为米衰三分为丝衰并之得
　　　　　十分为一率又以徵米二斗乘田一百
　　　　　三十八亩得总米二十七石六斗为二
　　　　　率以米七分为三率得四率一十九石
　　　　　三斗二升即徵米七分之数与总米相
　　　　　减馀八石二斗八升为三分折丝之数
　　　　　按米每石折丝一斤则以八石二斗八
　　　　　升用十六两乘之得一百三十二两四

　　　　　钱八分为八斤四两四钱八分即折丝

　　　　　三分之数也此法以徵米二斗乘总田
　　　　　是得总徵米数而三七分之也总米分
　　　　　去七分即本色米数馀者折为丝即三
　　　　　分丝数也折丝之法每石既为一斤则
　　　　　八石二斗四升自得八斤四两四钱八
　　　　　分也
　　　　　又捷法以总衰十分归除总米二十七
　　　　　石六斗得每分二石七斗六升以米七

　　　　　分乘之得米数以丝三分乘之得折丝
　　　　　之米数既得折丝之米数而丝之斤两
　　　　　亦得矣
　　四六差分
设如有金四千两令上下二等金户六四倾销问各
　该几何
　　　　　法以六分为上等衰数四分为下等衰
　　　　　数并之得十分为一率共金四千两为
　　　　　二率以六分为三率得四率二千四百

　　　　　两即上等金户倾销之数如以四分为

　　　　　三率得四率一千六百两即下等金户
　　　　　倾销之数此法以四分六分相并之十
　　　　　分与共金四千两之比即如六分与二
　　　　　千四百两之比四分与一千六百两之
　　　　　比也
　　　　　又捷法以总衰十分归除共金四千两
　　　　　得每分四百两以六分乘之得二千四
　　　　　百两为上等金户倾销之数以四分乘

　　　　　之得一千六百两为下等金户倾销之
　　　　　数如先得上等六分金数于共金数内
　　　　　减之其馀即下等四分金数也
设如有水田三百亩令上下二户四六分灌问各灌
　若干
　　　　　法以四分六分相并得十分为一率三
　　　　　百亩为二率六分为三率推得四率一
　　　　　百八十亩即上户所灌之田以四分为
　　　　　三率推得四率一百二十亩即下户所

　　　　　灌之田也盖四六相并之十分与三百

　　　　　亩之比即六分与一百八十亩之比四
　　　　　分与一百二十亩之比也
　　　　　又捷法以相并之十分归除总田三百
　　　　　亩得每分三十亩以六分乘之即上户
　　　　　田数以四分乘之即下户田数盖每一
　　　　　分得三十亩而六分得一百八十亩四
　　　　　分得一百二十亩也如或先得六分田
　　　　　数减总田馀即四分田数也

设如有丝二百五十斤换米每丝一斤换米一石今
　已换过六分尚馀丝四分问已换未换各若干
　　　　　法以四分六分相并得十分为一率将
　　　　　二百五十斤丝变作二百五十石米为
　　　　　二率(每丝一斤换/米一石故也)以六分为三率推得
　　　　　四率一百五十石为已换之米数以四
　　　　　分为三率推得四率一百石为未换之
　　　　　米数盖四六相并之十分与二百五十
　　　　　石之比即六分与一百五十石之比四

　　　　　分与一百石之比也

　　　　　又捷法以相并之十分归除总米二百
　　　　　五十石得每分二十五石以六分乘之
　　　　　得已换之一百五十石以四分乘之得
　　　　　未换之一百石盖每一分得二十五石
　　　　　而四分得一百石六分得一百五十石
　　　　　也
设如有丝一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六
　分织问各该几何

　　　　　法以四为甲衰数六为乙衰数九为丙
　　　　　衰数并之得十九为一率总丝一千五
　　　　　百五十八斤为二率以甲四分为三率
　　　　　即得甲丝三百二十八斤以乙六分为
　　　　　三率即得乙丝四百九十二斤以丙九
　　　　　分为三率即得丙丝七百三十八斤此
　　　　　法以总衰十九分与总丝一千五百五
　　　　　十八斤之比即甲四分与三百二十八
　　　　　斤之比乙六分与四百九十二斤之比

　　　　　丙九分与七百三十八斤之比也

　　　　　又捷法以总衰数十九分除总丝一千
　　　　　五百五十八斤得每分八十二斤以甲
　　　　　四分乘之得甲丝三百二十八斤以乙
　　　　　六分乘之得乙丝四百九十二斤以丙
　　　　　九分乘之得丙丝七百三十八斤也
设如有田九百七十五亩令甲乙丙丁四人四六分
　种问每人各得几何
　　　　　法以四分为甲衰六分为乙衰九分为

　　　　　丙衰一十三分半为丁衰并之得三十
　　　　　二分半为一率总田九百七十五亩为
　　　　　二率以甲四分为三率即得甲田一百
　　　　　二十亩以乙六分为三率即得乙田一
　　　　　百八十亩以丙九分丁一十三分半各
　　　　　为三率即得二百七十亩为丙田得四
　　　　　百零五亩为丁田也盖三十二分半与
　　　　　九百七十五亩之比即甲四分与一百
　　　　　二十亩之比乙六分与一百八十亩之

　　　　　比亦即丙九分与二百七十亩之比丁

　　　　　十三分半与四百零五亩之比也
　　　　　又捷法以总衰数三十二分半归除总
　　　　　田九百七十五亩得每分三十亩以甲
　　　　　乙丙丁各衰数乘之即得每人田数也
设如有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟
　按六分四分递次运载问各该几何
　　　　　法以四分为戊衰六分为丁衰九分为
　　　　　丙衰一十三分半为乙衰二十分二五

　　　　　为甲衰并之得五十二分七五为一率
　　　　　总粮一千二百六十六石为二率以甲
　　　　　二十分二五为三率得甲运四百八十
　　　　　六石以乙一十三分半为三率得乙运
　　　　　三百二十四石以丙九分为三率得丙
　　　　　运二百一十六石以丁六分为三率得
　　　　　丁运一百四十四石以戊四分为三率
　　　　　得戊运九十六石此法总衰数与总粮
　　　　　之比即各人分数与各人粮数之比也

　　　　　盖六与九九与一三五一三五与二○

　　　　　二五皆同为四六之比例也
　　　　　又捷法以总衰五十二分七五归除总
　　　　　粮一千二百六十六石得每分二十四
　　　　　石以甲乙丙丁戊各舟衰数乘之即得
　　　　　各舟运粮之数也
设如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六
　分下等人户四分交纳上等二十六户下等四十
　户问各等每户各该几何

　　　　　法以六为上等衰数以上户二十六户
　　　　　乘之得一百五十六为上等二十六户
　　　　　共衰数以四为下等衰数以下户四十
　　　　　乘之得一百六十为下等四十户共衰
　　　　　数并之得三百一十六为一率总米三
　　　　　百八十五石五斗二升为二率以上等
　　　　　六分为三率得四率七石三斗二升为
　　　　　上等一户米数以上等共分数一百五
　　　　　十六为三率得一百九十石三斗二升

　　　　　为上等二十六户共米数如以下等四

　　　　　分为三率得四率四石八斗八升为下
　　　　　等一户米数以下等共分数一百六十
　　　　　为三率得一百九十五石二斗即下等
　　　　　四十户共米数也
　　　　　又捷法以总衰三百一十六分归除总
　　　　　米三百八十五石五斗二升得每分一
　　　　　石二斗二升以六分乘之得上等一户
　　　　　米数以上等共分数乘之得上等共米

　　　　　数以四分乘之得下等一户米数以下
　　　　　等共分数乘之得下等共米数也
　　递折差分
设如有熟稻七百九十九亩六分八釐令三人以十
　分之六收割问每人得几何
　　　　　法以一百为第一人分数六十为第二
　　　　　人分数三十六为第三人分数三分数
　　　　　相并得一百九十六分为一率总稻七
　　　　　百九十九亩六分八釐为二率第一人

　　　　　分数一百为三率得四率四百零八亩

　　　　　即第一人收割田数如以第二人分数
　　　　　六十为三率得四率二百四十四亩八
　　　　　分即第二人收割田数如以第三人分
　　　　　数三十六为三率得四率一百四十六
　　　　　亩八分八釐即第三人收割田数盖十
　　　　　分之六如彼得十分此得六分也第二
　　　　　人得第一人十分之六第三人又得第
　　　　　二人十分之六故一百与六十之比即

　　　　　六十与三十六之比递次比例皆十分
　　　　　之六也其得数四百零八亩与二百四
　　　　　十四亩八分之比即二百四十四亩八
　　　　　分与一百四十六亩八分八釐之比亦
　　　　　皆为十分之六也
　　　　　又捷法以总分一百九十六除总田七
　　　　　百九十九亩六分八釐得每一分四亩
　　　　　零八釐以一百分乘之得第一人四百
　　　　　零八亩以六十分乘之得第二人二百

　　　　　四十四亩八分以三十六分乘之得第

　　　　　三人一百四十六亩八分八釐也
设如有银一千二百六十六两五钱令四商以十分
　之七递次贩货出卖问每人该银几何
　　　　　法以一千为第一人分数七百为第二
　　　　　人分数四百九十为第三人分数三百
　　　　　四十三为第四人分数相并得二千五
　　　　　百三十三分为一率总银一千二百六
　　　　　十六两五钱为二率以一千分为三率

　　　　　得四率五百两即第一人银数以七百
　　　　　分为三率得四率三百五十两即第二
　　　　　人银数以四百九十分为三率得四率
　　　　　二百四十五两即第三人银数以三百
　　　　　四十三分为三率得四率一百七十一
　　　　　两五钱即第四人银数盖十分之七递
　　　　　折而下第二人得第一人十分之七则
　　　　　第三人亦得第二人十分之七而第四
　　　　　人又得第三人之十分之七其先立衰

　　　　　数一千分七百分四百九十分三百四

　　　　　十三分皆十与七之比例也
　　　　　又捷法以总分二千五百三十三除总
　　　　　银一千二百六十六两五钱得每一分
　　　　　五钱以一千分乘之得第一人五百两
　　　　　以七百分乘之得第二人三百五十两
　　　　　以四百九十分乘之得第三人二百四
　　　　　十五两以三百四十三分乘之得第四
　　　　　人一百七十一两五钱也

设如生铜入炉镕化三次每一次去渣十分之二净
　得上好熟铜二百四十八两问原铜几何
　　　　　法即以十分之八为分数(十分之中去/渣二分得净)
　　　　　(铜八分故以十/分之八为比例)以八分为一率十分为
　　　　　二率熟铜二百四十八两为三率得四
　　　　　率三百一十两为第三次入炉铜数又
　　　　　以八分为一率十分为二率三百一十
　　　　　两为三率得四率三百八十七两五钱
　　　　　为第二次入炉铜数再以八分为一率

　　　　　十分为二率三百八十七两五钱为三

　　　　　率得四率四百八十四两三钱七分五
　　　　　釐即第一次入炉生铜数也此法因八
　　　　　折三次而转求原数故以八分为一率
　　　　　十分为二率转求三次而始得也
　　　　　又法以八分自乘再乘得五百一十二
　　　　　分为一率十分自乘再乘得一千分为
　　　　　二率熟铜二百四十八两为三率得四
　　　　　率四百八十四两三钱七分五釐即第

　　　　　一次入炉生铜数也前法以三次三率
　　　　　各求四率故必乘除三次此法则以一
　　　　　率二率俱各自乘再乘止以第三次熟
　　　　　铜数为三率即得第一次生铜数是合
　　　　　三次乘除而为一次乘除也
设如有丝三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分
　之八折分问各得几何
　　　　　法以一千为甲分数八百为乙分数六
　　　　　百四十为丙分数五百一十二为丁分

　　　　　数相并得二千九百五十二分为一率

　　　　　总丝三百六十九斤为二率以每人分
　　　　　数各为三率所得各四率一百二十五
　　　　　斤为甲数一百斤为乙数八十斤为丙
　　　　　数六十四斤为丁数盖十分之八递折
　　　　　而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分
　　　　　之八而丁得丙亦十分之八其先立衰
　　　　　数一千分八百分六百四十分五百一
　　　　　十二分皆十与八之比例也如捷法先

　　　　　除后乘须用通分不然则斤数有奇零
　　　　　矣
设如有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户
　照十分之六出之上等户二十五中等户三十下
　等户四十八问每户该出几何
　　　　　法以一百为上等分数用二十五乘之
　　　　　得二千五百为上等户共分数以六十
　　　　　为中等分数用三十乘之得一千八百
　　　　　为中等户共分数以三十六为下等分

　　　　　数用四十八乘之得一千七百二十八

　　　　　为下等户共分数并之共六千零二十
　　　　　八分为一率绢四百七十丈一尺八寸
　　　　　四分为二率以三等各分数各为三率
　　　　　所得各四率上等每户出七丈八尺中
　　　　　等每户出四丈六尺八寸下等每户出
　　　　　二丈八尺零八分又以各等户数乘各
　　　　　等每户绢数得上等二十五户共出绢
　　　　　一百九十五丈中等三十户共出绢一

　　　　　百四十丈零四尺下等四十八户共出
　　　　　绢一百三十四丈七尺八寸四分也
　　　　　又捷法以总分数六千零二十八分除
　　　　　总绢四百七十丈一尺八寸四分得每
　　　　　一分为七寸八分以各等分数乘之得
　　　　　各等每一户绢数再以各等户数乘之
　　　　　即得各等众户共出绢数也
设如有官粮一百六十八石四斗八升八合令四等
　人户以十分之七依次递折交纳一等二十二户

　二等三十六户三等四十二户四等四十八户问

　每等每户各纳几何
　　　　　法以一千为一等分数用二十二户乘
　　　　　之得二万二千即一等户共分数以七
　　　　　百为二等分数用三十六户乘之得二
　　　　　万五千二百即二等户共分数以四百
　　　　　九十为三等分数用四十二户乘之得
　　　　　二万零五百八十为三等户共分数以
　　　　　三百四十三为四等分数用四十八户

　　　　　乘之得一万六千四百六十四为四等
　　　　　户共分数并之共八万四千二百四十
　　　　　四分为一率总粮一百六十八石四斗
　　　　　八升八合为二率以一千分为三率得
　　　　　四率一等每户二石以共户数乘之得
　　　　　共纳四十四石以七百分为三率得四
　　　　　率二等每户一石四斗以共户数乘之
　　　　　得共纳五十石零四斗以四百九十分
　　　　　为三率得四率三等每户九斗八升以

　　　　　共户数乘之得共纳四十一石一斗六

　　　　　升以三百四十三分为三率得四率四
　　　　　等每户六斗八升六合以共户数乘之
　　　　　得共纳三十二石九斗二升八合也
　　　　　又捷法以总分数八万四千二百四十
　　　　　四除总粮一百六十八石四斗八升八
　　　　　合得每一分为二合以各等分数乘之
　　　　　得各等每一户粮数再以各等户数乘
　　　　　之即得各等众户共纳粮数也

　　加倍减半差分
设如一人读书日加一倍三日共读三千四百六十
　五字问每日所读几何
　　　　　法以一为第一日分数二为第二日分
　　　　　数四为第三日分数并之得七分为一
　　　　　率总字三千四百六十五为二率一分
　　　　　为三率得四率四百九十五字即第一
　　　　　日所读之数倍之得九百九十字即第
　　　　　二日所读之数又倍之得一千九百八

　　　　　十字即第三日所读之数也盖加倍者

　　　　　是第二日增于第一日一倍第三日又
　　　　　增于第二日一倍倍数多者由此递加
　　　　　如二与四四与八八与十六之类皆为
　　　　　加一倍之比例也
设如一人织绢日加一倍至第四日织成六丈七尺
　五寸问每日织几何
　　　　　法以一为第一日分数二为第二日分
　　　　　数四为第三日分数八为第四日分数

　　　　　并之得十五分为一率总绢六丈七尺
　　　　　五寸为二率一分为三率得四率四尺
　　　　　五寸即第一日之数倍之得九尺为第
　　　　　二日之数又倍之得一丈八尺为第三
　　　　　日之数又倍之得三丈六尺为第四日
　　　　　之数四数相加共得六丈七尺五寸以
　　　　　合原数也
设如一人借银为商三次每次得利银比本银加一
　倍每次还人二百两三次之后本利还尽问原本

　银若干

　　　　　法以一为本银分数二为第一次本利
　　　　　共分四为第二次本利共分八为第三
　　　　　次本利共分即以八分为一率原本银
　　　　　一分为二率又以一为第三次还银分
　　　　　二为第二次还银分四为第一次还银
　　　　　分并之得七分与每次还人二百两相
　　　　　乘得一千四百两为三率得四率一百
　　　　　七十五两即原本银数也盖每次得利

　　　　　银比本银加一倍则原本银为一分第
　　　　　一次必得二分第二次必得四分至第
　　　　　三次必得八分此以未还人计也然每
　　　　　次还人二百两三次之后本利还尽若
　　　　　第三次不还则得二百两者一分第二
　　　　　次不还则至第三次必得二百两者二
　　　　　分第一次不还则至第三次必得二百
　　　　　两者四分(以第一次之一分第二次加/倍得二分第三次加倍得四)
　　　　　(分/)是第三次应得二百两者七分而为

　　　　　一千四百两矣故以八分与一分之比

　　　　　同于一千四百两与一百七十五两之
　　　　　比也
　　　　　又法以二百两用三次还银共分七乘
　　　　　之得一千四百两折半三次亦得本银
　　　　　之数盖折半三次即以八除也
设如一人卖酒每日比原数加一倍一日卖一斤六
　日卖尽问原酒若干
　　　　　法以一为原酒分数按六日加倍六次

　　　　　得六十四分为一率原酒一分为二率
　　　　　又以一为第六次卖酒分二为第五次
　　　　　卖酒分四为第四次卖酒分八为第三
　　　　　次卖酒分十六为第二次卖酒分三十
　　　　　二为第一次卖酒分并之得六十三分
　　　　　与每斤十六两相乘得一千零八两为
　　　　　三率得四率十五两七钱五分即原酒
　　　　　数也
　　　　　又法以每斤十六两用六次卖酒共分

　　　　　六十三乘之得一千零八两折半六次

　　　　　亦得原酒之数盖折半六次即以六十
　　　　　四除也
设如有田一千二百亩分与甲乙丙丁四人种之自
　上以下递减一半问各该若干
　　　　　法以八为甲分四为乙分二为丙分一
　　　　　为丁分并之得十五分为一率田一千
　　　　　二百亩为二率以甲八分为三率得四
　　　　　率六百四十亩即甲田数以乙四分为

　　　　　三率得四率三百二十亩即乙田数以
　　　　　丙二分为三率得四率一百六十亩即
　　　　　丙田数以丁一分为三率得四率八十
　　　　　亩即丁田数如以甲田六百四十亩折
　　　　　半即乙田数以乙田三百二十亩折半
　　　　　即丙田数以丙田一百六十亩折半即
　　　　　丁田数也
设如有银一万八千零八十八两令甲乙丙三人减
　半分之问各该几何

　　　　　法以四为甲分数二为乙分数一为丙

　　　　　分数并之得七分为一率总银一万八
　　　　　千零八十八两为二率以甲四分为三
　　　　　率得四率一万零三百三十六两即甲
　　　　　所得银数以乙二分为三率得四率五
　　　　　千一百六十八两即乙所得银数以丙
　　　　　一分为三率得四率二千五百八十四
　　　　　两即丙所得银数也盖减半者即自上
　　　　　而下折半减之也如四折半为二二折

　　　　　半为一是也今以甲银一万零三百三
　　　　　十六两折半即得乙银五千一百六十
　　　　　八两将乙银再折半即得丙银二千五
　　　　　百八十四两也
设如有银三千一百六十两分与三等人第一等人
　二十名第二等人二十四名第三等人三十名第
　二等比一等之银减一倍第三等比二等之银减
　一倍问各等每人分银几何
　　　　　法以四为一等分数二为二等分数一

　　　　　为三等分数以一分乘三等三十名仍

　　　　　　得三十分以二分乘二等二十四名得
　　　　　　四十八分以四分乘一等二十名得八
　　　　　　十分三数相并共得一百五十八分为
　　　　　　一率总银三千一百六十两为二率四
　　　　　　分为三率得四率八十两为第一等每
　　　　　　人所得银数减半得四十两为二等每
　　　　　　人所得银数又减半得二十两为三等
　　　　　　每人所得银数以各等人数乘各等每

　　　　　　人所得银数即各等共人所得共银数
　　　　　　并之以合原银数也
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷四