钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二
　　首部二
　　　命分
　　　约分
　　　通分

　　命分
凡归除分至最细而可以恰尽无馀者谓之无奇零
数若分至最细而屡除不尽者谓之有奇零数其奇
零若略去之则不能复还原数此命分之所以立也
其法命为分母分子分母者即除数也分子者即除
不尽之数也凡不尽之数得分母中之几分者即命
为几分之几是以命分之一法正所以济归除之所
不逮也

设如有银十一两命三人分之问每人得若干
　法以三人分银十一两每人得银三两仍馀二两
　所馀二两再以三人分之每人得六钱六分六釐
　六豪如是每得六而仍馀二数不尽故立命分法
　以三人为分母所馀二两为分子命为每人得三
　两又三分两之二盖将每两剖作三分其所馀二
　两则共剖作六分三人分之每人得二分故命为
　三分两之二也如因三分两之二求知原银数则
　以三人与分子二分相乘得六分盖每人得二分

　则三人共得六分也以六分用分母三分归之得

　二两盖初分一两为三分故终收三分为一两也
　再加入三人所得整数共九两(一人三两三/人共得九两)则得
　十一两以合原数也
设如有银一百八十七两命十八人分之问每人得
　若干
　法以十八人分银一百八十七两每人得银十两
　仍馀七两分之不尽则以十八人为分母所馀七
　两为分子命为每人得一十两又十八分两之七

　盖将每两剖作十八分其所馀七两则共剖作一
　百二十六分十八人分之每人得七分故命为十
　八分两之七也如因十八分两之七求知原银数
　则以十八人与分子七分相乘得一百二十六分
　盖每人得七分则十八人共得一百二十六分也
　以一百二十六分用分母十八分归之得七两盖
　初分一两为十八分故终收十八分为一两也再
　加入十八人所得整数共一百八十两(一人十两/十八人共)
　(得一百/八十两)则得一百八十七两以合原数也

　　约分
约分者以所命之分约之以就整分也盖命分是随
其数之多寡全而纪之而约分则即其多寡之数从
而约之以求简易焉其法以分子分母两数辗转相
减务期减馀两数相同是为度尽两数之一数乃以
此数为一分以除分母得几分者即约分母为几分
又除分子得几分者即约为分母几分中之几凡诸
法中有带分者皆由约法而得故设例于此所以明

带分之根也
设如古历岁实命为三百六十五日又一百分日之
　二十五今以法约之求相当最小数
　法置日分一百以馀分二十五减之馀七十五分
　再以二十五减之馀五十分再以二十五减之亦
　馀二十五分两数齐等即以相等之数二十五转
　除日分一百得四即为四分又以二十五除馀分
　二十五得一即为一分乃百分日之二十五约为
　四分之一是岁实共得三百六十五日又四分日

　之一也(盖将一日剖作四分/而得其四分之一也)凡约分法以分母分

　子相减必得相等之数然后用之盖因此数可以
　度尽分母又可以度尽分子故也今以相等之数
　二十五为一分则日分一百有四倍二十五故为
　四分而馀分二十五又恰足一分之数故为一分
　一百与二十五之比即同于四与一之比是四与
　一即一百与二十五之相当最小数也凡分母分
　子辗转相减不得相等之数终减至于一是分母
　分子俱无一数可以度尽之数即不用约分用命

　分志之可也
设如有银二百一十两命一百四十七人分之每人
　得银一两仍馀六十三两不尽以法约之求相当
　最小数
　法置一百四十七人以馀银六十三减之馀八十
　四再以六十三减之馀二十一又置六十三转以
　二十一减之(因减数大于原数又不得两/数齐等故以二十一转减之)馀四十
　二再以二十一减之亦馀二十一则两数齐等即
　以相等之数二十一转除一百四十七人得七即

　为七分又以二十一除银六十三两得三即为三

　分乃一百四十七人分馀银六十三两约为七分
　之三是每人得银一两又七分两之三也(盖将每/两剖作)
　(七分而得其/七分之三也)此法以一百四十七人与六十三两
　辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度
　尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既
　以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一
　故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百
　四十七与六十三之比即同于七与三之比是七

　与三即一百四十七与六十三之相当最小数也

　　通分
凡奇零数目不以十递析者难以立算则用通分如
斤通为两宫通为度度通为分之类是也又有整数
而带零分者则必通之以从其类如化整为零收零
作整之类是也或有零分而分母不同者则必通之
以同其母如互乘之类是也通分之法立然后奇零
数目得以归有馀齐不足而带分之法皆根于此故
为另设加减乘除之法以明其义焉

　　加法
凡奇零数相加两分母同者即并两分子为得数若
相加之数大于母数则于所得数内减去母数为一
整数纪其馀为零数
设如有九分丈之七(一丈分为九分/而得其七分也)与九分丈之五
　(一丈分为九分/而得其五分也)相加求总数
　　　　　法以九分之七与九分之五左右列之
　　　　　将两分子七与五相加得一十二因子
　　　　　数大于母数乃于一十二内减去母数

　　　　　九为一整数馀三为零数即得整数一

　　　　　丈零九分丈之三为相加之数也此法
　　　　　因两分母同为九分而两分子亦同为
　　　　　九分中之零分故径并两零分之七与
　　　　　五得一十二又以母数九分收为一丈
　　　　　(盖初以一丈分为九分今/满九分即收为一丈也)其所馀三亦
　　　　　仍为九分中之三分故得一丈零九分
　　　　　丈之三为两零分之共数此分母相同
　　　　　之加法也(如以真数明之九分丈之七/是将一丈分为九分得其九)

　　　　　(分中之七分一丈分为九分则每一分/得一尺一寸一分一釐有馀九分中之)
　　　　　(七分则为七尺七寸七分七釐有馀也/九分中之五分则为五尺五寸五分五)
　　　　　(釐有馀也两数相加共得一丈三尺三/寸三分三釐有馀即一丈零九分丈之)
　　　　　(三也盖一尺一寸一分一釐有馀既为/九分中之一分则三尺三寸三分三釐)
　　　　　(有馀即九分中之三分也如以九分除/三分即得三尺三寸三分三釐不尽之)
　　　　　(数是九分与一丈之比即同于三/分与三尺三寸三分有馀之比也)
凡奇零数相加两分母不同者则用互乘法以两分
母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分
母乘前分子以所得两子数相加为共子数纪于共

母数之下为共零数

设如有三分丈之二(一丈分为三分/而得其二分也)与五分丈之三
　(一丈分为五分/而得其三分也)相加求总数
　　　　　法以两分母三五相乘得一十五为共
　　　　　母数再以前分母三乘后分子三得九
　　　　　又以后分母五乘前分子二得十将两
　　　　　得数相加得十九为共子数因子数大
　　　　　于母数乃于十九内减去共母数十五
　　　　　为一整数馀四为零数即得整数一丈

　　　　　零十五分丈之四为相加之数也此法
　　　　　用互乘者本为齐其分母也夫以两分
　　　　　母相乘得十五者乃以两分母俱变为
　　　　　十五分也(因分母不同难以/相加故变为同等)以前分母
　　　　　三乘后分子三得九者乃以后分子变
　　　　　为十五分中之九也又以后分母五乘
　　　　　前分子二得十者是又以前分子亦变
　　　　　为十五分中之十也盖十五分之十与
　　　　　三分之二其比例等(俱为五/倍比例)而十五分

　　　　　之九与五分之三其比例亦等(俱为三/倍比例)

　　　　　两分母既变为同等则两分子亦俱为
　　　　　同分母之子矣故相加如第一法此分
　　　　　母不同之加法也(如以真数明之三分/丈之二既变为十五)
　　　　　(分丈之十则每一分为六寸六分六釐/有馀今得十分即六尺六寸六分六釐)
　　　　　(有馀也又五分丈之三既变为十五分/丈之九则每一分亦为六寸六分六釐)
　　　　　(有馀今得九分即六尺也两数相加共/得一丈二尺六寸六分六釐有馀即一)
　　　　　(丈零十五分丈之四也盖六寸六分六/釐有馀即为十五分中之一分今二尺)
　　　　　(六寸六分六釐有馀为四倍六寸六分/六釐有馀即十五分中之四分也如以)

　　　　　(十五分除四分即得二尺六寸六分不/尽之数是十五分与一丈之比即同于)
　　　　　(四分与二尺六寸/六分有馀之比也)
又或分母不同而可以加减之使同者则变而同之
可省互乘
设如有八分两之一与十二分两之三相加求总数
　　　　　法以十二分之三变为八分之二则与
　　　　　八分之一两分母相同故径并两分子
　　　　　二与一得三即八分两之三为相加之
　　　　　数也此法将十二分之三变为八分之

　　　　　二者乃分母分子各减三分之一也母

　　　　　数十二减三分之一馀八子数三减三
　　　　　分之一馀二盖十二分之三与八分之
　　　　　二其比例相等故变从简易如数有参
　　　　　差者则当用下节之法(如以真数明之/八分两之一是)
　　　　　(将一两分为八分其一分即一钱二分/五釐也又十二分两之三是将一两分)
　　　　　(为十二分其三分为二钱五分今变为/八分两之二是将一两分为八分其二)
　　　　　(分亦为二钱五分也两数相加共得三/钱七分五釐即八分两之三也盖一钱)
　　　　　(二分五釐为八分中之一分今三钱七/分五釐即八分中之三分也如以八分)

　　　　　(除三分即得三钱七分五釐是八分与/一两之比即同于三分与三钱七分五)
　　　　　(釐之/比也)
设如有六分石之五与三分石之二相加求总数
　　　　　如依前法将六分之五折半为三分之
　　　　　二分半则两分母虽同而分子却有奇
　　　　　零若将三分之二加一倍作六分之四
　　　　　变少从多则与六分之五两分母相同
　　　　　乃径并两分子五与四得九因子数大
　　　　　于母数乃于九内减去母数六为一整

　　　　　数馀三为零数即得整数一石零六分

　　　　　石之三为相加之数也此法三分之二
　　　　　变为六分之四者乃分母分子各加一
　　　　　倍之比例也凡变分母分子或加或减
　　　　　务期所变之分数与原分数比例相同
　　　　　使其两分母同而两分子可并也此条
　　　　　与上条用加减虽各异而齐其分母以
　　　　　加之则同也(如以真数明之六分石之/五是将一石分为六分则)
　　　　　(每一分得一斗六升六合六勺六撮六/抄有馀今得五分即八斗三升三合三)

　　　　　(勺三撮三抄有馀也又三分石之二是/将一石分为三分其二分为六斗六升)
　　　　　(六合六勺六撮六抄有馀今变为六分/石之四是将一石分为六分其四分亦)
　　　　　(为六斗六升六合六勺六撮六抄有馀/也两数相加共得一石四斗九升九合)
　　　　　(九勺九撮九抄有馀收为五斗即一石/零六分石之三也盖六分为一石则三)
　　　　　(分即五/斗也)
凡子母数有三四种相加者其分母分子俱不同则
用互乘以齐其分母按前法加之(三种者以第一数/与第二数依前互)
(乘法相加得数又与第三数依前互乘法相加四程/者以第一数第二数互乘相加得数与第三数互乘)
(相加得数复与第/四数互乘相加)如两分母相同者即并其两分子

而与所馀之分母不同者用互乘以加之又或有两

分母相乘后所得之数与所馀之分母相同者则直
以所得之分子与所馀之分子相加为得数即不用
互乘矣
设如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三
　相加求总数
　　　　　法以前两分子分母按互乘法相加得
　　　　　十二分斤之十(以两分母三与四相乘/得十二为共母数以前)
　　　　　(分母三乘后分子二得六又以后分母/四乘前分子一得四相加得一十为共)

　　　　　(子数是为十/二分斤之十)乃以十二分斤之十与第
　　　　　三子母分用互乘法相加得六十分斤
　　　　　之八十六(以第三分母五与前两分母/互乘所得之十二相乘得六)
　　　　　(十为共母数以前两分母所得十二乘/第三分子三得三十六又以第三分母)
　　　　　(五乘前两分子所得十得五十相加得/八十六为共子数是为六十分斤之八)
　　　　　(十/六)因子数大于母数乃于共子数八十
　　　　　六内减去共母数六十为一整数馀二
　　　　　十六为零数即得一斤零六十分斤之
　　　　　二十六为总数也凡子母分有四种五

　　　　　种相加者俱仿此(如以真数明之三分/斤之一是将一斤分)

　　　　　(为三分其一分即五两三钱三分三釐/有馀也四分斤之二是将一斤分为四)
　　　　　(分则每一分为四两今得二分即八两/也五分斤之三是将一斤分为五分则)
　　　　　(每一分为三两二钱今得三分即九两/六钱也三数相加共得二十二两九钱)
　　　　　(三分三釐有馀内收十六两为一斤馀/六两九钱三分三釐有馀即六十分斤)
　　　　　(之二十六也盖以十六两分为六十分/每分得二钱六分六釐有馀今六两九)
　　　　　(钱三分三釐有馀有二十六倍二钱/六分六釐有馀即为二十六分也)
设如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一
　相加求总数

　　　　　法因五分丈之三与五分丈之一两分
　　　　　母相同故直并其两分子三与一为五
　　　　　分丈之四再以五分丈之四与四分丈
　　　　　之一依互乘法相加得二十分丈之二
　　　　　十一(以前分母五与后分母四相乘得/二十为共母数以前分母五乘后)
　　　　　(分子一得五又以后分母四乘前分子/四得十六相加得二十一是为二十分)
　　　　　(丈之二/十一)因子数大于母数乃于共子数
　　　　　二十一内减去共母数二十为一整数
　　　　　馀一为零数即得一丈零二十分丈之

　　　　　一为总数也(如以真数明之其五分丈/之三即六尺也其四分丈)

　　　　　(之一即二尺五寸也其五分丈之一即/二尺也三数相加得一丈零五寸即一)
　　　　　(丈零二十分丈之一盖一丈/分为二十分每分得五寸也)
设如有三分两之二又四分两之三又十二分两之
　四相加求总数
　　　　　法以三分之二与四分之三用互乘法
　　　　　相加得十二分两之十七(以前分母三/与后分母四)
　　　　　(相乘得十二为共母数以前分母三乘/后分子三得九又以后分母四乘前分)
　　　　　(子二得八相加得十七/是为十二分两之十七)此所得之十二

　　　　　分两之十七与第三分母相同即以前
　　　　　两分所得共子十七与后一分子四相
　　　　　加得二十一是为十二分两之二十一
　　　　　因子数大于母数乃于共子数二十一
　　　　　内减去共母数十二为一整数馀九为
　　　　　零数即得一两零十二分两之九为总
　　　　　数也(如以真数明之其三分两之二即/六钱六分六釐有馀也其四分两)
　　　　　(之三即七钱五分也其十二分两之四/即三钱三分三釐有馀也三数相加得)
　　　　　(一两七钱四分九釐有馀收作七钱五/分即一两零十二分两之九盖十二分)

　　　　　(两之九即七/钱五分也)

　　减法
凡奇零数相减两分母同者即将两分子相减为馀
数
设如有十一分丈之七减十一分丈之五求馀数
　　　　　法以十一分丈之七与十一分丈之五
　　　　　左右列之将两分子五与七相减馀二
　　　　　即得十一分丈之二为馀数也盖因两
　　　　　分母同为十一分则两分子亦同为十

　　　　　一分中之零分故径将两分子相减馀
　　　　　二亦仍为十一分中之二分是以定为
　　　　　十一分丈之二此分母相同之减法也
　　　　　(如以真数明之十一分丈之七是将一/丈分为十一分则每一分得九寸零九)
　　　　　(釐零九丝有馀其中之七分即六尺三/寸六分三釐六豪三丝有馀也其中之)
　　　　　(五分即四尺五寸四分五釐四豪五丝/有馀也相减馀一尺八寸一分八釐一)
　　　　　(豪八丝有馀即十一分中之二分也盖/九寸零九釐零九丝有馀为一分则一)
　　　　　(尺八寸一分八釐一豪八丝有馀即为/二分也如以十一分除二分亦得一尺)
　　　　　(八寸一分八釐一豪八丝不尽之数是/十一分与一丈之比即同于二分与一)

　　　　　(尺八寸一分八釐一/豪八丝有馀之比也)

凡奇零数相减两分母不同者则用互乘法以两分
母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分
母乘前分子以所得两子数相减为馀数
设如有三分丈之二减五分丈之三求馀数
　　　　　法以两分母三五相乘得一十五为共
　　　　　母数再以前分母三乘后分子三得九
　　　　　又以后分母五乘前分子二得一十将
　　　　　所得两分子相减馀一即得十五分丈

　　　　　之一为馀数也此法用互乘齐其分母
　　　　　将三分丈之二变为十五分丈之十将
　　　　　五分丈之三变为十五分丈之九两分
　　　　　母既同为十五分故两分子十与九相
　　　　　减馀一为十五分丈之一也此分母不
　　　　　同之减法也如两分母不同可以加减
　　　　　之使其相同者减之亦如加法中例故
　　　　　不重设(如以真数明之其三分丈之二/即六尺六寸六分六釐有馀也)
　　　　　(其五分丈之三即六尺也相减馀六寸/六分六釐有馀即十五分丈之一也盖)

　　　　　(一丈分为十五分每一分/得六寸六分六釐不尽也)

凡零数与整数相减者即以分子与分母相减为馀
数
设如有米一石内减七分石之五求馀数
　　　　　法以整数一石变为七分为分母与分
　　　　　子五相减馀二即得七分石之二为馀
　　　　　数也盖将一石分为七分而于此七分
　　　　　内减去五分则所馀即七分石之二此
　　　　　整数中减零数法也(如以真数明之将/一石分为七分则)

　　　　　(每一分得一斗四升二合八勺五撮七/抄有馀其五分即七斗一升四合二勺)
　　　　　(八撮五抄有馀也与一石相减馀二斗/八升五合七勺一撮四抄有馀即七分)
　　　　　(石之二也盖一斗四升二合八勺五撮/七抄有馀为一分则二斗八升五合七)
　　　　　(勺一撮四抄有/馀自为二分也)
凡整数带零分相减者将两零分用互乘法变为同
母然后减之
设如有银八两零五分两之四内减五两零七分两
　之三求馀数
　　　　　法以八两之零数五分之四与五两之

　　　　　零数七分之三用互乘法两分母七五

　　　　　相乘得三十五为共母数再以五两之
　　　　　分母七乘八两之分子四得二十八为
　　　　　八两所变之子数又以八两之分母五
　　　　　乘五两之分子三得十五为五两所变
　　　　　之子数乃以八两五两二整数相减馀
　　　　　三两以两子数二十八与十五相减馀
　　　　　十三即得三两又三十五分两之十三
　　　　　为馀数也盖既将两子数变为同母则

　　　　　八两者为八两零三十五分两之二十
　　　　　八五两者为五两零三十五分两之十
　　　　　五分母既同故以子数相减而得馀数
　　　　　此整数带零分相减之法也(如以真数/明之其八)
　　　　　(两零五分两之四即八两八钱也其五/两零七分两之三即五两四钱二分八)
　　　　　(釐五豪七丝有馀也相减馀三两三钱/七分一釐四豪二丝有馀其三两为整)
　　　　　(数其三钱七分一釐四豪二丝有馀即/三十五分中之十三分也盖将一两分)
　　　　　(为三十五分则每一分得二分八釐五/豪七丝有馀其十三分即三钱七分一)
　　　　　(釐四豪二/丝有馀也)

凡子母数三四种相减者其分母分子俱不同则用

互乘以齐其分母按前法减之如两分母相同者即
将其两分子相减而与所馀之分母不同者用互乘
以减之又或有两分母相乘后所得之数与所馀之
分母相同者则直以所得之分子与所馀之分子相
减即得馀数其理与加法同
设如有铜九斤零八分斤之七内减二斤零四分斤
　之一又减八分斤之三求馀数
　　　　　法以九斤内减去二斤馀七斤为整数

　　　　　乃以八分斤之七与四分斤之一用互
　　　　　乘法将八分斤之七变为三十二分斤
　　　　　之二十八将四分斤之一变为三十二
　　　　　分斤之八两数相减馀三十二分斤之
　　　　　二十又以三十二分斤之二十与第三
　　　　　零数八分斤之三用互乘法将三十二
　　　　　分斤之二十变为二百五十六分斤之
　　　　　一百六十将八分斤之三变为二百五
　　　　　十六分斤之九十六两数相减馀二百

　　　　　五十六分斤之六十四合前整数共得

　　　　　七斤又二百五十六分斤之六十四为
　　　　　馀数也如用约法则为七斤零四分斤
　　　　　之一盖二百五十六为四倍六十四今
　　　　　以六十四为一分则二百五十六自得
　　　　　四分也其馀几种零分内有两分母相
　　　　　同或两分母乘出之数与馀一分母相
　　　　　同俱照同分母之例减之故不再设或
　　　　　零分有四种五种者亦俱仿此此几种

　　　　　零分相减之法也(如以真数明之其九/斤零八分斤之七即)
　　　　　(九斤十四两也内减二斤零四分斤之/一是减去二斤四两又减去八分斤之)
　　　　　(三是又减去六两也馀七斤零四两即/七斤零四分斤之一也盖一斤分为四)
　　　　　(分则每一分得四两今七斤零四/两故谓七斤零四分斤之一也)
　　乘法
零分与零分相乘者两分母两分子各相乘所得之
数即乘出之分也
设如有三分丈之二与五分丈之四相乘问得几何
　　　　　法以两分母三五相乘得十五分为乘

　　　　　出之分母又以两分子二四相乘得八

　　　　　分为乘出之分子即定为十五分丈之
　　　　　八为所得之数也今以图明之如甲乙
　　　　　为一丈而甲丁亦为一丈作一甲乙丙
　　　　　丁正方形将甲丁分为三分甲乙分为
　　　　　五分内共容十五分即共母数乃两分
　　　　　母三与五乘出之数也其甲丁之三分
　　　　　之二为甲戊甲乙之五分之四为甲己
　　　　　二数相乘得甲已庚戊长方形内容八

　　　　　分即共子数乃两分子二与四乘出之
　　　　　数也甲乙丙丁正方与甲己庚戊长方
　　　　　相较即知甲己庚戊长方为甲乙丙丁
　　　　　正方中之十五分之八矣此零分乘零
　　　　　分之法也(如以真数明之其三分丈之/二即六尺六寸六分六釐有)
　　　　　(馀也其五分丈之四即八尺也相乘得/五十三尺三十三寸三十三分三十三)
　　　　　(釐有馀即十五分丈之八也盖一丈正/方内容百尺分为十五分则每一分得)
　　　　　(六尺六十六寸六十六分六十六釐有/馀今得其八分即五十三尺三十三寸)
　　　　　(三十三分三十/三釐有馀也)

零分与整数相乘者分子乘整数而以分母归之即

所得之数也
设如有七人每人赏银五分两之二问共得若干
　　　　　法以分子二与七人相乘得十四以分
　　　　　母五归之得二两八钱即七人共得之
　　　　　数也盖五分两之二是一两分为五分
　　　　　而得其二分也一人得二分则七人必
　　　　　共得十四分既以一两分为五分今满
　　　　　五分收为一两故以五归十四得二两

　　　　　八钱为共数此零分与整数相乘之法
　　　　　也
整数带零分与整数乘者先将整数俱通为零分相
乘得数以分母自乘之数除之即得
设如有整数二丈又四分丈之一与八丈相乘问得
　几何
　　　　　法以整数二丈用分母四通为八分加
　　　　　入分子一共得九分又以整数八丈用
　　　　　分母四通为三十二分乃与九分相乘

　　　　　得二百八十八分以分母四自乘之一

　　　　　十六除之得一十八即定为一丈正方
　　　　　一十八为所得之数也此法盖以一丈
　　　　　通为四分是四四自乘之数始合一丈
　　　　　自乘之数故一十六者即分母四自乘
　　　　　之数未乘之先既以四通之故相乘之
　　　　　后必以四四自乘之数收之乃得真数
　　　　　此整数带零分与整数相乘之法也(如/以)
　　　　　(真数明之其二丈又四分丈之一即二/丈二尺五寸与八丈相乘即得一十八)

　　　　　(丈/也)
整数带零分与零分乘者先将整数通为零分相乘
得数以分母自乘之数除之即得
设如有整数二丈又五分丈之四与零分五分丈之
　三相乘问得几何
　　　　　法以整数二丈用分母五通为十分加
　　　　　入分子四得十四分乃与零分分子三
　　　　　相乘得四十二以分母五自乘之二十
　　　　　五除之得一六八即定为一丈正方一

　　　　　又一尺正方六十八为所得之数也此

　　　　　法盖以一丈通为五分是五五自乘之
　　　　　数始合一丈自乘之数故以二十五除
　　　　　之又二丈之零分五分之四与所乘之
　　　　　零分五分之三为同母故用此法如两
　　　　　零分分母不同则先将两零分用互乘
　　　　　法变为同母然后用所变之分母化整
　　　　　为零再与彼一零分相乘得数以所变
　　　　　之分母自乘之数除之即得乘出之数

　　　　　(法见/下节)此整数带零分与零分相乘之法
　　　　　也(如以真数明之其二丈又五分丈之/四即二丈八尺也其五分丈之三即)
　　　　　(六尺也以六尺与二丈八尺/相乘即得一丈六十八尺也)
整数带零分与整数带零分相乘而零分之分母不
同者则以两零分之分母用互乘法齐其数然后各
以相同之分母化整为零两数相乘再以同母自乘
之数除之即得(如所带零分本为/同母者可省互乘)
设如有长方田阔二丈又四分丈之三长三丈又三
　分丈之二求积

　　　　　法以两分母四三相乘得一十二为共

　　　　　母数以前分母四乘后分子二得八以
　　　　　后分母三乘前分子三得九为两分子
　　　　　数乃以共母数十二化阔二丈为二十
　　　　　四分加入分子九得三十三分为阔边
　　　　　所变之分数又以共母数十二化长三
　　　　　丈为三十六分加入分子八得四十四
　　　　　分为长边所变之分数爰以阔三十三
　　　　　分与长四十四分相乘得一千四百五

　　　　　十二乃以共母数十二自乘之一百四
　　　　　十四除之得一○○八馀四八不尽即
　　　　　定为一丈正方十一尺正方八零一百
　　　　　四十四分尺之四十八约为三分尺之
　　　　　一为所得之数也此整数带零分与整
　　　　　数带零分相乘之法也(如以真数明之/其阔二丈又四)
　　　　　(分丈之三即二丈七尺五寸也其长三/丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六)
　　　　　(分六釐有馀也以二丈七尺五寸与三/丈六尺六寸六分六釐有馀相乘即得)
　　　　　(一十丈零八/尺有馀也)

大分下又带小分相乘者其例有四(所谓大分下带/小分者是将大)

(分之一分又分为几分如大分五分之三又带小分/四分之一是将大分五分之三之一分又分为四分)
(而得其/一分也)有大小分母俱同者有大小分母俱不同者
有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小
分母同者今以一法驭之总以小分母通大分母为
母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然
后以所变之两母数两子数对乘即得(总以小分母/通之者盖小)
(分母又为大分母之每一分之几分小分不能使大/大分可以变小使大分母大分子俱变为小分母一)
(体然后可以相乘乘之即所以通之/也设法中以度数明之其理自显)

设如有甲数五分丈之三又带此一分之四分之一
　与乙数五分丈之四又带此一分之四分之二相
　乘问得几何(此大小分母/俱同者也)
　　　　　法以甲数小分母四通大分母五得二
　　　　　十仍以小分母四通大分子三得一十
　　　　　二再加入小分子一得一十三共得二
　　　　　十分之十三为甲大小分所变之数又
　　　　　以乙数小分母四通大分母五得二十
　　　　　仍以小分母四通大分子四得一十六

　　　　　再加入小分子二得一十八共得二十

　　　　　分之十八为乙大小分所变之数然后
　　　　　以甲所变之分母二十与乙所变之分
　　　　　母二十相乘得四百分为乘出之分母
　　　　　又以甲所变之分子十三与乙所变之
　　　　　分子十八相乘得二百三十四分为乘
　　　　　出之分子即定为四百分丈之二百三
　　　　　十四为所得之数也(此法甲乙之小分/母俱为四故将其)
　　　　　(大分母之每分亦俱化为四分又将大/分子之每分亦俱化为四分使大分与)

　　　　　(小分之子母一体然后乘之今以度数/明之甲之五分丈之三乃一丈内之六)
　　　　　(尺其所带小分之四分之一乃二尺内/之五寸是甲数共为六尺五寸乙之五)
　　　　　(分丈之四乃一丈内之八尺其所带小/分之四分之二乃二尺内之一尺是乙)
　　　　　(数共为九尺六尺五寸与九尺相乘得/五十八尺五十寸是一丈正方为一百)
　　　　　(尺而得其五十八尺又小馀五十寸也/若以分母四乘一百尺得四百分又乘)
　　　　　(得数五十八尺五十寸得二百三十四/分故为四百分之二百三十四也若以)
　　　　　(尺随寸命之则五十八尺五十寸又为/五千八百五十寸以大分每一分通为)
　　　　　(小分四分则每一千寸分为四分每分/得二百五十寸以二百五十寸归五千)
　　　　　(八百五十寸得二十三寸四十分乃四/十分中之二十三又小零分之四分进)

　　　　　(而命为丈则为四百分/丈之二百三十四也)

设如有甲数四分丈之三又带此一分之七分之二
　与乙数九分丈之五又带此一分之三分之一相
　乘问得几何(此大小分母/俱不同者也)
　　　　　法以甲数小分母七通大分母四得二
　　　　　十八仍以小分母七通大分子三得二
　　　　　十一再加入小分子二得二十三共得
　　　　　二十八分之二十三为甲大小分所变
　　　　　之数又以乙数小分母三通大分母九

　　　　　得二十七仍以小分母三通大分子五
　　　　　得一十五再加入小分子一得一十六
　　　　　共得二十七分之一十六为乙大小分
　　　　　所变之数然后以甲所变之分母二十
　　　　　八与乙所变之分母二十七相乘得七
　　　　　百五十六分为乘出之分母又以甲所
　　　　　变之分子二十三与乙所变之分子一
　　　　　十六相乘得三百六十八分为乘出之
　　　　　分子即定为七百五十六分丈之三百

　　　　　六十八为所得之数也(如以真数明之/甲四分丈之三)

　　　　　(即一丈内之七尺五寸又带小分七分/之二即二尺五寸内之七寸一分四釐)
　　　　　(二豪有馀是甲数共为八尺二寸一分/四釐二豪有馀也乙九分丈之五即一)
　　　　　(丈内之五尺五寸五分五釐五豪有馀/又带小分三分之一即一尺一寸一分)
　　　　　(一釐一豪有馀内之三寸七分零三豪/有馀是乙共为五尺九寸二分五釐九)
　　　　　(豪有馀也两数相乘得四十八尺六十/七寸六十五分有馀即七百五十六分)
　　　　　(丈之三百六十八也如以七百五十六/分除三百六十八分亦得四十八尺六)
　　　　　(十七寸六十五分不尽之数盖七百五/十六分为一百尺则三百六十八分自)
　　　　　(得四十八尺六十七/寸六十五分有馀也)

设如有甲数八分丈之三又带此一分之四分之一
　与乙数八分丈之四又带此一分之六分之五相
　乘问得几何(此大分母同而小/分母不同者也)
　　　　　法以甲数小分母四通大分母八得三
　　　　　十二仍以小分母四通大分子三得一
　　　　　十二再加入小分子一得一十三共得
　　　　　三十二分之一十三为甲大小分所变
　　　　　之数又以乙数小分母六通大分母八
　　　　　得四十八仍以小分母六通大分子四

　　　　　得二十四再加入小分子五得二十九

　　　　　共得四十八分之二十九为乙大小分
　　　　　所变之数然后以甲所变之分母三十
　　　　　二与乙所变之分母四十八相乘得一
　　　　　千五百三十六分为乘出之分母又以
　　　　　甲所变之分子十三与乙所变之分子
　　　　　二十九相乘得三百七十七分为乘出
　　　　　之分子即定为一千五百三十六分丈
　　　　　之三百七十七为所得之数也(如以真/数明之)

　　　　　(甲八分丈之三即三尺七寸五分又带/此一分之四分之一即三寸一分二釐)
　　　　　(五豪是甲数共为四尺零六分二釐五/豪也乙八分丈之四即五尺又带此一)
　　　　　(分之六分之五即一尺零四分一釐六/豪有馀是乙数共为六尺零四分一釐)
　　　　　(六豪有馀也两数相乘得二十四尺五/十四寸四十二分有馀即一千五百三)
　　　　　(十六分丈之三百七十七也如以一千/五百三十六分除三百七十七分亦得)
　　　　　(二十四尺五十四寸四十二分不尽之/数盖一千五百三十六分为一百尺则)
　　　　　(三百七十七分自得二十四尺/五十四寸四十二分有馀也)
设如有甲数六分丈之四又带此一分之五分之一
　与乙数九分丈之七又带此一分之五分之二相

　乘问得几何(此大分母不同而/小分母同者也)

　　　　　法以甲数小分母五通大分母六得三
　　　　　十仍以小分母五通大分子四得二十
　　　　　再加入小分子一得二十一共得三十
　　　　　分丈之二十一为甲大小分所变之数
　　　　　又以乙数小分母五通大分母九得四
　　　　　十五仍以小分母五通大分子七得三
　　　　　十五再加入小分子二得三十七共得
　　　　　四十五分之三十七为乙大小分所变

　　　　　之数然后以甲所变之分母三十与乙
　　　　　所变之分母四十五相乘得一千三百
　　　　　五十分为乘出之分母又以甲所变之
　　　　　分子二十一与乙所变之分子三十七
　　　　　相乘得七百七十七分为乘出之分子
　　　　　即定为一千三百五十分之七百七十
　　　　　七为所得之数也(如以真数明之甲六/分丈之四即六尺六)
　　　　　(寸六分六釐六豪有馀又带此一分之/五分之一即三寸三分三釐三豪有馀)
　　　　　(是甲数共为六尺九寸九分九釐九豪/有馀也乙九分丈之七即七尺七寸七)

　　　　　(分七釐七豪有馀又带此一分之五分/之二即四寸四分四釐四豪有馀是乙)

　　　　　(数共为八尺二寸二分二釐二豪有馀/也两数相乘得五十七尺五十五寸五)
　　　　　(十五分有馀即一千三百五十分丈之/七百七十七也如以一千三百五十分)
　　　　　(除七百七十七分亦得五十七尺五十/五寸五十五分不尽之数盖一千三百)
　　　　　(五十分为一百尺则七百七十七分自/得五十七尺五十五寸五十五分有馀)
　　　　　(也/)
　　除法
零分归除零分者两分母两分子各自除之所得之
数即除出之分也如有奇零不尽者用互乘法齐之

即得分数其比例与除出之法同
设如有九分丈之二以三分丈之一除之求得几何
　　　　　法以九分丈之二为实三分丈之一为
　　　　　法以法分母三除实分母九得三为除
　　　　　出之分母又以法分子一除实分子二
　　　　　仍得二为除出之分子即定为三分丈
　　　　　之二为所得之数也此法即乘法内两
　　　　　分母两分子各相乘为所得之数者转
　　　　　用之耳此零分除零分之法也

　　　　　又法以互乘代除以实分母九乘法分

　　　　　子一得九为除出之分母又以法分母
　　　　　三乘实分子二得六为除出之分子共
　　　　　得九分丈之六即所求之数也此法与
　　　　　前法所得之分母分子之数虽不同而
　　　　　理则一前法之三分之二与此法之九
　　　　　分之六其比例实同盖前法以法除实
　　　　　其得数为减分之比例此法以两数互
　　　　　乘其得数为加分之比例故九分之六

　　　　　即三分之二也但法中不用两分母相
　　　　　乘之数省去一层耳如欲明晰其故则
　　　　　以两分母九与三相乘得二十七法分
　　　　　母三与实分子二相乘得六实分母九
　　　　　与法分子一相乘得九是将三分之一
　　　　　变为二十七分之九将九分之二变为
　　　　　二十七分之六其两分母既等则其两
　　　　　分子自成比例故九与六之比即同于
　　　　　三与二之比九分之六以三约之非三

　　　　　分之二耶(如以真数明之实九分丈之/二为面积即二十二尺二十)

　　　　　(二寸二十二分二十二釐有馀也法三/分丈之一为边线即三尺三寸三分三)
　　　　　(釐有馀也除之得六尺六寸六分六釐/有馀即三分丈之二也如以三分除二)
　　　　　(分亦得六尺六寸六分六釐不尽之数/盖三分为一丈其二分自得六尺六寸)
　　　　　(六分六釐/有馀也)
整数归除零分者分母通整数以除分子即得所求
之数
设如有五分丈之三以八丈除之求得几何
　　　　　法以分子三为实以分母五通整数八

　　　　　丈得四十为法除之得七寸五分即所
　　　　　求之数也此法以五分乘八丈者是分
　　　　　母通整数将每丈俱通为五分也八丈
　　　　　既通为四十分则五分之三之每一分
　　　　　即与四十分中之每一分同等然而零
　　　　　数三分以四十分除之而得七寸五分
　　　　　者则又为变分为尺寸之比例矣四十
　　　　　分与一丈之比即同于三分与七寸五
　　　　　分之比此整数除零分之法也

零分归除整数者分母通整数而以分子除之即得

所求之数
设如有六丈以三分丈之二除之求得几何
　　　　　法以分母三通整数六丈得一十八为
　　　　　实以分子二为法除之得九丈即所求
　　　　　之数也此法以三分乘六丈者是将每
　　　　　丈俱通为三分也六丈既通为十八分
　　　　　则十八分中之每一分与三分之二之
　　　　　每一分同等故以分子二除十八得九

　　　　　丈此零分除整数之法也
整数带零分归除整数者先将法实之两整数俱通
为零分而于法中加入分子除之即得
设如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得
　几何
　　　　　法以分母三通二十四丈得七十二为
　　　　　实又以分母三通二丈得六加入分子
　　　　　二得八为法除之得九丈即所求之数
　　　　　也此法以分母三通实二十四丈是将

　　　　　实之每丈俱化为三分也又以分母三

　　　　　通法二丈是将法之每丈亦俱化为三
　　　　　分也两整数俱化为同等则法实一体
　　　　　故法除实而得所求之数也此整数带
　　　　　零分除整数之法也
整数归除整数带零分者先将法实之两整数俱通
为零分而于实中加入分子以法除之即得
设如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得
　几何(即以前法数目作/题者取其易明也)

　　　　　法以分母三通二丈得六加入分子二
　　　　　得八为实又以分母三通二十四丈得
　　　　　七十二为法除之得一尺一寸一分不
　　　　　尽约为九分丈之一即所求之数也此
　　　　　法以分母三通法实之两整数者是将
　　　　　两整数之每丈俱通为三分也一得七
　　　　　十二分一得八分以七十二与八之比
　　　　　即同于九与一之比故约为九分之一
　　　　　且以七十二除八得一一一不尽之数

　　　　　定为一尺一寸一分有馀者盖七十二

　　　　　分与一丈之比即同于八分与一尺一
　　　　　寸一分有馀之比也此整数除整数带
　　　　　零分之法也
整数带零分归除零分者先将整数通为零分加入
分子除之即得
设如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求
　得几何
　　　　　法以五分丈之四为实以法之分母八

　　　　　通三丈得二十四加入分子一得二十
　　　　　五共得八分丈之二十五为法用两分
　　　　　母两分子各自归除之法以法分母八
　　　　　除实分母五得六二五为除出之分母
　　　　　以法分子二五除实分子四得一六○
　　　　　为除出之分子乃以所得之分母除所
　　　　　得之分子得二尺五寸六分即所求之
　　　　　数也盖法之三丈又八分丈之一乃三
　　　　　丈一尺二寸五分也实之五分丈之四

　　　　　乃八尺也以三丈一尺二寸五分归除

　　　　　八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一
　　　　　尺二寸五分与一丈之比即同于八尺
　　　　　与二尺五寸六分之比也今以分母六
　　　　　二五除分子一六○亦得二尺五寸六
　　　　　分是六二五与一丈之比即同于一六
　　　　　○与二尺五寸六分之比也然六二五
　　　　　与三丈一尺二寸五分之比又即同于
　　　　　一六○与八尺之比而皆为加倍之比

　　　　　例也此整数带零分除零分之法也又
　　　　　或整数通为零分加入分子之后以法
　　　　　除实而数有奇零不尽者则用互乘代
　　　　　除之法如前数已将整数通为八分丈
　　　　　之二十五为法乃以实分母五乘法分
　　　　　子二十五得一百二十五为除出之分
　　　　　母又以法分母八乘实分子四得三十
　　　　　二为除出之分子乃以所得之分母除
　　　　　所得之分子亦得二尺五寸六分盖一

　　　　　百二十五分与一丈之比即同于三十

　　　　　二分与二尺五寸六分之比也后法之
　　　　　有奇零数而用互乘代除者皆同此例
零分归除整数带零分者先将整数通为零分加入
分子以法除之即得
设如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求
　得几何
　　　　　法以实之分母三通四丈得十二加入
　　　　　分子二得十四共得三分丈之十四为

　　　　　实以七分丈之四为法用互乘代除之
　　　　　法以实分母三乘法分子四得十二为
　　　　　除出之分母以法分母七乘实分子一
　　　　　十四得九十八为除出之分子乃以所
　　　　　得之分母除所得之分子得八尺仍馀
　　　　　二不尽命为十二分尺之二以法约之
　　　　　为六分尺之一共得八尺零六分尺之
　　　　　一即所求之数也盖十二与一尺之比
　　　　　即同于九十八与八尺有馀之比也此

　　　　　零分除整数带零分之法也

整数带零分归除整数带零分者先各以整数通为
零分加入分子而以法除实即得
设如有田五亩又三分亩之二共租银五两又二十
　七分两之一求每亩得租银几何
　　　　　法以银分母二十七通五两得一百三
　　　　　十五加入分子一得一百三十六共得
　　　　　二十七分两之一百三十六为实又以
　　　　　田分母三通五亩得十五加入分子二

　　　　　得十七共得三分亩之十七为法用互
　　　　　乘代除之法以银分母二十七乘田分
　　　　　子一十七得四百五十九为除出之分
　　　　　母以田分母三乘银分子一百三十六
　　　　　得四百零八为除出之分子乃以所得
　　　　　之分母除所得之分子得八钱八分八
　　　　　釐零四百五十九分釐之四百零八即
　　　　　每亩所租之银数也盖四五九与一两
　　　　　之比即同于四○八与八钱八分八釐

　　　　　有馀之比也此整数带零分除整数带

　　　　　零分之法也
大零分下又带小零分相除者其例有四(有大小分/母俱同者)
(有大小分母俱不同者有大分母同而小分/母不同者有大分母不同而小分母同者)今以一
法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母
通大分子加入小分子为子数然后以所变之子母
数用互乘代除之法归之即得(如用子母各自对除/亦得但恐数有奇零)
(故用/此法)
设如有甲八分丈之七又带此一分之五分之三以

　乙五分丈之二又带此一分之四分之一除之求
　
　　　　　法以甲小分母五通大分母八得四十
　　　　　仍以小分母五通大分子七得三十五
　　　　　再加入小分子三得三十八共得四十
　　　　　分丈之三十八为甲大小分所变之数
　　　　　以之为实又以乙小分母四通大分母
　　　　　五得二十仍以小分母四通大分子二
　　　　　得八再加入小分子一得九共得二十

　　　　　分丈之九为乙大小分所变之数以之

　　　　　　为法然后用互乘代除之法以甲所变
　　　　　　之分母四十乘乙所变之分子九得三
　　　　　　百六十为除出之分母又以乙所变之
　　　　　　分母二十乘甲所变之分子三十八得
　　　　　　七百六十为除出之分子乃以所得之
　　　　　　分母三百六十除所得之分子七百六
　　　　　　十得二尺一寸一分一釐零三百六十
　　　　　　分釐之四十约为九分釐之一即所求

　　　　　　之数也盖三六○与一尺之比即同于
　　　　　　七六○与二尺一寸一分一釐有馀之
　　　　　　比也此大零分下带小零分相除之法
　　　　　　也(其分母分子俱同及分母同而分子/不同分母不同而分子同者皆用此)
　　　　　　(例故不/重设)
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷二