钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷一
　　首部一
　　　度量权衡
　　　命位
　　　加法
　　　减法
　　　因乘

　　　归除

　　度量权衡
虞书同律度量衡盖度量衡皆本于律而律为万事
之本也汉志曰度者分寸尺丈引所以度长短也本
起于黄钟之长以子榖秬黍中者一黍之广度之九
十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺十尺
为丈十丈为引而五度审矣量者龠合升斗斛所以
量多少也本起于黄钟之龠以子榖秬黍中者千二
百实其龠合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛

而五量嘉矣权者铢两斤钧石所以权轻重也本起
于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢两之为两
十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣通
考曰律度量衡并因秬黍散为诸法其率可通外此
则代不一名度之异名者如左传注方丈曰堵三堵
曰雉(长三丈/高一丈)易纬通卦验十马尾为一分孙子算术
曰蚕所吐丝为忽十忽为丝十丝为豪十豪为釐十
釐为分十分为寸十寸为尺十尺为丈小尔雅曰跬
一举足也倍跬谓之步四尺谓之仞倍仞谓之寻倍

寻谓之常五尺谓之墨倍墨谓之丈倍丈谓之端倍

端谓之两倍两谓之疋疋百谓之束孔安国又以八
尺为仞说文曰人手却十分动脉为寸口十寸为尺
周制寸咫尺寻常仞皆以人体为法又曰妇人手八
寸谓之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸为尺
十尺为丈人长八尺故曰丈夫量之异名者如左传
齐旧四量豆区釜钟四升曰豆各自其四以登于釜
(六斗/四升)釜十则钟(六十/四斗)论语注十六斗曰庾十六斛曰
秉孙子算术曰六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮

为勺十勺为合汉应劭又以四圭为撮孟康以六十
四黍为圭小尔雅一手之盛谓之溢两手谓之掬掬
四谓之豆豆四谓之区区四谓之釜釜二有半谓之
薮薮二有半谓之缶缶二谓之钟钟二谓之秉秉十
六斛衡之异名者如汉志注应劭曰十黍为累十累
为铢小尔雅二十四铢曰两两有半曰捷倍捷曰举
倍举曰锊锊谓之锾二锾四两谓之斤斤十谓之衡
衡有半谓之秤秤二谓之钧钧四谓之石石四谓之
鼓通考唐刘承圭以忽万为分丝则千豪则百釐则

十转以十倍倍之则为一钱黍以二千四百枚为一

两累以二百四十铢以二十四是则度量衡之名不
一故其为制不同而纷杂难用然时易世殊古今沿
革有必不可比而同者故入算之际不过取其大同
者以审不齐之物耳要之度定于丈量定于石衡定
于两大之而递进于无穷小之而递析于不可测爰
悉其名目于左以为数学之所资焉
度法丈以下曰尺(十/寸)寸(十/分)分(十/釐)釐(十/豪)豪(十/丝)丝(十/忽)忽(十/微)
微(十/纤)纤(十/沙)沙(十/尘)尘(十/埃)埃(十/渺)渺(十/漠)漠(以下皆/以十析)模糊逡巡

须臾瞬息弹指刹那六德虚空清净
量法石以下曰斗(十/升)升(十/合)合(十/勺)勺(十/撮)撮(十/抄)抄(十/圭)圭(六/粟)
粟
衡法两以下曰钱(十/分)分(十/釐)釐(十/豪)豪(十/丝)丝(十/忽)忽以下并
与度法同
凡度量衡自单位以上则曰十百千万亿兆京垓秭
穰沟涧正载极恒河沙阿僧秪那由他不可思议无
量数
　自亿以上有以十进者如十万曰亿十亿曰兆之

　类有以万进者如万万曰亿万亿曰兆之类有以

　自乘之数进者如万万曰亿亿亿曰兆之类今立
　法从中数
历法则曰宫(三十/度)度(六十/分)分(六十/秒)秒(六十/微)微(六十/纤)纤
(六十/忽)忽(六十/芒)芒(六十/尘)尘
又有日(十二时又为/二十四小时)时(八刻又以小/时为四刻)刻(十五/分)分以下
与前同
田法则曰顷(百/亩)亩(积二百/四十步)分(积二十/四步)
里法则三百六十步计一百八十丈为一里古称在

天一度在地二百五十里今尺验之在天一度在地
二百里盖古尺得今尺之十分之八实缘纵黍横黍
之分也
石法二千五百寸(按汉志曰斛重二钧又曰四钧为/石是二斛为一石也古尺斛积一)
　(千六百二十寸为今尺之八百六十寸有奇倍之/得古尺石积三千二百四十寸为今尺之一千七)
　(百二十寸有奇以权法准之石重一百二十斤求/其积古尺应得三千一百一十寸为今尺之一千)
　(六百五十寸有奇今之权法又加古一倍则今尺/石积应得三千三百寸有奇今现行斛积为一千)
　(五百八十寸石积为三千一百六十寸旧算书所/载数各不同而多以二千五百寸为率总之古今)
　(尺度不同古今量法亦不一须先求其斗斛之积/数然后用其积数以比例之方得密合今设例从)

　(旧/数)

　　命位
凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸
分釐皆为奇零命尺为单位则寸以下为奇零而丈
则进而为十若命寸为单位则分以下为奇零而尺
则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗
升合勺皆为奇零命斗为单位则升以下为奇零而
石则进而为十若命升为单位则合以下为奇零而
斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则

钱分釐豪皆为奇零命钱为单位则分以下为奇零
而两则进而为十若命分为单位则釐以下为奇零
而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一
位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数
一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共
有五位即知此数首位是万矣至于历法宫度分秒
日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫
度曰几十几度分曰几十几分之类盖因秒以六十
而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常例

一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每

一等有十单之别焉此又命位之最要者也
　　　　　凡数未至单位者必须作○以存其位
　　　　　如有数一万二千三百四十丈则补作
　　　　　○以存单位如上式　又如有数一万
　　　　　二千丈则补作○○○以存百十单之
　　　　　位如下式
　　　　　凡数单位后有奇零者必作点于单位
　　　　　上以志之如有金三百四十五两六钱

　　　　　七分命两为单位则于五上作点志之
　　　　　如上式　又如有米六石五斗四升三
　　　　　合命石为单位则于六上作点志之如
　　　　　下式
　　　　　凡列众数几多位中有空者必作○以
　　　　　存其位如有数二万零四百五十六此
　　　　　中千位无数故必作○于万后百前以
　　　　　存其位如上式　又如有数一万零三
　　　　　十四此中千位百位俱无数故补作两

　　　　　○于万后十前以存其位如下式

　　　　　凡宫度分秒皆两位列之如有一十一
　　　　　宫二十度三十二分四十五秒列位如
　　　　　上式　又如日时刻分列位日时分则
　　　　　两位刻止一位列之如二十一日一十
　　　　　八时三刻零二分列位如下式

　　加减乘除
算法以加减乘除为入门然究其终虽至于千变万
化总不出乎此但用法不同耳或应取其相和之数
则用加或应取其相较之数则用减或应聚而总其
积则用乘或应散而取其分则用除又有先加而后
减者或先减而后加者有先乘而后除者或先除而
后乘者又有加减与乘除先后互用者古称九章命
算自方田以至勾股数有繁简理有显晦法有浅深

算有难易然何一不从加减乘除而得故浅言之则
算法之入门究言之实算法之全体也

　　加法
加者合众数而成总也盖数始于一终于九至十又
复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名
之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一
至九之数合前后之位言之有单十百千万之等先
自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本
位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之类
则不以十进必足其所命之分始进一位(如宫度足/六十分进)

(一度足三十度进一宫如时刻足十五分进一刻足/四刻进一时足二十四时进一日如斤两足十六两)
(进一斤/之类)至于定位则以原数列于上加数列于下或
大数列于上小数列于下按法依次对位列之加毕
所得之数依原列之位定之
设如有数一万二千三百四十五与六千七百八十
　九相加
　　　　　法以原数横列于上加数横列于下按
　　　　　位相对加之(如九与五相对单从单八/与四相对十从十百千万)
　　　　　(数俱各/从其类)单位之五九相加得十四进十

　　　　　于前位为一志之(作一点于前位为志/如进二十则作二点)

　　　　　(如进三十/则作三点)本位纪四(书于横/格下)次十位之
　　　　　四八相加得十二并所进之一为十三
　　　　　复进十于前位为一志之本位纪三次
　　　　　百位之三七相加得十并所进之一为
　　　　　十一复进十于前位为一志之本位纪
　　　　　一次千位之二六相加得八并所进之
　　　　　一为九于是本位纪九至于万位独有
　　　　　原数无可加则仍纪一所加之数共得

　　　　　一万九千一百三十四即总数也
设如有数一万四千五百四十五与一万七千三百
　五十相加
　　　　　法以原数横列于上加数横列于下加
　　　　　数内单位无数故作○以存其位仍按
　　　　　位相对加之单位之五对○无可加仍
　　　　　纪五次十位之四五相加得九本位纪
　　　　　九次百位之五三相加得八本位纪八
　　　　　次千位之四七相加得十一进十于前

　　　　　位为一志之本位纪一次万位之一与

　　　　　一相加得二并所进之一为三于是本
　　　　　位纪三所加之数共得三万一千八百
　　　　　九十五即总数也
设如有二十三丈零五寸六分与二丈八尺六寸二
　分相加
　　　　　法以原数横列于上加数横列于下原
　　　　　数内尺位无数故作○以存其位仍按
　　　　　位相对加之分位之六二相加得八本

　　　　　位纪八次寸位之五六相加得十一进
　　　　　十于前位为一志之本位纪一次尺位
　　　　　之八对○无可加乃并所进之一为九
　　　　　本位纪九次丈位之三二相加得五本
　　　　　位纪五至于十位独有原数无可加则
　　　　　仍纪二所加之数共得二十五丈九尺
　　　　　一寸八分即总数也
设如有粮四万五千零三十一石与三千零九十石
　相加

　　　　　法以原数横列于上加数横列于下原

　　　　　数内百位无数加数内百位单位俱无
　　　　　数故各作○以存其位仍按位相对加
　　　　　之石位之一对○无可加仍纪一次十
　　　　　位之三九相加得十二进十于前位为
　　　　　一志之本位纪二次百位○与○无可
　　　　　加则以所进之一为本位数故下纪一
　　　　　次千位之五三相加得八本位纪八至
　　　　　于万位独有原数无可加则仍纪四所

　　　　　加之数共得四万八千一百二十一石
　　　　　即总数也
设如有银八两六钱五分四釐与四两零六分二釐
　相加
　　　　　法以原数横列于上加数横列于下加
　　　　　数内钱位无数故作○以存其位仍按
　　　　　位相对加之釐位之四二相加得六本
　　　　　位纪六次分位之五六相加得十一进
　　　　　十于前位为一志之本位纪一次钱位

　　　　　之六对○无可加乃并所进之一为七

　　　　　本位纪七次两位之八四相加得十二
　　　　　进十于前位为一志之本位纪二至于
　　　　　十位无数则纪所进之一为一所加之
　　　　　数共得十二两七钱一分六釐即总数
　　　　　也
设如有田三区一区五百九十二亩三分一区八百
　五十五亩九分一区七百八十二亩五分相加
　　　　　法以田三区按位横列相对加之分位

　　　　　之三九五相加得十七进十于前位为
　　　　　一志之本位纪七次亩位之二五二相
　　　　　加得九并所进之一为十进十于前位
　　　　　为一志之本位纪○次十位之九五八
　　　　　相加得二十二并所进之一为二十三
　　　　　进二十于前位为二志之本位纪三次
　　　　　百位之五八七相加得二十并所进之
　　　　　二为二十二进二十于前位为二志之
　　　　　本位纪二至于千位无数则纪所进之

　　　　　二为二所加之数共得二千二百三十

　　　　　亩零七分即总数也
设如有银九宗一宗八千八百五十二两一宗三千
　二百一十一两一宗五百二十两一宗九百三十
　八两一宗二千五百九十两一宗一千二百一十
　五两一宗二千五百一十八两一宗五千三百六
　十六两一宗四千三百七十二两相加
　　　　　法因九宗数繁难加故分为三次三次
　　　　　复并为一次则得共数其八千八百五

　　　　　十二两三千二百一十一两五百二十
　　　　　两相并则得一万二千五百八十三两
　　　　　其九百三十八两二千五百九十两一
　　　　　千二百一十五两相并则得四千七百
　　　　　四十三两其二千五百一十八两五千
　　　　　三百六十六两四千三百七十二两相
　　　　　并则得一万二千二百五十六两既得
　　　　　三总数又将三数并之得二万九千五
　　　　　百八十二两即九宗共数也

设如九宫二十度三十分二十六秒与六宫一十八

　度二十分五十秒相加
　　　　　法以原数横列于上加数横列于下其
　　　　　每项各命两位仍按各位相对加之秒
　　　　　之单位六对○无可加仍纪六秒之十
　　　　　位二五相加得七十乃以六十秒进一
　　　　　分志于分之本位秒之十位纪一次分
　　　　　之单位○与○无可加则以所进之一
　　　　　为本位数故下纪一次分之十位三二

　　　　　相加得五故下纪五次度之单位八对
　　　　　○无可加仍纪八次度之十位二一相
　　　　　加得三十乃以三十度进一宫志于宫
　　　　　之本位度之十位纪○次宫之本位九
　　　　　六相加得十五并所进之一为十六因
　　　　　十二宫满一周天故逢十二去之馀四
　　　　　故下纪四所加之数共得四宫八度五
　　　　　十一分一十六秒即总数也
设如一日一十五时二刻八分与一日一十二时三

　刻九分相加

　　　　　法以原数横列于上加数横列于下日
　　　　　时分则合两位共加刻则仍命以单位
　　　　　盖以四刻进一小时故也分位之八与
　　　　　九相加得十七十五分进一刻故于刻
　　　　　之本位下志一馀二故单位下纪二十
　　　　　位下纪○次刻位之二与三相加得五
　　　　　并所进之一为六四刻进一时故于时
　　　　　之本位下志一馀二故本位纪二次时

　　　　　之单位五二相加得七并所进之一得
　　　　　八时之十位一与一相加得二共为二
　　　　　十八二十四时进一日故于日之本位
　　　　　下志一馀四故时之单位下纪四十位
　　　　　下纪○次日之单位一与一相加得二
　　　　　并所进之一为三故下纪三所加之数
　　　　　共得三日四时二刻二分即总数也
设如有物重三十四斤十五两五钱与二十一斤十
　四两三钱相加

　　　　　法以原数横列于上加数横列于下其

　　　　　钱位斤位与斤之十位仍皆按位相对
　　　　　加之两位与两之十位则合其数共加
　　　　　之(两以十六方进一斤故合而加之如/列数有两数无十数者仍作○以存)
　　　　　(十两/之位)钱位之五三相加得八本位纪八
　　　　　两位之原数十五加数十四相加共得
　　　　　二十九则进十六两于前斤位为一志
　　　　　之其所馀十三两则于两位纪三十位
　　　　　纪一次斤位之四一相加得五并所进

　　　　　之一为六本位纪六次十位之三二相
　　　　　加得五本位纪五所加之数共得五十
　　　　　六斤十三两八钱即总数也

　　减法
减者较众数而得馀也凡以少减多以小减大原有
之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减
必从其类(如千减千百/减百之类)如或下数大于上数不足减
则借前位之一以减本位(加法由后而进前减法则/借前而退后其理一也详)
(见设/如中)前位作一点以志之既得本位则前位所借之
一并于前数而为减数然两数相减必先辨其多寡
首位必大于减数始可其定位亦照原列之次为减

馀位
设如有数五万六千七百八十九内减四万三千六
　百四十二
　　　　　法自单位减起单位之九减二馀七故
　　　　　下纪七十位之八减四馀四故下纪四
　　　　　百位之七减六馀一故下纪一千位之
　　　　　六减三馀三故下纪三万位之五减四
　　　　　馀一故下纪一所减之数得一万三千
　　　　　一百四十七即馀数也

设如有数二万三千六百七十二内减一万六千四

　百八十一
　　　　　法自单位减起单位之二减一馀一故
　　　　　下纪一十位之七减八为下大于上则
　　　　　借前位之一(前位下作/一点为志)作本位之十共
　　　　　十七减八馀九故下纪九百位之六减
　　　　　四并十位所借之一则为六减五馀一
　　　　　故下纪一千位之三减六为下大于上
　　　　　则借前位之一(前位亦作/一点为志)作本位之十

　　　　　共十三减六馀七故下纪七万位之二
　　　　　减一并千位所借之一则为二减二恰
　　　　　尽故下纪○所减之数得七千一百九
　　　　　十一即馀数也
设如有六丈七尺八寸九分一釐内减三丈四尺五
　寸九分九釐
　　　　　法自釐位减起釐位之一减九为下大
　　　　　于上则借前位之一(前位下作/一点为志)作本位
　　　　　之十共十一减九馀二故下纪二分位

　　　　　之九减九并釐位所借之一则为九减

　　　　　十亦为下大于上故复借前位之一(前/位)
　　　　　(下作一/点为志)作本位之十共十九减十馀九
　　　　　故下纪九寸位之八减五并所借之一
　　　　　则为八减六馀二故下纪二尺位之七
　　　　　减四馀三故下纪三丈位之六减三馀
　　　　　三故下纪三所减之数得三丈三尺二
　　　　　寸九分二釐即馀数也
设如有米六十五石四斗三升二合内减四十六石

　二斗七升三合
　　　　　法自合位减起合位之二减三为下大
　　　　　于上则借前位之一(前位下作/一点为志)作本位
　　　　　之十共十二减三馀九故下纪九升位
　　　　　之三减七并合位所借之一则为三减
　　　　　八为下大于上则借前位之一(前位下/作一点)
　　　　　(为/志)作本位之十共十三减八馀五故下
　　　　　纪五斗位之四减二并升位所借之一
　　　　　则为四减三馀一故下纪一石位之五

　　　　　减六为下大于上则借前位之一(前位/下作)

　　　　　(一点/为志)作本位之十共十五减六馀九故
　　　　　下纪九十位之六减四并所借之一则
　　　　　为六减五馀一故下纪一所减之数得
　　　　　十九石一斗五升九合即馀数也
设如有银十五两三钱六分七釐内减九两二钱三
　分四釐
　　　　　法自釐位减起釐位之七减四馀三故
　　　　　下纪三分位之六减三馀三故下纪三

　　　　　钱位之三减二馀一故下纪一两位之
　　　　　五减九为下大于上则借前位之一(前/位)
　　　　　(下作一/点为志)作本位之十共十五减九馀六
　　　　　故下纪六十位之一减两位所借之一
　　　　　恰尽故下纪○所减之数得六两一钱
　　　　　三分三釐即馀数也
设如七宫一十八度二十七分五十二秒内减九宫
　二十一度三十五分四十三秒
　　　　　法自秒位减起秒之单位二减三为下

　　　　　大于上则借前位之一(前位下作/一点为志)作本

　　　　　位之十共十二减三馀九故下纪九秒
　　　　　之十位五减四并所借之一则为五减
　　　　　五恰尽故下纪○分之单位七减五馀
　　　　　二故下纪二分之十位二减三为下大
　　　　　于上则借度位之一为六十分(度位下/作一点)
　　　　　(为/志)六十分与原二十分共为八十分内
　　　　　减三十分馀五十分故下纪五度之单
　　　　　位八减一并所借之一则为八减二馀

　　　　　六故下纪六度之十位一减二为下大
　　　　　于上则借宫位之一为三十度(宫位下/作一点)
　　　　　(为/志)三十度与原十度共为四十度内减
　　　　　二十度馀二十度故下纪二宫之单位
　　　　　七减九并所借之一则为七减十为下
　　　　　大于上则外借一周天为十二宫十二
　　　　　宫与原七宫共为十九宫内减十宫馀
　　　　　九宫故下纪九所减之数得九宫二十
　　　　　六度五十二分九秒即馀数也

设如一十二日二十二时三刻零九分内减一十一

　日二十三时三刻十分
　　　　　法自分位减起日位刻位俱各按单位
　　　　　相减其分位时位则合两位减之分位
　　　　　之九减十为下大于上则借刻位之一
　　　　　为十五分(刻之本位下/作一点为志)十五分与原九
　　　　　分共为二十四分内减十分馀十四分
　　　　　故分之单位纪四分之十位纪一刻之
　　　　　本位三减三并所借之一则为三减四

　　　　　为下大于上则借时位之一为四刻(时/之)
　　　　　(单位下作/一点为志)四刻与原三刻共为七刻内
　　　　　减四刻馀三刻故本位下纪三时位之
　　　　　二十二减二十三并所借之一则为二
　　　　　十二减二十四为下大于上则借日位
　　　　　之一为二十四时(日之本位下/作一点为志)二十四
　　　　　时与原二十二时共为四十六时内减
　　　　　二十四时馀二十二时故时之单位下
　　　　　纪二时之十位下亦纪二日位之二减

　　　　　一并所借之一则为二减二恰尽故下

　　　　　纪○日之十位之一减一恰尽故亦纪
　　　　　○所减之数得二十二时三刻一十四
　　　　　分即馀数也
设如有物十五斤零四两八钱内减十二斤十二两
　三钱
　　　　　法自钱位减起钱位之八减三馀五故
　　　　　下纪五两位之四减二似非下大于上
　　　　　然原数两之十位为○(十六两为一斤/故作○于斤后)

　　　　　(两前以存/十两之位)而减数两之十位为一则为
　　　　　四两减十二两亦为下大于上故借斤
　　　　　位之一为十六两(斤位下作/一点为志)十六两与
　　　　　原四两共为二十两内减十二两馀八
　　　　　两故两之单位纪八十位纪○斤位之
　　　　　五减二并所借之一则为五减三馀二
　　　　　故下纪二十位之一减一恰尽故下纪
　　　　　○所减之数得二斤零八两五钱即馀
　　　　　数也

　　因乘
因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有
几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则
必至于烦而无统此因乘之所以立也因者一位相
因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多
位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而
又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列
于上法列于下必使法实相当(如千对千百对百十/对十单对单之类)

按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实
所命之单位后有奇零与否如无奇零则实中所命
之单位相对即法尾之数若有奇零则法实相乘者
法实之一位统得数之二位(如单位后奇零有一位/则截得数之二位奇零)
(有二位则截得数之四/位向前为单位计之)法实相乘再以法乘者(即自/乘再)
(乘/也)法实之一位统得数之三位(如单位后奇零有一/位则截得数之三位)
(奇零有二位则截得数之/六位向前为单位计之)是故得数以一位论者则
为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三
位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必

须临题详审求其无误始为得之具见设如于左

设如有三人每人赏鞋二疋问共得几疋
　　　　　法以三人为实列于上二疋为法列于
　　　　　下以二因三得六即书于本位下定位
　　　　　以实之三人即是单位而法又止一位
　　　　　为疋今得数之六与实之单位相对故
　　　　　知六是疋位得共数为六疋也
设如有八人每人赏米六石问共得几石
　　　　　法以八人为实列于上六石为法列于

　　　　　下以六因八得四十八将四书于前位
　　　　　下(前位为十位故/十数纪前位下)八书于本位下(本位/为单)
　　　　　(位故单数/纪本位下)定位以实之八人即是单位
　　　　　而法亦止一位为石今得数之八与实
　　　　　之单位相对即知八是石位而四在石
　　　　　之前一位故知四是十位得共数为四
　　　　　十八石也
设如有一十二人每人赏银五两问共得几两
　　　　　法以一十二人为实列于上五两为法

　　　　　列于下命两位与人之单位相齐先以

　　　　　五乘二得一十将十进前一位作一点
　　　　　志之纪○于本位下(此数无单/故下纪○)次以五
　　　　　乘一仍得五并所进之一为六故书六
　　　　　于本位下(一虽为十位而以五乘/一则一下为本位矣)共得
　　　　　六○定位因实之单位对法之两位而
　　　　　得数之○与实之单位相对故知○为
　　　　　两位而六为十位得共数为六十两也
设如有二十四人每人赏银三两六钱问共得几两

　　　　　法以二十四人为实列于上三两六钱
　　　　　为法列于下命钱位与人之单位相齐
　　　　　乃以法之六遍乘实之二四其所得之
　　　　　单位数即对本法位下书之六乘四得
　　　　　二十四将二十进前一位作二点志之
　　　　　四书于本位下次以六乘二得一十二
　　　　　将十进前一位为一书之二并所进之
　　　　　二为四故书四于本位下(二虽为十位/而以六乘二)
　　　　　(则二下即/为本位矣)法之六既与实乘毕次以法

　　　　　之三遍乘实之二四其所得之单位数

　　　　　即对本法位下书之三乘四得一十二
　　　　　将十进前一位作一点志之二书于本
　　　　　位下次以三乘二得六并所进之一为
　　　　　七故书七于本位下法之三又与实乘
　　　　　毕乃用加法并之共得八六四总书于
　　　　　下定位以实尾之四系四人为单位而
　　　　　法尾为钱今得数末位之四与实之单
　　　　　位相对即知四是钱位二位为两三位

　　　　　为十两得共数为八十六两四钱也
设如有田三百六十亩每亩纳粮三升五合问共得
　若干
　　　　　法以三百六十亩为实列于上三升五
　　　　　合为法列于下实之单位无数则补○
　　　　　以存其位命合位与亩之单位相齐乃
　　　　　以法之五遍乘实之三六○其所得之
　　　　　单位数即对本法位下书之五乘○仍
　　　　　为○故下纪○五乘六得三十将三十

　　　　　进前一位作三点志之本位纪○五乘

　　　　　三得一十五将十进前一位为一书之
　　　　　五并所进之三为八故书八于本位下
　　　　　又以法之三遍乘实之三六○其所得
　　　　　之单位数即对本法位下书之三乘○
　　　　　仍为○故下纪○三乘六得一十八将
　　　　　十进前一位作一点志之八书于本位
　　　　　下三乘三得九并所进之一为十故进
　　　　　前一位为一书之本位纪○乘毕用加

　　　　　法并之共得一二六○○总书于下定
　　　　　位以实尾之○系单位法尾是合今得
　　　　　数末位之○与实之单位相对即知末
　　　　　位之○是合前一位是升向前数至首
　　　　　位得十石因知共数为一十二石六斗
　　　　　也
设如有田三顷五十亩每顷纳粮一石二斗三升问
　共得若干
　　　　　法以三顷五十亩为实列于上(因亩位/无数故)

　　　　　(作○以/存其位)一石二斗三升为法列于下命

　　　　　石位与顷之单位相齐(题中言每顷纳/一石故石与顷)
　　　　　(对为/单位)乃以法之三遍乘实之三五○其
　　　　　所得之单位数即对本法位下书之三
　　　　　乘○仍得○故下纪○次以三乘五得
　　　　　一十五将十进前一位作一点志之五
　　　　　书于本位下次以三乘三得九并所进
　　　　　之一为十故进前一位为一书之本位
　　　　　纪○又以法之二遍乘实之三五○其

　　　　　所得之单位数即对本法位下书之二
　　　　　乘○仍得○故下纪○二乘五得一十
　　　　　将十进前一位作一点志之本位纪○
　　　　　二乘三得六并所进之一为七故书七
　　　　　于本位下又以法之一遍乘实之三五
　　　　　○其所得之单位数即对本法位下书
　　　　　之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘
　　　　　三仍得三俱各书于本位下乘毕用加
　　　　　法并之共得四三○五○总书于下定

　　　　　位因每顷纳粮一石二斗三升即命顷

　　　　　为单位而石亦为单位其后二位则为
　　　　　奇零凡法实之奇零有一位则统得数
　　　　　之两位今奇零既有二位则统得数之
　　　　　四位故从后截去四位而第五位定为
　　　　　石因知共数为四石三斗零五合也
设如有金三十六两每两价银九两九钱八分问共
　价几何
　　　　　法以三十六两为实列于上九两九钱

　　　　　八分为法列于下实中钱位分位俱无
　　　　　数则补作○○以存其位命分位与分
　　　　　位相齐乃以法之八遍乘实之三六○
　　　　　○先以八乘○○仍得○○故下纪○
　　　　　○次以八乘六得四十八将四十进前
　　　　　一位作四点志之八书于本位下次以
　　　　　八乘三得二十四将二十进前一位为
　　　　　二书之四并所进之四为八故书八于
　　　　　本位下又以法之九遍乘实之三六○

　　　　　○先以九乘○○仍得○○故下纪○

　　　　　○次以九乘六得五十四将五十进前
　　　　　一位作五点志之四书于本位下次以
　　　　　九乘三得二十七将二十进前一位作
　　　　　二点志之七并所进之五为十二十又
　　　　　进前一位为一并所志之二为三故前
　　　　　位书三本位书二又以法之九遍乘实
　　　　　之三六○○先以九乘○○仍得○○
　　　　　故下纪○○次以九乘六得五十四将

　　　　　五十进前一位作五点志之四书于本
　　　　　位下次以九乘三得二十七将二十进
　　　　　前一位作二点志之七并所进之五为
　　　　　十二十又进前一位为一并所志之二
　　　　　为三故前位书三本位书二乘毕用加
　　　　　法并之共得三五九二八○○定位因
　　　　　题言每两价银九两九钱八分爰以两
　　　　　为单位其后二位则为奇零奇零既有
　　　　　二位则统得数之四位故从后截去四

　　　　　位而第五位定为两第六位为十第七

　　　　　位为百因知共数为三百五十九两二
　　　　　钱八分也
设如有物二十六斤求两数
　　　　　法以二十六斤为实列于上以每斤十
　　　　　六两为法列于下乃以法之六遍乘实
　　　　　之二六其所得之单位数即对本法位
　　　　　下书之六乘六得三十六将三十进前
　　　　　一位作三点志之六书于本位下次以

　　　　　六乘二得一十二将十进前一位为一
　　　　　书之二并所进之三为五故书五于本
　　　　　位下又以法之一遍乘实之二六其所
　　　　　得之单位数即对本法位下书之一乘
　　　　　六仍得六故下书六次以一乘二仍得
　　　　　二故下书二乘毕用加法并之得四一
　　　　　六定位因实尾是单位而法尾又是两
　　　　　位故得数末位之六即为单位为两而
　　　　　前一位为十又前一位为百因知得数

　　　　　为四百一十六两也

　　　　　又法斤求两身加六名为定身加法盖
　　　　　以十六两之十为一乘之仍得原数故
　　　　　以本身加六即得如二十六斤则从首
　　　　　位加起二六加一十二将一对实之十
　　　　　位二对实之单位下书之又六六加三
　　　　　十六则三对实之单位而六对实之单
　　　　　位后一位书之用加法相并得四一六
　　　　　定位以原斤数之后一位为两今得数

　　　　　末位之六在原斤数之后一位即知是
　　　　　两因知得数为四百一十六两也
设如周天三百六十度每度六十分问共得若干分
　　　　　法以三百六十度为实列于上以六十
　　　　　分为法列于下(因单位俱无数故/各作○以存其位)乃以
　　　　　法之○遍乘实之三六○仍皆得○故
　　　　　各纪○于各位下又以法之六遍乘实
　　　　　之三六○其所得之单位数即对本法
　　　　　位下书之六乘○仍得○故本位下纪

　　　　　○次以六乘六得三十六将三十进前

　　　　　一位作三点志之六书于本位下次以
　　　　　六乘三得一十八将十进前一位作一
　　　　　点志之八并所进之三为十一十又进
　　　　　前一位为一并所志之一为二故前位
　　　　　书二本位书一乘毕用加法并之共得
　　　　　二一六○○定位以实之末位是单位
　　　　　法之末位是分今求分数故得数末位
　　　　　之○即是分之单位向前数至首位得

　　　　　万因知共数为二万一千六百分也
设如有验时仪坠子来一秒往一秒今十五分问共
　得来往几秒
　　　　　法以十五分为实列于上以每分六十
　　　　　秒为法列于下乃以法之○遍乘实之
　　　　　一五仍皆得○故各纪○于本位下又
　　　　　以法之六遍乘实之一五其所得之单
　　　　　位数即对本法位下书之六乘五得三
　　　　　十将三十进前一位作三点志之本位

　　　　　纪○次以六乘一仍得六并所进之三

　　　　　为九故书九于本位下定位以实之末
　　　　　位是单位法之末位是秒今求秒数故
　　　　　得数末位之○即是秒之单位其前一
　　　　　位为十又前一位为百因知共数为九
　　　　　百秒也
设如一尺二寸自乘求积(以本数乘本/数故为自乘)
　　　　　法以一尺二寸互为法实列于上下乃
　　　　　以法之二遍乘实之一二其所得之单

　　　　　位数即对本法位下书之二乘二得四
　　　　　故下书四次以二乘一仍得二故下书
　　　　　二又以法之一遍乘实之一二其所得
　　　　　之单位数即对本法位下书之一乘二
　　　　　仍得二故下书二次以一乘一仍得一
　　　　　故下书一乘毕用加法并之共得一四
　　　　　四定位因自乘数成平方面其每一尺
　　　　　正方面容积一百寸故百寸为尺百尺
　　　　　为丈俱以两位命之今实之末位为寸

　　　　　即命为单位法之末位是寸得数末位

　　　　　之四与实之单位相对即知为寸位向
　　　　　前第二位为十寸第三位为百寸既以
　　　　　百寸为尺即知得数为一尺四十四寸
　　　　　也若命尺为单位则于尺上命位其后
　　　　　一位为奇零故于得数内从末截去二
　　　　　位以第三位为尺(盖自乘乃两数相乘/两数既各有一位零)
　　　　　(数故截去/两位算也)今得数有三位即知首位为
　　　　　一尺首位既为尺末位又既为寸则中

　　　　　一位为十寸可知矣
设如一尺二寸自乘再乘求积(以本数乘本数所得/之数又以本数乘之)
　(故谓之自/乘再乘)
　　　　　法先以一尺二寸互为法实按法自乘
　　　　　得一尺四十四寸又以一尺四十四寸
　　　　　为实复以一尺二寸为法按法乘之共
　　　　　得一七二八定位因自乘再乘数成立
　　　　　方体其每一尺正方体容积一千寸故
　　　　　以千寸为尺千尺为丈俱以三位命之

　　　　　今实之末位为寸即命为单位法之末

　　　　　位是寸得数末位之八与实之单位相
　　　　　对即知为寸位向前第二位为十寸第
　　　　　三位为百寸第四位为千寸既以千寸
　　　　　为一尺即知得数为一尺七百二十八
　　　　　寸也若命尺为单位则于尺上命位其
　　　　　后一位为奇零故于得数内从末截去
　　　　　三位以第四位为尺(盖自乘再乘乃以/三数相乘三数既)
　　　　　(各有一位零数故/截去三位算也)今得数有四位即知

　　　　　首位为一尺首位既为尺末位又既为
　　　　　寸则中二位为十寸百寸可知矣

　　归除
归除者分数也以数分数有各得均齐之义焉凡有
两数以此数减彼数减得几次即为所得然所减之
次数多则益至于纷而难纪此归除之所以立也归
者一位归之而得如归作几分而均分之也除者多
位除之而得盖以所得之数与法相因而于实内除
去也其法以原数为实横列于下除数为法横列于
上法之小于实者法之首位与实之首位列齐法之

大于实者则法比实退一位看实足法几倍即为得
数自法之末位上纪所得之数既得数乃以所得与
法相因书于实下与实相减馀者即为次商实依次
按法归除以恰尽为度(减馀者乃所得与法相因之/数在实中所减者其数每与)
(法位相对即初商之馀实也至于实位所馀之数则/每次取下一位续于减馀之末以为每商之实若实)
(无馀位而归除仍未尽/者则按位添○以纪之)如实不足法之一倍者则得
数为○定位之法以法中所命单位与原实相对之
数为所得之首位数若实之位数少于法者则作几
○位以补足法然后位数一览即明至于一位归除

捷法则竟以原数书于上就身用几分分之得数书

于下其定位仍照原列之位定之具见设如于左
设如有缎六疋令三人分之问每人得几疋
　　　　　法以六疋为实列于下三人为法列于
　　　　　上今法与实俱为单位而法比实小故
　　　　　列法与实相齐爰看实足法几倍今足
　　　　　二倍故书二于法上乃以得数之二与
　　　　　法之三相因得六书于实下与实相减
　　　　　恰尽即得数为二疋也定位因法之三

　　　　　人即为单位而实亦止一位为疋是法
　　　　　之单位与实之疋位相对故得数为二
　　　　　疋也
设如有米六十四石令八人分之问每人得几石
　　　　　法以六十四石为实列于下八人为法
　　　　　列于上因法之八大于实之首位之六
　　　　　故将法退一位书之爰看实足法几倍
　　　　　今足八倍故书八于法上乃以得数之
　　　　　八与法之八相因得六十四书于实下

　　　　　(其所得单位数即对/得数之本位下书之)与实相减恰尽即

　　　　　得数为八石也定位因法之八人即为
　　　　　单位而与实之石位相对故得数为八
　　　　　石也
设如有银三百四十三两令七人分之问每人得几
　两
　　　　　法以三百四十三两为实列于下七人
　　　　　为法列于上因法之七大于实之首位
　　　　　之三故将法退一位书之爰看实足法

　　　　　几倍今实前两位为三四足法之四倍
　　　　　(何以知其足法之四倍盖实之三十四/内足法之七之四倍为二十八如法之)
　　　　　(七之五倍则为三/十五比实则大矣)故书四于法上乃以
　　　　　得数之四与法之七相因得二十八书
　　　　　于实下(其所得单位数即对得数/之本位下书之后仿此)与实
　　　　　相减馀六次取实数所馀之三书于减
　　　　　馀之后共六三为次商实爰看实之六
　　　　　三足法几倍今足九倍故书九于得数
　　　　　之次乃以得数之九与法之七相因得

　　　　　六十三书于次商实之下与实相减恰

　　　　　尽即得数为四十九两也定位因法之
　　　　　七人即为单位而与实中之两之十位
　　　　　相对故得数首位即为十而次位为两
　　　　　是知每人得四十九两也
设如有丝四十五斤共织得缎九十二丈二尺五寸
　问每斤织得若干
　　　　　法以九十二丈二尺五寸为实列于下
　　　　　四十五斤为法列于上因法之首位四

　　　　　小于实之首位九故列法与实相齐爰
　　　　　看实之九二足法之二倍故书二于法
　　　　　上乃以得数之二与法之四五相因得
　　　　　九○书于实下与实相减馀二次取实
　　　　　数所馀之二书于减馀之后共二二为
　　　　　次商实今实之二二不足法之四五之
　　　　　一分故得数为○乃纪○于上复取实
　　　　　数所馀之五书于二二之后共二二五
　　　　　为三商实(次商实之二二不足法之四/五故再取实之一位续书于)

　　　　　(下谓之三商实者/○位为次商故也)爰看实之二二五足

　　　　　法之五倍故书五于上乃以得数之五
　　　　　与法之四五相因得二二五书于实下
　　　　　与实相减恰尽即得数为二丈零五寸
　　　　　也定位因法之五斤为单位而与实之
　　　　　丈位相对故得数首位即为丈等而下
　　　　　之为尺为寸是知每斤织得二丈零五
　　　　　寸也
设如有田四十五亩六分共纳榖五十七石问每亩

　纳榖若干
　　　　　法以五十七石为实列于下四十五亩
　　　　　六分为法列于上因法之首位四小于
　　　　　实之首位五故列法与实相齐又因实
　　　　　之位数少于法故补作○以足其位爰
　　　　　看实之五七○足法之一倍故书一于
　　　　　法上乃以得数之一与法之四五六相
　　　　　因仍得四五六书于实下与实相减馀
　　　　　一一四此后实无馀位故添书一○于

　　　　　减馀之末为次商实爰看一一四○足

　　　　　法之二倍故书二于上乃以得数之二
　　　　　与法之四五六相因得九一二书于实
　　　　　下与实相减馀二二八又添书一○于
　　　　　减馀之末为三商实爰看二二八○足
　　　　　法之五倍故书五于上乃以得数之五
　　　　　与法之四五六相因得二二八○书于
　　　　　实下与实相减恰尽即得数为一石二
　　　　　斗五升也定位因法之五亩为单位而

　　　　　与实之石位相对故得数首位为石是
　　　　　知每亩纳榖一石二斗五升也
设如有丹砂一两价值钱二万五千文问每钱一文
　该得丹砂几何
　　　　　法以丹砂一两为实列于下钱二万五
　　　　　千为法列于上因法之首位二大于实
　　　　　之首位一故将法退一位列之又因法
　　　　　之百位十位单位俱无数故各作○以
　　　　　存其位而实亦作五○位以补足法爰

　　　　　看实足法之四倍故书四于法上乃以

　　　　　得数之四与法之二五○○○相因得
　　　　　一○○○○○书于实下与实相减恰
　　　　　尽即得数为四丝也定位因法之末位
　　　　　○系单位故从实之首位一两数至法
　　　　　之单位相对之位为丝是知每钱一文
　　　　　得丹砂四丝也
设如有银一千二百五十两买果赏人每果一枚价
　二釐五豪问买果若干

　　　　　法以一千二百五十两补五○位为实
　　　　　列于下(因法之末位是豪故补五○位/与法相对盖命实为一千二百)
　　　　　(五十万/豪也)二釐五豪为法列于上爰看实
　　　　　之一二五足法之五倍故书五于法上
　　　　　乃以得数之五与法之二五相因得一
　　　　　二五书于实下与实相减恰尽然实后
　　　　　尚有五○位故得数后亦添五○位为
　　　　　五十万也定位因法实俱至豪位止即
　　　　　命豪为单位爰从实之末位数至法之

　　　　　单位相对之位为十万是知得果为五