钦定四库全书
　测圆海镜分类释术卷三
　　　　　　　　　　　　元　李　冶　撰
　　　　　　　　　　　　明　顾应祥　释术
通勾与别股测望一(凡三/条)
圆城不知周径乙从城外西南坤隅南行三百六十步
　而立甲从城外西北乾隅东行三百二十步见之问
　城径

　释曰乙从坤南行大差股也甲从乾东行通勾也此
　以通勾大差股测望通勾为城北大勾大差股为城
　西南之虚股
　术曰二行相乘得一十一万五千二百为实　倍乙
　行得七百二十为从作减从开平方法除之得全径
　　减从开平方法见二卷
　又曰二行相并得六百八十为通弦以通勾弦求容
　圆法求之即得

南门外一百三十五步有树甲从城外西北乾隅东行
　三百二十步见之问城径
　释曰此以通勾明股立法树距南门明股也甲之东
　行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南馀股
　术曰东行自之又以树距南门步乘之得一千三百
　八十二万四千为立实　倍树距南门步以乘东行
　步得八万六千四百为从方二为隅算作带从负隅
　开立方法除之得半径

　　带从负隅开立方曰布实于左从尾数至首常超
　　二位又以从方约之定首位得一百　置一于左
　　上为法　置一自之隅因得二万为隅法并从方
　　得一十○万六千四百为下法与上法相乘除实
　　一千○六十四万馀实三百一十八万四千　三
　　因隅法得六万为方法　三因初商得三百又以
　　隅算因之得六百为廉法　约次商得二十　置
　　一于左次为上法　置一乘廉法得一万二千

　　置一自之隅因得八百为隅法并方法从方廉隅
　　共一十五万九千二百为下法与上法相乘除实
　　尽
　　后凡言带从负隅开立方法者俱仿此
乙出东门南行三十步甲从乾隅东行三百二十步望
　乙与城参直问城径
　释曰此以通勾□股测望甲东行通勾也乙出东门
　南行三十步□股也

　术曰二行相乘得九千六百为实　以东行三百二
　十为从方二为隅算作减从负隅翻法开平方除之
　得半径
　　减从负隅翻法开平方曰初商一百　置一于左
　　上为法　置一隅因得二百为隅法以减从方馀
　　一百二十为下法与上法相乘除实一万二千实
　　不满法反减实九千六百馀二千四百为负积
　　倍馀法得四百为廉法次商二十　置一于左次

　　为上法　置一隅因得四十为隅法并廉隅共四
　　百四十减从不足反减从方三百二十馀一百二
　　十为下法与上次法相乘除实尽
　　后凡言带从负隅翻法开平方者俱仿此
底勾与别股测望二
城西门南四百八十步有树出北门东行二百步见之
　问城径
　释曰此底勾边股立法测望西门南四百八十步边

　股也出北门东行二百步底勾也底勾居城北勾之
　半边股居城西股之半
　术曰二行相乘得九万六千为实　相并得六百八
　十为从二为隅算　作负隅减从开平方法除之得
　半径
　　负隅减从开平方法见二卷(通勾□/勾条)
圆城出北门北行一十五步折而东行二百○八步有
　树出西门西行八步折而南行四百九十五步见之

　问城径
　释曰此以底勾过步带短股边股过步带短勾立法
　测望出北门北行为短股折而东为长勾过于底勾
　出西门西行为短勾折而南为长股过于边股
　术曰西行为短勾东行为长勾北行为短股南行为
　长股短勾并长勾以长股乘之得一十○万六千九
　百二十　短股并长股以短勾乘之得四千○八十
　　相减馀一十○万二千八百四十为勾股维乘差

　又自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百
　为三乘方实　长股内减二短勾馀与长勾相减馀
　二百七十一为股减勾差　长勾内减二短股馀与
　长股相减馀三百一十七为勾减股差　股减勾差
　与勾减股差复相减馀四十六以乘勾股维乘差得
　四百七十三万○六百四十为从方　股减勾差与
　勾减股相乘得八万五千九百○七　长短勾并与
　长短股并相乘又倍之得二十二万○三百二十

　倍勾股维乘差得二十○万五千八百六十　三数
　相并得五十一万一千九百○七为从一廉长短勾
　并得二百一十六又四之得八百六十四　倍股减
　勾差得五百四十二　二数相并得一千四百　六
　为从二廉作带从方廉开三乘方法除之得半径
　　带从方廉开三乘方曰置所得三乘方积为实
　　以从方廉约之初商得一百　置一于左上为法
　　　置一乘从一廉得五千一百一十九万○七百

　　　置一自之以乘从二廉得一千四百○六万
　　　置一自乘再乘得一百万为隅法　并从方廉
　　隅共七千○九十八万一千三百四十为下法与
　　上法相乘除实七十○亿九千八百一十三万四
　　千馀积三十四亿七千七百九十三万一千六百
　　为次商之实
　　倍从一廉得一亿○二百三十八万一千四百
　　三因从二廉得四千二百一十八万　四因隅法

　　得四百万　初商自之　六因得六万　初商三
　　之以乘下廉得四十二万一千八百相并加入从
　　一廉得九十九万三千七百○七为上廉　初商
　　四之带从二廉得一千八百○六为下廉次商二
　　十　置一为法　置一乘上廉得一千九百八十
　　七万四千一百四十　置一自之以乘下廉得七
　　十二万二千四百并方廉隅共一亿七千三百八
　　十九万六千五百八十为下法与上法相乘除实

　　尽
　　或作初商一百　置一为法　置一乘从一廉
　　置一自之以乘从二廉　置一自乘再乘为隅法
　　　并从方廉隅共七千○九十八万一千三百四
　　十为下法与上法相乘除实七十○亿九千八百
　　一十三万四千馀实三十四亿七千七百九十三
　　万一千六百为次实　四因隅法得四百万为方
　　法　初商自之　六因得六万为上廉　　初商

　　四之得四百为下廉　次商二十　置一于左次
　　为上法　倍初商加次商得二百二十以乘从一
　　廉得一亿一千二百六十一万九千五百四十
　　初商三之并初次商因之得三万六千　次商自
　　之得四百共三万六千四百以乘从二廉得五千
　　一百一十七万八千四百　以两从廉并入从方
　　共一亿六千八百五十二万八千五百八十为从
　　　置一乘上廉得一百二十万　置一自之以乘

　　下廉得一十六万　置一自乘再乘得八千为隅
　　法并方廉隅共五百三十六万八千带从共一亿
　　七千三百八十九万六千五百八十为下法与上
　　法相乘除实尽
　　此法分别从方从廉明白故重录附之
出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四
　步望塔正居城之半问城径
　释曰此以不及底勾与不及边股测望南行二百二

　十五步与高股同即半径为勾之股东行六十四步
　与平勾同即半径为股之勾也当以平勾高股立法
　为是但其望塔当城之半故附底勾边股条下
　术曰二行相乘即半径算
乙从城外西南坤隅南行三百六十步甲出北门东行
　二百步见之问城径
　释曰此以底勾大差股立法测望乙从坤隅南行大
　差股也甲东行底勾也底勾为城北东半勾大差股

　为城西南虚股
　术曰二行相乘得七万二千倍之得一十四万四千
　为实以南行三百六十为从方作带从开平方法除
　之得全径
　　带从开平方法见一卷
乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步
　见之问城径
　释曰此底勾明股立法测望乙出南门直行明股也

　甲出北门东行底勾也底勾为城北半勾明股为城
　南馀股
　术曰东行自之以南行乘之得五百四十万又四之
　得二千一百六十万为立方实　以南门馀股一百
　三十五为从廉作带从廉开立方法除之得全径
　　带从廉开立方曰置所得立积为实　以从廉约
　　之初商二百　置一于左上为法　置一乘从廉
　　得二万七千置一自之得四万为隅法　并从廉

　　共六万七千为下法与上法相乘除实一千三百
　　四十万馀实八百二十万　倍从廉得五万四千
　　三因隅法得一十二万相并得一十七万四千为
　　方法　三因初商带从廉得七百三十五为廉法
　　　约次商得四十　置一于左次为上法置一乘
　　廉法得二万九千四百置一自之得一千六百为
　　隅法　并方廉隅共二十　万五千为下法与上
　　法相乘除实尽

　　后凡言带从廉开立方法者俱仿此
乙出南门南行一百三十五步而立甲出北门北行一
　十五步折而东行二百○八步见之问城径
　释曰此底勾带短股与明股立法测望乙出南门南
　行明股也甲出北门北行北门外短股也折而东行
　类底勾而过之
　术曰以东行乘南行得二万八千○八十自之得七
　亿八千八百四十八万六千四百为三乘方实　东

　行自之得四万三千二百六十四以乘南行得五百
　八十四万○六百四十倍之得一千一百六十八万
　一千二百八十为从方　北行自之于上　并南北
　二行以减东行馀自之减上位馀数减上寄位　并
　南北二行　以东行乘之倍之以减寄位　馀五万
　六千九百八十八为从一廉　四之东行得八百三
　十二于上　并南北二行减东行馀五十八四之得二
　百三十二以减上位馀六百为从二廉　四为虚隅

　作带从二廉减从翻法开三乘方开之得半径
　　带一廉以从二廉益从减从为法翻法开三乘方
　　曰列所得三乘方实从一廉从二廉隅法约之
　　初商一百　置一于左上为法　置一乘从一廉
　　得五百六十九万八千八百为益隅之廉　置一
　　自之以乘从二廉得六百万为益从之廉并入从
　　方共一千七百六十八万一千二百八十为通法
　　　置一自乘再乘以隅因之得四百万为隅法并

　　益隅之廉共九百六十九万八千八百为减实
　　以减通法馀七百九十八万二千四百八十为
　　下法与上法相乘除实七亿九千八百二十四
　　万八千实不满法翻减实七亿八千八百四十八
　　万六千四百馀九百七十六万一千六百为负积
　　　二因乘出从一廉得一千一百三十九万七千
　　六百为益隅之廉　三因乘出从二廉得一千八
　　百万为益从之廉　又三之初商乘从二廉得一

　　十八万为益从次廉　四因隅法得一千六百万
　　为方法　初商自之六因又以隅因得二十四万
　　为上廉　初商四之隅因得一千六百为下廉
　　次商二十　置一于左上为法　置一乘从一廉
　　得一百一十三万九千七百六十并益隅之廉共
　　一千二百五十三万七千三百六十共为益隅
　　置一乘益从次廉得三百六十万　置一自之以
　　乘从二廉得二十四万并二数加入益从之廉共

　　二千一百八十四万为益从　并入从方共三千
　　三百五十二万一千二百八十为通法　置一乘
　　上廉得四百八十万　置一自之以乘下廉得六
　　十四万　置一自乘再乘隅因得三万六千为隅
　　法　并方法上下廉隅法得二千一百四十七万
　　二千　并益隅共三千四百○○万九千三百六
　　十为减实　以减通法不及减反减通法三千三
　　百五十二万一千二百八十馀四十八万八千○

　　八十为负法与上法相乘除负积尽
　　后凡言带一廉以二廉益从减从翻法开三乘方
　　法者俱仿此
甲乙二人同出北门行至东北隅艮地分路乙往南行
　一百五十步而立甲又东行连前共二百步望乙与
　城相参直问城径
　释曰此底勾小差股立法测望甲前后共东行底勾
　也乙往南行小差股也

　术曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十万为
　实二行相减以乘乙南行得七千五百二行相乘得
　三万　二数相并得三万七千五百为法实如法而
　一得半径
　又曰二行相乘得三万为实　倍底勾减小差股馀
　二百五十为法
乙出东门南行三十步而立甲出北门东行二百步望
　乙与城相参直问城径

　释曰此底勾□股立法测望乙出东门南行□股也
　甲出北门东行底勾也
　术曰二行相乘得六千为平实　相减得一百七十
　为从方作减从翻法开平方法除之得半径
　　减从翻法开平方法见二卷
　又曰乙南行自之得九百为□股算以乘东行得一
　十八万为立实　□股算为从方　东行内减二之
　乙南行馀一百四十为益廉作带从减益廉翻法开

　立方法除之得半径
　　带从减益廉翻法开立方曰置所得积一十八万
　　以从方廉约之　初商一百　置一于左上为法
　　　置一乘从廉得一万四千置一自之得一万为
　　隅法带从方共一万　九百以减益廉馀三千一
　　百为下法与上法相乘除实二十一万实不满法
　　反减实一十八万馀一十三万为负积　倍益廉
　　得二万八千三因隅法得三万为方法　三因初

　　商得三百为廉法　约次商得二十　置一于左
　　次为上法　置一乘益廉得二千八百并入倍益
　　廉得三万○八百　置一乘廉法得六千置一自
　　之得四百为隅法并方从方廉隅共三万七千三
　　百反减益廉三万○八百馀六千五百为下法与
　　上法相乘除实尽
　　后凡言带从减廉翻法开立方法者仿此
大差勾与别股测望三

甲乙二人俱在城西门南行至西南坤隅分路乙往东
　行一百九十二步而立甲复南行计前后共四百八
　十步望乙与城相参直问城径
　释曰此大差勾与边股立法测望乙自坤隅东行大
　差勾也甲自西门往南共行边股也
　术曰二行相乘得九万二千一百六十　又以乙东
　行乘之得一千七百六十九万四千七百二十为实
　　二行相减馀二百八十八亦以东行乘之得五万

　五千二百九十六　加二行相乘之数共一十四万
　七千四百五十六为法实如法而一得半径
　又曰二行相乘为实　倍甲南行减乙东行馀为法
甲从城外西南坤隅东行一百九十二步乙从东北艮
　隅南行一百五十步望甲与城相参直问城径
　释曰此大差勾与小差股立法测望甲东行大差勾
　也乙南行小差股也(与小差勾/大差股同)
　术曰二行相乘倍之即全径算

小差勾与别股立法测望四
乙从城外东北艮隅东行八十步甲从城外西北乾隅
　南行六百步见之问城径
　释曰此小差勾与通股立法测望乙从艮隅东行小
　差勾也甲从乾隅南行通股也(与通勾大/差股同法)
　术曰二行相乘倍之得九万六千为实　二之东行
　得一百六十为从　作带从开平方法除之得半径
　　带从开平方法见一卷

乙从城外东北艮隅往东行八十步甲出西门南行四
　百八十步见之问城径
　释曰此小差勾与边股立法测望乙东行小差勾也
　甲南行边股也
　术曰二行相乘倍之得七万六千八百为实以乙东
　行为从作带从开平方法除之得全径
　　带从开平方法见一卷
乙从艮隅东行八十步而立甲从城外西南坤隅南行

　三百六十步见之问城径
　释曰此以小差勾大差股立法测望乙东行小差勾
　也甲南行大差股也
　术曰二行相乘倍之即圆径算
明勾与别股测望五
乙出南门东行七十二步而立甲从城外西北乾隅南
　行六百步望乙与城相参直问城径
　释曰此明勾通股立法测望乙出南门东行明勾也

　甲从乾隅南行为通股
　术曰二行相乘得四万三千二百为实　以甲南行
　六百为从方　二为隅法作负隅减从开平方法除
　之得半径
　　负隅减从开平方法见二卷
乙出南门东行七十二步而立甲出西门南行四百八
　十步望乙与城相参直问城径
　释曰此明勾边股立法测望乙东行明勾也甲南行

　边股也
　术曰乙东行自之得五千一百八十四为明勾算以
　南行乘之得二百四十八万八千三百二十为立方
　实　明勾算为从　南行内减二东行馀三百三十
　六为益廉　作带从减廉开立方法除之得半径
　　带从减廉开立方曰置所得立方实以从方从廉
　　约之　初商一百　置一于左上为法　置一乘
　　益廉得三万三千六百　置一自之得一万为隅

　　法带从方共一万五千一百八十四　以减益廉
　　　馀一万八千四百一十六为下法与上法相乘
　　除实一百八十四万一千六百馀实六十四万六
　　千七百二十为次商之实　倍益廉得六万七千
　　二百　三因隅法得三万为方法　三因初商得
　　三百为廉法　约次商得二十　置一于左上为
　　法　置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉
　　共七万三千九百二十　置一乘廉法得六千

　　置一自之得四百为隅法并方法从方廉隅共四
　　万一千五百八十四以减益廉馀三万二千三百
　　三十六为下法与上法相乘除实尽
　　后凡言带从减廉开立方法者俱仿此
　又曰明勾边股相乘得三万四千五百六十为实
　明勾边股相减馀四百○八为从方　一虚法作减
　从开平方除之尤捷
甲出南门东行七十二步而立乙出东门南行三十步

　望乙与城相参直问城径
　释曰此明勾□股立法测望甲出南门东行明勾也
　乙出东门南行□股也
　术曰二行相乘得二千一百六十为实　相并得一
　百○二为从　作以从减法开平方除之得半径
　　以从减法翻法开平方曰置实于左从于右　约
　　初商得一百　置一于左上为法　置一为隅法
　　以从减隅隅不及减从内翻减隅一百馀二为负

　　从以负从为下法与上法相乘得二百　反增入
　　实内共二千三百六十四为次商之实　倍隅法
　　得二百为廉法　约次商得二十　置一于左次
　　为上法　置一为隅法并廉隅共二百二十　以
　　从减之馀一百一十八为下法与上法相乘除实
　　尽
　　后凡如此类者俱仿此通变随宜
　又术二行相并得一百○二为太虚弦相减馀四十

　二即太虚勾股较　倍弦算减较算馀一万九千○
　四十四平方开之得一百三十八为太虚勾股和　加
　较半之为股减较半之为勾　以太虚勾股求圆径
　又曰二行相乘倍为实　相减馀为从　作带从开
　平方法除之得虚勾二行相并即虚弦以勾弦求股
　以得圆径
□勾与别股立法测望四
乙出东门直行一十六步甲从城外西北乾隅南行六

　百步见之问城径
　释曰此以□勾通股立法测望乙出东门直行□勾
　也甲从乾隅南行通股也
　术曰甲南行自之又以乙东行一十六乘之得五百
　七十六万为立方实　倍东行以乘南行得一万九
　千二百为从方　二为隅作带从负隅开立方法除
　之得半径
　　带从负隅开立方法见前通勾明股

乙出东门直行一十六步甲出西门南行四百八十步
　见之问城径
　释曰此□勾边股立法测望乙出东门直行□勾也
　甲出西门南行边股也
　术曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得
　三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十
　四万五千六百为立方实　以东行一十六步为从
　廉作带从廉开立方法除之得全径

　　带从廉开立方法见前底勾明股条
圆城不知周径南门外一百三十五步有树出东门直
　行一十六步见之问城径
　释曰此□勾明股立法测望出东门外一十六步为
　□勾城东之馀勾也树在城南一百三十五步为明
　股城南之馀股也以馀勾馀股测城径
　术曰馀勾馀股相乘为勾乘股算自之得四百六十
　六万五千六百为三乘方实　勾乘股算倍之得四

　千三百二十又以馀勾馀股并乘之得六十五万二
　千三百二十为从方　馀勾馀股相并自之得二万
　二千八百○一馀勾馀股相减自之得一万四千一
　百六十二数相减馀八千六百四十为益廉　作带
　从廉添积开三乘方法除之得半径
　　带从益廉添积开三乘方曰置所得三乘方积以
　　从方廉约之初商一百　置一于左上为法　置
　　一乘从益廉得八十六万四千并从方共一百五

　　十一万六千三百二十为益积之法与上法相乘
　　得一亿五千一百六十三万二千为益实添入原
　　积共一亿五千六百二十九万七千六百为通实
　　　置一自乘再乘得一百万为隅法与上法相乘
　　除实一亿馀五千六百二十九万七千六百为次
　　实　二因益廉得一百七十二万八千　四因隅
　　法得四百万为方法　初商自之　六因得六万
　　为上廉　初商四之得四百为下廉　约次商得

　　二十置一于左次为上法　置一乘益廉得一十
　　七万二千八百并前倍廉共一百九十○万○八
　　百　并从方共二百五十五万三千一百二十为
　　益积之法与上法相乘得五千一百○六万二千
　　四百为益实添入次实共一亿○七百三十六万
　　为通实置一乘上廉得一百二十万　置一自之
　　以乘下廉得一十六万置一自乘再乘得八千为
　　隅法并方廉隅共五百三十六万八千为下法与

　　上法相乘除实尽
　又为带从方廉减隅翻法开三乘方
　　其法曰初商一百　置一于左上为法　置一自
　　乘再乘得一百万为隅法　置一乘从廉得八十
　　六万四千并从方共一百五十一万六千三百二
　　十以减隅法不及反减隅法一百馀五十一万六
　　千三百二十为负隅与上法相乘得五千一百六
　　十三万二千加原实共五千六百二十九万七千

　　六百为次商之实　四因隅法得四百万为方法
　　　初商自之六因得六万为上廉　初商四之得
　　四百为下廉　次商二十置一于左次为上法
　　置一乘上廉得一百二十万置一自之以乘下廉
　　得一十六万　置一自乘再乘得八千为隅法并
　　方法廉隅共五百三十六万八千为通隅　倍初
　　商加次商得二百二十以乘从廉得一百九十○
　　万○八百并从方共二百五十五万三千一百二

　　十以减通隅馀二百八十一万四千八百八十为
　　下法与上法相乘除实尽
　　后凡言如此类立法者仿此
　又术曰以树去南门步自之得一万八千二百二十
　五为馀股算副置二位一以馀股乘之得二百四十
　六万○三百七十五为馀股立算一以馀勾乘之得
　二十九万一千六百为勾乘股立算相乘得七千一
　百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实　馀

　勾馀股相乘得二千一百六十为勾股相乘算倍之
　以乘馀股立算得一百○六亿二千八百八十二万
　为从方　馀勾自之得二百五十六为馀勾算四之
　以乘馀股得一十三万八千二百四十　倍勾乘股
　立算得五十八万三千二百　二数相减馀四十四
　万四千九百六十为从二减廉　以勾股相乘算为
　隅算　作从廉减从方负隅开三乘方法除之得八
　十一为明勾弦较以除明股算得二百二十五为明

　勾弦和　加较半之为弦减较半之为勾　勾股相
　乘倍为实　以较除之得通弦和较通弦和较即城
　径也
　　从廉减从方负隅开三乘方曰约初商八十置一
　　于左上为法　置一自之以乘从廉得二十八亿
　　四千七百七十四万四千以减从方馀七十七亿
　　八千一百○七万六千　置一自乘再乘得五十
　　一万二千以隅算因之得一十一亿○五百九

　　十二万为隅法　并从方共八十八亿八千六百
　　九十九万六千为下法与上法相乘除实七千一
　　百○九亿五千九百六十八万馀实六十四亿八
　　千五百六十七万为次实　四因隅法得四十四
　　亿二千三百六十八万为方法　初商自之六因
　　又以隅因得八千二百九十四万四千为上廉　初
　　商四之隅因得六十九万一千二百为下廉　约次
　　商得一　置一于左次为上法　倍初商加次商得

　　一百六十一又并初次商为八十一乘之得一万三
　　千○四十一以乘从廉得五十八亿○二百七十
　　二万三千三百六十以减馀从馀一十九亿七千
　　八百三十五万二千六百四十为从方　置一乘
　　上廉　置一自之以乘下廉俱如旧　置一自乘
　　再乘仍得一为隅法并方法从方廉隅共六十四
　　亿八千五百六十七万为下法与上法相乘除实
　　尽

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　测圆海镜分类释术卷三