钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三
　　线部一
　　　正比例
　　　转比例
　　　合率比例
　　　正比例带分
　　　转比例带分

　　比例
凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘
散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已
默寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总
物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何
相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有
物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何
共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大

而得小者也盖因命数以一人为法故乘与除各省其
率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例
正法则所该甚广大而推步七政天行测量高深广远
小而量功命事度大移小无一非由比例而得盖以两
数为比例用今有之数即可以得未有之数也比例之
理虽分相连相当二种而相当比例之中实又兼相连
比例相当比例一率比二率如三率比四率而相连比
例首率比中率若中率比末率者即是中率为二率而

又为三率也尽人皆知线有线之比例面有面之比例
体有体之比例殊不知差分盈朒方程借衰叠借之类
正皆比例之属也然此类中有合数之比例分数之比
例均数之比例借数之比例非条分缕析各项专论则
不备故仍旧各自为类而独于比例中最切者详明其
理以列法焉其法一名异乘同除(或名为准测/或名为顺单)以原有
之两件相除故为同除以今有之一件乘之故为异乘
(如先乘而/后除亦同)而今则质言之曰正比例盖以原有之两件

为一率二率以今有之一件为三率而所求之一件则
为四率也一名为同乘异除(或名为变测或名为/互视或名为逆单)以原
有之两件相乘故为同乘以今有之一件除之故为异
除而今则质言之曰转比例盖以原有之两件为二率
三率以今有之一件为一率而所求之一件则为四率
也然论其乘除之名虽异究其比例之理则一而已今
以数明之如原有之两数为二与四今有之一数为八
以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三

率即得今所求之四率为十六而一率二与二率四之
比即三率八与四率十六之比为相当之比例也如原
有之两数为八与四今有之一数为十六以原有之八
作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今
所求之四率为二而一率十六与二率八之比即三率
四与四率二之比或以一率十六与三率四之比即同
于二率八与四率二之比皆为相当之比例也总之乘
除之名有异同四率之列有更换而既成比例之后其

理无不归于大同由此引伸触类推而广之有合几四
率而为一四率者则名为同乘同除(或名为重测或/名为顺较逆较)而
今则质言之曰合率比例盖其理亦不过合几乘而为
一乘合几除而为一除各按四率参互错综岂能出于
比例之外哉凡此各种比例俱设数例于后以明立法
之根加之解说以广用法之意

　　正比例
设如有银买米每米一石银八钱今买米二百四十
　石问共该银若干
　　　　　法以米一石为一率银八钱为二率今
　　　　　买米二百四十石为三率二三率相乘
　　　　　一率除之得四率一百九十二两即共
　　　　　银数也盖一石与二百四十石为加二
　　　　　百四十倍而八钱与一百九十二两亦

　　　　　为加二百四十倍(见几何原本六/卷第十五节)故一
　　　　　石与八钱之比即同于二百四十石与
　　　　　一百九十二两之比也(此法一率是一/止用八钱乘二)
　　　　　(百四十石亦得但为明正比例之理/故首设一二易法使人好推寻也)
设如有银买米每银一两买米一石三斗今有银三
　百二十两问共买米若干
　　　　　法以银一两为一率米一石三斗为二
　　　　　率今银三百二十两为三率二三率相
　　　　　乘一率除之得四率四百一十六石即

　　　　　共米数也盖一两与一石三斗之比即

　　　　　同于三百二十两与四百一十六石之
　　　　　比也
设如有银赏人每三人赏银一两八钱今有二百四
　十人问共该银若干
　　　　　法以三人为一率一两八钱为二率今
　　　　　有二百四十人为三率二三率相乘一
　　　　　率除之得四率一百四十四两即共银
　　　　　数也盖三人与一两八钱之比即同于

　　　　　二百四十人与一百四十四两之比也
设如有谷换米每谷一石四斗换米八斗四升今有
　谷三十二石六斗八升问换米若干
　　　　　法以谷一石四斗为一率米八斗四升
　　　　　为二率今有谷三十二石六斗八升为
　　　　　三率二三率相乘一率除之得四率一
　　　　　十九石六斗零八合即所换共米数也
　　　　　盖谷一石四斗与米八斗四升之比即
　　　　　同于谷三十二石六斗八升与米一十

　　　　　九石六斗零八合之比也

设如天上二度当地面四百里今七度该里数若干
　　　　　法以原有之二度为一率四百里为二
　　　　　率今有之七度为三率二三率相乘一
　　　　　率除之得四率一千四百里即七度之
　　　　　里数也盖一率二与二率四之比为加
　　　　　一倍而三率七与四率十四之比亦为
　　　　　加一倍故二率得一率中之几分之几
　　　　　则四率亦得三率中之几分之几而为

　　　　　相当比例四率也
设如一星一日内行一度三十分今问八刻内应行
　若干
　　　　　法以原数一日变作九十六刻为一率
　　　　　一度三十分变作九十分(一度作六十/分加入三十)
　　　　　(分共九/十分)为二率今星行八刻为三率二
　　　　　三率相乘一率除之得四率七分半即
　　　　　八刻内所行之数盖九十六刻与九十
　　　　　分之比即同于八刻与七分半之比也

　　　　　然将日变为刻者因每日九十六刻不

　　　　　以十进位又今所有者为八刻故以刻
　　　　　数与刻数相比也度变为分者因每度
　　　　　六十分亦不以十进位而今八刻内所
　　　　　行者必为分故以分数与分数相比也
设如验时仪算炮声自烟起至闻声计七秒得五里
　今得十四秒问里数若干
　　　　　法以七秒为一率五里为二率今得十
　　　　　四秒为三率二三率相乘一率除之得

　　　　　四率十里即十四秒之里数也盖七秒
　　　　　与五里之比即同于十四秒与十里之
　　　　　比也
设如有羊四百六十只共卖银八十二两八钱问每
　羊一只价银几何
　　　　　法以羊四百六十只为一率银八十二
　　　　　两八钱为二率羊一只为三率推得四
　　　　　率一钱八分即每羊一只之价也(此法/三率)
　　　　　(是一止用羊四百六十只归除八十二/两八钱亦得但列四率法中不得不备)

　　　　　(其一/体也)

设如有羊一群共二百四十只又生羔七十二只问
　加羊群内十分之几
　　　　　法以羊二百四十只为一率十分为二
　　　　　率今生羔七十二只为三率推得四率
　　　　　三分即为加羊群内十分之三也盖二
　　　　　百四十与十分之比即同于七十二与
　　　　　三分之比若将二百四十作十分每分
　　　　　得二十四将羊羔七十二作三分每分

　　　　　亦得二十四总而约之故为十分之三
　　　　　也
设如有田科粮每三亩科粮八斗四升今有四千六
　百三十五亩问得粮若干
　　　　　法以三亩为一率八斗四升为二率今
　　　　　有四千六百三十五亩为三率推得四
　　　　　率一千二百九十七石八斗即所得共
　　　　　粮数也盖三亩与八斗四升之比即同
　　　　　于四千六百三十五亩与一千二百九

　　　　　十七石八斗之比也

设如用古量法豆区釜皆以四进有八十豆当二十
　区有二十区当釜若干
　　　　　法以八十豆为一率二十区为二率又
　　　　　为三率推得四率五釜即二十区所当
　　　　　釜数也此正比例中相连比例法也盖
　　　　　因二十区与二十区相乘得四百区而
　　　　　八十豆与五釜相乘亦得四百区二十
　　　　　区既为二率又为三率故谓相连比例

　　　　　是以八十豆与二十区之比即同于二
　　　　　十区与五釜之比也
设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今
　复将九百两为本问一年得利若干
　　　　　法以三千两为一率九百两为二率又
　　　　　为三率推得四率二百七十两即九百
　　　　　两所得之利也此法以九百两为二率
　　　　　又为三率盖三千两与九百两之比为
　　　　　三与九之比例而九百两与二百七十

　　　　　两之比亦为三与九之比例也

　　转比例
设如有田一亩原阔八步长三十步今阔要十二步
　问长得几何
　　　　　法以今阔十二步为一率原长三十步
　　　　　为二率原阔八步为三率二三率相乘
　　　　　一率除之得四率二十步即今阔十二
　　　　　步之长也此法以原有之两数相乘以
　　　　　今有之一数除之而得今所求之数者

　　　　　因乘出两数相同故也在正比例原有
　　　　　之两件为一率二率今有之一件为三
　　　　　率而今所求之一件为四率俱以原有
　　　　　之一件与今有之一件相乘其积相同
　　　　　在转比例则原有之两件为二率三率
　　　　　今有之一件为一率而今所求之一件
　　　　　为四率是原有之两件相乘今有之两
　　　　　件相乘其积相同此两法异同之故也
　　　　　虽今阔比原阔多而今长却比原长少

　　　　　故原有之阔(八/步)与长(三十/步)相乘得二百

　　　　　四十步而今有之阔(十二/步)与长(二十/步)相
　　　　　乘亦得二百四十步其积既同是以转
　　　　　而比之自成比例盖今阔比原阔多三
　　　　　分之一今长比原长少三分之一其比
　　　　　例相同(见几何原本/七卷第三节)故今阔十二步与
　　　　　原阔八步之比即同于原长三十步与
　　　　　今长二十步之比也若借正比例论之
　　　　　以原阔八步为一率原长三十步为二

　　　　　率今阔十二步为三率二三率相乘一
　　　　　率除之得四率四十五步则是今阔比
　　　　　原阔多今长亦比原长多所容积数亦
　　　　　多而与一亩之数不合矣故转以今阔
　　　　　十二步为一率原长三十步为二率原
　　　　　阔八步为三率而得四率二十步是为
　　　　　一率与三率之比同于二率与四率之
　　　　　比也
设如有地宽二十丈长一百二十丈今换地宽三十

　丈问长得几何

　　　　　法以今宽三十丈为一率原长一百二
　　　　　十丈为二率原宽二十丈为三率二三
　　　　　率相乘一率除之得八十丈即今宽三
　　　　　十丈之长也此法原有之宽与长相乘
　　　　　得二千四百丈今有之宽与长相乘亦
　　　　　得二千四百丈其积既同故转而比之
　　　　　自成比例以今宽比原宽以原长比今
　　　　　长俱三与二之比例是以今宽三十丈

　　　　　与原宽二十丈之比即同于原长一百
　　　　　二十丈与今长八十丈之比也
设如佣工开渠八人开之二十日完今加倍用十六
　人开之问得几日完
　　　　　法以今十六人为一率原二十日为二
　　　　　率原八人为三率二三率相乘一率除
　　　　　之得四率十日即十六人完工之日也
　　　　　此法因工少而用日多故加人使工多
　　　　　而用日少盖今十六人与原八人之比

　　　　　即今之工加一倍而原二十日与今十

　　　　　日之比则今所得之日亦必减一倍故
　　　　　一率十六人与三率八人之比即同于
　　　　　二率二十日与四率十日之比也
设如有地四百八十亩八人耕之十二日完今用六
　人耕之问得几日完
　　　　　法以今六人为一率原十二日为二率
　　　　　原八人为三率二三率相乘一率除之
　　　　　得四率十六日即六人耕完之日也此

　　　　　法人数日数不同而所耕之田则同为
　　　　　四百八十亩而所用之工又同为九十
　　　　　六故以八人论一日八工十二日则用
　　　　　九十六工以六人论一日六工十六日
　　　　　亦用九十六工也故转用四率自成比
　　　　　例以一率六人与三率八人之比即同
　　　　　于二率十二日与四率十六日之比也
设如众军支米足用四年则每人每月支米三斗今
　欲将四年之米足用十二年问每人每月应支几

　何

　　　　　法以今欲用十二年为一率原支米三
　　　　　斗为二率足用四年为三率二三率相
　　　　　乘一率除之得四率一斗即足用十二
　　　　　年每人每月应支之数也此法支米多
　　　　　则足用年数少今支米少则足用年数
　　　　　多盖四年与十二年之比在年为加三
　　　　　分之二而三斗与一斗之比在米又为
　　　　　减三分之二其比例固同也

设如木星十二年一周天每年行三十度土星则二
　十八年一周天问每年行几度
　　　　　法以土星所行一周二十八年为一率
　　　　　木星每年所行三十度为二率木星所
　　　　　行一周十二年为三率二三率相乘一
　　　　　率除之得四率十二度五十一分二十
　　　　　五秒有馀即土星每年所行之度数也
　　　　　盖木星周天比土星年数少而行度却
　　　　　多土星周天比木星年数多而行度却

　　　　　少多得少而少反得多故转而比之以

　　　　　二十八年与十二年之比即同于三十
　　　　　度与十二度有馀之比也
设如一人借人之绢宽三尺长二十四丈今还绢宽
　四尺问长该若干
　　　　　法以今绢宽四尺为一率原绢长二十
　　　　　四丈为二率原绢宽三尺为三率二三
　　　　　率相乘一率除之得四率十八丈即为
　　　　　今所还宽四尺绢之长也盖原绢宽三

　　　　　尺长二十四丈相乘得七百二十尺今
　　　　　绢宽四尺长十八丈相乘亦得七百二
　　　　　十尺因其积数相同故今绢宽四尺与
　　　　　原绢宽三尺之比即同于原绢长二十
　　　　　四丈与今绢长十八丈之比也
设如验时仪坠子其绳长四尺四寸八分一釐二豪
　八丝四刻内来往共三千次今造一坠欲使来一
　秒往一秒问绳长若干
　　　　　法以四刻化三千六百秒为今坠子往

　　　　　来次数自乘得一千二百九十六万次

　　　　　为一率原坠绳长四尺四寸八分一釐
　　　　　二豪八丝为二率以原坠往来三千次
　　　　　自乘得九百万次为三率二三率相乘
　　　　　一率除之得四率三尺一寸一分二釐
　　　　　即今所求坠绳之长也夫以四刻化秒
　　　　　者盖以所求之坠子欲其来一秒往一
　　　　　秒也故秒数即次数四刻所化之秒即
　　　　　今坠子在四刻内往来之次数也其比

　　　　　例以次数自乘者因坠子往来之际已
　　　　　成平面形故以往来之方数相比为面
　　　　　比面而原坠与今坠之长数相比为线
　　　　　比线务使其类相当而后可以相比也
　　　　　是以今坠往来次数自乘与原坠往来
　　　　　次数自乘之比即同于原坠长数与今
　　　　　坠长数之比也然原坠于四刻内往来
　　　　　之次数少而坠却长今坠于四刻内往
　　　　　来之次数多而坠却短故以今坠之往

　　　　　来次数与原坠之往来次数为比即同

　　　　　于原坠之长与今坠之长为比所以为
　　　　　转比例也
设如有正方池一面每边十二丈今欲作宽八丈之
　池使其池面积数与方池等问长得几何
　　　　　法以今池宽八丈为一率原池长十二
　　　　　丈为二率原池宽十二丈为三率推得
　　　　　四率十八丈即今欲作池之长也此转
　　　　　比例中相连比例法也盖原池方面每

　　　　　边十二丈其积一百四十四丈即二率
　　　　　三率相乘之数今所得四率长十八丈
　　　　　与一率宽八丈相乘亦得一百四十四
　　　　　丈两数相等故以一率今池宽八丈与
　　　　　三率原池宽十二丈之比即同于二率
　　　　　原池长十二丈与四率今池长十八丈
　　　　　之比也
设如原用金九两系九成今用八成金折还当加几
　两

　　　　　法以今金八成为一率原金九两为二

　　　　　率原金九成为三率推得四率十两零
　　　　　一钱二分五釐内减九两馀一两一钱
　　　　　二分五釐即八成金当加之数也此法
　　　　　二率三率为体虽不同而数则一故亦
　　　　　为相连比例盖以原金九两又系九成
　　　　　相乘得十成金八两一钱以今之八成
　　　　　与所得十两零一钱二分五釐相乘亦
　　　　　得十成金八两一钱是八成与九成之

　　　　　比即同于九两与十两零一钱二分五
　　　　　釐之比也

　　合率比例
设如以夏布换棉布但知每夏布三丈价银二钱每
　棉布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈问
　换棉布若干
　　　　　法以夏布三丈与棉布价银七钱五分
　　　　　相乘得二两二钱五分为一率夏布价
　　　　　银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱
　　　　　为二率夏布四十五丈为三率推得四

　　　　　率二十八丈即夏布四十五丈所换之
　　　　　棉布数也此法乃两比例合为一比例
　　　　　也如分作两比例明之每夏布三丈价
　　　　　银二钱今夏布四十五丈则价银应得
　　　　　三两此一比例也棉布价银七钱五分
　　　　　得棉布七丈今夏布四十五丈之价三
　　　　　两则应得棉布二十八丈此又一比例
　　　　　也夫银三两原为夏布四十五丈之价
　　　　　则夏布四十五丈所换之棉布二十八

　　　　　丈价银亦应三两可知矣盖两比例中

　　　　　一以三丈作一率一以七钱五分作一
　　　　　率故三丈与七钱五分相乘得二两二
　　　　　钱五分而为一率是合两一率而为一
　　　　　一率也一以二钱作二率一以七丈作
　　　　　二率故二钱与七丈相乘得一两四钱
　　　　　而为二率是合两二率而为一二率也
　　　　　而后比例之三率即前比例之四率如
　　　　　以两三率相乘为三率则所得四率亦

　　　　　为两四率相乘之数必须以前比例之
　　　　　四率除之方得后比例之四率故即以
　　　　　夏布之四十五丈为三率而得棉布之
　　　　　二十八丈为四率也
设如以芝麻换黄米但知每芝麻三石换菉豆五石
　每菉豆四石换黄米三石今有芝麻五十四石问
　换黄米若干
　　　　　法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十
　　　　　二石为一率又以菉豆五石与黄米三

　　　　　石相乘得十五石为二率芝麻五十四

　　　　　石为三率推得四率六十七石五斗即
　　　　　芝麻五十四石所换之黄米数也此法
　　　　　亦两比例合为一比例也如分作两比
　　　　　例明之每芝麻三石换菉豆五石则芝
　　　　　麻五十四石必换菉豆九十石此一比
　　　　　例也菉豆四石换黄米三石则菉豆九
　　　　　十石必换黄米六十七石五斗此又一
　　　　　比例也夫菉豆九十石原为芝麻五十

　　　　　四石所换则菉豆九十石所换之黄米
　　　　　即芝麻五十四石所换之黄米可知矣
　　　　　盖以两比例之各一率相乘为一率两
　　　　　比例之各二率相乘为二率者即合两
　　　　　次乘除为一次乘除也
设如养兵七百名每年额饷一万二千六百两内有
　新著伍兵三百名已应役七个月问该饷银若干
　　　　　法以原养兵七百名与十二个月相乘
　　　　　得八千四百为一率额饷一万二千六

　　　　　百两为二率新兵三百名与七个月相

　　　　　乘得二千一百为三率推得四率三千
　　　　　一百五十两即兵三百名七个月应得
　　　　　之饷银数也此法亦两比例合为一比
　　　　　例也如分作两比例明之兵七百名得
　　　　　一万二千六百两则兵三百名应得五
　　　　　千四百两(乃兵三百名十二/个月应得之数)此一比例
　　　　　也兵三百名十二个月应得五千四百
　　　　　两则七个月应得三千一百五十两此

　　　　　又一比例也今以两比例之各一率相
　　　　　乘为一率两比例之各三率相乘为三
　　　　　率者亦如两比例之各一率二率相乘
　　　　　合为一一率二率也
设如原有鹅八只换鸡二十只又鸡三十只换鸭九
　十只又鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅
　几何
　　　　　法以所换羊二只与所换鸭九十只相
　　　　　乘得一百八十只再以所换鸡二十只

　　　　　乘之得三千六百只为一率又以原鸭

　　　　　六十只与原鸡三十只相乘得一千八
　　　　　百只又以原鹅八只乘之得一万四千
　　　　　四百只为二率今羊五只为三率推得
　　　　　四率二十只即羊五只所换之鹅数也
　　　　　此法乃三比例合为一比例也如分作
　　　　　三比例明之羊二只换鸭六十只则羊
　　　　　五只必换鸭一百五十只此一比例也
　　　　　鸭九十只换鸡三十只则鸭一百五十

　　　　　只必换鸡五十只此二比例也鸡二十
　　　　　只换鹅八只则鸡五十只必换鹅二十
　　　　　只此三比例也夫鸡五十只原为鸭一
　　　　　百五十只之所换而鸭一百五十只又
　　　　　原为羊五只之所换则鸡五十只所换
　　　　　之鹅二十只即为羊五只之所换可知
　　　　　矣今以三比例之各一率连乘之为一
　　　　　率又以三比例之各二率连乘之为二
　　　　　率者正合三比例为一比例也

设如原有菽三斗换黍二斗又黍四斗换稷三斗又

　稷五斗换稻四斗又稻六斗换麦五斗今有麦七
　斗问换菽几何
　　　　　法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘
　　　　　得二石复以所换稷三斗乘之得六石
　　　　　再以所换黍二斗乘之得一十二石为
　　　　　一率又以原有稻六斗与原有稷五斗
　　　　　相乘得三石复以原有黍四斗乘之得
　　　　　一十二石再以原有菽三斗乘之得三

　　　　　十六石为二率今有麦七斗为三率推
　　　　　得四率二石一斗即麦七斗所换之菽
　　　　　数也此合四比例为一比例也如分作
　　　　　四比例明之麦五斗换稻六斗则麦七
　　　　　斗必换稻八斗四升此一比例也稻四
　　　　　斗换稷五斗则稻八斗四升必换稷一
　　　　　石零五升此二比例也稷三斗换黍四
　　　　　斗则稷一石零五升必换黍一石四斗
　　　　　此三比例也黍二斗换菽三斗则黍一

　　　　　石四斗必换菽二石一斗此四比例也

　　　　　夫黍一石四斗原为稷一石零五升之
　　　　　所换而稷一石零五升又为稻八斗四
　　　　　升之所换而稻八斗四升又为麦七斗
　　　　　之所换则黍一石四斗所换之菽二石
　　　　　一斗即为麦七斗之所换可知矣今以
　　　　　四比例之各一率连乘之为一率又以
　　　　　四比例之各二率连乘之为二率者正
　　　　　合四比例为一比例也

设如原有工人一百开河四十丈二十日工完今有
　工人一千开河八十丈问得日数几何
　　　　　法以今有工人一千与原开河四十丈
　　　　　相乘得四万丈为一率二十日为二率
　　　　　以原有工人一百与今开河八十丈相
　　　　　乘得八千丈为三率推得四率四日即
　　　　　一千人开河八十丈之日数也此法以
　　　　　原有今有两数互乘以比例者所以齐
　　　　　其分也试将两首位一千工与一百工

　　　　　互乘得十万工然后互乘丈数原有一

　　　　　边得四万丈今有一边得八千丈是原
　　　　　一百工开四十丈则十万工开四万丈
　　　　　其比例相同今一千工开八十丈则十
　　　　　万工开八千丈其比例亦同也因两工
　　　　　数相同故以四万丈与二十日之比即
　　　　　同于八千丈与四日之比盖原有十万
　　　　　工开河四万丈二十日可完今亦有十
　　　　　万工开河八千丈则四日可完为比例

　　　　　四率也然此法实系两比例合为一比
　　　　　例也如分作两比例明之则先以人工
　　　　　为比例原一百工开二十日今一千工
　　　　　即应开二日为今一千工开河四十丈
　　　　　之日数此一转比例也次用丈数为比
　　　　　例原四十丈应开二日今八十丈则应
　　　　　开四日为今一千工开河八十丈之日
　　　　　数此一正比例也法以两比例之一率
　　　　　相乘为一率两比例之三率相乘为三

　　　　　率者正合两比例为一比例也

设如原有书一百篇六人写之十日完每篇三百字
　今有书二百篇八人写之十二日完问每篇得字
　若干
　　　　　法以今有二百篇与原有六人相乘得
　　　　　一千二百又以原有十日乘之得一万
　　　　　二千为一率每篇三百字为二率以原
　　　　　有一百篇与今有八人相乘得八百又
　　　　　以今有十二日乘之得九千六百为三

　　　　　率推得四率二百四十字即今八人写
　　　　　十二日每篇之字数也试将两首位一
　　　　　百篇与二百篇互乘得二万篇然后互
　　　　　乘人工与日原有一边得一万二千工
　　　　　今有一边得九千六百工盖原有二万
　　　　　篇用一万二千工每篇三百字今亦有
　　　　　二万篇用九千六百工其每篇必二百
　　　　　四十字为比例四率也然此法实系三
　　　　　比例合为一比例也如分作三比例明

　　　　　之则先以篇数为比例原一百篇每篇

　　　　　三百字今匀为二百篇则每篇只应一
　　　　　百五十字此一转比例也然人数不同
　　　　　故次以人数为比例原六人写之每篇
　　　　　应一百五十字今八人写之则每篇应
　　　　　二百字此一正比例也然日数又不同
　　　　　故次以日数为比例原写十日每篇应
　　　　　二百字今写十二日则每篇应二百四
　　　　　十字此又一正比例也法以三比例之

　　　　　各一率连乘之为一率三比例之各三
　　　　　率连乘之为三率者正合三比例为一
　　　　　比例也
设如原雇人写书每篇六百字八人写二十日得一
　百二十篇今写书每篇四百五十字却用十二人
　写三十日问得篇数几何
　　　　　法以今有四百五十字与原有八人相
　　　　　乘得三千六百又以原有二十日乘之
　　　　　得七万二千为一率一百二十篇为二

　　　　　率以原有六百字与今有十二人相乘

　　　　　得七千二百又以今有三十日乘之得
　　　　　二十一万六千为三率推得四率三百
　　　　　六十篇即今十二人写三十日之篇数
　　　　　也试将两首位六百字与四百五十字
　　　　　互乘得二十七万字然后互乘人工与
　　　　　日原有一边得七万二千工今有一边
　　　　　得二十一万六千工盖原有一边二十
　　　　　七万字用七万二千工得一百二十篇

　　　　　今一边亦二十七万字用二十一万六
　　　　　千工则得三百六十篇为比例四率也
　　　　　然此法亦系三比例合为一比例也如
　　　　　分作三比例明之则先以字数为比例
　　　　　原每篇六百字为一百二十篇今每篇
　　　　　四百五十字则必匀为一百六十篇此
　　　　　一转比例也然人数不同故次以人数
　　　　　为比例原八人写之应得一百六十篇
　　　　　今十二人写之则应得二百四十篇此

　　　　　一正比例也然日数又不同故次以日

　　　　　数为比例原写二十日应得二百四十
　　　　　篇今写三十日则应得三百六十篇此
　　　　　又一正比例也法以三比例之各一率
　　　　　连乘之为一率三比例之各三率连乘
　　　　　之为三率者正合三比例为一比例也
设如海船内原有甜水二万零一百六十斤每人每
　日用二斤足用四个月今又添四千零三十二斤
　合前数共二万四千一百九十二斤欲用六个月

　问每日每人应用几何
　　　　　法以原有二万零一百六十斤与今六
　　　　　个月相乘得一十二万零九百六十个
　　　　　月为一率每人每日用水二斤通为三
　　　　　十二两为二率以今有二万四千一百
　　　　　九十二斤与原四个月相乘得九万六
　　　　　千七百六十八个月为三率推得四率
　　　　　二十五两六钱即今每人每日应用之
　　　　　数也试将两首位数互乘得四亿八千

　　　　　七百七十一万零七百斤然后互乘月

　　　　　数原有一边得九万六千七百六十八
　　　　　个月今有一边得一十二万零九百六
　　　　　十个月盖原有水四亿八千七百七十
　　　　　一万零七百斤足用九万六千七百六
　　　　　十八个月每人得三十二两今有水亦
　　　　　四亿八千七百七十一万零七百斤欲
　　　　　用十三万零九百六十个月则每人得
　　　　　二十五两六钱为转比例四率也然此

　　　　　法亦系两比例合为一比例也如分作
　　　　　两比例明之则先以水数为比例原有
　　　　　水二万零一百六十斤每人每日用三
　　　　　十二两今水二万四千一百九十二斤
　　　　　则每人每日应用三十八两四钱此一
　　　　　正比例也然月数不同故次以月数为
　　　　　比例原用四个月每日应用三十八两
　　　　　四钱今欲用六个月则每日应用二十
　　　　　五两六钱此一转比例也法以两一率

　　　　　相乘为一率两三率相乘为三率者正

　　　　　合两比例为一比例也
设如原有米八万石用车二十四辆日行四十里二
　十日运完今有米十万石用车三十辆日行六十
　里问运完日数几何
　　　　　法以原有八万石与今用车三十辆相
　　　　　乘得二百四十万辆又以今行六十里
　　　　　乘之得一亿四千四百万里为一率二
　　　　　十日为二率以今有十万石与原用车

　　　　　二十四辆相乘亦得二百四十万辆又
　　　　　以原行四十里乘之得九千六百万里
　　　　　为三率推得四率十三日又三分日之
　　　　　一即今米十万石运完之日数也试将
　　　　　两首位数互乘得八十亿石然后互乘
　　　　　车数里数原有一边得九千六百万里
　　　　　今有一边得一亿四千四百万里盖原
　　　　　有米八十亿石用车二百四十万辆行
　　　　　九千六百万里得二十日运完今有米

　　　　　亦八十亿石亦用车二百四十万辆行

　　　　　一亿四千四百万里故十三日又三分
　　　　　日之一运完为转比例四率也然此法
　　　　　亦系三比例合为一比例也如分作三
　　　　　比例明之则先以米数为比例原米八
　　　　　万石运二十日今米十万石则应运二
　　　　　十五日此一正比例也然车数不同故
　　　　　次以车数为比例原车二十四辆应运
　　　　　二十五日今车三十辆则应运二十日

　　　　　此一转比例也然日行里数又不同故
　　　　　次以里数为比例原行四十里应运二
　　　　　十日今行六十里则应运十三日又三
　　　　　分日之一此又一转比例也法以三比
　　　　　例之各一率连乘之为一率三比例之
　　　　　各三率连乘之为三率者正合三比例
　　　　　为一比例也
设如原有麦子一万二千石车十二辆每车载三石
　日行八十里四十日运完今有麦三万石车十六

　辆每车载四石日行六十里问运完日数几何

　　　　　法以原有麦子一万二千石与今车十
　　　　　六辆相乘得一十九万二千辆又以今
　　　　　每车载麦四石乘之得七十六万八千
　　　　　石又以今行六十里乘之得四千六百
　　　　　零八万里为一率四十日为二率以今
　　　　　有麦子三万石与原有车十二辆相乘
　　　　　得三十六万辆又以原每车载麦三石
　　　　　乘之得一百零八万石又以原行八十

　　　　　里乘之得八千六百四十万里为三率
　　　　　推得四率七十五日即今麦三万石运
　　　　　完之日数也试将两首位数互乘得三
　　　　　亿六千万石然后互乘车数石数里数
　　　　　原有一边得八千六百四十万里今有
　　　　　一边得四千六百零八万里盖原有麦
　　　　　三亿六千万石用车三十六万辆载一
　　　　　百零八万石行八千六百四十万里得
　　　　　四十日运完今有麦亦三亿六千万石

　　　　　用车一十九万二千辆载七十六万八

　　　　　千石行四千六百零八万里得七十五
　　　　　日运完为转比例四率也然此法系四
　　　　　比例合为一比例也如分作四比例明
　　　　　之则先以麦数为比例原麦一万二千
　　　　　石运四十日今麦三万石则应运一百
　　　　　日此一正比例也然车数不同故次以
　　　　　车数为比例原车十二辆应运一百日
　　　　　今车十六辆则应运七十五日此一转

　　　　　比例也然每车所载石数不同故次以
　　　　　石数为比例原每车载三石应运七十
　　　　　五日今每车载四石则应运五十六日
　　　　　二五(即四分/日之一)此又一转比例也然日行
　　　　　里数又不同故次以里数为比例原日
　　　　　行八十里应运五十六日二五今日行
　　　　　六十里则应运七十五日此又一转比
　　　　　例也法以四比例之各一率连乘之为
　　　　　一率四比例之各三率连乘之为三率

　　　　　者正合四比例为一比例也

　　正比例带分
设如有银买米每米一石价银八钱四分今买米三
　分石之二问该银若干
　　　　　法以米一石用分母三通为三分为一
　　　　　率银八钱四分为二率分子二分为三
　　　　　率二三率相乘一率除之得四率五钱
　　　　　六分即银数也盖米一石通为三分以
　　　　　三分与八钱四分之比即同于二分与

　　　　　五钱六分之比皆为三分之二之比例
　　　　　也
设如有人行路行过五分之二系八十里问总里数
　几何
　　　　　法以分子二分为一率分母五分为二
　　　　　率行过八十里为三率二三率相乘一
　　　　　率除之得四率二百里即总里数也盖
　　　　　总里数之五分之二为八十里以二分
　　　　　与五分之比即同于八十里与二百里

　　　　　之比皆为五分之二之比例也

设如有银买米每米三分石之二价银七分两之五
　今买米四分石之三问该银若干
　　　　　法以三分石之二为一率七分两之五
　　　　　为二率四分石之三为三率用通分乘
　　　　　法以二率分母七与三率分母四相乘
　　　　　得二十八为乘出之分母又以二率分
　　　　　子五与三率分子三相乘得一十五为
　　　　　乘出之分子是为二十八分之十五为

　　　　　二率三率相乘之数以一率三分石之
　　　　　二除之因分母除不尽乃用通分互乘
　　　　　代除之法除之以乘出之分母二十八
　　　　　与一率之分子二相乘得五十六为除
　　　　　出之分母又以一率之分母三与乘出
　　　　　之分子十五相乘得四十五为除出之
　　　　　分子即得四率五十六分两之四十五
　　　　　为所求之数也如求真数则变零分为
　　　　　两以分母五十六为一率一两为二率

　　　　　分子四十五为三率推得四率八钱馀

　　　　　二不尽命为五十六分钱之二约为二
　　　　　十八分钱之一即所求之真数也
设如有银买蜡每银二两六钱买蜡十斤零五分斤
　之二又七两零二分两之一今有银九钱问买蜡
　几何
　　　　　法以银二两六钱为一率以蜡十斤通
　　　　　为一百六十两又五分斤之二通为六
　　　　　两四钱又七两零二分两之一通为七

　　　　　两五钱共得一百七十三两九钱为二
　　　　　率今有银九钱为三率推得四率六十
　　　　　两零一钱九分收为三斤零十二两一
　　　　　钱九分即所求之蜡数也此法虽有零
　　　　　分而分两实可相通故各相通以为比
　　　　　例四率也
设如有银买羽绒每三分丈之一价银四分两之三
　今欲买八分丈之七问该银若干
　　　　　法以原羽绒三分丈之一为一率原银

　　　　　四分两之三为二率今羽绒八分丈之

　　　　　七为三率用通分乘法以二率分母四
　　　　　与三率分母八相乘得三十二为乘出
　　　　　之分母又以二率分子三与三率分子
　　　　　七相乘得二十一为乘出之分子是为
　　　　　三十二分之二十一为二率三率相乘
　　　　　之数乃以一率三分丈之一除之因分
　　　　　母除不尽乃用通分互乘代除之法除
　　　　　之以乘出之分母三十二与一率之分

　　　　　子一相乘仍得三十二为除出之分母
　　　　　又以一率之分母三与乘出之分子二
　　　　　十一相乘得六十三为除出之分子即
　　　　　得四率三十二分两之六十三为所求
　　　　　之数也满分母三十二分收为一两馀
　　　　　三十一(六十三分内减去三/十二分仍馀三十一)为一两又
　　　　　三十二分两之三十一如求真数则以
　　　　　分母三十二为一率一两为二率分子
　　　　　三十一为三率推得四率九钱六分八

　　　　　釐七豪五丝与整数一两相加得一两

　　　　　九钱六分八釐七豪五丝即真数也
设如有银买缎每缎二疋共价八两又五分两之四
　今欲买三十六疋问共价若干
　　　　　法以二疋为一率共价八两用分母五
　　　　　通为四十分加分子四得四十四分为
　　　　　二率今买三十六疋为三率推得四率
　　　　　七百九十二分以每分母五分收为一
　　　　　两得一百五十八两又五分两之二(以/五)

　　　　　(分为一率一两为二率七百九十二分/为三率推得四率一百五十八两馀二)
　　　　　(分即命为五/分两之二)即所求之数也如以五分
　　　　　两之二收为四钱(五分为一两则/二分为四钱)则得
　　　　　一百五十八两四钱即缎三十六疋之
　　　　　共价也如以子母分变为真数求之二
　　　　　疋共价八两又五分两之四则五分为
　　　　　一两四分为八钱是二疋共价为八两
　　　　　八钱即以二疋为一率八两八钱为二
　　　　　率三十六疋为三率亦得四率一百五

　　　　　十八两四钱为缎三十六疋之共价也

　　转比例带分
设如一案长九尺宽一尺六寸今欲将原长减三分
　之一其面积仍与原案等问宽几何
　　　　　法以原长九尺用分母三归之得每分
　　　　　三尺于原长九尺内减去一分之三尺
　　　　　馀六尺为今长为一率原宽一尺六寸
　　　　　为二率原长九尺为三率二三率相乘
　　　　　一率除之得四率二尺四寸即今所求

　　　　　之宽也此法因分母三可以度尽原长
　　　　　故变今长为真数与他率为比例也
设如营造原每日用五十六人为一月又九分月之
　三可以完工今每日用六十四人问完工之日得
　几何
　　　　　法以今用六十四人为一率以分母九
　　　　　通一月为九分加入分子三共为九分
　　　　　月之十二为二率原用五十六人为三
　　　　　率推得四率九分月之十分半满分母

　　　　　九分收为一月馀一分半(十分半内减/去九分馀一)

　　　　　(分/半)约为六分月之一即得一月又六分
　　　　　月之一为今用六十四人完工之日也
　　　　　盖六十四人与一月又九分月之三之
　　　　　比即同于五十六人与一月又六分月
　　　　　之一之比也
设如原有一门帘用绫一丈二尺其绫宽一尺五寸
　今欲作一新帘其绫比原绫宽七分尺之三问应
　用长数几何

　　　　　法以原宽一尺五寸用分母七通为十
　　　　　分半加入分子三得今宽一十三分半
　　　　　为一率原长一丈二尺为二率原宽十
　　　　　分半为三率推得四率九尺又一百三
　　　　　十五分尺之四十五约为三分尺之一
　　　　　即得九尺又三分尺之一为今应用之
　　　　　长数也盖今宽十三分半与原宽十分
　　　　　半之比即同于原长一丈二尺与今长
　　　　　九尺又三分尺之一之比也

设如城守兵一营其粮可支一年又七分年之二今

　汰去三分之一问应支年数几何
　　　　　法先以年分母七通一年为七分加入
　　　　　分子二得七分年之九又以兵分子一
　　　　　减分母三得二为三分之二为现存兵
　　　　　数(汰去三分之一则/存者为三分之二)因两分母不同故
　　　　　用互乘以齐之以两分母三七相乘得
　　　　　二十一为共母分即原兵分以年分母
　　　　　七互乘兵分子二得十四为今存兵分

　　　　　以兵分母三互乘年分子九得二十七
　　　　　为原年分即以所通今存兵十四分为
　　　　　一率原年数二十七分为二率原兵二
　　　　　十一分为三率推得四率二十一分年
　　　　　之四十分半满分母二十一分收为一
　　　　　年馀十九分半(四十分半内减二十/一分馀十九分半)约
　　　　　为七分年之六分半即得一年又七分
　　　　　年之六分半为今应支之年数也盖今
　　　　　存兵比原兵少三分之一则支粮年数

　　　　　必多三分之一故今存兵十四分与原

　　　　　　兵二十一分之比即同于原年数二十
　　　　　　七分与今年数四十分半之比也
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
御制数理精蕴下编卷三