钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷四
　　　几何原本十一
　　　几何原本十二

　　　　　　几何原本十一
　　　　　　第一
　　　　　　作三界度等之三角形及两界度等
　　　　　　之三角形法如欲作三界度等之三
　　　　　　角形则作一甲乙线取甲乙之度为
　　　　　　准以甲为心自甲至丙作弧一段又
　　　　　　以乙为心自乙至丙作弧一段两弧
　　　　　　相交处至甲乙作二线即成三界度

　　　　　　等之甲丙乙三角形矣盖甲乙丙三
　　　　　　角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一
　　　　　　圜之辐线其度必等度既等而线未
　　　　　　有不等者也若欲作两度等之三角
　　　　　　形仍作一甲乙线比甲乙线之度或
　　　　　　大或小取一度以甲乙二处为圜心
　　　　　　皆至丙作弧两段仍于两弧相交处
　　　　　　作二线即成两界度等之甲丙乙三
　　　　　　角形矣盖甲丙丙乙二线虽比甲乙

　　　　　　线或大或小然二线俱同为一圜之

　　　　　　辐线其度自等两度既等则两界线
　　　　　　亦必等也
　　　　　　第二
　　　　　　平分直线角为两分法如甲乙丙角
　　　　　　欲平分为两分乃以一角为心任意
　　　　　　作弧线一段则乙甲乙丙二线截于
　　　　　　丁戊即成乙丁乙戊等度二线自弧两
　　　　　　端复作一丁戊线照丁戊线度依前

　　　　　　节法作一三界度等之丁己戊三角
　　　　　　形则己角与乙角正相对乃自乙角
　　　　　　至己角作一乙己直线即分甲乙丙
　　　　　　角为两平分矣何也其乙丁己乙戊
　　　　　　己两三角形之乙丁乙戊二界是一
　　　　　　圜之辐线其度等而丁己戊己二界
　　　　　　是三界度等三角形之两傍界其度
　　　　　　亦等而乙己线既为两形之共界
　　　　　　其等无疑此两三角形之各界度既

　　　　　　各相等则与丁己戊己界相对之丁

　　　　　　乙己戊乙己二角亦必相等可见矣(见/二)
　　　　　　(卷第/七节)
　　　　　　第三
　　　　　　平分一直线为两分法如有甲乙一直
　　　　　　线欲平分为两段乃如第一节法于甲
　　　　　　乙线上作乙甲丙乙三界度等之三角
　　　　　　形又如第二节法平分甲丙乙角为二
　　　　　　分自丙角作垂线至甲乙线即平分甲

　　　　　　乙线于丁而甲丁丁乙两段必等也盖
　　　　　　甲丙乙原为三界度等之三角形今作
　　　　　　丙丁垂线平分为两三角形则两三角
　　　　　　形之相当各角各界必俱等而甲丁丁
　　　　　　乙为两形相当之底界其度安得不等
　　　　　　乎
　　　　　　第四
　　　　　　横线上立纵线法如有甲乙一横线欲
　　　　　　于丙处立一纵线则于丙之两傍任意

　　　　　　取等度二分为戊丙己丙以戊为心于

　　　　　　横线上作弧一段又以己为心于横线
　　　　　　上作弧一段两弧相交于丁此丁处正
　　　　　　与丙相对自丁至丙作一直线即甲乙
　　　　　　线上正立之纵线也试自戊己至丁作
　　　　　　二线成一戊丁己三角形此形之丁戊
　　　　　　丁己两线俱同一圜之辐线其度必等
　　　　　　而丁丙线既将戊己底线为两平分则
　　　　　　丁丙线必为甲乙线之垂线矣(见二卷/第十节)

　　　　　　第五
　　　　　　有一横线自此线上不拘何处立纵线
　　　　　　法如有甲乙一横线自此线上丙处至
　　　　　　甲乙线欲作一纵线则以丙为心作弧
　　　　　　线一段截甲乙线于戊己乃自戊己至
　　　　　　丙作二线成一戊丙己三角形又照第
　　　　　　二节分角法平分丙角为二分自丙至
　　　　　　甲乙线上作丙丁线则此丙丁线即为
　　　　　　自丙至甲乙线之纵线也盖戊丙己三

　　　　　　角形之丙戊丙己两界度等故戊角与

　　　　　　己角必等而丙丁线又平分丙角为二
　　　　　　则所分之戊丙丁己丙丁两角度亦等
　　　　　　而丙丁戊丙丁己两并角亦必等此两
　　　　　　并角既等则成两直角既成两直角则
　　　　　　丙丁线必为甲乙横线之垂线矣(见一/卷第)
　　　　　　(十/节)
　　　　　　第六
　　　　　　在横线一边立纵线法如有甲乙横线

　　　　　　在乙边欲立一纵线则于甲乙线上不
　　　　　　拘何处立为圜心如以丙为圜心自丙
　　　　　　至乙为圜界旋转作一圜则于甲乙线
　　　　　　丁处相交即自丁处过丙心至相对界
　　　　　　作一直线交圜界于戊乃自戊至乙作
　　　　　　一戊乙直线即是乙边所立之纵线也
　　　　　　盖丁乙戊角因在半圜必为直角(见四/卷第)
　　　　　　(十四/节)既为直角则戊乙线必为甲乙线
　　　　　　之垂线既为垂线故为横线一边所立

　　　　　　之纵线也若甲乙线一边之上有一戊

　　　　　　点欲自戊至甲乙线一边作一垂线则
　　　　　　自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线遂
　　　　　　将戊丁斜线平分于丙于是以丙为心
　　　　　　自戊旋转作一圜则截甲乙线于己自
　　　　　　戊至己作一直线即是欲作之垂线也
　　　　　　盖戊己丁角既在半圜必为直角既为
　　　　　　直角则戊己必为垂线矣
　　　　　　第七

　　　　　　一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁
　　　　　　一圜界欲分为三百六十度则取圜之
　　　　　　辐线度缘圜界比之即分圜界为六段
　　　　　　将六段各平分为二则为十二段十二
　　　　　　段各平分为三则为三十六段三十六
　　　　　　段各平分为十即成三百六十度矣
　　　　　　第八
　　　　　　一直线上作角度法如甲乙线上欲作
　　　　　　三十度之角则用有度之圜依圜之丙

　　　　　　丁辐线度截甲乙线于戊于是以甲为

　　　　　　心自戊作弧一段复依圜界之丙庚三
　　　　　　十度之分自戊截弧于己乃自己至甲
　　　　　　作一直线即成己甲戊三十度之角矣
　　　　　　第九
　　　　　　各种多界形仿己有之形或大或小剐
　　　　　　作一同式形法如有甲乙丙一三角形
　　　　　　欲仿此式剐作一形则考甲乙界度有
　　　　　　几分如甲乙界度为三分今取其二分

　　　　　　作一丁戊线又以甲丙界度亦作三分
　　　　　　而取其二分以丁为圜心作弧一段又
　　　　　　以乙丙界度亦作三分而取其二分以
　　　　　　戊为圜心作弧一段两弧相交于己乃
　　　　　　自己至丁戊作二线即成丁戊己一小
　　　　　　三角形与原有甲乙丙大三角形为同
　　　　　　式也盖丁戊己三角形之三界虽与甲
　　　　　　乙丙三角形之三界不等而其相当各
　　　　　　角之度俱等因其相当各角之度俱等

　　　　　　故其相当各界之比例皆同相当各界

　　　　　　之比例既同则其二形之式不得不同
　　　　　　也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲仿
　　　　　　此式剐作一形则在此六界形作分角
　　　　　　线分为四三角形照前法仿作四三角
　　　　　　形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其
　　　　　　式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形
　　　　　　同也
　　　　　　第十

　　　　　　有一直线或上或下一点作与此线平
　　　　　　行一线法如甲乙线上有一丙点欲自
　　　　　　丙点作与甲乙线平行一线则以丙为
　　　　　　圜心任意取甲乙线之近甲边一处作
　　　　　　弧一段如丁又取甲乙线之近乙边一
　　　　　　处为心如戊乃照丙丁原度于丙点相
　　　　　　对处作弧一段如己复照丁戊度以丙
　　　　　　为心于丙点相对处作弧一段则二弧
　　　　　　相交于己乃自丙至己交处作一丙己

　　　　　　直线即为甲乙线之平行线也何则试

　　　　　　自丁戊二处至丙己二处作二线即成
　　　　　　丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁
　　　　　　己戊相对之两纵线丙己丁戊相对之
　　　　　　两横线因依各度所取必两两相等既
　　　　　　两两相等则必为平行线之四边形然
　　　　　　则丙己甲乙为平行线四边形之二线
　　　　　　岂有不平行之理哉
　　　　　　第十一

　　　　　　有一直线上作一正方形法如甲乙一
　　　　　　直线欲作一正方形则以甲为心取甲
　　　　　　乙度自乙至丙作乙弧线又以乙为心
　　　　　　依甲乙度自甲至丁作一弧线又于甲
　　　　　　乙线之两端照本卷第六节立甲丙乙
　　　　　　丁二纵线则乙丙弧截于丙甲丁弧截
　　　　　　于丁乃自丙至丁作一直线即成甲乙
　　　　　　丁丙一正方形也何则丙甲甲乙乙丁
　　　　　　三线俱同为一圜之辐线其度必等而

　　　　　　丁丙丙甲二线又俱切一圜界为两尖

　　　　　　相合其度亦必等(见四卷/第七节)则四界俱等
　　　　　　矣且甲乙二角又为垂线所立之角必
　　　　　　成直角则丙丁二角亦必为直角而四
　　　　　　角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形为
　　　　　　甲乙线上所立之正方形也
　　　　　　第十二
　　　　　　平分一弧为两段法如有甲乙弧欲平
　　　　　　分为两段则自甲至乙作一甲乙弦线

　　　　　　将此弦线照本卷第三节平分直线为
　　　　　　两分法作一戊丁纵线复自戊引至弧
　　　　　　界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧为甲
　　　　　　丙丙乙两段矣盖丙丁纵线既平分甲
　　　　　　乙弦线则亦必平分甲乙弧之全圜既
　　　　　　平分甲乙弧之全圜则必平分甲乙弧
　　　　　　为两段可知矣(见四卷/第六节)
　　　　　　第十三
　　　　　　有一段弧欲继此弧作一全圜法如有

　　　　　　甲乙一段弧继此弧欲作一全圜则在

　　　　　　此弧界任意指三处如甲丙乙自甲乙
　　　　　　二处至丙作甲丙丙乙二线照前节作
　　　　　　平分甲丙丙乙两弦之丁己戊己二线
　　　　　　引长则相交于己乃以己为心继甲乙
　　　　　　弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也
　　　　　　盖丁己戊己二线既平分甲丙丙乙二
　　　　　　弦则必平分甲丙丙乙二弧(见四卷/第六节)既
　　　　　　平分甲丙丙乙二弧则其相交之处必

　　　　　　为圜心故己为继甲丙乙弧界所作全
　　　　　　圜之圜心也
　　　　　　第十四
　　　　　　不拘何处有三点求缘此三点作一圜
　　　　　　法如甲乙丙三点不在一直线上欲缘
　　　　　　此三点作一圜则依前节作甲丙丙乙
　　　　　　二线又平分此二线正中作丁己戊己
　　　　　　二垂线引长至己处相交遂以己为心
　　　　　　以甲乙丙为界作一圜则甲乙丙三点

　　　　　　俱在一圜之界矣(此节之理/与前节同)

　　　　　　第十五
　　　　　　有圜不知中心求知中心之法如有一
　　　　　　甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之则
　　　　　　于此圜界随便取甲乙丁三处从甲至
　　　　　　乙至丁作二弦线将此二线平分正中
　　　　　　为戊己二处自戊己作戊庚己庚两垂
　　　　　　线则相交于庚此庚即是甲乙丙丁圜
　　　　　　之中心也(此节之理/亦与前同)

　　　　　　第十六
　　　　　　有圜外一点将此点至圜界作切线法
　　　　　　如一圜之外有一甲点欲将此甲点与
　　　　　　圜界相切作一切线则以此甲点至圜
　　　　　　心作一甲乙直线又以乙为心以甲为
　　　　　　界作一甲丙圜界又自甲乙线所截圜
　　　　　　之丁处作一丁己垂线则此垂线即截
　　　　　　甲丙圜界于丙乃自丙至乙心作一丙
　　　　　　乙直线复自丙乙所截圜界戊处作一

　　　　　　戊甲线即是自甲点至圜界所作之切

　　　　　　线也何则此乙丁乙戊既同为一圜之
　　　　　　辐线其乙甲乙丙亦同为一圜之辐线
　　　　　　则甲乙戊与丙乙丁两三角形之各两
　　　　　　边线必等而两三角形又同一乙角然
　　　　　　则两三角形之每相当各角必俱等矣
　　　　　　(见二卷/第六节)夫丁丙线原为甲乙辐线之垂
　　　　　　线则丁角必为直角而相当之戊角亦
　　　　　　必为直角矣戊角既为直角则甲戊线

　　　　　　亦必为乙丙辐线之垂线故甲戊与丙
　　　　　　丁皆为圜界之切线也(见四卷/第九节)
　　　　　　第十七
　　　　　　有圜内弦线欲与此弦线平行作圜外
　　　　　　切线法如有一甲乙丙丁圜之乙丁弦
　　　　　　线欲与此乙丁弦线平行作切圜之切
　　　　　　线则从圜心戊至乙丁弦作戊己垂线
　　　　　　平分乙丁弦线于己引长截圜界于甲
　　　　　　为甲戊线又切甲处作庚辛线为甲戊

　　　　　　之垂线即是所求之切线也何则此庚

　　　　　　辛线既为甲戊线之垂线其戊甲庚角
　　　　　　必为直角又己戊线既为乙丁线之垂
　　　　　　线其戊己乙角亦必为直角然则戊甲
　　　　　　庚角与戊己乙角既俱为直角其度必
　　　　　　等因其度等故乙丁庚辛两线为两平
　　　　　　行线也又戊甲线为圜之辐线而庚辛
　　　　　　既为甲戊之垂线则必为甲乙丙丁圜
　　　　　　之切线可知矣(见四卷/第九节)

　　　　　　第十八
　　　　　　作函三角形之圜法如甲乙丙三角形
　　　　　　欲作函此三角形之一圜则平分甲丙
　　　　　　边于丁平分丙乙边于戊自丁戊作二
　　　　　　垂线引长至己相交即以己为心任以
　　　　　　甲丙乙三角形之一角为界作一甲丙
　　　　　　乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也
　　　　　　(此节之理与本/卷第十三节同)
　　　　　　第十九

　　　　　　圜内作等度四角形及等度八角形法

　　　　　　如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形
　　　　　　则以甲乙丙丁二径线交于圜心皆作
　　　　　　直角复自甲丙乙丁四处作甲丙丙乙
　　　　　　乙丁丁甲四弦线即成甲丙乙丁等度
　　　　　　之四角形也何则甲乙丙丁二径线在
　　　　　　圜心作直角相交则平分圜界为四分
　　　　　　矣既平分圜界为四分则甲丙丙乙乙
　　　　　　丁丁甲四弦线度必等而甲丙乙丁四

　　　　　　角既俱立在一圜之半界亦必俱为直
　　　　　　角(见四卷第/十四节)既俱为直角必为正方形
　　　　　　可知矣苟欲作等度八角形则照前平
　　　　　　分圜界为四分将所分之每分又各平
　　　　　　分为二分即平分圜界为八分乃作八
　　　　　　弦线即成甲戊丙己乙庚丁辛一形为
　　　　　　圜内等度八角形也
　　　　　　第二十
　　　　　　圜内作等度六角形三角形十二角形

　　　　　　法如甲圜内欲作等度六角形则以圜

　　　　　　之甲乙辐线为度将圜界分为乙丙丙
　　　　　　丁丁戊戊己己庚庚乙六段作六弦线
　　　　　　即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形
　　　　　　也何则苟以乙为心以甲为界作一丙
　　　　　　甲庚弧线则乙丙乙甲二线俱为丙甲
　　　　　　庚圜之辐线而度必等夫乙丙丁戊己
　　　　　　庚六界形之诸界因俱照甲乙辐线度
　　　　　　所作故此形之六界俱相等也若欲作

　　　　　　三角形则照前法将圜界分为六段以
　　　　　　所分六段两两相合为三段作乙丁丁
　　　　　　己己乙三弦线即成一乙丁己等度三
　　　　　　角形也若欲作十二角形亦照前法将
　　　　　　圜界分为六段以所分六段各平分为
　　　　　　二分作十二弦线即成一乙辛丙壬丁
　　　　　　癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也
　　　　　　第二十一
　　　　　　圜内作各种等度多界形总法苟甲圜

　　　　　　内欲作等度多界各种形则察各种形

　　　　　　之各角度(见三卷第/十七节)如等度三角形之
　　　　　　三角俱六十度四角形之四角俱九十
　　　　　　度五角形之五角俱一百零八度六角
　　　　　　形之六角俱一百二十度七角形之七
　　　　　　角俱一百二十八度三十四分一十七
　　　　　　秒八角形之八角俱一百三十五度九
　　　　　　角形之九角俱一百四十度十角形之
　　　　　　十角俱一百四十四度十一角形之十

　　　　　　一角俱一百四十七度一十六分二十
　　　　　　二秒十二角形之十二角俱一百五十
　　　　　　度今甲圜内若欲作一等度九角形则
　　　　　　以九角形之每角一百四十度与一百
　　　　　　八十度相减馀四十度复以别有度之
　　　　　　圜取四十度之分以分甲圜界即平分
　　　　　　为乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照
　　　　　　平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚
　　　　　　辛辛壬壬癸癸乙九弦线即成甲圜内

　　　　　　等度之九角形也何也从圜心甲作线

　　　　　　至各角分九角形为九三角形其每三
　　　　　　角形之三角共一百八十度内减去二
　　　　　　界角一百四十度馀心角四十度即每
　　　　　　界所对之角此九角形之每界即九心
　　　　　　角之弦线故以心角度分圜界度即得
　　　　　　九角形之分也凡圜内欲作等边多界
　　　　　　形皆依此法作之
　　　　　　第二十二

　　　　　　作函圜等度多界形法如欲作函圜之
　　　　　　等度三角形四角形五角形或多界形
　　　　　　则将圜界照欲作之几界平分为几段
　　　　　　乃自圜心至所分各界作几辐线于辐
　　　　　　线之末各作切界线俱引长至合角即
　　　　　　成函圜之等度多界形也如第一图自
　　　　　　甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬
　　　　　　三线即成六三角形其庚甲乙庚甲丙
　　　　　　两三角形之庚乙庚丙二线为合尖切

　　　　　　圜之线其度必等(见四卷/第七节)而庚甲乙辛

　　　　　　甲丁两形之庚甲乙辛甲丁二角为对
　　　　　　角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角为
　　　　　　辐线切线所成之角其度又皆为直角
　　　　　　相等(见四卷/第五节)则其馀一角亦必等而其
　　　　　　乙甲甲丁二界又同为一圜之辐线其
　　　　　　度必等则其他界亦必俱等可知再辛
　　　　　　丙辛丁二线壬丁壬乙二线俱为合尖
　　　　　　切圜之线其度相等而辛甲丙与壬甲

　　　　　　乙两三角形壬甲丁与庚甲丙两三角
　　　　　　形必俱与前每相当之角等则此六三
　　　　　　角形俱相等矣六三角形俱相等则其
　　　　　　庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之
　　　　　　六界两两相合即成庚壬庚辛辛壬之
　　　　　　三界其度安得不等乎故庚辛壬三角
　　　　　　形为函圜等界形也其第二图函圜四
　　　　　　角形第三图函圜五角形或更欲作多
　　　　　　界形其理皆同

　　　　　　第二十三

　　　　　　作函等度多界形之圜法如甲乙丙三
　　　　　　角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁
　　　　　　戊五角形欲作函此三形之圜则任用
　　　　　　此三形之甲乙乙丙二界平分于庚辛
　　　　　　二处乃自庚辛二处各作垂线至各形
　　　　　　中心相交为己即以己为心以各形之
　　　　　　角为界作圜即成函此三形之圜也何
　　　　　　也各形之界皆为圜之弦线而弦线上

　　　　　　所作之垂线必皆交于圜心今甲乙乙
　　　　　　丙二界上所作之庚己辛己二线既平
　　　　　　分二界而相交于已则己必为圜心故
　　　　　　以己为心作圜即成函各等界形之圜
　　　　　　也
　　　　　　第二十四
　　　　　　作函于等度多界形之圜法如甲乙丙
　　　　　　三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙
　　　　　　丁戊五角形欲在此三形内各作一圜

　　　　　　则照前节平分甲乙乙丙二界作己庚

　　　　　　己辛二垂线引长相交于己即以己为
　　　　　　心以庚辛为界作圜即成多界形内所
　　　　　　函之圜也何也己庚己辛二线是平分
　　　　　　甲乙乙丙二线之垂线引长之必相交
　　　　　　于各形之中心今既相交于己则己必
　　　　　　为各形之心凡形心作垂线至各界其
　　　　　　度必等即如圜之辐线故以己为心庚
　　　　　　辛为界所作之圜即为各等界形所函

　　　　　　之圜也
　　　　　　第二十五
　　　　　　有一三角形一圜形于此圜内作切圜
　　　　　　界三角形与原有之三角形同式法如
　　　　　　有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜
　　　　　　形欲于此圜内作一切界三角形与原
　　　　　　有之甲乙丙三角形同式则于圜界任
　　　　　　意作与甲角相等之辛角将此角之两
　　　　　　边线俱引至圜界作辛庚辛戊二线再

　　　　　　自戊至庚作一戊庚线又于戊处作与

　　　　　　乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作
　　　　　　一丁戊线复自庚至丁作一庚丁线成
　　　　　　一丁戊庚三角形即是所求之圜内切
　　　　　　界三角形与原有之甲乙丙三角形为
　　　　　　同式也何则其庚辛戊三角形之辛角
　　　　　　与庚丁戊三角形之丁角其尖既俱与
　　　　　　圜界相切而共立于戊己庚一段弧分
　　　　　　其度必等(见四卷第/十二节)此辛角原与甲角

　　　　　　等则丁角亦必与甲角等又庚戊丁之
　　　　　　戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作
　　　　　　者固相等夫丁角与甲角戊角与乙角
　　　　　　既等则所馀之庚角与丙角亦必等其
　　　　　　三角既俱等其两形必为同式可知矣
　　　　　　第二十六
　　　　　　有一三角形一圜形于此圜外作切界
　　　　　　三角形与原有之三角形同式法如有
　　　　　　甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲于

　　　　　　此圜外作一切界三角形与原有之甲

　　　　　　乙丙三角形同式则将原有之甲乙丙
　　　　　　三角形之乙丙底线引长至辛壬二处
　　　　　　此两傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃
　　　　　　于圜心丁处作与辛乙甲角相等之戊
　　　　　　丁庚角又作与壬丙甲角相等之己丁
　　　　　　庚角则成丁戊丁己丁庚之三辐线于
　　　　　　三辐线之末作三垂线引长相交成一
　　　　　　癸子丑三角形即是所求之圜外切界

　　　　　　三角形与原有之甲乙丙三角形为同
　　　　　　式也何则凡三角形之三角相并必与
　　　　　　二直角等(见二卷/第四节)今戊丁庚子一四边
　　　　　　形可分为两三角形则此四边形之四
　　　　　　角相并必与四直角等矣四直角内减
　　　　　　去子戊丁子庚丁之两直角所馀戊丁
　　　　　　庚戊子庚两角相并亦必与两直角等
　　　　　　也又辛乙甲外角与甲乙丙内角相并
　　　　　　亦与二直角等(见一卷第/十四节)其戊丁庚角

　　　　　　既系依辛乙甲角之度而作者则戊子

　　　　　　庚角必与甲乙丙角相等其庚丑己角
　　　　　　亦必与甲丙乙角相等而己癸戊角又
　　　　　　必与乙甲丙角相等三角俱等则两形
　　　　　　之式必相同也
　　　　　　第二十七
　　　　　　三角形内作切三界之圜法如有一甲
　　　　　　乙丙三角形欲与此形内切三界作一
　　　　　　圜则依此卷第二节之法将甲乙丙三

　　　　　　角俱平分为两分所分三角之三线俱
　　　　　　引长使相交于丁自丁至甲乙乙丙丙
　　　　　　甲三界线作丁戊丁己丁庚三垂线乃
　　　　　　以丁为心以戊己庚为界作一圜即是
　　　　　　三角形内之切界圜也何则戊甲丁与
　　　　　　庚甲丁两小三角形之甲角因自一角
　　　　　　为两平分其度必等又丁戊丁庚既系
　　　　　　两垂线则甲戊丁甲庚丁二角俱为直
　　　　　　角而相等此戊甲丁庚甲丁两小三角

　　　　　　形内之二角既等其各三角必俱相等

　　　　　　而又共用一甲丁线为边则此两三角
　　　　　　形之各相当边亦必俱等故丁戊线与
　　　　　　丁庚线等者即是丁己线与丁戊线丁
　　　　　　庚线等也此三线既等以为辐线作戊
　　　　　　己庚圜则必与三角形之甲乙乙丙丙
　　　　　　甲三界相切矣
　　　　　　第二十八
　　　　　　勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾

　　　　　　股形欲于此形内作一正方形则以丙
　　　　　　为心以乙为界作一乙丁弧线将此弧
　　　　　　线平分于戊自戊至丙作一戊丙线即
　　　　　　平分丙角为两分而截甲乙线于庚矣
　　　　　　乃自庚与甲丙线平行作庚己线又自
　　　　　　庚与乙丙线平行作庚辛线即成庚己
　　　　　　丙辛一正方形为所求甲乙丙勾股形
　　　　　　内之正方也何则甲丙乙勾股形之丙
　　　　　　角原是直角今庚辛庚己二线各与甲

　　　　　　丙乙丙平行则庚己丙辛之四角必俱

　　　　　　为直角矣而庚己丙三角形内己庚丙
　　　　　　角与己丙庚角又俱是直角之一半其
　　　　　　度必等则己丙线与庚己线相等而庚
　　　　　　辛线与己丙线庚己线与辛丙线皆为
　　　　　　平行线内之垂线其度亦等故庚己己
　　　　　　丙丙辛辛庚四线相等而庚己丙辛四
　　　　　　角俱为直角是为甲乙丙勾股形内之
　　　　　　正方形也

　　　　　　第二十九
　　　　　　勾股形内作正方第二法如有一甲乙
　　　　　　丙勾股形欲于此形内作一正方则将
　　　　　　乙丙线引长照甲乙线度增于乙丙作
　　　　　　一壬丙线自此壬丙之两末与甲乙线
　　　　　　平行作丁壬癸丙两垂线使其度俱与
　　　　　　甲乙线等又自丁至癸与壬丙线平行
　　　　　　作一丁癸线自丁至丙作一对角线截
　　　　　　甲乙线于戊乃自戊与乙丙线平行作

　　　　　　戊己线截甲丙线于己又自己与戊乙

　　　　　　线平行作己庚垂线成一戊乙庚己正
　　　　　　方形即为甲乙丙勾股形内欲作之正
　　　　　　方也何则试将戊己线引长成辛戊己
　　　　　　子线则此辛戊己子线与甲乙线分丁
　　　　　　壬丙癸为四长方形其甲戊子癸长方
　　　　　　与辛壬乙戊长方既为丁壬丙癸大长
　　　　　　方对角线傍所成两形其分必等(见三/卷第)
　　　　　　(七/节)故子戊线与戊辛线之比例同于乙

　　　　　　戊线与戊甲线之比例也然此子戊线
　　　　　　与丙乙线等而戊辛线又与甲乙线等
　　　　　　则丙乙线与甲乙线之比例亦同于乙
　　　　　　戊线与戊甲线之比例也又甲乙丙与
　　　　　　甲戊己两三角形为同式故丙乙线与
　　　　　　乙甲线之比例同于己戊线与戊甲线
　　　　　　之比例而乙戊线与戊甲线之比例又
　　　　　　同于己戊线与戊甲线之比例也乙戊
　　　　　　线既与己戊线相等而乙庚线与戊己

　　　　　　线己庚线与戊乙线又为两平行线内

　　　　　　之垂线其度相等故戊乙庚己四角俱
　　　　　　为直角戊乙庚己四角既俱为直角则
　　　　　　戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形
　　　　　　内之正方矣
　　　　　　第三十
　　　　　　三角形内作正方法如有甲乙丙三角
　　　　　　形欲于此形内作一正方则自甲角至
　　　　　　乙丙底线作一甲辛垂线将此垂线引

　　　　　　长出甲角如乙丙底线度作一壬辛线
　　　　　　又自壬两分如乙丙线度与乙丙线平
　　　　　　行作一子癸线又自癸至辛作癸辛线
　　　　　　截甲乙线于丁自子至辛作子辛线截
　　　　　　甲丙线于庚乃自丁至庚作一庚丁线
　　　　　　此线必与乙丙平行又自庚丁二处作
　　　　　　庚己丁戊二垂线即成丁戊己庚一正
　　　　　　方形即为甲乙丙三角形内欲作之正
　　　　　　方也何则壬辛线与壬子线之比同于

　　　　　　辛丑线与丑庚线之比而辛壬线与壬

　　　　　　癸线之比又同于辛丑线与丑丁线之
　　　　　　比故辛壬线与癸子线之比亦必同于
　　　　　　辛丑线与丁庚线之比也然辛壬与癸
　　　　　　子原相等则辛丑与丁庚亦必相等矣
　　　　　　辛丑与丁庚既等则丁戊戊己己庚庚
　　　　　　丁四边亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁
　　　　　　四边既俱等则为甲乙丙三角形内之
　　　　　　正方无疑矣

　　　　　　第三十一
　　　　　　有一直线将此线为正方对角线作正
　　　　　　方法如有一甲乙直线欲以此线为对
　　　　　　角线作一正方则将甲乙线平分为戊
　　　　　　以戊为心以甲乙为界作一圜即于此
　　　　　　圜内作一丙丁径线为甲乙线之垂线
　　　　　　乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁
　　　　　　至甲作四直线即成甲丁乙丙一正方
　　　　　　形为所求之正方也盖甲丙乙角丙乙

　　　　　　丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜

　　　　　　内必俱为直角而甲戊丙丙戊乙乙戊
　　　　　　丁丁戊甲四三角形之两傍线俱是半
　　　　　　径线必相等又此四三角形之两傍线
　　　　　　所合之角俱为直角亦必相等则甲丙
　　　　　　丙乙乙丁丁甲四直线必俱相等可知
　　　　　　矣甲丙乙丁四边形内四角既俱为直
　　　　　　角而四边线又俱相等则必为正方形
　　　　　　而甲乙线为其对角线矣

　　　　　　第三十二
　　　　　　有一直线为正方边与对角线相较之
　　　　　　馀于此线求作其原正方法如有一甲
　　　　　　乙线为正方边与对角线相较之馀求
　　　　　　作一正方则先将此甲乙线为一边作
　　　　　　甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作
　　　　　　一小对角线于是以丙为心以乙为界
　　　　　　作一圜乃引甲丙线至圜界戊处作一
　　　　　　甲戊线将此甲戊线为度作一甲戊己

　　　　　　庚大正方形即是所求之正方也试引

　　　　　　甲乙线至己作甲己一对角线此对角
　　　　　　线之乙己一段必与戊己边线相等何
　　　　　　也其丙乙丙戊为一圜之二辐线既等
　　　　　　则丙乙戊丙戊乙二角亦等若于丙乙
　　　　　　己直角内减去丙乙戊角又于所作丙
　　　　　　戊己直角内减去丙戊乙角所馀戊乙
　　　　　　己乙戊己二角亦必相等此二角既等
　　　　　　则乙己戊己两线必等矣因其相等则

　　　　　　所作甲戊己庚一大正方之甲己对角
　　　　　　线与戊己一边线相较则原有之甲乙
　　　　　　线为其相较之馀可知矣

　　　　　　几何原本十二
　　　　　　第一
　　　　　　有一直线将此线为底作一两边度等
　　　　　　三角形使底之两边各一角俱比上一
　　　　　　角为大一倍之三角形法如有一甲乙
　　　　　　直线将此线为底欲作两边度等之三
　　　　　　角形而底之两边各一角俱比上一角
　　　　　　为大一倍则用十一卷第八节之法于

　　　　　　甲乙线之两头各作一七十二度之角
　　　　　　将两边线俱引长相交于丙即成一甲
　　　　　　乙丙三角形为所求之形也何则凡三
　　　　　　角形之三角相并为一百八十度与二
　　　　　　直角等今此所作甲乙丙三角形之甲
　　　　　　乙两角既俱系七十二度则于一百八
　　　　　　十度内减去甲乙二角共一百四十四
　　　　　　度馀三十六度即为丙角之度三十六
　　　　　　度者七十二度之半故甲乙两底角比

　　　　　　丙角各大一倍也

　　　　　　第二
　　　　　　有一直线依此线度作两边度等三角
　　　　　　形使上一角小于两底角一倍之三角
　　　　　　形法如有甲乙一直线以此线为一边
　　　　　　复依此线度作一边使此两边线所合
　　　　　　之上一角小于两底角一倍之三角形
　　　　　　则用十一卷第八节之法以甲乙甲丙
　　　　　　二线之甲末相合作一乙甲丙角为三

　　　　　　十六度再自丙至乙作一乙丙直线为
　　　　　　底即得一甲乙丙三角形为所求之形
　　　　　　也何则将甲角三十六度与全形三角
　　　　　　之共数一百八十度相减馀一百四十
　　　　　　四度为乙丙两底角之共数今甲丙线
　　　　　　与甲乙线既等则乙角与丙角必等因
　　　　　　其相等将两底角共数一百四十四度
　　　　　　折半得七十二度即为每一底角之数
　　　　　　七十二度者三十六度之倍数故甲角

　　　　　　比乙丙两底角俱为小一倍也

　　　　　　第三
　　　　　　有一直线以此直线为一边作等边等
　　　　　　角之五界形法如有甲乙一直线以此
　　　　　　直线为一边作一等边等角之五界形
　　　　　　则将此甲乙直线为底用此卷第一节
　　　　　　法作一两边度等甲丙乙三角形其甲
　　　　　　丙乙角为丙乙甲丙甲乙二角之各一
　　　　　　半又用十一卷第十五节法于此三角

　　　　　　形之周围作一圜此甲丙丙乙两直线
　　　　　　原系相等其相对之两弧亦必相等乃
　　　　　　以此两弧自戊丁二处为丙平分又自
　　　　　　甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙
　　　　　　作四直线即成甲乙丁丙戊五边五角
　　　　　　等度之五界形也何则其甲丙乙角原
　　　　　　为丙乙甲角之一半则甲丙乙角为三
　　　　　　十六度试自甲乙二处至圜心作甲己
　　　　　　乙己二线成甲己乙一三角形则此甲

　　　　　　己乙角比甲丙乙角亦为大一倍(见四/卷第)

　　　　　　(十一/节)故甲己乙角为七十二度而甲乙
　　　　　　弧线亦为七十二度矣以七十二度于
　　　　　　全圜界三百六十度内减之馀二百八
　　　　　　十八度折半得一百四十四度即为甲
　　　　　　戊丙一段弧线之数也冉将一百四十
　　　　　　四度折半得七十二度即为甲戊一段
　　　　　　弧线之数也既得甲戊弧线之数则戊
　　　　　　丙丙丁丁乙各弧线度俱各为七十二

　　　　　　度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五线既
　　　　　　俱系相等弧之弦线则五线之度必俱
　　　　　　等五线之度既等则此形又在圜之内
　　　　　　而五角之度岂有不相等者哉
　　　　　　第四
　　　　　　有一直线分大小两分为相连比例线
　　　　　　法如甲乙直线为全分甲丙一段为大
　　　　　　分丙乙一段为小分以甲乙全分与甲
　　　　　　丙大分之比同于甲丙大分与丙乙小

　　　　　　分之比则用此甲乙线为一边线依此

　　　　　　卷第二节法作两边等度之两底角比
　　　　　　上一角各大一倍之甲乙丁三角形又
　　　　　　依此卷第三节法取乙丁线度作边角
　　　　　　俱等之甲戊乙丁已五边形又自戊至
　　　　　　丁作一直线截甲乙线于丙乃得甲丙
　　　　　　一大段为大分丙乙一小段为小分即
　　　　　　是所欲作之相连比例线也何则甲戊
　　　　　　乙丁两弧线度等则甲乙戊乙戊丁两

　　　　　　角度必等又乙戊丁角与乙甲丁角共
　　　　　　立于乙丁弧其度必等再甲戊丁与甲
　　　　　　乙丁二角亦同立于甲巳丁弧其度亦
　　　　　　必等也至于甲乙丁角原比乙甲丁角
　　　　　　大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙
　　　　　　戊角俱大一倍其甲丙戊角因为戊丙
　　　　　　乙三角形之外角与丙乙戊丙戊乙两
　　　　　　内角等故甲丙戊与甲戊丙两角相等
　　　　　　此二角既等则甲丙甲戊两线必等矣

　　　　　　又甲戊戊乙两线度原相等其戊甲乙

　　　　　　角必与戊乙甲角等而甲乙戊一大三
　　　　　　角形必与戊乙丙一小三角形为同式
　　　　　　形矣盖小三角形之丙戊乙角与大三
　　　　　　角形之戊甲乙角等而小三角形之丙
　　　　　　乙戊角与大三角形之甲乙戊角为共
　　　　　　角而等则小三角形之戊丙乙角与大
　　　　　　三角形之甲戊乙角不得不等三角俱
　　　　　　等非同式形而何是故甲乙线与甲戊

　　　　　　线之比必同于乙戊线与丙乙线之比
　　　　　　也夫甲戊原与甲丙相等而乙戊原与
　　　　　　甲戊相等故乙戊亦与甲丙相等然则
　　　　　　甲乙全线与所分甲丙大分之比必同
　　　　　　于甲丙大分与丙乙小分之比可知矣
　　　　　　故曰甲乙与甲丙甲丙与丙乙为相连
　　　　　　比例之线也
　　　　　　第五
　　　　　　平分一直线为数段法如有甲乙一直

　　　　　　线欲平分为三分则自甲乙线之两末

　　　　　　作甲丙乙丁二平行线随意取一甲戊
　　　　　　度将甲丙线分为甲戊戊庚庚丙三段
　　　　　　又依甲戊度将乙丁线亦分为乙辛辛
　　　　　　巳巳丁三段乃自二平行线之三段处
　　　　　　复作甲丁戊己庚辛丙乙四平行线即
　　　　　　平分甲乙直线为甲壬壬癸癸乙之三
　　　　　　分矣试观甲乙丁三角形之甲乙乙丁
　　　　　　两傍线为与甲丁线平行之壬己癸辛

　　　　　　二线所分故俱为相当率今以甲乙全
　　　　　　线与乙丁全线之比同于丁已段与甲
　　　　　　壬段之比而已辛段与壬癸段之比辛
　　　　　　乙段与癸乙段之比亦皆与甲乙全线
　　　　　　与乙丁全线之比相同也因其比例俱
　　　　　　同故丁乙线之丁巳巳辛辛乙三段为
　　　　　　平分而甲乙线之甲壬壬癸癸乙三段
　　　　　　亦为平分也
　　　　　　第六

　　　　　　有分数之直线将别一直线依此线分

　　　　　　分为相当比例率法如有甲乙一直线
　　　　　　原分为甲巳巳辛辛乙三段又有一丙
　　　　　　丁直线欲依此甲乙线分分作三分为
　　　　　　相当比例之率则齐二线之一端以为
　　　　　　平行线自甲乙线之甲端过丙丁线之
　　　　　　丙端作一纵线复自甲乙线之乙端过
　　　　　　丙丁线之丁端作一斜线则二线相交
　　　　　　于戊乃自戊至所分巳辛二处作戊巳