钦定四库全书
　测圆海镜分类释术卷六
　　　　　　　　　　　　元　李　冶　撰
　　　　　　　　　　　　明　顾应祥　释术
勾与和测望一
甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步数而立乙东
　行三百二十步见之甲又斜行与相会计甲直行斜
　行共一千二百八十步问城径

　释曰此通勾与通股弦和测望乙东行通勾也甲直
　斜共行通股弦和也
　术曰勾自之得一十○万二千四百　以和除之得
　八十为股弦较　以较减和半之为股　以勾股求
　容圆术求之得城径
　又曰勾和各自乘相减为实倍和除之得股相并为
　实倍和除之得弦
　　边勾以下俱以类推即是

乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立只云
　丙行多于乙步甲从乾隅东行三百二十步望乙丙
　与城相参直计乙丙共行一百○二步问城径
　释曰此以通勾与明勾□股和测望甲东行通勾也
　乙出东门南行为□股丙出南门东行为明勾共计
　一百○二步明勾□股和也
　术曰倍共步乘东行算得二千○八十八万九千六
　百为立方实　共步乘东行加东行算得一十三万

　五千○四十为从方　东行为从廉　五分为隅算
　　作带从负隅以廉减从开立方法除之得全径
　　带从负隅以廉减从半翻法开立方曰置所得实
　　以从方约之初商二百　置一于左上为法　置
　　一乘从廉得六万四千以减从方存七万一千○
　　四十为从　置一自之得四万以隅算五分因之
　　得二万为隅法　并从共九万一千○四十为下
　　法与上法相乘除实一千八百二十○万八千馀

　　实二百六十八万一千六百　从方内再减六万
　　四千止馀七千○四十为从三因隅法得六万为
　　方法　三因初商得六百为廉法　次商四十
　　置一于左次为上法　置一乘从廉得一万二千
　　八百以减馀从不及减反减馀从七千○四十馀
　　五千七百六十为负从　置一乘廉法以隅因得
　　一万二千　置一自之隅因得八百为隅法　并
　　方廉隅共七万二千八百减去负从馀六万七千

　　○四十为下法与上法相乘除实尽
　　法已见四卷通勾太虚弦条因以五分为隅故重
　　出
　又为带从负隅以廉添积开立方法
　　法见四卷通勾虚弦条下
乙出东门东行丙出南门南行各不知步数而立甲从
　乾隅东行三百二十步望乙丙二人俱与城相参直
　计乙丙共行一百五十一步问城径

　释曰此以通勾与□勾明股和立法测望甲东行通
　勾乙东行□勾丙南行明股也
　术曰通勾自之得一十万○二千四百半之得五万
　一千二百又自之得二十六亿二千一百四十四万
　为三乘方实以三百六十二乘半通勾算得一千八百
　五十三万四千四百为从方　通勾乘和步得四万
　八千三百二十为从一廉　五之通勾得一千六百
　为从二廉　二分五釐为常法作带从方廉三乘方

　法开之得八十为小差小差者通股弦较也以减通
　勾即城径
　　带从方廉负隅单位开三乘方曰置所得三乘方
　　实以廉隅约之　商得八十置一于左上为法
　　置一乘从一廉得三百八十六万五千六百置一
　　自之以乘从二廉得一千○二十四万　置一自
　　乘再得五十一万二千以二分五釐因之得一十
　　二万八千为隅法　并从方一廉二廉隅法得三

　　千二百七十六万八千为下法与上法相乘除实
　　尽
东门外往南有树乙出东门往东不知步数而立甲出
　北门东行二百步斜望乙与树正与城相参直既而
　乙复折而斜行至树下与甲相望计乙直行斜行共
　五十步
　释曰此以底勾与□勾弦和立法测望甲出北门东
　行底勾也乙一直一斜□勾□弦也

　术曰底勾与和相减馀一百五十为差　差加底勾
　复以差乘之得数半之得二万六千二百五十　差
　自之得二万二千五百　二数相减馀三千七百
　五十为实　并勾和半之得一百二十五为法实如
　法而得一
南门外往东不知步数有树乙出南门南行不知步数
　而立甲出北门东行二百步见树与乙与城相参直
　乙复斜行至树下与甲相望计乙一直一斜共二百

　八十八步问城径
　释曰此以底勾与明股弦和立法测望甲出北门东
　行底勾也乙出南门南行明股也斜行明弦也
　术曰勾和相减馀半之得四十四为半差　以减底
　勾馀一百五十六为汛率汎率自之又倍之得四万
　八千六百七十二半差乘和步得一万二千六百七
　十二　二数相减馀三万六千为实　半底勾减和
　步得一百八十八　倍汎率得三百一十二　二数

　相并得五百为法实如法而一得明勾
勾与较测望二
甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步数而立乙东
　行三百二十步见之甲又斜行与乙相会计甲直行
　不及斜行八十步
　释曰此以通勾与股弦较测望乙东行通勾也甲直
　行不及斜行股弦较也
　术曰较除勾算得一千二百八十为股弦和减较半

　之为股加较半之为弦
　　边勾以下俱即此类推
股与和测望三
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙
　东行不知步数见之又斜行与甲相会计乙直斜共
　行一千步问城径
　释曰此以通股勾弦和测望甲南行通股也乙直东
　行与斜行共勾弦和也

　术曰股自之得三十六万　和除之得三百六十为
　勾弦较　减和半之为勾　加和半之为弦
　　边股以下推此
甲从乾隅南行六百步而立乙出南门直行丙出东门
　直行三人相望俱与城相参直计其行步则乙与丙
　共行一百五十一步
　释曰此以通股□勾明股和立法测望甲行通股乙
　行明股丙行□勾也共之和也

　术曰通股为算半而自之得三百二十四亿为三乘
　方实倍和加通股以乘半通股算得一亿六千二百
　三十六万为从方　通股乘和步得九万○六百为
　从一廉　通股加半股得九百为从二廉　二分五
　釐为隅算作带从方廉负隅以二廉减从翻法开三
　乘方法除之得三百六十为股圆差　以减通股即
　圆径
　　带从方廉负隅以二廉减从翻法开三乘方曰置

　　所得三乘方实以从方廉隅约之初商三百　置
　　一于左上为法　置一自之以乘二廉得八千一
　　百万以减从方馀八千一百三十六万　置一乘
　　从一廉得二千七百一十八万　置一自乘再乘
　　　以隅算二分五釐因之得六百七十五万为隅
　　法　并从方从一廉隅法共一亿一千五百二十
　　九万为下法　与上法相乘除实三百四十五亿
　　八千七百万实不满法反减实三百二十四亿馀

　　二十一亿八千七百万为负积　四因隅法得二
　　千七百万为方法初商自之六因又以隅因之得
　　一十三万五千为上廉　初商四之隅因之得三
　　百为下廉　商次位得六十　置一于左次为上
　　法　倍初商加次商得六百六十以乘从二廉得
　　五十九万四千又并初次商得三百六十因得二
　　亿四千三百八十四万以减馀从亦不及减反减
　　从八千一百三十六万馀一亿三千二百四十八

　　万为负从　置一倍初商加次商得六百六十以
　　乘从一廉得五千九百七十九万六千　置一乘
　　上廉得八百一十万　置一自之以乘下廉得一
　　百○八万　置一自乘再乘隅因之得五万四千
　　为隅法　并方法从一廉上下廉隅法共九千六
　　百○三万　以减负从馀三千六百四十五万与
　　上次法除负积二十一亿八千七百万
　又为带从方负隅以二廉添积开三乘方

　　其法曰初商三百　置一于左上为法　置一自
　　之以乘从二廉得八千一百万与上法相乘得二
　　百四十三亿为益实加入原实共五百六十七亿为
　　实　置一乘从一廉得二千七百一十八万为益
　　廉　置一自乘再乘得二千七百万以隅算二分
　　五釐因之得六百七十五万为隅法　并从方从
　　益廉隅法共一亿九千六百二十九万为下法与
　　上法相乘除实五百八十八亿八千七百万实不

　　满法反除实五百六十七亿馀二十一亿八千七
　　百万为负积　四因隅法得二千七百万为方法
　　初商自之六因又以隅因之得一十三万五千为
　　上廉　初商四之隅因得三百为下廉　次商六
　　十　置一于左次为上法　置一倍初商加次商
　　得六百六十又并初次商相因得三百六十得二
　　十三万七千六百　又加初商自之九万共三十
　　二万七千六百以乘从二廉得二亿九千四百八

　　十四万与上次法六十相乘得一百七十六亿九
　　千○四十万减去负积存一百五十五亿○三百
　　四十万为实　倍初加次共六百六十以乘从一
　　廉得五千九百七十九万六千为益从廉　置一
　　乘上廉得八百一十万置一自之以乘下廉得
　　一百○八万　置一自乘再乘隅因得五万四千
　　为隅法　并方法益廉上下廉隅法共九千六百
　　○三万　并从方共二亿五千八百三十九万为

　　下法与上法相乘除实尽
　　　右开三乘方内俱带翻法后如此类者仿此
南门之东不知步数有树乙出南门南行不知步数而
　立甲出西门南行四百八十步望乙与树俱与城相参
　直乙复斜行至树下与甲相望计乙直行斜行共二
　百八十八步问城径
　释曰此以边股及明股弦和立法测望甲出西门南
　行边股也乙出南门直行明股斜行至树明弦也共

　步明股弦和也
　术曰股和相减馀一百九十二为差　加股复以差
　乘之折半得六万四千五百一十二差自之得三万
　六千八百六十四　二数相减馀二万七千六百四
　十八为实　并股和半之得三百八十四为法　实
　如法而一得明勾七十二以明勾股求圆径
东门外往南有树乙出东门东行不知步数而立甲出
　西门南行四百八十步望树与乙俱与城相参直既

　而乙斜行至树下与甲相望计乙直斜行共五十步
　释曰此以边股及□勾弦和立法测望甲出西门南
　行边股也乙直行□勾斜行□弦也
　术曰股和相并半之得二百六十五为汛率以汎率
　减边股馀二百一十五自之得四万六千二百二十
　五　和步乘汎率得一万三千二百五十半之得六
　千六百二十五　二数相减馀三万九千六百为平
　实　以汎率减边股六之得一千二百九十为从方

　　作带从开平方法开之得□股三十
　　　𢃄从开平方法见一卷
股与较测望四
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙
　东行不知步数见之又斜行与甲相会计乙行直步
　不及斜三百六十步问城径
　释曰此以通股勾弦较测望甲南行通股也乙东行
　不及斜行勾弦较也

　术曰股自乘较除之得勾弦利减较半之为勾加较
　半之为弦
　　边股以下推此
弦与和测望五
甲乙二人俱在城外西北乾隅乙向南行不知步数而
　立甲向东行亦不知步数望见之遂斜行六百八十
　步与乙会计甲之东与乙之南共九百二十步问城
　径

　释曰此以通弦与勾股和测望甲斜行与乙会弦也
　甲之东为勾乙之南为股共步和也
　术曰倍弦算与和算相减馀为实平方开之得勾股
　较减和半之为勾加和半之为股
　　边弦以下推此
甲从北门向东直行庚从西门穿城东行丙从西门向
　南直行壬从北门穿城南行四人遥相望悉与城相
　参直只云甲丙相望处斜量六百八十步庚壬穿城

　共行了六百三十一步问城径
　释曰此通弦与边勾底股和立法测望甲丙相望通
　弦也庚从西门穿城东行边勾也壬从北门穿城南
　行底股也共步和也
　术曰共步自之得三十九万八千一百六十一为和
　算共步减相望处步馀自之得二千四百○一为差
　算　差算减和算馀三十九万五千七百六十为平
　实　倍斜步加差四十九共一千四百○九为从

　作带从开平方法除之得全径
　　带从开平方法见一卷
甲乙二人共立于城外东北艮隅乙南行过城门而立
　甲东行望乙与城相参直而止丙丁二人共立于城
　外西南坤隅丁向东过城门而立丙向南行望丁及
　甲乙悉与城相参直丙复斜行六百八十步与甲相
　会计乙之南与丁之东共三百四十二步问城径
　释曰此通弦与大差勾小差股和立法测望乙从艮

　隅而南过城门而立山之艮小差股也以甲东行为
　勾丁从坤隅东行过城门而立坤之月大差勾也以
　丙南行为股丙斜行与甲相会通弦也乙丁直行共
　步大差勾与小差股和也
　术曰斜步共步相乘倍之得四十六万五千一百二
　十为实　斜步共步相减馀三百三十八为差　倍
　斜行加差共一千六百九十八为从　作带从开平
　法除之得全径

　　带从开平方法见前
甲出东门东行乙出南门南行各不知步数相望与城
　相参直甲复斜行二百八十九步与乙相会乙直行
　长甲直行短共计一百五十一步问城径
　释曰此以皇极弦□勾明股和立法测望甲东行为
　□勾乙南行为明股甲之斜行皇极弦也
　术曰斜行自之得八万三千五百二十一为弦算
　共步自之得二万二千八百○一为和算　和算减

　弦算馀六万○七百二十为实　倍共步减斜行馀
　一十三步为从　作带从开平方法除之得全径
　　带从开平方法见前
甲乙二人同出东门甲东行乙南行丙丁二人同出南
　门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望悉
　与城相参直问其步数则曰甲丙共行了一百五十
　一步乙丁立处相距一百○二步问城径
　释曰此太虚弦与□勾明股和立法测望甲出东门直

　行为□勾而乙南行为股丙出南门南行为明股而
　丁东行为勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太
　虚弦也
　术曰共步相距步相减馀四十九为差　自之得二
　千四百○一为差算　共步自之得二万二千八百
　○一为和算　差算减和算馀二万○四百为实
　倍距步减差馀一百五十五为从　作以从减法开平
　方法除之得全径

　　以从减法开平方法见前
　又为以从添积开平方
　　其法曰初商二百　置一于左上为法　置一乘
　　从得三万一千为益积　添入原积共五万一千
　　四百为实　置一为隅法与上法相乘除实四万
　　　馀实一万一千四百　倍隅法得四百为廉法
　　　次商四十　置一于左上为法　置一乘从方
　　得六千二百为益实　添入馀积共一万七千六

　　百为实　置一并廉法共四百四十为下法与上
　　法相乘除实尽
　　后凡言以从添积开平方法俱仿此
出南门向东有槐树出东门向南有柳树丙丁俱出南
　门丙直往南丁往东至槐树下立甲乙俱出东门甲直
　往东乙往南至柳树下立四人遥相望见各不知步
　数只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十
　六步其甲丙立处相距二百八十九步问城径

　释曰此以皇极弦与明勾股和□勾股和立法测望
　槐在南门之东为南之月明勾也丁直行往南为日
　之南明股也共行二百○七明勾股和也柳在东门
　之南为山之东□股也甲直行往东为东之川□勾
　也共行四十六步□勾股和也甲丙立处相距为日
　川皇极弦也
　术曰二和相减馀以减相距馀半之得六十四为平
　勾　以加二和相减为平股　相乘为实平方开之

　即半径
　又曰二和相并以减相距馀半之得一十八为汎率
　　加明和为长加□和为广长广相乘得半径算
南门之东有槐东门之南有柳丙出南门直行丁出南
　门东至槐下甲出东门直行乙出东门南至柳下相
　望俱与城相参直计丙南丁东共行二百○七步甲
　东乙南共行四十六步其二树相距一百○二步问
　城径

　释曰此与前问同前以远相距言此以近相距言近
　相距太虚弦也以太虚弦与明叀二和立法测望
　术曰叀和乘虚弦又自之得二千二百○一万四千
　八百六十四为平实　并二和自之得六万四千○
　○九为二和算　□和自之得二千一百一十六为
　□和算　明和自之得四万二千八百四十九为明
　和算　并明和算叀和算以减二和算　馀一万九
　千○四十四为益隅作负隅开平方法除之得叀弦

　倍弦算与和算相减开其馀得叀勾股较加和半之
　为股减和半之为勾
　　负隅开平方曰置所得平实以益隅约之初商三
　　十　置一于左上为法　置一乘益隅得五十七
　　万一千三百二十为下法与上法相乘除实一千
　　七百一十三万九千六百　馀实四百八十七万
　　五千二百六十四　倍下法得一百一十四万二
　　千六百四十为廉法　约次商得四　置一于左

　　上为法　置一乘益隅得七万六千一百七十六
　　　并入廉法共一百二十一万八千八百一十六
　　为下法与上法相乘除实尽
　　此法已见一卷底勾弦条下因隅算多故重出
　又曰隅算除平实即得叀弦算
　又曰明和乘虚弦又自之得四亿四千五百八十○
　万○○九百九十六为平实　如前法为负隅平
　方开之得明弦　若以益隅除平实径得明弦算

　又术虚弦自之得一万○四百○四为虚弦算　以
　叀和乘之得四十七万八千五百八十四为平实
　倍明和得四百一十四为益隅开之得叀弦　若以
　益隅除平实径得叀弦算
　虚弦自之以明和乘之得二百一十五万三千六百
　二十八为平实　倍叀和为益隅开之得明弦　若
　以益隅除平实径得明弦算
　　三位负隅开平方曰置平实四亿四千五百八十

　　○万○九百九十六于左　以益隅一万九千○
　　四十四约之　初商一百置一于左上为法　置
　　一于右下乘益隅得一百九十○万四千四百为
　　下法与上法相乘除实一亿九千○四十四万
　　馀实二亿五千五百三十六万○九百九十六
　　倍下法得三百八十○万八千八百为廉法　次
　　商五十　置一于左上为法　置一乘益隅得九
　　十五万二千二百为隅法　并廉法共四百七十

　　六万一千为下法　与上次相乘除实二亿三千
　　八百○五万　馀实一千七百三十一万○九百
　　九十六　倍隅法得一百九十○万四千四百
　　并入廉法共五百七十一万三千二百为廉法
　　约三商得三　置一于左为法　置一右下乘益
　　隅得五万七千一百三十二为隅法　并入廉法
　　共五百七十七万○三百三十二为下法与上法
　　相乘除实尽

弦与较测望六
甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲东行各不
　知步数隔城相望既而甲斜行六百八十步与丙相
　会问其东行步数则曰我少于丙南行二百八十步
　问城径
　释曰此通弦与通勾股较立法测望甲东行为勾丙
　南行为股甲少于丙步数勾股较也斜行弦也
　术曰弦自乘倍之得九十二万四千八百较自乘得

　七万八千四百相减馀八十四万六千四百为实
　平方开之得勾股和九百二十加较半之为股减较
　半之为勾
　又曰弦较相减得四百为弦较较　相并得九百六
　十为弦较和　弦较较弦较和相乘得三十八万四
　千为实　倍较得五百六十为从　二为隅算　作
　以从减法负隅开平方法除之得通股　作带从负
　隅开平方法除之得通勾

　　带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条
　　带从负隅以从减隅开平方法见四卷大差勾黄
　　长弦条下
　又为以从添积负隅开平方
　　以六百乘从益实倍六百得一千二百为法即是
　　边弦以下类推
乙出东门南行不知步数而立甲出西门直往南行回
　望乙与城相参直又斜行五百一十步与乙相会问

　乙行步则曰少于城径二百一十步不知城径几何
　释曰此黄广弦与叀股黄广勾较立法测望乙出东
　门南行为叀股城径即黄广勾少于城径即叀股黄
　广勾较也斜行黄广弦也
　术曰较自之得四万四千一百为较算以为实　斜
　步四之减二较馀一千六百二十为从　五为隅算
　作负隅减从开平方法除之得叀股三十加较为黄
　广勾即城径

　　负隅减从开平方法见二卷通勾叀勾条
乙出南门东行不知步数而立甲出北门直往东行望
　乙与城相参直又斜行二百七十二步与乙相会问
　乙东行步则曰少于城径一百六十八步不知城径
　几何
　释曰此黄长弦与明勾黄长股较立法测望乙出南
　门东行为明勾城径即黄长股少于城径即明勾黄
　长股较也斜行黄长弦也

　术曰较自之得二万八千二百二十四为实四斜行
　减二较馀七百五十二为从方五为隅算作负隅减
　从开平方法除之得明勾七十二加较为黄长股即
　城径
　　负隅减从开平方法见二卷
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜分类释术卷六