钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷五
　　算法原本一
　　算法原本二

　　　　　　算法原本一
　　　　　　第一
　　　　　　一者数之原也众一相合而数繁焉不
　　　　　　能无大小多寡之不齐而欲知其所以
　　　　　　分合之故必有一定之法始可以得其
　　　　　　准若夫累积小数与大数等者此小数
　　　　　　即度尽大数之准也(如大数有八小数/有二四倍其二与)
　　　　　　(八必等则二即/为度尽八之准)苟累积小数不能与大

　　　　　　数等者此小数即非度尽大数之准也
　　　　　　(如大数有八小数有三二倍其三为六/小于八矣二倍其三为九又大于八矣)
　　　　　　(若此者即为非/度尽大数之准)要之小数为大数之平
　　　　　　分者即能度尽大数而小数非大数之
　　　　　　平分者即不能度尽大数是故以小度
　　　　　　大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟
　　　　　　在得其平分之法而已
　　　　　　第二
　　　　　　数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶

　　　　　　两整平分数是也何谓奇不能两整平

　　　　　　分数是也如二四六八十之类平分之
　　　　　　俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九
　　　　　　十一之类平分之俱不能为整数斯谓
　　　　　　之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶
　　　　　　分则谓之偶分之偶数(如小偶数四分/大偶数三十二)
　　　　　　(得八平分是为偶分其三/十二即为偶分之偶数)小偶数分大
　　　　　　偶数得奇分则谓之奇分之偶数(如小/偶数)
　　　　　　(六分大偶数三十得五平分是为/奇分其三十即为奇分之偶数)又如

　　　　　　小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分
　　　　　　之奇数矣(如小奇数五分大奇数十五/得三平分是为奇分其十五)
　　　　　　(即为奇分/之奇数)
　　　　　　第三
　　　　　　乘者两数相因而成也盖有两数视此
　　　　　　一数有几何彼一数有几何将此一数
　　　　　　照彼一数加几倍则两数积而复成一
　　　　　　数故谓之相因而成然不用加而用乘
　　　　　　者何也盖加须层累而得乘则一因即

　　　　　　得此立法之精而理则实相通也如有

　　　　　　六与十两数以十为主而加六次得六
　　　　　　十以六为主而加十次亦得六十今以
　　　　　　十为主而以六乘之或以六为主而以
　　　　　　十乘之皆得六十其数无异而比加捷
　　　　　　矣
　　　　　　第四
　　　　　　凡两数相乘为平方数如四与六相乘
　　　　　　得二十四是也试将四六两数作点排

　　　　　　之纵立四点为甲乙横列六点为甲丁
　　　　　　将此六点累四次即成甲乙丙丁平方
　　　　　　数矣又若相等两数相乘得数则为正
　　　　　　方数如五与五乘得二十五是也苟将
　　　　　　五数纵横各列五点或依纵数或依横
　　　　　　数累五次即成戊已庚辛正方数矣
　　　　　　第五
　　　　　　凡数之相乘可用线以表之然线虽无
　　　　　　广分如依一线之长分广为小方面看

　　　　　　此线所有方面若干将彼线所有方面

　　　　　　加作几倍或看彼线所有方面若干将
　　　　　　此线所有方面加作几倍则二线相积
　　　　　　而成面矣设如有甲乙二线甲线之分
　　　　　　为三乙线之分为四将此二线相乘则
　　　　　　依甲线三分之一分作广分为甲丙依
　　　　　　乙线四分之一分作广分为乙丁其甲
　　　　　　丙有三小方形乙丁有四小方形若依
　　　　　　甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依

　　　　　　乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成
　　　　　　函十二小方形之乙丙甲丁之二直角
　　　　　　形矣盖面为线之积以一线为横一线
　　　　　　为纵纵横相因而成故测面者必于线
　　　　　　知线即可以知面也
　　　　　　第六
　　　　　　凡二线彼此各分不均而有零分者其
　　　　　　相乘所成方面亦有零分也设有甲乙
　　　　　　二线甲线为三分今将甲线依三分之

　　　　　　一分作广分为三小方形并无馀积而

　　　　　　乙线照甲线分则为四分有零亦将乙
　　　　　　线依甲线一分作广分则为四小方形
　　　　　　而馀戊一小形以所作甲丙为横乙丁
　　　　　　为纵则成一丁甲四方形而此形之内
　　　　　　必有十二小方形仍有三小戊形附于
　　　　　　十二方形乃为二线相乘之总积也又
　　　　　　如此类一线有零分者其馀分在一边
　　　　　　若二线俱有零分者则其馀分亦在二

　　　　　　边矣
　　　　　　第七
　　　　　　凡三数递乘为立方数如二与三相乘
　　　　　　得六又以四乘之得二十四是也试将
　　　　　　二三四之三数作点排之纵列二点为
　　　　　　甲丁横列三点为甲乙将此三点累二
　　　　　　次成丁乙平方数又直立四点为丙丁
　　　　　　依丙丁数将丁乙平方数累四次即成
　　　　　　丙乙立方数矣又若相等三数递乘得

　　　　　　数则为正立方数如三与三乘得九再

　　　　　　以三乘得二十七是也试将三数纵横
　　　　　　各排三点平列三次成庚已平方数又
　　　　　　直立三点将庚己平方数累三次即成
　　　　　　戊已正立方数矣
　　　　　　第八
　　　　　　凡数之递乘为体可用面以表之盖面
　　　　　　虽无厚分如依一面之积分广为小方
　　　　　　体看面所有积分得线之长分若干将

　　　　　　面所有小方体加作几倍则线面因之
　　　　　　而成体矣设如有甲乙面之分为四丙
　　　　　　丁线之分为三将此面线相乘则依甲
　　　　　　乙面四分之一作厚分为四小方体乃
　　　　　　依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成
　　　　　　函十二小方体之丙乙直角立方体矣
　　　　　　盖体为面之积而面为线之积故线可
　　　　　　以测面并可以测体也
　　　　　　第九

　　　　　　除者两数相较而分也盖视大数内有

　　　　　　小数之几倍将大数照小数减几次则
　　　　　　大数分而复为一小数故谓之相较而
　　　　　　分然不用减而用除者何也盖减必递
　　　　　　消其分除则一归而即得除之与减即
　　　　　　犹乘之与加正相对待者也如有大数
　　　　　　十二小数四若用十二以四减之三次
　　　　　　而尽即知十二为四之三倍若用除法
　　　　　　则三倍其四与十二较其数适等即知

　　　　　　十二为四之三倍矣此除之与减理相
　　　　　　通而用较捷也
　　　　　　第十
　　　　　　凡两数相乘之平方数以一数除之必
　　　　　　得其又一数也设如甲乙五乙丙六两
　　　　　　数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以
　　　　　　甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六
　　　　　　除之即得甲乙五盖此三十中有五之
　　　　　　六倍六之五倍如作点排之五点为横

　　　　　　则纵排六次六点为横则纵排五次皆

　　　　　　成方数故两数不等平方面知其一数
　　　　　　或知两数相差之较始能得其两边线
　　　　　　也又若正方数则其纵横皆同如戊己
　　　　　　庚辛之正方数二十五其纵横皆五是
　　　　　　巳故凡正方面有积数即可得其每边
　　　　　　者盖因其纵横两边皆等故也
　　　　　　第十一
　　　　　　凡以线乘线即成面而以线除面亦复

　　　　　　得线故数之乘者可用线以表之而除
　　　　　　者亦可用线以表之也设如有甲乙丙
　　　　　　丁一方面积一十二以甲乙线四分除
　　　　　　之得乙丙线之三分或以乙丙线三分
　　　　　　除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙
　　　　　　丙二线作广分则甲乙线成四小方形
　　　　　　乙丙线成三小方形若依甲乙线所有
　　　　　　数以分甲乙丙丁面即每分得三小方
　　　　　　形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲

　　　　　　乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙

　　　　　　线盖除之与乘犹分合之相对以线合
　　　　　　者仍以线而分返本还原之义有不爽
　　　　　　矣
　　　　　　第十二
　　　　　　凡有零分不均二线相乘之方面以整
　　　　　　分线除之必得零分线以零分线除之
　　　　　　必得整分线也设如甲线三分乙线四
　　　　　　分有零相乘成丁甲面若以甲线三分

　　　　　　除之即得乙线四分有零或以乙线四
　　　　　　分有零除之亦得甲线三分试将甲线
　　　　　　作广分成三小方形为甲丙乙线作广
　　　　　　分则成四小方形为乙丁馀戊一小形
　　　　　　若依甲丙线所有数以分丁甲面即每
　　　　　　分得四小方形一戊小形如乙丁线或
　　　　　　依乙丁线所有数以分丁甲面即每分
　　　　　　得三小方形如甲丙线矣此为二线一
　　　　　　整一零相乘之总积故以整线除之得

　　　　　　零以零线除之得整若二线俱有零分

　　　　　　者彼此除之必俱得零分也
　　　　　　第十三
　　　　　　凡三数递乘之立方数以两数递除之
　　　　　　始得其又一数也设如甲乙四乙丙二
　　　　　　丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若
　　　　　　以甲乙四除之得乙丁平方数六再以
　　　　　　乙丙二除之始得丙丁三盖乙丁平方
　　　　　　中有三之二倍而甲丁立方中有六之

　　　　　　四倍如作点排之二点为纵横排三次
　　　　　　直累四次即成方体故三数不等立方
　　　　　　体知其两数或知其三数相差之较始
　　　　　　能得各边也又若正立方体其纵横厚
　　　　　　度皆为一数即以一数递除二次则其
　　　　　　原数自得如戊己正立方数二十七其
　　　　　　纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积
　　　　　　数即可得其每边者正为其纵横厚度
　　　　　　皆等故也

　　　　　　第十四

　　　　　　凡以线除体即得面而以面除体亦复
　　　　　　得线故线可以除面而面亦可以除体
　　　　　　也设如有丙乙体积一十二以丙丁线
　　　　　　三分除之得甲乙面之四分或以甲乙
　　　　　　面四分除之亦得丙丁线之三分试将
　　　　　　甲乙面作厚分则成四小方体若依丙
　　　　　　丁线所有数以分丙乙体即每分得四
　　　　　　小方体如甲乙面依甲乙面所有数以

　　　　　　分丙乙体即每分得三分如丙丁线盖
　　　　　　体本以线面相乘而得故可以线面相
　　　　　　除也
　　　　　　第十五
　　　　　　凡大数用小数可以度尽者此大数必
　　　　　　为此小数之所积也然所谓小数可以
　　　　　　度尽大数者复有几种有大数惟一数
　　　　　　可以度尽者如四九二十五四十九之
　　　　　　类惟用二可以度四三可以度九五可

　　　　　　以度二十五七可以度四十九是也有

　　　　　　大数用两数三数俱可以度尽者如八
　　　　　　与十二之两数用二用四俱可以度尽
　　　　　　八用二用三用四俱可以度尽十二是
　　　　　　也有两大数或三大数用一小数俱可
　　　　　　以度尽者如十二十六之两数或一十
　　　　　　十五二十之三数用四可以度尽十二
　　　　　　十六之两数用五可以度尽一十十五
　　　　　　二十之三数是也又有一小数可以度

　　　　　　尽几大数将此几大数相加为一总数
　　　　　　此小数亦可以度尽此总数如四可以
　　　　　　度尽十二十六两数若将十二十六相
　　　　　　加为二十八则此四亦可以度尽此二
　　　　　　十八也又或一小数可以度尽几大数
　　　　　　将此大数不拘几分分之此小数可以
　　　　　　度尽一分亦必可以度尽其馀几分也
　　　　　　如三可以度尽十五将十五分为六九
　　　　　　两数此三可以度尽六亦必可以度尽

　　　　　　九也又如六与九两数用三俱可以度

　　　　　　尽若将六与九相乘得五十四此小数
　　　　　　三仍可以度尽此五十四也凡此类者
　　　　　　皆为彼此有度尽之数也
　　　　　　第十六
　　　　　　凡大数用小数不可以度尽者此大数
　　　　　　必非此小数之所积也然用一以度之
　　　　　　无不可以度尽者盖一为数之根诸数
　　　　　　皆自一而积之故也所谓度不尽者亦

　　　　　　复有几种有大数无小数可以度尽者
　　　　　　如五七十一十三之类任用二用三用
　　　　　　四俱不能度尽也有两大数或三大数
　　　　　　用小数彼此不可以度尽者如十五与
　　　　　　八之两数用二用四可以度尽八而不
　　　　　　能度尽十五用三用五可以度尽十五
　　　　　　而不能度尽八又如四六九之三数用
　　　　　　二可以度尽四六而不能度尽九用三
　　　　　　可以度尽六九而不能度尽四也又有

　　　　　　彼此不能度尽之数或将一数自乘或

　　　　　　将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽
　　　　　　也如五与六之两数彼此不能度尽亦
　　　　　　无一小数可以度尽此两数即将五自
　　　　　　乘为二十五或将六自乘为三十六则
　　　　　　六仍不能度尽二十五而五仍不能度
　　　　　　尽三十六即二十五亦不能度尽三十
　　　　　　六也又如三七两数与二五两数俱为
　　　　　　彼此不能度尽之数或将三与七相乘

　　　　　　得二十一将二与五相乘得一十此一
　　　　　　十与二十一之两数仍为彼此不能度
　　　　　　尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽
　　　　　　之数也
　　　　　　第十七
　　　　　　凡两数互转相减未至于一而即可以
　　　　　　减尽者此减尽之最小数即可以度尽
　　　　　　此两数也设如有甲乙十六丙丁六之
　　　　　　两数将丙丁六与甲乙十六减二次馀

　　　　　　戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减

　　　　　　馀己丁二又将此已丁二转与戊乙四
　　　　　　相减二次即无馀则此已丁二即可以
　　　　　　度尽甲乙十六及丙丁六矣盖八倍其
　　　　　　二与十六等三倍其二与六等也又如
　　　　　　十六与十二与八此三数亦为彼此有
　　　　　　度尽之数何也盖十六与十二相减馀
　　　　　　四以四转与十二相减三次而尽则四
　　　　　　可以度尽十六与十二矣又二倍其四

　　　　　　即与八等则四又可以度尽八然则十
　　　　　　六十二与八之三数为彼此有度尽之
　　　　　　数可知矣
　　　　　　第十八
　　　　　　凡两数互转相减至于一始可以减尽
　　　　　　者一之外别无他小数可以度尽此两
　　　　　　数也设如有甲乙十二丙丁七之两数
　　　　　　将丙丁七与甲乙十二相减馀戊乙五
　　　　　　将此戊乙五转与丙丁七相减馀已丁

　　　　　　二将此已丁二又转与戊乙五相减馀

　　　　　　庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减
　　　　　　馀辛乙一既至于一始可以度尽甲乙
　　　　　　丙丁两数而一之外如二三四虽可以
　　　　　　度尽十二而不能度尽七也又如九与
　　　　　　十三及二十之三数亦为彼此无度尽
　　　　　　之数何也盖将九与十三互转相减必
　　　　　　至于一即用十三与二十转减或用九
　　　　　　与二十转减亦皆至于一则除此一之

　　　　　　外皆无可以彼此度尽此三数之小数
　　　　　　矣
　　　　　　第十九
　　　　　　凡有大数约为相当比例之最小数以
　　　　　　从简易则为约分法也然数有可约不
　　　　　　可约之分可约者度尽之数不可约者
　　　　　　度不尽之数也设如有九与十二之两
　　　　　　数欲约为相当比例之最小数乃用求
　　　　　　小数度尽大数法以九与十二互转相

　　　　　　减得减尽之数为三则三为度尽九与

　　　　　　十二之数矣以三除九得三以三除十
　　　　　　二得四此三四两数即为九与十二相
　　　　　　当比例之最小数也又如有六四八之
　　　　　　三数欲约为相当比例之最小数乃以
　　　　　　六与四互转相减得减尽之数为二又
　　　　　　以二与八相减四次而尽则二为度尽
　　　　　　六四八之小数矣以二除六得三以二
　　　　　　除四得二以二除八得四此三二四三

　　　　　　数即六四八相当比例之最小数也此
　　　　　　皆数之可约者也若夫数之不可约者
　　　　　　互转相减必至于一而不可以度尽也
　　　　　　如有五七两数以五减七馀二复以二
　　　　　　减五二次馀一既馀一则自一之外必
　　　　　　无可以度尽之数而不可约矣
　　　　　　第二十
　　　　　　凡有大分以分母乘之通为小分则为
　　　　　　通分法也然不曰乘而曰通者何也盖

　　　　　　乘则积少成多其得数溢于原数之外

　　　　　　通则变大为小其得数仍函于原数之
　　　　　　中也如有大分十二其分母为四欲得
　　　　　　其小分则以分母四乘大分十二得小
　　　　　　分四十八是已试作甲乙方形以明之
　　　　　　其中所函方形十二即大分也若将中
　　　　　　函之方形每分俱分为四小方则十二
　　　　　　方形共分为四十八小方形矣其数虽
　　　　　　比原大数加四倍然其每分之分只得

　　　　　　原数之四分之一故仍函于甲乙方形
　　　　　　之内而未尝溢出原数之外也又如有
　　　　　　大分九其分母为九欲得其小分则以
　　　　　　分母九乘大分九得小分八十一是已
　　　　　　试作丙丁方形以明之其中所函方形
　　　　　　九即大分也若将其中函之方形每分
　　　　　　俱分为九小方则九方形共分为八十
　　　　　　一小方形矣其数虽比原大数加九倍
　　　　　　而仍函于丙丁方形之内者以其每分

　　　　　　之分只得原数之九分之一也由此推

　　　　　　之其每分之母或为八或为十二或为
　　　　　　数十亦皆仿此通之其所通之数虽至
　　　　　　千万而要皆未有溢于所通原分之外
　　　　　　者矣
　　　　　　第二十一
　　　　　　凡有几小数欲求俱可以度尽之大数
　　　　　　则以此几小数连乘之得数始为此几
　　　　　　小数度尽之一大数也设如有四五两

　　　　　　小数欲求用四用五俱可以度尽之一
　　　　　　数则以四与五相乘得二十即为四五
　　　　　　两数俱可度尽之一大数矣又如有三
　　　　　　四五之三小数欲求用三用四用五俱
　　　　　　可以度尽之一数则以三与四相乘得
　　　　　　十二又以五乘十二得六十即为三四
　　　　　　五俱可度尽之一大数矣盖小数为大
　　　　　　数之根始能度尽大数如四五可以度
　　　　　　尽二十者二十乃四之五倍亦即五之

　　　　　　四倍也三四五可以度尽六十者六十

　　　　　　乃十二之五倍而十二乃三之四倍也
　　　　　　第二十二
　　　　　　凡有两数彼此互乘所得之数与原数
　　　　　　比例必同也盖数有多寡而分又有大
　　　　　　小则纷纭难御故必依此数之分将彼
　　　　　　数加为几倍又依彼数之分将此数加
　　　　　　为几倍则两分数既同而比例亦同矣
　　　　　　如甲乙二数甲为三分之二乙为四分

　　　　　　之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加
　　　　　　三倍为十二分之九依乙数将甲数加
　　　　　　四倍为十二分之八如是则所加之两
　　　　　　大分同为十二而所生之两小分相比
　　　　　　即同于原甲数与乙数之相比矣何也
　　　　　　甲数本三分之二而为十二分之八者
　　　　　　乃加四倍之比例(十二为三之四倍/八为二之四倍)而
　　　　　　十二分之八之比例仍同于三分之二
　　　　　　之比例也乙数本四分之三而为十二

　　　　　　分之九者乃加三倍之比例(十二为四/之三倍九)

　　　　　　(为三之/三倍)而十二分之九之比例仍同于
　　　　　　四分之三之比例也(此即互乘同母之/法如甲为三分之)
　　　　　　(二者三即母数二即子数也乙为四分/之三者四即母数三即子数也因两母)
　　　　　　(数不同故用/互乘以同之)
　　　　　　第二十三
　　　　　　凡子母分有几数而子数同为一者先
　　　　　　以各母求俱能度尽之一数次以各母
　　　　　　除之则为各子数也如甲乙丙三数甲

　　　　　　为二分之一乙为三分之一丙为四分
　　　　　　之一则先以三母数连乘得二十四为
　　　　　　甲乙丙之共母数又以二除共母数得
　　　　　　十二为甲之子数以三除共母数得八
　　　　　　为乙之子数以四除共母数得六为丙
　　　　　　之子数盖甲本二分之一子母各加十
　　　　　　二倍即为二十四分之十二而二十四
　　　　　　与十二之比例仍同于二与一之比例
　　　　　　也乙本三分之一子母各加八倍即为

　　　　　　二十四分之八而二十四与八之比例

　　　　　　仍同于三与一之比例也丙本四分之
　　　　　　一子母各加六倍即为二十四分之六
　　　　　　而二十四与六之比例仍同于四与一
　　　　　　之比例也
　　　　　　第二十四
　　　　　　凡子母分有几数而子母数俱不等者
　　　　　　亦先以各母求俱能度尽之一数次以
　　　　　　各母除之得数复以各子数乘之即为

　　　　　　各子数也如有甲乙丙三数甲为三分
　　　　　　之二乙为四分之三丙为五分之四则
　　　　　　先以三母数连乘得六十为甲乙丙之
　　　　　　共母数次以三除共母数得二十以乘
　　　　　　子数二得四十为甲之子数又以四除
　　　　　　共母数得十五以乘子数三得四十五
　　　　　　为乙之子数又以五除共母数得十二
　　　　　　以乘子数四得四十八为丙之子数盖
　　　　　　甲本三分之二子母各加二十倍即为

　　　　　　六十分之四十而六十与四十之比例

　　　　　　仍同于三与二之比例也乙本四分之
　　　　　　三子母各加十五倍即为六十分之四
　　　　　　十五而六十与四十五之比例仍同于
　　　　　　四与三之比例也丙本五分之四子母
　　　　　　各加十二倍即为六十分之四十八而
　　　　　　六十与四十八之比例仍同于五与四
　　　　　　之比例也

　　　　　　算法原本二
　　　　　　第一
　　　　　　凡有几小数与几大数相比其比例若
　　　　　　同则小数相加所得之总数与大数相
　　　　　　加所得之总数相比仍同于原数之比
　　　　　　例也设如有一小数六一小数四一大
　　　　　　数十八一大数十二其小数六为大数
　　　　　　十八之三分之一而小数四亦为大数

　　　　　　十二之三分之一将两小数六四相加
　　　　　　得一十将两大数十八十二相加得三
　　　　　　十此一十与三十之比即如六与十八
　　　　　　四与十二之比皆为三分之一之比例
　　　　　　也又如三小数二三四与三大数六九
　　　　　　十二相比皆为三分之一将二三四相
　　　　　　加得九将六九十二相加得二十七其
　　　　　　比例亦为三分之一也又或四小数四
　　　　　　大数相加其总数之比例亦皆同如三

　　　　　　与十二四与十六五与二十六与二十

　　　　　　四俱为四分之一将三四五六四小数
　　　　　　相加得十八将十二十六二十二十四
　　　　　　四大数相加得七十二其比例仍为四
　　　　　　分之一矣
　　　　　　第二
　　　　　　凡有几小数与几大数之比例若同则
　　　　　　小数相减所得之馀数与大数相减所
　　　　　　得之馀数相比仍同于原数之比例也

　　　　　　设如有一小数十一小数六一大数三
　　　　　　十一大数十八其小数十为大数三十
　　　　　　之三分之一而小数六亦为大数十八
　　　　　　之三分之一将两小数十与六相减馀
　　　　　　四将两大数三十与十八相减馀十二
　　　　　　此四与十二之比即如十与三十六与
　　　　　　十八之比皆为三分之一之比例也又
　　　　　　如三小数八四三与三大数二十四十
　　　　　　二九相比皆为三分之一将四三与八

　　　　　　递相减馀一将十二九与二十四递相

　　　　　　减馀三其比例亦为三分之一也又或
　　　　　　四小数四大数相减其馀数之比例亦
　　　　　　皆同如十八与七十二为四分之一而
　　　　　　三与十二四与十六五与二十俱为四
　　　　　　分之一将小数三四五与十八递相减
　　　　　　馀六将大数十二十六二十与七十二
　　　　　　递相减馀二十四其比例仍为四分之
　　　　　　一矣

　　　　　　第三
　　　　　　凡有一数乘两数其所得两数相比仍
　　　　　　同于原两数之相比也设如一数六与
　　　　　　八与一十两数相乘以六乘八得四十
　　　　　　八以六乘一十得六十此四十八与六
　　　　　　十相比即同于原数八与一十之相比
　　　　　　矣夫八与四十八一十与六十皆为六
　　　　　　分之一故一与六之比同于八与四十
　　　　　　八之比而一与六之比亦同于十与六

　　　　　　十之比也然则八与四十八之比例必

　　　　　　同于十与六十之比例而四十八与六
　　　　　　十之比例亦必同于八与一十之比例
　　　　　　可知矣
　　　　　　第四
　　　　　　凡有一数除两数其所得两数相比仍
　　　　　　同于原两数之相比也设如一数三除
　　　　　　十二与十五之两数以三除十二得四
　　　　　　以三除十五得五则此四与五相比即

　　　　　　同于原数十二与十五之相比矣夫十
　　　　　　二与四十五与五皆为三分之一故一
　　　　　　与三之比同于四与十二之比而一与
　　　　　　三之比亦同于五与十五之比也然则
　　　　　　四与十二之比例必同于五与十五之
　　　　　　比例而四与五之比例亦必同于十二
　　　　　　与十五之比例可知矣
　　　　　　第五
　　　　　　凡相当比例四数其第一数与第四数

　　　　　　相乘第二数与第三数相乘所得之数

　　　　　　等者何也盖两方面以其纵横界互相
　　　　　　为比之比例若等则两方积必等(见几/何原)
　　　　　　(本七卷/第三节)今以第一数与第四数相乘即
　　　　　　如以第一数为纵第四数为横成一方
　　　　　　数而第二数与第二数相乘即如以第
　　　　　　二数为纵第三数为横成一方数其积
　　　　　　必相等也设如有二与六三与九相当
　　　　　　比例四数将第一数二为纵第四数九

　　　　　　为横相乘得十八为甲丙一方数将第
　　　　　　二数六为纵第三数三为横相乘亦得
　　　　　　十八为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁
　　　　　　横界比戊庚方之戊辛横界大三分之
　　　　　　二而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之
　　　　　　甲乙纵界亦大三分之二其比例相等
　　　　　　故两方数亦等此两方数既等则相当
　　　　　　比例四数其第一数与第四数相乘第
　　　　　　二数与第三数相乘所得之数相等无

　　　　　　疑矣

　　　　　　第六
　　　　　　凡相连比例三数其首数与末数相乘
　　　　　　与中一数自乘所得之数等者何也盖
　　　　　　两方面相等者其纵横界之互相比例
　　　　　　必等(见几何原本/七卷第三节)今将首数与末数相
　　　　　　乘即如以首数为纵末数为横成一方
　　　　　　数而中数自乘即是以中数为纵复以
　　　　　　中数为横成一方数其积必相等也设

　　　　　　如有四六九相连比例三数将首数四
　　　　　　为纵末数九为横相乘得三十六为甲
　　　　　　丙一方数将中数六为纵仍复为横相
　　　　　　乘即是自乘亦得三十六为戊庚一方
　　　　　　数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之
　　　　　　戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊
　　　　　　己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三
　　　　　　分之一其比例相等故两方数亦等此
　　　　　　两方数既等则相连比例三数其首末

　　　　　　两数相乘与中数自乘所得之数相等

　　　　　　无疑矣
　　　　　　第七
　　　　　　凡有两数除一数其所得两数之比例
　　　　　　即同于原两数之转相比例也设如有
　　　　　　一数十八以二三两数除之二除十八
　　　　　　得九三除十八得六以此九与六两数
　　　　　　相比即同于原两数三与二之相比也
　　　　　　盖二与三六与九为相当比例之四数

　　　　　　以第一数二与第四数九相乘第二数
　　　　　　三与第三数六相乘皆得十八故二除
　　　　　　十八得九即如以第一数除第二数与
　　　　　　第三数相乘之数而得第四数也以三
　　　　　　除十八得六即如以第二数除第一数
　　　　　　与第四数相乘之数而得第三数也夫
　　　　　　相当比例数其第二数与第四数之比
　　　　　　原同于第一数与第三数之比故第一
　　　　　　数二除十八所得之九与第二数三除

　　　　　　十八所得之六相比即同于第二数三

　　　　　　与第一数二之相比也
　　　　　　第八
　　　　　　凡有两数除一数其所得之两数内有
　　　　　　一数与原两数内一数相等者则所得
　　　　　　之两数与原两数互转相比即成相连
　　　　　　比例之数也设如有一数三十六以四
　　　　　　六两数除之四除三十六得九六除三
　　　　　　十六仍得六与原数六相等则此九与

　　　　　　六两数之比即同于原数六与四之比
　　　　　　也盖四与六六与九为相连比例之四
　　　　　　数以四为首数九为末数相乘以六为
　　　　　　中数自乘皆得三十六今以四除三十
　　　　　　六得九即如以首数除中数自乘之数
　　　　　　而得末数也以六除三十六复得六即
　　　　　　如以中数除首末两数相乘之数而仍
　　　　　　得中数也夫相连比例数其末数与中
　　　　　　数之比原同于中数与首数之比则首

　　　　　　数四除三十六所得九与中数六除三

　　　　　　十六所得六相比即同于中数六与首
　　　　　　数四之相比也
　　　　　　第九
　　　　　　凡相当比例四数其第一数度尽第二
　　　　　　数则第三数亦必度尽第四数也如有
　　　　　　二六三九相当比例四数其第一数二
　　　　　　可以度尽第二数六则第三数三亦可
　　　　　　以度尽第四数九矣夫相当比例四数

　　　　　　第一与第二之比必同于第三与第四
　　　　　　之比今第一为二第二为六乃加三倍
　　　　　　之比例则第四与第三亦必为加三倍
　　　　　　之比例故三倍其二可以度尽六者三
　　　　　　倍其三即可以度尽九也
　　　　　　第十
　　　　　　凡相连比例三数其第一数度尽第二
　　　　　　数亦必度尽第三数也如有二四八相
　　　　　　连比例三数其第一数二可以度尽第

　　　　　　二数四亦必可以度尽第三数八矣夫

　　　　　　相连比例三数第一与第二之比同于
　　　　　　第二与第三之比今第一数为二第二
　　　　　　数为四乃加倍之比例则第二与第三
　　　　　　亦必为加倍之比例而第一与第三则
　　　　　　为再加一倍之比例故一倍其二可以
　　　　　　度尽四者再倍其二即可以度尽八也
　　　　　　第十一
　　　　　　凡依次递加取四数其第一第四两数

　　　　　　相加与第二第三两数相加之数等也
　　　　　　如一二三四递加之四数将第一数一
　　　　　　与第四数四相加得五以第二数二与
　　　　　　第三数三相加亦得五又如一三五七
　　　　　　递加之四数(一三五七为隔一/数以递加者也)将第一
　　　　　　数一与第四数七相加得八以第二数
　　　　　　三与第三数五相加亦得八也又如二
　　　　　　五八十一递加之四数(二五八十一为/隔二数以递加)
　　　　　　(者/也)将第一数一与第四数十一相加得

　　　　　　十三以第二数五与第三数八相加亦

　　　　　　得十三由此推之或隔三数或隔四数
　　　　　　或隔五六数以至极多数但依次递加
　　　　　　取四数无有不如此也
　　　　　　第十二
　　　　　　凡依次递加取三数其首末两数相加
　　　　　　与中数加倍之数等也如二三四递加
　　　　　　之三数将首末二四相加得六以中数
　　　　　　三倍之亦得六又如二四六递加之三

　　　　　　数(二四六隔一数/以递加者也)将首末二六相加得
　　　　　　八以中数四倍之亦得八也又如三六
　　　　　　九递加之三数(三六九隔二数/以递加者也)将首末
　　　　　　三九相加得十二以中数六倍之亦得
　　　　　　十二由此推之或隔三数或隔四数或
　　　　　　隔五六数以至极多数但依次递加取
　　　　　　三数无有不合者也
　　　　　　第十三
　　　　　　凡依次递加三数以第二第三两数相

　　　　　　加减去第一数即得挨次之第四数也

　　　　　　如二三四之三数以第二数三第三数
　　　　　　四相加得七内减去第一数二得五即
　　　　　　是第四数又如二四六隔一数递加之
　　　　　　三数以第二数四第三数六相加得一
　　　　　　十内减去第一数二得八即是第四数
　　　　　　亦为隔一数又如三六九隔二数递加
　　　　　　之三数以第二数六第三数九相加得
　　　　　　十五内减去第一数三得十二即是第

　　　　　　四数亦为隔二数矣盖此即四率相当
　　　　　　比例之理四率中两率相乘与首末两
　　　　　　率相乘之数等故中两率相乘以首率
　　　　　　除之即得末率而此则中两数相加与
　　　　　　首末两数相加之数等故以首一数减
　　　　　　之即得末一数其义一也
　　　　　　第十四
　　　　　　凡依次递加两数以第二数倍之减去
　　　　　　第一数即得挨次之第三数也如二三

　　　　　　两数将第二数三倍之得六内减去第

　　　　　　一数二馀四即是第三数又如二四隔
　　　　　　一数之两数将第二数四倍之得八内
　　　　　　减去第一数二馀六即是第三数四与
　　　　　　六亦为隔一数也又如三六隔二数之
　　　　　　两数将第二数六倍之得十二内减去
　　　　　　第一数三馀九即是第三数九与六亦
　　　　　　为隔二数也盖此即三率相连比例之
　　　　　　理三率以中率自乘与首末两率相乘

　　　　　　之数等故中率自乘以首率除之即得
　　　　　　末率而此则中数倍之与首末两数相
　　　　　　加之数等故以首数减之即得末数于
　　　　　　此见加减乘除之相对待而加减可以
　　　　　　代乘除之理亦可从此推矣
　　　　　　第十五
　　　　　　凡有彼此可以度尽两数欲求相连比
　　　　　　例之数则以一数自乘以一数除之即
　　　　　　得相连比例之第三数也如有四八两

　　　　　　数欲求第三数如四与八之相连比例

　　　　　　乃以八自乘得六十四以四除之得十
　　　　　　六此十六即为四与八相连比例之第
　　　　　　三数盖八者四之二倍而十六又为八
　　　　　　之二倍则八与十六之比例必同于四
　　　　　　与八之比例矣如有三数求第四数仍
　　　　　　如四与八之比例则以第三数十六自
　　　　　　乘得二百五十六以第二数八除之得
　　　　　　三十二即为四八十六相连比例之第

　　　　　　四数盖十六者四之四倍而三十二者
　　　　　　八之四倍则十六与三十二之比例必
　　　　　　同于四与八八与十六之比例矣如欲
　　　　　　求连比例之第五数或第六数即以相
　　　　　　近两数依前法算之由此递生可至于
　　　　　　无穷焉然此皆四与八之比例或四与
　　　　　　十六或三与六五与十之类凡有彼此
　　　　　　度尽之数欲求相连比例几数者亦皆
　　　　　　如此求之无不可得矣

　　　　　　第十六

　　　　　　凡有彼此不可以度尽之两数欲依此
　　　　　　两数比例求相连比例之数则以一数
　　　　　　自乘为第一率而以又一数自乘为第
　　　　　　三率以两数互乘为第二率即为相连
　　　　　　比例之三数也如有三五两数欲求相
　　　　　　连比例三数皆如三与五之比例乃以
　　　　　　三自乘得九以五自乘得二十五以三
　　　　　　与五相乘得十五此九与十五十五与

　　　　　　二十五之三数即如三与五之相连比
　　　　　　例三数盖九为三之三倍而十五为五
　　　　　　之三倍则九与十五为三与五之比例
　　　　　　矣而十五为三之五倍二十五为五之
　　　　　　五倍则十五与二十五亦为三与五之
　　　　　　比例矣又或已有三数欲求第四数皆
　　　　　　如三与五之连比例则以三乘九得二
　　　　　　十七以三乘十五得四十五以三乘二
　　　　　　十五得七十五复以五乘九得四十五

　　　　　　五乘十五得七十五五乘二十五得一

　　　　　　百二十五此所得六数内四十五七十
　　　　　　五各得二今止用其一故二十七四十
　　　　　　五七十五一百二十五之四数即如三
　　　　　　与五之相连比例数也盖二十七者三
　　　　　　之九倍而四十五者五之九倍则二十
　　　　　　七与四十五之比例同于三与五之比
　　　　　　例矣又四十五者三之十五倍而七十
　　　　　　五者五之十五倍则四十五与七十五

　　　　　　之比例同于三与五之比例矣又七十
　　　　　　五者三之二十五倍而一百二十五者
　　　　　　五之二十五倍则七十五与一百二十
　　　　　　五之比例亦同于三与五之比例矣如
　　　　　　欲求连比例之第五数或第六数以原
　　　　　　一数递乘先得之几数复以又一数递
　　　　　　乘先得之几数去其相同者所馀即成
　　　　　　相连比例之数由此求之亦可至于无
　　　　　　穷也然此皆三与五之比例或三与七

　　　　　　四与九五与八之类凡彼此不可以度

　　　　　　尽之数欲求相连比例几数者亦皆仿
　　　　　　此求之而即得矣
　　　　　　第十七
　　　　　　凡相当比例四数其前两数之间有相
　　　　　　连比例二数其后两数之间亦必有相
　　　　　　连比例二数也设如有甲二十四乙八
　　　　　　十一丙三十二丁一百零八相当比例
　　　　　　之四数甲数二十四与乙数八十一之

　　　　　　间有戊三十六己五十四之相连比例
　　　　　　两数则丙数三十二与丁数一百零八
　　　　　　之间亦必有庚四十八辛七十二之相
　　　　　　连比例两数也试将甲戊己乙四数求
　　　　　　其相当比例之至小数则得壬八癸十
　　　　　　二子十八丑二十七之四数其甲与乙
　　　　　　之比即同于壬与丑之比而丙与丁之
　　　　　　比原同于甲与乙之比则丙与丁之比
　　　　　　亦必同于壬与丑之比矣其比例既同

　　　　　　则壬可以度尽丙丑亦可以度尽丁而

　　　　　　癸与子亦必可以度尽庚与辛(壬癸子/丑各四)
　　　　　　(倍之即与丙庚辛丁等/是四次可以度尽也)是丙庚辛丁四
　　　　　　数之比皆与壬癸子丑四数之比相同
　　　　　　也夫壬癸子丑原为甲戊己乙连比例
　　　　　　相当之小数今丙庚辛丁之比既与之
　　　　　　相同则丙庚辛丁亦为相连比例之四
　　　　　　数矣既俱为相连比例数则戊己为甲
　　　　　　乙两数间之连比例数庚辛为丙丁两

　　　　　　数间之连比例数无疑矣
　　　　　　第十八
　　　　　　凡相连比例三数其第一数与第二数
　　　　　　之间有相连比例一数则第二数与第
　　　　　　三数之间亦必有相连比例一数也设
　　　　　　如有甲二乙十八丙一百六十二相连
　　　　　　比例之三数其甲数二与乙数十八之
　　　　　　间有相连比例之丁数六则乙数十八
　　　　　　与丙数一百六十二之间亦必有相连

　　　　　　比例之戊数五十四也盖甲与乙之比

　　　　　　同于乙与丙之比今丁六为甲二之三
　　　　　　倍戊五十四亦为乙十八之三倍则甲
　　　　　　与丁之比同于乙与戊之比而丁六为
　　　　　　乙十八之三分之一戊五十四亦为丙
　　　　　　一百六十二之三分之一则丁与乙之
　　　　　　比亦同于戊与丙之比因其比例皆同
　　　　　　故甲丁乙戊丙为相连比例之五数而
　　　　　　丁戊两数为甲与乙乙与丙三数间之

　　　　　　相连比例数可知矣
　　　　　　第十九
　　　　　　凡相连比例三数其首数与末数有用
　　　　　　一数可以度尽者有用一数不可以度
　　　　　　尽者如四八十六相连比例之三数其
　　　　　　首数四与末数十六为彼此有一数可
　　　　　　以度尽之数也如四六九相连比例之
　　　　　　三数其首数四与末数九为彼此无一
　　　　　　数可以度尽之数也然此两种相连比

　　　　　　例虽有度尽度不尽之分因其首数与

　　　　　　中数之比同于中数与末数之比故总
　　　　　　谓之相连比例之数焉盖末数可用首
　　　　　　数平分即为有度尽之连比例数末数
　　　　　　不可用首数平分即为无度尽之连比
　　　　　　例数也且首末两数彼此有一数可以
　　　　　　度尽者此三数非相当比例之至小数
　　　　　　若首末两数彼此无一数可以度尽者
　　　　　　此三数即为相当比例之至小数也如

　　　　　　四八十六之三数其首末两数为彼此
　　　　　　有一数可以度尽之数而中数亦必为
　　　　　　此一数可以度尽之数试用二以度之
　　　　　　则得二四八之连比例三数或用四以
　　　　　　度之则得一二四之连比例三数皆与
　　　　　　四八十六之比例相同而比四八十六
　　　　　　之数为小故四八十六非相当比例之
　　　　　　至小数也如四六九之三数其首末两
　　　　　　数为彼此无一数可以度尽之数故中

　　　　　　数亦为无一数可以度尽之数既无一

　　　　　　数可以彼此度尽则为相当比例数内
　　　　　　之至小数也明矣
　　　　　　第二十
　　　　　　凡同式两平方数其间必有相连比例
　　　　　　一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二
　　　　　　十四同式两平方数此两数之间必有
　　　　　　壬十二为相连比例之一数焉盖甲乙
　　　　　　丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其

　　　　　　每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三
　　　　　　之比同于戊己四与戊辛六之比而甲
　　　　　　乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与
　　　　　　戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二
　　　　　　相因得六甲丁三与戊己四相因得十
　　　　　　二则六与十二之比同于甲乙二与戊
　　　　　　己四之比矣又戊己四与甲丁三相因
　　　　　　得十二戊辛六与戊己四相因得二十
　　　　　　四则十二与二十四之比同于甲丁三

　　　　　　与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六

　　　　　　之比原同于甲乙二与戊己四之比则
　　　　　　六与十二之比亦必同于十二与二十
　　　　　　四之比矣又若两正方数之间亦必有
　　　　　　相连比例之一数也如有甲四丙九两
　　　　　　正方数此四与九两数之间必有乙六
　　　　　　为相连比例之一数焉盖两正方数其
　　　　　　式既同故必有相连比例一数且两正
　　　　　　方数之比例同于其两边所作连比例

　　　　　　隔一位之比例(见几何原本/七卷第五节)今甲方边
　　　　　　为二丙方边为三求其与二三相当连
　　　　　　比例之第三数则以二自乘得四以三
　　　　　　自乘得九以二乘三得六此四与六六
　　　　　　与九之三数即为与二三相当之连比
　　　　　　例数而其首数四与末数九既与甲丙
　　　　　　两方数等则中数六亦必为甲丙两方
　　　　　　数间之连比例数矣
　　　　　　第二十一

　　　　　　凡同式两平方数相乘得数为正方数

　　　　　　也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四
　　　　　　为同式两平方数相乘得一百四十四
　　　　　　即为正方数矣盖同式两平方数之间
　　　　　　原有相连比例一数今此六与二十四
　　　　　　之间必有十二之一数且连比例三率
　　　　　　以首末两率相乘与中率自乘之数等
　　　　　　则此六与二十四两平方数相乘所得
　　　　　　之一百四十四即为中率十二自乘之

　　　　　　数矣又若两正方数相乘得数亦仍为
　　　　　　正方数其方根即原两方根相乘之数
　　　　　　也如有甲四丙九两正方数此两数相
　　　　　　乘得三十六仍为正方数其方根为六
　　　　　　亦即甲方根二与丙方根三相乘之数
　　　　　　也盖此两方数俱为正方即为同式两
　　　　　　平方数矣因其式同故相乘亦仍得正
　　　　　　方数也凡数有先各自乘而后相乘者
　　　　　　有先相乘而后自乘者其理无异故其

　　　　　　得数皆等今以二自乘得四以三自乘

　　　　　　得九复以四九相乘得三十六此先各
　　　　　　自乘而后相乘也以二与三相乘得六
　　　　　　复以六自乘得三十六此先相乘而后
　　　　　　自乘也且四与九积也积与积乘仍得
　　　　　　积二与三根也根与根乘仍得根此亦
　　　　　　理之必然者也
　　　　　　第二十二
　　　　　　凡两正立方数之间必有相连比例之

　　　　　　两数也如有甲八丁二十七两正立方
　　　　　　数此八与二十七之间必有乙十二丙
　　　　　　十八为相连比例之两数焉盖两正立
　　　　　　方之比例同于其两边所作连比例隔
　　　　　　二位之比例(见几何原本/十卷第四节)今甲方边为
　　　　　　二丁方边为三求其与二三相当连比
　　　　　　例之第三第四数则以二自乘得四以
　　　　　　三自乘得九以二与三相乘得六此四
　　　　　　六九为连比例三数又以二递乘此四

　　　　　　六九三数得八十二十八之三连比例

　　　　　　数复以三递乘四六九三数得十二十
　　　　　　八二十七之三连比例数除相同者不
　　　　　　计其二十七即连比例之第四数则八
　　　　　　与十二十二与十八十八与二十七皆
　　　　　　为与二三相当之连比例数而其首数
　　　　　　八与末数二十七既与甲丁两立方数
　　　　　　等则其中数之十二十八为甲丁两立
　　　　　　方数间连比例之两数可知矣