钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷三
　　几何原本六
　　几何原本七
　　几何原本八
　　几何原本九
　　几何原本十

　　　　　　几何原本六
　　　　　　第一
　　　　　　大凡欲论诸物之不齐必借同类之
　　　　　　物以比之始可以得其不齐之度数
　　　　　　如一线与他线相比其度之或长或
　　　　　　短其数之或多或少自能见之如一
　　　　　　面与他面相比其面度之或大或小
　　　　　　其积数之或多或少自能见之又如

　　　　　　一体与他体相比其体度之或厚或
　　　　　　薄其积数之或多或少亦自能见之
　　　　　　若将一线与一面相比或一面与一
　　　　　　体相比既不同类又不同形则线之
　　　　　　长短面之大小体之厚薄俱不可辩
　　　　　　矣故曰欲论诸物之不齐必借同类
　　　　　　之物以比之也
　　　　　　第二
　　　　　　将两数相比其度互为大小则谓之

　　　　　　比例其比者与所比者俱谓之率(率/者)

　　　　　　(法也矩也以数互/相准之之谓也)其比之数为前率
　　　　　　其所比之数为后率如甲乙二数互
　　　　　　相为比其相较之分甲数之度为长
　　　　　　其分为多乙数之度为短其分为少
　　　　　　如是以比之故谓之二率甲为比之
　　　　　　之数故谓之前率乙为所比之数故
　　　　　　谓之后率焉
　　　　　　第三

　　　　　　有四率两两相比其一率与二率之比
　　　　　　同于三率与四率之比则谓之同理比
　　　　　　例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与
　　　　　　丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分
　　　　　　之五则甲与乙之比例丙与丁之比例
　　　　　　此两比例相同而乙有甲几分之数即
　　　　　　可知丁有丙几分之数矣故凡四率内
　　　　　　将一率与三率分数定为相等二率与
　　　　　　四率分数亦定为相等其度之长短虽

　　　　　　有不同苟分数定准则一率与二率之

　　　　　　比即如三率与四率之比也夫甲乙丙
　　　　　　丁四线内甲第一线与丙第三线俱各
　　　　　　定为六分乙第二线与丁第四线俱各
　　　　　　定为五分则甲度之长虽大于丙度之
　　　　　　长其分数则俱为六而乙度之长虽大
　　　　　　于丁度之长其分数亦俱为五故知乙
　　　　　　第二线度与甲第一线度之六分之五
　　　　　　分相等丁第四线度亦与丙第三线度

　　　　　　之六分之五分相等所以甲线之比乙
　　　　　　线即如丙线之比丁线而谓之同理比
　　　　　　例也
　　　　　　第四
　　　　　　凡四率两两相比其一率与二率相比
　　　　　　之分若大于三率与四率相比之分则
　　　　　　为不同理之比例而比例不得行也如
　　　　　　有甲乙丙丁四数甲与乙丙与丁各互
　　　　　　相为比苟甲第一数与乙第二数相比

　　　　　　之分为六与四其丙第三数与丁第四

　　　　　　数相比之分为五与四则此甲与乙之
　　　　　　比大于彼丙与丁之比矣故凡如此例
　　　　　　者以一率二率相比之分为准则三率
　　　　　　四率相比之分为小若依三率四率相
　　　　　　比之分为准则一率二率相比之分又
　　　　　　大故谓之不同理之比例而比例四率
　　　　　　不能行也
　　　　　　第五

　　　　　　凡有四率一率之度与二率之度相比
　　　　　　分数若同于三率之度与四率之度相
　　　　　　比分数则此四率又谓之相当比例四
　　　　　　率焉如甲乙丙丁四线苟甲线与乙线
　　　　　　相比之度与丙线与丁线相比之度其
　　　　　　分数同则此四线谓之各相当线而每
　　　　　　两率相比其每度之分数同故又谓之
　　　　　　相当比例四率也
　　　　　　第六

　　　　　　凡三率互相为比其一率与二率之比

　　　　　　同于二率与三率之比则谓之相连比
　　　　　　例率也如甲乙丙三数互相为比苟甲
　　　　　　数与乙数之比同于乙数与丙数之比
　　　　　　则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣
　　　　　　若相连比例率内将一率与三率比之
　　　　　　则为隔一位加一倍之比例或有相连
　　　　　　比例四率将一率与四率比之则为隔
　　　　　　二位加二倍之比例大凡有几率隔几

　　　　　　位以比者皆以隔几位而为加几倍之
　　　　　　比例也如甲乙丙相连比例率内其甲
　　　　　　与丙之比为隔一位加一倍之比例又
　　　　　　或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率
　　　　　　其甲与丁之比即为隔二位加二倍之
　　　　　　比例而甲与戊之比则又为隔三位加
　　　　　　三倍之比例矣
　　　　　　第七
　　　　　　相当比例四率为数学之要因其理之

　　　　　　所该最广故设为双圜图以申明之立

　　　　　　甲点为心作乙丙一大圜丁戊一小圜
　　　　　　此二圜界各具三百六十度故皆可以
　　　　　　为三百六十分(首卷第十七节云凡圜/无论大小俱定为三百)
　　　　　　(六十/度)于是自圜之甲心过小圜界之辛
　　　　　　壬二处至大圜己庚二处作二线则大
　　　　　　圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲
　　　　　　角此甲角相对之己庚弧界设为六十
　　　　　　度则为乙丙大圜三百六十分中之六

　　　　　　十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既为
　　　　　　六十分则丁戊小圜之辛壬弧界度亦
　　　　　　为六十分矣大凡角度俱定于相对之
　　　　　　圜界(见首卷/第九节)今此大圜之己庚弧界小
　　　　　　圜之辛壬弧界俱与一甲角相对其度
　　　　　　虽依圜之大小不同而分数则等分数
　　　　　　既等则大圜小圜大弧小弧两两互相
　　　　　　为比即如四率之两两相比为同理比
　　　　　　例矣是以大圜之三百六十分为一率

　　　　　　自大圜所分之己庚弧之六十分为二

　　　　　　率小圜之三百六十分为三率自小圜
　　　　　　所分之辛壬弧之六十分为四率其乙
　　　　　　丙大全圜与本圜己庚分之比即同于
　　　　　　丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也故
　　　　　　凡各率各度虽异相当之分数若同则
　　　　　　一率与二率之比必同于三率与四率
　　　　　　之比而俱谓之顺推比例矣要之分合
　　　　　　加减各率之法总不越此图之互转相

　　　　　　较之理也
　　　　　　第八
　　　　　　一种反推比例将一率与二率之比同
　　　　　　于三率与四率之比者反推之以二率
　　　　　　与一率为比四率与三率为比其所比
　　　　　　之例仍同故亦谓之相当比例率也如
　　　　　　甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙
　　　　　　与丁之比反推之以乙与甲为比丁与
　　　　　　丙为比则所比之例仍同于相当比例

　　　　　　率焉以前双圜图解之盖甲数与乙数

　　　　　　之比例即乙丙大圜全界与所分己庚
　　　　　　弧界之比例丙数与丁数之比例即丁
　　　　　　戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例
　　　　　　也今反以乙与甲为比丁与丙为比即
　　　　　　如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙
　　　　　　丙大圜全界为比丁戊小圜所分之辛
　　　　　　壬弧界与丁戊小圜全界为比也因其
　　　　　　以二率为一率以三率为四率前后互

　　　　　　移故谓之反推比例然名虽为反推比
　　　　　　例而相当比例之率仍与顺推比例相
　　　　　　同也
　　　　　　第九
　　　　　　一种递转比例将一率与二率之比同
　　　　　　于三率与四率之比者转较之以一率
　　　　　　与三率为比二率与四率为比其所比
　　　　　　之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁
　　　　　　四数将甲与乙之比同于丙与丁之比

　　　　　　转较之以甲与丙为比乙与丁为比则

　　　　　　所比之例仍同于相当比例率也如前
　　　　　　双圜图　　乙丙大圜全界一率与所
　　　　　　分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜
　　　　　　全界三率与所分辛壬弧界四率之比
　　　　　　若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊
　　　　　　小圜之三率为比大圜所分之巳庚弧
　　　　　　界二率与小圜所分之辛壬弧界四率
　　　　　　为比其度虽依圜之大小有异而分数

　　　　　　则同其比例仍同于原比例故甲乙丙
　　　　　　丁之四数亦如大小二圜为互相比例
　　　　　　之率而甲一率与丙三率之比即大圜
　　　　　　与小圜之比乙二率与丁四率之比即
　　　　　　大圜所分弧界与小圜所分弧界之比
　　　　　　也盖以三率为二率以二率为三率递
　　　　　　转相较故谓之递转比例其相当比例
　　　　　　之四率虽递转以较之亦仍为相当比
　　　　　　例之四率也

　　　　　　第十

　　　　　　一种分数比例彼四率之中以一率与
　　　　　　二率之比同于三率与四率之比矣若
　　　　　　将此相比之率所较之分截开以一率
　　　　　　与二率之较为一率与二率为比以三
　　　　　　率与四率之较为三率与四率为比则
　　　　　　其所比之例仍为相当比例率也如甲
　　　　　　乙丙丁四数于甲数内减去乙数之分
　　　　　　为戊巳丙数内减去丁数之分为庚辛

　　　　　　乃以戊己易甲与乙线为比以庚辛易
　　　　　　丙与丁线为比则所比之例仍同于相
　　　　　　当比例率也如前双圜图　　于乙丙
　　　　　　大圜全界内减去所分己庚弧界一段
　　　　　　仍与己庚弧界为比丁戊小圜全界内
　　　　　　减去所分辛壬弧界一段仍与辛壬弧
　　　　　　界为比亦与大圜全界与大圜所分弧
　　　　　　界小圜全界与小圜所分弧界相比之
　　　　　　理同故此甲线内截去乙所成戊己仍

　　　　　　与乙相比即如乙丙大圜全分截去己

　　　　　　庚弧界一段仍与己庚弧界相比而丙
　　　　　　线内截去丁所成庚辛仍与丁相比即
　　　　　　如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段
　　　　　　仍与辛壬弧界相比也其比例仍同于
　　　　　　相当比例四率但因其各分内有分开
　　　　　　相减之故所以谓之分数比例也
　　　　　　第十一
　　　　　　一种合数比例有四率以一率与二率

　　　　　　之比同于三率与四率之比矣若将此
　　　　　　相比之率并之以一率与二率相加为
　　　　　　一率仍与二率为比以三率与四率相
　　　　　　加为三率仍与四率为比其所比之例
　　　　　　亦仍同于相当比例之四率也如甲乙
　　　　　　丙丁四数以甲数与乙数相加共为一
　　　　　　率与乙数为比丙数与丁数相加共为
　　　　　　三率与丁数为比则所比之例仍同于
　　　　　　相当比例四率也此合数比例与分数

　　　　　　比例之理互相对待彼分数比例以双

　　　　　　圜图　　二圜全界内减去所分弧界
　　　　　　一段仍与所分弧界一段为比今此合
　　　　　　数比例即如二圜全界内所分大段加
　　　　　　入所分弧界一小段即是全界而与所
　　　　　　分弧界一段为比也其所比之理仍同
　　　　　　于相当比例四率但因有相加之加故
　　　　　　谓之合数比例焉
　　　　　　第十二

　　　　　　一种更数比例以一率与二率之比同
　　　　　　于三率与四率之比者更之将一率与
　　　　　　二率相减用其馀分为二率仍与一率
　　　　　　为比又将三率与四率相减用其馀分
　　　　　　为四率仍与三率为比则其比例之理
　　　　　　仍同于相当比例四率也如甲乙丙丁
　　　　　　四数于甲第一率内减去乙第二率所
　　　　　　馀为戊己乃以戊己立乙第二率之位
　　　　　　而以甲与戊己为比复于丙第三率内

　　　　　　减去丁第四率所馀为庚辛乃以庚辛

　　　　　　立丁第四率之位而以丙与庚辛为比
　　　　　　其所比之理仍同于四率之比例故亦
　　　　　　为相当比例之四率也今以双圜图解
　　　　　　之　　乙丙大圜三百六十度之全界
　　　　　　　仍为一率全界内减去所所分之巳
　　　　　　庚弧界六十度一段馀己丙庚三百度
　　　　　　一大段　　为二率丁戊小圜三百六
　　　　　　十度之全界　　仍为三率全界内减

　　　　　　去所分之辛壬弧界六十度一段馀辛
　　　　　　戊壬三百度一大段　　为四率则乙
　　　　　　丙大圜三百六十度之全界如甲所更
　　　　　　之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜
　　　　　　三百六十度之全界如丙所更之辛戊
　　　　　　壬三百度如庚辛故其四率之两相比
　　　　　　例亦同为相当比例率也凡四率之内
　　　　　　前后之相差虽更入比之仍与相当比
　　　　　　例之理同但以其数有更入之故所以

　　　　　　谓之更数比例也

　　　　　　第十三
　　　　　　一种隔位比例有两相比例四率将此
　　　　　　一边四率内一率与末率为比彼一边
　　　　　　四率内一率与末率为比则其所比之
　　　　　　例仍同于相当比例四率也如此一边
　　　　　　有甲乙丙丁四数彼一边有戊己庚辛
　　　　　　四数此甲与乙之比同于彼戊与己之
　　　　　　比此乙与丙之比同于彼已与庚之比

　　　　　　此丙与丁之比同于彼庚与辛之比若
　　　　　　将此四率隔位比之使此一边之甲与
　　　　　　丁为比以彼一边之戊与辛为比则其
　　　　　　比例仍同于相当比例四率也试以双
　　　　　　圜图之大小圜所分各弧界之两线引
　　　　　　长　　自庚壬过甲至癸丑作一全径
　　　　　　线复自己辛过甲至子寅作一全径线
　　　　　　则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段
　　　　　　分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段其

　　　　　　大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相

　　　　　　当四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬
　　　　　　四段亦为相当四率此二圜之所分四
　　　　　　段既俱为相当四率则其各相比例度
　　　　　　之大小虽异而分数相同故大圜之庚
　　　　　　己一段与已丑一段之比同于小圜之
　　　　　　壬辛一段与辛癸一段之比大圜之已
　　　　　　丑一段与丑寅一段之比同于小圜之
　　　　　　辛癸一段与癸子一段之比大圜之丑

　　　　　　寅一段与寅庚一段之比同于小圜之
　　　　　　癸子一段与子壬一段之比也若以此
　　　　　　各相当四率隔位以比之其大圜之庚
　　　　　　已一段与寅庚一段为比而小圜之壬
　　　　　　辛一段与子壬一段为比其比例仍同
　　　　　　于相当比例四率但以其两边各相比
　　　　　　例四率内各取两率隔位以比之故谓
　　　　　　之隔位比例耳
　　　　　　第十四

　　　　　　一种错综比例有两连比例三率此一

　　　　　　边三率内中率与末率之比同于彼一
　　　　　　边三率内中率与末率之比则为相当
　　　　　　比例之四率苟错综其位分以此一边
　　　　　　首率与末率隔位为比复取另一数与
　　　　　　彼一边中率为比而成同理之四率则
　　　　　　此另一数必与彼边三率为连比例四
　　　　　　率矣如此一边有甲乙丙连比例三数
　　　　　　彼一边有丁戊已连比例三数将此一

　　　　　　边中率乙数与末率丙数之比同于彼
　　　　　　一边中率戊数与彼一边末率己数之
　　　　　　比则其比例为同理比例矣今错综其
　　　　　　位分使此一边所有之首率甲数与所
　　　　　　有之末率丙数隔位为比复另取一庚
　　　　　　数与彼一边所有之中率戊数为比则
　　　　　　其比例亦同于相当比例四率而此庚
　　　　　　数与彼边丁戊己三率为连比例之数
　　　　　　矣何也试以庚数置于彼一边丁首率

　　　　　　之上则庚为首率而丁移而为中率戊

　　　　　　又易而为末率是故此一边甲首率与
　　　　　　丙末率之比同于彼一边所取庚首率
　　　　　　与所易戊末率之比但以两连比例率
　　　　　　互相易位增入比之之不同故名之为
　　　　　　错综比例耳
　　　　　　第十五
　　　　　　一种加分比例凡有二率依本度各加
　　　　　　几倍所加之分数若等则所成之二率

　　　　　　互相为比仍同于原二率之互相为比
　　　　　　谓之等倍相加之比例也如甲乙二数
　　　　　　于甲数依本度加三倍为丙于乙数依
　　　　　　本度加三倍为丁则此丙丁二数互相
　　　　　　为比仍同于甲乙二数之互相为比也
　　　　　　假若甲度为一大分乙度为一小分则
　　　　　　甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成
　　　　　　四小分之丁以四大分之丙比四小分
　　　　　　之丁以一大分之甲比一小分之乙其

　　　　　　相当之分数既等固为同理比例可知

　　　　　　矣(见本卷/第三节)故凡二率依本度各加几倍
　　　　　　其所加之分数若等其加分之率互相
　　　　　　为比必同于原率之互相为比因于原
　　　　　　数有相加之分故谓之加分比例也
　　　　　　第十六
　　　　　　一种减分比例凡有二率依度度各减
　　　　　　几倍所减之分数若俱等则所成之二
　　　　　　率互相为比仍同于原二率之互相为

　　　　　　比谓之等分相减之比例也如有甲乙
　　　　　　丙丁二数其甲乙之三分内减去甲戊
　　　　　　一分丙丁之三分内减去丙己一分则
　　　　　　戊乙己丁互相为比仍同于原甲乙丙
　　　　　　丁全数之互相为比也何也夫甲乙度
　　　　　　为三尺丙丁度为三寸自甲乙度内减
　　　　　　去一尺则为戊乙自丙丁度内减去一
　　　　　　寸则为己丁以所馀之戊乙二尺与所
　　　　　　馀之已丁二寸为比以甲乙之全三尺

　　　　　　与丙丁之全三寸为比其相当之分数

　　　　　　必等故亦为同理比例矣凡二率之内
　　　　　　无论减几分其所减之分数若等则相
　　　　　　比之理必同于原数之比例因于原数
　　　　　　内减之故又谓之减分比例也

　　　　　　几何原本七
　　　　　　第一
　　　　　　前卷所论比例之法凡一十有二(相当/比例)
　　　　　　(一种相连比例一种正比例一种反比/例一种递转比例一种分数比例一种)
　　　　　　(合数比例一种更数比例一种隔位比/例一种错综比例一种加分比例一种)
　　　　　　(减分比/例一种)虽种种变化不穷其每相当分
　　　　　　数所成之率依然一理故其相比之例
　　　　　　俱同而皆为相当比例四率也是故线

　　　　　　与线为比面与面为比体与体为比依
　　　　　　前各种比例之法线之比例若同则为
　　　　　　相当比例线面之比例若同则为相当
　　　　　　比例面体之比例若同则为相当比例
　　　　　　体矣夫线面体为类不同虽不能互相
　　　　　　为比假使线面体之每相当分数若等
　　　　　　则按其各类相当分数比之亦为同理
　　　　　　比例率也如甲之六分线与乙之三分
　　　　　　线相比丙之六分面与丁之三分面相

　　　　　　比戌之六分体与已之三分体相比此

　　　　　　三种每相当分数既俱相等故其比例
　　　　　　亦俱相等而六率互为同理比例可知
　　　　　　矣
　　　　　　第二
　　　　　　大凡直角平方面积皆生于二线之度
　　　　　　故欲知方面所生比例之分将其二形
　　　　　　之纵横线分考之即可得而知矣如甲
　　　　　　乙丙丁直角平方之二面欲知其所生

　　　　　　比例之分则视甲乙大形之甲戊横线
　　　　　　长度得彼丙丁小形之丙己横线长度
　　　　　　为三倍而甲乙大形之甲庚纵线宽度
　　　　　　得彼丙丁小形之丙辛纵线宽度为二
　　　　　　倍假若将甲乙大形自中线平分为甲
　　　　　　癸壬乙二形其甲癸形之甲壬宽度丙
　　　　　　丁形之丙辛宽度必俱相等其甲戊横
　　　　　　线长度既仍与丙己横线长度为三倍
　　　　　　其所分之甲癸形必与丙丁三形相等

　　　　　　再彼壬乙形亦与丙丁三形相等则此

　　　　　　二形相合之甲乙一全形比之丙丁小
　　　　　　形为六分可知矣又或甲乙大形之甲
　　　　　　戊横线长度得丙丁小形之丙己横线
　　　　　　长度为四倍甲乙大形之甲庚纵线宽
　　　　　　度得丙丁小形之丙辛纵线宽度为三
　　　　　　倍则大形与小形四倍者有三而大形
　　　　　　比小形为十二分可知矣再或甲乙大
　　　　　　形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横

　　　　　　线为十二倍丙丁小形之丙辛纵线反
　　　　　　比甲乙大形之甲庚纵线为三倍则甲
　　　　　　乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小
　　　　　　形之丙己横线之长多十一倍而甲乙
　　　　　　大形之甲庚纵线之宽又比丙丁小形
　　　　　　之丙辛纵线之宽少二倍矣将此纵横
　　　　　　二线之多少较之甲乙大形比丙丁小
　　　　　　形为四倍而丙丁小形为甲乙大形之
　　　　　　四分之一于是以二形之纵横多少互

　　　　　　相较对以比例之始得知此形与彼形

　　　　　　之比例焉故凡直角平方面形与他一
　　　　　　形相比其比例有二以此形之长与他
　　　　　　形之长比之为一比例以此形之宽与
　　　　　　他形之宽比之为一比例两形相比之
　　　　　　间而兼两比例者正以平面之积自二
　　　　　　线之度生之之故也
　　　　　　第三
　　　　　　有两直角方面形若将此方面横界与

　　　　　　他方面横界为比又将他方面纵界与
　　　　　　此方面纵界为比其比例若同则此两
　　　　　　方面必相等也如甲乙丙丁两方面形
　　　　　　甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己
　　　　　　横界大一倍而丙丁形之丙庚纵界比
　　　　　　甲乙形之甲辛纵界亦大一倍则甲乙
　　　　　　丙丁两形之分必相等是知两方面形
　　　　　　纵横之分互相较对则两方面之积可
　　　　　　知矣

　　　　　　第四

　　　　　　凡有相比例四率其二率与三率相乘
　　　　　　一率与四率相乘则所得之分数俱相
　　　　　　等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四
　　　　　　率甲乙一率为二分丁戊二率为四分
　　　　　　戊己三率为三分乙丙四率为六分将
　　　　　　丁戊二率为纵线戊已三率为横线以
　　　　　　之相乘又将甲乙一率为纵线乙丙四
　　　　　　率为横线以之相乘其所得之丁己一

　　　　　　方面形甲丙一方面形其分数俱是十
　　　　　　二互相等矣然则丁已形之丁戊纵度
　　　　　　虽比甲丙形之甲乙纵度大一半而丁
　　　　　　已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙
　　　　　　横度少一半故其纵横互较之分相等
　　　　　　而其积亦等也是故四率中凡有三率
　　　　　　欲求其不知之一率将两率之分相乘
　　　　　　所得之数以一率之分除之即得其一
　　　　　　率矣设如甲乙三分为一率丁戊六分

　　　　　　为二率戊己五分为三率乙丙十分为

　　　　　　四率今只知一率二率三率之分欲推
　　　　　　四率则以丁戊六分二率与戊巳五分
　　　　　　三率相乘为丁己三十分乃以甲乙三
　　　　　　分一率除之即得乙丙十分四率矣此
　　　　　　以小分为首率者也或知乙丙戊己丁
　　　　　　戊之三率而推甲乙之一率则以乙丙
　　　　　　十分为一率戊巳五分为二率丁戊六
　　　　　　分为三率二率与三率相乘一率除之

　　　　　　即得甲乙之四率矣此以大分为首率
　　　　　　者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而
　　　　　　推戊己之一率则以丁戊为一率甲乙
　　　　　　为二率乙丙为三率二率与三率相乘
　　　　　　一率除之即得戊己之四率矣此即反
　　　　　　推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙
　　　　　　之三率而推丁戊之一率则以戊己为
　　　　　　一率甲乙为二率乙丙为三率二率与
　　　　　　三率相乘一率除之即得丁戊之四率

　　　　　　矣此即递转比例之理也

　　　　　　第五
　　　　　　凡有两直角方面形此一方面之横界
　　　　　　与他一方面横界为比此一方面之纵
　　　　　　界与他一方面纵界为比其比例若等
　　　　　　则此两方面之比例比之两界之比例
　　　　　　为连比例隔一位相加之比例也如甲
　　　　　　乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲
　　　　　　戊横界为丙丁形丙己横界之二倍而

　　　　　　甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛
　　　　　　纵界之二倍则甲乙形面积与丙丁形
　　　　　　面积之比比之甲乙形之一界与丙丁
　　　　　　形之一界之比者即如连比例三率隔
　　　　　　一位相加之比例矣盖甲乙方面之纵
　　　　　　横界既为丙丁方面纵横界之二倍则
　　　　　　甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有
　　　　　　二二其二为四故甲乙方面积比丙丁
　　　　　　方面积为四倍今甲乙方面积为一十

　　　　　　六分与丙丁方面积之四分相比较之

　　　　　　甲乙方界之四分与丙丁方界之二分
　　　　　　相比者不同盖丙丁四得甲乙十六之
　　　　　　四分之一而辛丁二得庚乙四之二分
　　　　　　之一以四分比一分较之二分比一分
　　　　　　不为二倍乎故欲求其比例相连之率
　　　　　　则于甲乙形之界二倍之得八分与丙
　　　　　　丁方界二分为比即如甲乙方面积十
　　　　　　六与丙丁方面积四分之比矣夫八与

　　　　　　十六四与八二与四皆二分之一之比
　　　　　　例而十六隔八与四比八隔四与二比
　　　　　　则皆成四分之一之比例故十六与四
　　　　　　较之四与二为两界上连比例隔一位
　　　　　　相加之比例也又如甲乙方面之纵横
　　　　　　界为丙丁方面纵横界之三倍则甲乙
　　　　　　方面内如丙丁方面之三倍者有三三
　　　　　　其三为九故甲乙之面积比丙丁面积
　　　　　　为九倍今甲乙之积为三十六分与丙

　　　　　　丁方面积四分相比较之甲乙方界之

　　　　　　六分与丙丁方界之二分相比者不同
　　　　　　盖丙丁四得甲乙三十六之九分之一
　　　　　　而辛丁二得庚乙六之三分之一以九
　　　　　　分比一分较之三分比一分不为三倍
　　　　　　乎故欲求其比例相连之率则于甲乙
　　　　　　形之界三倍之得十八与丙丁方界二
　　　　　　分为比即如甲乙方面积三十六与丙
　　　　　　丁方面积四之比例矣盖十八与六六

　　　　　　与二皆三分之一之比例而三十六隔
　　　　　　十二与四比十八隔六与二比则皆为
　　　　　　九分之一之比例故三十六与四较之
　　　　　　六与二亦为两界上连比例隔一位相
　　　　　　加之比例也
　　　　　　第六
　　　　　　凡直角方面形有二种一为长方一为
　　　　　　正方因其纵横界之比例各异故其所
　　　　　　生之形不同而积不得互相为比也如

　　　　　　欲比之必以长方与长方为比正方与

　　　　　　正方为比其比例始行如甲乙丙丁两
　　　　　　长方面形其甲乙形之甲戊横界与丙
　　　　　　丁形之丙己横界为大一倍甲乙形之
　　　　　　甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为
　　　　　　大一倍其比例相同若以甲乙形之甲
　　　　　　戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比则
　　　　　　大三倍而甲乙形之甲庚纵界与丙丁
　　　　　　形之丙己横界为比止大一分犹不得

　　　　　　大一倍其比例则异故甲乙形所生之
　　　　　　积为二十四而丙丁形所生之积为六
　　　　　　俱为长方形焉又如子丑寅卯两正方
　　　　　　形其子丑形之子辰横界与寅卯形之
　　　　　　寅已横界之比子丑形之子午纵界与
　　　　　　寅卯形之寅未纵界之比俱为大三倍
　　　　　　而比例相同复以子丑形之子辰横界
　　　　　　与寅卯形之寅未纵界为比子丑形之
　　　　　　子午纵界与寅卯形之寅已横界为比

　　　　　　亦各大三倍而比例相同故子丑形所

　　　　　　生之积为三十六而寅卯形所生之积
　　　　　　为四俱为正方形焉以此四形两两相
　　　　　　比则甲乙长方形与丙丁长方形为比
　　　　　　而子丑正方形与寅卯正方形为比各
　　　　　　为相当比例之四方面也
　　　　　　第七
　　　　　　有两同式长方面于两形相当之二界
　　　　　　各作两正方面互相为比即同原两长

　　　　　　方面之互相为比也如甲乙丙丁两直
　　　　　　角长方面在甲戊丙己相当二横界各
　　　　　　作甲庚丙辛两正方面则所作甲庚丙
　　　　　　辛两正方面互相为比即同于原有之
　　　　　　甲乙丙丁相同之两长方面之互相为
　　　　　　比也夫甲乙丙丁同式之两长方面积
　　　　　　既为隔一位相加之比例则所作甲庚
　　　　　　丙辛同式之正方面积亦必为隔一位
　　　　　　相加之比例然则甲乙丙丁原有之两

　　　　　　面互相为比与所作甲庚丙辛之正方

　　　　　　面之互相为比其为同理之比例无疑
　　　　　　矣
　　　　　　第八
　　　　　　大凡二平行线内所有直角方面互相
　　　　　　为比同于其底之互相为比也如甲乙
　　　　　　丙丁二平行线内有甲已庚丁两直角
　　　　　　方面其甲已面与庚丁面之比即同于
　　　　　　甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁

　　　　　　底线之比也盖甲巳面之丙巳底线与
　　　　　　庚丁面之辛丁底线为三倍而甲巳面
　　　　　　之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线因
　　　　　　同在二平行线内其度固同今以二面
　　　　　　纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之皆
　　　　　　为四倍则甲巳面为一十二分而庚丁
　　　　　　面为四分矣以甲己面之十二分与庚
　　　　　　丁面之四分为比即如甲己面之丙己
　　　　　　底三分与庚丁面之辛丁底一分之比

　　　　　　故其比例相同也

　　　　　　第九
　　　　　　凡二平行线内所有二界平行斜方面
　　　　　　互相为比同于其底界度之互相为比
　　　　　　也如甲乙丙丁二平行线内有甲戊乙
　　　　　　丁两斜方面积互相为比即同于丙戊
　　　　　　巳丁两底界之互相为比也试将甲戊
　　　　　　乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上
　　　　　　立庚戊辛丁两直角面则此两直角面

　　　　　　因与两斜方面同底同高其积必等(见/三)
　　　　　　(卷第/八节)前节言凡二平行线内所有直角
　　　　　　方面互相为比同于其底之互相为比
　　　　　　此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立
　　　　　　庚戊辛丁两直角面相等则甲戊乙丁
　　　　　　两斜方面互相为比必同于丙戊己丁
　　　　　　两底界之互相为比可知矣故凡二平
　　　　　　行线内所有面积相比之分数必与底
　　　　　　界相比之分数同也

　　　　　　第十

　　　　　　凡二平行线内所有三角形面积互相
　　　　　　为比亦同于其底界度之互相为比也
　　　　　　如甲乙丙丁二平行线内有戊己庚辛
　　　　　　壬癸两三角形其内所函面积互相为
　　　　　　比即同于巳庚壬癸两底界之互相为
　　　　　　比也何也凡二平行线内所有三角形
　　　　　　得其同底所立四边形之一半今以甲
　　　　　　乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形

　　　　　　同底立一戊巳庚子四边形辛壬癸三
　　　　　　角形同底立一辛壬癸丑四边形则戊
　　　　　　巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一
　　　　　　半而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边
　　　　　　形之一半如以两三角形面积互相为
　　　　　　比即同于两四边形面积之互相为比
　　　　　　而为相当比例四率矣其面积既互相
　　　　　　为比则其两三角形面积相比同于两
　　　　　　三角形底之相比者亦如两四边形相

　　　　　　比同于两四边形底之相比矣然则戊

　　　　　　巳庚辛壬癸两三角形面积互相为比
　　　　　　必同于巳庚壬癸两底界互相为比者
　　　　　　可知也今壬癸底界既比己庚底界大
　　　　　　一倍故辛壬癸三角形面积必比戊巳
　　　　　　庚三角形面积亦大一倍也

　　　　　　几何原本八
　　　　　　第一
　　　　　　凡三角形内与其底线平行作一直线
　　　　　　则所截三角形之两边线互相为比例
　　　　　　线其两边线所分各二段互相为比为
　　　　　　相当比例四率而每边所截之一段与
　　　　　　本全线比之亦为相当比例四率也如
　　　　　　甲乙丙三角形内与乙丙底线平行作

　　　　　　一丁戊线则分甲乙一边为甲丁丁乙
　　　　　　二段分甲丙一边为甲戊戊丙二段其
　　　　　　甲乙一边之甲丁丁乙二段互相为比
　　　　　　甲丙一边之甲戊戊丙二段互相为比
　　　　　　其比例俱同为相当比例四率矣又如
　　　　　　甲乙一边之甲丁一段与本边甲乙全
　　　　　　线为比甲丙一边之甲戊一段与本边
　　　　　　甲丙全线为比其比例亦俱同为相当
　　　　　　比例四率矣今以三角形按所截分分

　　　　　　为各式以各式面积互相比者考之自

　　　　　　丁戊线之丁戊二端作丁丙戊乙二线
　　　　　　则甲乙丙一三角形分为四三角形此
　　　　　　四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊两
　　　　　　三角形既在乙丙丁戊二平行线之间
　　　　　　又共立于一丁戊之底其二形之积必
　　　　　　等(见三卷/第十节)于此二形各加一所截甲丁
　　　　　　戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙两三
　　　　　　角形其积亦必相等又如甲丁戊乙丁

　　　　　　戊两三角形之底俱在甲乙一直线上
　　　　　　而两三角形之戊角又共在一戊处其
　　　　　　两形必在二平行线之间而甲丁戊丙
　　　　　　丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线
　　　　　　上而两三角形之丁角又共在一丁处
　　　　　　其两形亦在二平行线之间(见三卷第/十二节)
　　　　　　因各三角形两两俱为二平行线所限
　　　　　　故其面积互相为比必同于其底界之
　　　　　　互相为比也(见七卷/第十节)此所以甲丁戊丙

　　　　　　丁戊两三角形积互相为比与其甲戊

　　　　　　戊丙两底线之互相为比同其甲丁戊
　　　　　　乙丁戊两三角形积互相为比与其甲
　　　　　　丁丁乙两底线之互相为比亦同也冉
　　　　　　甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角
　　　　　　形之积相等则以甲乙丙之全形与所
　　　　　　分之甲乙戊三角形或与所分之甲丙
　　　　　　丁三角形相比其比例必俱相同而甲
　　　　　　丙丁三角形之甲丁底与甲丙乙全形

　　　　　　之甲乙底互相为比甲乙戊三角形之
　　　　　　甲戊底与甲乙丙全形之甲丙底互相
　　　　　　为比亦必俱相同矣因其各三角形得
　　　　　　互相为比例故其所截两边线两两为
　　　　　　相当比例率也
　　　　　　第二
　　　　　　凡三角形内与底平行作一直线其所
　　　　　　截两边线之每一段与各边全线之比
　　　　　　即同于所作线与底线之比也如甲乙

　　　　　　丙三角形内与乙丙底平行作一丁戊

　　　　　　线此丁戊线所截甲丁一段与甲乙全
　　　　　　线之比甲戊一段与甲丙全线之比皆
　　　　　　如丁戊线与乙丙底线之相比也假若
　　　　　　将甲乙丙三角形之甲乙边线为底而
　　　　　　与甲乙底线平行作一戊己线即成戊
　　　　　　巳乙丁四边长方形其两两平行线之
　　　　　　度俱各相等然三角形之两边与所截
　　　　　　之每段既互相为比(如前节/所云)则此乙丙

　　　　　　边之乙己一段与乙丙边全线之比即
　　　　　　同于彼甲丙边之甲戊一段与甲丙边
　　　　　　全线之比而丁戊之平行线既与乙已
　　　　　　平行线度相等则此丁戊平行线与原
　　　　　　底乙丙线之比亦必同于彼甲丙边之
　　　　　　甲戊一段与甲丙边全线之比矣故甲
　　　　　　戊段为一率甲丙边全线为二率丁戊
　　　　　　平行线为三率乙丙底线为四率为相
　　　　　　当比例四率也又如甲乙边之甲丁一

　　　　　　段与甲乙边全线之比既同于丁戊平

　　　　　　行线与乙丙底线之比则甲丁段为一
　　　　　　率甲乙边全线为二率丁戊平行线为
　　　　　　三率乙丙底线为四率亦为相当比例
　　　　　　四率也苟甲乙边全线为六分则甲丁
　　　　　　段得其六分之二分乙丙边全线为六
　　　　　　分则丁戊段亦得其六分之二分所以
　　　　　　成两两相当比例之率也
　　　　　　第三

　　　　　　凡大小两三角形其相当之二角度若
　　　　　　两两相等则其馀一角亦必相等如此
　　　　　　类两三角形谓之同式三角形也虽其
　　　　　　内容积分不同而其相当各界互相为
　　　　　　比俱为相当比例之率焉如甲乙丙丁
　　　　　　戊己大小两三角形其甲角与丁角等
　　　　　　乙角与戊角等则所馀丙角必与己角
　　　　　　等而为同式三角形也(二卷第三节言/凡三角形之三)
　　　　　　(角相并与二直角等则此大小两三角/形之各三角相并亦俱为二直角于二)

　　　　　　(直角中减去大形之甲角乙角馀为丙/角减去小形之丁角戊角馀为己角其)

　　　　　　(所减之数既等则所/馀之数亦必等矣)若于大形内与乙
　　　　　　丙平行作庚辛线与甲乙平行作辛壬
　　　　　　线则成甲庚辛辛壬丙两小三角形此
　　　　　　两小形之相当角度与大形之相当角
　　　　　　度亦必俱等故皆谓之同式形也凡同
　　　　　　式之形其容积虽不一而其各界互相
　　　　　　为比皆为相当比例之四率是故以大
　　　　　　三角形之甲乙全线与所截甲庚一段

　　　　　　之比即如大三角形之甲乙一边与小
　　　　　　三角形之相当丁戊一边之比也大三
　　　　　　角形之甲丙全线与所截甲辛一段之
　　　　　　比即如大三角形之甲丙一边与小三
　　　　　　角形之相当丁巳一边之比也大三角
　　　　　　形之乙丙底线与所截庚辛底线之比
　　　　　　即如大三角形之乙丙底线与小三角
　　　　　　形之戊已底线之比也至于甲乙丙大
　　　　　　三角形与所截辛壬丙小三角形相当

　　　　　　各界之比亦如甲乙丙大三角形与丁

　　　　　　戊已小三角形相当各界之比也由此
　　　　　　推之凡同式之形其相当各界互相为
　　　　　　比皆为相当比例之率可知矣
　　　　　　第四
　　　　　　同式直角三角形面积互相为比同于
　　　　　　三角形各相当界所作方形之互相为
　　　　　　比而同式三角形面积互相为比者比
　　　　　　之各相当界互相为比则为连比例内

　　　　　　隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊
　　　　　　巳两同式直角三角形其面积互相为
　　　　　　比即同于此两三角形之乙丙戊巳相
　　　　　　当二界所作庚乙辛戊两方形互相为
　　　　　　比之比例而此两三角形之面积互相
　　　　　　为比比之乙丙戊已相当二界互相为
　　　　　　比之比例则为连比例内隔一位相加
　　　　　　之比例矣盖两三角形之乙戊二角俱
　　　　　　为直角若与乙丙戊巳二线平行作甲

　　　　　　壬丁癸二线又与甲乙丁戊二线平行

　　　　　　作壬丙癸己二线即成壬乙癸戊两直
　　　　　　角长方形此甲乙丙丁戊己两三角形
　　　　　　因与所作壬乙癸戊两直角长方形在
　　　　　　二平行线内同为一底其积为一半将
　　　　　　半与半相比者即同于全与全之相比
　　　　　　故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比
　　　　　　必同于壬乙癸戊两直角长方形互相
　　　　　　为比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁

　　　　　　戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方
　　　　　　形互相为比之比例既与甲乙丙丁戊
　　　　　　己两三角形互相为比之比例同则依
　　　　　　乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两
　　　　　　正方形互相为比之比例亦与壬乙癸
　　　　　　戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角
　　　　　　形互相为比之比例同矣又凡直角两
　　　　　　方形其两界互相为比之比例若俱同
　　　　　　则两形面积互相为比之比例较之两

　　　　　　界互相为比之比例为隔一位相加之

　　　　　　比例(见七卷/第五节)今甲乙丙丁戊己两三角
　　　　　　形之各依底线所作正方形互相为比
　　　　　　较之二底线互相为比之比例即为隔
　　　　　　一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己两
　　　　　　三角形之面积互相为比者既与所作
　　　　　　庚乙辛戊两正方形面积互相为比之
　　　　　　比例同则此所作两正方形面积相比
　　　　　　较之两底相比为隔一位相加之比例

　　　　　　而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相
　　　　　　为比较之乙丙戊己相当二界互相为
　　　　　　比之比例亦为隔一位相加之比例可
　　　　　　知矣
　　　　　　第五
　　　　　　同式无直角三角形面积互相为比同
　　　　　　于三角形各相当界所作方形之互相
　　　　　　为比而三角形面积互相为比者比之
　　　　　　各相当界互相为比则为连比例内隔

　　　　　　一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己

　　　　　　两同式三角形虽无直角然其相当各
　　　　　　角俱等则此两形面积互相为比同于
　　　　　　在此两形之甲乙丁戊相当二界所作
　　　　　　方形互相为比之比例而两形之面积
　　　　　　互相为比者比之甲乙丁戊相当二界
　　　　　　互相为比之比例则为连比例内隔一
　　　　　　位相加之比例矣试自两形之丙己二
　　　　　　角与甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛

　　　　　　各一线又自甲丁二角至庚辛二线之
　　　　　　末作甲庚丁辛二线又与此二线平行
　　　　　　自乙戊二角至壬癸二处作乙壬戊癸
　　　　　　二线成庚乙辛戊两直角长方形此两
　　　　　　长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱
　　　　　　在两平行线内又同为一底则此两三
　　　　　　角形面积为彼庚乙辛戊两长方形之
　　　　　　一半将半与半相比者同于全与全之
　　　　　　相比故甲乙丙丁戊己两三角形面积

　　　　　　之比例必同于庚乙辛戊两长方形之

　　　　　　比例矣夫同式两长方形之比例同于
　　　　　　相当界所立正方形之比例而同式正
　　　　　　方形之比例比之各相当界之比例为
　　　　　　连比例隔一位相加之比例今此两三
　　　　　　角形面积之比例既同于庚乙辛戊两
　　　　　　长方之比例亦必同于两正方之比例
　　　　　　则两三角形面积之比例比之两界之
　　　　　　比例为连比例隔一位相加之比例可

　　　　　　知矣
　　　　　　第六
　　　　　　有众多边形其边数同相当各角俱等
　　　　　　而相当界之比例又同则谓之同式形
　　　　　　也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小
　　　　　　两多边形其边数俱为五其相当甲己
　　　　　　二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊
　　　　　　癸二角各度俱等而甲乙边与己庚边
　　　　　　之比即同于乙丙边与庚辛边之比其

　　　　　　相当边互相比之俱同者即谓之同式

　　　　　　多边形也又如众曲线形于其内外作
　　　　　　各种直界形其式若同则谓之同式曲
　　　　　　线形也假如有甲乙大小两曲线形在
　　　　　　甲大形内作一丙丁戊己庚五边形在
　　　　　　乙小形内作一辛壬癸子丑五边形此
　　　　　　所作两五边形之式若同则曲线形之
　　　　　　式必同又如甲乙大小两曲线形在甲
　　　　　　大形外作一丙丁戊己四边形在乙小

　　　　　　形外作一庚辛壬癸四边形此所作两
　　　　　　四边形之式若同其曲线形之式亦必
　　　　　　同故皆谓之同式曲线形也或如甲乙
　　　　　　丙丁大小两圜分于大圜分内作一戊
　　　　　　甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁
　　　　　　三角形此所作两三角形之式若同则
　　　　　　圜分之式亦必同故谓之同式圜分也
　　　　　　第七
　　　　　　大小各圜分之式若同则其相对之圜

　　　　　　心角度必俱等也如甲乙丙丁大小两

　　　　　　圜之戊甲己庚丙辛两分之式相同其
　　　　　　弧虽随圜之大小各殊而自圜所分之
　　　　　　度必同其各段所对二圜之壬癸心角
　　　　　　度亦等矣夫戊甲己与庚丙辛两段式
　　　　　　既同则此内所函甲戊己丙庚辛两三
　　　　　　角形之甲丙相当两界角之度必等若
　　　　　　自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙
　　　　　　丁作甲壬乙丙癸丁二线则成两界角

　　　　　　与两心角盖心角大于界角一倍故甲
　　　　　　乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角
　　　　　　大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大
　　　　　　一倍今将戊壬乙乙壬己两心角并之
　　　　　　戊甲乙乙甲己两界角并之则所并之
　　　　　　心角亦必比所并之界角大一倍矣而
　　　　　　丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛两心角并
　　　　　　之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之两界
　　　　　　角大一倍夫两圜之两界角度既等而

　　　　　　两圜之所并之心角度又等则两界角

　　　　　　相对之戊乙己庚丁辛两弧段之分数
　　　　　　亦必相等界角所对之弧分既等则心
　　　　　　角所对之弧分亦必相等心角所对之
　　　　　　弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二
　　　　　　心角之度也
　　　　　　第八
　　　　　　凡大小同式多边形分为众三角形其
　　　　　　相当三角形之式俱相同也如甲乙丙

　　　　　　丁戊己庚辛壬癸两同式五边形自大
　　　　　　形甲角至丙丁二角自小形己角至辛
　　　　　　壬二角各作二线则大形分为甲乙丙
　　　　　　甲丙丁甲丁戊三三角形小形分为己
　　　　　　庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙
　　　　　　丙之形与相当己庚辛之形同式甲丙
　　　　　　丁之形与相当己辛壬之形同式甲丁
　　　　　　戊之形与相当己壬癸之形同式因其
　　　　　　所分各三角形俱为同式故相当各角

　　　　　　度必等相当各角度既等则其相当各

　　　　　　界之比例亦必俱同自五边形所分之
　　　　　　各三角形之相当界互相为比之比例
　　　　　　既同则五边形之相当各界互相为比
　　　　　　之比例亦必同相当各界之比例相同
　　　　　　则两形之式相同可知矣
　　　　　　第九
　　　　　　凡大小同式多边形互相为比同于各
　　　　　　形相当界所作方形之互相为比而比

　　　　　　之各面相当界互相为比之比例为连
　　　　　　比例隔一位相加之比例也如甲乙丙
　　　　　　丁戊己庚辛壬癸两同式五边形于大
　　　　　　形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙
　　　　　　丑辛大小两方形其大小五边形互相
　　　　　　为比必同于所作子丙丑辛大小二方
　　　　　　形之互相为比大小五边形既同于大
　　　　　　小两方形之互相为比则比之丙丁辛
　　　　　　壬相当二界互相为比之比例为连比

　　　　　　例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙

　　　　　　丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形
　　　　　　则相当各三角形之式必同相当各三
　　　　　　角形之式既同则相当各三角形互相
　　　　　　为比即同于在三角形各相当界所作
　　　　　　方形之互相为比而各三角形面积之
　　　　　　互相为比较之各相当界互相为比之
　　　　　　比例亦为连比例隔一位相加之比例
　　　　　　夫所分众三角形互相为比既同于所

　　　　　　作方形之互相为比则众三角形所合
　　　　　　甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边
　　　　　　形互相为比亦必同于丙丁辛壬相当
　　　　　　界所作子丙丑辛大小两方形之互相
　　　　　　为比而比之丙丁辛壬相当界互相为
　　　　　　比之比例为连比例隔一位相加之比
　　　　　　例可知矣
　　　　　　第十
　　　　　　凡大小同式直界形互相为比同于在

　　　　　　所比各形内外所有同式形之各相当

　　　　　　界所作正方形之互相为比也如甲乙
　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界
　　　　　　形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬
　　　　　　癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当
　　　　　　二界作寅丙卯壬正方形则两直界形
　　　　　　互相为比即同于两正方形之互相为
　　　　　　比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子
　　　　　　丑两六边形俱分为三角形则其相当

　　　　　　各三角形之式俱相同而相当各三角
　　　　　　形互相为比必同于甲丙庚壬相当二
　　　　　　界所作寅丙卯壬正方形之互相为比
　　　　　　矣此所分三角形之比例既同于所作
　　　　　　正方形之比例则大小两形内各三角
　　　　　　形之甲丙庚壬界又为两四边形之共
　　　　　　界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两
　　　　　　同式形互相为比亦必同于其所函之
　　　　　　甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙

　　　　　　庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方

　　　　　　形之互相为比可知矣
　　　　　　第十一
　　　　　　凡大小同式曲界形互相为比同于在
　　　　　　所比各形内外所有同式形之各相当
　　　　　　界所作正方形之互相为比也如甲乙
　　　　　　丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此
　　　　　　二圜之中虽各函一同式六边形各函
　　　　　　一同式四边形又各函众同式三角形

　　　　　　此大小二圜之积互相为比必同于在
　　　　　　圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二
　　　　　　界所作寅丙卯壬正方形之互相为比
　　　　　　也大凡众界形或函圜或函于圜其界
　　　　　　数愈多愈与圜界相近而圜界分为千
　　　　　　万段即成千万直界形(见四卷第十/九二十等节)则
　　　　　　大小两圜之比例固与内函相当直界
　　　　　　形之比例等矣夫相当直界形之比例
　　　　　　原同于两形之相当界所作方形之比

　　　　　　例而圜界形之比例又同于相当直界

　　　　　　形之比例则此大小二圜互相为比之
　　　　　　比例同于此二圜之辐线或径线所作
　　　　　　正方形互相为比之比例可知矣
　　　　　　第十二
　　　　　　凡圆面径与撱圆面(一名鸭/蛋形)高度等者
　　　　　　其面积互相为比之比例即同于函两
　　　　　　形各作切方形互相为比之比例而圆
　　　　　　形面积与撱圆形面积互相为比之比

　　　　　　例又同于圆形径与撱圆形小径互相
　　　　　　为比之比例也如子壬寅癸之圆面子
　　　　　　丑寅卯之撱圆面其子寅高度俱同(圆/径)
　　　　　　(即撱圆/大径)其面积互相为比之比例必同
　　　　　　于圆面外所作切圆戊己庚辛正方形
　　　　　　与撱圆面外所作切圆甲乙丙丁长方
　　　　　　形互相为比之比例而子壬寅癸圆面
　　　　　　与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例
　　　　　　又同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑

　　　　　　卯小径互相为比之比例也盖平行线

　　　　　　内两面形互相为比之比例同于其底
　　　　　　界互相为比之比例(见七卷/第八节)今戊己庚
　　　　　　辛正方形与甲乙丙丁长方形皆在戊
　　　　　　辛己庚平行线内故戊己庚辛正方形
　　　　　　与甲乙丙丁长方形互相为比之比例
　　　　　　同于己庚底与乙丙底互相为比之比
　　　　　　例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆
　　　　　　面亦在戊辛己庚平行线内则子壬寅

　　　　　　癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比
　　　　　　之比例必同于戊己庚辛正方形与甲
　　　　　　乙丙丁长方形互相为比之比例矣然
　　　　　　戊己庚辛正方形之己庚底即圆面壬
　　　　　　癸径度而甲乙丙丁长方形之乙丙底
　　　　　　又即撱圆面之丑卯径度也夫平圆与
　　　　　　撱圆之比例既同于正方形与长方形
　　　　　　之比例而正方形与长方形之比例又
　　　　　　同于己庚底与乙丙底之比例则圆面

　　　　　　与撱圆面之比例同于圆面之壬癸径

　　　　　与撱圆面之丑卯径之比例可知矣

　　　　　　几何原本九
　　　　　　第一
　　　　　　凡直角三角形自直角至相对界作一
　　　　　　垂线则一形分为两形与原形共为三
　　　　　　同式直角三角形而其比例俱相同也
　　　　　　如甲乙丙直角三角形自甲直角至相
　　　　　　对乙丙界作一甲丁垂线则甲乙丙一
　　　　　　形分为甲丁乙甲丁丙两形此所分两

　　　　　　形与原有甲乙丙形之式俱相同而皆
　　　　　　为直角三角形其三形每相当各界之
　　　　　　比例亦俱相同也盖甲丁线既为垂线
　　　　　　则两傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱
　　　　　　为直角(见首卷/第十节)是故甲乙丙三角形之
　　　　　　甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等
　　　　　　而两三角形又共一乙角其相当二角
　　　　　　度既等则所馀各一角度自等(见八卷/第三节)
　　　　　　故甲乙丙之丙角与甲丁乙之甲角其

　　　　　　度相等也而甲乙丙之甲角亦与甲丁

　　　　　　丙之丁角相等此两三角形又共一丙
　　　　　　角故所馀之甲乙丙之乙角与甲丁丙
　　　　　　之甲角其度亦等三三角形之每相当
　　　　　　各角之度既等则三三角形之式必同
　　　　　　三三角形之式既同则其每相当各界
　　　　　　之比例亦俱相同可知矣
　　　　　　第八
　　　　　　凡直角三角形自直角至相对界作一

　　　　　　垂线则所截之两段一为一率一为三
　　　　　　率而所作之垂线为中率此三率即为
　　　　　　相连比例率也如甲乙丙直角三角形
　　　　　　自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂
　　　　　　线则截乙丙界为两段其所截之乙丁
　　　　　　段为一率则丁丙段为三率若丁丙段
　　　　　　为一率则乙丁段为三率而所作甲丁
　　　　　　垂线总为中率故此乙丁甲丁丁丙三
　　　　　　线互为相连比例三率也盖甲乙丁甲

　　　　　　丁丙两三角形为同式故其相当之乙

　　　　　　丁甲丁二界互相为比即同于甲丁丁
　　　　　　丙二界之互相为比也今以乙丁线为
　　　　　　四分丁丙线为一分则甲丁线必得二
　　　　　　分因四分与二分之比必同于二分与
　　　　　　一分之比故为相连比例三率也
　　　　　　第三
　　　　　　直角三角形自直角至相对界所作垂
　　　　　　线与所分二段固为相连比例三率如

　　　　　　依垂线度作一方形则与所分二段一
　　　　　　为宽度一为长度所作长方形之积相
　　　　　　等也如甲乙丙直角三角形自甲直角
　　　　　　至相对乙丙界作一甲丁垂线截乙丙
　　　　　　界为两段遂成乙丁甲丁丁丙之连比
　　　　　　例三率今依甲丁垂线度作一戊丁正
　　　　　　方形(即为中率/自乘之数)以甲丁垂线所截丁丙
　　　　　　一段为宽度乙丁一段为长度作一己
　　　　　　丁长方形(即为首率末/率相乘之数)其戊丁正方形

　　　　　　之积必与己丁长方形之积相等也何

　　　　　　也盖同式两三角之相当界互相为比
　　　　　　之比例同故此乙丁界与甲丁界之比
　　　　　　即同于甲丁界与丙丁界之比乙丁线
　　　　　　既为一率则甲丁线为二率甲丁线复
　　　　　　为三率则丙丁线为四率然则此相连
　　　　　　比例三率又为相当比例四率矣因其
　　　　　　可为相当比例四率故二率与三率相
　　　　　　乘一率与四率相乘所得之分数相同