钦定四库全书
　测圆海镜分类释术卷七
　　　　　　　　　　　　元　李　冶　撰
　　　　　　　　　　　　明　顾应祥　释术
通勾股和与别勾股弦测望一
丙从城西门穿城东行二百五十六步而立丁从城北
　门穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城
　外西北乾隅甲向东乙向南各不知步数而立四人

　遥相望俱与城相参直只云甲东乙南共步九百二
　十问城径
　释曰此以通勾股和与边勾底股立法测望甲东行
　为勾乙南行为股共步为通勾股和丙穿城东行边
　勾丁穿城南行底股也
　术曰丙东行自之得六万五千五百三十六为边勾
　算　丁南行自之得一十四万○六百二十五为底
　股算　相并得二十○万六千一百六十一为二算

　和　倍边勾底股和与通勾股和相减馀三百四十
　二又减于边勾底股和馀二百八十九自之得八万
　三千五百二十一　以减二算和馀一十二万二千
　六百四十为平实　以边勾底股和六百三十一为
　从　半步为隅算作负隅减从开平方法除之得全
　径
　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条
丙出东门不知步数而立丁出南门不知步数而立甲

　乙二人俱在城外西北乾隅甲东行乙南行各立定
　四人遥相望俱与城相参直既而丁从立处向东北斜
　行四百二十五步与甲会丙从立处向西南斜行五
　百四十四步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二
　十问城径
　释曰此通勾股和与边弦底弦立法测望甲东行为
　通勾乙南行为通股共行九百二十通勾股和也丙
　从丁处斜行就甲底弦也丁从立处斜行就乙边弦

　也
　术曰二弦相减馀自之得一万四千一百六十一为
　实　二弦相并减共行步馀四十九为法实如法而
　一得二百八十九减法为全径
丙出南门东行稍远丁出东门南行稍近甲乙二人俱
　在城外西北乾隅甲东行乙南行各不知步数而立
　相望俱与城相参直既而丙从立处向东北斜行二
　百七十二步与甲会丁从立处向东南斜行五百一

　十步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二十步不
　知城径几何
　释曰此通勾股和与黄广弦黄长弦立法测望甲东
　行为勾乙南行为股共行九百二十步为通勾股和
　也丙之就甲黄长弦也丁之就乙黄广弦也
　术曰并二弦以减通勾股和馀一百三十八为差
　以并二弦乘差得一十○万七千九百一十六为实
　　　又以差加通勾股和得一千○五十八为法

　实如法而一得一百○二为太虚弦加差为全径
丙出南门东行稍远丁出东门南行稍近甲乙二人俱
　在城外西北乾隅甲东行乙南行各不知步数而立
　相望俱与城相参直既而丙从立处向西南斜行四
　百○八步与乙会丁从立处向东北斜行一百七十
　步与甲会问甲乙行步则曰共行九百二十不知城
　径几何
　释曰此通勾股和与大差弦小差弦立法测望甲东

　行为通勾乙南行为通股共步和也丙就乙大差弦
　也丁斜就甲小差弦也
　术曰二弦相并共五百七十八为二弦和以减通和
　馀三百四十二为中率　以乘通和倍之得六十二
　万九千二百八十为实　三之通和得二千七百六
　十　加中率得三千一百○二为从　二为隅算
　作负隅减从开平方除之得全径
　　负隅减从开平方法见二卷

通勾股和与诸和较立法测望二
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行共九百
　二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤
　隅东行四人遥相望而立俱与城相参直既而甲还
　至艮隅复南行一横一直共行二百三十步与乙会
　丙还至坤隅复东行一横一直共行五百五十二步
　与丁会问城径
　释曰此通勾股和与大差勾股和小差勾股和立法

　测望甲东行为勾丙南行为股共行九百二十步通
　勾股和也甲还至艮为小差勾复南行与乙会为小
　差股共行二百三十步小差勾股和也丙还至坤为
　大差股东行与丁会为大差勾共行五百五十二大
　差勾股和也
　术曰二差勾股和相并得七百八十二为大小差和
　和以减通勾股和得一百三十八即太虚勾股和
　又以大小差和和乘之得一十○万七千九百一十

　六为平实　以通勾股和加太虚勾股和得一千○
　五十八为法实如法而一得一百○二为虚弦加虚
　和即城径
　又曰并二差和减通和得一百三十八为虚勾股和
　　二差和相减馀三百二十二乘之得四万四千四
　百三十六如前术得一千○五十八为法除之得四
　十二为虚勾股较　以加和半之为股减和半之为
　勾

甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行共九百
　二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤
　隅东行各不知步数而立与甲丙共四人遥相望俱
　与城相参直既而乙复向东北斜行与甲会丁复向
　西南斜行与丙会问其行步乙曰我南行不及斜行二
　十步丁曰我东行不及斜行二百一十六步问城径
　释曰此通勾股和与大差勾弦较小差股弦较立法
　测望甲东行为通勾丙南行为通股共行九百二十

　步通勾股和也乙从艮隅南行为小差股斜行就甲
　为小差弦不及二十步小差股弦较也丁从坤隅东
　行为大差勾斜行就丙为大差弦不及二百一十六
　步大差勾弦较也
　术曰以小差股弦较减通和馀九百步复以二十步
　乘之得一万八千于上　又以大差勾弦较减九百
　馀六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百
　一十五万六千为立实　三因小差股弦较得六十

　以减通和馀八百六十于上　以半之大差勾弦较
　一百○八减三百四十二馀二百三十四乘上位得
　二十○万一千二百四十为从方　以大差勾弦较
　减通和馀七百○四　三之小差股弦较减通和馀
　八百六十　相并得一千五百六十四于上　又以
　大差勾弦较并三百四十二得五百五十八倍之得
　一千一百一十六减去小差股弦较二十馀一千○
　九十六以减上位馀四百六十八为益廉　四为常

　法作负隅带廉减从开立方法除之得一百五十为
　小差股加较为弦　弦较各自乘相减开其馀为勾
　　负隅带益廉减从开立方曰初商一百　置一于
　　左上为法　置一乘益廉得四万六千八百　置
　　一自之得一万以隅法因之得四万为隅法　并
　　益廉共八万六千八百以减从方馀一十一万四
　　千四百四十为下法与上法相乘除实一千一百
　　四十四万四千实不满法反除实六百一十五万

　　六千　馀五百二十八万八千为负积　倍益廉
　　得九万三千六百　三因隅法得一十二万为方
　　法　三因初商得三百为廉法　次商五十　置
　　一于左上为法　置一乘从廉得二万三千四百
　　并入倍廉共一十一万七千为益廉　置一乘廉
　　法得一万五千隅因得六万　置一自之得二千
　　五百隅因得一万为隅法并方廉隅共一十九万
　　加益廉共三十○万七千以减从方不及减反减

　　从方二十○万一千二百四十馀一十○万五千
　　七百六十为负从与上法相乘除负积尽
　　此法虽已见前因有翻法故重出
　又为带从负隅添积开立方法
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行共九百
　二十步乙出东门东行丁出南门南行各不知步数
　而立四人遥相望俱与城相参直既而乙从立处斜
　行与甲会丁从立处斜行与丙会以二斜行相和共

　三百九十一步相较得一百一十九步问城径
　释曰此通勾股和与上高下平弦和上高下平弦较
　立法测望甲东行通勾丙南行通股共步和也乙斜
　就甲下平弦丁斜就丙上高弦共步和也相较较也
　术曰二弦和自之得一十五万二千八百八十一为
　和算　二弦较自之得一万四千一百六十一为较
　算　较算减弦算馀半之得六万九千三百六十为
　实　以二弦和减通和馀五百二十九为从　作减

　从开平方法除之得二百四十为全径
　　减从开平方法见二卷底勾□勾条
　又曰和较相并半为高弦相减半之为平弦
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行共九百
　二十步乙丁二人俱在城外东南巽隅乙北行丁西
　行各不知步数而立四人遥相望俱与城相参直既
　而乙复斜行至丁立处相会问其行步则曰乙直行
　比丁直行较多其多步与斜行步相并共一百四十

　四步相减馀六十步问城径
　释曰此通勾股和与太虚弦较和弦较较立法测望
　甲东行为通勾丙南行为通股共步通勾股和也乙
　从巽隅北行乃巽之山与月之泛同太虚股也丁从
　巽隅西行乃巽之月即泛之山太虚勾也乙斜行就
　丁乃山之月太虚弦也乙直行多于丁直行数太虚
　勾股较也以多步并斜行一百四十四弦较和也多
　步减斜行六十弦较较也

　术曰弦较较减弦较和馀半之得四十二为太虚勾
　股较　以减弦较和得弦自之得一万○四百○四
　倍之减较自乘一千七百六十四馀一万九千○四
　十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和
　加较半之为股减较半之为勾
通勾弦和与诸和较测望三
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲直往东丙直往南乙
　丁二人俱在城之南门乙向东行丁向南行俱不知

　步数而立四人遥相望俱与城相参直既而甲向西
　南斜至丙立处乙亦斜行至丁立处问其行步则甲
　直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步问城
　径
　释曰此以通勾弦和明勾弦和立法测望甲在乾往
　东为通勾斜行就丙为通弦直斜共步勾弦和也乙
　在南门东行为明勾斜行就丁为明弦直斜共步勾
　弦和也

　术曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九万○六
　百二十五为平实　乙共步自之得五万○六百二
　十五为从　甲共步一千为隅算　作负隅以从减
　法开平方法除之得明股一百三十五
　　负隅以从减法开平方曰置实以从隅约之　初
　　商一百　置一于左上为法　置一乘隅算得一
　　十万减去从方　馀四万九千三百七十五为下
　　法与上法相乘除实四百九十三万七千五百

　　馀实六百四十五万三千一百二十五为次实
　　下法再加十万共一十四万九千三百七十五为
　　方法次商三十　置一于左次为上法　置一乘
　　隅算得三万并入方法共一十七万九千三百七
　　十五为下法与上法相乘除实五百三十八万一
　　千二百五十馀实一百○七万一千八百七十五
　　为次实　下法内再加三万共二十○万九千三
　　百七十五为方法　次商五　置一于左次为上

　　法　置一乘隅算得五千并入方法共二十一万
　　四千三百七十五为下法相乘除实尽得明股一
　　百三十五
　　明股自之以勾弦和除之得勾弦较八十一加和
　　半之为股减和半之为勾
　　负隅以从减法开平方已见四卷大差勾黄长弦
　　下因此法有三位故重出而小变之
　又为以从添积开平方

　　其法曰初商一百置一于左上为法　置一乘从
　　得五百○六万二千五百为益积添积共一千六百四
　　十五万三千一百二十五为实　置一乘隅得一
　　十万与上法相乘除实一千万馀实六百四十五
　　万三千一百二十五　倍隅法得二十万为方法
　　约次商三十　置一于左次为上法　置一乘从
　　得一百五十一万八千七百五十为益实　添馀
　　积共七百九十七万一千八百七十五为实　置

　　一乘隅得三万并方法共二十三万为下法与上
　　法相乘除实六百九十万　馀实一百○七万一
　　千八百七十五　下法内再加三万共二十六万
　　为方法　次商五　置一于左上为法置一乘从
　　方得二十五万三千一百二十五为益积　添入
　　馀积共一百三十二万五千为实　置一乘隅得
　　五千并方法共二十六万五千为下法与上法相
　　乘除实尽

　　法已见前卷
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行乙丁二
　人俱出东门乙东行丁南行各不知步数而立四人
　遥相望俱与城相参直既而甲复斜行与丙会乙复
　斜行与丁会问其行步甲直斜共一千步乙直斜共
　五十步问城径
　释曰此通勾弦和与□勾弦和立法测望甲东行为
　通勾斜行就丙为通弦共步和也乙出东门而东□

　勾也斜行就丁□弦也和为共步
　术曰通勾弦和内减二之□勾弦和馀九百为汎率
　汎率自之得八十一万半之得四十○万五千　□
　勾弦和乘汎率得四万五千二数相并得四十五万为
　平实　二十二乘汎率得一万九千八百　四十二
　乘□和得二千一百减汎率得一千二百　二数相
　并得二万一千为益从　四之□勾弦和得二百为
　隅法作负隅减从开平方法除之得□股三十

　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行各不知
　步数而立遥望与城相参直既而甲复向西南斜行
　与丙相会问其行步甲一直一斜共一千步甲斜直
　相较与甲之斜丙之直相较共四百四十步问城径
　释曰此通勾弦和与勾弦较股弦较和立法测望甲
　东行为通勾丙南行为通股甲斜行为通弦一直一
　斜勾弦和也直斜相较为勾弦较甲斜丙直相较为

　股弦较两相较共四百四十步二较和也
　术曰以二较和减勾弦和馀五百六十半之自乘得
　七万八千四百为平实　以和一千为从方　二分
　五釐为常法　作减从开平方法开之得八十为小
　差勾
　　负隅减从开平方法见二卷
　又曰以二较和减勾弦和馀五百六十自之得三十
　一万三千六百为平实　四之勾弦和得四千为从

　方　作减从开平方除之得八十不用负隅
通股弦和与诸和较测望四
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行乙丁二
　人俱出南门乙东行丁南行各不知步数而立四人
　遥相望俱与城相参直既而甲复斜行与丙会乙复
　斜行与丁会问其行步则甲之斜与丙之直共一千
　二百八十步乙之斜与丁之直共二百八十八步问
　城径

　释曰此通股弦和与明股弦和立法测望甲东行为
　通勾丙南行通股也甲斜行与丙会通弦也甲之斜
　丙之直共步通股弦和也乙出南门东行为明勾丁
　南行明股也乙斜行与丁会明弦也乙之斜丁之直
　共步明股弦和也
　术曰二和相减馀九百九十二　以明和乘之得二
　十八万五千六百九十六减明和算馀二十○万二
　千七百五十二半之得一十○万一千三百七十六

　为泛率　以五万七千六百乘泛率得五十八亿三
　千九百二十五万七千六百为平实　通和加二之
　明和又半之得九百二十八为次率　次率乘泛率
　得九千四百○七万六千九百二十八　明和乘泛
　率得二千九百一十九万六千二百八十八　二数
　相减馀六千四百八十八万○六百四十为从方
　次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十
　三万五千九百○四　二数相减馀二十二万五千

　二百八十为隅法　作带从平方开之得明勾七
　十二　勾自乘和除之得股弦较以加和半之为弦
　减和半之为股
　　带从隅开平方曰置实从隅约之初商七十置一
　　于左上为法　置一乘负隅得一千五百七十六
　　万九千六百为隅法并从方共八千○六十五万
　　○二百四十为下法　与上法相乘除实五十六
　　亿四千五百五十一万六千八百馀一亿九千三

　　百七十四万○八百为次实　二因隅法得三千
　　一百五十三万九千二百为廉法　　次商二置
　　一于左上为法　置一乘隅法得四十五万○五
　　百六十为隅法并从方廉法共九千六百八十七
　　万○四百为下法与上法相乘
　　此条平实原系一百○二亿七千七百○九万三
　　千三百七十六数多故减之
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行乙丁二

　人俱出城东门乙东行丁南行各不知步数而立四
　人遥相望俱与城相参直既而丙复斜行与甲相会
　丁亦斜行与乙相会问其行步则曰丙一直一斜共
　一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步问城
　径
　释曰此通股弦和与□股弦和立法测望甲东行为
　通勾丙南行通股也丙又斜行与甲会通弦也一直
　一斜共步通股弦和也乙出东门为□勾丁南行□

　股也丁又斜行与乙会□弦也一直一斜共步□股
　弦和也
　术曰二共步相乘得八万一千九百二十为平实
　以通股弦和一千二百八十为从　以□和除通和
　得二十为汎率减一自之得三百六十一　倍汎率
　减一得三十九相并共得四百为隅算作以从减泛
　负隅开平方法除之得□勾一十六步　勾自乘得
　二百五十六以□勾股和除之得□股弦较四加和

　半之为弦减和半之为股
　　负隅以从减法开平方见四卷大差勾黄长弦条
　又为以从添积开平方法
通弦和和与诸和较测望五
甲乙同在城外西北乾隅甲南行较远乙东行较近隔
　城斜望与城相参直甲复向东北斜行与乙相会二
　人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十步问
　城径

　释曰此通弦和和与股弦较立法测望乙东行为通
　勾甲南行为通股斜行与乙相会为通弦二人共行
　一千六百步通弦和和也甲南行不及斜行八十步
　股弦较也
　术曰四之股弦较以减弦和和馀自之得一百六十
　三万八千四百　股弦较自之得六千四百叉十八
　因之得一十一万五千二百　相减馀一百五十二
　万三千二百为平实○四之弦和和得六千四百减

　十六较加十八较得六千五百六十为从　四为隅
　法作负隅减从开平方法除之得勾股较二百八十
　　加股弦较即勾弦较三百六十　股弦较乘勾弦
　较倍为实平方开之得弦和较二百四十
　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条
甲乙同在乾隅甲南行乙东行隔城相望与城参直甲
　向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步乙
　东行不及甲斜行三百六十步问城径

　释曰此通弦和和与勾弦较立法测望乙东行为通
　勾甲南行为通股斜行为通弦共行一千六百步通
　弦和和也乙东行不及甲斜行勾弦较也
　术曰倍较以较乘之得二十五万九千二百又九之
　得二百三十三万二千八百寄于左　倍较以加和
　得二千三百二十　倍较以减倍和得二千四百八
　十　二数相减馀一百六十为泛率自之得二万五
　千六百以减左位馀二百三十○万七千二百为平

　实　十八因较得六千四百八十减四泛率得七千
　一百二十为从方　四为隅算作带从负隅开平方
　法除之得二百八十为勾股较　以减勾弦较馀八
　十为股弦较　勾弦较乘股弦较倍之为实平方开
　之得弦和较
　　带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条
甲乙二人俱在乾隅甲南行乙东行遥相望与城相参
　直甲复向东北斜行与乙相会二人共行了一千六

　百步乙东行不及甲南行二百八十步问城径
　释曰此通弦和和与勾股较立法测望乙东行为通
　勾甲南行为通股斜行与乙会为通弦共行一千六
　百步通弦和和也乙东行不及甲南行二百八十步
　勾股较也
　术曰并和较自之得三百五十三万四千四百　和
　较相减自之得一百七十四万二千四百　二数相
　并共五百二十七万六千八百为平实　四之和步

　得六千四百为从　二为隅法　作带从负隅开平
　方法除之得六百八十为通弦减较得勾
　　带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条
甲乙二人俱在乾隅甲南行乙东行遥相望与城相参
　直甲复向东北斜行与乙会二人共行一千六百步
　甲南行不及斜行与乙东行不及甲斜行共四百四
　十步问城径
　释曰此通弦和和与勾弦较股弦较并立法测望二

　人共步通弦和和也甲南行不及斜行为股弦较乙
　东行不及斜行为勾弦较共四百四十步勾弦较与
　股弦较并也
　术曰并和及二差并以三归之即通弦
甲乙二人俱在乾隅甲南行远乙东行近遥相望与城
　相参直既而甲复向东北斜行与乙会二人共行一
　千六百步甲南行不及斜行乙东行不及甲南行乙
　东行不及甲斜行三事共七百二十步问城径

　释曰此通弦和和与勾股较勾弦较股弦较并立法
　测望甲南行通股斜行通弦乙东行通勾共一千六
　百步通弦和和也乙东行不及甲南行为勾股较不
　及甲斜行为勾弦较甲南行不及斜行为股弦较三
　较相并共七百二十
　术曰三较和半之自乘又三之得三十八万八千八
　百减弦和和馀三十八万七千二百为平实　倍弦
　和和半三较和五之　二数相并得五千为从　二

　为隅算作负隅减从开平方法除之得股弦较八十
　　负隅减从开平方见二卷通勾□勾条
通弦和和与别弦测望六
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行乙丁二
　人俱在城中心乙穿城往东门外丁穿城往南门外
　直行各不知步数而立四人遥相望俱与城相参直
　既而丙向东北斜行与甲会甲东行与丙一南一斜
　共一千六百步丁亦从南门外立处斜行二百八十

　九步与乙会问城径
　释曰此通弦和和与皇极弦立法测望甲东行通勾
　丙南行通股斜行通弦共步弦和和也乙从城心出
　东门为皇极勾丁从城心出南门为皇极股丁斜行
　会乙则皇极弦也
　术曰以皇极弦乘通弦和和平方开之即通弦
甲丙二人俱在城外西北乾隅甲东行丙南行乙出东
　门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相

　望与城相参直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与
　丁会问其行步则曰甲一东一斜与丙之南共一千
　六百步乙斜行一百○二步问城径
　释曰此通弦和和与太虚弦立法测望甲东行为通
　勾斜行为通弦丙南行为通股共步一千六百通弦
　和和也乙斜行与丁会即月之山太虚弦也
　术曰半乙斜行以乘甲丙共步得八万一千六百为
　实　以共步一千六百为从　四为隅算作负隅减

　从翻法开平方法除之得三百四十为半通弦倍之
　以减弦和和馀九百二十为勾股和再减通弦即弦
　和较
　　负隅减从翻法开平方曰置所得平实以从约之
　　初商三百置一于左上为法置一隅因得一千二
　　百为隅法以减从方馀四百为下法与上法相乘
　　得一十二万除实不足反减实八万一千六百馀
　　三万八千四百为负积　倍隅法得二千四百为

　　廉法　次商四十置一于左上为法　置一隅因
　　得一百六十为隅法并廉法共二千五百六十减
　　从不足反减从一千六百馀九百六十为下法与
　　上法相乘除实尽得半通弦三百四十
　　后凡言负隅减从开平方法俱仿此
　
　
　测圆海镜分类释术卷七