钦定四库全书
御制历象考成上编卷十
　　五星历理二(专论土星/)
　　　土星平行度
　　　用土星三次冲日求本轮均轮半径及最高
　　　求初均数
　　　求次均数

　　土星平行度
测土星平行之法用前后两测取其距恒星之度分
等(恒星有岁差每年五十/一秒测时须加入计之)距太阳之远近左右亦等
乃计其前后相距中积若干日时及星行满次轮若
干周即可得其每日平行之率盖两测距恒星之度
既等则其行满一周天而复于故处而距太阳之远
近左右又等则两测之迟疾加减俱等而次轮之行
亦满全周而复其故处也新法历书载古测定五十

九平年又十六日十分日之三或二万一千五百五
十一日又十分日之三土星行次轮五十七周(即会/日五)
(十七次冲日/亦五十七次)置中积二万一千五百五十一日又十
分日之三为实星行次轮周数五十七为法除之得
周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十
八微四十一纤一十六忽四十八芒(即三百七十八/日零百分日之)
(九分二九八二□时历作/三百七十八日○九一六)乃以每周三百六十度为
实周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三
十八微四十一纤一十六忽四十八芒为法除之得

五十七分零七秒四十三微四十一纤四十四忽三

十三芒为每日土星距太阳之行(即土星在次轮周/每日之行一名岁)
行与每日太阳平行五十九分零八秒一十九微四
十九纤五十一忽三十九芒相减馀二分零三十六
微零八纤零七忽零六芒为每日土星平行经度(即/本)
(轮心每/日之行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之
平行用除法可得每时每分之平行以立表

　　用土星三次冲日求本轮均轮半径及最高
土星之初均数生于本轮半径而求本轮半径须用
三次冲日与月离用三月食同盖星冲日之时星在
次轮最近点无次均数故测诸星本轮半径者必俟
此时也新法历书载西人多录某于汉顺帝时用土
星三次冲日推得两心差为本天半径十万分之一
万一千七百七十二用其四分之三为本轮半径四
分之一为均轮半径最高在大火宫二十三度(永建/二年)

(丁/卯)后因其数与天行不合又改两心差为本天半径
十万分之一万一千二百七十七至明正德间西人
歌白泥复用三测推得两心差为本天半径十万分
之一万二千最高在析木宫二十七度三十五分(正/德)
(九年/甲戌)相距一千三百八十七年而两次所测最高相
差三十四度三十五分乃以三十四度三十五分为
实一千三百八十七年为法除之得每年最高行一
分二十九秒四十六微万历间西人第谷又测得两
心差为本天半径十万分之一万一千六百二十八

后又定两心差为本天半径千万分之一百一十六

万二千本轮半径为本天半径千万分之八十六万
五千五百八十七(此四分之三小/比三分之二大)均轮半径为本天
半径千万分之二十九万六千四百一十三(比四分/之一大)
(比三分/之一小)最高在析木宫二十六度二十分二十七秒
(万历十八/年庚寅)每年最高行一分二十秒一十二微用其
数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法
如左
　　　　　　　　　　假如第一次冲日日躔娵

　　　　　　　　　　訾宫一度零三分二十七
　　　　　　　　　　秒土星在鹑尾宫一度零
　　　　　　　　　　三分二十七秒如甲第二
　　　　　　　　　　次冲日日躔娵訾宫二十
　　　　　　　　　　一度四十七分三十九秒
　　　　　　　　　　土星在鹑尾宫二十一度
　　　　　　　　　　四十七分三十九秒如乙
　　　　　　　　　　第三次冲日日躔降娄宫
　　　　　　　　　　一十六度五十一分二十

　　　　　　　　　　八秒土星在寿星宫一十

　　　　　　　　　　六度五十一分二十八秒
　　　　　　　　　　如丙
　　　　　　　　　　第一次冲日距第二次冲
　　　　　　　　　　日一万一千三百四十三
　　　　　　　　　　日五时三十六分其实行
　　　　　　　　　　相距二十度四十四分一
　　　　　　　　　　十二秒(即鹑尾宫甲点距/乙点之度亦即甲)
　　　　　　　　　　(丁乙角于第二次实行度/内减去第一次实行度即)

　　　　　　　　　　(得/)其平行相距一十九度
　　　　　　　　　　五十九分五十四秒(以每/日平)
　　　　　　　　　　(行度与距日相乘/减去全周即得)第二次
　　　　　　　　　　冲日距第三次冲日七百
　　　　　　　　　　五十五日二十时三十一
　　　　　　　　　　分其实行相距二十五度
　　　　　　　　　　零三分四十九秒(即鹑尾/宫乙点)
　　　　　　　　　　(距寿星宫丙点之度亦即/乙丁丙角于第三次实行)
　　　　　　　　　　(度内减去第二/次实行度即得)其平行相

　　　　　　　　　　距二十五度一十九分一

　　　　　　　　　　十六秒乃用不同心圈立
　　　　　　　　　　法算之任取戊点为心作
　　　　　　　　　　己庚辛壬不同心圈则辛
　　　　　　　　　　庚弧即第一次距第二次
　　　　　　　　　　之平行度一十九度五十
　　　　　　　　　　九分五十四秒庚巳弧即
　　　　　　　　　　第二次距第三次之平行
　　　　　　　　　　度二十五度一十九分一

　　　　　　　　　　十六秒爰从戊点过地心
　　　　　　　　　　丁至圜周二界作一线为
　　　　　　　　　　最高线戊丁即两心差又
　　　　　　　　　　引丙丁线至壬自壬至甲
　　　　　　　　　　丁乙丁二线所割庚辛二
　　　　　　　　　　点作壬庚壬辛二线自庚
　　　　　　　　　　至辛又作庚辛线即成壬
　　　　　　　　　　丁辛壬丁庚壬庚辛三三
　　　　　　　　　　角形以求本天半径与两

　　　　　　　　　　心差之比例先用壬丁辛

　　　　　　　　　　三角形求壬辛边此形有
　　　　　　　　　　壬角二十二度三十九分
　　　　　　　　　　三十五秒(壬为界角当辛/巳弧以辛庚庚)
　　　　　　　　　　(巳两弧相加/折半即得)有丁角一百
　　　　　　　　　　三十四度一十一分五十
　　　　　　　　　　九秒(即甲丁丙/角之馀)设丁壬边
　　　　　　　　　　为一○○○○○○○求
　　　　　　　　　　得壬辛边一八二四二六

　　　　　　　　　　三九次用壬丁庚三角形
　　　　　　　　　　求壬庚边此形有壬角一
　　　　　　　　　　十二度三十九分三十八
　　　　　　　　　　秒(以庚巳弧/折半即得)有丁角一百
　　　　　　　　　　五十四度五十六分一十
　　　　　　　　　　一秒(即乙丁丙/角之馀)设丁壬边
　　　　　　　　　　为一○○○○○○○求
　　　　　　　　　　得壬庚边一九七二二九
　　　　　　　　　　五四末用壬庚辛三角形

　　　　　　　　　　求庚角此形有壬辛边一

　　　　　　　　　　八二四二六三九有壬庚
　　　　　　　　　　边一九七二二九五四有
　　　　　　　　　　壬角九度五十九分五十
　　　　　　　　　　七秒(以辛壬丁角与庚/壬丁角相减即得)求
　　　　　　　　　　得庚角六十度五十八分
　　　　　　　　　　四十秒倍之得一百二十
　　　　　　　　　　一度五十七分二十秒为
　　　　　　　　　　辛壬弧与辛巳弧四十五

　　　　　　　　　　度一十九分一十秒相加
　　　　　　　　　　得一百六十七度一十六
　　　　　　　　　　分三十秒为己辛壬弧于
　　　　　　　　　　是以本天半径命为一○
　　　　　　　　　　○○○○○○各用八线
　　　　　　　　　　表求其通弦则辛壬弧之
　　　　　　　　　　通弦为一七四八八六三
　　　　　　　　　　二己壬弧之通弦为一九
　　　　　　　　　　八七六八一三乃用比例

　　　　　　　　　　法变先设之丁壬边为同

　　　　　　　　　　比例数以先得之辛壬边
　　　　　　　　　　一八二四二六三九与先
　　　　　　　　　　设之丁壬一○○○○○
　　　　　　　　　　○○之比即同于今所察
　　　　　　　　　　之辛壬通弦一七四八八
　　　　　　　　　　六三二与今所求之丁壬
　　　　　　　　　　边之比而得丁壬边九五
　　　　　　　　　　八六六七九又平分己辛

　　　　　　　　　　壬弧于癸作戊癸线平分
　　　　　　　　　　己壬通弦于子得子壬九
　　　　　　　　　　九三八四○七内减去丁
　　　　　　　　　　壬九五八六六七九馀子
　　　　　　　　　　丁三五一七二八又以己
　　　　　　　　　　癸弧八十三度三十八分
　　　　　　　　　　一十五秒与九十度相减
　　　　　　　　　　馀六度二十一分四十五
　　　　　　　　　　秒为戊巳子角(戊巳子为/直角三角)

　　　　　　　　　　(形戊角当己癸弧故己角/为己癸弧减象限之馀)

　　　　　　　　　　察其正弦得一一○八一
　　　　　　　　　　八五为戊子乃用戊子丁
　　　　　　　　　　勾股形以戊子为股子丁
　　　　　　　　　　为勾求得戊丁弦一一六
　　　　　　　　　　二六六三为两心差也
　　　　　　　　　　求最高之法亦用戊子丁
　　　　　　　　　　直角三角形求丁角此形
　　　　　　　　　　有三边有子直角求得丁

　　　　　　　　　　角七十二度二十三分二
　　　　　　　　　　十八秒即第三次冲日土
　　　　　　　　　　星距最高丑点之度也

　　求初均数
土星之初均数授时历名为盈缩差其盈差最大者
八度二五五二三八二一缩差最大者六度二七九
○四七一四以周天三百六十度每度六十分约之
盈差得八度零八分一十一秒四十一微缩差得六
度一十一分一十九秒三十八微冲合以外各段同
用新法历书最大之初均数为六度三十八分一十
九秒零六微(即六度零十分度之/六分三八六三三)惟星正当冲合之

时止用此均数加减若在冲合前后仍有次均数之
加减故此名初均数以别之
　　　　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本
　　　　　天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚
　　　　　为本轮戊丙半径为八十六万五千五
　
　　　　　百八十七戊为最高庚为最卑辛壬癸
　　　　　为均轮辛戊半径为二十九万六千四
　　　　　百一十三辛为最远(去本轮/心远也)癸为最近

　　　　　(去本轮/心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙

　　　　　而丁每日行二分有馀即土星经度均
　　　　　轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日
　　　　　亦行二分有馀(微不及经度之行每年/少一分二十秒一十二)
　　　　　(微/)即自行引数次轮心则循均轮右旋
　
　　　　　自癸而壬而辛每日行四分有馀为倍
　　　　　引数也
　　　　　如均轮心在本轮之最高戊为初宫初

　　　　　度则次轮心在均轮之最近癸或均轮
　　　　　心从本轮最高戊向已行半周至最卑
　　　　　庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最
　　　　　近癸历壬辛行一周复至癸从地心甲
　　　　　计之俱成一直线无平行实行之差故
　
　　　　　自行初宫初度及六宫初度俱无均数
　　　　　也
　　　　　如均轮心从本轮最高戊行三十度至

　　　　　子为一宫初度则次轮心从均轮最近

　　　　　癸行六十度至丑(丑癸弧为戊/子弧之倍度)从地心
　　　　　甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不
　　　　　及平行之度乃用丙癸卯直角三角形
　　　　　求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙
　
　　　　　角三十度则癸角必六十度有癸丙边
　　　　　五十六万九千一百七十四(本轮半径/内减去均)
　　　　　(轮半径/之数)求得癸卯边二十八万四千五

　　　　　百八十七卯丙边四十九万二千九百
　　　　　一十九以卯丙与丙甲本天半径一千
　　　　　万相加得一千零四十九万二千九百
　　　　　一十九为卯甲边以癸卯边与丑癸通
　　　　　弦二十九万六千四百一十三相加(即/均)
　
　　　　　(轮丑癸弧六十度之通弦故与均轮半/径等若非六十度则用比例法以半径)
　　　　　(一千万为一率均轮丑癸弧折半察正/弦为二率均轮子癸半径为三率得四)
　　　　　(率倍之即丑/癸通弦也)得五十八万一千为丑卯

　　　　　边于是用甲丑卯直角三角形求得甲

　　　　　角三度一十分零九秒即寅丙弧为自
　　　　　行一宫初度之初均数是为减差以减
　　　　　于平行而得实行也(凡求得初均角即/求得丑甲边为次)
　　　　　(轮心距地心之数存/之为后求次均之用)若均轮心从最高
　
　
　　　　　戊向己历庚行三百三十度至辰为十
　　　　　一宫初度则次轮心从均轮最近癸行

　　　　　一周复自最近癸历壬辛行三百度至
　　　　　已从地心甲计之当本天之午午丙弧
　　　　　与寅丙弧等故自行十一宫初度之初
　　　　　均数与一宫初度等但为实行过于平
　　　　　行之度是为加差以加于平行而得实
　
　
　　　　　行也用此法求得最高后三宫之减差
　　　　　(初宫初度至/二宫末度)即得最高前三宫之加差

　　　　　(九宫初度至/十一宫末度)

　　　　　如均轮心从本轮最高戊行一百二十
　　　　　度至未为四宫初度则次轮心从均轮
　　　　　最近癸历壬辛行二百四十度至申从
　　　　　地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实
　
　
　　　　　行不及平行之度乃用丙癸戌直角三
　　　　　角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角

　　　　　有丙角六十度则癸角必三十度癸丙
　　　　　边为五十六万九千一百七十四求得
　　　　　癸戌边四十九万二千九百一十九丙
　　　　　戌边二十八万四千五百八十七以丙
　　　　　戌边与丙甲本天半径一千万相减馀
　
　
　　　　　九百七十一万五千四百一十三为戌
　　　　　甲边以癸戌边与申癸通弦五十一万

　　　　　三千四百零二相加(即均轮申癸弧一/百二十度之通弦)

　　　　　得一百万零六千三百二十一为申戌
　　　　　边于是用甲申戌直角三角形求得甲
　　　　　角五度五十四分四十九秒即酉丙弧
　
　
　
　　　　　为自行四宫初度之初均数是为减差
　　　　　以减于平行而得实行也若均轮心从

　　　　　最高戊向已历庚行二百四十度至亥
　　　　　为八宫初度则次轮心从均轮最近癸
　　　　　行一周复自癸历壬行一百二十度至
　　　　　子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧
　
　
　　　　　与酉丙弧等故自行八宫初度之初均
　　　　　数与四宫初度等但为实行过于平行
　　　　　之度是为加差以加于平行而得实行

　　　　　也用此法求得最卑前三宫之减差(三/宫)
　　　　　(初度至五/宫末度)即得最卑后三宫之加差(六/宫)
　　　　　(初度至八/宫末度)

　　求次均数
土星与太阳冲合之后即有次均其数生于次轮盖
星冲太阳之时在次轮之最近合伏之时在次轮之
最远与次轮心及地心参直故求初均数即以次轮
心立算而无次均自冲合而外星行次轮周之左右
其次轮周星体所在即次均数也新法历书载西人
多录某测得次轮半径为本天半径十万分之一万
零八百三十三其后西人第谷又改为本天半径千

万分之一百零四万二千六百今从之
　　　　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本
　　　　　天之一弧丙甲为本天半径一千万戊
　　　　　丙巳为本轮全径戊丙半径为八十六
　　　　　万五千五百八十七戊为最高己为最
　
　　　　　卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为二
　　　　　十九万六千四百一十三庚为最远辛
　　　　　为最近(此远近以距/本轮心言)壬辛癸为次轮全

　　　　　径壬辛半径为一百零四万二千六百

　　　　　壬为最远癸为最近(此远近以/距地心言)本轮心
　　　　　从本天冬至度右旋(本天上与黄道/冬至相对之度)为
　　　　　经度均轮心从本轮最高戊左旋为引
　　　　　数(即自/行度)次轮心从均轮最近辛右旋为
　
　　　　　倍引数星从次轮最远壬右旋行距日
　　　　　之度(即本轮心距/太阳之度)如均轮心在本轮最
　　　　　高戊为自行初宫初度次轮心在均轮

　　　　　最近辛合伏之时星在次轮之最远壬
　　　　　冲太阳之时星在次轮之最近癸从地
　　　　　心甲计之与轮心同在一直线故无均
　　　　　数之加减若冲合以后则星在次轮周
　　　　　之左右(冲太阳之后在次轮之右/合伏之后在次轮之左)而次
　
　　　　　均生矣
　　　　　如均轮心从最高戊行三十度至子为
　　　　　自行一宫初度次轮心则从均轮最近

　　　　　辛行六十度至丑若星在次轮之最远

　　　　　壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑
　　　　　同在一直线从地心甲计之当本天之
　　　　　寅其丙甲寅角三度一十分零九秒(即/寅)
　　　　　(丙/弧)为初均数而无次均数若星从次轮
　
　
　　　　　最远壬历癸行三百度至卯从地心甲
　　　　　计之当本天之辰其寅甲辰角即次均

　　　　　数乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰/寅弧)此
　　　　　形有丑角一百二十度(于壬癸卯弧三/百度内减去壬)
　　　　　(癸半周馀癸卯/弧即丑角度)有卯丑半径一百零四
　　　　　万二千六百有丑甲边一千零五十万
　　　　　八千九百九十一(求丑甲边法见/前求初均数篇)求得
　
　
　　　　　甲角四度五十四分一十八秒即辰寅
　　　　　弧为次均数与初均数寅丙弧三度一

　　　　　十分零九秒相加得辰丙弧八度零四

　　　　　分二十七秒为实行不及平行之度是
　　　　　为减差以减于平行而得实行也若均
　　　　　轮心从最高戊历己行三百三十度至
　
　
　
　　　　　己为自行十一宫初度次轮心则从均
　　　　　轮最近辛行一周复行三百度至午星

　　　　　从次轮最远壬行六十度至未则初均
　　　　　数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申
　　　　　甲酉角与寅甲辰角等两角相加之丙
　　　　　甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过
　
　
　　　　　于平行之度是为加差以加于平行而
　　　　　得实行也(若测得平行实行之差及星/距太阳之度以推次轮半径)
　　　　　(亦用丑甲卯/三角形求之)

　　　　　如均轮心从最高戊行一百二十度至
　　　　　子为自行四宫初度次轮心则从均轮
　　　　　最近辛历庚行二百四十度至丑若星
　　　　　在次轮之最远壬或在次轮之最近癸
　
　
　　　　　则与次轮心丑同在一直线从地心甲
　　　　　计之当本天之寅其丙甲寅角五度五

　　　　　十四分四十九秒(即寅/丙弧)为初均数而无
　　　　　次均数若星从次轮最远壬行四十五
　　　　　度至卯从地心甲计之当本天之辰其
　　　　　寅甲辰角即次均数乃用丑甲卯三角
　　　　　形求甲角(即寅/辰弧)此形有丑角一百三十
　
　
　　　　　五度(于半周内减去壬卯弧四十/五度馀卯癸弧即丑角度)有卯
　　　　　丑半径一百零四万二千六百有丑甲

　　　　　边九百七十六万七千三百九十二求

　　　　　得甲角四度零五十二秒即寅辰弧为
　　　　　次均数与初均数寅丙弧五度五十四
　　　　　分四十九秒相减(因初均寅点在平行/丙点之后而次均辰)
　　　　　(点在寅点之/前故相减)馀辰丙弧一度五十三分
　
　
　　　　　五十七秒为实行不及平行之度是为
　　　　　减差以减于平行而得实行也若均轮

　　　　　心从最高戊历己行二百四十度至己
　　　　　为自行八宫初度次轮心则从均轮最
　　　　　近辛行一周复行一百二十度至午星
　　　　　从次轮最远壬历癸行三百一十五度
　
　
　
　　　　　至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角
　　　　　等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两

　　　　　角相减所馀之丙甲酉角亦与丙甲辰

　　　　　　角等但为实行过于平行之度是为加
　　　　　　差以加于平行而得实行也
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制历象考成上编卷十