钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷二
　　几何原本一
　　几何原本二
　　几何原本三
　　几何原本四
　　几何原本五

　　　　　　几何原本一
　　　　　　第一
　　　　　　凡论数度必始于一点自点引之而为
　　　　　　线自线广之而为面自而积之而为体
　　　　　　是名三大纲是以有长而无阔者谓之
　　　　　　线有长与阔而无厚者谓之面长与阔
　　　　　　厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其
　　　　　　间不能容分不可以数度然线之两端

　　　　　　即点而线面体皆由此生点虽不入于
　　　　　　数实为众数之本
　　　　　　第二
　　　　　　线有直曲两种其二线之一端相合一
　　　　　　端渐离必成一角二线若俱直者谓之
　　　　　　直线角一线直一线曲者谓之不等线
　　　　　　角二线俱曲者谓之曲线角
　　　　　　第三
　　　　　　凡角之大小皆在于角空之宽狭出角

　　　　　　之二线即如规之两股渐渐张去自然

　　　　　　开宽是以命角不论线之长短止看角
　　　　　　之大小如丙角两线虽长其开股之空
　　　　　　狭遂为小角若丁角两线虽短其开股
　　　　　　之空宽遂成大角矣
　　　　　　第四
　　　　　　凡命角必用三字为记如甲乙丙三角
　　　　　　形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云
　　　　　　甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也

　　　　　　亦有单举一字者则其所举之一字即
　　　　　　是所指之角也(如单言甲角乙/角丙角之类)
　　　　　　第五
　　　　　　凡有一线以此线之一端为枢复以此
　　　　　　线之一端为界旋转一周即成一圜如
　　　　　　甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转
　　　　　　复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线
　　　　　　谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜
　　　　　　面

　　　　　　第六

　　　　　　凡圜界不拘长短其分界之所即为弧
　　　　　　线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱
　　　　　　为弧线因其形似弧故名之
　　　　　　第七
　　　　　　凡圜自一界过圜心至相对之界画一
　　　　　　直线将一圜为两平分则为圜径如乙
　　　　　　丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过
　　　　　　甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊

　　　　　　画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也
　　　　　　第八
　　　　　　凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐
　　　　　　线其度俱相等因平分全径之半故又
　　　　　　谓之半径线
　　　　　　第九
　　　　　　凡圜界皆以所对之角而命其弧而角
　　　　　　又以所对之弧而命其度盖角度俱在
　　　　　　圜界而圜界为角度之规也如乙角为

　　　　　　心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙

　　　　　　弧而甲丙弧即乙角之度也
　　　　　　第十
　　　　　　凡角相对之弧得圜界四分之一者此
　　　　　　角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜
　　　　　　甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一
　　　　　　半径将半圜界又分为两平分则成甲
　　　　　　乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界
　　　　　　四分之一则此二角为直角也若自丁

　　　　　　界过乙心至圜界戊处画一直线又成
　　　　　　丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相
　　　　　　等之直角矣故凡画一直线交于别线
　　　　　　其所成之角若直此线谓之垂线盖因
　　　　　　平分圜界为四其四弧相对之四角必
　　　　　　相等而皆为直角则其二径相交必互
　　　　　　为垂线可知矣
　　　　　　第十一
　　　　　　凡角相对之弧不足圜界四分之一者

　　　　　　谓之锐角若过四分之一者谓之钝角

　　　　　　故自圜径中心复画一辐线而不平分
　　　　　　半圜之界则成一锐角一钝角如甲己
　　　　　　丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲
　　　　　　己丙之半圜界不两平分于丁处画一
　　　　　　辐线遂成丙乙丁一锐角甲乙丁一钝
　　　　　　角再将丁乙线引于相对圜界戊处画
　　　　　　一丁乙戊径线复成甲乙戊一锐角丙
　　　　　　乙戊一钝角合前二角总为四角矣故

　　　　　　凡二角两尖相对谓之对角二角两尖
　　　　　　相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角
　　　　　　之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙
　　　　　　丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角
　　　　　　也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并
　　　　　　而同出一线则谓之并角矣
　　　　　　第十二
　　　　　　凡一圜内设两角此一角相对之弧与
　　　　　　彼一角相对之弧其限若等则此二角

　　　　　　之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙

　　　　　　丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之
　　　　　　甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊
　　　　　　角其度亦相等也
　　　　　　第十三
　　　　　　凡有一圜其径线之中心作相并之二
　　　　　　角此二角之度必与二直角等如甲丙
　　　　　　丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙
　　　　　　丙甲乙丁之相并二角此二角之度必

　　　　　　与二直角相等也
　　　　　　第十四
　　　　　　凡一直线交于他直线其所成之二角
　　　　　　或为二直角或与二直角等如丙乙丁
　　　　　　直线上画一甲乙直线至于乙处即成
　　　　　　甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙
　　　　　　乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处
　　　　　　复成丙乙戊一锐角丁乙戊一钝角此
　　　　　　二角必与二直角相等也再申明之以

　　　　　　乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁

　　　　　　线为圜之径线必将圜界平分为两平
　　　　　　分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲
　　　　　　乙线又将半圜界平分为两平分则此
　　　　　　二角各相对之弧皆为一圜界四分之
　　　　　　一而各为一直角可知矣又如戊乙线
　　　　　　将半圜界虽不两平分而成一锐角一
　　　　　　钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所
　　　　　　限半圜界度为全圜界四分之二故与

　　　　　　二直角相等也
　　　　　　第十五
　　　　　　凡自一心画为众线其所成之角虽多
　　　　　　止与四直角相等如自甲心至乙至丙
　　　　　　至丁至戊至已画众辐线虽成众角其
　　　　　　各角所函之度必与四直角等盖因甲
　　　　　　点为心众辐线皆立一圜之界故众角
　　　　　　所对之弧总不越一圜之全度前言一
　　　　　　圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多

　　　　　　亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止

　　　　　　与四直角等也
　　　　　　第十六
　　　　　　凡两直线相交所成二对角之度必俱
　　　　　　相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲
　　　　　　戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必
　　　　　　俱相等今以二线相交之处为心旋转
　　　　　　画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜
　　　　　　之径线矣惟其俱为径线故将一圜为

　　　　　　两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之
　　　　　　半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半
　　　　　　圜界因两半圜界俱系全圜径线故相
　　　　　　交成对角其度必等兹将甲丙乙之半
　　　　　　圜界减去甲丙弧即馀丙乙弧丙甲丁
　　　　　　之半圜界亦减去丙甲弧又馀甲丁弧
　　　　　　凡两相等之弧减去一段相等之弧所
　　　　　　馀之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半
　　　　　　圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则

　　　　　　所馀丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣

　　　　　　此二弧之度既俱相等则所对之甲戊
　　　　　　丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣
　　　　　　其馀甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊
　　　　　　乙同理故其所对之角度亦必相等也
　　　　　　第十七
　　　　　　凡大小圜界俱定为三百六十度而一
　　　　　　度定为六十分一分定为六十秒一秒
　　　　　　定为六十微一微定为六十纤夫圜界

　　　　　　定为三百六十度者取其数无奇零便
　　　　　　于布算即徵之经传亦皆符合也(易曰/凡三)
　　　　　　(百有六十当期之日邵子曰三百六十/中分之得一百八十为二至二分相去)
　　　　　　(之/数)度下皆以六十起数者以三百六十
　　　　　　乃六六所成以六十度之可得整数也
　　　　　　凡有度之圜界可度角分之大小如甲
　　　　　　乙丙角欲求其度则以有度之圜心置
　　　　　　于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜
　　　　　　界之几度如容九十度即是甲乙丙直

　　　　　　角(何以知为直角因九十度为全圜三/百六十度之四分之一前言凡角得)

　　　　　　(圜界四分之一者为直/角故知其为直角也)若过九十度者
　　　　　　为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙
　　　　　　戊锐角观此三角之度其馀可类推矣
　　　　　　第十八
　　　　　　凡二线之间宽狭相离之分俱等则此
　　　　　　二线谓之平行线也
　　　　　　第十九
　　　　　　欲求平行线之间相距几何则自上一

　　　　　　线不拘何处至下一线画二纵线则此
　　　　　　二线为相距度分也如甲乙丙丁二线
　　　　　　平行自上线甲乙二处至下线丙丁二
　　　　　　处画二纵线则此二线为相等线其度
　　　　　　必等然则甲乙丙丁相对之间其相距
　　　　　　之远近不已见耶
　　　　　　第二十
　　　　　　平行二线虽引至于无穷其端必不能
　　　　　　相合盖二线相离之度各处远近俱为

　　　　　　相等故也如甲乙丙丁平行二线随意

　　　　　　引于戊己又自戊至己画一纵线其度
　　　　　　亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线
　　　　　　虽引至于无穷其端终不能相合也
　　　　　　第二十一
　　　　　　凡平行二线或纵或斜画一直线交加
　　　　　　于上则平行线上所成之二角必俱相
　　　　　　等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛
　　　　　　斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之

　　　　　　戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于
　　　　　　戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而
　　　　　　向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若
　　　　　　甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直
　　　　　　线相交成二角则此二角必然相等矣
　　　　　　第二十二
　　　　　　凡平行二线上画一斜线则成八角此
　　　　　　八角度有相等者必是对角或内外角
　　　　　　如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其

　　　　　　两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二

　　　　　　角其度亦相等因其在平行二线之内
　　　　　　外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角
　　　　　　其度亦相等因其俱在平行二线之内
　　　　　　而立斜线之左右故又谓之相对错角
　　　　　　又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因
　　　　　　其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己
　　　　　　辛二角其度亦相等因其俱在平行二
　　　　　　线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二

　　　　　　角其度亦相等因其又俱在平行二线
　　　　　　之内故又谓之内角总之二平行线上
　　　　　　交以斜线所成八角必两两相等也
　　　　　　第二十三
　　　　　　平行线上一边之二内角或一边之二
　　　　　　外角与二直角相等如丁己戊角与丙
　　　　　　己戊角为并角则此二并角与二直角
　　　　　　等前第十四节云凡一直线交于他直
　　　　　　线所成二角必与二直角相等则此二

　　　　　　角同出于一直线为并角故亦与二直

　　　　　　角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角
　　　　　　而亦为并角此二并角亦与二直角等
　　　　　　也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛
　　　　　　丁己辛二并角亦与二直角等也
　　　　　　第二十四
　　　　　　有平行二线复与一线相平行者此三
　　　　　　线互相为平行线也如甲乙丙丁二线
　　　　　　之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁

　　　　　　戊己三线互相为平行线也照前第二
　　　　　　十一节在此三线上画一庚辛壬斜线
　　　　　　则所成之庚辛二角必相等而辛壬二
　　　　　　角亦必等也三线之与斜线相交所成
　　　　　　之角既各相等则三线互为平行可知
　　　　　　矣

　　　　　　几何原本二
　　　　　　第一
　　　　　　凡各种界所成俱谓之形其直界所成
　　　　　　者为直界形曲界所成者为曲界形凡
　　　　　　直界所成各形未有少于三角形界者
　　　　　　故三角形为诸形之首
　　　　　　第二
　　　　　　凡三角形一角直者为直角三角形一

　　　　　　角钝者为钝角三角形三角俱锐者为
　　　　　　锐角三角形
　　　　　　第三
　　　　　　凡三角形其三边线度等者为等边三
　　　　　　角形两边线度等者为两等边三角形
　　　　　　三边线度俱不等者为不等边三角形
　　　　　　第四
　　　　　　凡三角形之三角度相并必与二直角
　　　　　　度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙

　　　　　　线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与

　　　　　　丙角为二尖交错之二角其度必相等
　　　　　　(见首卷第/二十二节)而甲角与甲乙丁角为甲丙
　　　　　　乙丁二平行线内一边之二内角与二
　　　　　　直角等(见首卷第/二十三节)今于甲乙丁直角内
　　　　　　减丙乙丁角所馀为甲乙丙角丙乙丁
　　　　　　角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合
　　　　　　成之一直角与甲角之一直角非二直
　　　　　　角之度耶

　　　　　　第五
　　　　　　凡三角形自一界线引长成一外角此
　　　　　　外角度与三角形内所有之二锐角等
　　　　　　如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁
　　　　　　所成之丙乙丁角即为外角其度与三
　　　　　　角形内甲丙二锐角之度等盖甲乙丙
　　　　　　三角形之三角度并之原与二直角等
　　　　　　(如本卷第/四节云)而甲丁直线与丙乙直线相
　　　　　　交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与

　　　　　　二直角等(如首卷第/十四节云)则此内外二角所

　　　　　　并之度与三　形内三角所并之度亦
　　　　　　必相等今于内外角所并之二直角内
　　　　　　减去甲乙丙角则所馀之丙乙丁一外
　　　　　　角度与甲角丙角所并之度为相等可
　　　　　　知矣
　　　　　　第六
　　　　　　凡两三角形其两边线之度相等二线
　　　　　　所合之角又等则二形底线之度必等

　　　　　　二形之式亦等其底线之二角亦皆等
　　　　　　也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角
　　　　　　形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊
　　　　　　二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙
　　　　　　戊己之二底线必等其二形之三角式
　　　　　　亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦
　　　　　　相等若将二形之甲角丁角相合则甲
　　　　　　丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等
　　　　　　因其俱等故丙乙线之二角与戊己线

　　　　　　之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙

　　　　　　丙底与戊己底不符必是戊己线上斜
　　　　　　于庚或下斜于辛不成直线形矣
　　　　　　第七
　　　　　　两三角形其三边线之度若等则三角
　　　　　　之度亦必相等而此形内所函之分亦
　　　　　　俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之
　　　　　　甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线
　　　　　　戊己线两两相等则甲角与丁角乙角

　　　　　　与戊角丙角与己角必各相等而甲乙
　　　　　　丙三界所函之分丁戊己三界所函之
　　　　　　分亦俱相等盖因此两三角形之各线
　　　　　　俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也
　　　　　　第八
　　　　　　凡两三角形有一线相等其相等线左
　　　　　　右所生之二角又相等则其他线他角
　　　　　　俱相等而二形之分亦相等也如甲乙
　　　　　　丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线

　　　　　　若等而此二线左边所成之甲角丁角

　　　　　　右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙
　　　　　　线度与丁己线度等丙乙线度与己戊
　　　　　　线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形
　　　　　　所函之分与丁己戊形所函之分自然
　　　　　　相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再
　　　　　　将甲角与丁角乙角与戊角相较此二
　　　　　　线二角之度必俱相符此二线二角既
　　　　　　俱相符其他线他角亦必各相符矣若

　　　　　　谓一线不符则相等之角亦必不符必
　　　　　　其一线斜出或一线偏入以致各角俱
　　　　　　不相等角既不相等而形式亦必不同
　　　　　　矣
　　　　　　第九
　　　　　　三角形之两边线若等其底线之两角
　　　　　　度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙
　　　　　　乙两边线之度等则其甲丙底线之甲
　　　　　　角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平

　　　　　　分于丁处自丁至乙角画一直线遂成

　　　　　　甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲
　　　　　　乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平
　　　　　　分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两
　　　　　　三角形所共用之各一边线然则此两
　　　　　　三角形之各三边线度必俱相等可知
　　　　　　矣三角形之三线既各相等则其各角
　　　　　　之度亦必相等因其各角之度相等故
　　　　　　甲角丙角之度亦必等也

　　　　　　第十
　　　　　　有两边相等之三角形自上角至底线
　　　　　　画一直线将底线为两平分则此线为
　　　　　　上角之平分线又为底线之垂线也如
　　　　　　甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三
　　　　　　角形自上角乙至底线丁画一直线将
　　　　　　甲丙底线为两平分则为乙角之平分
　　　　　　线又为甲丙底线之垂线也盖乙丁线
　　　　　　将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙

　　　　　　丁两三角形此两三角形之各界线度

　　　　　　必各相等而各角之度又俱相等则甲
　　　　　　乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣
　　　　　　而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两
　　　　　　直角因其为两直角故乙丁线为平分
　　　　　　甲丙底线之垂线也
　　　　　　第十一
　　　　　　凡三角形内长界所对之角必大短界
　　　　　　所对之角必小如甲乙丙三角形之乙

　　　　　　丙界长于甲丙界故其相对之甲角大
　　　　　　于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所
　　　　　　对之丙角小于乙角也试依甲丙界度
　　　　　　截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即
　　　　　　成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙
　　　　　　丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙
　　　　　　两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲
　　　　　　丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角
　　　　　　必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为

　　　　　　甲乙丁小三角形之外角与小三角形

　　　　　　内之甲乙二角相并之度等(见本卷/第五节)既
　　　　　　与甲乙二角之度等则大于乙角可知
　　　　　　矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙
　　　　　　角必更大于乙角矣丙角之小于乙角
　　　　　　其理亦同
　　　　　　第十二
　　　　　　凡三角形内必有二锐角盖三角形之
　　　　　　三角并之与二直角等(见本卷/第四节)如甲乙

　　　　　　丙三角形之乙角为直角则所馀甲角
　　　　　　丙角并之始与乙角相等二角并之仅
　　　　　　与一直角等则此二角独较之必小于
　　　　　　直角矣故此甲丙二角为锐角也又如
　　　　　　丁戊己三角形之戊角为钝角则所馀
　　　　　　之丁角己角愈小于直角而为锐角矣
　　　　　　第十三
　　　　　　凡自一点至一横线画众线而众线内
　　　　　　有一垂线必短于他线而他线与垂线

　　　　　　相离愈远则愈长也如自甲点至乙丙

　　　　　　线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为
　　　　　　垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而
　　　　　　甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故
　　　　　　更长于甲丁线也盖甲乙为垂线则乙
　　　　　　角必为直角(见首卷/第十节)而甲乙丁三角形
　　　　　　内丁角甲角必俱为锐角而小于乙角
　　　　　　矣因乙角大于丁角故此乙角相对之
　　　　　　甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又

　　　　　　甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内
　　　　　　角相并之度等(见本卷/第五节)则此甲丁戊一
　　　　　　外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊
　　　　　　之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁
　　　　　　戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角
　　　　　　相对之甲丁线可知矣
　　　　　　第十四
　　　　　　凡三角形将二界线相并必长于所馀
　　　　　　之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲

　　　　　　丙二界线并之则长于所馀之乙丙界

　　　　　　线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线
　　　　　　与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界
　　　　　　线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成
　　　　　　乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲
　　　　　　角与丁角等(见本卷/第九节)则丁乙丙角必大
　　　　　　于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其
　　　　　　所对之丁丙线必长于丁角相对之乙
　　　　　　丙线可知矣(见本卷第/十一节)

　　　　　　几何原本三
　　　　　　第一
　　　　　　凡四边线函四角者其形有五四边线
　　　　　　度等而角度亦等者为正方形四角直
　　　　　　而两边线短两边线长者为长方形四
　　　　　　边线度等而角度不等者为等边斜方
　　　　　　形两边线长两边线短而角度又不等
　　　　　　者为两等边斜方形以上四形俱自平

　　　　　　行线出如四边线不等亦不平行而四
　　　　　　角度又不等者为不等边斜方形
　　　　　　第二
　　　　　　凡四平行线所成方形其所函之角成
　　　　　　两对角必两两相等如甲乙丙丁平行
　　　　　　线方形其甲角度丙角度等而乙角度
　　　　　　丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作
　　　　　　一线成一丁外角与甲角为二尖交错
　　　　　　之角其度相等(见首卷第/二十二节)而丁外角与

　　　　　　丙角又为一边之内外角其度亦等(见/首)

　　　　　　(卷第二/十二节)夫甲丁二角既等丁丙二角又
　　　　　　等则甲角与丙角必自相等而丁乙两
　　　　　　对角之相等不言可知矣
　　　　　　第三
　　　　　　凡平行四边形自一角至相对之角作
　　　　　　一对角线必平分四边形为两三角形
　　　　　　如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即
　　　　　　成丙甲乙丁甲乙两相等三角形盖此

　　　　　　四边形之丙丁二角为对角其度必等
　　　　　　(见本卷/第二节)而对角线所分之丙甲乙丁乙
　　　　　　甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖
　　　　　　交错之角其度又两两相等(见首卷第/二十二节)
　　　　　　夫此两三角形原自一四边形而分各
　　　　　　角又俱相等则其所函之分必等而四
　　　　　　边形平分为两平分无疑矣
　　　　　　第四
　　　　　　凡平行线所成方形其两两平行线度

　　　　　　俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线

　　　　　　与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等
　　　　　　此即如前节作一对角线成两三角形
　　　　　　而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁
　　　　　　二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所
　　　　　　对之线其度亦必相等矣(见二卷/第八节)
　　　　　　第五
　　　　　　平行线方形内两对角线其相交处必
　　　　　　平分二线之正中如甲乙丙丁二线相

　　　　　　交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊
　　　　　　丁二线俱等盖因丙戊乙甲戊丁两三
　　　　　　角形之丙乙甲丁二线为平行线其度
　　　　　　等(见本卷/第四节)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙
　　　　　　戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之
　　　　　　错角其度俱等(见首卷第/二十二节)夫丙乙甲丁
　　　　　　二线既等各相对之错角又等则丙乙
　　　　　　戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二
　　　　　　线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之

　　　　　　戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣(见/二)

　　　　　　(卷第/八节)
　　　　　　第六
　　　　　　凡平行线方形内于对角线上或纵或
　　　　　　横正中截开即将此形为两平分如甲
　　　　　　丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一
　　　　　　戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁
　　　　　　方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段
　　　　　　此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形

　　　　　　之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙
　　　　　　庚之两角又为平行线内二尖交错之
　　　　　　角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相
　　　　　　对之角其度又等则此两三角形度亦
　　　　　　必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁
　　　　　　方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两
　　　　　　三角形度必等将此两相等之三角形
　　　　　　以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊
　　　　　　庚于甲丁乙形内减乙己庚则所馀之

　　　　　　甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所

　　　　　　分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之
　　　　　　方形为戊己线所截自为两平分可知
　　　　　　矣
　　　　　　第七
　　　　　　凡四边形于对角线不拘何处复作相
　　　　　　交二平行线即成四四边形设如甲丙
　　　　　　乙丁四边形于对角线之戊处复作一
　　　　　　壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即

　　　　　　成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四
　　　　　　形中之甲戊戊乙二形为对角线上所
　　　　　　成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所
　　　　　　成之形此对角线旁所成两形必俱相
　　　　　　等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是
　　　　　　己盖甲丙乙丁之全形因甲乙对角线
　　　　　　平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙
　　　　　　两大三角形之分必等其对角线上所
　　　　　　成之一小方形复为甲戊对角线平分

　　　　　　为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角

　　　　　　形此两小三角形之分亦必等而对角
　　　　　　线上所成之一大方形又为戊乙对角
　　　　　　线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两
　　　　　　中三角形此两中三角形之分亦必等
　　　　　　今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减
　　　　　　去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形
　　　　　　再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三
　　　　　　角形所馀对角线旁所成之丙壬戊庚

　　　　　　戊辛丁己两四边形此两四边形自然
　　　　　　相等矣
　　　　　　第八
　　　　　　凡两平行线内同底所成之四边形其
　　　　　　面积必等如甲己乙辛两平行线内于
　　　　　　乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊
　　　　　　乙丙己一斜方四边形此两形虽不同
　　　　　　而所容之分必相等何也试以两三角
　　　　　　形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一

　　　　　　三角形此两三角形之甲乙丁丙二线

　　　　　　等甲戊丁己二线亦等(甲丁戊己二线/俱与乙丙平行)
　　　　　　(而度分相等若于甲丁戊己二线各加/一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然)
　　　　　　(相/等)而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙
　　　　　　平行线一边之内外角其度又等则此
　　　　　　两三角形自然相等可知矣今于两三
　　　　　　角形内各减去丁戊庚则所馀之甲乙
　　　　　　庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此
　　　　　　二形内每加一庚乙丙形则成甲乙丙

　　　　　　丁戊乙丙己之两四边形其面积必然
　　　　　　相等也
　　　　　　第九
　　　　　　两平行线内无论作几四边形其底度
　　　　　　若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平
　　　　　　行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行
　　　　　　线四边形其丙己辛丁两底度相等则
　　　　　　其积亦等试自丙己底至庚乙画二直
　　　　　　线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四

　　　　　　边形既与甲丙己戊四边形同出于丙

　　　　　　己之底即同前节两形面积俱等矣至
　　　　　　于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚
　　　　　　乙之底故此两形面积亦俱等观此两
　　　　　　两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之
　　　　　　面积相等明矣
　　　　　　第十
　　　　　　凡两平行线内同底所成之各种三角
　　　　　　形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线

　　　　　　内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙
　　　　　　丁一三角形此两三角形之面积必等
　　　　　　何也自丁至戊作一直线与甲丙平行
　　　　　　再自丁至乙作一直线与己丙平行即
　　　　　　成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二
　　　　　　形既同出于丙丁底其面积相等而甲
　　　　　　丙丁己丙丁两三角形为平分两四边
　　　　　　形之一半其面积亦必相等矣
　　　　　　第十一

　　　　　　两平行线内无论作几三角形其底度

　　　　　　若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平
　　　　　　行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其
　　　　　　丙戊戊己两底度相等故其面积亦等
　　　　　　今自戊至辛作一直线与甲丙平行又
　　　　　　自己至乙作一直线与庚戊平行即同
　　　　　　前节成面积相等之两四边形而此甲
　　　　　　丙戊庚戊己两三角形为面积相等两
　　　　　　四边形之各一半则此两三角形之面

　　　　　　积必等可知矣
　　　　　　第十二
　　　　　　凡有几三角形其底若俱在一直线而
　　　　　　各底相对之角又共遇于一处则其众
　　　　　　三角形必在二平行线之间如甲乙丙
　　　　　　甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙
　　　　　　丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直
　　　　　　线上而各底相对之角又皆遇于甲处
　　　　　　则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平

　　　　　　行线之间矣

　　　　　　第十三
　　　　　　凡等边等角各形内五边者为五角形
　　　　　　六边者为六角形边愈多角愈多者俱
　　　　　　随其边与角而名之焉
　　　　　　第十四
　　　　　　多边多角形自角至心作线凡有几界
　　　　　　即成几三角形设如辛七边形自心至
　　　　　　边七角作七线即成七三角形而此各

　　　　　　三角形之分俱相等也
　　　　　　第十五
　　　　　　欲知众边形各边角之度将边数加一
　　　　　　倍得数减四其所馀之数即为各边角
　　　　　　度也如辛七边形以七边数加一倍共
　　　　　　为十四十四内减四所馀之十即为十
　　　　　　直角数为此七边形之各边角之总度
　　　　　　也何也假如辛形自心至七角作七线
　　　　　　成七三角形凡三角形之三角与二直

　　　　　　角等(见二卷/第四节)则此七三角形之各三角

　　　　　　度共与十四直角等其七三角形之辛
　　　　　　心所有之七角又与四直角等(见首卷/第十五)
　　　　　　(节/)若将十四直角内减四直角乃馀十
　　　　　　直角则此十直角与众边形之各边角
　　　　　　之总度相等可知矣

　　　　　　几何原本四
　　　　　　第一
　　　　　　凡有直线切于圜界而不与圜界相交
　　　　　　者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙
　　　　　　界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不
　　　　　　出入相交此甲乙丙线即为圜之切线
　　　　　　也又如一圜与一圜界相切而不相交
　　　　　　则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界

　　　　　　相切二界总未相交故又谓之切圜也
　　　　　　第二
　　　　　　凡一直线横分圜之两界谓之弦线其
　　　　　　所分圜界之一段谓之弧此弧与弦相
　　　　　　交所成之二角谓之弧分角如甲丙线
　　　　　　横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线
　　　　　　为弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一
　　　　　　段皆谓之弧而甲丙弦与甲乙丙弧相
　　　　　　交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之

　　　　　　弧分之角焉

　　　　　　第三
　　　　　　凡自一圜弦线之两头复作二直线相
　　　　　　遇于圜界之一处其所成之角谓之圜
　　　　　　分内角又谓之弧分相对之界角也如
　　　　　　甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦
　　　　　　线之两头各作一直线于甲处相遇其
　　　　　　所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲
　　　　　　角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对

　　　　　　之界角也
　　　　　　第四
　　　　　　凡一圜有二辐线截弧之一段所成之
　　　　　　三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心
　　　　　　至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线
　　　　　　所成之甲丙乙三角形即为分圜面形
　　　　　　也
　　　　　　第五
　　　　　　凡自圜之辐线之末与圜界相切作一

　　　　　　垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅

　　　　　　一点相切其他全在圜外即如甲圜之
　　　　　　甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此
　　　　　　丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处
　　　　　　之一点相切而此垂线之丁等处俱在
　　　　　　圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊
　　　　　　丁线此线必长于甲乙辐线(如二卷第/十三节云)
　　　　　　因其长于辐线必出于圜界之外此甲
　　　　　　戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全

　　　　　　在圜外可知矣
　　　　　　第六
　　　　　　圜弦线上自圜心作一垂线则将弦线
　　　　　　为两平分如乙丙弦自圜心甲至弦线
　　　　　　丁作一垂线必将乙丙弦为两平分成
　　　　　　乙丁丁丙二段若自甲心至弦线乙丙
　　　　　　二末作二辐线成一甲乙丙三角形此
　　　　　　三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐
　　　　　　线其度必等此二辐线既等则甲乙丙

　　　　　　三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙

　　　　　　二段亦必等矣若将垂线引长至弧界
　　　　　　戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣
　　　　　　第七
　　　　　　凡自圜外一处至圜界两边作二切线
　　　　　　此二线之度必等如自圜外甲至圜界
　　　　　　乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线
　　　　　　之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二
　　　　　　切线之末作二辐线则此二辐线为甲

　　　　　　乙甲丙之垂线矣(如本卷第/五节云)因其为垂
　　　　　　线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直
　　　　　　角(见首卷/第十节)再自丙至乙作一弦线即成
　　　　　　丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角
　　　　　　形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其
　　　　　　度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二
　　　　　　角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相
　　　　　　等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角
　　　　　　则所馀之甲乙丙甲丙乙二角亦自相

　　　　　　等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切

　　　　　　线为等角傍之两界线自然相等无疑
　　　　　　矣
　　　　　　第八
　　　　　　凡圜内两弦线若等其分圜弧面之积
　　　　　　必等自心至两弦所作垂线亦必等如
　　　　　　甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等则所
　　　　　　分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等
　　　　　　自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作

　　　　　　甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自
　　　　　　甲心至丙乙丁戊二弦之末各作辐线
　　　　　　即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三
　　　　　　角形之各界线必两两相等则此两三
　　　　　　角形内相等线所对之角亦必相等(见/二)
　　　　　　(卷第/七节)角既相等则等角相对弧界之丙
　　　　　　己乙丁庚戊二段亦必相等(见首卷第/十二节)
　　　　　　丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊
　　　　　　二弦线又等则丁庚戊壬之弧面积与

　　　　　　丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲

　　　　　　辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二弦为两
　　　　　　平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦
　　　　　　俱等三角形之各界线既两两相等而
　　　　　　三角形内各角又两两相等则平分丙
　　　　　　乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相
　　　　　　等矣
　　　　　　第九
　　　　　　凡弦线之所属有三种一为弧之切线

　　　　　　一为弧之割线一为弧之弦线欲取弧
　　　　　　界各角之度用此三线求之必得也如
　　　　　　甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线
　　　　　　复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂
　　　　　　线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙
　　　　　　辐线作戊己垂线则成三种线此三线
　　　　　　内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为
　　　　　　乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正
　　　　　　弦凡欲得各角弧界之度必于此三种

　　　　　　线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则

　　　　　　自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取
　　　　　　之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自
　　　　　　乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧
　　　　　　之度数焉
　　　　　　第十
　　　　　　一圜界内任于圜界一段至圜心作二
　　　　　　线至圜界作二线即成二角在圜心者
　　　　　　为心角在圜界者为界角设如甲乙丁

　　　　　　圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二
　　　　　　线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线
　　　　　　成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为
　　　　　　心角甲丁乙角为界角也
　　　　　　第十一
　　　　　　圜内之心角界角同立圜界之一段而
　　　　　　各角之二线所成之式又分为三种有
　　　　　　界角心角同用一线者有界角心角不
　　　　　　同用一线者有界角二线跨心角二线

　　　　　　者总之此三种心角皆大于界角一倍

　　　　　　如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界
　　　　　　甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲
　　　　　　丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙
　　　　　　丁二线则第一图之甲丁乙界角之乙
　　　　　　丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上
　　　　　　而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外
　　　　　　角与甲丁丙丙甲丁二内角等(见二卷/第五节)
　　　　　　其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其

　　　　　　度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁
　　　　　　二角亦必等(见二卷/第九节)今甲丙乙之外角
　　　　　　既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙
　　　　　　乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣
　　　　　　如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同
　　　　　　立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙
　　　　　　乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直
　　　　　　线之外则自丁角过圜之丙心至对界
　　　　　　作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大

　　　　　　心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界

　　　　　　角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角
　　　　　　即如第一图必倍于甲丁戊大界角而
　　　　　　乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界
　　　　　　角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小
　　　　　　心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小
　　　　　　界角则所馀之甲丙乙心角必大于所
　　　　　　馀之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲
　　　　　　丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角

　　　　　　二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界
　　　　　　角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过
　　　　　　圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即
　　　　　　成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁
　　　　　　戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁
　　　　　　戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊
　　　　　　界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃
　　　　　　甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界
　　　　　　角并之乃甲丁乙一界角今所分之二

　　　　　　心角既各倍于所分之界角则此所并

　　　　　　之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙
　　　　　　界角矣
　　　　　　第十二
　　　　　　凡自圜之弧线一段任作相切界角几
　　　　　　何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自
　　　　　　甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之
　　　　　　甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必
　　　　　　俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作

　　　　　　二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙
　　　　　　之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一
　　　　　　圜弧线之一段则心角必倍于界角然
　　　　　　则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊
　　　　　　乙心角之一半则此二角之度必等可
　　　　　　知矣
　　　　　　第十三
　　　　　　凡圜内心角所对弧线之度比界角所
　　　　　　对弧线之度少一半则二角之度必等

　　　　　　如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲

　　　　　　丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙
　　　　　　弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧
　　　　　　线之度少一半则甲乙丙心角之度必
　　　　　　与甲丁戊界角之度相等试自丁角过
　　　　　　圜之乙心至对界作丁乙己全径线复
　　　　　　自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲
　　　　　　乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二
　　　　　　界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界

　　　　　　角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界
　　　　　　角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲
　　　　　　丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己
　　　　　　己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁
　　　　　　己己丁戊二界角所并之度矣是以甲
　　　　　　丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心
　　　　　　角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊
　　　　　　弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己
　　　　　　己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙

　　　　　　心角度必与甲丁戊界角之度相等矣

　　　　　　第十四
　　　　　　凡圜内界角立于圜界之半者必为直
　　　　　　角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立
　　　　　　于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙
　　　　　　角必然为直角也自甲丁丙之半圜于
　　　　　　丁界为两平分复自丁界至圜心戊作
　　　　　　丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲
　　　　　　丁弧为圜界四分之一既为圜界四分

　　　　　　之一则必为直角(如首卷第/十节云)夫心角相
　　　　　　对弧线若为界角相对弧线之一半其
　　　　　　二角之度相等矣(如本卷第/十三节云)今甲戊丁
　　　　　　心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界
　　　　　　角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊
　　　　　　丁心角度必与甲乙丙界角度相等且
　　　　　　甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁
　　　　　　丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁
　　　　　　心角为直角而甲乙丙界角亦必为直

　　　　　　角矣

　　　　　　第十五
　　　　　　凡圜内界角其所对之弧过于圜界之
　　　　　　半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲
　　　　　　乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜
　　　　　　界之一半故其相对之甲乙丙角为钝
　　　　　　角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
　　　　　　戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
　　　　　　线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分

　　　　　　既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大
　　　　　　于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相
　　　　　　对之甲丁戊心角必为钝角(见首卷第/十一节)
　　　　　　夫心角相对之弧线比界角相对之弧
　　　　　　线少一半则二角之度必相等(如本卷/第十三)
　　　　　　(节/云)今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正
　　　　　　为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一
　　　　　　半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角
　　　　　　等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙

　　　　　　丙界角亦必为钝角矣

　　　　　　第十六
　　　　　　凡圜内界角其所对之弧不及圜界之
　　　　　　半者必为锐角如甲乙丙戊圜内之甲
　　　　　　乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜
　　　　　　界之一半故其相对之甲乙丙角为锐
　　　　　　角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
　　　　　　戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
　　　　　　线即成甲丁戊一心角此心角所对之

　　　　　　甲戊弧线既不足圜界四分之一则此
　　　　　　甲丁戊心角必为锐角矣(见首卷第/十一节)此
　　　　　　甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界
　　　　　　角所对之弧为一半则此二角之度必
　　　　　　等夫甲丁戊心角既为锐角则甲乙丙
　　　　　　界角亦必为锐角矣
　　　　　　第十七
　　　　　　凡函圜各界形之各线与圜界相切而
　　　　　　不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙

　　　　　　三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在

　　　　　　庚圜界之丁己戊三处相切而不相交
　　　　　　故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙
　　　　　　丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界
　　　　　　线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切
　　　　　　而不相交则谓之函圜切界四边形观
　　　　　　此二图则知函圜各界形必大于所函
　　　　　　圜界形之分矣
　　　　　　第十八

　　　　　　凡圜内直界形之各角止抵圜界而不
　　　　　　割出则谓之圜内所函各边形如甲乙
　　　　　　丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜
　　　　　　界相抵而不曾割出即谓之圜内所函
　　　　　　三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角
　　　　　　乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不
　　　　　　割出则谓之圜内所函四边形观此二
　　　　　　图则知函于圜界各界形必小于圜界
　　　　　　形之分矣

　　　　　　第十九

　　　　　　凡等边众界形或函圜或函于圜其界
　　　　　　数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙
　　　　　　丙丁等边三角形又函乙己丙庚丁戊
　　　　　　等边六角形以三角形之三边比之六
　　　　　　角形之六边则六角形之六边与圜界
　　　　　　相近矣设有十二角形之十二边比此
　　　　　　六角形之六边则十二角之十二边又
　　　　　　与圜界为近若有二十四角之二十四

　　　　　　边则又更近于十二角之十二边矣盖
　　　　　　函众界形之度必大于所函之众界形
　　　　　　度(见本卷第十/七十八两节)今甲圜既函等边六角
　　　　　　形自大于六角形而此六角形又函等
　　　　　　边三角形亦必大于三角形由此推之
　　　　　　十二角函六角二十四角函十二角其
　　　　　　边愈多者其度愈大故与圜界愈近也
　　　　　　又如复有一函圜等边四角形内又作
　　　　　　一函圜等边八角形此四角形既函八

　　　　　　角形必大于八角形可知矣若于八角

　　　　　　形内复作十六角形十六角形内又作
　　　　　　三十二角形其所函形愈小边数愈多
　　　　　　则与所函之圜界度愈近矣苟设一函
　　　　　　于圜界之多边形为几十万边(设函于/圜界之)
　　　　　　(多边形一自六边起/算一自四边起算)复设一函圜界之
　　　　　　多边形亦为几十万边(设函圜界之多/边形亦一自六)
　　　　　　(边起算一自/四边起算)使此函圜之多边形自外
　　　　　　与圜界相比而函于圜界之多边形自

　　　　　　内与圜界相比则此二多边形之每边
　　　　　　直界线将与圜界曲线合而为一故圜
　　　　　　界曲线可得直线之度而多边形之直
　　　　　　线亦可得为圜界度也
　　　　　　第二十
　　　　　　函圜切界等边形其所函圜之辐线度
　　　　　　与一直角三角形之小边之度等而等
　　　　　　边形之众界共度又与三角形之大边
　　　　　　之度等则三角形之面积与等边形之

　　　　　　面积等如丙丁戊己庚等边五角形其

　　　　　　所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角
　　　　　　三角形之辛壬小边线度等而五角形
　　　　　　之丙丁戊己庚五边线共度又与三角
　　　　　　形之壬癸大边线度等则此辛壬癸三
　　　　　　角形面积必与丙丁戊己庚等边五角
　　　　　　形面积等也何以见之若自五边形之
　　　　　　甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲
　　　　　　丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁

　　　　　　类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸
　　　　　　线度既与五角形之五边共度等今将
　　　　　　壬癸线平分五分以所分之每分为底
　　　　　　依前所分五三角形式作甲壬丙类五
　　　　　　正式三角形复自所分丙丁戊己四处
　　　　　　俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛
　　　　　　己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛
　　　　　　壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类
　　　　　　五三角形之甲角至底各作一甲乙垂

　　　　　　线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之

　　　　　　五三角形之高度亦自相等矣于是复
　　　　　　自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相
　　　　　　切作一辛子线与壬癸为平行线则此
　　　　　　平行线内同底所成之各种三角形之
　　　　　　面积必俱相等矣(见三卷/第十节)盖辛壬丙甲
　　　　　　壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁
　　　　　　两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三
　　　　　　角形为同底辛戊己甲戊己两三角形

　　　　　　为同底辛己癸甲己癸两三角形为同
　　　　　　底故其面积俱相等也且辛壬丙三角
　　　　　　形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬
　　　　　　丙之类五斜式三角形之面积即如甲
　　　　　　壬丙之类五正式三角形之面积矣其
　　　　　　所分各形之面积俱等则其全形之面
　　　　　　积自然相等此所以辛壬癸直角三角
　　　　　　形之面积与丙丁戊己庚等边五角形
　　　　　　之面积相等也

　　　　　　第二十一

　　　　　　圜界内函等边众界形其圜心至众界
　　　　　　所作中垂线与一直角三角形之小边
　　　　　　之度等而等边众界形之众界共度又
　　　　　　与直角三角形之大边之度等则此三
　　　　　　角形之面积与等边众界形之面积等
　　　　　　如甲圜所函乙丙丁戊己庚等边六角
　　　　　　形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线
　　　　　　与壬癸子直角三角形之壬癸小边线

　　　　　　度等而六角形之乙丙丁戊己庚六边
　　　　　　线共度又与三角形之癸子大边线度
　　　　　　等则此壬子癸三角形面积必与乙丙
　　　　　　丁戊己庚等边六角形面积等也若依
　　　　　　前节法将六边形分为六三角形复以
　　　　　　三角形之癸子界照六边形度分为六
　　　　　　分又照六边形所分六三角形作六正
　　　　　　式三角形复自壬子癸三角形之壬角
　　　　　　至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜

　　　　　　式三角形此两式三角形同底又同在

　　　　　　二平行线内则其面积必两两相等此
　　　　　　两式六三角形之垂线既与壬癸子直
　　　　　　角三角形之壬癸小边线度等而两式
　　　　　　六三角形之底线共度又与壬子癸直
　　　　　　角三角形之癸子大边线度等则壬癸
　　　　　　子直角三角形之面积必与乙丙丁戊
　　　　　　己庚等边六角形之面积相等矣
　　　　　　第二十二

　　　　　　凡圜形之辐线与一直角三角形之小
　　　　　　边线度等而圜之周界与三角形之大
　　　　　　边线度等则此直角三角形之面积与
　　　　　　圜形之面积相等如有一甲圜形其甲
　　　　　　乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁
　　　　　　小边线度等而甲圜形之乙周界又与
　　　　　　丙丁戊三角形之丁戊大边线度等则
　　　　　　此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形
　　　　　　之面积相等也何以见之甲圜之辐线

　　　　　　与三角形之小边等者即如等边众界

　　　　　　形之中垂线与三角形之小边等也甲
　　　　　　圜之周界与三角形之大边等者即如
　　　　　　等边众界形之各界共度与三角形之
　　　　　　大边等也若夫函圜众界形相等之三
　　　　　　角形其小边虽与圜之辐线等其大边
　　　　　　则长于圜之周线故其积分亦大于圜
　　　　　　之积分而函于圜众界形相等之三角
　　　　　　形其小边既短于圜之辐线而大边亦

　　　　　　短于圜之周线故其积分亦小于圜之
　　　　　　积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角
　　　　　　形其小边既与圜之辐线等面三角形
　　　　　　之大边又与圜之周线等则其积分与
　　　　　　圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲
　　　　　　线也等边众界形之界度直线也观之
　　　　　　似难于相通者如以圜之内外各设多
　　　　　　边众界形分为千万边(如本卷第/十九节云)则逼
　　　　　　圜界最近将合而为一乃依所分之段

　　　　　　为千万正式三角形此千万正式三角

　　　　　　形之中垂线亦将与圜之辐线合而为
　　　　　　一而千万边共界度既与圜周合而为
　　　　　　一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫
　　　　　　千万边正式三角形之中垂线既成圜
　　　　　　之辐线则与丙丁戊三角形之小边等
　　　　　　而千万边正式三角形之底界共度又
　　　　　　成圜之周度则又与丙丁戊三角形之
　　　　　　大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙

　　　　　　角至千万正式三角形之底界各作千
　　　　　　万斜式三角形以比正式三角形因其
　　　　　　㡳同其分自相等故千万斜式三角形
　　　　　　之共积比之千万正式三角形之共积
　　　　　　千万正式三角形之共积比之丙丁戊
　　　　　　一直角三角形之面积丙丁戊直角三
　　　　　　角形之面积比之甲圜形之面积俱相
　　　　　　等也
　　　　　　第二十三

　　　　　　有一圜形又一众界形此圜界度若与

　　　　　　彼众界总度等则圜形之面积必大于
　　　　　　众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之
　　　　　　周界与戊己庚辛等边四角形之四边
　　　　　　总度等则圜形之面积必大于等边四
　　　　　　角形之面积矣前言凡圜形之辐线与
　　　　　　一直角三角形之小边线度等而圜之
　　　　　　周界与三角形之大边线度等则三角
　　　　　　形之面积与圜形之面积相等矣今试

　　　　　　以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大
　　　　　　边以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三
　　　　　　角形之小边作一子丑寅直角三角形
　　　　　　则三角形之丑寅大边线度亦与戊己
　　　　　　庚辛四角形之四边总度等而三角形
　　　　　　之子丑小边线度虽与圜形甲壬辐线
　　　　　　等却比四角形之自壬心至癸边所作
　　　　　　垂线为长若将三角形之子丑小边线
　　　　　　照四角形之壬癸垂线度截开则分子

　　　　　　丑线于卯复自卯至寅作一斜弦即成

　　　　　　卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三
　　　　　　角形之分与戊己庚辛四角形相等也
　　　　　　此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分
　　　　　　之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲
　　　　　　乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角
　　　　　　形之面积等而戊己庚辛四角形之面
　　　　　　积又与卯丑寅三角形之面积等则戊
　　　　　　己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙

　　　　　　丁圜形之面积可知矣观此凡界度相
　　　　　　等之形圜界所函之分比众界所函之
　　　　　　分必大而众界所函之分与圜界所函
　　　　　　之分同者则众界之总度复比圜界度
　　　　　　大也

　　　　　　几何原本五
　　　　　　第一
　　　　　　平面之上所立直线无少偏倚其各边
　　　　　　所生之角必俱直则谓之平面上所立
　　　　　　垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线
　　　　　　不偏不倚此即为平面上所立之垂线
　　　　　　矣
　　　　　　第二

　　　　　　凡两平面相对其所立众垂线度俱各
　　　　　　相等则此相对之平面谓之平行面也
　　　　　　如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂
　　　　　　线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即
　　　　　　为平行面矣
　　　　　　第三
　　　　　　平面上复立一平面无少偏倚其两边
　　　　　　所成之角必皆为直角则谓之平面上
　　　　　　所立直面也如甲乙平面上所立之丙

　　　　　　丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此

　　　　　　即为平面上所立之直面矣
　　　　　　第四
　　　　　　凡各面相合其每面之角所合处复成
　　　　　　一种体角则谓之厚角夫厚角必自三
　　　　　　面合之乃成其面多者为各瓣相并所
　　　　　　成之厚角也如甲图四面为四瓣相并
　　　　　　所生之厚角乙图五面为五瓣相并所
　　　　　　生之厚角是己

　　　　　　第五
　　　　　　凡各面相并所成之厚角如将各面计
　　　　　　之则其众角所合之分必不足于四直
　　　　　　角度也如甲图五面合成之厚角若将
　　　　　　其五面展开使平作乙丙丁戊己平面
　　　　　　之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙
　　　　　　丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之
　　　　　　周界矣因其不满于圜之周界故比四
　　　　　　直角为不足也或以四直角分强欲作

　　　　　　一厚角则其瓣过于大必不能成平面

　　　　　　所合之厚角矣
　　　　　　第六
　　　　　　凡等边三面所合厚角其三面内之两
　　　　　　面角并之必大于一直角度也如甲丙
　　　　　　乙丁之等边三面所合之甲厚角将乙
　　　　　　甲丙丙甲丁二面并之必大于一直角
　　　　　　度矣依前节法将甲厚角展开使平虽
　　　　　　不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之

　　　　　　二而并之则较之一直角度为大焉何
　　　　　　以见之夫三面展开其所离之虚分仍
　　　　　　有三面之分以三面之实分合三面之
　　　　　　虚分则为六角之全形此六角之全形
　　　　　　得四直角度矣六角而得四直角则三
　　　　　　角必得二直角三角既得二直角则二
　　　　　　角相并必大于一直角可知矣
　　　　　　第七
　　　　　　凡平面二线交处作一垂线正立而无

　　　　　　偏倚此线任在平面各处俱为垂线如

　　　　　　甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交
　　　　　　己处作一戊己垂线正立而不偏倚则
　　　　　　此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一
　　　　　　处俱为垂线也假使戊己垂线不能正
　　　　　　立而有所偏倚则如壬己线近于辛而
　　　　　　离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚
　　　　　　则偏向于丁丙而远于甲乙而壬己丁
　　　　　　壬己丙之二角为锐角壬己甲壬己乙

　　　　　　之二角为钝角矣戊己既如壬己则不
　　　　　　得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之
　　　　　　垂线矣
　　　　　　第八
　　　　　　众线交处立一垂线其各角若俱直此
　　　　　　所交各线必在一平面也如甲丙乙丁
　　　　　　庚辛之三线相交处立一戊己垂线其
　　　　　　与众线相接各角若俱直则此相交之
　　　　　　三线必在一平面也夫众线之相交固

　　　　　　在平面而垂线之所立正所以考面或

　　　　　　一角不直则不得谓之平面矣
　　　　　　第九
　　　　　　平面上若立二垂线必互为平行线如
　　　　　　甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂
　　　　　　线则此二线互为平行线也试自辛过
　　　　　　己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂
　　　　　　线所立之分必正其在甲乙丙丁平面
　　　　　　上任指何处所生之角俱是直角(见本/卷首)

　　　　　　(节/)故戊己壬庚辛己二角俱为直角而
　　　　　　相等也且此二角又为二线与一线相
　　　　　　交所成之内外角其度既等则戊己庚
　　　　　　辛二线必为平行线矣(如首卷第/二十一节)
　　　　　　第十
　　　　　　有二线与一垂线平行虽不在平面之
　　　　　　一界此三线亦互相为平行线也如甲
　　　　　　乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不
　　　　　　立于一直线上虽不居平面之一界此

　　　　　　三线亦必互为平行线也试于甲乙丙

　　　　　　丁戊己三线之末作一庚辛平面此平
　　　　　　面上之戊己线为垂线其四围平面所
　　　　　　生之各角俱是直角矣复自乙过己自
　　　　　　丁过己作相交二线则成甲乙己戊己
　　　　　　壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角
　　　　　　俱为平行线一边之内外角俱为相等
　　　　　　角矣(见首卷第/二十一节)而甲乙己丙丁己二角
　　　　　　亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛

　　　　　　平面上所生之角皆直又皆与戊己垂
　　　　　　线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆
　　　　　　得为垂线其与戊己线为互相平行之
　　　　　　三线可知矣
　　　　　　第十一
　　　　　　相对二平面之间横一直线此线在二
　　　　　　平面上所生角若俱直则此相对二面
　　　　　　互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁
　　　　　　壬二平面之间横一戊己直线此戊己

　　　　　　线末所抵处其四围俱成直角则此二

　　　　　　平面互相为平行面矣试将此二平面
　　　　　　之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相
　　　　　　交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横
　　　　　　线于二平面各界所生之角俱为直角
　　　　　　如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所
　　　　　　生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相
　　　　　　等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣
　　　　　　又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦

　　　　　　相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行
　　　　　　矣相对二平面之上所有之相当各二
　　　　　　线既俱同为平行线则相对之二平面
　　　　　　自然互为平行面矣
　　　　　　第十二
　　　　　　有二平行面横交一面其相交处所生
　　　　　　二线必平行如甲乙丙丁平行二面上
　　　　　　横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交
　　　　　　处所生二线亦俱平行也何以言之庚

　　　　　　辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲

　　　　　　乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁
　　　　　　二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同
　　　　　　为平行线且又在戊己一平面内其分
　　　　　　自然相对故此二平面与一平面相交
　　　　　　之缝线亦得为平行也
　　　　　　第十三
　　　　　　凡各种面内所积之实为体而皆因其
　　　　　　面以名之焉如全体不成角度止现圆

　　　　　　之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体
　　　　　　各面俱平各边相等所成各角又等则
　　　　　　谓之平面正方体丙丁图是也全体各
　　　　　　面虽平体长而面成两式其相对各面
　　　　　　仍两两相等相对各边则又平行角又
　　　　　　相等此谓之平行长方体戊己图是也
　　　　　　体有曲平两面相杂而不成等边等面
　　　　　　则谓之底平半圆体庚辛图是也全体
　　　　　　相对之各面不平行上下两面平行则

　　　　　　谓之上下面平行体壬癸图是也体圆

　　　　　　而上下面俱平则谓之长圆体子图是
　　　　　　也底为平面其各面俱合于一角而成
　　　　　　厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三
　　　　　　瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众
　　　　　　角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是
　　　　　　也又或底面圆而渐锐成形则谓之尖
　　　　　　圆体辰图是也
　　　　　　第十四

　　　　　　凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故
　　　　　　其外皮面积亦生于圜界一旋转之度
　　　　　　分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙
　　　　　　径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋
　　　　　　转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形
　　　　　　体如取甲乙戊己平行面之长圆形则
　　　　　　以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转
　　　　　　式旋转复还于原处即成甲乙戊己一
　　　　　　长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以

　　　　　　甲乙中线为枢心将甲丁边线作转式

　　　　　　旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖
　　　　　　圆体矣
　　　　　　第十五
　　　　　　凡各体形其各面平行相当则相对两
　　　　　　边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体
　　　　　　其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面
　　　　　　俱各平行故相对二面之积自两两相
　　　　　　等也

　　　　　　第十六
　　　　　　凡体面式不一而积等者为积数相等
　　　　　　之体面式既同而体积又等者为面式
　　　　　　体积全等之体如甲乙二体为积数相
　　　　　　等之体也丙丁二体为面式体积全等
　　　　　　之体也
　　　　　　第十七
　　　　　　凡平行面之长方体自一面之对角线
　　　　　　平分为两三棱体此两三棱体必为面

　　　　　　式体积全等之体矣如甲乙平行面长

　　　　　　方体自丙丁二角至相对戊己二角分
　　　　　　为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为
　　　　　　面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛
　　　　　　丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角
　　　　　　线均分为两三角形面则所分之戊庚
　　　　　　丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面
　　　　　　积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面
　　　　　　又互为平行必两两相等再对角线分

　　　　　　成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一
　　　　　　界所分必各相等今所分二形之各面
　　　　　　既各相等则其积必等而为面式体积
　　　　　　全等体无疑矣
　　　　　　第十八
　　　　　　凡平行二平面之间若同底立各平行
　　　　　　体其积必相等设甲乙丙丁平行二平
　　　　　　面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二
　　　　　　平行体其积俱相等何也盖因壬戊己

　　　　　　子丑寅平面三角形之壬戊己子面与

　　　　　　卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚
　　　　　　辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角
　　　　　　形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平
　　　　　　面三角形之癸辛庚午面平行故其各
　　　　　　面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅
　　　　　　午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其
　　　　　　度亦必相等此二面之度既等则壬子
　　　　　　寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其

　　　　　　上下各面度既等而平面两三角形之
　　　　　　各面各边度又俱等则此壬庚癸己二
　　　　　　平行体之积必然相等也可知矣
　　　　　　第十九
　　　　　　凡平行平面之间所有立于等积底之
　　　　　　各平行体其积必俱相等设如甲乙丙
　　　　　　丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸
　　　　　　子丑二等积之底立一寅庚正面平行
　　　　　　体一卯子斜面平行体此二体之积必

　　　　　　相等试自寅庚正面平行体之戊己庚

　　　　　　辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未
　　　　　　面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯
　　　　　　庚二体立于戊己庚辛之一底其积相
　　　　　　等矣(如前节/所云)而卯子卯庚二体又同立
　　　　　　于卯辰午未之面其积亦必相等是以
　　　　　　寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱
　　　　　　与卯庚平行体相等故云凡平行平面
　　　　　　之间所有立于等积底之各平行体其

　　　　　　积必俱相等也
　　　　　　第二十
　　　　　　平行平面之间有立于等积三角底之
　　　　　　各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平
　　　　　　行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积
　　　　　　三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体
　　　　　　此二体积必相等何以见之若以此二
　　　　　　体之上边二面之戊辰辰己二界平行
　　　　　　作戊未己未二线辛午壬午二界平行

　　　　　　作辛申壬申二线又于此二体之下边

　　　　　　　二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
　　　　　　　丑二线寅癸癸卯二界平行作寅戌戌
　　　　　　　卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
　　　　　　　卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
　　　　　　　角线其度相等(见三卷/第三节)其分比三角面
　　　　　　　各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
　　　　　　　处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
　　　　　　　庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑

　　　　　　　戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
　　　　　　　庚申癸平行面之二方体亦自相等(见/本)
　　　　　　　(卷第十/九节)此未庚申癸平行面二方体既
　　　　　　　各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
　　　　　　　未庚申癸二方体之正一半其积必等
　　　　　　　无疑矣
　　　　　　　第二十一
　　　　　　　凡各种体形难以图显盖以图止一面
　　　　　　　故也必用木石制之始能相肖况此各

　　　　　　　种形体又或有外实而内空者必按其

　　　　　　形以求其理始可发明其精蕴矣
　　　　　　第二十二
　　　　　　凡各面所成体形内其各面俱平行或
　　　　　　上下面为平行而立于等积之底其体
　　　　　　之高又等则其体之积亦相等如甲乙
　　　　　　体其各面俱平行又如丙丁体其上下
　　　　　　面平行立于等积之底其高又等或又
　　　　　　如戊己体其上下面平行圆面积又等

　　　　　　高又等则其两两体积必相等矣又如
　　　　　　庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之
　　　　　　底其体之高若等则其体之积亦相等
　　　　　　何以见之若将众尖体分为平行底之
　　　　　　众小体其所分众小体之底度高度必
　　　　　　俱相等如子丑图其所分小体之积俱
　　　　　　等故其全体之积亦相等也
　　　　　　第二十三
　　　　　　凡上下面平行各体与平底尖体同底

　　　　　　同高者不论平面圆面其平底尖体皆

　　　　　　得上下面平行体三分之一如甲乙上
　　　　　　下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体
　　　　　　其乙丁两底积等甲乙丙丁两高度又
　　　　　　等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等
　　　　　　如戊己上下面平行之三棱体与庚辛
　　　　　　三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛
　　　　　　两高度又等则戊己三棱体与庚辛尖
　　　　　　体三形等又如壬癸上下面平行之长

　　　　　　圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等
　　　　　　壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体
　　　　　　与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆
　　　　　　体与甲乙戊己类体同底同高则壬癸
　　　　　　长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所
　　　　　　合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚
　　　　　　辛类尖体同底同高则子丑尖圆体三
　　　　　　倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫
　　　　　　同底同高上下面平行体既俱为尖体

　　　　　　之三倍则尖体为上下面平行体三分

　　　　　　之一可知矣(盖甲乙戊己壬癸各体其/式虽不同苟底积高度相)
　　　　　　(等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式/虽不同苟底积高度相等其积亦必等)
　　　　　　(故知丙丁庚辛子丑平底尖体互为甲/乙戊己壬癸上下面平行各体三分之)
　　　　　　(一也如将上下面平行各体以木石为/之分作同底同高之各平底尖体用权)
　　　　　　(衡以较其分量则各体/之积分自昭然可见矣)
　　　　　　第二十四
　　　　　　凡长圆体外周面积与长方体底面积
　　　　　　相等而长圆体半径又与长方体高度

　　　　　　相等则长圆体积必得长方体积之半
　　　　　　也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积
　　　　　　与戊己长方体之庚己底面积等而长
　　　　　　圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚
　　　　　　高度等则此甲乙丙丁长圆体积必得
　　　　　　戊己长方体积之一半也试将甲乙丙
　　　　　　丁长圆体从壬癸中线至周围外面分
　　　　　　为千万分则成子丑己类千万长尖体
　　　　　　此千万长尖体之高与长圆体之壬子

　　　　　　半径等而千万长尖体之共底即长圆

　　　　　　体之周围外面积则此千万长尖体必
　　　　　　为戊己长方体之一半矣盖寅己辛三
　　　　　　角面为午己长方面之一半(见三卷/第三节)而
　　　　　　此子丑己类众三角面与寅己辛三角
　　　　　　面等(见四卷第/二十节)子丑己类众三角面既
　　　　　　与寅己辛三角面等则子丑己类众长
　　　　　　尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等
　　　　　　此卯辰庚辛己寅三角体固为戊己长

　　　　　　方体之一半今长圆体所分之众长尖
　　　　　　体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦
　　　　　　必为戊己长方体之一半故甲乙丙丁
　　　　　　长圆体为戊己长方体之一半也
　　　　　　第二十五
　　　　　　凡球体外面积与尖圆体之底积等而
　　　　　　球体之半径与尖圆体之高度等则此
　　　　　　球体之积与尖圆体之积等也如甲乙
　　　　　　丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体

　　　　　　之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径

　　　　　　与尖圆体之己壬高度等则此球体之
　　　　　　积为与尖圆体之积等也试将球体从
　　　　　　中心分为千万尖体复将尖圆体亦分
　　　　　　为千万尖体则球体所分尖体每一分
　　　　　　必皆与尖圆体所分尖体一分等何也
　　　　　　盖球体所分尖体皆以球体之外面为
　　　　　　底而以球体之甲戊半径为高其尖圆
　　　　　　体所分尖体皆以尖圆体之底为底而

　　　　　　以尖圆体之己壬高为高夫尖圆体之
　　　　　　底积原与球体之外面积等而尖圆体
　　　　　　之高度又与球体甲戊半径等故此两
　　　　　　种千万尖体皆为同底同高其积相等
　　　　　　无疑矣(见本卷第/十八节)然此两种千万尖体
　　　　　　即球体尖圆体之所分其所分之体既
　　　　　　等则原体亦必相等可知故曰球体与
　　　　　　尖圆体俱相等也
　　　　　　第二十六

　　　　　　凡各形外皮面积相等之体惟圆体所

　　　　　　函之积数大于他种各体所函之积如
　　　　　　甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆
　　　　　　体所函之积必大于乙丙丁直界体所
　　　　　　函之积也何也大凡圆形其半圆周一
　　　　　　旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一
　　　　　　次旋转即成甲圆体(见本卷第/十四节)又凡平
　　　　　　面圆界所函之积必大于等边各形所
　　　　　　函之积(见四卷第/二十三节)平面圆界所函犹大

　　　　　　于各等边所函之积则圆体所函必大
　　　　　　于各直界体所函之积可知矣
　　　　　　第二十七
　　　　　　厚角所成等面体形有五种各以面数
　　　　　　而名之其一为四面体每面有三角各
　　　　　　三角之各三界度俱等如甲图是也二
　　　　　　为六面体每面俱为正方其方面之四
　　　　　　角俱为直角而各界互等故又为正方
　　　　　　体如乙图是也三为八面体每面有三

　　　　　　角各三角之各三界度俱等如丙图是

　　　　　　也四为十二面体每面有五角各五角
　　　　　　之五界度俱等如丁图是也五为二十
　　　　　　面体每面有三角各三角之各三界度
　　　　　　俱等如戊图是也
　　　　　　第二十八
　　　　　　前节发明五种厚角所成等面体形之
　　　　　　外不能复生他形盖此五种厚角体俱
　　　　　　是等边三角四角五角之平面相合所

　　　　　　成也凡平面自三界以下不能成面(见/二)
　　　　　　(卷首/节)而厚角自三面以下亦不能成角
　　　　　　故厚角自三面始如甲四面体其四厚
　　　　　　角皆三平面三角形所合而成也乙八
　　　　　　面体其六厚角皆四平面三角形所合
　　　　　　而成也丙二十面体其十二厚角皆五
　　　　　　平面三角形所合而成也然平面三角
　　　　　　形所合过于五形则不能成厚角故平
　　　　　　面六三角形合于一处即成庚形其甲

　　　　　　乙丙丁戊己六角相合与四直角等(见/首)

　　　　　　(卷第十/五节)既与四直角等则为平面不成
　　　　　　厚角矣(如本卷/第五节)六形相合尚不能成厚
　　　　　　角况多形乎是故平面三角形所生厚
　　　　　　角体仅得四面八面二十面三种而已
　　　　　　若夫平面正方四角形所成厚角如丁
　　　　　　六面正方体其八厚角皆三平面四角
　　　　　　形所合而成此外更无他形若将四平
　　　　　　面四角形合于一处即成辛形其甲乙

　　　　　　丙丁四角既俱为直角必不能成厚角
　　　　　　矣故四角形所生厚角仅有一六面正
　　　　　　方体而已至于平面五角形所成厚角
　　　　　　如戊十二面体其二十厚角皆三平面
　　　　　　五角形所合而成此外更无他形也或
　　　　　　将四平面五角形如癸子丑寅之四角
　　　　　　合于壬此四角俱为钝角必大于四直
　　　　　　角既大于四直角在平面尚不能相合
　　　　　　厚角岂能成耶是以平面五角形所成

　　　　　　之厚角仅有一十二面体而已或将平

　　　　　　　面六角形之三形合于一处为癸其甲
　　　　　　　乙丙三角度与四直角等故不成厚角
　　　　　　　六角平面相合既不成厚角其七角八
　　　　　　　角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
　　　　　　　面八面十二面二十面五种体只在三
　　　　　　　角四角五角三种平面形所生此外不
　　　　　　　能复成他形也
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴上编卷二