周算经卷上(南陵徐乃昌/校勘经籍记)
　　　汉　赵　君卿　注
　　　北周汉中郡守前司隶臣甄鸾重述
　　　唐朝议大夫行大史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
　　　明　赵　开美　校
昔者周公问于商高曰窃闻乎大夫善数也(唐/寅)
(曰经/文也)
　周公姓姬名旦武王之弟商高周时贤大夫
　善算者也周公位居冢宰德则至高尚自卑

　巳以自牧下学而上达况其凡乎(唐寅曰此/赵注也)
请问古者包牺立周天历度
　包牺三皇之一始画八卦以商高善数能通
　乎微妙达乎无方无大不综无幽不显闻包
　牺立周天历度运章蔀之法易曰古者包牺
　氏之王天下也仰则观象于天俯则观法于
　地此之谓也
夫天不可阶而升地不可将尺寸而度
　邈乎悬广无阶可升荡乎遐远无度可量

请问数从安出
　心昧其机请问其目
商高曰数之法出于圆方
　圆径一而周三方径一而匝四伸圆之周而
　为勾展方之匝而为股共结一角邪适弦五
　政圆方邪径相通之率故曰数之法出于圆
　方圆方者天地之形阴阳之数然则周公之
　所问天地也是以商高陈圆方之形以见其
　象因奇耦之数以制其法所谓言约旨远微

　妙幽通矣
圆出于方方出于矩
　圆规之数理之以方方周匝也方正之物出
　之以矩矩广长也
矩出于九九八十一
　推圆方之率通广长之数当须乘除以计之
　九九者乘除之原也
故折矩
　故者申事之辞也将为勾股之率故曰折矩

也
以为勾广三
　广圆之周横者谓之广勾亦广广短也
股修四
　应方之匝从者谓之修股亦修修长也
径隅五
　自然相应之率径直隅角也亦谓之弦
既方之外半其一矩
　勾股之法先知二数然后推一见勾股然后

　求弦先各自乘成其实实成势化外乃变通
故曰既方其外或并勾股之实以求弦实之
　中乃求勾股之分并实不正等更相取与互
　有所得故曰半其一矩其术勾股各自乘三
　三如九四四一十六并为弦自乘之实二十
　五减勾于弦为股之实一十六减股于弦为
　勾之实九
环而共盘得成三四五
　盘读如盘桓之盘言取而并减之积环屈而

共盘之谓开方除之其一面故曰得成三四
　五也
两矩共长二十有五是谓积矩
　两矩者勾股各自乘之实共长者并实之数
将以施于万事而此先陈其率也
故禹之所以治天下者此数之所生也
　禹治洪水决流江河望山川之形定高下之
　势除滔天之灾释昏蛰之厄使东注于海而
　无浸溺乃勾股之所由生也

勾股圆方图　弦实二十五朱及黄
　　　　　　　朱实六黄实一

　　勾股方圆图注
　赵君卿曰勾股各自乘并之为弦实开方除
　之即弦也案弦图又可以勾股相乘为朱实
　二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中
　黄实加差实亦成弦实以差实减弦实半其
　馀以差为从法开方除之复得勾矣加差于
　勾即股凡并勾股之实即成弦实或矩于内
　或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之
　矩以股弦差为广股弦并为袤而股实方其

　里减矩勾之实于弦实开其馀即股倍股在
　两边为从法开矩勾之角即股弦差加股为
　弦以差除勾实得股弦并以并除勾实亦得
　股弦差令并自乘与勾实为实倍并为法所
　得亦弦勾实减并自乘如法为股股实之矩
　以勾股差为广勾弦并为袤而勾实方其里
　减矩股之实于弦实开其馀即勾倍勾在两
　边为从法开矩股之角即勾弦差加勾为弦
　以差除股实得勾弦并以并除股实得勾弦

　差令并自乘与股实为实倍并为法所得亦
　弦股实减并自乘如法为勾两差相乘倍而
　开之所得以股弦差增之为勾以勾弦差增
　之为股两差增之为弦倍弦实列勾股差实
　见弦实者以图考之倍弦实满外大方而多
　黄实黄实之多即勾股差实以差实减之开
　其馀得外大方大方之面即勾股并也令并
　自乘倍弦实乃减之开其馀得中黄方黄方
　之面即勾股差以差减并而半之为勾加差

　于并而半之为股其倍弦为广袤合令勾股
　见者自乘为其实四实以减之开其馀所得
　为差以差减合半其馀为广减广于弦即所
　求也观其迭相规矩共为反覆互与通分各
　有所得然则统叙群伦弘纪众理贯幽入微
　钩深致远故曰其裁制万物唯所为之也
　释圆方勾股注
　　按君卿注曰勾股各自乘并之为弦实开
　　方除之即弦

　　臣鸾曰假令勾三自乘得九股四自乘得
　　十六并之得二十五开方除之得五为弦
　　也(寅曰五五二十五/弦实四面之一也)
　　注云按弦图又可以勾股相乘为朱实二
　　倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中
　　黄实(寅曰勾股相乘/其数一十二也)
　　臣鸾曰以勾弦差二倍之为四自乘得一
　　十六为左图中黄实也(寅曰甄氏止注以/勾股十二字之义)
　　臣淳风等谨按注云以勾股之差自乘为

　　中黄实鸾云倍勾弦差自乘者苟求异端
　　虽合其数于率不通(寅曰勾股之差其数/一也自乘得一一如)
(一)
　　注云加差实亦成弦实
　　臣鸾曰加差实一并外矩青八得九并中
　　黄十六得二十五亦成弦实也
　　臣淳风等谨按注云加差实一亦成弦实
　　鸾曰加差实并外矩及中黄者虽合其数
　　于率不通(寅曰加差实之一于前文所言/朱实四之上朱实之四为二十)

(四加一为弦/实二十五也)
　　注云以差实减弦实半其馀以差为从法
　　开方除之复得勾矣
　　臣鸾曰以差实九减弦实二十五馀十六
　　半之得八以差一加之得九开之得勾三
　　也
　　臣淳风等谨按注宜云以差实一减弦实
　　二十五馀二十四半之为十二以差一从
　　开方除之得勾三鸾云以差实九减弦实

　　者虽合其数于率不通(顾应祥曰以差实/一减弦实二十五)
　　注云加差于勾即股
　　臣鸾曰加差一于勾三得股四也
　　注云凡并勾股之实即成弦实
　　臣鸾曰勾实九股实十六并之得二十五
　　也
　　注云或矩于内或方于外形诡而量均体
　　殊而数齐勾实之矩以股弦差为广股弦
　　并为袤

　　臣鸾曰以股弦差一为广股四并弦五得
　　九为袤左图外青也
　　注云而股实方其里
　　臣鸾曰为左图中黄十六
　　注云减矩勾之实于弦实开其馀即股
　　臣鸾曰减矩勾之实九于弦实二十五馀
　　一十六开之得四股也
　　注云倍股在两边为从法开矩勾之角即
　　股弦差

　　臣鸾曰倍股四得八在图两边以为从法
　　开矩勾之角九得一也
　　注云加股为弦
　　臣鸾曰加差一于股四则弦五也
　　注云以差除勾实得股弦并
　　臣鸾曰以差一除勾实九得九即股四弦
　　五并为九也
　　注云以并除勾实亦得股弦差
　　臣鸾曰以九除勾实九得股弦差一

　　注云令并自乘与勾实为实
　　臣鸾曰令并股弦得九自乘为八十一又
　　与勾实九加之得九十为实
　　注云倍并为法
　　臣鸾曰倍股弦并九得十八者为法
　　注云所得亦弦
　　臣鸾曰除之得五为弦(寅曰以法十/八除实九十)
　　注云勾实减并自乘如法为股
　　臣鸾曰以勾实九减并自乘八十一馀七

　　十二以法十八除之得四为股也
　　注云股实之矩以勾弦差为广勾弦并为
　　袤
　　臣鸾曰股实之矩以勾弦差二为广勾弦
　　并八为袤
　　注云而勾实方其里减矩股之实于弦实
　　开其馀即勾
　　臣鸾曰勾实有九方在右图里以减矩股
　　之实十六于弦实二十五馀九开之得三

　　勾也
　　注云陪勾在两边
　　臣鸾曰各三也(寅曰倍/之得六)
　　注云为从法开矩股之角即勾弦差加勾
　　为弦
　　臣鸾曰加差二于勾三则弦五也
　　注云以差除股实得勾弦并
　　臣鸾曰以差二除股实十六得八勾三弦
　　五并为八也

　　注云以并除股实亦得勾弦差
　　臣鸾曰以并除股实十六得勾弦差二
　　注云令并自乘与股实为实
　　臣鸾曰令并八自乘得六十四与股实十
　　六加之得八十为实
　　注云倍并为法
　　臣鸾曰倍勾弦并八得十六为法
　　注云所得亦弦
　　臣鸾曰除之得弦五也

　　注云股实减并自乘如法为勾
　　臣鸾曰以股实十六减并自乘六十四馀
　　四十八以法十六除之得三为勾也
　　注云两差相乘倍而开之所得以股弦差
　　增之为勾
　　臣鸾曰以股弦差一乘勾弦差二得二倍
　　之为四开之得二以股弦差一增之得三
　　勾也
　　注云以勾弦差增之为股

　　臣鸾曰以弦差二增之得四股也
　　注云两差增之为弦
　　臣鸾曰以股弦差一勾弦差二增之得五
　　弦也
　　注云倍弦实列勾股差实见弦实者以图
　　考之倍弦实满外大方而多黄实黄实之
　　多即勾股差实
　　臣鸾曰倍弦实二十五得五十满外大方
　　七七四十九而多黄实黄实之多即勾股

　　差实也
　　注云以差实减之开其馀得外大方大方
　　之面即勾股并
　　臣鸾曰以差实一减五十馀四十九开之
　　即大方之面七也亦是勾股并也
　　注云令并自乘倍弦实乃减之开其馀得
　　中黄方黄方之面即勾股差
　　臣鸾曰并七自乘得四十九倍弦实二十
　　五得五十以减之馀即中黄方差实一也

　　故开之即勾股差一也
　　注云以差减并而半之为勾
　　臣鸾曰以差一减并七馀六半之得三勾
　　也
　　注云加差于并而半之为股
　　臣鸾曰以差一加并七得八而半之得四
　　股也
　　注云其倍弦为广袤合
　　臣鸾曰倍弦二十五为五十为广袤合

　　臣淳风等谨按列广袤术宜云倍弦五得
　　十为广袤合今鸾云倍弦二十五者错也
(寅曰勾广一袤/九股广二袤八)
　　注云而令勾股见者自乘为其实四实以
　　减之开其馀所得为差
　　臣鸾曰令自乘者以七七自乘得四十九
　　四实大方勾股之中有四方一方之中有
　　方十二四实有四十八减上四十九馀一
　　也开之得一即勾股差一

　　臣淳风等谨按注意令自乘者十自乘得
　　一百四实者大方广袤之中有四方若据
　　勾实而言一方之中有实九四实有三十
　　六减上一百馀六十四开之得八即广袤
　　差此是股弦差减股弦并馀数若据股实
　　而言之一方之中有实十六四实有六十
　　四减上一百馀三十六开之得六即广袤
　　差此是勾股差减勾弦并馀数也鸾云令
　　自乘者以七七自乘得四十九四实者大

　　方勾股之中有四方一方之中有方十二
　　四实者四十八减上四十九馀一也开之
　　得一即勾股差一者错也(寅曰大方之中/有四弦实故四)
(其勾实得三十六减之馀六十四开其馀/得八为勾之广袤差四其股实得六十四)
(减之馀三十六开得六为股之广袤差所/谓广袤差者勾广一而袤九股广二而袤)
(入广袤相/减之馀也)
　　注云以差减合半其馀为广
　　臣鸾曰以差一减合七馀六半之得三广
　　也

　　臣淳风等谨按注意以差八六各减合十
　　馀二四半之得一二一即股弦差二即勾
　　弦差以差减弦即各袤广也鸾云以差一
　　减合七馀六半之得三广者错也(寅曰以/勾之广)
(袤差八减广袤合十馀二半之为勾之广/以股袤差六减广袤合十馀四半之为股)
(之广二注/皆未莹)
　　注云减广于弦即所求也
　　臣鸾曰以广三减弦五即所求差二也
　　臣淳风等谨按注意以广一二各减弦五

　　即所求股四勾三也鸾云以广三减弦五
　　即所求差二者此错也(寅曰甄鸾/述说终此)
周公曰大哉言数(唐寅曰此/经文也)
　心达数术之意故发大哉之数(唐寅曰此/赵注也)
请问用矩之道
　谓用表之宜测望之法
商高日平矩以正绳
　以求绳之正定平悬之体将欲慎毫釐之差
　防千里之失

偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知远
　言施用无方曲从其事术在九章
环矩以为圆合矩以为方
　既以追寻情理又可造制圆方言矩之于物
　无所不至
方属地圆属天天圆地方
　物有圆方数有奇耦天动为圆其数奇地静
　为方其数耦此配阴阳之义非实天地之体
　也天不可穷而见地不可尽而观岂能定其

圆方乎又曰北极之下高人所居六万里滂
沲四隤而下天之中央亦高四旁六万里是
为形状同归而不殊涂隆高齐耽而易以陈
　故曰天似盖笠地法覆槃
方数为典以方出圆
　夫体方则度影正形圆则审实难盖方者有
常而圆者多变故当制法而理之理之法者
　半周半径相乘则得方矣又可周径相乘四
　而一又可径自乘三之四而一又可周自乘

　十二而一故圆出于方(典实/也)
笠以写天
　笠亦如盖其形正圆戴之所以象天写犹象
　也言笠之体象天之形诗云何蓑何笠此之
　义也
天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄
为里以象天地之位
　既象其形又法其位言相方类不亦似乎
是故知地者智知天者圣

　言天之高大地之广远自非圣智其孰能与
　于此乎
智出于勾
　勾亦影也察勾之损益加物之高远故曰智
　出于勾
勾出于矩
　矩谓之表表不移亦为勾为勾将正故曰勾
　出于矩焉
夫矩之于数其裁制万物唯所为耳

　言包含几微转通旋环也
周公曰善哉
　善哉言明晓之意所谓问一事而万事达
昔者荣方问于陈子
　荣方陈子是周公之后人非周之本文然
　此二人共相解释后之学者谓之章句因从
　其类列于事下又欲尊而远之故云昔者时
　世官号未之前闻
曰今者窃闻夫子之道

　荣方问陈子能述商高之旨明周公之道
知日之高大
　日去地与圆径之术
光之所照
　日旁照之所及也
一日所行
　日行天之度也
远近之数
　冬至夏至去人之远近也

人所望见
　人目之所极也
四极之穷
　日光之所远也
列星之宿
　二十八宿之度也
天地之广袤
　袤长也东西南北谓之广长
夫子之道皆能知之其信有之乎

　而明察之故不昧不疑
陈子曰然
　言可知也
荣方曰方虽不省愿夫子幸而说之
　欲以不省之情而观大雅之法
今若方者可教此道邪
　不能自料访之贤者
陈子曰然
　言可教也

此皆算术之所及
　言周之法出于算术之妙也
子之于算足以知此矣若诚累思之
　累重也言若诚能重累思之则达至微之理
于是荣方归而思之数日不能得
　虽潜心驰思而才单智竭
复见陈子曰方思之不能得敢请问之陈子曰
思之未熟
　熟犹善也

此亦望远起高之术而子不能得则子之于数
未能通类
　定高远者立两表望悬邈者施累矩言未能
　通类求勾股之意
是智有所不及而神有所穷
　言不能通类是情智有所不及而神思有所
　穷滞
夫道术言约而用博者智类之明
　夫道术圣人之所以极深而研几唯深也故

　能通天下之志唯几也故能成天下之务是
　以其言约其旨远故曰智类之明也
问一类而万事达者谓之知道
　引而伸之触类而长之天下之能事毕矣故
　谓之知道也
今子所学
　欲知天地之数
算数之术是用智矣而尚有所难是子之智类
单

　算术所包尚以为难是子智类单尽
夫道术所以难通者既学矣患其不博
　不能广博
既博矣患其不习
　不能究习
既习矣患其不能知
　不能知类
故同术相学
　术教同者则当学通类之意

同事相观
　事类同者观其旨趣之类
此列士之愚智
　列犹别也言视其术鉴其学则愚智者别矣
贤不肖之所分
　贤者达于事物之理不肖者闇于照察之情
　至于役神驰思聪明殊别矣
是故能类以合类此贤者业精习智之质也
　学其伦类观其指归唯贤智精习者能之也

夫学同业而不能入神者此不肖无智而业不
能精习
　俱学道术明不察不能以类合类而长之此
　心游目荡义不入神也
是故算不能精习吾岂以道隐子哉固复熟思
之
　凡教之道不愤不启不悱不发愤而悱之然
　后启发既不精思又不学习故言吾无隐也
　尔固复熟思之举一隅使及之以三也

荣方复归思之数日不能得复见陈子曰方思
之以精熟矣智有所不及而神有所穷知不能
得愿终请说之
　自知不敏避席而请说之
陈子曰复坐吾语汝于是荣方复坐而请陈子
说之曰夏至南万六千里冬至南十三万五千
里日中立竿测影
　　臣鸾曰南戴日下立八尺表表影千里而
　　差一寸是则天上一寸地下千里今夏至

　　影有一尺六寸故其万六千里冬至影一
　　丈三尺五寸则知其十三万五千里
此一者天道之数
　言天道数一悉以如此
周长八尺夏至之日晷一尺六寸
　晷影也此数望之从周城之南千里也而周
　官测影尺有六寸盖出周城南千里也记云
　神州之土方五千里虽差一寸不出畿地之
　分先王知之实故建王国

者股也正晷者勾也
　以为股以影为勾股定然后可以度日之
　高远正晷者日中之时节也
正南千里勾一尺五寸正北千里勾一尺七寸
　候其影使表相去二千里影差二寸将求日
　之高远故先见其表影之率
日益表南晷日益长候勾六尺
　候其影使长六尺者欲令勾股相应勾三股
　四弦五勾六股八弦十

即取竹空径一寸长八尺捕影而视之空正掩
日
　以径寸之空视日之影长则大矩短则小
　正满八尺也捕犹索也掩犹覆也
而日应空之孔
　掩若重规更言八尺者举其定也又曰近则
　大远则小以影六尺为正
由此观之率八十寸而得径一寸
　以此为日之率

　　之为六十寸以两表相去二千里乘得十
　　二万里为实以影差二寸为法除之得日
　　底地去表六万里求从至日八万里者
　　先置表高八尺上十之为八十寸以两表
　　相去二千里乘之得十六万为实以影差
　　二寸为法除之得从表端上至日八万里
　　也
若求邪至日者以日下为勾日高为股勾股各
自乘并而开方除之得邪至日从所旁至日

所十万里
　旁此古邪字求其数之术曰以表南至日下
　六万里为勾以日高八万里为股为之求弦
　勾股各自乘并而开方除之即邪至日之所
　也
　　臣鸾曰求从邪至日所法先置南至日
　　底六万里为勾重张自乘得三十六亿为
　　勾实更置日高八万里为股重张自乘得
　　六十四亿为股实并勾股实得一百亿为

　　弦实开方除之得从王城至日十万里今
　　有十万里问径几何曰一千二百五十里
　八十寸而得径一寸以一寸乘十万里为
　　实八十寸为法即得
以率率之八十里得径一里十万里得径千二
百五十里
　法当以空径为勾率竹长为股率日去人为
大股大股之勾即日径也其术以勾率乘大
　股股率而一此以八十里为法十万里为实

　实如法而一即得日径
故曰日晷径千二百五十里
　　臣鸾曰求以率八十里得径一里十万里
　　得径千二百五十里法先置竹孔径一寸
　　为十里为勾更置邪去曰十万里为股以
　　勾十里乘股十万里得一亿为实更置日
　　去地八万里为法除实得日晷径千二百
　　五十里故云日晷径也
　　臣淳风等谨按夏至王城望日立两表相

　　去二千里表高八尺影去前表一尺五寸
　　去后表一尺七寸旧术以前后影差二寸
　　为法以前影寸数乘表间为实实如法得
　　万五千里为日下去南表里又以表高八
　　十寸乘表间为实实如法得八万里为表
　　上去日里仍以表寸为日高影寸为日下
　　待日渐高候日影六尺用之为勾以表为
　　股为之求弦得十万里为邪表数目取管
　　圆孔径一寸长八尺望日满筒以为率长

　　八十寸为一邪去日十万里日径即千二
　　百五十里以理推之法云天之处心高于
　　外衡六万里者此乃语与术违勾六尺股
　　八尺弦十尺角隅正方自然之数盖依绳
　　水之定施之于表矩然则天无别体用日
　　以为高下术既随乎而迁高下从何而出
　　语术相违是为大失又按二表下地依水
　　平法定其高下若北表地高则以为勾以
　　间为弦置其高数其影乘之其表除之所

　　得益股为定间若北表下者亦置所下以
　　法乘除所得以减股为定间又以高下之
　　数与间相约为地高远之率求远者影乘
　　定间差法而一所得加表日之高也求邪
　　去地者弦乘定间差法而一所得加弦日
　　邪去地此三等至皆以日为正求日下地
　　高下者置戴日之远近地高下率乘之如
　　间率而一所得为日下地高下形势隆杀
　　与表间同可依此率若形势不等非代所

　　知率日径求日大小者径率乘间如法而
　　一得日径此径当即得不待影长六尺凡
　　度日者先须定二矩水平者影南北立勾
　　齐高四尺相去一丈以二弦候牵于勾上
　　并率二则拟为候影勾上立表弦下望日
　　前一则上畔后一则下畔引则就影合与
　　表日参直二至前后三四日间影不移处
　　即是当以候表亦望人取一影亦可日径
　　影端表头为则然地有高下表望不同后

　　六术乃穷其实　第一后高前下术高为
　　勾表间为弦后复影为所求率表为有所
　　率以勾为所有数所得益股为定间　第
　　二后下术以其所下为勾表间为弦置其
　　所下以影乘表除所得减股馀为定间
　　第三邪下术依其北高之率高其勾影合
　　与地势隆杀相似馀同平法假令邪下
　　而南其邪亦同不须别望但弦短与勾股
　　不得相应其南里数亦随地势不得校乎

　　平则促若用此术但得南望若北望者即
　　用勾照南下之术当北高之地　第四邪
　　上术依其后下之率下其勾影此谓回望
　　北极以为高远者望去取差亦同南望此
　　术弦长亦与勾股不得相应唯得北望不
　　得南望若南望者即用勾影北高之术
　　第五平术不论高下周度日用此平术
　　故东西南北四望皆通远近一差不须别
　　术　第六术者是外衡其径云四十七万

　　六千里半之得二十三万八千里者是外
　　衡去天心之处心高于外衡六万里为率
　　南行二十三万八千里下校六万里约之
　　得南行一百一十九里下校三十里一百
　　一十九步差下三十步则三十步大强差
　　下十步以此为准则不合有平地地既平
　　而用术尤乖理验且自古论晷影差变每
　　有不同今略其梗槩取其推步之要尚书
　　考灵曜云日永影尺五寸日短一十三尺

　　日正南千里而减一寸张衡灵宪云悬天
　　之晷薄地之仪皆移千里而差一寸郑玄
　　注周礼云凡日影于地千里而差一寸王
　　蕃姜岌因此为说按前诸说是数并同其
　　言更出书非直有此以事考量恐非实矣
　　谨按宋元嘉十九年岁在壬午遣使往交
　　州度日影夏至之日影在表南三寸二分
　　太康地理志交趾去洛阳一万一千里阳
　　城去洛阳一百八十里交趾西南望阳城

　　洛阳在其东南较而言之令阳城去交趾
　　近于洛阳去交趾一百八十里则交趾去
　　阳城一万八百二十里而影差尺有八寸
　　二分是六百里而影差一寸也况复人路
　　迂回羊肠曲折方于鸟道所较弥多以事
　　验之又未盈五百里而差一寸明矣千里
　　之言固非实也何承天又云诏以土圭测
　　影考校二至　三日有馀从来积岁及交
　　州所上验其增减亦相符合此则影差之

　　验也周礼大司徒职曰夏至之影尺有五
　　寸马融以为洛阳郑玄以为阳城尚书考
　　灵曜日永影一尺五寸郑玄以为阳城日
　　短十三尺易纬通卦验夏至影尺有四寸
　　八分冬至一丈三尺刘向洪范传夏至影
　　一尺五寸八分是时汉都长安而向不言
　　测影处所若在长安则非晷影之正也夏
　　至影长一尺五寸八分冬至一丈三尺一
　　寸四分向又云春秋分长七尺三寸六分

　　此即总是虚妄后汉历志夏至影一尺五
　　寸后汉洛阳冬至一丈三尺自梁天监巳
　　前并同此数魏景初夏至影一尺五寸魏
　　初都许昌与颖川相近后都洛阳又在地
　　中之数但易纬因汉历旧影似不别影之
　　冬至一丈三尺晋姜岌影一尺五寸宋都
　　建康在江表验影之数遥取阳城冬至一
　　丈三尺宋大明祖冲之历夏至影一尺五
　　寸宋都秣陵遥取影同前冬至一丈三尺

　　后魏信都芳注周四术云按永平元年
　　戊子是梁天监之七年也见洛阳测影又
　　见公孙崇集诸朝士共观秘书影同是夏
　　至之日以八尺之表测日中影皆长一尺
　　五寸八分虽无六尺近六寸梁武帝大同
　　十年太史令虞邝以九尺表于江左建康
　　测夏至日中影长一尺三寸二分以八尺
　　表测之影长一尺一寸七分强冬至一丈
　　三尺七分八尺表影长一丈一尺六寸二

　　分弱隋开皇元年冬至影长一丈二尺七
　　寸二分开皇二年夏至影一尺四寸八分
　　冬至长安测夏至洛阳测及王邵隋灵感
　　志冬至一丈二尺七寸二分长安测也开
　　皇四年夏至一尺四寸八分洛阳测也冬
　　至一丈二尺八寸八分洛阳测也大唐正
　　观二年己五五月二十三日癸亥夏至中
　　影一尺四寸六分长安测也十一月二十
　　九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分长

　　安测也按汉魏及隋所记夏至中影或长
　　短齐其盈缩之中则夏至之影尺有五寸
　　为近定实矣以周官推之洛阳为所交会
　　则冬至一丈二尺五寸亦为近矣按梁武
　　帝都金陵云洛阳南北大较千里以尺表
　　令其有九尺影则大同十年江左八尺表
　　夏至中影长一尺一寸七分若是为夏至
　　八尺表千里而差一寸弱矣此推验即是
　　夏至影差降升不同南北远近数亦有异

　　日高图注
　赵君卿曰黄甲与黄乙其实正等以表高乘
　两表相去为黄甲之实以影差为黄甲之广
　而一所得则变得黄甲之袤上与日齐按图
　当加表高今言八万里者从表以上复加之
　青丙与青已其实亦等黄甲与青丙相连黄
　乙与青已相连其实亦等皆以影差为广
　　臣鸾曰求日高法先置表高八尺为八万
　　里为袤以相两表相去二千里为广乘袤

　　八万里得一亿六千万里为黄甲之实以
　　影差二寸为二千里为法除之得黄乙之
　　袤八万里即上与日齐此言王城去天名
　　曰甲日底地上至日名曰乙上天名青丙
　　下地名青戊据影六尺王城上天南至日
　　六万里王城南至日底地亦六万里是上
　　下等数日夏至南万六千里者立表八尺
　　于王城影一尺六寸影寸千里故王城去
　　夏至日底地万六千里也

法曰周长八尺勾之损益寸千里
　勾谓影也言悬天之影薄地之仪皆千里而
　差一寸
故曰极者天广袤也
　言极之远近有定则天广长可知
今立表高八尺以望极其勾一丈三寸由此观
之则从周北十万三千里而至极下
　谓冬至日加卯酉之时若春秋分之夜半极
　南两旁与天中齐故以为周去天中之数

荣方曰周者何陈子曰古时天子治周
　古时天子谓周成王时以治周居王城故曰
　昔先王之经邑奄观九隩靡地不营土圭测
　影不缩不盈当风雨之所交然后可以建王
　城此之谓也
此数望之从周故曰周
　言周都河南为四方之中故以为望主也
者表也
　用其行事故曰由此捕望故曰表影为勾

故曰勾股也
日夏至南万六千里日冬至南十三万五千里
日中无影以此观之从南至夏至之日中十一
万九千里
　诸言极者斥天之中极去周十万三千里亦
　谓极与天中齐时更加南万六千里是也
北至其夜半亦然
　日极在极北正等也
凡径二十三万八千里

　并南北之数也
此夏至日道之径也
　其径者圆中之直者也
其周七十一万四千里
　周匝也谓天戴日行其数以三乘径
　　臣鸾曰求夏至日道径法列夏至日去天
　　中心十一万九千里夏至夜一日亦去天
　　中心十一万九千里并之得夏至日道径
　　二十三万八千里三乘径得周七十一万

　　四千里也
从夏至之日中至冬至之日中十一万九千里
　冬至日中去周十三万五千里除夏至日中
　去周一万六千里是也
北至极下亦然则从极南至冬至之日中二十
三万八千里从极北至其夜半亦然凡径四十
七万六千里此冬至日道径也其周百四十二
万八千里从春秋分之日中北至极下十七万
八千五百里

　春秋之日影七尺五寸五分加望极之勾一
　丈三寸
　　臣鸾曰求冬至日道径法列夏至去冬至
　　日中十一万九千里从夏至日道北径亦
　　十一万九千里并之得冬至日中北极下
　　二十三万八千里从极至夜半亦二十三
　　万八千里并之得冬至道径四十七万六
　　千里以三乘径即冬至日道周一百四十
　　二万八千里

从极下北至其夜半亦然凡径三十五万七千
里周一百七万一千里故日月之道常缘宿日
道亦与宿正
　内衡之南外衡之北圆而成规以为黄道二
　十八宿列焉日之行也一出一入或表或里
　五月二十三分月之二十一道一交谓之合
　朔交会及月蚀相去之数故曰缘宿也日行
　黄道以宿为正故曰宿正于中衡之数与黄
　道等

　　臣鸾曰求春秋分日道法列春秋分日中
　　北至极下十七万八千五百里从北极北
　　至其夜半亦然并之得春秋分日道径三
　　十五万七千里以三乘径即日道周一百
　　七万一千里求黄道径法列从北极南至
　　夏至日中一十一万九千里以从极北去
　　冬至夜半二十三万八千里并之得黄道
　　三十五万七千里从极南至冬至日北至
　　夏至日夜半亦黄道径也以三乘径周得

　　一百七万一千里也
南至夏至之日中北至冬至之夜半南至冬至
之日中北至夏至之夜半亦径三十五万七千
里周一百七万一千里
　此皆黄道之数与中衡等
春分之日夜分以至秋分之日夜分极下常有
日光
　春秋分者昼夜等春分至秋分日内近极故
　日光照及也

秋分之日夜分以至春分之日夜分极下常无
日光
　秋分至春分日外远极故日光照不及也
故春秋分之日夜分之时日所照适至极阴阳
之分等也冬至夏至者日道发敛之所生也至
昼夜长短之所极
　发犹往也敛犹还也极终也
春秋分者阴阳之修昼夜之象
　修长也言阴阳长短之等

昼者阳夜者阴
　以明暗之差为阴阳之象
春分以至秋分昼之象
　北极下见日光也日永主物生故象昼也
秋分至春分夜之象
　北极下不见日光也日短主物死故象夜也
故春秋分之日中光之所照北极下夜半日光
之所照亦南至极此日夜分之时也故曰日照
四旁各十六万七千里

　至极者谓璇玑之际为阳绝阴障以日之时
　而日光有所不逮故知日旁照十六万七千
　里不及天中一万一千五百里也
人望所见远近宜如日光所照
　日近我一十六万七千里之内及我我自见
　日故为日出日远我十六万七千里之外日
　则不见我我亦不见日故为日入是为日与
　目见于十六万七千里之中故曰远近宜如
　日光之所照也

从周所望见北过极六万四千里
　自此以下诸言减者皆置日光之所照若人
　目之所见十六万七千里以除之此除极至
周十万三千里
　　臣鸾曰求从周所望见北过极六万四千
　　里法列人目所极十六万七千里以王城
　　周去极十万三千里减之馀六万四千里
　　即人望过极之数也
南过冬至之日三万二千里

　除冬至日中去周十三万五千里
　　臣鸾曰求冬至日中三万二千里法列人
　　目所极十六万七千里以冬至日中去王
　　城十三万五千里减之馀即过冬至日中
　　三万二千里也
夏至之日中光南过冬至之日中光四万八千
里
　除冬至之日中相去十一万九千里
　　臣鸾曰求夏至日中光南过冬至日中光

　　四万八千里法列日高照十六万七千里
　　以冬夏至日中相去一十一万九千里减
　　之馀即南过冬至之日中光四万八千里
南过人所望见一万六千里
　夏至日中去周万六千里
　　臣鸾曰求夏至日中光南过人所望见万
　　六千里法列王城去夏至日中光南过人
　　所望见万六千里加日光所及十六万七
　　千里得十八万三千里以人目所极十六

　　万七千里减之馀即南过人目所望见一
　　万六千里也
北过周十五万一千里
　除周夏至之日中一万六千里
　　臣鸾曰求夏至日中光北过周十五万一
　　千里法列日光所及十六万七千里以王
　　城去夏至日中一万六千里减之馀即北
　　过周十五万一千里
北过极四万八千里

　除极去夏至之日十一万九千里
　　臣鸾曰求夏至日中光北过极四万八千
　　里法列日光所及十六万七千里以北极
　　去夏至夜半十一万九千里减之馀即北
　　过极四万八千里也
冬至之夜半日光南不至人所见七千里
　倍日光所照里数以减冬至日道径四十七
　万六千里又除冬至日中去周十三万五千
里

　　臣鸾曰求冬至夜半日光南不至人目所
　　见七千里法列日光十六万七千里倍之
　　得三十三万四千里以减冬至日道径四
　　十七万六千里馀十四万二千里复以冬
　　至日中去周十三万五千里减之馀即不
　　至人目所见七千里
不至极下七万一千里
　从极至夜半除所照十六万七千里
　　臣鸾曰求冬至日光不至极下七万一千

　　里法列冬至夜半去极二十三万八千里
　　以日光一十六万七千里减之馀即不至
　　极下七万一千里
夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相
接
倍日光所照以夏至日道径减之馀即相接
　之数
　　臣鸾曰求夏至日中日光与夜半相接九
　　万六千里法列倍日光所照十六万七千

　　里得径三十三万四千里以夏至日过径
　　二十三万八千里减之馀即日光相接九
　　万六千里也
冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千
里不至极下七万一千里
　倍日光所照以减冬至日道径馀即不相及
　之数半之即各不至极下
　　臣鸾曰求冬至日光与夜半日不及十四
　　万二千里不至极下七万一千里法列冬

　　至日道径四十七万六千里以倍日光所
　　照三十三万四千里减之馀即日光不相
　　及十四万二千里半之即不至极下七万
　　一千里也
夏至之日正东西望直周东西日下至周五万
九千五百九十八里半
　求之术以夏至日道径二十三万八千里为
　弦倍极去周十万三千里得二十万六千里
　为股为之求勾以股自乘减弦自乘其馀开

　方除之得勾一十一万九千一百九十七里
　有奇半之各得周半数
　　臣鸾曰求夏至日正东西去周法列夏至
　　道径二十三万八千里为弦自相乘得五
　　百六十六亿四千四百万为弦实更置极
　　去周十万三千里倍之为二十万六千里
　　为股重张自相乘得四百二十四亿三千
　　六百万为股实以减弦实馀一百四十二
　　亿八百万即勾实以开方除之得正东西

　　去周一十一万九千一百九十七里二十
　　三万八千三百九十五分里之七万五千
　　一百九十一半之即周东西各五万九千
　　五百九十八里半经曰奇者分也若求分
　　者倍分母得四十七万六千七百九十即
　　一方得五万九千五百九十八里半四十
　　七万六千七百九十分里之七万五千一
　　百九十一本经无所馀算之次因而演之
　　也

冬至之日正东西方不见日
　正东西方者周之卯酉日在十六万七千里
　之外不见日
以算求之日下至周二十一万四千五百五十
七里半
　求之术以冬至日道径四十七万六千里为
　弦倍极之去周十万三千里得二十万六十
　里为勾为之求股勾自乘减弦之自乘其馀
　开方除之得四十二万九千一百一十五里

　有奇半之各得东西数
　　臣鸾曰求冬至正东西方不见日法列冬
　　至日道径四十七万六千里为弦重张相
　　乘得二千二百六十五亿七千六百万里
　　为弦实更列极去周十万三千里倍之得
　　二十万六千里为勾重张相乘得四百二
　　十四亿三千六百万以减弦实馀一千八
　　百四十一亿四十万即股实开方除之得
　　周直东西四十二万九千一百一十五里

　　八十五万八千二百三十一分里之三十
　　一万六千七百七十五半即周一方去日
　　二十一万四千五百五十七里半亦倍分
　　母得一百七十一万六千四百六十二分
　　里之三十一万六千七百七十五
凡此数者日道之发敛
　凡此上周径之数者日道往还之所至昼夜
　长短之所极
冬至夏至观律之数听钟之音

　观律数之生听钟音之变知寒暑之极明代
　序之化也
冬至昼夏至夜
　冬至昼夜日道径半之得夏至昼夜日道径
　法置冬至日道径四十七万六千半之得夏
　至日中去夏至夜半二十三万八千里以四
　极之里也
差数及日光所还观之
　以差数之所及日光所还以此观之则四极

　之穷也
四极径八十一万里
　从极南至冬至日中二十三万八千里又日
　光所照十六万七千里凡径四十万五千里
　北至其夜半亦然故日径八十一万里八十
　一者阳数之终日之所极
　　臣鸾曰求四极径八十一万里法列冬至
　　日中去极二十三万八千里复加冬至日
　　光所极十六万七千里得四十万五千里

　　北至其夜半亦然并南北即是大径八十
　　一万里
周二百四十三万里
　三乘径即周
　　臣鸾曰以三乘八十一万里得周二百四
　　十三万自此以外日所不及也
从周至南日照处三十万二千里
　半径除周去极十万三千里
　　臣鸾曰求周南三十万二千里法列半径

　四十万五千以王城去极十万三千里减
　　之馀即周南至日照处三十万二千里
周北至日照处五十万八千里
　半径加周去极十万三千里
　　臣鸾曰求周去冬至夜半日北极照处五
　　十万八千里法列半道径四十万五千里
　　加周夜半去极十万三千里得冬至夜半
　　北极照去周五十万八千里
东西各三十九万一千六百八十三里半

　求之术以径八十一万里为弦倍去周十万
　三千里得二十万六千里为勾为之求股得
　七十八万三千三百六十七里有奇半之各
　得东西之数
　　臣鸾曰求东西各三十九万一千六百八
　　十三里半法列径八十一万里重张自乘
　　得六千五百六十一亿为弦实更置倍周
　　去北极二十万六千里为勾重张自乘得
　　四百二十四亿三千六百万以减弦实馀

　　六千一百三十六亿六千四百万即股实
　　以开方除之得股七十八万三千三百六
　　十七里一百五十六万六千七百三十五
　　分里之十四万三千三百一十一半之即
　　得去周三十九万一千六百八十三里半
　　分母亦倍之得三百一十三万三千四百
　　七十分里之十四万三千三百一十一也
周在天中南十万三千里故东西矩中径二万
六千六百三十二里有奇

　求矩中径二万六千六百三十二里有奇法
　列八十一万里以周东西七十八万三千三
　百六十七里有奇减之馀即矩中径之数
　　臣鸾曰求矩中径二万六千六百三十二
　　里有奇法列八十一万里以周东西七十
　　八万三千三百六十七里有奇减之馀二
　　万六千六百三十三里取一里破为一百
　　五十六万六千七百三十五分减一十四
　　万三千三百一十一馀一百四十二万三

　　千四百二十四即径东西矩二万六千六
　　百三十二里一百五十六万六千七百三
　　十五分里之一百四十二万三千四百二
　　十四
周北五十万八千里冬至日十三万五千里冬
至日道径四十七万六千里周一百四十二万
八千里日光四极当周东西各三十九万一千
六百八十三里有奇
此方圆之法

　此言求圆于方之法
万物周事而圆方用焉大匠造制而规矩设焉
或毁方而为圆或破圆而为方方中为圆者谓
之圆方圆中为方者谓之方圆也

　　七衡图注
　赵君卿曰青图画者天地合际人目所远者
　也天至高地至卑非合也人目极观而天地
　合也日入青图画内谓之日出出青图画外
　谓之日入青图画之内外皆天也北辰正居
　天中之央人所谓东西南北者非有常处各
　以日出之处为东日中为南日入为西日没
　为北北辰之下六月见日六月不见日从春
　分至秋分六月常见日从秋分至春分六月

　常不见日见日为昼不见日为夜所谓一岁
　者即北辰之下一昼一夜黄图画者黄道也
　二十八宿列焉日月星辰躔焉使青图在上
　不动贯其极而转之即交矣我之所在北辰
　之南非天地之中也我之卯酉非天地之卯
　酉内第一夏至日道也出第四春秋分日道
　也外第七冬至日道也皆随黄道日冬至在
　牵牛春分在娄夏至在东井秋分在角冬至
　从南而北夏至从北而南终而复始也

凡为此图以丈为尺以尺为寸以寸为分分一
千里凡用缯方八尺一寸今用缯方四尺五分
分为二千里
　方为四极之图尽七衡之意
吕氏曰凡四海之内东西二万八千里南北二
万六千里
　吕氏秦相吕不韦作吕氏春秋此之义在有
　始第一篇非周本文尔雅云九夷八狄七
　戎六蛮谓之四海言东西南北之数者将以

　明车辙马迹之所至河图括地象云而有君
　长之州九阻中国之文德及而不治又云八
　极之广东西二亿二万三千五百里南北二
　亿三万三千五百里淮南子地形训云禹使
　大章步自东极至于西极孺亥步自北极至
　于南极而数皆然或其广阔将焉可步矣亦
　后学之徒未之或知也夫言亿者十万曰亿
　也
凡为日月运行之圆周

春秋分冬夏至璿玑之运也
七衡周而六间以当六月节六月为百八十二
日八分日之五
　节六月者从冬至至夏至日百八十二日八
　分日之五为半岁六月节者谓中气也不尽
其日也此日周天通四分一之倍法四以除
　之即得也
　　臣鸾曰求七衡周而六间以当六月节六
　　月为一百八十二日八分日之五此为半

　　岁也列周天三百六十五日四分日之一
　　通分内子得一千四百六十一为实倍分
　　母四为八除实得半岁一百八十二日八
　　分日之五也
故日夏至在东井极内衡日冬至在牵牛极外
衡也
　东井牵牛为长短之限内外之极也
衡复更终冬至
　冬至日从外衡还黄道一周年复于故衡终

　于冬至
故曰一岁三百六十五日四分日之一一岁一
内极一外极
　从冬至一内极及一外极度终于星月穷于
　次是为一岁
三十日十六分日之七月一外极一内极
　欲分一岁为十二月一衡间当一月此举中
　相去之日数以此言之月行二十九日九百
　四十分日之四百九十九则过周天一日而

　与月合宿论其入内外之极六归粗通未心
　得也日光言内极月光言外极日阳从冬至
　起月阴从夏至起往来之始易曰日往则月
　来月往则日来此之谓也此数置一百八十
　二日八分日之五通分内子五以六间乘分
　母以除之得三十以三约法得十六约馀得
　七
　　臣鸾曰求三十日十六分日之七法列半
　　岁一百八十二日八分日之五通分内子

　　得一千四百六十一为实以六间乘分母
　　八得四十八除实得三十日不尽二十一
　　更置法实求等数平于三即以约法得十
　　六约馀得七即是从中气相去三十日十
　　六分日之七也
是故　衡之间万九千八百三十三里三分里
之一即为百步
　此数夏至冬至相去十一万九千里以六间
　除之得矣法与馀分皆半之

　　臣鸾曰求一衡之间一万九千八百三十
　　三里三分里之一法置冬至夏至相去十
　　一万九千里以六间除之即得法与馀分
　　半之得也
欲知次衡径倍而增内衡之径
　倍一衡间数以增内衡
二之以增内衡径
　二乘所倍一衡之间数以增内衡径即得三
　衡径

次衡放此
　次至皆如数
内一衡径二十三万八千里周七十一万四千
里分为三百六十五度四分度之一度得一千
九百五十四里二百四十七步千四百六十一
分步之九百三十三
　通周天四分之一为法又以四乘衡周为实
实如法得一百步不满法者十之如法得十
　步不满法者十之如法得一步不满者以法

　命之至七衡皆如此
　　臣鸾曰求内衡度法置夏至径二十三万
　　八千里以三乘之得内外衡周七十一万
　　四千里以周天分母四乘内衡周得二百
　　八十五万六千里为实以周天分一千四
　　百六十一为法除之得一千九百五十四
　　里不尽一千二百六即而三之为三千六
　　百十八以法除之得二百步不尽六百九
　　十六步上十之如法而得四十步不尽一

　　千一百一十六复上十之如法而一得七
　　步不尽九百三十三即是一千九百五十
　　四里二百四十七步一千四百六十一分
　　步之九百三十三
次二衡径二十七万七千六百六十六里二百
步周八十三万三千里分里为度度得二千二
百八十里百八十八步千四百六十一分步之
千三百三十二
　通周天四分之一为法四乘衡周为实实如

　法得里数不满者求步数不尽者命分
　　臣鸾曰求第二衡法列一衡间一万九千
　　八百三十三里少半里倍之得三万九千
　　六百六十六里太半里增内衡径二十三
　　万八千里得第二衡径二十七万七千六
　　百六十六里二百步是三分里之二又以
　　三乘之步满三百成一里得二衡周八十
　　三万三千里以周天分母四乘周得三百
　　三十三万二千为实更置周天三百六十

　　五度四分度之一通分内子得一千四百
　　六十一为法除之得二千二百八十里不
　　尽九百二十以三百乘之得二十七万六
　　千复以前法除之得一百八十八步不尽
　　一千三百三十二即是度得二千二百八
　　十里一百八十八步一千四百六十一分
　　步之一千三百三十二
次三衡径三十一万七千三百三十三里一百
步周九十五万二千里分为度度得二千六百

六里百三十步千四百六十一分步之二百七
十
　通周天四分之一为法四乘衡周为实实如
　法得里数不满法者求步数不尽者命分
　　臣鸾曰求第三衡法列倍一衡间得三万
　　九千六百六十六里三分里之二增第二
　　衡径二十七万七千里六百六十六里二
　　百步即三分里之二得第三衡径三十一
　　万七千三百三十三里一百步以三乘径

　　步步满三百成里得周九十五万二千里
　　又以分母四乘周得三百八十万八千为
　　实以周天分一千四百六十一为法以除
　　实得二千六百六里不尽六百三十四以
　　三百乘之以法除之得一百三十步不尽
　　二百七十即是度得二千六百六里一百
　　三十步一千四百六十一分步之二百七
　十
次四衡径三十五万七千里周一百七万一千

里分为度度得二千九百三十二里七十一步
千四百一十分步之六百六十九
　通周天四分之一为法四乘衡周为实实如
　法得里数不满法者求步数不尽者命分
　　臣鸾曰求第四衡法列倍一衡间三万九
　　千六百六十六里三分里之二增第三衡
　　径三十一万七千三百三十三里一百步
　　步满三百成里得径三十五万七千里以
　　三乘之得周一百七万一千里以分母乘

　　之得四百二十八万四千里为实以周天
　　分一千四百六十一除之得二千九百三
　　十二里不尽三百四十八以三百乘之以
　　法除之得七十一步不尽六百六十九即
　　是度得二千九百三十二里七十一步一
　　千四百六十一分步之六百六十九
次五衡径三十九万六千六百六十六里二百
步周一百一十九万里分为度度得三千二百
五十八里十二步千四百六十一分步之千六

十八
通周天四分之一为法四乘衡周为实实如
　法得里数不满法者求步数不尽者命分
　　臣鸾曰求第五衡法列倍第一衡间三万
　　九千六百六十六里三分里之二增第四
　　衡径三十五万七千里满三百成里得第
　　五衡径三十九万六千六百六十六里二
　　百步以三分乘径得周一百一十九万里
　　又以分母四乘周得四百七十六万为实

　　以周天分一千四百六十一为法除之得
　　三千二百五十八里不尽六十二以三百
　　乘之以法除之得十二步不尽一千六十
　　八即是度得三千二百五十八里十二步
　　一千四百六十一分步之一千六十八
次六衡径四十三万六千三百三十三里一百
步周一百三十万九千里分为度度得三千五
百八十三里二百五十四步千四百六十一分
步之六

　通周天四分之一为法四乘衡周为实实如
　法得一里不满法者求步不尽者命分
　　臣鸾曰求第六衡法列倍第一衡间三万
　　九千六百六十六里三分里之二以增第
　　五衡径三十九万六千六百六十六里一
　　百步又三乘径得周一百三十万九千里
　　又以分母四乘周得五百二十三万六千
　　为实以周天分一千四百六十一为法除
　　之得三千五百八十三里不尽一千二百

　　三十七以三百乘之以法除之得二百五
　　十四步不尽六即是度得三千五百八十
　　三里二百五十四步一千四百六十一分
　　步之六
次七衡径四十七万六千里周一百四十二万
八千里分为度得三千九百九里一百九十五
步千四百六十一分步之四百五
　通周天四分之一为法四乘衡周为实实如
　法得里数不满法者求步数不尽者命分

　　臣鸾曰求第七衡法列倍第一衡间三万
　　九千六百六十六里三分里之二增第六
　　衡径四十三万六千三百三十三里一百
　　步得第七衡径四十七万六十里以三乘
　　之得周一百四十二万八千里以分母四
　　乘之得五日七十一万二千为实以周天
　　分一千四百六十一为法除之得三千九
　　百九里不尽九百五十一又以三百乘之
　　所得以法一千四百六十一除之得一百

　　九十五步不尽四百五即是度得三千九
　　百九里一百九十五步一千四百六十一
　　分步之四百五
其次曰冬至所北照过北衡十六万七千里
　冬至十一月日在牵牛径在北方因其在北
　故言照过北衡
为径八十一万里
　倍所照增七衡径
周二百四十三万里

　三乘倍增七衡周
分为三百六十五度四分度之一度得六千六
百五十二里二百九十三步千四百六十一分
步之三百二十七过此而往者未之或知
　过八十一万里之外
或知者或疑其可知或疑其难知此言上圣不
学而知之
　上圣者智无不至明无不见考灵曜曰微式
　出冥唯审其形此之谓也

故冬至日晷丈三尺五寸夏至日晷尺六寸冬
至日晷长夏至日晷短日晷损益寸差千里故
冬至夏至之日南北游十一万九千里四极径
八十一万里周二百四十三万里分为度度得
六千六百五十二里二百九十三步千四百六
十一分步之三百二十七此度之相去也
　　臣鸾曰求冬至日所北照十六万七千里
　　并南北日光得三十三万四千里增冬至
　　日道径四十七万六千里得八十一万里

　　三之得周二百四十三万以周天分母四
　　乘之得九百七十二万里为实以周天分
　　一千四百六十一为法除之得六千六百
　　五十二里不尽一千四百二十八以三百
　乘之得四十三万八千四百复以法除之
　　得二百九十三步不尽三百二十七即是
　　度得六千六百五十二里二百九十三步
　　一千四百六十一分步之三百二十七
其南北游日六百五十一里一百八十二步一

千四百六十一分步之七百九十八
术曰置十一万九千里为实以半岁一百八十
二日八分日之五为法
　半岁考从外衡去内衡以为法除相去之数
　得一日所行也
而通之
　通之者数不合齐以法等得相通入以八乘
　也
得九十五万二千为实

　通十一万九千里
所得一千四百六十一为法除之
　通百八十二日八分日之五也
实如法得一里不满法者三之如法得百步
　一里三百步当以三百乘而言之三之者不
　欲转法便以一位为百实故从一位命为百
不满法者十之如法得十步
　上下用三百乘故此十之便以位为十实故
　从一位命为十

不满法者十之如法得一步
　复十之者但以一位为实故从一位命为一
不满法者以法命之
　位尽于一步故以法命其馀分为残步
　　臣鸾曰求南北游法置冬至十一万九千
　　里以半岁日分母八乘之得九十五万二
　　千为实通半岁一百八十二日八分日之
　　五得一千四百六十一以除得六百五十
　　一里不尽八百八十九以三百乘之得二

　　十六万六千七百复以法除之得一百八
　　十二步不尽七百九十八即得日南北游
　　日六百五十一里一百八十二步一千四
　　百六十一分步之七百九十八
周算经卷上

周音义
　　假承务郎秘书省钧考算经文字臣李籍撰
序
周(步米切周算经者以九数勾股重差算/日月周天行度远近之数皆得于股表即)
(推步盖天之法也者股也以表为股周天历/度本包牺氏立法其传自周公受之于大夫商)
(高周人志之/故曰周)赵君卿撰(雏免切述也君卿赵/爽字也不详何代人)恢
(苦回切/大也)廓落(上枯郭切/下历各切)晷仪(居洧切/日影也)度量(上达/各切)
(下录/章切)探赜(上吐南切下上革切赜者含蓄含/蓄者探之可及故易中有曰探𦣱)索
隐(上色白切下于谨切隐者隐匿/隐匿者索之可得故易曰索隐)诡异(上居委/切下于)

(冀切诡/谲怪也)浑天(胡昆切浑天者言天地之体譬如/鸟卵天包地外犹壳之裹黄也周)
(旋无端其形浑浑然故曰浑天史官候台所用/铜仪则其法也立八尺圆体具天地之形以正)
(黄道古察发敛以行日月以步五纬精微深/妙不代百易之道也官有其器而无其书)盖
天(居大切盖天之说即周是也其言天似盖/笠地似覆槃天地各中高外下北极之下为)
(天地之中其地最高而滂沱四隤三光隐映以/为昼夜天中高于外衡冬至日之所在六万里)
(北极下地二万里天地隆高相从日去地常八/万里日丽天而平转分冬夏之间日前行道为)
(七衡六间每衡周径里数各依算术用勾股重/差推晷影极游以为远近之数皆得于表股者)
(也故曰周又周家云天圆如张盖地方如/棋局天旁转如推磨而左行日月右行随天左)
(转故日月实东行而天牵之以西没譬之于蚁/行磨石之上磨左旋而蚁右去磨疾而蚁迟故)

(不得不随磨以左回焉天形南高而北下日出/高故见日入下故不见天之形如倚盖故极在)
(人北是其證也极在天之中而今/在人北所以知天之形如倚盖也)灵宪(诈建切/灵宪张)
(衡所述其说/主于浑天)重仞(上直龙切下音/刅八尺曰仞)奥(于到/切)迥(户/顶)
(切远/也)
卷上
甄鸾(上之人切下历官切/甄鸾北周司隶校尉)重述(上直龙切下时/律切赵爽既加)
(注释甄鸾又从而/发明故曰重述)善数(色具切/数算也)包牺(上蒲交切/下虚宜切)
历度(徒个/切)而度(大各切/量也)
勾股圆方图(勾古侯切股公土切圆径一而周/三方径一而匝四伸圆之周而为)

(勾展方之匝而为股共结一角邪适/五乃圆/方邪径相通之率也勾股圆方图盖以此设学)
(者观之思/过半矣)弦(胡田切共/结一角也)率(朔律切数相/与也又音律)奇耦(上/居)
(宜切下/乌口切)矩(俱雨/切)折(之列/切)更相(上古衡切/下息羊切)共盘(上/渠)
(用切下/蒲官切)昏垫(都念切下也书/曰下民昏垫)并(卑政/切)勾股之差
(楚佳切不齐也勾股之差/其数差一谓勾三股四也)量均(力仗/切)为袤(莫候/切长)
(也)偃矩覆矩(偃于宪切仰也覆敷目切俯也矩/表也仰表所以望高俯表所以测)
(深)方属地(殊玉切/下同)滂沲(上普郎切/下唐何切)四隤(徒回/切)列
星之宿(思救切二十八宿之度也/礼记月令宿离不忒是也)不省(息井切/省窹也)
(不省言不窹也/犹言不敏也)累思(鲁水/切)累重也(直能/切)才单(德/寒)

(青/戊)极者(竭忆切诸言极者斥天/中极去周十万三千里)奄(衣检切/覆也)九隩
(于到切土/可居也)靡地(母被切/无也)斥(昌石切/指也)缘宿(息救切/二十八)
(宿/也)蚀(乘力切日月亏曰蚀稍小/侵亏如蠹食草木之叶也)适至(施直切/恰也)发
敛(力冉切发/往敛还也)璿玑(上音璇/下音机)逮(音迨/及也)有奇(居宜切/数之馀)
(也易曰归/奇于扐)冬至夏至观律之数听钟之音(律吕/戍切)
(听陀定切此谓冬夏二至合八能之士以观律/之数而听钟音之清浊也晋律历志曰阴阳和)
(则景至律气应则灰除是故天子常以冬夏至/日御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷影)
(侯钟律权土炭效阴阳冬至阳气应则灰除是/故乐均清影长极黄钟通土炭轻而衡仰夏至)
(阴气应则乐均浊影短极蕤宾通土炭重而衡/低进退于先后五日之中八能各以候状闻太)

(史令封上效/则和否则占)
七衡图(何庚切七衡者七规也谓规为衡者取/其衡运则生规规者正圆之谓也内一)
(衡径二十三万八千里次二衡径二十七万七/千六百六十六里二百步次三衡径三十一万)
(七千三百三十三里一百步次四衡径三十五/万七千里次五衡径三十九万六千六百六十)
(六里二百步次六衡径四十三万六千三百三/十三里一百步次七衡径四十七万六千里即)
(其径而三之则各得其周也凡日月运行之图/周七衡周而六间一衡之间万九千八百三十)
(三里一百步以六衡乘之即夏/至冬至相去十一万九千里也)青图画者(胡卦/切界)
(也俗/作画)合际(上胡閤切/下子例切)常处(昌据切/所也)躔(呈延切/次也)卯
酉(上莫饱切下以久切皆辰/名也卯正东也酉正西也)牵牛(上轻烟切下/如字率牛北)

(方宿也冬至/日在牵牛)娄(卢侯切娄西方宿/也春分日在娄)东井(子郢切/南方宿)
(也夏至日/在东井)角(记岳切东方宿/也秋分日在角)用缯(慈陵切/帛也)吕氏
(两举切吕氏者吕氏春秋也吕不韦为秦相国/集当世儒士使著所闻为十二纪八览六论合)
(十馀万言备古今之/事名为吕氏春秋)四海(呼改切吕氏春秋曰/几四海之内东西二)
(万八千里南北二万六千里尔雅云九夷八狄/七戎六蛮谓之四海言东西南北之数者将明)
(车辙马迹之所至河图括地象亦云里数而有/君长之州九阻中国之文德及而不治又云八)
(极之广东西二亿二万三千五百里南北二亿/三万三千五百里淮南子地形训云禹使大章)
(步自东极至于西极孺亥步/自北极至于南极而数皆然)河图括地象(括音/䀨河)
(图括地象/纬书名也)淮南子(并如字汉淮南王/安所著之书也)大章(音泰/人名)

六间(古闲切两衡/相去之间也)粗通(徂五切/略也)放此(甫两切效/也下同)
卷下
四和(户戈切调也四和者谓之极子午卯酉得/东西南北之中天地之所合四时之所交)
(风雨之所会阴阳之所和然则/百物阜安草木蕃庶故曰四和)阜安(房缶切/盛也)蕃
庶(符袁切/茂也)易处(夷益切/交也)盖笠(上居大切/下音立)覆槃(上/方)
(六切下/蒲官切)离地(力智切/去也)障蔽(上之亮切隔也/下必䄃切奄也)日兆
月(直绍切日者阳之精譬犹火光月者阴之精/譬犹水光月含影故月光生于日之所照魄)
(生于日之所蔽当日则光盈就日则明/尽月禀日光而成形兆故云日兆月也)魄(匹陌/切月)
(之明消也康诰曰惟三月哉生魄孔安国曰三/月始生魄月十六日明消而魄生杨子曰既望)

(则终魄于东/亦此意也)行列(胡刚/切)极枢(春朱切尔雅曰枢/谓之枨郭璞云门)
(户扉枢也此言极枢者取/其居中而临制四方也)绳系(古诣切/结也)表颠(多/年)
(切顶/也)中折(之列切/屈也)漏(卢候切漏以铜受水刻节/昼夜百刻晷漏中星略例)
(曰日行有南北晷漏有长短然二十四气晷差/迟疾不同勾股使然也直规中则差迟与勾股)
(数齐则差急随辰极高下所遇不同如黄道刻/漏此乃数之浅者近代且犹未晓今推黄道去)
(极与晷影漏刻昏距中星四术反覆相/求消息同率施相为中以合九股之变)揆度(上/巨)
(癸切下/大各切)释(施只切/散也)朝生(陟遥切/旦也)暮获(胡麦/切)穫(胡/郭)
(切收/也)葶苈(上音亭/下音历)荠麦(在礼/切)正勾(上音政/下音钩)无令
(离呈切/使也)纤微(思廉切/细也)督(音笃/察也)分度(徒固切/数也)经纬

(上坚丁切下子贵切/南北为经东西为纬)圆定正(音/政)则复(扶富切/又也)须
女(如字星/名也)游仪(如字游仪所以望星也真观中/李淳风造四游仪元枢为轴以)
(连结玉衡游筒而贯约规矩又元枢北立北辰/南距地轴旁转于内玉衡在元枢之间而南北)
(游仰以观天之辰宿下以识器之晷度开元九/年率府兵曹参军梁令瓒以木为游仪一行是)
(之乃奏黄道游仪古有其术而无其器昔人潜/思未能得今令瓒所为日道月交皆自然契合)
(于推步尤要请旨更/铸以铜十年仪成)车辐(方六切所以实论而/凑毂者也以圆度为)
(辐)为毂(古禄切所以受辐也/以经纬之交为毂)二十八宿(息救/切)副
置(敷救切别也别/置算也下同)地恊(檄颊切/合也)相应(于證/切)参正
(上仓含切/下音正)八节(并如字二至者寒暑之极二分/者阴阳之和四立者生长收藏)

(之始是/为八节)二十四气(并如字一岁凡八节节三气/三而入之故为二十四气)
气损益九寸九分六分分之一(并如字损者减/也破一分为六)
(分然后减之益者加也加/以小分满六分得一从分)冬至(并如字至极也/冬至夏至寒暑)
(之/极)启蛰(直立切藏也易曰龙蛇之蛰以/存身也左氏传曰启蛰而郊)春分(府/文)
(切分之言中也春分为/阳之中秋分为阴之中)芒种(上莫郎切/下之用切)处暑(昌/据)
(切所/也)时舍(音舍不/用也)虚诞(音但/谩也)一概(古代/切)矛楯(上/莫)
(浮切下食闰切矛所以勾楯所以蔽器不/同不相为用凡言矛楯者况其所趣异也)后天
(并如字月后天者月东行者也此见日月与天/俱西南游一日一夜天一周而月在昨夜之东)
(故曰/后天)故舍(式夜切舍谓二/十八宿之舍也)积后天(资昔切以月/后天分看小)

(岁积分则积/后天分也)大岁(徒盖切大岁者十/三月为一岁也)经岁(坚丁/切经)
(常也经岁者通十/二月十九分之七)小月(并如字小月者二/十九日为一月)大月
(徒盖切大月者/三十日为一月)经月(坚丁切经月者以十九/乘周天分则经月之积)合
朔(上曷閤切/下色角切)覆九(敷救切盖/也下同)当(音/当)正南方(音/政)三
十六头(并如字考灵曜曰分周天为三十六头/头有十度九十六分之十四长日分于)
(寅行二十四头入于戌行十二头短日分于/辰行十二头入于申行二十日头北之谓也)坎
(苦感切正北/方之卦也)巽(苏困切东南/隅之卦也)坤(苦混切西南/隅之卦也)离
(吕支切正南/方之卦也)乾(渠焉切西北/隅之卦也)艮(古恨切东北/隅之卦也)章
(止良切条也十九岁为一章/言馀闰尽为历法章条也)蔀(薄口切蔀之言/齐同日月之分)

(也而又众残齐合群数毕满故谓/之蔀四章为一蔀凡七十六岁也)遂(徐醉切遂/者终也言)
(五行之德一终尽极日月辰终也/二十蔀为一遂凡千五百二十岁)首(始九切始/也言日月)
(五星终而复始也三遂为一/首凡四千五百六十岁也)极(如字终也言日/月星辰弦望晦)
(朔寒暑推移万物生育终而复始故谓之极/七首为一极凡三万一千九百二十岁也)乾
凿度(徒固切乾凿/度易纬书也)
周音义(终)

附算学源流
晋书律历志黄帝纪三纲而阐书契乃使羲和
常仪占月车区占星气伶伦造律吕大挠造甲
子隶首作算数容成总斯六术考定气象建行
察发饮起消息正闰馀述而著焉谓之调历
汉书律历志一曰律数二曰和声三曰审度四
曰嘉五曰权衡
　数者一十百千万也所以算数事物顺性命
　之理也其算法用竹径一分长六寸二百七

　十一枚而成六觚为一握度长短者不失毫
　釐量多少者不失圭撮权轻重者不失黍参
　纪于一协于十长于百大于千衍于万其法
　在算术乎
附算法歌诀
　开平方法少人通起手先呼九数重百与万
　同并百万二三隔位一相从千同十万和千
　万三四连身九九终除尽虚加一倍回还折
　半复原宗