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卷二 第 1a 页 WYG0799-0020c.png
钦定四库全书
御制数理精蕴上编卷二
几何原本一
几何原本二
几何原本三
几何原本四
几何原本五
御制数理精蕴上编卷二
几何原本一
几何原本二
几何原本三
几何原本四
几何原本五
卷二 第 2a 页 WYG0799-0021a.png
几何原本一
第一
凡论数度必始于一点自点引之而为
线自线广之而为面自而积之而为体
是名三大纲是以有长而无阔者谓之
线有长与阔而无厚者谓之面长与阔
厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其
间不能容分不可以数度然线之两端
第一
凡论数度必始于一点自点引之而为
线自线广之而为面自而积之而为体
是名三大纲是以有长而无阔者谓之
线有长与阔而无厚者谓之面长与阔
厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其
间不能容分不可以数度然线之两端
卷二 第 2b 页 WYG0799-0021b.png WYG0799-0021c.png
即点而线面体皆由此生点虽不入于
数实为众数之本
第二
线有直曲两种其二线之一端相合一
端渐离必成一角二线若俱直者谓之
直线角一线直一线曲者谓之不等线
角二线俱曲者谓之曲线角
第三
凡角之大小皆在于角空之宽狭出角
数实为众数之本
第二
线有直曲两种其二线之一端相合一
端渐离必成一角二线若俱直者谓之
直线角一线直一线曲者谓之不等线
角二线俱曲者谓之曲线角
第三
凡角之大小皆在于角空之宽狭出角
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之二线即如规之两股渐渐张去自然
卷二 第 3a 页 WYG0799-0022a.png
开宽是以命角不论线之长短止看角
之大小如丙角两线虽长其开股之空
狭遂为小角若丁角两线虽短其开股
之空宽遂成大角矣
第四
凡命角必用三字为记如甲乙丙三角
形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云
甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也
之大小如丙角两线虽长其开股之空
狭遂为小角若丁角两线虽短其开股
之空宽遂成大角矣
第四
凡命角必用三字为记如甲乙丙三角
形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云
甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也
卷二 第 3b 页 WYG0799-0022b.png WYG0799-0022c.png
亦有单举一字者则其所举之一字即
是所指之角也(如单言甲角乙/角丙角之类)
第五
凡有一线以此线之一端为枢复以此
线之一端为界旋转一周即成一圜如
甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转
复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线
谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜
面
是所指之角也(如单言甲角乙/角丙角之类)
第五
凡有一线以此线之一端为枢复以此
线之一端为界旋转一周即成一圜如
甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转
复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线
谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜
面
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第六
卷二 第 4a 页 WYG0799-0023a.png
凡圜界不拘长短其分界之所即为弧
线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱
为弧线因其形似弧故名之
第七
凡圜自一界过圜心至相对之界画一
直线将一圜为两平分则为圜径如乙
丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过
甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊
线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱
为弧线因其形似弧故名之
第七
凡圜自一界过圜心至相对之界画一
直线将一圜为两平分则为圜径如乙
丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过
甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊
卷二 第 4b 页 WYG0799-0023b.png WYG0799-0023c.png
画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也
第八
凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐
线其度俱相等因平分全径之半故又
谓之半径线
第九
凡圜界皆以所对之角而命其弧而角
又以所对之弧而命其度盖角度俱在
圜界而圜界为角度之规也如乙角为
第八
凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐
线其度俱相等因平分全径之半故又
谓之半径线
第九
凡圜界皆以所对之角而命其弧而角
又以所对之弧而命其度盖角度俱在
圜界而圜界为角度之规也如乙角为
卷二 第 4b 页 WYG0799-0023b.png WYG0799-0023c.png
心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙
卷二 第 5a 页 WYG0799-0024a.png
弧而甲丙弧即乙角之度也
第十
凡角相对之弧得圜界四分之一者此
角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜
甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一
半径将半圜界又分为两平分则成甲
乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界
四分之一则此二角为直角也若自丁
第十
凡角相对之弧得圜界四分之一者此
角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜
甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一
半径将半圜界又分为两平分则成甲
乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界
四分之一则此二角为直角也若自丁
卷二 第 5b 页 WYG0799-0024b.png WYG0799-0024c.png
界过乙心至圜界戊处画一直线又成
丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相
等之直角矣故凡画一直线交于别线
其所成之角若直此线谓之垂线盖因
平分圜界为四其四弧相对之四角必
相等而皆为直角则其二径相交必互
为垂线可知矣
第十一
凡角相对之弧不足圜界四分之一者
丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相
等之直角矣故凡画一直线交于别线
其所成之角若直此线谓之垂线盖因
平分圜界为四其四弧相对之四角必
相等而皆为直角则其二径相交必互
为垂线可知矣
第十一
凡角相对之弧不足圜界四分之一者
卷二 第 5b 页 WYG0799-0024b.png WYG0799-0024c.png
谓之锐角若过四分之一者谓之钝角
卷二 第 6a 页 WYG0799-0025a.png
故自圜径中心复画一辐线而不平分
半圜之界则成一锐角一钝角如甲己
丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲
己丙之半圜界不两平分于丁处画一
辐线遂成丙乙丁一锐角甲乙丁一钝
角再将丁乙线引于相对圜界戊处画
一丁乙戊径线复成甲乙戊一锐角丙
乙戊一钝角合前二角总为四角矣故
半圜之界则成一锐角一钝角如甲己
丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲
己丙之半圜界不两平分于丁处画一
辐线遂成丙乙丁一锐角甲乙丁一钝
角再将丁乙线引于相对圜界戊处画
一丁乙戊径线复成甲乙戊一锐角丙
乙戊一钝角合前二角总为四角矣故
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凡二角两尖相对谓之对角二角两尖
相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角
之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙
丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角
也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并
而同出一线则谓之并角矣
第十二
凡一圜内设两角此一角相对之弧与
彼一角相对之弧其限若等则此二角
相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角
之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙
丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角
也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并
而同出一线则谓之并角矣
第十二
凡一圜内设两角此一角相对之弧与
彼一角相对之弧其限若等则此二角
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之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙
卷二 第 7a 页 WYG0799-0026a.png
丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之
甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊
角其度亦相等也
第十三
凡有一圜其径线之中心作相并之二
角此二角之度必与二直角等如甲丙
丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙
丙甲乙丁之相并二角此二角之度必
甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊
角其度亦相等也
第十三
凡有一圜其径线之中心作相并之二
角此二角之度必与二直角等如甲丙
丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙
丙甲乙丁之相并二角此二角之度必
卷二 第 7b 页 WYG0799-0026b.png WYG0799-0026c.png
与二直角相等也
第十四
凡一直线交于他直线其所成之二角
或为二直角或与二直角等如丙乙丁
直线上画一甲乙直线至于乙处即成
甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙
乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处
复成丙乙戊一锐角丁乙戊一钝角此
二角必与二直角相等也再申明之以
第十四
凡一直线交于他直线其所成之二角
或为二直角或与二直角等如丙乙丁
直线上画一甲乙直线至于乙处即成
甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙
乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处
复成丙乙戊一锐角丁乙戊一钝角此
二角必与二直角相等也再申明之以
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乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁
卷二 第 8a 页 WYG0799-0027a.png
线为圜之径线必将圜界平分为两平
分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲
乙线又将半圜界平分为两平分则此
二角各相对之弧皆为一圜界四分之
一而各为一直角可知矣又如戊乙线
将半圜界虽不两平分而成一锐角一
钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所
限半圜界度为全圜界四分之二故与
分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲
乙线又将半圜界平分为两平分则此
二角各相对之弧皆为一圜界四分之
一而各为一直角可知矣又如戊乙线
将半圜界虽不两平分而成一锐角一
钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所
限半圜界度为全圜界四分之二故与
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二直角相等也
第十五
凡自一心画为众线其所成之角虽多
止与四直角相等如自甲心至乙至丙
至丁至戊至已画众辐线虽成众角其
各角所函之度必与四直角等盖因甲
点为心众辐线皆立一圜之界故众角
所对之弧总不越一圜之全度前言一
圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多
第十五
凡自一心画为众线其所成之角虽多
止与四直角相等如自甲心至乙至丙
至丁至戊至已画众辐线虽成众角其
各角所函之度必与四直角等盖因甲
点为心众辐线皆立一圜之界故众角
所对之弧总不越一圜之全度前言一
圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多
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亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止
卷二 第 9a 页 WYG0799-0028a.png
与四直角等也
第十六
凡两直线相交所成二对角之度必俱
相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲
戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必
俱相等今以二线相交之处为心旋转
画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜
之径线矣惟其俱为径线故将一圜为
第十六
凡两直线相交所成二对角之度必俱
相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲
戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必
俱相等今以二线相交之处为心旋转
画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜
之径线矣惟其俱为径线故将一圜为
卷二 第 9b 页 WYG0799-0028b.png WYG0799-0028c.png
两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之
半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半
圜界因两半圜界俱系全圜径线故相
交成对角其度必等兹将甲丙乙之半
圜界减去甲丙弧即馀丙乙弧丙甲丁
之半圜界亦减去丙甲弧又馀甲丁弧
凡两相等之弧减去一段相等之弧所
馀之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半
圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则
半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半
圜界因两半圜界俱系全圜径线故相
交成对角其度必等兹将甲丙乙之半
圜界减去甲丙弧即馀丙乙弧丙甲丁
之半圜界亦减去丙甲弧又馀甲丁弧
凡两相等之弧减去一段相等之弧所
馀之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半
圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则
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所馀丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣
卷二 第 10a 页 WYG0799-0029a.png
此二弧之度既俱相等则所对之甲戊
丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣
其馀甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊
乙同理故其所对之角度亦必相等也
第十七
凡大小圜界俱定为三百六十度而一
度定为六十分一分定为六十秒一秒
定为六十微一微定为六十纤夫圜界
丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣
其馀甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊
乙同理故其所对之角度亦必相等也
第十七
凡大小圜界俱定为三百六十度而一
度定为六十分一分定为六十秒一秒
定为六十微一微定为六十纤夫圜界
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定为三百六十度者取其数无奇零便
于布算即徵之经传亦皆符合也(易曰/凡三)
(百有六十当期之日邵子曰三百六十/中分之得一百八十为二至二分相去)
(之/数)度下皆以六十起数者以三百六十
乃六六所成以六十度之可得整数也
凡有度之圜界可度角分之大小如甲
乙丙角欲求其度则以有度之圜心置
于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜
界之几度如容九十度即是甲乙丙直
于布算即徵之经传亦皆符合也(易曰/凡三)
(百有六十当期之日邵子曰三百六十/中分之得一百八十为二至二分相去)
(之/数)度下皆以六十起数者以三百六十
乃六六所成以六十度之可得整数也
凡有度之圜界可度角分之大小如甲
乙丙角欲求其度则以有度之圜心置
于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜
界之几度如容九十度即是甲乙丙直
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角(何以知为直角因九十度为全圜三/百六十度之四分之一前言凡角得)
卷二 第 11a 页 WYG0799-0030a.png
(圜界四分之一者为直/角故知其为直角也)若过九十度者
为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙
戊锐角观此三角之度其馀可类推矣
第十八
凡二线之间宽狭相离之分俱等则此
二线谓之平行线也
第十九
欲求平行线之间相距几何则自上一
为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙
戊锐角观此三角之度其馀可类推矣
第十八
凡二线之间宽狭相离之分俱等则此
二线谓之平行线也
第十九
欲求平行线之间相距几何则自上一
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线不拘何处至下一线画二纵线则此
二线为相距度分也如甲乙丙丁二线
平行自上线甲乙二处至下线丙丁二
处画二纵线则此二线为相等线其度
必等然则甲乙丙丁相对之间其相距
之远近不已见耶
第二十
平行二线虽引至于无穷其端必不能
相合盖二线相离之度各处远近俱为
二线为相距度分也如甲乙丙丁二线
平行自上线甲乙二处至下线丙丁二
处画二纵线则此二线为相等线其度
必等然则甲乙丙丁相对之间其相距
之远近不已见耶
第二十
平行二线虽引至于无穷其端必不能
相合盖二线相离之度各处远近俱为
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相等故也如甲乙丙丁平行二线随意
卷二 第 12a 页 WYG0799-0031a.png
引于戊己又自戊至己画一纵线其度
亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线
虽引至于无穷其端终不能相合也
第二十一
凡平行二线或纵或斜画一直线交加
于上则平行线上所成之二角必俱相
等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛
斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之
亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线
虽引至于无穷其端终不能相合也
第二十一
凡平行二线或纵或斜画一直线交加
于上则平行线上所成之二角必俱相
等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛
斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之
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戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于
戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而
向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若
甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直
线相交成二角则此二角必然相等矣
第二十二
凡平行二线上画一斜线则成八角此
八角度有相等者必是对角或内外角
如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其
戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而
向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若
甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直
线相交成二角则此二角必然相等矣
第二十二
凡平行二线上画一斜线则成八角此
八角度有相等者必是对角或内外角
如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其
卷二 第 12b 页 WYG0799-0031b.png WYG0799-0031c.png
两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二
卷二 第 13a 页 WYG0799-0032a.png
角其度亦相等因其在平行二线之内
外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角
其度亦相等因其俱在平行二线之内
而立斜线之左右故又谓之相对错角
又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因
其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己
辛二角其度亦相等因其俱在平行二
线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二
外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角
其度亦相等因其俱在平行二线之内
而立斜线之左右故又谓之相对错角
又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因
其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己
辛二角其度亦相等因其俱在平行二
线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二
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角其度亦相等因其又俱在平行二线
之内故又谓之内角总之二平行线上
交以斜线所成八角必两两相等也
第二十三
平行线上一边之二内角或一边之二
外角与二直角相等如丁己戊角与丙
己戊角为并角则此二并角与二直角
等前第十四节云凡一直线交于他直
线所成二角必与二直角相等则此二
之内故又谓之内角总之二平行线上
交以斜线所成八角必两两相等也
第二十三
平行线上一边之二内角或一边之二
外角与二直角相等如丁己戊角与丙
己戊角为并角则此二并角与二直角
等前第十四节云凡一直线交于他直
线所成二角必与二直角相等则此二
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角同出于一直线为并角故亦与二直
卷二 第 14a 页 WYG0799-0033a.png
角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角
而亦为并角此二并角亦与二直角等
也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛
丁己辛二并角亦与二直角等也
第二十四
有平行二线复与一线相平行者此三
线互相为平行线也如甲乙丙丁二线
之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁
而亦为并角此二并角亦与二直角等
也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛
丁己辛二并角亦与二直角等也
第二十四
有平行二线复与一线相平行者此三
线互相为平行线也如甲乙丙丁二线
之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁
卷二 第 14b 页 WYG0799-0033b.png
戊己三线互相为平行线也照前第二
十一节在此三线上画一庚辛壬斜线
则所成之庚辛二角必相等而辛壬二
角亦必等也三线之与斜线相交所成
之角既各相等则三线互为平行可知
矣
十一节在此三线上画一庚辛壬斜线
则所成之庚辛二角必相等而辛壬二
角亦必等也三线之与斜线相交所成
之角既各相等则三线互为平行可知
矣
卷二 第 15a 页 WYG0799-0033c.png
几何原本二
第一
凡各种界所成俱谓之形其直界所成
者为直界形曲界所成者为曲界形凡
直界所成各形未有少于三角形界者
故三角形为诸形之首
第二
凡三角形一角直者为直角三角形一
第一
凡各种界所成俱谓之形其直界所成
者为直界形曲界所成者为曲界形凡
直界所成各形未有少于三角形界者
故三角形为诸形之首
第二
凡三角形一角直者为直角三角形一
卷二 第 15b 页 WYG0799-0033d.png WYG0799-0034a.png
角钝者为钝角三角形三角俱锐者为
锐角三角形
第三
凡三角形其三边线度等者为等边三
角形两边线度等者为两等边三角形
三边线度俱不等者为不等边三角形
第四
凡三角形之三角度相并必与二直角
度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙
锐角三角形
第三
凡三角形其三边线度等者为等边三
角形两边线度等者为两等边三角形
三边线度俱不等者为不等边三角形
第四
凡三角形之三角度相并必与二直角
度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙
卷二 第 15b 页 WYG0799-0033d.png WYG0799-0034a.png
线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与
卷二 第 16a 页 WYG0799-0034c.png
丙角为二尖交错之二角其度必相等
(见首卷第/二十二节)而甲角与甲乙丁角为甲丙
乙丁二平行线内一边之二内角与二
直角等(见首卷第/二十三节)今于甲乙丁直角内
减丙乙丁角所馀为甲乙丙角丙乙丁
角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合
成之一直角与甲角之一直角非二直
角之度耶
(见首卷第/二十二节)而甲角与甲乙丁角为甲丙
乙丁二平行线内一边之二内角与二
直角等(见首卷第/二十三节)今于甲乙丁直角内
减丙乙丁角所馀为甲乙丙角丙乙丁
角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合
成之一直角与甲角之一直角非二直
角之度耶
卷二 第 16b 页 WYG0799-0034d.png WYG0799-0035a.png
第五
凡三角形自一界线引长成一外角此
外角度与三角形内所有之二锐角等
如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁
所成之丙乙丁角即为外角其度与三
角形内甲丙二锐角之度等盖甲乙丙
三角形之三角度并之原与二直角等
(如本卷第/四节云)而甲丁直线与丙乙直线相
交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与
凡三角形自一界线引长成一外角此
外角度与三角形内所有之二锐角等
如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁
所成之丙乙丁角即为外角其度与三
角形内甲丙二锐角之度等盖甲乙丙
三角形之三角度并之原与二直角等
(如本卷第/四节云)而甲丁直线与丙乙直线相
交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与
卷二 第 16b 页 WYG0799-0034d.png WYG0799-0035a.png
二直角等(如首卷第/十四节云)则此内外二角所
卷二 第 17a 页 WYG0799-0035c.png
并之度与三 形内三角所并之度亦
必相等今于内外角所并之二直角内
减去甲乙丙角则所馀之丙乙丁一外
角度与甲角丙角所并之度为相等可
知矣
第六
凡两三角形其两边线之度相等二线
所合之角又等则二形底线之度必等
必相等今于内外角所并之二直角内
减去甲乙丙角则所馀之丙乙丁一外
角度与甲角丙角所并之度为相等可
知矣
第六
凡两三角形其两边线之度相等二线
所合之角又等则二形底线之度必等
卷二 第 17b 页 WYG0799-0035d.png WYG0799-0036a.png
二形之式亦等其底线之二角亦皆等
也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角
形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊
二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙
戊己之二底线必等其二形之三角式
亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦
相等若将二形之甲角丁角相合则甲
丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等
因其俱等故丙乙线之二角与戊己线
也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角
形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊
二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙
戊己之二底线必等其二形之三角式
亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦
相等若将二形之甲角丁角相合则甲
丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等
因其俱等故丙乙线之二角与戊己线
卷二 第 17b 页 WYG0799-0035d.png WYG0799-0036a.png
之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙
卷二 第 18a 页 WYG0799-0036c.png
丙底与戊己底不符必是戊己线上斜
于庚或下斜于辛不成直线形矣
第七
两三角形其三边线之度若等则三角
之度亦必相等而此形内所函之分亦
俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之
甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线
戊己线两两相等则甲角与丁角乙角
于庚或下斜于辛不成直线形矣
第七
两三角形其三边线之度若等则三角
之度亦必相等而此形内所函之分亦
俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之
甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线
戊己线两两相等则甲角与丁角乙角
卷二 第 18b 页 WYG0799-0036d.png WYG0799-0037a.png
与戊角丙角与己角必各相等而甲乙
丙三界所函之分丁戊己三界所函之
分亦俱相等盖因此两三角形之各线
俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也
第八
凡两三角形有一线相等其相等线左
右所生之二角又相等则其他线他角
俱相等而二形之分亦相等也如甲乙
丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线
丙三界所函之分丁戊己三界所函之
分亦俱相等盖因此两三角形之各线
俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也
第八
凡两三角形有一线相等其相等线左
右所生之二角又相等则其他线他角
俱相等而二形之分亦相等也如甲乙
丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线
卷二 第 18b 页 WYG0799-0036d.png WYG0799-0037a.png
若等而此二线左边所成之甲角丁角
卷二 第 19a 页 WYG0799-0037c.png
右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙
线度与丁己线度等丙乙线度与己戊
线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形
所函之分与丁己戊形所函之分自然
相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再
将甲角与丁角乙角与戊角相较此二
线二角之度必俱相符此二线二角既
俱相符其他线他角亦必各相符矣若
线度与丁己线度等丙乙线度与己戊
线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形
所函之分与丁己戊形所函之分自然
相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再
将甲角与丁角乙角与戊角相较此二
线二角之度必俱相符此二线二角既
俱相符其他线他角亦必各相符矣若
卷二 第 19b 页 WYG0799-0037d.png WYG0799-0038a.png
谓一线不符则相等之角亦必不符必
其一线斜出或一线偏入以致各角俱
不相等角既不相等而形式亦必不同
矣
第九
三角形之两边线若等其底线之两角
度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙
乙两边线之度等则其甲丙底线之甲
角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平
其一线斜出或一线偏入以致各角俱
不相等角既不相等而形式亦必不同
矣
第九
三角形之两边线若等其底线之两角
度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙
乙两边线之度等则其甲丙底线之甲
角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平
卷二 第 19b 页 WYG0799-0037d.png WYG0799-0038a.png
分于丁处自丁至乙角画一直线遂成
卷二 第 20a 页 WYG0799-0038c.png
甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲
乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平
分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两
三角形所共用之各一边线然则此两
三角形之各三边线度必俱相等可知
矣三角形之三线既各相等则其各角
之度亦必相等因其各角之度相等故
甲角丙角之度亦必等也
乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平
分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两
三角形所共用之各一边线然则此两
三角形之各三边线度必俱相等可知
矣三角形之三线既各相等则其各角
之度亦必相等因其各角之度相等故
甲角丙角之度亦必等也
卷二 第 20b 页 WYG0799-0038d.png WYG0799-0039a.png
第十
有两边相等之三角形自上角至底线
画一直线将底线为两平分则此线为
上角之平分线又为底线之垂线也如
甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三
角形自上角乙至底线丁画一直线将
甲丙底线为两平分则为乙角之平分
线又为甲丙底线之垂线也盖乙丁线
将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙
有两边相等之三角形自上角至底线
画一直线将底线为两平分则此线为
上角之平分线又为底线之垂线也如
甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三
角形自上角乙至底线丁画一直线将
甲丙底线为两平分则为乙角之平分
线又为甲丙底线之垂线也盖乙丁线
将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙
卷二 第 20b 页 WYG0799-0038d.png WYG0799-0039a.png
丁两三角形此两三角形之各界线度
卷二 第 21a 页 WYG0799-0039c.png
必各相等而各角之度又俱相等则甲
乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣
而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两
直角因其为两直角故乙丁线为平分
甲丙底线之垂线也
第十一
凡三角形内长界所对之角必大短界
所对之角必小如甲乙丙三角形之乙
乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣
而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两
直角因其为两直角故乙丁线为平分
甲丙底线之垂线也
第十一
凡三角形内长界所对之角必大短界
所对之角必小如甲乙丙三角形之乙
卷二 第 21b 页 WYG0799-0039d.png WYG0799-0040a.png
丙界长于甲丙界故其相对之甲角大
于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所
对之丙角小于乙角也试依甲丙界度
截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即
成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙
丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙
两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲
丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角
必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为
于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所
对之丙角小于乙角也试依甲丙界度
截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即
成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙
丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙
两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲
丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角
必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为
卷二 第 21b 页 WYG0799-0039d.png WYG0799-0040a.png
甲乙丁小三角形之外角与小三角形
卷二 第 22a 页 WYG0799-0040c.png
内之甲乙二角相并之度等(见本卷/第五节)既
与甲乙二角之度等则大于乙角可知
矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙
角必更大于乙角矣丙角之小于乙角
其理亦同
第十二
凡三角形内必有二锐角盖三角形之
三角并之与二直角等(见本卷/第四节)如甲乙
与甲乙二角之度等则大于乙角可知
矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙
角必更大于乙角矣丙角之小于乙角
其理亦同
第十二
凡三角形内必有二锐角盖三角形之
三角并之与二直角等(见本卷/第四节)如甲乙
卷二 第 22b 页 WYG0799-0040d.png WYG0799-0041a.png
丙三角形之乙角为直角则所馀甲角
丙角并之始与乙角相等二角并之仅
与一直角等则此二角独较之必小于
直角矣故此甲丙二角为锐角也又如
丁戊己三角形之戊角为钝角则所馀
之丁角己角愈小于直角而为锐角矣
第十三
凡自一点至一横线画众线而众线内
有一垂线必短于他线而他线与垂线
丙角并之始与乙角相等二角并之仅
与一直角等则此二角独较之必小于
直角矣故此甲丙二角为锐角也又如
丁戊己三角形之戊角为钝角则所馀
之丁角己角愈小于直角而为锐角矣
第十三
凡自一点至一横线画众线而众线内
有一垂线必短于他线而他线与垂线
卷二 第 22b 页 WYG0799-0040d.png WYG0799-0041a.png
相离愈远则愈长也如自甲点至乙丙
卷二 第 23a 页 WYG0799-0041c.png
线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为
垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而
甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故
更长于甲丁线也盖甲乙为垂线则乙
角必为直角(见首卷/第十节)而甲乙丁三角形
内丁角甲角必俱为锐角而小于乙角
矣因乙角大于丁角故此乙角相对之
甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又
垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而
甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故
更长于甲丁线也盖甲乙为垂线则乙
角必为直角(见首卷/第十节)而甲乙丁三角形
内丁角甲角必俱为锐角而小于乙角
矣因乙角大于丁角故此乙角相对之
甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又
卷二 第 23b 页 WYG0799-0041d.png WYG0799-0042a.png
甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内
角相并之度等(见本卷/第五节)则此甲丁戊一
外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊
之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁
戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角
相对之甲丁线可知矣
第十四
凡三角形将二界线相并必长于所馀
之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲
角相并之度等(见本卷/第五节)则此甲丁戊一
外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊
之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁
戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角
相对之甲丁线可知矣
第十四
凡三角形将二界线相并必长于所馀
之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲
卷二 第 23b 页 WYG0799-0041d.png WYG0799-0042a.png
丙二界线并之则长于所馀之乙丙界
卷二 第 24a 页 WYG0799-0042c.png
线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线
与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界
线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成
乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲
角与丁角等(见本卷/第九节)则丁乙丙角必大
于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其
所对之丁丙线必长于丁角相对之乙
丙线可知矣(见本卷第/十一节)
与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界
线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成
乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲
角与丁角等(见本卷/第九节)则丁乙丙角必大
于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其
所对之丁丙线必长于丁角相对之乙
丙线可知矣(见本卷第/十一节)
卷二 第 25a 页 WYG0799-0043a.png
几何原本三
第一
凡四边线函四角者其形有五四边线
度等而角度亦等者为正方形四角直
而两边线短两边线长者为长方形四
边线度等而角度不等者为等边斜方
形两边线长两边线短而角度又不等
者为两等边斜方形以上四形俱自平
第一
凡四边线函四角者其形有五四边线
度等而角度亦等者为正方形四角直
而两边线短两边线长者为长方形四
边线度等而角度不等者为等边斜方
形两边线长两边线短而角度又不等
者为两等边斜方形以上四形俱自平
卷二 第 25b 页 WYG0799-0043b.png WYG0799-0043c.png
行线出如四边线不等亦不平行而四
角度又不等者为不等边斜方形
第二
凡四平行线所成方形其所函之角成
两对角必两两相等如甲乙丙丁平行
线方形其甲角度丙角度等而乙角度
丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作
一线成一丁外角与甲角为二尖交错
之角其度相等(见首卷第/二十二节)而丁外角与
角度又不等者为不等边斜方形
第二
凡四平行线所成方形其所函之角成
两对角必两两相等如甲乙丙丁平行
线方形其甲角度丙角度等而乙角度
丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作
一线成一丁外角与甲角为二尖交错
之角其度相等(见首卷第/二十二节)而丁外角与
卷二 第 25b 页 WYG0799-0043b.png WYG0799-0043c.png
丙角又为一边之内外角其度亦等(见/首)
卷二 第 26a 页 WYG0799-0044a.png
(卷第二/十二节)夫甲丁二角既等丁丙二角又
等则甲角与丙角必自相等而丁乙两
对角之相等不言可知矣
第三
凡平行四边形自一角至相对之角作
一对角线必平分四边形为两三角形
如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即
成丙甲乙丁甲乙两相等三角形盖此
等则甲角与丙角必自相等而丁乙两
对角之相等不言可知矣
第三
凡平行四边形自一角至相对之角作
一对角线必平分四边形为两三角形
如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即
成丙甲乙丁甲乙两相等三角形盖此
卷二 第 26b 页 WYG0799-0044b.png WYG0799-0044c.png
四边形之丙丁二角为对角其度必等
(见本卷/第二节)而对角线所分之丙甲乙丁乙
甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖
交错之角其度又两两相等(见首卷第/二十二节)
夫此两三角形原自一四边形而分各
角又俱相等则其所函之分必等而四
边形平分为两平分无疑矣
第四
凡平行线所成方形其两两平行线度
(见本卷/第二节)而对角线所分之丙甲乙丁乙
甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖
交错之角其度又两两相等(见首卷第/二十二节)
夫此两三角形原自一四边形而分各
角又俱相等则其所函之分必等而四
边形平分为两平分无疑矣
第四
凡平行线所成方形其两两平行线度
卷二 第 26b 页 WYG0799-0044b.png WYG0799-0044c.png
俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线
卷二 第 27a 页 WYG0799-0045a.png
与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等
此即如前节作一对角线成两三角形
而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁
二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所
对之线其度亦必相等矣(见二卷/第八节)
第五
平行线方形内两对角线其相交处必
平分二线之正中如甲乙丙丁二线相
此即如前节作一对角线成两三角形
而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁
二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所
对之线其度亦必相等矣(见二卷/第八节)
第五
平行线方形内两对角线其相交处必
平分二线之正中如甲乙丙丁二线相
卷二 第 27b 页 WYG0799-0045b.png WYG0799-0045c.png
交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊
丁二线俱等盖因丙戊乙甲戊丁两三
角形之丙乙甲丁二线为平行线其度
等(见本卷/第四节)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙
戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之
错角其度俱等(见首卷第/二十二节)夫丙乙甲丁
二线既等各相对之错角又等则丙乙
戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二
线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之
丁二线俱等盖因丙戊乙甲戊丁两三
角形之丙乙甲丁二线为平行线其度
等(见本卷/第四节)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙
戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之
错角其度俱等(见首卷第/二十二节)夫丙乙甲丁
二线既等各相对之错角又等则丙乙
戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二
线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之
卷二 第 27b 页 WYG0799-0045b.png WYG0799-0045c.png
戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣(见/二)
卷二 第 28a 页 WYG0799-0046a.png
(卷第/八节)
第六
凡平行线方形内于对角线上或纵或
横正中截开即将此形为两平分如甲
丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一
戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁
方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段
此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形
第六
凡平行线方形内于对角线上或纵或
横正中截开即将此形为两平分如甲
丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一
戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁
方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段
此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形
卷二 第 28b 页 WYG0799-0046b.png WYG0799-0046c.png
之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙
庚之两角又为平行线内二尖交错之
角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相
对之角其度又等则此两三角形度亦
必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁
方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两
三角形度必等将此两相等之三角形
以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊
庚于甲丁乙形内减乙己庚则所馀之
庚之两角又为平行线内二尖交错之
角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相
对之角其度又等则此两三角形度亦
必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁
方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两
三角形度必等将此两相等之三角形
以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊
庚于甲丁乙形内减乙己庚则所馀之
卷二 第 28b 页 WYG0799-0046b.png WYG0799-0046c.png
甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所
卷二 第 29a 页 WYG0799-0047a.png
分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之
方形为戊己线所截自为两平分可知
矣
第七
凡四边形于对角线不拘何处复作相
交二平行线即成四四边形设如甲丙
乙丁四边形于对角线之戊处复作一
壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即
方形为戊己线所截自为两平分可知
矣
第七
凡四边形于对角线不拘何处复作相
交二平行线即成四四边形设如甲丙
乙丁四边形于对角线之戊处复作一
壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即
卷二 第 29b 页 WYG0799-0047b.png WYG0799-0047c.png
成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四
形中之甲戊戊乙二形为对角线上所
成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所
成之形此对角线旁所成两形必俱相
等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是
己盖甲丙乙丁之全形因甲乙对角线
平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙
两大三角形之分必等其对角线上所
成之一小方形复为甲戊对角线平分
形中之甲戊戊乙二形为对角线上所
成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所
成之形此对角线旁所成两形必俱相
等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是
己盖甲丙乙丁之全形因甲乙对角线
平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙
两大三角形之分必等其对角线上所
成之一小方形复为甲戊对角线平分
卷二 第 29b 页 WYG0799-0047b.png WYG0799-0047c.png
为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角
卷二 第 30a 页 WYG0799-0048a.png
形此两小三角形之分亦必等而对角
线上所成之一大方形又为戊乙对角
线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两
中三角形此两中三角形之分亦必等
今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减
去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形
再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三
角形所馀对角线旁所成之丙壬戊庚
线上所成之一大方形又为戊乙对角
线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两
中三角形此两中三角形之分亦必等
今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减
去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形
再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三
角形所馀对角线旁所成之丙壬戊庚
卷二 第 30b 页 WYG0799-0048b.png WYG0799-0048c.png
戊辛丁己两四边形此两四边形自然
相等矣
第八
凡两平行线内同底所成之四边形其
面积必等如甲己乙辛两平行线内于
乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊
乙丙己一斜方四边形此两形虽不同
而所容之分必相等何也试以两三角
形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一
相等矣
第八
凡两平行线内同底所成之四边形其
面积必等如甲己乙辛两平行线内于
乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊
乙丙己一斜方四边形此两形虽不同
而所容之分必相等何也试以两三角
形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一
卷二 第 30b 页 WYG0799-0048b.png WYG0799-0048c.png
三角形此两三角形之甲乙丁丙二线
卷二 第 31a 页 WYG0799-0049a.png
等甲戊丁己二线亦等(甲丁戊己二线/俱与乙丙平行)
(而度分相等若于甲丁戊己二线各加/一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然)
(相/等)而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙
平行线一边之内外角其度又等则此
两三角形自然相等可知矣今于两三
角形内各减去丁戊庚则所馀之甲乙
庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此
二形内每加一庚乙丙形则成甲乙丙
(而度分相等若于甲丁戊己二线各加/一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然)
(相/等)而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙
平行线一边之内外角其度又等则此
两三角形自然相等可知矣今于两三
角形内各减去丁戊庚则所馀之甲乙
庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此
二形内每加一庚乙丙形则成甲乙丙
卷二 第 31b 页 WYG0799-0049b.png WYG0799-0049c.png
丁戊乙丙己之两四边形其面积必然
相等也
第九
两平行线内无论作几四边形其底度
若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平
行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行
线四边形其丙己辛丁两底度相等则
其积亦等试自丙己底至庚乙画二直
线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四
相等也
第九
两平行线内无论作几四边形其底度
若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平
行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行
线四边形其丙己辛丁两底度相等则
其积亦等试自丙己底至庚乙画二直
线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四
卷二 第 31b 页 WYG0799-0049b.png WYG0799-0049c.png
边形既与甲丙己戊四边形同出于丙
卷二 第 32a 页 WYG0799-0050a.png
己之底即同前节两形面积俱等矣至
于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚
乙之底故此两形面积亦俱等观此两
两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之
面积相等明矣
第十
凡两平行线内同底所成之各种三角
形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线
于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚
乙之底故此两形面积亦俱等观此两
两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之
面积相等明矣
第十
凡两平行线内同底所成之各种三角
形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线
卷二 第 32b 页 WYG0799-0050b.png WYG0799-0050c.png
内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙
丁一三角形此两三角形之面积必等
何也自丁至戊作一直线与甲丙平行
再自丁至乙作一直线与己丙平行即
成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二
形既同出于丙丁底其面积相等而甲
丙丁己丙丁两三角形为平分两四边
形之一半其面积亦必相等矣
第十一
丁一三角形此两三角形之面积必等
何也自丁至戊作一直线与甲丙平行
再自丁至乙作一直线与己丙平行即
成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二
形既同出于丙丁底其面积相等而甲
丙丁己丙丁两三角形为平分两四边
形之一半其面积亦必相等矣
第十一
卷二 第 32b 页 WYG0799-0050b.png WYG0799-0050c.png
两平行线内无论作几三角形其底度
卷二 第 33a 页 WYG0799-0051a.png
若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平
行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其
丙戊戊己两底度相等故其面积亦等
今自戊至辛作一直线与甲丙平行又
自己至乙作一直线与庚戊平行即同
前节成面积相等之两四边形而此甲
丙戊庚戊己两三角形为面积相等两
四边形之各一半则此两三角形之面
行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其
丙戊戊己两底度相等故其面积亦等
今自戊至辛作一直线与甲丙平行又
自己至乙作一直线与庚戊平行即同
前节成面积相等之两四边形而此甲
丙戊庚戊己两三角形为面积相等两
四边形之各一半则此两三角形之面
卷二 第 33b 页 WYG0799-0051b.png WYG0799-0051c.png
积必等可知矣
第十二
凡有几三角形其底若俱在一直线而
各底相对之角又共遇于一处则其众
三角形必在二平行线之间如甲乙丙
甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙
丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直
线上而各底相对之角又皆遇于甲处
则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平
第十二
凡有几三角形其底若俱在一直线而
各底相对之角又共遇于一处则其众
三角形必在二平行线之间如甲乙丙
甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙
丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直
线上而各底相对之角又皆遇于甲处
则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平
卷二 第 33b 页 WYG0799-0051b.png WYG0799-0051c.png
行线之间矣
卷二 第 34a 页 WYG0799-0052a.png
第十三
凡等边等角各形内五边者为五角形
六边者为六角形边愈多角愈多者俱
随其边与角而名之焉
第十四
多边多角形自角至心作线凡有几界
即成几三角形设如辛七边形自心至
边七角作七线即成七三角形而此各
凡等边等角各形内五边者为五角形
六边者为六角形边愈多角愈多者俱
随其边与角而名之焉
第十四
多边多角形自角至心作线凡有几界
即成几三角形设如辛七边形自心至
边七角作七线即成七三角形而此各
卷二 第 34b 页 WYG0799-0052b.png WYG0799-0052c.png
三角形之分俱相等也
第十五
欲知众边形各边角之度将边数加一
倍得数减四其所馀之数即为各边角
度也如辛七边形以七边数加一倍共
为十四十四内减四所馀之十即为十
直角数为此七边形之各边角之总度
也何也假如辛形自心至七角作七线
成七三角形凡三角形之三角与二直
第十五
欲知众边形各边角之度将边数加一
倍得数减四其所馀之数即为各边角
度也如辛七边形以七边数加一倍共
为十四十四内减四所馀之十即为十
直角数为此七边形之各边角之总度
也何也假如辛形自心至七角作七线
成七三角形凡三角形之三角与二直
卷二 第 34b 页 WYG0799-0052b.png WYG0799-0052c.png
角等(见二卷/第四节)则此七三角形之各三角
卷二 第 35a 页 WYG0799-0053a.png
度共与十四直角等其七三角形之辛
心所有之七角又与四直角等(见首卷/第十五)
(节/)若将十四直角内减四直角乃馀十
直角则此十直角与众边形之各边角
之总度相等可知矣
心所有之七角又与四直角等(见首卷/第十五)
(节/)若将十四直角内减四直角乃馀十
直角则此十直角与众边形之各边角
之总度相等可知矣
卷二 第 36a 页 WYG0799-0053c.png
几何原本四
第一
凡有直线切于圜界而不与圜界相交
者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙
界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不
出入相交此甲乙丙线即为圜之切线
也又如一圜与一圜界相切而不相交
则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界
第一
凡有直线切于圜界而不与圜界相交
者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙
界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不
出入相交此甲乙丙线即为圜之切线
也又如一圜与一圜界相切而不相交
则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界
卷二 第 36b 页 WYG0799-0053d.png WYG0799-0054a.png
相切二界总未相交故又谓之切圜也
第二
凡一直线横分圜之两界谓之弦线其
所分圜界之一段谓之弧此弧与弦相
交所成之二角谓之弧分角如甲丙线
横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线
为弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一
段皆谓之弧而甲丙弦与甲乙丙弧相
交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之
第二
凡一直线横分圜之两界谓之弦线其
所分圜界之一段谓之弧此弧与弦相
交所成之二角谓之弧分角如甲丙线
横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线
为弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一
段皆谓之弧而甲丙弦与甲乙丙弧相
交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之
卷二 第 36b 页 WYG0799-0053d.png WYG0799-0054a.png
弧分之角焉
卷二 第 37a 页 WYG0799-0054c.png
第三
凡自一圜弦线之两头复作二直线相
遇于圜界之一处其所成之角谓之圜
分内角又谓之弧分相对之界角也如
甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦
线之两头各作一直线于甲处相遇其
所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲
角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对
凡自一圜弦线之两头复作二直线相
遇于圜界之一处其所成之角谓之圜
分内角又谓之弧分相对之界角也如
甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦
线之两头各作一直线于甲处相遇其
所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲
角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对
卷二 第 37b 页 WYG0799-0054d.png WYG0799-0055a.png
之界角也
第四
凡一圜有二辐线截弧之一段所成之
三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心
至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线
所成之甲丙乙三角形即为分圜面形
也
第五
凡自圜之辐线之末与圜界相切作一
第四
凡一圜有二辐线截弧之一段所成之
三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心
至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线
所成之甲丙乙三角形即为分圜面形
也
第五
凡自圜之辐线之末与圜界相切作一
卷二 第 37b 页 WYG0799-0054d.png WYG0799-0055a.png
垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅
卷二 第 38a 页 WYG0799-0055c.png
一点相切其他全在圜外即如甲圜之
甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此
丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处
之一点相切而此垂线之丁等处俱在
圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊
丁线此线必长于甲乙辐线(如二卷第/十三节云)
因其长于辐线必出于圜界之外此甲
戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全
甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此
丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处
之一点相切而此垂线之丁等处俱在
圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊
丁线此线必长于甲乙辐线(如二卷第/十三节云)
因其长于辐线必出于圜界之外此甲
戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全
卷二 第 38b 页 WYG0799-0055d.png WYG0799-0056a.png
在圜外可知矣
第六
圜弦线上自圜心作一垂线则将弦线
为两平分如乙丙弦自圜心甲至弦线
丁作一垂线必将乙丙弦为两平分成
乙丁丁丙二段若自甲心至弦线乙丙
二末作二辐线成一甲乙丙三角形此
三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐
线其度必等此二辐线既等则甲乙丙
第六
圜弦线上自圜心作一垂线则将弦线
为两平分如乙丙弦自圜心甲至弦线
丁作一垂线必将乙丙弦为两平分成
乙丁丁丙二段若自甲心至弦线乙丙
二末作二辐线成一甲乙丙三角形此
三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐
线其度必等此二辐线既等则甲乙丙
卷二 第 38b 页 WYG0799-0055d.png WYG0799-0056a.png
三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙
卷二 第 39a 页 WYG0799-0056c.png
二段亦必等矣若将垂线引长至弧界
戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣
第七
凡自圜外一处至圜界两边作二切线
此二线之度必等如自圜外甲至圜界
乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线
之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二
切线之末作二辐线则此二辐线为甲
戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣
第七
凡自圜外一处至圜界两边作二切线
此二线之度必等如自圜外甲至圜界
乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线
之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二
切线之末作二辐线则此二辐线为甲
卷二 第 39b 页 WYG0799-0056d.png WYG0799-0057a.png
乙甲丙之垂线矣(如本卷第/五节云)因其为垂
线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直
角(见首卷/第十节)再自丙至乙作一弦线即成
丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角
形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其
度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二
角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相
等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角
则所馀之甲乙丙甲丙乙二角亦自相
线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直
角(见首卷/第十节)再自丙至乙作一弦线即成
丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角
形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其
度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二
角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相
等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角
则所馀之甲乙丙甲丙乙二角亦自相
卷二 第 39b 页 WYG0799-0056d.png WYG0799-0057a.png
等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切
卷二 第 40a 页 WYG0799-0057c.png
线为等角傍之两界线自然相等无疑
矣
第八
凡圜内两弦线若等其分圜弧面之积
必等自心至两弦所作垂线亦必等如
甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等则所
分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等
自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作
矣
第八
凡圜内两弦线若等其分圜弧面之积
必等自心至两弦所作垂线亦必等如
甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等则所
分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等
自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作
卷二 第 40b 页 WYG0799-0057d.png WYG0799-0058a.png
甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自
甲心至丙乙丁戊二弦之末各作辐线
即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三
角形之各界线必两两相等则此两三
角形内相等线所对之角亦必相等(见/二)
(卷第/七节)角既相等则等角相对弧界之丙
己乙丁庚戊二段亦必相等(见首卷第/十二节)
丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊
二弦线又等则丁庚戊壬之弧面积与
甲心至丙乙丁戊二弦之末各作辐线
即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三
角形之各界线必两两相等则此两三
角形内相等线所对之角亦必相等(见/二)
(卷第/七节)角既相等则等角相对弧界之丙
己乙丁庚戊二段亦必相等(见首卷第/十二节)
丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊
二弦线又等则丁庚戊壬之弧面积与
卷二 第 40b 页 WYG0799-0057d.png WYG0799-0058a.png
丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲
卷二 第 41a 页 WYG0799-0058c.png
辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二弦为两
平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦
俱等三角形之各界线既两两相等而
三角形内各角又两两相等则平分丙
乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相
等矣
第九
凡弦线之所属有三种一为弧之切线
平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦
俱等三角形之各界线既两两相等而
三角形内各角又两两相等则平分丙
乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相
等矣
第九
凡弦线之所属有三种一为弧之切线
卷二 第 41b 页 WYG0799-0058d.png WYG0799-0059a.png
一为弧之割线一为弧之弦线欲取弧
界各角之度用此三线求之必得也如
甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线
复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂
线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙
辐线作戊己垂线则成三种线此三线
内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为
乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正
弦凡欲得各角弧界之度必于此三种
界各角之度用此三线求之必得也如
甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线
复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂
线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙
辐线作戊己垂线则成三种线此三线
内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为
乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正
弦凡欲得各角弧界之度必于此三种
卷二 第 41b 页 WYG0799-0058d.png WYG0799-0059a.png
线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则
卷二 第 42a 页 WYG0799-0059c.png
自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取
之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自
乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧
之度数焉
第十
一圜界内任于圜界一段至圜心作二
线至圜界作二线即成二角在圜心者
为心角在圜界者为界角设如甲乙丁
之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自
乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧
之度数焉
第十
一圜界内任于圜界一段至圜心作二
线至圜界作二线即成二角在圜心者
为心角在圜界者为界角设如甲乙丁
卷二 第 42b 页 WYG0799-0059d.png WYG0799-0060a.png
圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二
线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线
成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为
心角甲丁乙角为界角也
第十一
圜内之心角界角同立圜界之一段而
各角之二线所成之式又分为三种有
界角心角同用一线者有界角心角不
同用一线者有界角二线跨心角二线
线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线
成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为
心角甲丁乙角为界角也
第十一
圜内之心角界角同立圜界之一段而
各角之二线所成之式又分为三种有
界角心角同用一线者有界角心角不
同用一线者有界角二线跨心角二线
卷二 第 42b 页 WYG0799-0059d.png WYG0799-0060a.png
者总之此三种心角皆大于界角一倍
卷二 第 43a 页 WYG0799-0060c.png
如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界
甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲
丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙
丁二线则第一图之甲丁乙界角之乙
丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上
而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外
角与甲丁丙丙甲丁二内角等(见二卷/第五节)
其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其
甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲
丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙
丁二线则第一图之甲丁乙界角之乙
丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上
而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外
角与甲丁丙丙甲丁二内角等(见二卷/第五节)
其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其
卷二 第 43b 页 WYG0799-0060d.png WYG0799-0061a.png
度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁
二角亦必等(见二卷/第九节)今甲丙乙之外角
既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙
乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣
如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同
立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙
乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直
线之外则自丁角过圜之丙心至对界
作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大
二角亦必等(见二卷/第九节)今甲丙乙之外角
既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙
乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣
如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同
立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙
乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直
线之外则自丁角过圜之丙心至对界
作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大
卷二 第 43b 页 WYG0799-0060d.png WYG0799-0061a.png
心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界
卷二 第 44a 页 WYG0799-0061c.png
角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角
即如第一图必倍于甲丁戊大界角而
乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界
角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小
心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小
界角则所馀之甲丙乙心角必大于所
馀之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲
丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角
即如第一图必倍于甲丁戊大界角而
乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界
角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小
心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小
界角则所馀之甲丙乙心角必大于所
馀之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲
丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角
卷二 第 44b 页 WYG0799-0061d.png WYG0799-0062a.png
二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界
角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过
圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即
成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁
戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁
戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊
界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃
甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界
角并之乃甲丁乙一界角今所分之二
角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过
圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即
成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁
戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁
戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊
界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃
甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界
角并之乃甲丁乙一界角今所分之二
卷二 第 44b 页 WYG0799-0061d.png WYG0799-0062a.png
心角既各倍于所分之界角则此所并
卷二 第 45a 页 WYG0799-0062c.png
之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙
界角矣
第十二
凡自圜之弧线一段任作相切界角几
何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自
甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之
甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必
俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作
界角矣
第十二
凡自圜之弧线一段任作相切界角几
何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自
甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之
甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必
俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作
卷二 第 45b 页 WYG0799-0062d.png WYG0799-0063a.png
二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙
之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一
圜弧线之一段则心角必倍于界角然
则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊
乙心角之一半则此二角之度必等可
知矣
第十三
凡圜内心角所对弧线之度比界角所
对弧线之度少一半则二角之度必等
之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一
圜弧线之一段则心角必倍于界角然
则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊
乙心角之一半则此二角之度必等可
知矣
第十三
凡圜内心角所对弧线之度比界角所
对弧线之度少一半则二角之度必等
卷二 第 45b 页 WYG0799-0062d.png WYG0799-0063a.png
如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲
卷二 第 46a 页 WYG0799-0063c.png
丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙
弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧
线之度少一半则甲乙丙心角之度必
与甲丁戊界角之度相等试自丁角过
圜之乙心至对界作丁乙己全径线复
自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲
乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二
界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界
弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧
线之度少一半则甲乙丙心角之度必
与甲丁戊界角之度相等试自丁角过
圜之乙心至对界作丁乙己全径线复
自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲
乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二
界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界
卷二 第 46b 页 WYG0799-0063d.png WYG0799-0064a.png
角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界
角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲
丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己
己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁
己己丁戊二界角所并之度矣是以甲
丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心
角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊
弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己
己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙
角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲
丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己
己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁
己己丁戊二界角所并之度矣是以甲
丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心
角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊
弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己
己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙
卷二 第 46b 页 WYG0799-0063d.png WYG0799-0064a.png
心角度必与甲丁戊界角之度相等矣
卷二 第 47a 页 WYG0799-0065a.png
第十四
凡圜内界角立于圜界之半者必为直
角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立
于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙
角必然为直角也自甲丁丙之半圜于
丁界为两平分复自丁界至圜心戊作
丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲
丁弧为圜界四分之一既为圜界四分
凡圜内界角立于圜界之半者必为直
角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立
于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙
角必然为直角也自甲丁丙之半圜于
丁界为两平分复自丁界至圜心戊作
丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲
丁弧为圜界四分之一既为圜界四分
卷二 第 47b 页 WYG0799-0065b.png WYG0799-0065c.png
之一则必为直角(如首卷第/十节云)夫心角相
对弧线若为界角相对弧线之一半其
二角之度相等矣(如本卷第/十三节云)今甲戊丁
心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界
角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊
丁心角度必与甲乙丙界角度相等且
甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁
丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁
心角为直角而甲乙丙界角亦必为直
对弧线若为界角相对弧线之一半其
二角之度相等矣(如本卷第/十三节云)今甲戊丁
心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界
角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊
丁心角度必与甲乙丙界角度相等且
甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁
丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁
心角为直角而甲乙丙界角亦必为直
卷二 第 47b 页 WYG0799-0065b.png WYG0799-0065c.png
角矣
卷二 第 48a 页 WYG0799-0066a.png
第十五
凡圜内界角其所对之弧过于圜界之
半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜
界之一半故其相对之甲乙丙角为钝
角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分
凡圜内界角其所对之弧过于圜界之
半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜
界之一半故其相对之甲乙丙角为钝
角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分
卷二 第 48b 页 WYG0799-0066b.png WYG0799-0066c.png
既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大
于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相
对之甲丁戊心角必为钝角(见首卷第/十一节)
夫心角相对之弧线比界角相对之弧
线少一半则二角之度必相等(如本卷/第十三)
(节/云)今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正
为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一
半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角
等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙
于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相
对之甲丁戊心角必为钝角(见首卷第/十一节)
夫心角相对之弧线比界角相对之弧
线少一半则二角之度必相等(如本卷/第十三)
(节/云)今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正
为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一
半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角
等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙
卷二 第 48b 页 WYG0799-0066b.png WYG0799-0066c.png
丙界角亦必为钝角矣
卷二 第 49a 页 WYG0799-0067a.png
第十六
凡圜内界角其所对之弧不及圜界之
半者必为锐角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜
界之一半故其相对之甲乙丙角为锐
角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
线即成甲丁戊一心角此心角所对之
凡圜内界角其所对之弧不及圜界之
半者必为锐角如甲乙丙戊圜内之甲
乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜
界之一半故其相对之甲乙丙角为锐
角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊
戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐
线即成甲丁戊一心角此心角所对之
卷二 第 49b 页 WYG0799-0067b.png WYG0799-0067c.png
甲戊弧线既不足圜界四分之一则此
甲丁戊心角必为锐角矣(见首卷第/十一节)此
甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界
角所对之弧为一半则此二角之度必
等夫甲丁戊心角既为锐角则甲乙丙
界角亦必为锐角矣
第十七
凡函圜各界形之各线与圜界相切而
不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙
甲丁戊心角必为锐角矣(见首卷第/十一节)此
甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界
角所对之弧为一半则此二角之度必
等夫甲丁戊心角既为锐角则甲乙丙
界角亦必为锐角矣
第十七
凡函圜各界形之各线与圜界相切而
不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙
卷二 第 49b 页 WYG0799-0067b.png WYG0799-0067c.png
三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在
卷二 第 50a 页 WYG0799-0068a.png
庚圜界之丁己戊三处相切而不相交
故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙
丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界
线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切
而不相交则谓之函圜切界四边形观
此二图则知函圜各界形必大于所函
圜界形之分矣
第十八
故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙
丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界
线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切
而不相交则谓之函圜切界四边形观
此二图则知函圜各界形必大于所函
圜界形之分矣
第十八
卷二 第 50b 页 WYG0799-0068b.png WYG0799-0068c.png
凡圜内直界形之各角止抵圜界而不
割出则谓之圜内所函各边形如甲乙
丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜
界相抵而不曾割出即谓之圜内所函
三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角
乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不
割出则谓之圜内所函四边形观此二
图则知函于圜界各界形必小于圜界
形之分矣
割出则谓之圜内所函各边形如甲乙
丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜
界相抵而不曾割出即谓之圜内所函
三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角
乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不
割出则谓之圜内所函四边形观此二
图则知函于圜界各界形必小于圜界
形之分矣
卷二 第 50b 页 WYG0799-0068b.png WYG0799-0068c.png
第十九
卷二 第 51a 页 WYG0799-0069a.png
凡等边众界形或函圜或函于圜其界
数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙
丙丁等边三角形又函乙己丙庚丁戊
等边六角形以三角形之三边比之六
角形之六边则六角形之六边与圜界
相近矣设有十二角形之十二边比此
六角形之六边则十二角之十二边又
与圜界为近若有二十四角之二十四
数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙
丙丁等边三角形又函乙己丙庚丁戊
等边六角形以三角形之三边比之六
角形之六边则六角形之六边与圜界
相近矣设有十二角形之十二边比此
六角形之六边则十二角之十二边又
与圜界为近若有二十四角之二十四
卷二 第 51b 页 WYG0799-0069b.png WYG0799-0069c.png
边则又更近于十二角之十二边矣盖
函众界形之度必大于所函之众界形
度(见本卷第十/七十八两节)今甲圜既函等边六角
形自大于六角形而此六角形又函等
边三角形亦必大于三角形由此推之
十二角函六角二十四角函十二角其
边愈多者其度愈大故与圜界愈近也
又如复有一函圜等边四角形内又作
一函圜等边八角形此四角形既函八
函众界形之度必大于所函之众界形
度(见本卷第十/七十八两节)今甲圜既函等边六角
形自大于六角形而此六角形又函等
边三角形亦必大于三角形由此推之
十二角函六角二十四角函十二角其
边愈多者其度愈大故与圜界愈近也
又如复有一函圜等边四角形内又作
一函圜等边八角形此四角形既函八
卷二 第 51b 页 WYG0799-0069b.png WYG0799-0069c.png
角形必大于八角形可知矣若于八角
卷二 第 52a 页 WYG0799-0070a.png
形内复作十六角形十六角形内又作
三十二角形其所函形愈小边数愈多
则与所函之圜界度愈近矣苟设一函
于圜界之多边形为几十万边(设函于/圜界之)
(多边形一自六边起/算一自四边起算)复设一函圜界之
多边形亦为几十万边(设函圜界之多/边形亦一自六)
(边起算一自/四边起算)使此函圜之多边形自外
与圜界相比而函于圜界之多边形自
三十二角形其所函形愈小边数愈多
则与所函之圜界度愈近矣苟设一函
于圜界之多边形为几十万边(设函于/圜界之)
(多边形一自六边起/算一自四边起算)复设一函圜界之
多边形亦为几十万边(设函圜界之多/边形亦一自六)
(边起算一自/四边起算)使此函圜之多边形自外
与圜界相比而函于圜界之多边形自
卷二 第 52b 页 WYG0799-0070b.png WYG0799-0070c.png
内与圜界相比则此二多边形之每边
直界线将与圜界曲线合而为一故圜
界曲线可得直线之度而多边形之直
线亦可得为圜界度也
第二十
函圜切界等边形其所函圜之辐线度
与一直角三角形之小边之度等而等
边形之众界共度又与三角形之大边
之度等则三角形之面积与等边形之
直界线将与圜界曲线合而为一故圜
界曲线可得直线之度而多边形之直
线亦可得为圜界度也
第二十
函圜切界等边形其所函圜之辐线度
与一直角三角形之小边之度等而等
边形之众界共度又与三角形之大边
之度等则三角形之面积与等边形之
卷二 第 52b 页 WYG0799-0070b.png WYG0799-0070c.png
面积等如丙丁戊己庚等边五角形其
卷二 第 53a 页 WYG0799-0071a.png
所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角
三角形之辛壬小边线度等而五角形
之丙丁戊己庚五边线共度又与三角
形之壬癸大边线度等则此辛壬癸三
角形面积必与丙丁戊己庚等边五角
形面积等也何以见之若自五边形之
甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲
丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁
三角形之辛壬小边线度等而五角形
之丙丁戊己庚五边线共度又与三角
形之壬癸大边线度等则此辛壬癸三
角形面积必与丙丁戊己庚等边五角
形面积等也何以见之若自五边形之
甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲
丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁
卷二 第 53b 页 WYG0799-0071b.png WYG0799-0071c.png
类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸
线度既与五角形之五边共度等今将
壬癸线平分五分以所分之每分为底
依前所分五三角形式作甲壬丙类五
正式三角形复自所分丙丁戊己四处
俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛
己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛
壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类
五三角形之甲角至底各作一甲乙垂
线度既与五角形之五边共度等今将
壬癸线平分五分以所分之每分为底
依前所分五三角形式作甲壬丙类五
正式三角形复自所分丙丁戊己四处
俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛
己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛
壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类
五三角形之甲角至底各作一甲乙垂
卷二 第 53b 页 WYG0799-0071b.png WYG0799-0071c.png
线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之
卷二 第 54a 页 WYG0799-0072a.png
五三角形之高度亦自相等矣于是复
自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相
切作一辛子线与壬癸为平行线则此
平行线内同底所成之各种三角形之
面积必俱相等矣(见三卷/第十节)盖辛壬丙甲
壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁
两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三
角形为同底辛戊己甲戊己两三角形
自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相
切作一辛子线与壬癸为平行线则此
平行线内同底所成之各种三角形之
面积必俱相等矣(见三卷/第十节)盖辛壬丙甲
壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁
两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三
角形为同底辛戊己甲戊己两三角形
卷二 第 54b 页 WYG0799-0072b.png WYG0799-0072c.png
为同底辛己癸甲己癸两三角形为同
底故其面积俱相等也且辛壬丙三角
形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬
丙之类五斜式三角形之面积即如甲
壬丙之类五正式三角形之面积矣其
所分各形之面积俱等则其全形之面
积自然相等此所以辛壬癸直角三角
形之面积与丙丁戊己庚等边五角形
之面积相等也
底故其面积俱相等也且辛壬丙三角
形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬
丙之类五斜式三角形之面积即如甲
壬丙之类五正式三角形之面积矣其
所分各形之面积俱等则其全形之面
积自然相等此所以辛壬癸直角三角
形之面积与丙丁戊己庚等边五角形
之面积相等也
卷二 第 54b 页 WYG0799-0072b.png WYG0799-0072c.png
第二十一
卷二 第 55a 页 WYG0799-0073a.png
圜界内函等边众界形其圜心至众界
所作中垂线与一直角三角形之小边
之度等而等边众界形之众界共度又
与直角三角形之大边之度等则此三
角形之面积与等边众界形之面积等
如甲圜所函乙丙丁戊己庚等边六角
形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线
与壬癸子直角三角形之壬癸小边线
所作中垂线与一直角三角形之小边
之度等而等边众界形之众界共度又
与直角三角形之大边之度等则此三
角形之面积与等边众界形之面积等
如甲圜所函乙丙丁戊己庚等边六角
形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线
与壬癸子直角三角形之壬癸小边线
卷二 第 55b 页 WYG0799-0073b.png WYG0799-0073c.png
度等而六角形之乙丙丁戊己庚六边
线共度又与三角形之癸子大边线度
等则此壬子癸三角形面积必与乙丙
丁戊己庚等边六角形面积等也若依
前节法将六边形分为六三角形复以
三角形之癸子界照六边形度分为六
分又照六边形所分六三角形作六正
式三角形复自壬子癸三角形之壬角
至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜
线共度又与三角形之癸子大边线度
等则此壬子癸三角形面积必与乙丙
丁戊己庚等边六角形面积等也若依
前节法将六边形分为六三角形复以
三角形之癸子界照六边形度分为六
分又照六边形所分六三角形作六正
式三角形复自壬子癸三角形之壬角
至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜
卷二 第 55b 页 WYG0799-0073b.png WYG0799-0073c.png
式三角形此两式三角形同底又同在
卷二 第 56a 页 WYG0799-0074a.png
二平行线内则其面积必两两相等此
两式六三角形之垂线既与壬癸子直
角三角形之壬癸小边线度等而两式
六三角形之底线共度又与壬子癸直
角三角形之癸子大边线度等则壬癸
子直角三角形之面积必与乙丙丁戊
己庚等边六角形之面积相等矣
第二十二
两式六三角形之垂线既与壬癸子直
角三角形之壬癸小边线度等而两式
六三角形之底线共度又与壬子癸直
角三角形之癸子大边线度等则壬癸
子直角三角形之面积必与乙丙丁戊
己庚等边六角形之面积相等矣
第二十二
卷二 第 56b 页 WYG0799-0074b.png WYG0799-0074c.png
凡圜形之辐线与一直角三角形之小
边线度等而圜之周界与三角形之大
边线度等则此直角三角形之面积与
圜形之面积相等如有一甲圜形其甲
乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁
小边线度等而甲圜形之乙周界又与
丙丁戊三角形之丁戊大边线度等则
此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形
之面积相等也何以见之甲圜之辐线
边线度等而圜之周界与三角形之大
边线度等则此直角三角形之面积与
圜形之面积相等如有一甲圜形其甲
乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁
小边线度等而甲圜形之乙周界又与
丙丁戊三角形之丁戊大边线度等则
此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形
之面积相等也何以见之甲圜之辐线
卷二 第 56b 页 WYG0799-0074b.png WYG0799-0074c.png
与三角形之小边等者即如等边众界
卷二 第 57a 页 WYG0799-0075a.png
形之中垂线与三角形之小边等也甲
圜之周界与三角形之大边等者即如
等边众界形之各界共度与三角形之
大边等也若夫函圜众界形相等之三
角形其小边虽与圜之辐线等其大边
则长于圜之周线故其积分亦大于圜
之积分而函于圜众界形相等之三角
形其小边既短于圜之辐线而大边亦
圜之周界与三角形之大边等者即如
等边众界形之各界共度与三角形之
大边等也若夫函圜众界形相等之三
角形其小边虽与圜之辐线等其大边
则长于圜之周线故其积分亦大于圜
之积分而函于圜众界形相等之三角
形其小边既短于圜之辐线而大边亦
卷二 第 57b 页 WYG0799-0075b.png WYG0799-0075c.png
短于圜之周线故其积分亦小于圜之
积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角
形其小边既与圜之辐线等面三角形
之大边又与圜之周线等则其积分与
圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲
线也等边众界形之界度直线也观之
似难于相通者如以圜之内外各设多
边众界形分为千万边(如本卷第/十九节云)则逼
圜界最近将合而为一乃依所分之段
积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角
形其小边既与圜之辐线等面三角形
之大边又与圜之周线等则其积分与
圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲
线也等边众界形之界度直线也观之
似难于相通者如以圜之内外各设多
边众界形分为千万边(如本卷第/十九节云)则逼
圜界最近将合而为一乃依所分之段
卷二 第 57b 页 WYG0799-0075b.png WYG0799-0075c.png
为千万正式三角形此千万正式三角
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形之中垂线亦将与圜之辐线合而为
一而千万边共界度既与圜周合而为
一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫
千万边正式三角形之中垂线既成圜
之辐线则与丙丁戊三角形之小边等
而千万边正式三角形之底界共度又
成圜之周度则又与丙丁戊三角形之
大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙
一而千万边共界度既与圜周合而为
一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫
千万边正式三角形之中垂线既成圜
之辐线则与丙丁戊三角形之小边等
而千万边正式三角形之底界共度又
成圜之周度则又与丙丁戊三角形之
大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙
卷二 第 58b 页 WYG0799-0076b.png WYG0799-0076c.png
角至千万正式三角形之底界各作千
万斜式三角形以比正式三角形因其
㡳同其分自相等故千万斜式三角形
之共积比之千万正式三角形之共积
千万正式三角形之共积比之丙丁戊
一直角三角形之面积丙丁戊直角三
角形之面积比之甲圜形之面积俱相
等也
第二十三
万斜式三角形以比正式三角形因其
㡳同其分自相等故千万斜式三角形
之共积比之千万正式三角形之共积
千万正式三角形之共积比之丙丁戊
一直角三角形之面积丙丁戊直角三
角形之面积比之甲圜形之面积俱相
等也
第二十三
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有一圜形又一众界形此圜界度若与
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彼众界总度等则圜形之面积必大于
众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之
周界与戊己庚辛等边四角形之四边
总度等则圜形之面积必大于等边四
角形之面积矣前言凡圜形之辐线与
一直角三角形之小边线度等而圜之
周界与三角形之大边线度等则三角
形之面积与圜形之面积相等矣今试
众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之
周界与戊己庚辛等边四角形之四边
总度等则圜形之面积必大于等边四
角形之面积矣前言凡圜形之辐线与
一直角三角形之小边线度等而圜之
周界与三角形之大边线度等则三角
形之面积与圜形之面积相等矣今试
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以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大
边以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三
角形之小边作一子丑寅直角三角形
则三角形之丑寅大边线度亦与戊己
庚辛四角形之四边总度等而三角形
之子丑小边线度虽与圜形甲壬辐线
等却比四角形之自壬心至癸边所作
垂线为长若将三角形之子丑小边线
照四角形之壬癸垂线度截开则分子
边以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三
角形之小边作一子丑寅直角三角形
则三角形之丑寅大边线度亦与戊己
庚辛四角形之四边总度等而三角形
之子丑小边线度虽与圜形甲壬辐线
等却比四角形之自壬心至癸边所作
垂线为长若将三角形之子丑小边线
照四角形之壬癸垂线度截开则分子
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丑线于卯复自卯至寅作一斜弦即成
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卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三
角形之分与戊己庚辛四角形相等也
此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分
之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲
乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角
形之面积等而戊己庚辛四角形之面
积又与卯丑寅三角形之面积等则戊
己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙
角形之分与戊己庚辛四角形相等也
此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分
之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲
乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角
形之面积等而戊己庚辛四角形之面
积又与卯丑寅三角形之面积等则戊
己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙
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丁圜形之面积可知矣观此凡界度相
等之形圜界所函之分比众界所函之
分必大而众界所函之分与圜界所函
之分同者则众界之总度复比圜界度
大也
等之形圜界所函之分比众界所函之
分必大而众界所函之分与圜界所函
之分同者则众界之总度复比圜界度
大也
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几何原本五
第一
平面之上所立直线无少偏倚其各边
所生之角必俱直则谓之平面上所立
垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线
不偏不倚此即为平面上所立之垂线
矣
第二
第一
平面之上所立直线无少偏倚其各边
所生之角必俱直则谓之平面上所立
垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线
不偏不倚此即为平面上所立之垂线
矣
第二
卷二 第 61b 页 WYG0799-0078d.png WYG0799-0079a.png
凡两平面相对其所立众垂线度俱各
相等则此相对之平面谓之平行面也
如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂
线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即
为平行面矣
第三
平面上复立一平面无少偏倚其两边
所成之角必皆为直角则谓之平面上
所立直面也如甲乙平面上所立之丙
相等则此相对之平面谓之平行面也
如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂
线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即
为平行面矣
第三
平面上复立一平面无少偏倚其两边
所成之角必皆为直角则谓之平面上
所立直面也如甲乙平面上所立之丙
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丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此
卷二 第 62a 页 WYG0799-0079c.png
即为平面上所立之直面矣
第四
凡各面相合其每面之角所合处复成
一种体角则谓之厚角夫厚角必自三
面合之乃成其面多者为各瓣相并所
成之厚角也如甲图四面为四瓣相并
所生之厚角乙图五面为五瓣相并所
生之厚角是己
第四
凡各面相合其每面之角所合处复成
一种体角则谓之厚角夫厚角必自三
面合之乃成其面多者为各瓣相并所
成之厚角也如甲图四面为四瓣相并
所生之厚角乙图五面为五瓣相并所
生之厚角是己
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第五
凡各面相并所成之厚角如将各面计
之则其众角所合之分必不足于四直
角度也如甲图五面合成之厚角若将
其五面展开使平作乙丙丁戊己平面
之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙
丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之
周界矣因其不满于圜之周界故比四
直角为不足也或以四直角分强欲作
凡各面相并所成之厚角如将各面计
之则其众角所合之分必不足于四直
角度也如甲图五面合成之厚角若将
其五面展开使平作乙丙丁戊己平面
之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙
丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之
周界矣因其不满于圜之周界故比四
直角为不足也或以四直角分强欲作
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一厚角则其瓣过于大必不能成平面
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所合之厚角矣
第六
凡等边三面所合厚角其三面内之两
面角并之必大于一直角度也如甲丙
乙丁之等边三面所合之甲厚角将乙
甲丙丙甲丁二面并之必大于一直角
度矣依前节法将甲厚角展开使平虽
不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之
第六
凡等边三面所合厚角其三面内之两
面角并之必大于一直角度也如甲丙
乙丁之等边三面所合之甲厚角将乙
甲丙丙甲丁二面并之必大于一直角
度矣依前节法将甲厚角展开使平虽
不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之
卷二 第 63b 页 WYG0799-0080d.png WYG0799-0081a.png
二而并之则较之一直角度为大焉何
以见之夫三面展开其所离之虚分仍
有三面之分以三面之实分合三面之
虚分则为六角之全形此六角之全形
得四直角度矣六角而得四直角则三
角必得二直角三角既得二直角则二
角相并必大于一直角可知矣
第七
凡平面二线交处作一垂线正立而无
以见之夫三面展开其所离之虚分仍
有三面之分以三面之实分合三面之
虚分则为六角之全形此六角之全形
得四直角度矣六角而得四直角则三
角必得二直角三角既得二直角则二
角相并必大于一直角可知矣
第七
凡平面二线交处作一垂线正立而无
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偏倚此线任在平面各处俱为垂线如
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甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交
己处作一戊己垂线正立而不偏倚则
此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一
处俱为垂线也假使戊己垂线不能正
立而有所偏倚则如壬己线近于辛而
离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚
则偏向于丁丙而远于甲乙而壬己丁
壬己丙之二角为锐角壬己甲壬己乙
己处作一戊己垂线正立而不偏倚则
此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一
处俱为垂线也假使戊己垂线不能正
立而有所偏倚则如壬己线近于辛而
离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚
则偏向于丁丙而远于甲乙而壬己丁
壬己丙之二角为锐角壬己甲壬己乙
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之二角为钝角矣戊己既如壬己则不
得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之
垂线矣
第八
众线交处立一垂线其各角若俱直此
所交各线必在一平面也如甲丙乙丁
庚辛之三线相交处立一戊己垂线其
与众线相接各角若俱直则此相交之
三线必在一平面也夫众线之相交固
得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之
垂线矣
第八
众线交处立一垂线其各角若俱直此
所交各线必在一平面也如甲丙乙丁
庚辛之三线相交处立一戊己垂线其
与众线相接各角若俱直则此相交之
三线必在一平面也夫众线之相交固
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在平面而垂线之所立正所以考面或
卷二 第 65a 页 WYG0799-0082c.png
一角不直则不得谓之平面矣
第九
平面上若立二垂线必互为平行线如
甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂
线则此二线互为平行线也试自辛过
己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂
线所立之分必正其在甲乙丙丁平面
上任指何处所生之角俱是直角(见本/卷首)
第九
平面上若立二垂线必互为平行线如
甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂
线则此二线互为平行线也试自辛过
己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂
线所立之分必正其在甲乙丙丁平面
上任指何处所生之角俱是直角(见本/卷首)
卷二 第 65b 页 WYG0799-0082d.png WYG0799-0083a.png
(节/)故戊己壬庚辛己二角俱为直角而
相等也且此二角又为二线与一线相
交所成之内外角其度既等则戊己庚
辛二线必为平行线矣(如首卷第/二十一节)
第十
有二线与一垂线平行虽不在平面之
一界此三线亦互相为平行线也如甲
乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不
立于一直线上虽不居平面之一界此
相等也且此二角又为二线与一线相
交所成之内外角其度既等则戊己庚
辛二线必为平行线矣(如首卷第/二十一节)
第十
有二线与一垂线平行虽不在平面之
一界此三线亦互相为平行线也如甲
乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不
立于一直线上虽不居平面之一界此
卷二 第 65b 页 WYG0799-0082d.png WYG0799-0083a.png
三线亦必互为平行线也试于甲乙丙
卷二 第 66a 页 WYG0799-0083c.png
丁戊己三线之末作一庚辛平面此平
面上之戊己线为垂线其四围平面所
生之各角俱是直角矣复自乙过己自
丁过己作相交二线则成甲乙己戊己
壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角
俱为平行线一边之内外角俱为相等
角矣(见首卷第/二十一节)而甲乙己丙丁己二角
亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛
面上之戊己线为垂线其四围平面所
生之各角俱是直角矣复自乙过己自
丁过己作相交二线则成甲乙己戊己
壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角
俱为平行线一边之内外角俱为相等
角矣(见首卷第/二十一节)而甲乙己丙丁己二角
亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛
卷二 第 66b 页 WYG0799-0083d.png WYG0799-0084a.png
平面上所生之角皆直又皆与戊己垂
线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆
得为垂线其与戊己线为互相平行之
三线可知矣
第十一
相对二平面之间横一直线此线在二
平面上所生角若俱直则此相对二面
互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁
壬二平面之间横一戊己直线此戊己
线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆
得为垂线其与戊己线为互相平行之
三线可知矣
第十一
相对二平面之间横一直线此线在二
平面上所生角若俱直则此相对二面
互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁
壬二平面之间横一戊己直线此戊己
卷二 第 66b 页 WYG0799-0083d.png WYG0799-0084a.png
线末所抵处其四围俱成直角则此二
卷二 第 67a 页 WYG0799-0084c.png
平面互相为平行面矣试将此二平面
之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相
交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横
线于二平面各界所生之角俱为直角
如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所
生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相
等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣
又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦
之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相
交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横
线于二平面各界所生之角俱为直角
如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所
生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相
等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣
又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦
卷二 第 67b 页 WYG0799-0084d.png WYG0799-0085a.png
相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行
矣相对二平面之上所有之相当各二
线既俱同为平行线则相对之二平面
自然互为平行面矣
第十二
有二平行面横交一面其相交处所生
二线必平行如甲乙丙丁平行二面上
横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交
处所生二线亦俱平行也何以言之庚
矣相对二平面之上所有之相当各二
线既俱同为平行线则相对之二平面
自然互为平行面矣
第十二
有二平行面横交一面其相交处所生
二线必平行如甲乙丙丁平行二面上
横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交
处所生二线亦俱平行也何以言之庚
卷二 第 67b 页 WYG0799-0084d.png WYG0799-0085a.png
辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲
卷二 第 68a 页 WYG0799-0085c.png
乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁
二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同
为平行线且又在戊己一平面内其分
自然相对故此二平面与一平面相交
之缝线亦得为平行也
第十三
凡各种面内所积之实为体而皆因其
面以名之焉如全体不成角度止现圆
二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同
为平行线且又在戊己一平面内其分
自然相对故此二平面与一平面相交
之缝线亦得为平行也
第十三
凡各种面内所积之实为体而皆因其
面以名之焉如全体不成角度止现圆
卷二 第 68b 页 WYG0799-0085d.png WYG0799-0086a.png
之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体
各面俱平各边相等所成各角又等则
谓之平面正方体丙丁图是也全体各
面虽平体长而面成两式其相对各面
仍两两相等相对各边则又平行角又
相等此谓之平行长方体戊己图是也
体有曲平两面相杂而不成等边等面
则谓之底平半圆体庚辛图是也全体
相对之各面不平行上下两面平行则
各面俱平各边相等所成各角又等则
谓之平面正方体丙丁图是也全体各
面虽平体长而面成两式其相对各面
仍两两相等相对各边则又平行角又
相等此谓之平行长方体戊己图是也
体有曲平两面相杂而不成等边等面
则谓之底平半圆体庚辛图是也全体
相对之各面不平行上下两面平行则
卷二 第 68b 页 WYG0799-0085d.png WYG0799-0086a.png
谓之上下面平行体壬癸图是也体圆
卷二 第 69a 页 WYG0799-0086c.png
而上下面俱平则谓之长圆体子图是
也底为平面其各面俱合于一角而成
厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三
瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众
角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是
也又或底面圆而渐锐成形则谓之尖
圆体辰图是也
第十四
也底为平面其各面俱合于一角而成
厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三
瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众
角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是
也又或底面圆而渐锐成形则谓之尖
圆体辰图是也
第十四
卷二 第 69b 页 WYG0799-0086d.png WYG0799-0087a.png
凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故
其外皮面积亦生于圜界一旋转之度
分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙
径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋
转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形
体如取甲乙戊己平行面之长圆形则
以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转
式旋转复还于原处即成甲乙戊己一
长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以
其外皮面积亦生于圜界一旋转之度
分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙
径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋
转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形
体如取甲乙戊己平行面之长圆形则
以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转
式旋转复还于原处即成甲乙戊己一
长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以
卷二 第 69b 页 WYG0799-0086d.png WYG0799-0087a.png
甲乙中线为枢心将甲丁边线作转式
卷二 第 70a 页 WYG0799-0087c.png
旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖
圆体矣
第十五
凡各体形其各面平行相当则相对两
边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体
其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面
俱各平行故相对二面之积自两两相
等也
圆体矣
第十五
凡各体形其各面平行相当则相对两
边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体
其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面
俱各平行故相对二面之积自两两相
等也
卷二 第 70b 页 WYG0799-0087d.png WYG0799-0088a.png
第十六
凡体面式不一而积等者为积数相等
之体面式既同而体积又等者为面式
体积全等之体如甲乙二体为积数相
等之体也丙丁二体为面式体积全等
之体也
第十七
凡平行面之长方体自一面之对角线
平分为两三棱体此两三棱体必为面
凡体面式不一而积等者为积数相等
之体面式既同而体积又等者为面式
体积全等之体如甲乙二体为积数相
等之体也丙丁二体为面式体积全等
之体也
第十七
凡平行面之长方体自一面之对角线
平分为两三棱体此两三棱体必为面
卷二 第 70b 页 WYG0799-0087d.png WYG0799-0088a.png
式体积全等之体矣如甲乙平行面长
卷二 第 71a 页 WYG0799-0088c.png
方体自丙丁二角至相对戊己二角分
为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为
面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛
丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角
线均分为两三角形面则所分之戊庚
丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面
积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面
又互为平行必两两相等再对角线分
为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为
面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛
丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角
线均分为两三角形面则所分之戊庚
丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面
积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面
又互为平行必两两相等再对角线分
卷二 第 71b 页 WYG0799-0088d.png WYG0799-0089a.png
成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一
界所分必各相等今所分二形之各面
既各相等则其积必等而为面式体积
全等体无疑矣
第十八
凡平行二平面之间若同底立各平行
体其积必相等设甲乙丙丁平行二平
面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二
平行体其积俱相等何也盖因壬戊己
界所分必各相等今所分二形之各面
既各相等则其积必等而为面式体积
全等体无疑矣
第十八
凡平行二平面之间若同底立各平行
体其积必相等设甲乙丙丁平行二平
面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二
平行体其积俱相等何也盖因壬戊己
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子丑寅平面三角形之壬戊己子面与
卷二 第 72a 页 WYG0799-0089c.png
卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚
辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角
形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平
面三角形之癸辛庚午面平行故其各
面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅
午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其
度亦必相等此二面之度既等则壬子
寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其
辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角
形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平
面三角形之癸辛庚午面平行故其各
面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅
午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其
度亦必相等此二面之度既等则壬子
寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其
卷二 第 72b 页 WYG0799-0089d.png WYG0799-0090a.png
上下各面度既等而平面两三角形之
各面各边度又俱等则此壬庚癸己二
平行体之积必然相等也可知矣
第十九
凡平行平面之间所有立于等积底之
各平行体其积必俱相等设如甲乙丙
丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸
子丑二等积之底立一寅庚正面平行
体一卯子斜面平行体此二体之积必
各面各边度又俱等则此壬庚癸己二
平行体之积必然相等也可知矣
第十九
凡平行平面之间所有立于等积底之
各平行体其积必俱相等设如甲乙丙
丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸
子丑二等积之底立一寅庚正面平行
体一卯子斜面平行体此二体之积必
卷二 第 72b 页 WYG0799-0089d.png WYG0799-0090a.png
相等试自寅庚正面平行体之戊己庚
卷二 第 73a 页 WYG0799-0090c.png
辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未
面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯
庚二体立于戊己庚辛之一底其积相
等矣(如前节/所云)而卯子卯庚二体又同立
于卯辰午未之面其积亦必相等是以
寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱
与卯庚平行体相等故云凡平行平面
之间所有立于等积底之各平行体其
面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯
庚二体立于戊己庚辛之一底其积相
等矣(如前节/所云)而卯子卯庚二体又同立
于卯辰午未之面其积亦必相等是以
寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱
与卯庚平行体相等故云凡平行平面
之间所有立于等积底之各平行体其
卷二 第 73b 页 WYG0799-0090d.png WYG0799-0091a.png
积必俱相等也
第二十
平行平面之间有立于等积三角底之
各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平
行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积
三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体
此二体积必相等何以见之若以此二
体之上边二面之戊辰辰己二界平行
作戊未己未二线辛午壬午二界平行
第二十
平行平面之间有立于等积三角底之
各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平
行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积
三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体
此二体积必相等何以见之若以此二
体之上边二面之戊辰辰己二界平行
作戊未己未二线辛午壬午二界平行
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作辛申壬申二线又于此二体之下边
卷二 第 74a 页 WYG0799-0091c.png
二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉
丑二线寅癸癸卯二界平行作寅戌戌
卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
角线其度相等(见三卷/第三节)其分比三角面
各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
丑二线寅癸癸卯二界平行作寅戌戌
卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸
卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对
角线其度相等(见三卷/第三节)其分比三角面
各大一倍矣复于所作二底边酉戌二
处作酉未一纵线戌申一纵线即成未
庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑
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戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未
庚申癸平行面之二方体亦自相等(见/本)
(卷第十/九节)此未庚申癸平行面二方体既
各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
未庚申癸二方体之正一半其积必等
无疑矣
第二十一
凡各种体形难以图显盖以图止一面
故也必用木石制之始能相肖况此各
庚申癸平行面之二方体亦自相等(见/本)
(卷第十/九节)此未庚申癸平行面二方体既
各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为
未庚申癸二方体之正一半其积必等
无疑矣
第二十一
凡各种体形难以图显盖以图止一面
故也必用木石制之始能相肖况此各
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种形体又或有外实而内空者必按其
卷二 第 75a 页 WYG0799-0092c.png
形以求其理始可发明其精蕴矣
第二十二
凡各面所成体形内其各面俱平行或
上下面为平行而立于等积之底其体
之高又等则其体之积亦相等如甲乙
体其各面俱平行又如丙丁体其上下
面平行立于等积之底其高又等或又
如戊己体其上下面平行圆面积又等
第二十二
凡各面所成体形内其各面俱平行或
上下面为平行而立于等积之底其体
之高又等则其体之积亦相等如甲乙
体其各面俱平行又如丙丁体其上下
面平行立于等积之底其高又等或又
如戊己体其上下面平行圆面积又等
卷二 第 75b 页 WYG0799-0092d.png WYG0799-0093a.png
高又等则其两两体积必相等矣又如
庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之
底其体之高若等则其体之积亦相等
何以见之若将众尖体分为平行底之
众小体其所分众小体之底度高度必
俱相等如子丑图其所分小体之积俱
等故其全体之积亦相等也
第二十三
凡上下面平行各体与平底尖体同底
庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之
底其体之高若等则其体之积亦相等
何以见之若将众尖体分为平行底之
众小体其所分众小体之底度高度必
俱相等如子丑图其所分小体之积俱
等故其全体之积亦相等也
第二十三
凡上下面平行各体与平底尖体同底
卷二 第 75b 页 WYG0799-0092d.png WYG0799-0093a.png
同高者不论平面圆面其平底尖体皆
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得上下面平行体三分之一如甲乙上
下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体
其乙丁两底积等甲乙丙丁两高度又
等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等
如戊己上下面平行之三棱体与庚辛
三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛
两高度又等则戊己三棱体与庚辛尖
体三形等又如壬癸上下面平行之长
下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体
其乙丁两底积等甲乙丙丁两高度又
等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等
如戊己上下面平行之三棱体与庚辛
三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛
两高度又等则戊己三棱体与庚辛尖
体三形等又如壬癸上下面平行之长
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圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等
壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体
与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆
体与甲乙戊己类体同底同高则壬癸
长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所
合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚
辛类尖体同底同高则子丑尖圆体三
倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫
同底同高上下面平行体既俱为尖体
壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体
与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆
体与甲乙戊己类体同底同高则壬癸
长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所
合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚
辛类尖体同底同高则子丑尖圆体三
倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫
同底同高上下面平行体既俱为尖体
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之三倍则尖体为上下面平行体三分
卷二 第 77a 页 WYG0799-0094c.png
之一可知矣(盖甲乙戊己壬癸各体其/式虽不同苟底积高度相)
(等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式/虽不同苟底积高度相等其积亦必等)
(故知丙丁庚辛子丑平底尖体互为甲/乙戊己壬癸上下面平行各体三分之)
(一也如将上下面平行各体以木石为/之分作同底同高之各平底尖体用权)
(衡以较其分量则各体/之积分自昭然可见矣)
第二十四
凡长圆体外周面积与长方体底面积
相等而长圆体半径又与长方体高度
(等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式/虽不同苟底积高度相等其积亦必等)
(故知丙丁庚辛子丑平底尖体互为甲/乙戊己壬癸上下面平行各体三分之)
(一也如将上下面平行各体以木石为/之分作同底同高之各平底尖体用权)
(衡以较其分量则各体/之积分自昭然可见矣)
第二十四
凡长圆体外周面积与长方体底面积
相等而长圆体半径又与长方体高度
卷二 第 77b 页 WYG0799-0094d.png WYG0799-0095a.png
相等则长圆体积必得长方体积之半
也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积
与戊己长方体之庚己底面积等而长
圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚
高度等则此甲乙丙丁长圆体积必得
戊己长方体积之一半也试将甲乙丙
丁长圆体从壬癸中线至周围外面分
为千万分则成子丑己类千万长尖体
此千万长尖体之高与长圆体之壬子
也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积
与戊己长方体之庚己底面积等而长
圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚
高度等则此甲乙丙丁长圆体积必得
戊己长方体积之一半也试将甲乙丙
丁长圆体从壬癸中线至周围外面分
为千万分则成子丑己类千万长尖体
此千万长尖体之高与长圆体之壬子
卷二 第 77b 页 WYG0799-0094d.png WYG0799-0095a.png
半径等而千万长尖体之共底即长圆
卷二 第 78a 页 WYG0799-0095c.png
体之周围外面积则此千万长尖体必
为戊己长方体之一半矣盖寅己辛三
角面为午己长方面之一半(见三卷/第三节)而
此子丑己类众三角面与寅己辛三角
面等(见四卷第/二十节)子丑己类众三角面既
与寅己辛三角面等则子丑己类众长
尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等
此卯辰庚辛己寅三角体固为戊己长
为戊己长方体之一半矣盖寅己辛三
角面为午己长方面之一半(见三卷/第三节)而
此子丑己类众三角面与寅己辛三角
面等(见四卷第/二十节)子丑己类众三角面既
与寅己辛三角面等则子丑己类众长
尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等
此卯辰庚辛己寅三角体固为戊己长
卷二 第 78b 页 WYG0799-0095d.png WYG0799-0096a.png
方体之一半今长圆体所分之众长尖
体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦
必为戊己长方体之一半故甲乙丙丁
长圆体为戊己长方体之一半也
第二十五
凡球体外面积与尖圆体之底积等而
球体之半径与尖圆体之高度等则此
球体之积与尖圆体之积等也如甲乙
丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体
体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦
必为戊己长方体之一半故甲乙丙丁
长圆体为戊己长方体之一半也
第二十五
凡球体外面积与尖圆体之底积等而
球体之半径与尖圆体之高度等则此
球体之积与尖圆体之积等也如甲乙
丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体
卷二 第 78b 页 WYG0799-0095d.png WYG0799-0096a.png
之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径
卷二 第 79a 页 WYG0799-0096c.png
与尖圆体之己壬高度等则此球体之
积为与尖圆体之积等也试将球体从
中心分为千万尖体复将尖圆体亦分
为千万尖体则球体所分尖体每一分
必皆与尖圆体所分尖体一分等何也
盖球体所分尖体皆以球体之外面为
底而以球体之甲戊半径为高其尖圆
体所分尖体皆以尖圆体之底为底而
积为与尖圆体之积等也试将球体从
中心分为千万尖体复将尖圆体亦分
为千万尖体则球体所分尖体每一分
必皆与尖圆体所分尖体一分等何也
盖球体所分尖体皆以球体之外面为
底而以球体之甲戊半径为高其尖圆
体所分尖体皆以尖圆体之底为底而
卷二 第 79b 页 WYG0799-0096d.png WYG0799-0097a.png
以尖圆体之己壬高为高夫尖圆体之
底积原与球体之外面积等而尖圆体
之高度又与球体甲戊半径等故此两
种千万尖体皆为同底同高其积相等
无疑矣(见本卷第/十八节)然此两种千万尖体
即球体尖圆体之所分其所分之体既
等则原体亦必相等可知故曰球体与
尖圆体俱相等也
第二十六
底积原与球体之外面积等而尖圆体
之高度又与球体甲戊半径等故此两
种千万尖体皆为同底同高其积相等
无疑矣(见本卷第/十八节)然此两种千万尖体
即球体尖圆体之所分其所分之体既
等则原体亦必相等可知故曰球体与
尖圆体俱相等也
第二十六
卷二 第 79b 页 WYG0799-0096d.png WYG0799-0097a.png
凡各形外皮面积相等之体惟圆体所
卷二 第 80a 页 WYG0799-0097c.png
函之积数大于他种各体所函之积如
甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆
体所函之积必大于乙丙丁直界体所
函之积也何也大凡圆形其半圆周一
旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一
次旋转即成甲圆体(见本卷第/十四节)又凡平
面圆界所函之积必大于等边各形所
函之积(见四卷第/二十三节)平面圆界所函犹大
甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆
体所函之积必大于乙丙丁直界体所
函之积也何也大凡圆形其半圆周一
旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一
次旋转即成甲圆体(见本卷第/十四节)又凡平
面圆界所函之积必大于等边各形所
函之积(见四卷第/二十三节)平面圆界所函犹大
卷二 第 80b 页 WYG0799-0097d.png WYG0799-0098a.png
于各等边所函之积则圆体所函必大
于各直界体所函之积可知矣
第二十七
厚角所成等面体形有五种各以面数
而名之其一为四面体每面有三角各
三角之各三界度俱等如甲图是也二
为六面体每面俱为正方其方面之四
角俱为直角而各界互等故又为正方
体如乙图是也三为八面体每面有三
于各直界体所函之积可知矣
第二十七
厚角所成等面体形有五种各以面数
而名之其一为四面体每面有三角各
三角之各三界度俱等如甲图是也二
为六面体每面俱为正方其方面之四
角俱为直角而各界互等故又为正方
体如乙图是也三为八面体每面有三
卷二 第 80b 页 WYG0799-0097d.png WYG0799-0098a.png
角各三角之各三界度俱等如丙图是
卷二 第 81a 页 WYG0799-0098c.png
也四为十二面体每面有五角各五角
之五界度俱等如丁图是也五为二十
面体每面有三角各三角之各三界度
俱等如戊图是也
第二十八
前节发明五种厚角所成等面体形之
外不能复生他形盖此五种厚角体俱
是等边三角四角五角之平面相合所
之五界度俱等如丁图是也五为二十
面体每面有三角各三角之各三界度
俱等如戊图是也
第二十八
前节发明五种厚角所成等面体形之
外不能复生他形盖此五种厚角体俱
是等边三角四角五角之平面相合所
卷二 第 81b 页 WYG0799-0098d.png WYG0799-0099a.png
成也凡平面自三界以下不能成面(见/二)
(卷首/节)而厚角自三面以下亦不能成角
故厚角自三面始如甲四面体其四厚
角皆三平面三角形所合而成也乙八
面体其六厚角皆四平面三角形所合
而成也丙二十面体其十二厚角皆五
平面三角形所合而成也然平面三角
形所合过于五形则不能成厚角故平
面六三角形合于一处即成庚形其甲
(卷首/节)而厚角自三面以下亦不能成角
故厚角自三面始如甲四面体其四厚
角皆三平面三角形所合而成也乙八
面体其六厚角皆四平面三角形所合
而成也丙二十面体其十二厚角皆五
平面三角形所合而成也然平面三角
形所合过于五形则不能成厚角故平
面六三角形合于一处即成庚形其甲
卷二 第 81b 页 WYG0799-0098d.png WYG0799-0099a.png
乙丙丁戊己六角相合与四直角等(见/首)
卷二 第 82a 页 WYG0799-0099c.png
(卷第十/五节)既与四直角等则为平面不成
厚角矣(如本卷/第五节)六形相合尚不能成厚
角况多形乎是故平面三角形所生厚
角体仅得四面八面二十面三种而已
若夫平面正方四角形所成厚角如丁
六面正方体其八厚角皆三平面四角
形所合而成此外更无他形若将四平
面四角形合于一处即成辛形其甲乙
厚角矣(如本卷/第五节)六形相合尚不能成厚
角况多形乎是故平面三角形所生厚
角体仅得四面八面二十面三种而已
若夫平面正方四角形所成厚角如丁
六面正方体其八厚角皆三平面四角
形所合而成此外更无他形若将四平
面四角形合于一处即成辛形其甲乙
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丙丁四角既俱为直角必不能成厚角
矣故四角形所生厚角仅有一六面正
方体而已至于平面五角形所成厚角
如戊十二面体其二十厚角皆三平面
五角形所合而成此外更无他形也或
将四平面五角形如癸子丑寅之四角
合于壬此四角俱为钝角必大于四直
角既大于四直角在平面尚不能相合
厚角岂能成耶是以平面五角形所成
矣故四角形所生厚角仅有一六面正
方体而已至于平面五角形所成厚角
如戊十二面体其二十厚角皆三平面
五角形所合而成此外更无他形也或
将四平面五角形如癸子丑寅之四角
合于壬此四角俱为钝角必大于四直
角既大于四直角在平面尚不能相合
厚角岂能成耶是以平面五角形所成
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之厚角仅有一十二面体而已或将平
卷二 第 83a 页 WYG0799-0100c.png
面六角形之三形合于一处为癸其甲
乙丙三角度与四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五种体只在三
角四角五角三种平面形所生此外不
能复成他形也
乙丙三角度与四直角等故不成厚角
六角平面相合既不成厚角其七角八
角等形愈不能成厚角矣故曰四面六
面八面十二面二十面五种体只在三
角四角五角三种平面形所生此外不
能复成他形也
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卷二 第 83b 页 WYG0799-0100d.png WYG0799-0101a.png
御制数理精蕴上编卷二