钦定四库全书
御制历象考成上编卷二
　　弧三角形上
　　　弧三角形总论
　　　弧三角形纲领
　　　弧三角形凡例
　　　正弧三角形论
　　　正弧三角形图说

　　　正弧三角形八线勾股比例图说
　　　正弧三角形用次形图说
　　　正弧三角形边角相求法
　　　正弧三角形设例七则

　　　弧三角形总论
弧三角形者球面弧线所成也古历家有黄赤相准
之率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟
元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为
密但其法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若
望等翻译历书始有曲线三角形之法三弧度相交
成三角形其三弧三角各有相应之八线弧与弧相
交即线与线相遇而勾股比例生焉于是乎有黄道

可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有
纬可以知经历象之法至此而备勾股之用至此而
极矣
　　弧三角形纲领
　　　　　凡弧三角形皆在球面球面之腰围一
　　　　　线谓之大圈如甲乙丙丁为子午规戊
　　　　　己为赤道庚辛为黄道壬乙癸丁为地
　　　　　平规如此之类皆为大圈其周度皆相
　　　　　等故可以相为比例凡圈皆有极极距

　　　　　圈皆九十度如赤道则有南北极黄道

　　　　　则有黄极若圈不相等则为距等圈如
　　　　　子丑二圈其四围之距大圈皆相等而
　　　　　与大圈平行虽亦为三百六十度其分
　　　　　则小于大圈距大圈愈远距极愈近则
　　　　　其圈愈小至极一点而止不能与大圈
　　　　　为比例故弧三角形之角度边度皆大
　　　　　圈之度也
　　　　　凡两弧相交所成角相距皆半周一百

　　　　　八十度名其角度则必取其两弧各足
　　　　　象限九十度其对角之弧即为本角之
　　　　　度如甲乙丙丁为黄道甲戊丙己为赤
　　　　　道甲丙二处相交相距各半周一百八
　　　　　十度即如春秋分试于甲丙弧之各平
　　　　　分九十度处作丁己乙戊垂弧(凡言垂/弧皆曲)
　　　　　(线画图于平面不能显/出故作虚线以别之)则丁己弧为甲
　　　　　丁己三角形之甲角度亦为丙丁己三
　　　　　角形之丙角度其乙戊弧为甲乙戊三

　　　　　角形之甲角度亦为丙乙戊三角形之

　　　　　丙角度即如冬夏至之大距为春秋分
　　　　　之角度盖甲丙为极则丁己乙戊为腰
　　　　　圈所谓大圈者是也
　　　　　凡弧三角形之三弧不足九十度者必
　　　　　引长至九十度其对角之弧方为本角
　　　　　之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足
　　　　　九十度则将甲乙弧引长至丁甲丙弧
　　　　　引长至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即

　　　　　甲角之度也又将乙甲弧引长至己乙
　　　　　丙弧引长至庚作己庚弧其己庚弧之
　　　　　度即乙角之度也又将丙甲弧引长至
　　　　　辛丙乙弧引长至壬作辛壬弧其辛壬
　　　　　弧之度即丙角之度也
　　　　　凡弧三角形其角适足九十度者为直
　　　　　角为正弧三角形甲图是也大于九十
　　　　　度者为钝角不及九十度者为锐角俱
　　　　　为斜弧三角形乙图丙图是也因三边

　　　　　皆弧故与直线三角形不同直线三角

　　　　　形有一直角或一钝角馀二角必锐弧
　　　　　三角形则有一直角二锐角者如丁形
　　　　　有一直角二钝角者如戊形有一直角
　　　　　一钝角一锐角者如己形有二直角一
　　　　　锐角者如庚形有二直角一钝角者如
　　　　　辛形有三角俱直者如壬形有一钝角
　　　　　二锐角者如癸形有三角俱钝者如子
　　　　　形有一锐角二钝角者如丑形而弧三

　　　　　角之形势大概尽于此数端矣
　　弧三角形凡例
一直线三角形之三角相加成一百八十度弧三角
　形之三角相加最小者亦必大于一百八十度但
　不得满五百四十度(因其有三钝角每一钝角不/得满一百八十度故三钝角)
　(不得满五/百四十度)
一直线三角形知两角即知其所馀一角弧三角形
　虽知两角其馀一角非算不知
一直线三角形之边小则咫尺大则千百万里实有

　尺度之可量弧三角形之边俱系弧度必在半周

　一百八十度之内但合三边不得满三百六十度
　(盖三百六十度则成/全圜而不得成角矣)
一直线三角形之八线惟用于角弧三角形之八线
　并用于边角之八线与边之八线相求仍以勾股
　为比例也
一直线三角形两形之三边各相等者为相等形两
　形之三角各相等者为同式形弧三角形则但有
　相等形而无同式形盖以两形之三角同其三边

　必各相同也
一直线三角形可以三边求角不可以三角求边而
　弧三角形既可以三边求角又可以三角求边
一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其馀理
　与直线三角形同
一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件
　可求其馀理与直线三角形同
一斜弧三角形作垂弧分为两正弧三角形与直线
　三角形作中垂线之理同

一弧三角形所知之三件有弧角相对者即用弧角

　为比例理与直线三角形同
一正弧三角形弧角不相对者则用次形法
一斜弧三角形知三边求角者用总较法知三角求
　边者先用次形法将角易为边边易为角然后用
　总较法
一斜弧三角形知两边一角而角在两边之间者用
　总较法或用垂弧法知两角一边而边在两角之
　间者先用次形法将角易为边边易为角然后用

　总较法或用垂弧法

　　正弧三角形论
正弧三角形必有一直角者盖因南北二极为赤道
之枢纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与
赤道相交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十
度又凡有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相
交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形
夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之
八线所成勾股为比例而弧角不相对者则用次形

盖以弧角之八线所成勾股比例不生于本形而生
于次形而次形者乃以本形与象限相减之馀度所
成故用本形之馀弦馀切即用次形之正弦正切也
其法可易弧为角易角为弧(若斜弧三角形可易大/形为小形易大边为小)
(边易钝角/成锐角)边与角虽不相对可易为相对且知三角
即可以求边其理实一以贯之也今以黄道赤道与
过极经圈所成之三角形设例而正弧三角形比例
推算之法无不统于是矣
　　正弧三角形图说(设黄赤大距二/十三度三十分)

　　　　　　　　　　如甲乙丙丁为赤道甲戊

　　　　　　　　　　丙己为黄道相交于甲丙
　　　　　　　　　　甲为春分丙为秋分戊为
　　　　　　　　　　夏至己为冬至庚为北极
　　　　　　　　　　辛为南极庚戊乙辛己丁
　　　　　　　　　　为二极二至交圈戊至乙
　　　　　　　　　　己至丁俱二十三度三十
　　　　　　　　　　分为黄赤大距今作庚壬
　　　　　　　　　　癸辛为过南北二极经圈

　　　　　　　　　　与黄道交于壬与赤道交
　　　　　　　　　　于癸成甲癸壬正弧三角
　　　　　　　　　　形甲为黄道赤道交角当
　　　　　　　　　　戊乙弧二十三度三十分
　　　　　　　　　　癸为直角盖庚辛二极即
　　　　　　　　　　赤道之极皆距赤道九十
　　　　　　　　　　度故凡过南北极经圈与
　　　　　　　　　　赤道所成之角皆为直角
　　　　　　　　　　其相当之弧皆九十度又

　　　　　　　　　　如子丑为黄道两极若从

　　　　　　　　　　子丑二处作子寅卯丑过
　　　　　　　　　　黄极经圈与黄道交于卯
　　　　　　　　　　与赤道交于寅成甲寅卯
　　　　　　　　　　正弧三角形则卯亦为直
　　　　　　　　　　角盖子丑为黄道两极皆
　　　　　　　　　　距黄道九十度故凡过黄
　　　　　　　　　　极经圈与黄道所成之角
　　　　　　　　　　皆为直角其相当之弧皆

　　　　　　　　　　九十度由此推之凡有一
　　　　　　　　　　圈必有两极其过两极圈
　　　　　　　　　　与本圈相交必为直角其
　　　　　　　　　　所成三角形必皆为正弧
　　　　　　　　　　三角形可知矣
　　正弧三角形八线勾股比例图说(设黄道四/十五度)
　　　　　　　　　　甲为黄道赤道交角甲乙
　　　　　　　　　　为黄道四十五度甲丙为
　　　　　　　　　　赤道同升度乙丙为黄赤

　　　　　　　　　　距度成甲乙丙正弧三角

　　　　　　　　　　形甲丁甲戊皆象限丁戊
　　　　　　　　　　为黄赤大距二十三度三
　　　　　　　　　　十分即甲角度己为北极
　　　　　　　　　　庚为南极己丁庚壬为二
　　　　　　　　　　极二至交圈甲为春分丁
　　　　　　　　　　为夏至辛为秋分壬为冬
　　　　　　　　　　至癸为地心己乙丙庚为
　　　　　　　　　　过南北二极经圈其甲乙

　　　　　　　　　　丙三角形之八线各成相
　　　　　　　　　　当比例之勾股形丁子为
　　　　　　　　　　甲角之正弦子癸为甲角
　　　　　　　　　　之馀弦丑戊为甲角之正
　　　　　　　　　　切丑癸为甲角之正割戊
　　　　　　　　　　癸丁癸皆为半径成丑戊
　　　　　　　　　　癸及丁子癸同式两勾股
　　　　　　　　　　形乙寅为乙丙距纬弧之
　　　　　　　　　　正弦乙卯为甲乙黄道弧

　　　　　　　　　　之正弦将两正弦之寅卯

　　　　　　　　　　二处作虚线联之成乙寅
　　　　　　　　　　卯勾股形(两正弦之末立/于各半径寅卯)
　　　　　　　　　　(二处而寅卯二处皆未抵/于弧界故不得为正弦今)
　　　　　　　　　　(以虚线联之者为/明勾股之理也)辰丙为
　　　　　　　　　　乙丙距纬弧之正切丙己
　　　　　　　　　　为甲丙赤道弧之正弦将
　　　　　　　　　　正切正弦之辰巳二处作
　　　　　　　　　　虚线联之成辰丙巳勾股

　　　　　　　　　　形午甲为甲乙黄道弧之
　　　　　　　　　　正切未甲为甲丙赤道弧
　　　　　　　　　　之正切将两正切之午未
　　　　　　　　　　二处作虚线联之成午未
　　　　　　　　　　甲勾股形此三勾股形与
　　　　　　　　　　前二勾股形皆为同式形
　　　　　　　　　　夫甲癸辛原系一线如将
　　　　　　　　　　甲癸辛平视之则甲癸辛
　　　　　　　　　　合成一点而辛癸卯己甲

　　　　　　　　　　五角皆合为一角甲戊象

　　　　　　　　　　限亦成一直线而戊癸半
　　　　　　　　　　径寅卯联线丙己正弦未
　　　　　　　　　　甲正切亦皆合为一线矣
　　　　　　　　　　赤道既平置则黄道斜倚
　　　　　　　　　　从辛视之甲丁象限亦成
　　　　　　　　　　一直线而丁癸半径乙卯
　　　　　　　　　　正弦辰巳联线午甲正切
　　　　　　　　　　亦皆合为一线矣夫五勾

　　　　　　　　　　股形既同角而各股皆合
　　　　　　　　　　为赤道之一线各弦皆合
　　　　　　　　　　为黄道之一线则各勾必
　　　　　　　　　　皆与赤道径线相交成直
　　　　　　　　　　角而自将平行故皆为相
　　　　　　　　　　当比例之勾股形而可以
　　　　　　　　　　互相比例也
　　正弧三角形用次形图说
　　　　　　　　　　如甲乙丙形可易为乙己

　　　　　　　　　　丁次形盖甲戊甲丁己丙

　　　　　　　　　　己戊四弧皆象限九十度
　　　　　　　　　　于甲丁象限弧内减去甲
　　　　　　　　　　乙弧馀乙丁弧即次形之
　　　　　　　　　　乙丁边于己丙象限弧内
　　　　　　　　　　减去乙丙弧馀己乙弧即
　　　　　　　　　　次形之己乙边于己戊象
　　　　　　　　　　限弧内减去丁戊弧(即甲/角度)
　　　　　　　　　　馀己丁弧即次形之己丁

　　　　　　　　　　边于甲戊象限弧内减去
　　　　　　　　　　甲丙弧馀丙戊弧即次形
　　　　　　　　　　之己角度是次形之三边
　　　　　　　　　　一角即本形三边一角之
　　　　　　　　　　馀度而用弦形之馀弦馀
　　　　　　　　　　切实即用次形之正弦正
　　　　　　　　　　切也弦次形之丁角为直
　　　　　　　　　　角与本形之丙角等乙为
　　　　　　　　　　交角其度又等故算乙己

　　　　　　　　　　丁形即得甲乙丙形也

　　　　　　　　　　又甲乙丙形可易为己庚
　　　　　　　　　　辛次形盖庚丁为象限弧
　　　　　　　　　　与己戊等则庚己与丁戊
　　　　　　　　　　等(丁戊即/甲角度)故本形之甲角
　　　　　　　　　　即次形之庚己边乙辛壬
　　　　　　　　　　庚乙壬皆为象限弧与甲
　　　　　　　　　　丁等则壬丁即与甲乙等
　　　　　　　　　　故本形之甲乙边即次形

　　　　　　　　　　之庚角(庚壬与庚丁俱象/限故壬丁弧为庚)
　　　　　　　　　　(角/度)乙壬与乙辛既皆为象
　　　　　　　　　　限则辛壬弧即乙角之度
　　　　　　　　　　故象限内减去乙角之辛
　　　　　　　　　　壬弧馀即次形之庚辛边
　　　　　　　　　　丙戊弧即己角之度故于
　　　　　　　　　　甲戊象限弧内减去甲丙
　　　　　　　　　　弧馀丙戊弧即次形之己
　　　　　　　　　　角又次形之辛角为直角

　　　　　　　　　　与本形之丙角等次形之

　　　　　　　　　　辛己边与本形之乙丙边
　　　　　　　　　　等(辛乙与己丙等故/辛己与乙丙等)故算
　　　　　　　　　　己庚辛形亦得甲乙丙形
　　　　　　　　　　也

　　正弧三角形边角相求法
正弧三角形边角相求错综变换共三十则用黄赤
交角所生八线勾股比例者九用黄道交极圈角所
生八线勾股比例者亦九用次形者十二依题比类
列目于前按法循序设问于后以便观览
　　有直角有黄赤交角有黄道求距纬(第/一)
　　有直角有黄赤交角有黄道求赤道(并见/第一)
　　有直角有黄赤交角有黄道求黄道交极圈角

　　(并见/第一)
　　有直角有黄赤交角有赤道求距纬(第/二)
　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道(并见/第二)
　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道交极圈角
　　(并见/第二)
　　有直角有黄赤交角有距纬求黄道(第/三)
　　有直角有黄赤交角有距纬求赤道(并见/第三)
　　有直角有黄赤交角有距纬求黄道交极圈角
　　(并见/第三)

　　有直角有黄道有赤道求黄赤交角(第/四)

　　有直角有黄道有赤道求距纬(并见/第四)
　　有直角有黄道有赤道求黄道交极圈角(并见/第四)
　　有直角有黄道有距纬求黄赤交角(第/五)
　　有直角有黄道有距纬求赤道(并见/第五)
　　有直角有黄道有距纬求黄道交极圈角(并见/第五)
　　有直角有赤道有距纬求黄赤交角(第/六)
　　有直角有赤道有距纬求黄道(并见/第六)
　　有直角有赤道有距纬求黄道交极圈角(并见/第六)

　　有直角有黄道交极圈角有黄道求赤道(与第/一之)
　　(理/同)
　　有直角有黄道交极圈角有黄道求距纬(与第/一之)
　　(理/同)
　　有直角有黄道交极圈角有黄道求黄赤交角
　　(与第一/之理同)
　　有直角有黄道交极圈角有距纬求赤道(与第/二之)
　　(理/同)
　　有直角有黄道交极圈角有距纬求黄道(与第/二之)

　　(理/同)

　　有直角有黄道交极圈角有距纬求黄赤交角
　　(与第二/之理同)
　　有直角有黄道交极圈角有赤道求黄道(与第/三之)
　　(理/同)
　　有直角有黄道交极圈角有赤道求距纬(与第/三之)
　　(理/同)
　　有直角有黄道交极圈角有赤道求黄赤交角
　　(与第三/之理同)

　　有直角有黄赤交角有黄道交极圈角求黄道
　　(第/七)
　　有直角有黄赤交角有黄道交极圈角求赤道
　　(并见/第七)
　　有直角有黄赤交角有黄道交极圈角求距纬
　　(并见/第七)
设如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度
　求距纬度及赤道度并黄道交极圈角各几何(第/一)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲为

　　　　　　　　　　黄赤交角丙为直角甲乙

　　　　　　　　　　为黄道弧求乙丙距纬弧
　　　　　　　　　　则以丙直角为对所知之
　　　　　　　　　　角其正弦即半径一千万
　　　　　　　　　　为一率甲角二十三度三
　　　　　　　　　　十分为对所求之角其正
　　　　　　　　　　弦三百九十八万七千四
　　　　　　　　　　百九十一为二率甲乙弧
　　　　　　　　　　四十五度为所知之边其

　　　　　　　　　　正弦七百零七万一千零
　　　　　　　　　　六十八为三率求得四率
　　　　　　　　　　二百八十一万九千五百
　　　　　　　　　　八十二为乙丙弧之正弦
　　　　　　　　　　检表得一十六度二十二
　　　　　　　　　　分三十八秒即乙丙距纬
　　　　　　　　　　弧之度也如图丁癸为半
　　　　　　　　　　径丁子为甲角之正弦乙
　　　　　　　　　　卯为甲乙弧之正弦乙寅

　　　　　　　　　　为乙丙弧之正弦丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形与乙寅卯勾股形
　　　　　　　　　　为同式形故以丁癸与丁
　　　　　　　　　　子之比同于乙卯与乙寅
　　　　　　　　　　之比也
　　　　　　　　　　求甲丙赤道度则以半径
　　　　　　　　　　一千万为一率甲角二十
　　　　　　　　　　三度三十分之馀弦九百
　　　　　　　　　　一十七万零六百零一为

　　　　　　　　　　二率甲乙弧四十五度之
　　　　　　　　　　正切一千万为三率仍得
　　　　　　　　　　四率九百一十七万零六
　　　　　　　　　　百零一为甲丙弧之正切
　　　　　　　　　　检表得四十二度三十一
　　　　　　　　　　分二十二秒即甲丙赤道
　　　　　　　　　　弧之度也如图丁癸为半
　　　　　　　　　　径子癸为甲角之馀弦午
　　　　　　　　　　甲为甲乙弧之正切未甲

　　　　　　　　　　为甲丙弧之正切丁子癸

　　　　　　　　　　勾股形与午未甲勾股形
　　　　　　　　　　为同式形故以丁癸与子
　　　　　　　　　　癸之比同于午甲与未甲
　　　　　　　　　　之比也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　用次形法以甲乙弧四十
　　　　　　　　　　五度之馀弦七百零七万
　　　　　　　　　　一千零六十八为一率甲

　　　　　　　　　　角二十三度三十分之馀
　　　　　　　　　　切二千二百九十九万八
　　　　　　　　　　千四百二十五为二率半
　　　　　　　　　　径一千万为三率求得四
　　　　　　　　　　率三千二百五十二万四
　　　　　　　　　　千六百八十三为乙角之
　　　　　　　　　　正切检表得七十二度五
　　　　　　　　　　十四分三十四秒即黄道
　　　　　　　　　　交极圈之乙角度也如图

　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形之次

　　　　　　　　　　形为乙己丁盖甲乙弧之
　　　　　　　　　　馀弦即乙己丁次形之丁
　　　　　　　　　　乙弧之正弦为丁子而甲
　　　　　　　　　　角之馀切即乙己丁次形
　　　　　　　　　　之己丁弧之正切为丑丁
　　　　　　　　　　又乙角之正切亦即乙己
　　　　　　　　　　丁次形之乙角之正切为
　　　　　　　　　　寅壬而丑丁子勾股形与

　　　　　　　　　　寅壬癸勾股形为同式形
　　　　　　　　　　故以丁子与丑丁之比同
　　　　　　　　　　于壬癸与寅壬之比也此
　　　　　　　　　　法用乙己丁次形有丁乙
　　　　　　　　　　边(甲乙/馀弧)己丁边(甲角/馀弧)及丁
　　　　　　　　　　直角求乙角即与有赤道
　　　　　　　　　　有距纬求黄赤交角之理
　　　　　　　　　　同盖乙角即如黄赤交角
　　　　　　　　　　丁乙即如赤道己乙即如

　　　　　　　　　　黄道己丁即如距纬其八

　　　　　　　　　　线所成之勾股皆由乙角
　　　　　　　　　　而生故其相当之比例皆
　　　　　　　　　　同也
设如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度
　三十一分二十二秒求距纬度及黄道度并黄道
　交极圈角各几何(第/二)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲为
　　　　　　　　　　黄赤交角丙为直角甲丙

　　　　　　　　　　为赤道弧求乙丙距纬弧
　　　　　　　　　　则以半径一千万为一率
　　　　　　　　　　甲角二十三度三十分之
　　　　　　　　　　正切四百三十四万八千
　　　　　　　　　　一百二十四为二率甲丙
　　　　　　　　　　弧四十二度三十一分二
　　　　　　　　　　十二秒之正弦六百七十
　　　　　　　　　　五万八千八百二十一为
　　　　　　　　　　三率求得四率二百九十

　　　　　　　　　　三万八千八百一十九为

　　　　　　　　　　乙丙弧之正切检表得一
　　　　　　　　　　十六度二十二分三十八
　　　　　　　　　　秒即乙丙距纬弧之度也
　　　　　　　　　　如图戊癸为半径丑戊为
　　　　　　　　　　甲角之正切丙己为甲丙
　　　　　　　　　　弧之正弦辰丙为乙丙弧
　　　　　　　　　　之正切丑戊癸勾股形与
　　　　　　　　　　辰丙己勾股形为同式形

　　　　　　　　　　故以戊癸与丑戊之比同
　　　　　　　　　　于丙已与辰丙之比也
　　　　　　　　　　求甲乙黄道度则以甲角
　　　　　　　　　　二十三度三十分之馀弦
　　　　　　　　　　九百一十七万零六百零
　　　　　　　　　　一为一率半径一千万为
　　　　　　　　　　二率甲丙弧四十二度三
　　　　　　　　　　十一分二十二秒之正切
　　　　　　　　　　九百一十七万零六百零

　　　　　　　　　　一为三率仍得四率一千

　　　　　　　　　　万为甲乙弧之正切检表
　　　　　　　　　　得四十五度即甲乙黄道
　　　　　　　　　　弧之度也如图子癸为甲
　　　　　　　　　　角之馀弦丁癸为半径未
　　　　　　　　　　甲为甲丙弧之正切午甲
　　　　　　　　　　为甲乙弧之正切丁子癸
　　　　　　　　　　勾股形与午未甲勾股形
　　　　　　　　　　为同式形故以子癸与丁

　　　　　　　　　　癸之比同于未甲与午甲
　　　　　　　　　　之比也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　用次形法以半径一千万
　　　　　　　　　　为一率甲丙弧四十二度
　　　　　　　　　　三十一分二十二秘之馀
　　　　　　　　　　弦七百三十七万零九十
　　　　　　　　　　八为二率甲角二十三度
　　　　　　　　　　三十分之正弦三百九十

　　　　　　　　　　八万七千四百九十一为

　　　　　　　　　　三率求得四率二百九十
　　　　　　　　　　三万八千八百二十为乙
　　　　　　　　　　角之馀弦检表得七十二
　　　　　　　　　　度五十四分三十四秒即
　　　　　　　　　　黄道交极圈之乙角度也
　　　　　　　　　　如图甲乙丙正弧三角形
　　　　　　　　　　之次形为己庚辛盖甲丙
　　　　　　　　　　弧之馀弦即己庚辛次形

　　　　　　　　　　之己角之正弦为卯辰而
　　　　　　　　　　甲角之正弦亦即己庚辛
　　　　　　　　　　次形之己庚弧之正弦为
　　　　　　　　　　庚己又乙角之馀弦即己
　　　　　　　　　　庚辛次形之庚辛弧之正
　　　　　　　　　　弦为庚午而庚午巳勾股
　　　　　　　　　　形与卯辰癸勾股形为同
　　　　　　　　　　式形故卯癸与卯辰之比
　　　　　　　　　　同于庚己与庚午之比也

　　　　　　　　　　此法用己庚辛次形有己

　　　　　　　　　　角(甲丙/馀弧)己庚边(与甲/角等)及辛
　　　　　　　　　　直角求庚辛边(乙角/馀弧)即与
　　　　　　　　　　有黄赤交角有黄道求距
　　　　　　　　　　纬之理同盖己角即如黄
　　　　　　　　　　赤交角己庚即如黄道己
　　　　　　　　　　辛即如赤道庚辛即如距
　　　　　　　　　　纬其八线所成之勾股皆
　　　　　　　　　　由己角而生故其相当之

　　　　　　　　　　比例皆同也
设如黄赤交角二十三度三十分距纬弧一十六度
　二十二分三十八秒求黄道度及赤道度并黄道
　交极圈角各几何(第/三)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲为
　　　　　　　　　　黄赤交角丙为直角乙丙
　　　　　　　　　　为距纬弧求甲乙黄道弧
　　　　　　　　　　则以甲角二十三度三十
　　　　　　　　　　分为对所知之角其正弦

　　　　　　　　　　三百九十八万七千四百

　　　　　　　　　　九十一为一率丙直角为
　　　　　　　　　　对所求之角其正弦即半
　　　　　　　　　　径一千万为二率乙丙弧
　　　　　　　　　　一十六度二十二分三十
　　　　　　　　　　八秘为所知之边其正弦
　　　　　　　　　　二百八十一万九千五百
　　　　　　　　　　八十二为三率求得四率
　　　　　　　　　　七百零七万一千零六十

　　　　　　　　　　八为甲乙弧之正弦检表
　　　　　　　　　　得四十五度即甲乙黄道
　　　　　　　　　　弧之度也如图丁子为甲
　　　　　　　　　　角之正弦丁癸为半径乙
　　　　　　　　　　寅为乙丙弧之正弦乙卯
　　　　　　　　　　为甲乙弧之正弦丁子癸
　　　　　　　　　　勾股形与乙寅卯勾股形
　　　　　　　　　　为同式形故丁子与丁癸
　　　　　　　　　　之比同于乙寅与乙卯之

　　　　　　　　　　比也

　　　　　　　　　　求甲丙赤道度则以甲角
　　　　　　　　　　二十三度三十分之正切
　　　　　　　　　　四百三十四万八千一百
　　　　　　　　　　二十四为一率半径一千
　　　　　　　　　　万为二率乙丙弧一十六
　　　　　　　　　　度二十二分三十八秒之
　　　　　　　　　　正切二百九十三万八千
　　　　　　　　　　八百一十九为三率求得

　　　　　　　　　　四率六百七十五万八千
　　　　　　　　　　八百二十一为甲丙弧之
　　　　　　　　　　正弦检表得四十二度三
　　　　　　　　　　十一分二十二秒即甲丙
　　　　　　　　　　赤道弧之度也如图丑戊
　　　　　　　　　　为甲角之正切戊癸为半
　　　　　　　　　　径辰丙为乙丙弧之正切
　　　　　　　　　　丙己为甲丙弧之正弦丑
　　　　　　　　　　戊癸勾股形与辰丙己勾

　　　　　　　　　　股形为同式形故丑戊与

　　　　　　　　　　戊癸之丙同于辰丙与丙
　　　　　　　　　　己之比也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　用次形法以乙丙弧一十
　　　　　　　　　　六度二十二分三十八秒
　　　　　　　　　　之馀弦九百五十九万四
　　　　　　　　　　千二百六十七为一率甲
　　　　　　　　　　角二十三度三十分之馀

　　　　　　　　　　弦九百一十七万零六百
　　　　　　　　　　零一为二率半径一千万
　　　　　　　　　　为三率求得四率九百五
　　　　　　　　　　十五万八千四百一十七
　　　　　　　　　　为乙角之正弦检表得七
　　　　　　　　　　十二度五十四分三十四
　　　　　　　　　　秘即黄道交极圈之乙角
　　　　　　　　　　度也如图甲乙丙正弧三
　　　　　　　　　　角形之次形为乙己丁盖

　　　　　　　　　　乙丙弧之馀弦即乙己丁

　　　　　　　　　　次形之己乙弧之正弦为
　　　　　　　　　　己未而甲角之馀弦即乙
　　　　　　　　　　己丁次形之己丁弧之正
　　　　　　　　　　弦为巳申又乙角之正弦
　　　　　　　　　　亦即乙己丁次形之乙角
　　　　　　　　　　之正弦为辛酉而巳申未
　　　　　　　　　　勾股形与辛酉癸勾股形
　　　　　　　　　　为同式形故巳未与巳申

　　　　　　　　　　之比同于辛癸与辛酉之
　　　　　　　　　　比也
设如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分
　二十二秒求黄赤交角及距纬度并黄道交极圈
　角各几何(第/四)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙为
　　　　　　　　　　直角甲乙为黄道弧甲丙
　　　　　　　　　　为赤道弧求黄赤相交之
　　　　　　　　　　甲角则以甲乙弧四十五

　　　　　　　　　　度之正切一千万为一率

　　　　　　　　　　甲丙弧四十二度三十一
　　　　　　　　　　分二十二秒之正切九百
　　　　　　　　　　一十七万零六百零一为
　　　　　　　　　　二率半径一千万为三率
　　　　　　　　　　仍得四率九百一十七万
　　　　　　　　　　零六百零一为甲角之馀
　　　　　　　　　　弦检表得二十三度三十
　　　　　　　　　　分即黄赤相交之甲角度

　　　　　　　　　　也如图午甲为甲乙弧之
　　　　　　　　　　正切未甲为甲丙弧之正
　　　　　　　　　　切丁癸为半径子癸为甲
　　　　　　　　　　角之馀弦午未甲勾股形
　　　　　　　　　　与丁子癸勾股形为同式
　　　　　　　　　　形故午甲与未甲之比同
　　　　　　　　　　于丁癸与子癸之比也
　　　　　　　　　　求乙丙距纬度则用次形
　　　　　　　　　　法以甲丙弧四十二度三

　　　　　　　　　　十一分二十二秒之馀弦

　　　　　　　　　　七百三十七万零九十八
　　　　　　　　　　为一率半径一千万为二
　　　　　　　　　　率甲乙弧四十五度之馀
　　　　　　　　　　弦七百零七万一千零六
　　　　　　　　　　十八为三率求得四率九
　　　　　　　　　　百五十九万四千二百六
　　　　　　　　　　十六为乙丙弧之馀弦检
　　　　　　　　　　表得一十六度二十二分

　　　　　　　　　　三十八秒即乙丙距纬弧
　　　　　　　　　　之度也如图甲乙丙正弧
　　　　　　　　　　三角形之次形为乙己丁
　　　　　　　　　　盖甲丙弧之馀弦即乙己
　　　　　　　　　　丁次形之己角之正弦为
　　　　　　　　　　丙辰而甲乙弧之馀弦即
　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙丁弧之
　　　　　　　　　　正弦为乙子又乙丙弧之
　　　　　　　　　　馀弦即乙己丁次形之乙

　　　　　　　　　　己弧之正弦为乙未而丙

　　　　　　　　　　辰癸勾股形与乙子未勾
　　　　　　　　　　股形为同式形故丙辰与
　　　　　　　　　　丙癸之比同于乙子与乙
　　　　　　　　　　未之比也此法用乙己丁
　　　　　　　　　　次形有己角(甲丙/馀弧)乙丁边
　　　　　　　　　　(甲乙/馀弧)及丁直角求乙己边
　　　　　　　　　　(乙丙/馀弧)即与有黄赤交角有
　　　　　　　　　　距纬求黄道之理同盖己

　　　　　　　　　　角即如黄赤交角己乙即
　　　　　　　　　　如黄道己丁即如赤道乙
　　　　　　　　　　丁即如距纬其八线所成
　　　　　　　　　　之勾股皆由己角而生故
　　　　　　　　　　其相当之比例皆同也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　以甲乙弧四十五度为对
　　　　　　　　　　所知之边其正弦七百零
　　　　　　　　　　七万一千零六十八为一

　　　　　　　　　　率甲丙弧四十二度三十

　　　　　　　　　　一分二十二秒为对所求
　　　　　　　　　　之边其正弦六百七十五
　　　　　　　　　　万八千八百二十一为二
　　　　　　　　　　率丙直角九十度为所知
　　　　　　　　　　之角其正弦即半径一千
　　　　　　　　　　万为三率求得四率九百
　　　　　　　　　　五十五万八千四百一十
　　　　　　　　　　六为乙角之正弦检表得

　　　　　　　　　　七十二度五十四分三十
　　　　　　　　　　四秒即黄道交极圈之乙
　　　　　　　　　　角度也如图甲申为甲乙
　　　　　　　　　　弧之正弦甲酉为甲丙弧
　　　　　　　　　　之正弦戌癸为半径戌亥
　　　　　　　　　　为乙角之正弦甲酉申勾
　　　　　　　　　　股形与戌亥癸勾股形为
　　　　　　　　　　同式形故甲申与甲酉之
　　　　　　　　　　比同于戌癸与戌亥之比

　　　　　　　　　　也此与有黄道有距纬求

　　　　　　　　　　黄赤交角之理同盖乙角
　　　　　　　　　　即如黄赤交角甲乙为黄
　　　　　　　　　　道乙丙即如赤道甲丙即
　　　　　　　　　　如距纬其八线所成之勾
　　　　　　　　　　股皆由乙角而生故其相
　　　　　　　　　　当之比例皆同也
设如黄道弧四十五度距纬弧一十六度二十二分
　三十八秒求黄赤交角及赤道度并黄道交极圈

　角各几何(第/五)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙为
　　　　　　　　　　直角甲乙为黄道弧乙丙
　　　　　　　　　　为距纬弧求黄赤相交之
　　　　　　　　　　甲角则以甲乙弧四十五
　　　　　　　　　　度为对所知之边其正弦
　　　　　　　　　　七百零七万一千零六十
　　　　　　　　　　八为一率乙丙弧一十六
　　　　　　　　　　度二十二分三十八秒为

　　　　　　　　　　对所求之边其正弦二百

　　　　　　　　　　八十一万九千五百八十
　　　　　　　　　　二为二率丙直角九十度
　　　　　　　　　　为所知之角其正弦即半
　　　　　　　　　　径一千万为三率求得四
　　　　　　　　　　率三百九十八万七千四
　　　　　　　　　　百九十一为甲角之正弦
　　　　　　　　　　检表得二十三度三十分
　　　　　　　　　　即黄赤相交之甲角度也

　　　　　　　　　　如图乙卯为甲乙弧之正
　　　　　　　　　　弦乙寅为乙丙弧之正弦
　　　　　　　　　　丁癸为半径丁子为甲角
　　　　　　　　　　之正弦乙寅卯勾股形与
　　　　　　　　　　丁子癸勾股形为同式形
　　　　　　　　　　故乙卯与乙寅之比同于
　　　　　　　　　　丁癸与丁子之比也
　　　　　　　　　　求甲丙赤道度则用次形
　　　　　　　　　　法以乙丙弧一十六度二

　　　　　　　　　　十二分三十八秒之馀弦

　　　　　　　　　　九百五十九万四千二百
　　　　　　　　　　六十七为一率甲乙弧四
　　　　　　　　　　十五度之馀弦七百零七
　　　　　　　　　　万一千零六十八为二率
　　　　　　　　　　半径一千万为三率求得
　　　　　　　　　　四率七百三十七万零一
　　　　　　　　　　百一十三为甲丙弧之馀
　　　　　　　　　　弦检表得四十二度三十

　　　　　　　　　　一分二十二秒即甲丙赤
　　　　　　　　　　道弧之度也如图甲乙丙
　　　　　　　　　　正弧三角形之次形为乙
　　　　　　　　　　己丁盖乙丙弧之馀弦即
　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙己弧之
　　　　　　　　　　正弦为乙未而甲乙弧之
　　　　　　　　　　馀弦即乙己丁次形之乙
　　　　　　　　　　丁弧之正弦为乙子又甲
　　　　　　　　　　丙弧之馀弦即乙己丁次

　　　　　　　　　　形之己角之正弦为丙辰

　　　　　　　　　　而乙子未勾股形与丙辰
　　　　　　　　　　癸勾股形为同式形故乙
　　　　　　　　　　未与乙子之比同于丙癸
　　　　　　　　　　与丙辰之比也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　与前第四问有黄道有赤
　　　　　　　　　　道求黄赤交角之理同盖
　　　　　　　　　　乙角即如黄赤交角甲乙

　　　　　　　　　　为黄道乙丙即如赤道其
　　　　　　　　　　勾股比例同也
设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距纬弧
　一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄
　道度并黄道交极圈角各几何(第/六)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形丙为
　　　　　　　　　　直角甲丙为赤道弧乙丙
　　　　　　　　　　为距纬弧求黄赤相交之
　　　　　　　　　　甲角则以甲丙弧四十二

　　　　　　　　　　度三十一分二十二秒之

　　　　　　　　　　正弦六百七十五万八千
　　　　　　　　　　八百二十一为一率乙丙
　　　　　　　　　　弧一十六度二十二分三
　　　　　　　　　　十八秒之正切二百九十
　　　　　　　　　　三万八千八百一十九为
　　　　　　　　　　二率半径一千万为三率
　　　　　　　　　　求得四率四百三十四万
　　　　　　　　　　八千一百零九为甲角之

　　　　　　　　　　正切检表得二十三度三
　　　　　　　　　　十分即黄赤相交之甲角
　　　　　　　　　　度也如图丙己为甲丙弧
　　　　　　　　　　之正弦辰丙为乙丙弧之
　　　　　　　　　　正切戊癸为半径丑戊为
　　　　　　　　　　甲角之正切辰丙己勾股
　　　　　　　　　　形与丑戊癸勾股形为同
　　　　　　　　　　式形故丙己与辰丙之比
　　　　　　　　　　同于戊癸与丑戊之比也

　　　　　　　　　　求甲乙黄道度则用次形

　　　　　　　　　　法以半径一千万为一率
　　　　　　　　　　甲丙弧四十二度三十一
　　　　　　　　　　分二十二秒之馀弦七百
　　　　　　　　　　三十七万零九十八为二
　　　　　　　　　　率乙丙弧一十六度二十
　　　　　　　　　　二分三十八秒之馀弦九
　　　　　　　　　　百五十九万四千二百六
　　　　　　　　　　十七为三率求得四率七

　　　　　　　　　　百零七万一千零六十八
　　　　　　　　　　为甲乙弧之馀弦检表得
　　　　　　　　　　四十五度即甲乙黄道弧
　　　　　　　　　　之度也如图甲乙丙正弧
　　　　　　　　　　三角形之次形为乙己丁
　　　　　　　　　　盖甲丙弧之馀弦即乙己
　　　　　　　　　　丁次形之己角之正弦为
　　　　　　　　　　丙辰而乙丙弧之馀弦即
　　　　　　　　　　乙己丁次形之乙己弧之

　　　　　　　　　　正弦为乙未又甲乙弧之

　　　　　　　　　　馀弦即乙己丁次形之乙
　　　　　　　　　　丁弧之正弦为乙子而丙
　　　　　　　　　　辰癸勾股形与乙子未勾
　　　　　　　　　　股形为同式形故丙癸与
　　　　　　　　　　丙辰之比同于乙未与乙
　　　　　　　　　　子之比也
　　　　　　　　　　求黄道交极圈之乙角则
　　　　　　　　　　与求黄赤交角之理同盖

　　　　　　　　　　乙角即如黄赤交角乙丙
　　　　　　　　　　即如赤道甲丙即如距纬
　　　　　　　　　　其勾股比例同也
设如黄赤交角二十三度三十分黄道交极圈角七
　十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度
　并距纬度各几何(第/七)
　　　　　　　　　　甲乙丙正弧三角形甲为
　　　　　　　　　　黄赤交角丙为直角乙为
　　　　　　　　　　黄道交极圈角求甲乙黄

　　　　　　　　　　道弧则用次形法以乙角

　　　　　　　　　　七十二度五十四分三十
　　　　　　　　　　四秒之正切三千二百五
　　　　　　　　　　十二万四千六百八十三
　　　　　　　　　　为一率半径一千万为二
　　　　　　　　　　率甲角二十三度三十分
　　　　　　　　　　之馀切二千二百九十九
　　　　　　　　　　万八千四百二十五为三
　　　　　　　　　　率求得四率七百零七万