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钦定四库全书测圆海镜分类释术卷一
元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
圆城不知周径四面居中开门城外四隅各有十字大
街西北隅曰乾东北隅曰艮西南曰坤东南曰巽随地
远近测望以知城径
通勾股求容圆一
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甲乙二人俱在城外西北隅乾地乙东行三百二十步甲南行六百步望乙与城相参直问城径
荅曰城径二百四十步
释曰此勾股求容圆径也东行为通勾南行为通股
以通勾股求通弦和较弦和较即容圆径也
术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦并勾股为弦和
和为法除之
勾股求弦曰勾自之得一十○万二千四百为勾
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算股自之得三十六万为股算并二算得四十六万二千四百为弦算平方开之得弦六百八十并
勾股得一千六百为弦和和后凡言勾股求弦者
俱仿此
甲乙二人俱在城西北隅乾地甲直南行不知步数而
立乙直东行三百二十步望见乃斜行六百八十步
与甲相会测城径
释曰此勾弦求容圆径也东行为通勾斜行为通弦
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术曰勾弦求股勾股相乘倍为实弦和和除之勾弦求股曰勾自乘得一十○万二千四百为勾
算弦自乘得四十六万二千四百为弦算相减馀
三十六万为股算平方开之得股
又术勾弦较乘勾倍之得二十三万○四百为实倍
较为从作带从开平方法除之
带从开平方曰列实于左倍较得七百二十为从
约初商得二百 置一于左上为法 置一为隅
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法带从方共九百二十为下法除实一十八万四千馀实四万六千四百 倍隅法得四百为廉法
约次商得四十置一于左次为上法 置一为
隅法并从方廉法共一千一百六十为下法与上
次法相乘除实尽后凡言带从开平方法者俱仿
此
甲乙二人俱在城外西北乾隅甲东行不知步数而立
乙南行六百步见之复斜行六百八十步与甲会测
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城径释曰此股弦求容圆也南行为通股斜行为通弦
术曰股弦求勾以乘股倍之为实弦和和除之
股弦求勾曰弦算减股算开其馀即勾后凡言股
弦求勾者俱仿此
又术股弦相减馀八十为股弦较相并得一千二百
八十为股弦和以较乘和得一十○万二千四百即
勾算平方开之得勾三百二十减较即城径
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既有勾股求圆径之法则勾弦求圆股弦求圆可以例见不必立法因原夲有此二问载于后卷故移
附于此
边勾股求容圆二
甲乙二人俱在城西门甲南行四百八十步乙穿城东
行二百五十六步见之测城径
释曰此勾上容圆也南行边股也东行边勾也以边
勾边股求通圆
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术曰勾股相乘倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求弦得五百四十四并股共一千○二十四
为股弦和为法除之
乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四百八
十步见之乃斜行五百四十四步相会问城径
释曰此边股边弦求边勾以求通容圆也南行为边
股斜行为边弦
术曰股弦求勾以乘股得一十二万二千八百八十
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为实半股弦和得五百一十二为法除之甲出西门南行不知步数而立乙穿城东行二百五十
六步见之乃斜行五百四十四步相会问城径
释曰此边勾边弦求边股以求通圆径也东行为边
勾斜行为边弦
术曰勾弦求股以乘勾半股弦和除之
底勾股求容圆三
甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲穿城南行
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三百七十五步见之问城径释曰此股上容圆也东行为底勾南行为底股以底
勾股求通圆
术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦以勾弦和为法
除之
乙出南门直行不知步数而立甲出北门东行二百步
见之复斜行四百二十五步就乙问城径
释曰此底勾底弦求底股以求通圆径也东行为底
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勾斜行为底弦术曰弦算减勾算馀平方开之得股与勾相乘得七
万五千为实 勾弦和为法除之得半径
又术倍勾弦较以乘勾算得一千八百万为实 四
勾加倍较得一千二百五十为隅法作负隅开平方
法除之得半径
负隅开平方法曰布实于左以隅法约初商一百
置一于左上为法 置一乘隅法得一十二万
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五千为隅法与上法相乘除实一千二百五十万馀实五百五十万倍隅法得二十五万为廉法约
次商得二十 置一于左次为上法 置一乘隅
算得二万五千 并廉法共二十七万五千为下
法与上法相乘除实尽后如此类者仿此
问底股弦求通圆径
术曰弦算减股算开其馀得勾如前法求之
皇极勾股求容圆四
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甲乙二人俱在城中心立乙穿城东行一百三十六步甲穿城南行二百五十五步望见问城径
释曰此勾股上容圆以半圆勾股求全圆径也东行
皇极勾也南行皇极股也
术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦为法实如法而
一得全径
皇极勾弦求圆股弦求圆止以勾弦求股股弦求勾
依上推之不必立法大差勾股以下仿此
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通勾股折中弦上求圆五甲乙二人俱在城西北隅乾地乙东行一百八十步斜
视城中有塔甲南行三百六十步与乙斜对视塔正
居城径之半问城径
释曰此弦上容圆也东行为勾南行为股此以勾股
求半容圆径即勾股容方术
术曰勾股相乘为实相并为法实如法而一得半径
大差勾股求容圆六
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甲乙二人俱在城外西南隅坤地乙东行一百九十二步甲南行三百六十步望乙与城参直问城径
释曰此勾外容圆也东行大差勾也南行大差股也
术曰勾股相乘倍之得一十三万八千二百四十为
实勾股相减馀一百六十八为勾股较勾股求弦得
四百○八并较共五百七十六为弦较和以为法除
之得全径
小差勾股求容圆七
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甲乙二人俱在城外东北隅艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城参直问城径
释曰此股外容圆也东行小差勾也南行小差股也
术曰勾股相乘倍之得二万四千为实相减馀七十
为较勾股求弦得一百七十减较馀一百为弦较较
以为法除之得全径
太虚勾股求容圆八
甲乙二人俱在城外东南隅巽地乙西行四十八步而
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止甲北行九十步望乙与城参直问城径释曰此弦外容圆也西行即太虚勾北行即太虚股
以太虚勾股反而内向求圆故曰弦外容圆
术曰勾股相乘倍之得八千六百四十为实相并得
一百三十八为勾股和勾股求弦得一百○二以减
和馀三十六为弦和较以为法除之得全径
明勾股求容圆九
甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一
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百三十五步望乙与城参直问城径释曰此勾外容半圆也东行为明勾南行为明股
术曰勾股相乘倍之得一万九千四百四十为平实
勾股求弦得一百五十三减勾馀八十一为勾弦较
以为法除之
□勾股求容圆十
甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十
六步望甲与城相参直问城径
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释曰此股外容半圆也南行为□股东行为□勾术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦以股弦较为法
除之
或问黄广勾股黄长勾股无求圆之法何也曰黄广
之勾黄长之股即圆径也故不立法曰上下高勾股
上下平勾股何以不立法曰上高去城远下高与上
平俱不当城半下平亦不附城故不立法
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测圆海镜分类释术卷一