钦定四库全书
御制历象考成上编卷三
　　弧三角形下
　　　斜弧三角形论
　　　斜弧三角形边角比例法
　　　斜弧三角形作垂弧法
　　　斜弧三角形用总较法(次形/法附)
　　　斜弧三角形设例八则

　　斜弧三角形论
弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但
直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱锐一种一
钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝
或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十
度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参
错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复
繁杂难稽盖三角三边各有八线但线与线之比例

相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所
用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法
求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件
为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求
之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对
之边角而无对所求之边角(或求角而无对角之边/或求边而无对边之角)
则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角(或三/边求)
(角或有两边一角而角在所知两边之间或三/角求边或有两角一边而边在所知两角之间)则用
总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降

出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣

　　斜弧三角形边角比例法
　　　　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之
　　　　　边角又有对所求之边角者则用边角
　　　　　比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角
　　　　　有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙
　　　　　为对所知之边甲为所知之角甲乙为
　　　　　对所求之边乃以对所知之乙丙边正
　　　　　弦与对所求之甲乙边正弦之比同于

　　　　　所知之甲角正弦与所求之丙角正弦
　　　　　之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁
　　　　　角有己角有丁戊边而求戊己边则己
　　　　　角为对所知之角丁戊为所知之边丁
　　　　　为对所求之角乃以对所知之己角正
　　　　　弦与对所求之丁角正弦之比同于所
　　　　　知之丁戊边正弦与所求之戊己边正
　　　　　弦之比也
　　斜弧三角形作垂弧法

　　　　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之

　　　　　边角而无对所求之边角者则用垂弧
　　　　　法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲
　　　　　乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃
　　　　　自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙
　　　　　丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲
　　　　　乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分
　　　　　角盖此形有甲角有甲乙边有丁直角
　　　　　以丁角正弦(即半/径)与甲角正弦之比同

　　　　　于甲乙边正弦与乙丁垂弧正弦之比
　　　　　而得乙丁垂弧以半径与甲角馀弦之
　　　　　比同于甲乙边正切与甲丁边正切之
　　　　　比而得甲丁分边以甲乙边正弦与甲
　　　　　丁边正弦之比同于丁角正弦(即半/径)与
　　　　　乙分角正弦之比而得乙分角次用丙
　　　　　乙丁形求乙分角及丁丙分边盖此形
　　　　　有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙
　　　　　丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于

　　　　　半径与乙分角馀弦之比而得乙分角

　　　　　以丁角正弦(即半/径)与乙分角正弦之比
　　　　　同于乙丙边正弦与丁丙边正弦之比
　　　　　而得丁丙分边既得两分角并之即乙
　　　　　角得两分边并之即甲丙边也又如戊
　　　　　己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己
　　　　　庚边而求戊庚边及己角乃自己角作
　　　　　己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛
　　　　　作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之

　　　　　先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边
　　　　　及己虚角盖此形有庚外角有己庚边
　　　　　有辛直角以辛角正弦(即半/径)与庚角正
　　　　　弦之比同于己庚边正弦与己辛垂弧
　　　　　正弦之比而得己辛垂弧以半径与庚
　　　　　角馀弦之比同于己庚边正切与庚辛
　　　　　虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚
　　　　　边正弦与庚辛边正弦之比同于辛角
　　　　　正弦(即半/径)与己虚角正弦之比而得己

　　　　　虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己

　　　　　总角盖此形有戊角有己辛垂弧有辛
　　　　　直角以戊角正切与半径之比同于己
　　　　　辛垂弧正切与戊辛边弦弦之比而得
　　　　　戊辛总边以己辛垂弧正弦与戊辛边
　　　　　正弦之比同于戊角正弦与己角弦弦
　　　　　之比而得己总角既得戊辛总边内减
　　　　　去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减
　　　　　去己虚角即己角也

　　斜弧三角形用总较法
　　　　　　　　　　凡斜弧三角形知三边求
　　　　　　　　　　角者则用总较法以角傍
　　　　　　　　　　之两边相加为总弧相减
　　　　　　　　　　为较弧各取其馀弦相加
　　　　　　　　　　减(总弧较弧俱不过象限/或俱过象限则两馀弦)
　　　　　　　　　　(相减若一过象限一不过/象限则两馀弦相加其或)
　　　　　　　　　　(过二象限者与过一象限/同过三象限者与不过象)
　　　　　　　　　　(限/同)折半为中数又以对边

　　　　　　　　　　之矢与较弧之矢相减馀

　　　　　　　　　　　为矢较乃以中数与矢较
　　　　　　　　　　　为比同于半径与所求角
　　　　　　　　　　　之正矢之比也如知两边
　　　　　　　　　　　一角而角在两边之间者
　　　　　　　　　　　以半径与所知角之正矢
　　　　　　　　　　　为比同于中数与矢较之
　　　　　　　　　　　比既得矢较与较弧之矢
　　　　　　　　　　　相加即得对边之矢也如

　　　　　　　　　　　甲乙丙斜弧三角形有三
　　　　　　　　　　　边求甲角则以甲角傍之
　　　　　　　　　　　甲乙甲丙二边相加得乙
　　　　　　　　　　　丁(甲丙甲戊甲丁三弧同/为丁戊距等圈所截故)
　　　　　　　　　　　(其度/相等)为总弧其正弦为丁
　　　　　　　　　　　己馀弦为己庚甲乙与甲
　　　　　　　　　　　丙相减馀乙戊为较弧其
　　　　　　　　　　　正弦为戊辛馀弦为辛庚
　　　　　　　　　　　两馀弦相加得己辛(乙丁/总弧)

　　　　　　　　　　　(过象限乙戊较弧不过象/限其两馀弦在圜心之两)

　　　　　　　　　　　(边故/相加)折半得辛壬与癸子
　　　　　　　　　　　等为中数乙丙对边与乙
　　　　　　　　　　　丑等(乙丙与乙丑两弧同/为丑寅距等圈所截)
　　　　　　　　　　　(故其度/相等)其正弦为丑卯馀
　　　　　　　　　　　弦为卯庚正矢为乙卯以
　　　　　　　　　　　乙卯与乙戊较弧之正矢
　　　　　　　　　　　乙辛相减馀辛卯与辰巳
　　　　　　　　　　　等为矢较戊辰巳与戊癸

　　　　　　　　　　　子为同式两勾股形故癸
　　　　　　　　　　　子与辰巳之比同于戊子
　　　　　　　　　　　与戊巳之比也又午庚为
　　　　　　　　　　　半径戊子为距等圈之半
　　　　　　　　　　　径午未与戊己两段同为
　　　　　　　　　　　甲丙申大圈所分则戊子
　　　　　　　　　　　与戊己之比原同于午庚
　　　　　　　　　　　与午未之比是以中数癸
　　　　　　　　　　　子与矢较辰巳之比即同

　　　　　　　　　　　于半径午庚与甲角正矢

　　　　　　　　　　　午未之比也以午未与午
　　　　　　　　　　　庚半径相减馀未庚为甲
　　　　　　　　　　　角之馀弦检表即得甲角
　　　　　　　　　　　所当午申弧之度也若先
　　　　　　　　　　　有甲角及甲乙甲丙二边
　　　　　　　　　　　求乙丙对边则以半径午
　　　　　　　　　　　庚与甲角正矢午未之比
　　　　　　　　　　　即同于中数癸子与矢较

　　　　　　　　　　　辰巳之比既得辰巳与辛
　　　　　　　　　　　卯等与乙戊较弧之正矢
　　　　　　　　　　　乙辛相加得乙卯为乙丙
　　　　　　　　　　　对边之正矢也如有甲乙
　　　　　　　　　　　甲丙乙丙三边求乙角则
　　　　　　　　　　　以乙角傍甲乙乙丙二边
　　　　　　　　　　　相加得甲丁(乙丙乙丁乙/戊三弧同为)
　　　　　　　　　　　(戊丁距等圈所/截故其度相等)为总弧其
　　　　　　　　　　　正弦为丁己馀弦为己庚

　　　　　　　　　　　甲乙与乙丙相减馀甲戊

　　　　　　　　　　　为较弧其正弦为戊辛馀
　　　　　　　　　　　弦为辛庚两馀弦相减馀
　　　　　　　　　　　辛己(甲丁总弧甲戊较弧/皆不过象限其两馀)
　　　　　　　　　　　(弦同在圜心之/一边故相减)折半得辛
　　　　　　　　　　　壬与癸子等为中数甲丙
　　　　　　　　　　　对边与甲丑等(甲丙与甲/丑两弧同)
　　　　　　　　　　　(为寅丑距等圈所/截故其度相等)其正弦
　　　　　　　　　　　为丑卯馀弦为卯庚正矢

　　　　　　　　　　　为甲卯以甲卯与甲戊较
　　　　　　　　　　　弧之正矢甲辛相减馀辛
　　　　　　　　　　　卯与辰巳等为矢较戊癸
　　　　　　　　　　　子与戊辰巳为同式两勾
　　　　　　　　　　　股形故癸子与辰巳之比
　　　　　　　　　　　同于戊子与戊巳之比也
　　　　　　　　　　　又午庚为半径戊子为距
　　　　　　　　　　　等圈之半径戊巳与午未
　　　　　　　　　　　两段同为乙丙申大圈所

　　　　　　　　　　　分则戊子与戊巳之比原

　　　　　　　　　　　同于午庚与午未之比是
　　　　　　　　　　　以中数癸子与矢较辰巳
　　　　　　　　　　　之比即同于半径午庚与
　　　　　　　　　　　乙角大矢午未之比也(凡/钝)
　　　　　　　　　　　(角所用诸线皆与外角同/惟矢则有正矢大矢之别)
　　　　　　　　　　　(如庚未为乙锐角所当申/酉弧之馀弦亦为乙钝角)
　　　　　　　　　　　(所当午申弧之馀弦检表/锐角即得本角度钝角与)
　　　　　　　　　　　(半周相减亦即得本角度/而未酉为乙锐角之正矢)

　　　　　　　　　　　(乃于酉庚半径内减庚未/馀弦午未为乙钝角之大)
　　　　　　　　　　　(矢乃于午庚半径加庚未/馀弦也此正矢大矢之别)
　　　　　　　　　　　(过弧/亦然)于午未大矢内减午
　　　　　　　　　　　庚半径馀庚未为乙角之
　　　　　　　　　　　馀弦检表得乙外角度与
　　　　　　　　　　　半周相减馀即乙钝角之
　　　　　　　　　　　度也若先有乙钝角及甲
　　　　　　　　　　　乙乙丙二边求甲丙对边
　　　　　　　　　　　则以半径午庚与乙角大

　　　　　　　　　　　矢午未之比即同于中数

　　　　　　　　　　　癸子与矢较辰巳之比既
　　　　　　　　　　　得辰巳与辛卯等与甲戊
　　　　　　　　　　　较弧之正矢甲辛相加得
　　　　　　　　　　　甲卯为甲丙对边之正矢
　　　　　　　　　　　也
　　　　　　　　　　　斜弧三角形知三角求边
　　　　　　　　　　　者则用次形法如甲乙丙
　　　　　　　　　　　形可易为丁戊己次形盖

　　　　　　　　　　　甲角之度当庚辛弧而庚
　　　　　　　　　　　辛与己戊等(庚己与辛戊/皆象限故庚)
　　　　　　　　　　　(辛与己/戊等)故本形之甲角即
　　　　　　　　　　　次形之己戊边乙外角之
　　　　　　　　　　　度当壬癸弧而壬癸与己
　　　　　　　　　　　丁等(壬己与癸丁皆象限/故壬癸与己丁等)
　　　　　　　　　　　故本形之乙外角即次形
　　　　　　　　　　　之己丁边丙角之度当子
　　　　　　　　　　　丑弧而子丑与戊丁等(子/戊)

　　　　　　　　　　　(与丑丁皆象限故/子丑与戊丁等)故本形

　　　　　　　　　　　之丙角即次形之戊丁边
　　　　　　　　　　　是本形之三角即次形之
　　　　　　　　　　　三边也又次形丁角之度
　　　　　　　　　　　当癸丑弧而癸丑与乙丙
　　　　　　　　　　　等(丙丑与乙癸皆象限/故癸丑与乙丙等)故
　　　　　　　　　　　次形之丁角即本形之乙
　　　　　　　　　　　丙边戊外角之度当辛子
　　　　　　　　　　　弧而辛子与甲丙等(丙子/与甲)

　　　　　　　　　　　(辛皆象限故辛/子与甲丙等)故次形之
　　　　　　　　　　　戊外角即本形之甲丙边
　　　　　　　　　　　己角之度当庚壬弧而庚
　　　　　　　　　　　壬与甲乙等(乙壬与甲庚/皆象限故庚)
　　　　　　　　　　　(壬与甲/乙等)故次形之己角即
　　　　　　　　　　　本形之甲乙边是本形之
　　　　　　　　　　　三边即次形之三角也故
　　　　　　　　　　　用丁己戊次形仍用总较
　　　　　　　　　　　法算之求得次形之三角

　　　　　　　　　　　即得本形之三边也如有

　　　　　　　　　　乙角丙角及乙丙边而求
　　　　　　　　　　甲角亦用丁戊己次形有
　　　　　　　　　　己丁边戊丁边及丁角仍
　　　　　　　　　　用总较法算之求得己戊
　　　　　　　　　　边即甲角也
设如申正初刻测得太阳高三十二度地平经度偏
　西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道
　纬度几何

　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为北极
　　　　　　　　　　乙为天顶丙为太阳乙丁
　　　　　　　　　　戊己为子午经圈乙丙癸
　　　　　　　　　　戊为地平经圈丁己为地
　　　　　　　　　　平庚辛为赤道庚壬为申
　　　　　　　　　　正初刻距午正赤道六十
　　　　　　　　　　度即甲角丙癸为太阳高
　　　　　　　　　　三十二度(即地平纬度/一名高弧)与
　　　　　　　　　　乙癸象限相减馀太阳距

　　　　　　　　　　天顶五十八度即乙丙边

　　　　　　　　　　　丁癸为地平经度偏西八
　　　　　　　　　　　十一度四十二分四十八
　　　　　　　　　　　秒与丁己半周相减馀癸
　　　　　　　　　　　己九十八度一十七分一
　　　　　　　　　　　十二秒即乙角丙壬为太
　　　　　　　　　　　阳距赤道纬度与甲壬象
　　　　　　　　　　　限相减馀甲丙边为太阳
　　　　　　　　　　　距北极度故用甲乙丙三

　　　　　　　　　　　角形有甲乙二角及乙丙
　　　　　　　　　　　边求甲丙边以甲角六十
　　　　　　　　　　　度为对所知之角其正弦
　　　　　　　　　　　八百六十六万零二百五
　　　　　　　　　　　十四为一率乙角九十八
　　　　　　　　　　　度一十七分一十二秒为
　　　　　　　　　　　对所求之角其正弦九百
　　　　　　　　　　　八十九万五千五百九十
　　　　　　　　　　　三为二率乙丙五十八度

　　　　　　　　　　　为所知之边其正弦八百

　　　　　　　　　　　四十八万零四百八十一
　　　　　　　　　　　为三率求得四率九百六
　　　　　　　　　　　十九万零一百七十六为
　　　　　　　　　　　所求甲丙边之正弦检表
　　　　　　　　　　　得七十五度四十二分零
　　　　　　　　　　　一秒即甲丙弧之度与九
　　　　　　　　　　　十度相减馀一十四度一
　　　　　　　　　　　十七分五十九秒即太阳

　　　　　　　　　　　距赤道北之纬度也此法
　　　　　　　　　　　用边角相比例与直线三
　　　　　　　　　　　角形同但直线三角形以
　　　　　　　　　　　角之正弦与边相比(见数/理精)
　　　　　　　　　　　(蕴第十/七卷)此以角之正弦与
　　　　　　　　　　　边之正弦相比其比例之
　　　　　　　　　　　理一也又以正弧之理明
　　　　　　　　　　　之试将甲乙弧引长至丁
　　　　　　　　　　　自丙角作丙丁垂弧则成

　　　　　　　　　　　甲丁丙乙丁丙两正弧三

　　　　　　　　　　角形先求乙丁丙形丁角
　　　　　　　　　　正弦(即半/径)为一率乙角正
　　　　　　　　　　弦为二率乙丙正弦为三
　　　　　　　　　　率丙丁正弦为四率此第
　　　　　　　　　　一比例也次求甲丁丙形
　　　　　　　　　　甲角正弦为一率丁角正
　　　　　　　　　　弦(即半/径)为二率丙丁正弦
　　　　　　　　　　为三率甲丙正弦为四率

　　　　　　　　　　此第二比例也然第二比
　　　　　　　　　　例之二率三率即第一比
　　　　　　　　　　例之一率四率而二率三
　　　　　　　　　　率相乘与一率四率相乘
　　　　　　　　　　之数等故用第一比例之
　　　　　　　　　　二率三率而用第二比例
　　　　　　　　　　之一率即得第二比例之
　　　　　　　　　　四率此有对角求对边之
　　　　　　　　　　法也

设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒

　测得高弧三十二度地平经度偏西八十一度四
　十二分四十八秒求系何时刻
　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为北极
　　　　　　　　　　乙为天顶丙为太阳丙壬
　　　　　　　　　　为太阳距赤道北一十四
　　　　　　　　　　度一十七分五十九秒甲
　　　　　　　　　　丙即为太阳距北极七十
　　　　　　　　　　五度四十二分零一秒丙

　　　　　　　　　　癸为太阳高三十二度乙
　　　　　　　　　　丙即为太阳距天顶五十
　　　　　　　　　　八度丁癸为地平经度偏
　　　　　　　　　　西八十一度四十二分四
　　　　　　　　　　十八秒癸己为九十八度
　　　　　　　　　　一十七分一十二秒即乙
　　　　　　　　　　角庚壬为太阳距午正赤
　　　　　　　　　　道度即甲角故用甲乙丙
　　　　　　　　　　三角形有乙角及甲丙乙

　　　　　　　　　　丙二边求甲角以甲丙七

　　　　　　　　　　　十五度四十二分零一秒
　　　　　　　　　　　为对所知之边其正弦九
　　　　　　　　　　　百六十九万零一百七十
　　　　　　　　　　　六为一率乙丙五十八度
　　　　　　　　　　　为对所求之边其正弦八
　　　　　　　　　　　百四十八万零四百八十
　　　　　　　　　　　一为二率乙角九十八度
　　　　　　　　　　　一十七分一十二秒为所

　　　　　　　　　　　知之角其正弦九百八十
　　　　　　　　　　　九万五千五百九十三为
　　　　　　　　　　　三率求得四率八百六十
　　　　　　　　　　　六万零二百五十四为所
　　　　　　　　　　　求甲角之正弦检表得六
　　　　　　　　　　　十度即甲角度以六十度
　　　　　　　　　　　变得二时从午正初刻后
　　　　　　　　　　　计之(因偏西故/为午正后)为申正初
　　　　　　　　　　　刻也此有对边求对角之

　　　　　　　　　　　法也

设如北极出地四十度申正初刻测得太阳高三十
　二度求太阳距赤道纬度及地平经度各几何
　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为北极
　　　　　　　　　　乙为天顶丙为太阳甲己
　　　　　　　　　　为北极出地四十度甲乙
　　　　　　　　　　即为北极距天顶五十度
　　　　　　　　　　庚壬为申正初刻距午正
　　　　　　　　　　赤道六十度即甲角丙癸

　　　　　　　　　　为太阳高三十二度乙丙
　　　　　　　　　　即为太阳距天顶五十八
　　　　　　　　　　度丙壬为太阳距赤道纬
　　　　　　　　　　度甲丙为其馀丁癸为地
　　　　　　　　　　平经度即乙角之外角(甲/乙)
　　　　　　　　　　(丙形之乙角当癸己弧其/癸乙丁外角即当丁癸弧)
　　　　　　　　　　故用甲乙丙三角形有甲
　　　　　　　　　　角及甲乙乙丙二边求甲
　　　　　　　　　　丙边及乙角乃自乙角作

　　　　　　　　　　乙丁垂弧分为甲乙丁丙

　　　　　　　　　　　乙丁两正弧三角形先求
　　　　　　　　　　　甲乙丁形以丁角正弦即
　　　　　　　　　　　半径一千万为一率甲角
　　　　　　　　　　　六十度之正弦八百六十
　　　　　　　　　　　六万零二百五十四为二
　　　　　　　　　　　率甲乙五十度之正弦七
　　　　　　　　　　　百六十六万零四百四十
　　　　　　　　　　　四为三率求得四率六百

　　　　　　　　　　　六十三万四千一百三十
　　　　　　　　　　　九为乙丁弧之正弦检表
　　　　　　　　　　　得四十一度三十三分三
　　　　　　　　　　　十九秒即乙丁弧之度也
　　　　　　　　　　　(此即正弧三角形有黄赤/交角有黄道求距纬之法)
　　　　　　　　　　　(盖甲角即如黄赤交角甲/乙即如黄道甲丁即如赤)
　　　　　　　　　　　(道乙丁即/如距纬)又以半径一千
　　　　　　　　　　　万为一率甲角六十度之
　　　　　　　　　　　馀弦五百万为二率甲乙

　　　　　　　　　　　五十度之正切一千一百

　　　　　　　　　　　九十一万七千五百三十
　　　　　　　　　　　六为三率求得四率五百
　　　　　　　　　　　九十五万八千七百六十
　　　　　　　　　　　八为甲丁弧之正切检表
　　　　　　　　　　　得三十度四十七分二十
　　　　　　　　　　　三秒即甲丁弧之度也(此/即)
　　　　　　　　　　　(正弧三角形有黄赤交/角有黄道求赤道之法)又
　　　　　　　　　　　以甲乙五十度之正弦七

　　　　　　　　　　　百六十六万零四百四十
　　　　　　　　　　　四为一率甲丁三十度四
　　　　　　　　　　　十七分二十三秒之正弦
　　　　　　　　　　　五百一十一万八千八百
　　　　　　　　　　　八十八为二率丁角正弦
　　　　　　　　　　　即半径一千万为三率求
　　　　　　　　　　　得四率六百六十八万二
　　　　　　　　　　　千二百三十四为乙分角
　　　　　　　　　　　之正弦检表得四十一度

　　　　　　　　　　　五十五分四十八秒即乙

　　　　　　　　　　　分角之度也(此即正弧三/角形有黄道)
　　　　　　　　　　　(有赤道求黄道/交极圈角之法)次求乙丙
　　　　　　　　　　　丁形以乙丁四十一度三
　　　　　　　　　　　十三分三十九秒之馀弦
　　　　　　　　　　　七百四十八万二千五百
　　　　　　　　　　　二十六为一率乙丙五十
　　　　　　　　　　　八度之馀弦五百二十九
　　　　　　　　　　　万九千一百九十三为二

　　　　　　　　　　　率半径一千万为三率求
　　　　　　　　　　　得四率七百零八万二千
　　　　　　　　　　　零九十一为丙丁弧之馀
　　　　　　　　　　　弦检表得四十四度五十
　　　　　　　　　　　四分三十八秒即丙丁弧
　　　　　　　　　　　之度也(此即正弧三角形/有黄道有距纬求)
　　　　　　　　　　　(赤道之法盖丙角即如黄/赤交角乙丙即如黄道丙)
　　　　　　　　　　　(丁即如赤道乙/丁即如距纬)又以乙丙
　　　　　　　　　　　五十八度之正弦八百四

　　　　　　　　　　　十八万零四百八十一为

　　　　　　　　　　　一率丙丁四十四度五十
　　　　　　　　　　　四分三十八秒之正弦七
　　　　　　　　　　　百零六万零二十七为二
　　　　　　　　　　　率丁角正弦即半径一千
　　　　　　　　　　　万为三率求得四率八百
　　　　　　　　　　　三十二万五千零三十为
　　　　　　　　　　　乙分角之正弦检表得五
　　　　　　　　　　　十六度二十一分二十四

　　　　　　　　　　　秒即乙分角之度也(此即/正弧)
　　　　　　　　　　　(三角形有黄道有距纬求/黄赤交角之法盖乙分角)
　　　　　　　　　　　(即如黄赤交角乙丙即如/黄道乙丁即如赤道丙丁)
　　　　　　　　　　　(即如/距纬)乃以甲丁丙丁相并
　　　　　　　　　　　得甲丙七十五度四十二
　　　　　　　　　　　分零一秒即太阳距北极
　　　　　　　　　　　度与九十度相减馀一十
　　　　　　　　　　　四度一十七分五十九秒
　　　　　　　　　　　即太阳距赤道北之纬度

　　　　　　　　　　　(如甲丙大于九十度则减/去九十度馀为太阳距赤)

　　　　　　　　　　(道南之/纬度)以两乙分角相并
　　　　　　　　　　得九十八度一十七分一
　　　　　　　　　　十二秒与一百八十度相
　　　　　　　　　　减馀八十一度四十二分
　　　　　　　　　　四十八秒即太阳距午正
　　　　　　　　　　偏西之地平经度也此作
　　　　　　　　　　垂弧于形内之法也
设如申正初刻测得太阳高三十二度地平经度偏

　西八十一度四十二分四十八秒求北极出地度
　几何
　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为北极
　　　　　　　　　　乙为天顶丙为太阳丙癸
　　　　　　　　　　为太阳高三十二度乙丙
　　　　　　　　　　即为太阳距天顶五十八
　　　　　　　　　　度庚壬为申正初刻距午
　　　　　　　　　　正赤道六十度即甲角丁
　　　　　　　　　　癸为地平经度偏西八十

　　　　　　　　　　一度四十二分四十八秒

　　　　　　　　　　　即乙角之外角甲己为北
　　　　　　　　　　　极出地度甲乙为其馀故
　　　　　　　　　　　用甲乙丙三角形有甲乙
　　　　　　　　　　　二角及乙丙边求甲乙边
　　　　　　　　　　　乃自丙角作丙丁垂弧补
　　　　　　　　　　　成甲丙丁乙丙丁两正弧
　　　　　　　　　　　三角形先求乙丙丁形以
　　　　　　　　　　　丁角正弦即半径一千万

　　　　　　　　　　　为一率乙角九十八度一
　　　　　　　　　　　十七分一十二秒之正弦
　　　　　　　　　　　九百八十九万五千五百
　　　　　　　　　　　九十三为二率乙丙五十
　　　　　　　　　　　八度之正弦八百四十八
　　　　　　　　　　　万零四百八十一为三率
　　　　　　　　　　　求得四率八百三十九万
　　　　　　　　　　　一千九百三十九为丙丁
　　　　　　　　　　　弧之正弦检表得五十七

　　　　　　　　　　　度零三分一十八秒即丙

　　　　　　　　　　　丁弧之度也(此即正弧三/角形有黄赤)
　　　　　　　　　　　(交角有黄道求距纬之法/盖乙角即如黄赤交角乙)
　　　　　　　　　　　(丙即如黄道乙丁即如/赤道丙丁即如距纬)又
　　　　　　　　　　　以半径一千万为一率乙
　　　　　　　　　　　角九十八度一十七分一
　　　　　　　　　　　十二秒之馀弦一百四十
　　　　　　　　　　　四万一千二百六十为二
　　　　　　　　　　　率乙丙五十八度之正切

　　　　　　　　　　　一千六百万零三千三百
　　　　　　　　　　　四十五为三率求得四率
　　　　　　　　　　　二百三十万六千四百九
　　　　　　　　　　　十八为乙丁弧之正切检
　　　　　　　　　　　表得一十二度五十九分
　　　　　　　　　　　一十七秒即乙丁弧之度
　　　　　　　　　　　也(此即正弧三角形有黄/赤交角有黄道求赤道)
　　　　　　　　　　　(之/法)次求甲丙丁形以甲角
　　　　　　　　　　　六十度之正切一千七百

　　　　　　　　　　　三十二万零五百零八为

　　　　　　　　　　一率半径一千万为二率
　　　　　　　　　　丙丁五十七度零三分一
　　　　　　　　　　十八秒之正切一千五百
　　　　　　　　　　四十三万一千零五十九
　　　　　　　　　　为三率求得四率八百九
　　　　　　　　　　十万九千一百二十六为
　　　　　　　　　　甲丁弧之正弦检表得六
　　　　　　　　　　十二度五十九分一十七

　　　　　　　　　　秒即甲丁弧之度也(此即/正弧)
　　　　　　　　　　(三角形有黄赤交角有距/纬求赤道之法盖甲角即)
　　　　　　　　　　(如黄赤交角甲丙即如黄/道甲丁即如赤道丙丁即)
　　　　　　　　　　(如距/纬)乃以甲丁与乙丁相
　　　　　　　　　　减馀甲乙五十度即北极
　　　　　　　　　　距天顶又与九十度相减
　　　　　　　　　　馀四十度即北极出地度
　　　　　　　　　　也(若求丙角则求得丙总/角与丙虚角相减即得)
　　　　　　　　　　此作垂弧于形外之法也

设如大角星黄道纬北三十一度零三分赤道纬北

　二十度五十八分四十七秒黄极赤极(即北/极)相距
　二十三度三十分求黄道经度赤道经度各几何
　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为赤极
　　　　　　　　　　(即北/极)乙为黄极甲乙相距
　　　　　　　　　　二十三度三十分丙为大
　　　　　　　　　　角星丁戊为黄道己庚为
　　　　　　　　　　赤道丙辛为黄道纬北三
　　　　　　　　　　十一度零三分乙丙即为

　　　　　　　　　　星距黄极五十八度五十
　　　　　　　　　　七分丙壬为赤道纬北二
　　　　　　　　　　十度五十八分四十七秒
　　　　　　　　　　甲丙即为星距赤极六十
　　　　　　　　　　九度零一分一十三秒丁
　　　　　　　　　　辛为星距夏至后黄道经
　　　　　　　　　　度即乙角己壬为星距夏
　　　　　　　　　　至后赤道经度即甲角之
　　　　　　　　　　外角故用甲乙丙三角形

　　　　　　　　　　有甲乙甲丙乙丙三边求

　　　　　　　　　　　甲乙二角先求乙角则以
　　　　　　　　　　　夹乙角之甲乙边二十三
　　　　　　　　　　　度三十分与乙丙边五十
　　　　　　　　　　　八度五十七分相加得八
　　　　　　　　　　　十二度二十七分为总弧
　　　　　　　　　　　其馀弦一百三十一万三
　　　　　　　　　　　千九百一十三又以甲乙
　　　　　　　　　　　乙丙两边相减馀三十五

　　　　　　　　　　　度二十七分为较弧其馀
　　　　　　　　　　　弦八百一十四万六千二
　　　　　　　　　　　百二十两馀弦相减(总弧/较弧)
　　　　　　　　　　　(俱不过象限或俱过象限/则两馀弦相减若一过象)
　　　　　　　　　　　(限一不过象限则两馀弦/相加其或过二象限者与)
　　　　　　　　　　　(过一象限同过三象/限者与不过象限同)馀六
　　　　　　　　　　　百八十三万二千三百零
　　　　　　　　　　　七折半得三百四十一万
　　　　　　　　　　　六千一百五十四为中数

　　　　　　　　　　　为一率以对乙角之甲丙

　　　　　　　　　　　边六十九度零一分一十
　　　　　　　　　　　三秒之正矢六百四十一
　　　　　　　　　　　万九千六百二十五(馀弦/与半)
　　　　　　　　　　　(径相减/得矢度)与较弧三十五度
　　　　　　　　　　　二十七分之正矢一百八
　　　　　　　　　　　十五万三千七百八十相
　　　　　　　　　　　减馀四百五十六万五千
　　　　　　　　　　　八百四十五为矢较为二

　　　　　　　　　　　率半径一千万为三率求
　　　　　　　　　　　得四率一千三百三十六
　　　　　　　　　　　万五千四百五十四为乙
　　　　　　　　　　　角之大矢(凡矢度过于半/径者为大矢其)
　　　　　　　　　　　(角即为/钝角)内减半径一千万
　　　　　　　　　　　馀三百三十六万五千四
　　　　　　　　　　　百五十四为乙角之馀弦
　　　　　　　　　　　检表得七十度二十分与
　　　　　　　　　　　半周相减馀一百零九度

　　　　　　　　　　　四十分为乙角度即星距

　　　　　　　　　　　夏至后黄道经度自夏至
　　　　　　　　　　　未宫初度逆计之为卯宫
　　　　　　　　　　　一十九度四十分也如图
　　　　　　　　　　　甲乙与乙丙相加得甲癸
　　　　　　　　　　　为总弧(乙丙乙癸乙子三/弧同为癸子距等)
　　　　　　　　　　　(圈所截故/其度相等)其正弦为癸丑
　　　　　　　　　　　馀弦为丑寅甲乙与乙丙
　　　　　　　　　　　相减馀甲子为较弧其正

　　　　　　　　　　　弦为子卯馀弦为卯寅以
　　　　　　　　　　　丑寅与卯寅两馀弦相减
　　　　　　　　　　　馀卯丑折半得卯辰与巳
　　　　　　　　　　　午等为中数又对乙角之
　　　　　　　　　　　甲丙边与甲未等其正弦
　　　　　　　　　　　为未申馀弦为申寅正矢
　　　　　　　　　　　为甲申以甲申与甲子较
　　　　　　　　　　　弧之正矢甲卯相减馀卯
　　　　　　　　　　　申与酉戌等为矢较遂成

　　　　　　　　　　　子酉戌与子巳午同式两

　　　　　　　　　　　勾股形故巳午与酉戌之
　　　　　　　　　　　比必同于子午与子戌之
　　　　　　　　　　　比也又丁寅为半径子午
　　　　　　　　　　　为距等圈之半径子戌与
　　　　　　　　　　　丁亥两段同为乙丙辛黄
　　　　　　　　　　　道经圈之所分则子午与
　　　　　　　　　　　子戌之比原同于丁寅与
　　　　　　　　　　　丁亥之比是以中数己午

　　　　　　　　　　　与矢较酉戌之比即同于
　　　　　　　　　　　半径丁寅与乙角大矢丁
　　　　　　　　　　　亥之比也既得丁亥大矢
　　　　　　　　　　　内减丁寅半径馀寅亥即
　　　　　　　　　　　乙外角之馀弦检表得乙
　　　　　　　　　　　外角所当辛戊弧之度复
　　　　　　　　　　　与半周相减即得乙角所
　　　　　　　　　　　当丁辛弧之度也既得乙
　　　　　　　　　　　角则以对边对角之法求

　　　　　　　　　　　之即得甲角度矣

　　　　　　　　　　　如先求甲角则以夹甲角
　　　　　　　　　　　之甲乙边二十三度三十
　　　　　　　　　　　分与甲丙边六十九度零
　　　　　　　　　　　一分一十三秒相加得九
　　　　　　　　　　　十二度三十一分一十三
　　　　　　　　　　　秒为总弧其馀弦四十三
　　　　　　　　　　　万九千七百二十九又以
　　　　　　　　　　　甲乙甲丙两边相减馀四

　　　　　　　　　　　十五度三十一分一十三
　　　　　　　　　　　秒为较弧其馀弦七百万
　　　　　　　　　　　零六千五百六十八两馀
　　　　　　　　　　　弦相加(总弧过象限较弧/不过象限故两馀)
　　　　　　　　　　　(弦相/加)得七百四十四万六
　　　　　　　　　　　千二百九十七折半得三
　　　　　　　　　　　百七十二万三千一百四
　　　　　　　　　　　十八为中数为一率以对
　　　　　　　　　　　甲角之乙丙边五十八度

　　　　　　　　　　　五十七分之正矢四百八

　　　　　　　　　　　十四万二千一百四十一
　　　　　　　　　　　与较弧四十五度三十一
　　　　　　　　　　　分一十三秒之正矢二百
　　　　　　　　　　　九十九万三千四百三十
　　　　　　　　　　　二相减馀一百八十四万
　　　　　　　　　　　八千七百零九为矢较为
　　　　　　　　　　　二率半径一千万为三率
　　　　　　　　　　　求得四率四百九十六万

　　　　　　　　　　　五千四百四十五为甲角
　　　　　　　　　　　之正矢与半径一千万相
　　　　　　　　　　　减馀五百零三万四千五
　　　　　　　　　　　百五十五为甲角之馀弦
　　　　　　　　　　　检表得五十九度四十六
　　　　　　　　　　　分一十六秒即甲角度与
　　　　　　　　　　　半周相减馀一百二十度
　　　　　　　　　　　一十三分四十四秒即星
　　　　　　　　　　　距夏至后赤道经度自夏

　　　　　　　　　　　至未宫初度逆计之为卯

　　　　　　　　　　　宫初度一十三分四十四
　　　　　　　　　　　秒也如图甲乙与甲丙相
　　　　　　　　　　　加得乙癸为总弧其正弦
　　　　　　　　　　　为癸子馀弦为子丑甲乙
　　　　　　　　　　　与甲丙相减馀乙寅为较
　　　　　　　　　　　弧其正弦为寅卯馀弦为
　　　　　　　　　　　卯丑两馀弦相加得卯子
　　　　　　　　　　　(因两馀弦在圜心/之两边故相加)折半得

　　　　　　　　　　　卯辰与巳午等为中数又
　　　　　　　　　　　对甲角之乙丙边与乙未
　　　　　　　　　　　等其正弦为未申馀弦为
　　　　　　　　　　　申丑正矢为乙申以乙申
　　　　　　　　　　　与乙寅较弧之正矢乙卯
　　　　　　　　　　　相减馀卯申与酉戌等为
　　　　　　　　　　　矢较遂成寅巳午与寅酉
　　　　　　　　　　　戌同式两勾股形故巳午
　　　　　　　　　　　与酉戌之比同于寅午与

　　　　　　　　　　　寅戌之比又庚丑为半径

　　　　　　　　　　寅午为距等圈之半径寅
　　　　　　　　　　戌与庚亥两段同为甲丙
　　　　　　　　　　壬赤道经圈之所分则寅
　　　　　　　　　　午与寅戌之比原同于庚
　　　　　　　　　　丑与庚亥之比是以巳午
　　　　　　　　　　中数与矢较酉戌之比即
　　　　　　　　　　同于半径庚丑与甲角正
　　　　　　　　　　矢庚亥之比也既得庚亥

　　　　　　　　　　正矢与庚丑半径相减馀
　　　　　　　　　　亥丑即甲角之馀弦检表
　　　　　　　　　　即得甲角所当庚壬弧之
　　　　　　　　　　度也既得甲角则以对边
　　　　　　　　　　对角之法求之亦即得乙
　　　　　　　　　　角度矣此三边求角之法
　　　　　　　　　　也
设如大角星黄道经度距夏至一百零九度四十分
　赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四

　秒黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四

　十五秒求黄道纬度赤道纬度各几何
　　　　　　　　　　　甲乙丙三角形甲为赤极
　　　　　　　　　　　(即北/极)乙为黄极甲乙为两
　　　　　　　　　　　极距度丙为大角星丁戊
　　　　　　　　　　　为黄道己庚为赤道丁辛
　　　　　　　　　　　为黄道经度距夏至一百
　　　　　　　　　　　零九度四十分即乙角己
　　　　　　　　　　　壬为赤道经度距夏至一

　　　　　　　　　　　百二十度一十三分四十
　　　　　　　　　　　四秒即甲角之外角丙角
　　　　　　　　　　　为甲壬乙辛两经圈交角
　　　　　　　　　　　二十三度四十二分四十
　　　　　　　　　　　五秒丙辛为黄道北纬度
　　　　　　　　　　　乙丙为其馀丙壬为赤道
　　　　　　　　　　　北纬度甲丙为其馀故用
　　　　　　　　　　　甲乙丙三角形有甲乙丙
　　　　　　　　　　　三角求乙丙甲丙二边乃

　　　　　　　　　　　用次形法先求乙丙边将

　　　　　　　　　　　甲乙丙形易为癸子丑次
　　　　　　　　　　　形盖本形之甲角即次形
　　　　　　　　　　　之子丑边(甲角当庚壬/弧与子丑等)本
　　　　　　　　　　　形乙角之外角即次形之
　　　　　　　　　　　癸丑边(乙角之外角当戊/辛弧与癸丑等)
　　　　　　　　　　　本形之丙角即次形之癸
　　　　　　　　　　　子边(丙角当寅卯/弧与癸子等)本形之
　　　　　　　　　　　甲乙边即次形之丑角(丁/己)

　　　　　　　　　　　(弧与甲乙等/即丑角度)本形之乙丙
　　　　　　　　　　　边即次形之癸角(辛寅弧/与乙丙)
　　　　　　　　　　　(等即癸/角度)本形之甲丙边即
　　　　　　　　　　　次形子角之外角(壬卯弧/与甲丙)
　　　　　　　　　　　(等即子锐角度为癸子/丑形子钝角之外角)故
　　　　　　　　　　　用癸子丑三角形有三边
　　　　　　　　　　　求癸角(即乙/丙边)以夹癸角之
　　　　　　　　　　　癸子边(即丙/角)二十三度四
　　　　　　　　　　　十二分四十五秒与癸丑

　　　　　　　　　　　边(即乙/外角)七十度二十分相

　　　　　　　　　　　加得九十四度零二分四
　　　　　　　　　　　十五秒为总弧其馀弦七
　　　　　　　　　　　十万五千五百四十四又
　　　　　　　　　　　以癸子癸丑两边相减馀
　　　　　　　　　　　四十六度三十七分一十
　　　　　　　　　　　五秒为较弧其馀弦六百
　　　　　　　　　　　八十六万八千二百三十
　　　　　　　　　　　二两馀弦相加(总弧过象/限较弧不)

　　　　　　　　　　　(过象限故两/馀弦相加)得七百五十
　　　　　　　　　　　七万三千七百七十六折
　　　　　　　　　　　半得三百七十八万六千
　　　　　　　　　　　八百八十八为中数为一
　　　　　　　　　　　率以对癸角之子丑边(即/甲)
　　　　　　　　　　　(角/)五十九度四十六分一
　　　　　　　　　　　十六秒之正矢四百九十
　　　　　　　　　　　六万五千四百四十五与
　　　　　　　　　　　较弧四十六度三十七分

　　　　　　　　　　　一十五秒之正矢三百一

　　　　　　　　　　　十三万一千七百六十八
　　　　　　　　　　　相减馀一百八十三万三
　　　　　　　　　　　千六百七十七为矢较为
　　　　　　　　　　　二率半径一千万为三率
　　　　　　　　　　　求得四率四百八十四万
　　　　　　　　　　　二千一百七十四为癸角
　　　　　　　　　　　之正矢与半径一千万相
　　　　　　　　　　　减馀五百一十五万七千

　　　　　　　　　　　八百二十六为癸角之馀
　　　　　　　　　　　弦检表得五十八度五十
　　　　　　　　　　　七分即癸角度亦即乙丙
　　　　　　　　　　　边度与象限相减馀三十
　　　　　　　　　　　一度零三分即黄道北之
　　　　　　　　　　　纬度也既得乙丙边则以
　　　　　　　　　　　对边对角之法求之即得
　　　　　　　　　　　甲丙边矣
　　　　　　　　　　　如先求甲丙边则用癸子

　　　　　　　　　　　丑次形求子角(子角之外/角当壬卯)