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几何原本 卷六之首 第 1a 页 WYG0798-0698a.png
钦定四库全书
几何原本卷六之首
西洋利玛窦译
界说六则
第一界
凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为
相似之形
甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙
几何原本卷六之首
西洋利玛窦译
界说六则
第一界
凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为
相似之形
甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙
几何原本 卷六之首 第 1b 页 WYG0798-0698b.png
与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙
两线之比例若丁角旁之丁戊与
丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与
戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则
此两角形为相似之形依显凡平边
形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
平边角形其各角俱等而各边之比例亦等者是也
四边五边以上诸形俱仿此
两线之比例若丁角旁之丁戊与
丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与
戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则
此两角形为相似之形依显凡平边
形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
平边角形其各角俱等而各边之比例亦等者是也
四边五边以上诸形俱仿此
几何原本 卷六之首 第 2a 页 WYG0798-0698c.png
第二界
两形之各两边线互为前后率相与为比例而等为互
相视之形
甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙
乙丙边与戊己己庚边相与为比例
等而彼此互为前后如甲乙与戊己
若己庚与乙丙也则此两形为互相
视之形依显壬癸子丑寅卯两角形
两形之各两边线互为前后率相与为比例而等为互
相视之形
甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙
乙丙边与戊己己庚边相与为比例
等而彼此互为前后如甲乙与戊己
若己庚与乙丙也则此两形为互相
视之形依显壬癸子丑寅卯两角形
几何原本 卷六之首 第 2b 页 WYG0798-0698d.png
之壬子与丑寅若丑卯与壬癸或壬癸与丑寅若丑
卯与壬子亦互相视之形也
第三界
理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大
分与小分之比例
甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比
例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线
其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同
卯与壬子亦互相视之形也
第三界
理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大
分与小分之比例
甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比
例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线
其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同
几何原本 卷六之首 第 3a 页 WYG0798-0699a.png
名异此线为用甚广至量体尤所必须十三卷诸题
多赖之古人目为神分线也
第四界
度各形之高皆以垂线之亘为度
甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂
线即甲庚为甲乙丙之高又丁戊己角形
作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之高若两
形相视两垂线等即两形之高必等如上两形在两
多赖之古人目为神分线也
第四界
度各形之高皆以垂线之亘为度
甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂
线即甲庚为甲乙丙之高又丁戊己角形
作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之高若两
形相视两垂线等即两形之高必等如上两形在两
几何原本 卷六之首 第 3b 页 WYG0798-0699b.png
平行线之内者是也若以丙己为顶以甲乙丁戊为
底则不等自馀诸形之度高俱仿此
凡度物高以顶底为界以垂线为度盖物之定度止
有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也
第五界
比例以比例相结者以多比例之命数相乘除而结为
一比例之命数
此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之
底则不等自馀诸形之度高俱仿此
凡度物高以顶底为界以垂线为度盖物之定度止
有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也
第五界
比例以比例相结者以多比例之命数相乘除而结为
一比例之命数
此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之
几何原本 卷六之首 第 4a 页 WYG0798-0699c.png
法合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为
比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几
何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几
何为大四分之一即各以四为命比例之数也(五卷/界说)
(三/)今言以彼多比例之命数相
乘除而结为此一比例之命数
者如十二倍之此比例则以彼
二倍六倍两比例相结也二六
比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几
何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几
何为大四分之一即各以四为命比例之数也(五卷/界说)
(三/)今言以彼多比例之命数相
乘除而结为此一比例之命数
者如十二倍之此比例则以彼
二倍六倍两比例相结也二六
几何原本 卷六之首 第 4b 页 WYG0798-0699d.png
相乘为十二故也或以彼三倍
四倍两比例相结也三四相乘
亦十二故也又如三十倍之此
比例则以彼二倍三倍五倍三
比例相结也二乘三为六六乘
五为三十故也
其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例
之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率
四倍两比例相结也三四相乘
亦十二故也又如三十倍之此
比例则以彼二倍三倍五倍三
比例相结也二乘三为六六乘
五为三十故也
其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例
之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率
几何原本 卷六之首 第 5a 页 WYG0798-0700a.png
为辏合之因如两爿合此为之胶如两襟合此为之
纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第
一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命
数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼
所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加
之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例
之命数累加之故用此乘除相结之理于不同理之
中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉
纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第
一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命
数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼
所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加
之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例
之命数累加之故用此乘除相结之理于不同理之
中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉
几何原本 卷六之首 第 5b 页 WYG0798-0700b.png
下文仍发明借象之术以需后用也
五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四
为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦
以三率为始三率则两比例
相乘除而中率为纽也若四
率则先以前三率之两比例
相乘除而结为一比例复以
此初结之比例与第三比例
五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四
为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦
以三率为始三率则两比例
相乘除而中率为纽也若四
率则先以前三率之两比例
相乘除而结为一比例复以
此初结之比例与第三比例
几何原本 卷六之首 第 6a 页 WYG0798-0700c.png
乘除相结为一比例也若五率则先以前三率之两
比例乘除相结复以此再结之比例与第三比例乘
除相结又以三结之比例与第四比例乘除相结为
一比例也或以第一第二第三率之两比例乘除相
结以第三第四第五之两比例乘除相结又以此二
所结比例乘除相结而为一比例也自六以上仿此
以至无穷
设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第
比例乘除相结复以此再结之比例与第三比例乘
除相结又以三结之比例与第四比例乘除相结为
一比例也或以第一第二第三率之两比例乘除相
结以第三第四第五之两比例乘除相结又以此二
所结比例乘除相结而为一比例也自六以上仿此
以至无穷
设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第
几何原本 卷六之首 第 6b 页 WYG0798-0700d.png
一与二第二与三两比例相结也如上图三几何二
比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁
与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六
倍大二乘三为六也若以小不等戊己
为第一甲乙为第三三乘二亦六则戊己与甲乙为
反六倍大也
甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚
庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚
比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁
与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六
倍大二乘三为六也若以小不等戊己
为第一甲乙为第三三乘二亦六则戊己与甲乙为
反六倍大也
甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚
庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚
几何原本 卷六之首 第 7a 页 WYG0798-0701a.png
庚乙各与丙丁等即甲庚亦三倍大于戊己庚乙亦
三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己
又如上图三几何二比例前以大不等
后以小不等者中率小子前后两率也
其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大
(反二倍大者丙/丁得戊己之半)即甲乙与戊己为等带半三乘半得
等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半
除三为反等带半也
三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己
又如上图三几何二比例前以大不等
后以小不等者中率小子前后两率也
其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大
(反二倍大者丙/丁得戊己之半)即甲乙与戊己为等带半三乘半得
等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半
除三为反等带半也
几何原本 卷六之首 第 7b 页 WYG0798-0701b.png
又如上图三几何二比例前以小不等
后以大不等者中率大于前后二率也
其甲乙与丙丁为反二倍大(甲乙得丙/丁之半)丙丁与戊己
为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半(甲乙/得戊)
(己三分/之二)何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己
当三是甲乙二戊己当三也
后增其乘除之法则以命数三带得数一为四以半
除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一
后以大不等者中率大于前后二率也
其甲乙与丙丁为反二倍大(甲乙得丙/丁之半)丙丁与戊己
为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半(甲乙/得戊)
(己三分/之二)何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己
当三是甲乙二戊己当三也
后增其乘除之法则以命数三带得数一为四以半
除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一
几何原本 卷六之首 第 8a 页 WYG0798-0701c.png
甲乙为第三三比二为等带半也
设四几何为三比例不同理而合为一
比例则以第一与二第二与三第三与
四三比例相结也如上图甲乙丙丁四
几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相
结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得
甲与丁之比例也如是递结可至无穷也
或用此图申明本题之旨曰甲与乙之命数为丁乙
设四几何为三比例不同理而合为一
比例则以第一与二第二与三第三与
四三比例相结也如上图甲乙丙丁四
几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相
结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得
甲与丁之比例也如是递结可至无穷也
或用此图申明本题之旨曰甲与乙之命数为丁乙
几何原本 卷六之首 第 8b 页 WYG0798-0701d.png
与丙之命数为戊即甲与丙之命数
为己何者三命数以一丁二戊相乘
得三己即三比例以一甲与乙二乙
与丙相乘得三甲与丙
后增若多几何各带分而多寡不等者当用通分法
如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大
带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数
从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八
为己何者三命数以一丁二戊相乘
得三己即三比例以一甲与乙二乙
与丙相乘得三甲与丙
后增若多几何各带分而多寡不等者当用通分法
如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大
带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数
从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八
几何原本 卷六之首 第 9a 页 WYG0798-0702a.png
通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为
十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二
倍大带三之二也
曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中
率为前比例之后后比例之前乘除相结略如连比
例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率
者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所
设几何之外别立三几何二比例而同中率者乘除
十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二
倍大带三之二也
曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中
率为前比例之后后比例之前乘除相结略如连比
例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率
者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所
设几何之外别立三几何二比例而同中率者乘除
几何原本 卷六之首 第 9b 页 WYG0798-0702b.png
相结作为仪式以彼异中率之四几何二比例依仿
求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为
首十二为尾却云十六
与十二之比例若八与
三及二与四之比例八
为前比例之前四为后
比例之后三与二为前
之后后之前此所谓异
求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为
首十二为尾却云十六
与十二之比例若八与
三及二与四之比例八
为前比例之前四为后
比例之后三与二为前
之后后之前此所谓异
几何原本 卷六之首 第 10a 页 WYG0798-0702c.png
中率也欲以此二比例乘除相结无法可通矣用是
别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而
务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三
其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又
求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之
后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四
也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之
比例矣是用借象之术变异中率为同中率乘除相
别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而
务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三
其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又
求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之
后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四
也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之
比例矣是用借象之术变异中率为同中率乘除相
几何原本 卷六之首 第 10b 页 WYG0798-0702d.png
结而合二比例为一比例也其三比例以上亦如上
方所说展转借象递结之 详见本卷二十三题算
家所用借象金法双金法俱本此
第六界
平行方形不满一线为形小于线若形有馀线不足为
形大于线
甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而
丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线
方所说展转借象递结之 详见本卷二十三题算
家所用借象金法双金法俱本此
第六界
平行方形不满一线为形小于线若形有馀线不足为
形大于线
甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而
丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线
几何原本 卷六之首 第 11a 页 WYG0798-0703a.png
遇己乙于己是为甲戊己乙满甲乙线平
行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行
方形而丙己平行方形为甲丁之阙形又
甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙边大于元
设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之
甲丁形则甲己为依甲丙线之带馀平行方形而丙
己平行方形为甲己之馀形
行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行
方形而丙己平行方形为甲丁之阙形又
甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙边大于元
设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之
甲丁形则甲己为依甲丙线之带馀平行方形而丙
己平行方形为甲己之馀形
几何原本 卷六之首 第 11b 页 WYG0798-0703b.png
几何原本卷六之首
几何原本 卷六之首 第 12a 页 WYG0798-0703c.png
钦定四库全书
几何原本卷六
西洋利玛窦撰
第一题
等高之三角形方形自相与为比例与其底之比例等
解曰甲乙丙丁戊己两角形等高其底乙
丙戊己丙庚戊辛两方形等高其底乙丙
戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚
几何原本卷六
西洋利玛窦撰
第一题
等高之三角形方形自相与为比例与其底之比例等
解曰甲乙丙丁戊己两角形等高其底乙
丙戊己丙庚戊辛两方形等高其底乙丙
戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚
几何原本 卷六之首 第 12b 页 WYG0798-0703d.png
与戊辛之比例皆若乙丙与戊己
论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内
(凡形自顶至底作垂线即本形之高故/等高者必在平行线内见本卷界说四)于
乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬
壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊
己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲
癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬
甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即
论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内
(凡形自顶至底作垂线即本形之高故/等高者必在平行线内见本卷界说四)于
乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬
壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊
己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲
癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬
甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即
几何原本 卷六之首 第 13a 页 WYG0798-0704a.png
等(一卷/三八)依显丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等
则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于
甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅
之倍丁戊己(底线分数与形/之分数等故)即用三试法若子丙
底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若
等亦等若小亦小也(一卷/三八)则一乙丙所倍之子丙三
甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁
戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底
则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于
甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅
之倍丁戊己(底线分数与形/之分数等故)即用三试法若子丙
底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若
等亦等若小亦小也(一卷/三八)则一乙丙所倍之子丙三
甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁
戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底
几何原本 卷六之首 第 13b 页 WYG0798-0704b.png
与二戊己底之比例若三甲乙丙与四丁戊己矣(五/卷)
(六/界)又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两
角形(一卷/卅三)而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与
戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊
己两底矣(五卷/十五)或从壬癸子及丑寅各作直线与庚
乙辛己平行即依上论推显
增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例
若两形之高之比例
(六/界)又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两
角形(一卷/卅三)而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与
戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊
己两底矣(五卷/十五)或从壬癸子及丑寅各作直线与庚
乙辛己平行即依上论推显
增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例
若两形之高之比例
几何原本 卷六之首 第 14a 页 WYG0798-0704c.png
解曰甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙
丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊
己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之
比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之
比例皆若甲壬与丁癸两高
论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸
底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与
甲乙丙两角形等底又等高即等依显丁癸丑与
丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊
己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之
比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之
比例皆若甲壬与丁癸两高
论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸
底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与
甲乙丙两角形等底又等高即等依显丁癸丑与
几何原本 卷六之首 第 14b 页 WYG0798-0704d.png
甲乙丙两角形等底又等高即等依显丁癸丑与
丁戊己两角形亦等(一卷/三八)即甲乙丙与丁戊己之
比例若甲壬子与丁癸丑也(五卷/七)今以甲壬丁癸
为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬
与丁癸两底也(本篇/一)而甲乙丙与丁戊乙之比例
亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形
之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两
方形之比例(五卷/十五)即两方形之比例亦若甲壬与
丁戊己两角形亦等(一卷/三八)即甲乙丙与丁戊己之
比例若甲壬子与丁癸丑也(五卷/七)今以甲壬丁癸
为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬
与丁癸两底也(本篇/一)而甲乙丙与丁戊乙之比例
亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形
之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两
方形之比例(五卷/十五)即两方形之比例亦若甲壬与
几何原本 卷六之首 第 15a 页 WYG0798-0705a.png
丁癸两底也(五卷/十一)若作庚子辛丑两线亦依前论
推显
第二题(二/支)
三角形任依一边作平行线即此线分两馀边以为比
例必等三角形内有一线分两边以为比例而等即
此线与馀边为平行
先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙
丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
推显
第二题(二/支)
三角形任依一边作平行线即此线分两馀边以为比
例必等三角形内有一线分两边以为比例而等即
此线与馀边为平行
先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙
丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
几何原本 卷六之首 第 15b 页 WYG0798-0705b.png
以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也
论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同
以丁戊为底同在两平行线内即等(一卷/三七)而甲戊丁
与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣(五/卷)
(七/)夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内(若/干)
(戊点上作一线与甲乙/平行即两形在其内)则甲戊丁与丁戊乙两角形
之比例若甲丁与丁乙两底也(本篇/一)依显甲戊与戊
丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也(两/形)
论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同
以丁戊为底同在两平行线内即等(一卷/三七)而甲戊丁
与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣(五/卷)
(七/)夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内(若/干)
(戊点上作一线与甲乙/平行即两形在其内)则甲戊丁与丁戊乙两角形
之比例若甲丁与丁乙两底也(本篇/一)依显甲戊与戊
丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也(两/形)
几何原本 卷六之首 第 16a 页 WYG0798-0705c.png
(亦在两平/行线内故)是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙
两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙
也(丁戊乙与/丁戊丙等)则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也(五/卷)
(十/一)
后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁
于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线
论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比
例若甲戊丁与丁戊乙两角形也(在两平行线内/故见本篇一)而
两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙
也(丁戊乙与/丁戊丙等)则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也(五/卷)
(十/一)
后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁
于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线
论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比
例若甲戊丁与丁戊乙两角形也(在两平行线内/故见本篇一)而
几何原本 卷六之首 第 16b 页 WYG0798-0705d.png
甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁
戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也(五卷/十一)又甲戊与戊
丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙(在两平行线/内故见本篇)
(一/)则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊
丁与丁戊丙也(五卷/十一)而丁戊乙与丁戊丙
两角形等矣(五卷/九)两角形同以丁戊为底
而等则在两平行线内(一卷/卅九)
第三题(二支/)
戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也(五卷/十一)又甲戊与戊
丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙(在两平行线/内故见本篇)
(一/)则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊
丁与丁戊丙也(五卷/十一)而丁戊乙与丁戊丙
两角形等矣(五卷/九)两角形同以丁戊为底
而等则在两平行线内(一卷/卅九)
第三题(二支/)
几何原本 卷六之首 第 17a 页 WYG0798-0706a.png
三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两
分则两分之比例若馀两边之比例三角形分角之
线所分对角边之比例若馀两边则所分角为两平
分
先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平
分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲
丙
论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之
分则两分之比例若馀两边之比例三角形分角之
线所分对角边之比例若馀两边则所分角为两平
分
先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平
分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲
丙
论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之
几何原本 卷六之首 第 17b 页 WYG0798-0706b.png
至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角
等外角丁甲丙与内角戊亦等(一卷/廿九)今乙甲丁与丁
甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲
乙两腰亦等矣(一卷/六)则戊甲与甲丙之比例若乙甲
与甲丙也(五卷/七)夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁
丙也(本篇/二)则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙
也(五卷/十一)后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙
题言甲丁线分乙甲丙角为两平分
等外角丁甲丙与内角戊亦等(一卷/廿九)今乙甲丁与丁
甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲
乙两腰亦等矣(一卷/六)则戊甲与甲丙之比例若乙甲
与甲丙也(五卷/七)夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁
丙也(本篇/二)则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙
也(五卷/十一)后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙
题言甲丁线分乙甲丙角为两平分
几何原本 卷六之首 第 18a 页 WYG0798-0706c.png
论曰依前作乙戊线与甲丁平行而引丙
甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙
丁与丁丙甲丁线又与戊乙边平行而乙丁与丁丙
之比例若戊甲与甲丙(本篇/二)即乙甲与甲丙之比例
亦若戊甲与甲丙(五卷/十一)是戊甲与乙甲两线等矣(五/卷)
(九/)则甲乙戊角与戊角亦等也(一卷/五)夫甲乙戊与乙
甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与
内角戊亦等(一卷/廿九)则乙甲丁丁甲丙两角必等
甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙
丁与丁丙甲丁线又与戊乙边平行而乙丁与丁丙
之比例若戊甲与甲丙(本篇/二)即乙甲与甲丙之比例
亦若戊甲与甲丙(五卷/十一)是戊甲与乙甲两线等矣(五/卷)
(九/)则甲乙戊角与戊角亦等也(一卷/五)夫甲乙戊与乙
甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与
内角戊亦等(一卷/廿九)则乙甲丁丁甲丙两角必等
几何原本 卷六之首 第 18b 页 WYG0798-0706d.png
第四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例
必等而对等角之边为相似之边
解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙
丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与
丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙
与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲
丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每
凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例
必等而对等角之边为相似之边
解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙
丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与
丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙
与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲
丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每
几何原本 卷六之首 第 19a 页 WYG0798-0707a.png
对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本
形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两
底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙
甲丙乙两角既小于两直角(一卷/廿七)丁戊丙与甲丙乙
两角又等即乙戊两角亦小于两直角而
乙甲戊丁两线引出之必相遇(一卷界/说十一)即
作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙
丙内角既等即丁丙与己乙为平行线(一/卷)
形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两
底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙
甲丙乙两角既小于两直角(一卷/廿七)丁戊丙与甲丙乙
两角又等即乙戊两角亦小于两直角而
乙甲戊丁两线引出之必相遇(一卷界/说十一)即
作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙
丙内角既等即丁丙与己乙为平行线(一/卷)
几何原本 卷六之首 第 19b 页 WYG0798-0707b.png
(廿/八)依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与
己戊亦平行线(一卷/廿八)而甲己丁丙为平行线方行则
甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也(一卷/卅四)
夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊边平行即甲
乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也(本篇/二)
更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也(五卷/十六)又乙戊
己角形内之丁丙线既与己乙边平行即乙丙与丙
戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也(本篇/二)更之即
己戊亦平行线(一卷/廿八)而甲己丁丙为平行线方行则
甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也(一卷/卅四)
夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊边平行即甲
乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也(本篇/二)
更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也(五卷/十六)又乙戊
己角形内之丁丙线既与己乙边平行即乙丙与丙
戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也(本篇/二)更之即
几何原本 卷六之首 第 20a 页 WYG0798-0707c.png
乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也(五卷/十六)甲乙与乙丙既
若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平
之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也(五卷/廿二)
一系凡角形内之直线与一边平行而截一分为角
形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁
戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊
角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲
乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等(一卷/廿九)
若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平
之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也(五卷/廿二)
一系凡角形内之直线与一边平行而截一分为角
形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁
戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊
角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲
乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等(一卷/廿九)
几何原本 卷六之首 第 20b 页 WYG0798-0707d.png
甲角又同即两形相似而各等角旁两边之比例等
(本/题)
增题凡角形之内任依一边作一平行线于此边
任取一点向对角作直线则所分两平行线比例
等
解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙
丙平行次于乙丙边任取己点向甲
角作直线分丁戊于庚题言乙己与
(本/题)
增题凡角形之内任依一边作一平行线于此边
任取一点向对角作直线则所分两平行线比例
等
解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙
丙平行次于乙丙边任取己点向甲
角作直线分丁戊于庚题言乙己与
几何原本 卷六之首 第 21a 页 WYG0798-0708a.png
己丙之比例若丁庚与庚戊
论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似(本/系)即甲己与
己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲
庚若己乙与庚丁也(五卷/十六)依显甲己与甲庚若己
丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也
(五卷/十一)更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷/十六)
又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两
角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与
论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似(本/系)即甲己与
己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲
庚若己乙与庚丁也(五卷/十六)依显甲己与甲庚若己
丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也
(五卷/十一)更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷/十六)
又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两
角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与
几何原本 卷六之首 第 21b 页 WYG0798-0708b.png
庚甲也(本/系)依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也
平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷/廿二)
第五题
两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对
各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙
与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲
丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对
平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷/廿二)
第五题
两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对
各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙
与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲
丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对
几何原本 卷六之首 第 22a 页 WYG0798-0708c.png
各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等
论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与
丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲
角等(一卷/三二)是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲
乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也(本篇/四)甲乙与乙丙元
若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷/十一)
而丁戊与庚戊两线必等(五卷/九)又乙丙与甲丙之比例若
戊己与庚己(本篇/四)而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊
论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与
丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲
角等(一卷/三二)是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲
乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也(本篇/四)甲乙与乙丙元
若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷/十一)
而丁戊与庚戊两线必等(五卷/九)又乙丙与甲丙之比例若
戊己与庚己(本篇/四)而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊
几何原本 卷六之首 第 22b 页 WYG0798-0708d.png
己与庚己亦若戊己与丁己也(五卷/十一)而丁己与庚己两线
必等(五卷/九)夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己
同底即丁角与庚角亦等(一卷/八)其馀庚戊己与丁戊己庚己
戊与丁己戊各相当之角俱等(一卷/四)而庚角与甲角既等即
丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等
第六题
两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形
为等角形而对各相似边之角各等
必等(五卷/九)夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己
同底即丁角与庚角亦等(一卷/八)其馀庚戊己与丁戊己庚己
戊与丁己戊各相当之角俱等(一卷/四)而庚角与甲角既等即
丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等
第六题
两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形
为等角形而对各相似边之角各等
几何原本 卷六之首 第 23a 页 WYG0798-0709a.png
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙
丙之比例若丁戊与戊己题言馀角丙与己甲与丁俱等
论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与
丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显
甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比
例若庚戊与戊己也(本篇/四)甲乙与乙丙元若丁
戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷/十一)而
丁戊与庚戊两线必等(五卷/九)夫丁戊庚戊两边既等戊
丙之比例若丁戊与戊己题言馀角丙与己甲与丁俱等
论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与
丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显
甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比
例若庚戊与戊己也(本篇/四)甲乙与乙丙元若丁
戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷/十一)而
丁戊与庚戊两线必等(五卷/九)夫丁戊庚戊两边既等戊
几何原本 卷六之首 第 23b 页 WYG0798-0709b.png
己同边庚戊己角与丁戊己角又等(丁戊己角与乙角/等而己戊庚亦与)
(乙等/故)即其馀各相当之角俱等(一卷/四)而庚角既与甲
角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊
己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣
第七题
两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比
例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直
角即两形为等角形而对各相似边之角各等
(乙等/故)即其馀各相当之角俱等(一卷/四)而庚角既与甲
角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊
己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣
第七题
两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比
例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直
角即两形为等角形而对各相似边之角各等
几何原本 卷六之首 第 24a 页 WYG0798-0709c.png
解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等
而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙
乙两边偕丁己戊两旁之丁己己戊两边
比例等其第三相当角如乙与戊或俱小
于直角或俱不小于直角题言两形等角
者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等
先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然
而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙
而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙
乙两边偕丁己戊两旁之丁己己戊两边
比例等其第三相当角如乙与戊或俱小
于直角或俱不小于直角题言两形等角
者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等
先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然
而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙
几何原本 卷六之首 第 24b 页 WYG0798-0709d.png
角宜与戊等(一卷/卅二)甲庚丙与丁戊己为等角形矣即
甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊(本篇/四)而先设
甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若
甲丙与丙乙也(五卷/十一)是庚丙与乙丙两线等也(五卷/九)
丙庚乙与丙乙庚两角亦等也(一卷/五)夫乙既小于直
角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚
甲必大于直角也(丙庚甲丙庚乙两角等/于两直角见一卷十三)而丙庚甲
既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角
甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊(本篇/四)而先设
甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若
甲丙与丙乙也(五卷/十一)是庚丙与乙丙两线等也(五卷/九)
丙庚乙与丙乙庚两角亦等也(一卷/五)夫乙既小于直
角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚
甲必大于直角也(丙庚甲丙庚乙两角等/于两直角见一卷十三)而丙庚甲
既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角
几何原本 卷六之首 第 25a 页 WYG0798-0710a.png
何由得小于直角也
后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论
乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙
庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角
(一卷/十七)何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其馀
乙与戊角等矣(一卷/卅二)
第八题
直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直
后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论
乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙
庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角
(一卷/十七)何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其馀
乙与戊角等矣(一卷/卅二)
第八题
直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直
几何原本 卷六之首 第 25b 页 WYG0798-0710b.png
角三边形即两形皆与全形相似亦自相似
解曰甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作
甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三边
形皆与全形相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为
直角而丙角又同即其馀甲乙丙丁甲丙两角必等
(一卷/三)则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁
之各两边比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与
解曰甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作
甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三边
形皆与全形相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为
直角而丙角又同即其馀甲乙丙丁甲丙两角必等
(一卷/三)则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁
之各两边比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与
几何原本 卷六之首 第 26a 页 WYG0798-0710c.png
丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙
若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相
似矣(本篇/四)依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似
也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其
馀甲丙乙丁甲乙两角必等(一卷/卅二)甲乙丙甲丁乙两
形必为等角形而等角旁之各两边比例必等故也
依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各
与全形相似即两形自相似(五卷/十一)
若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相
似矣(本篇/四)依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似
也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其
馀甲丙乙丁甲乙两角必等(一卷/卅二)甲乙丙甲丁乙两
形必为等角形而等角旁之各两边比例必等故也
依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各
与全形相似即两形自相似(五卷/十一)
几何原本 卷六之首 第 26b 页 WYG0798-0710d.png
系从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中
率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例
之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也
故丁甲为丙丁丁乙两分边比例之中率也又乙丙与
丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁
之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故
乙甲为乙丙乙丁之中率也
第九题
率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例
之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也
故丁甲为丙丁丁乙两分边比例之中率也又乙丙与
丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁
之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故
乙甲为乙丙乙丁之中率也
第九题
几何原本 卷六之首 第 27a 页 WYG0798-0711a.png
一直线求截所取之分
法曰甲乙直线求截取三分之一先从甲任
作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作
所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也
次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即
甲庚为甲乙三分之一
论曰甲乙己角形内之丁庚线既与乙己边平行即
己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也(本篇/二)合之己
法曰甲乙直线求截取三分之一先从甲任
作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作
所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也
次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即
甲庚为甲乙三分之一
论曰甲乙己角形内之丁庚线既与乙己边平行即
己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也(本篇/二)合之己
几何原本 卷六之首 第 27b 页 WYG0798-0711b.png
甲与甲丁若乙甲与庚甲也(五卷/十八)而甲丁既为己甲
三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也
注曰甲乙线欲截取十一分之四先作甲
丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一
分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊
作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分
甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比
例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲
三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也
注曰甲乙线欲截取十一分之四先作甲
丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一
分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊
作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分
甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比
例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲
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乙也(五卷/四)甲戊为甲丁十一分之四则甲己亦甲乙
十一分之四矣依此可推不尽分之数盖四不为十
一之尽分故
第十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分
之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲
丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相联
十一分之四矣依此可推不尽分之数盖四不为十
一之尽分故
第十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分
之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲
丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相联
几何原本 卷六之首 第 28b 页 WYG0798-0711d.png
于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相联末从丁从戊
作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己
于庚若甲丙之分于丁于戊
论曰甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚(本篇/二)即
甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲
乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬
辛也亦若等丁壬之己庚(一卷/卅四)与等壬辛之庚乙也
(本篇/二)则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也
作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己
于庚若甲丙之分于丁于戊
论曰甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚(本篇/二)即
甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲
乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬
辛也亦若等丁壬之己庚(一卷/卅四)与等壬辛之庚乙也
(本篇/二)则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也
几何原本 卷六之首 第 29a 页 WYG0798-0712a.png
从此题作一用法平分一直线为若干分如甲乙线求
五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角
次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊
己己庚庚辛次作辛乙直线相联末作丁
壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即
壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显
又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线
为丙乙甲角次于乙丙任取一点为丁作丁戊线与
五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角
次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊
己己庚庚辛次作辛乙直线相联末作丁
壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即
壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显
又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线
为丙乙甲角次于乙丙任取一点为丁作丁戊线与
几何原本 卷六之首 第 29b 页 WYG0798-0712b.png
甲乙平行次从丁向戊任作五平分
为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸
线令小于甲乙次从甲过癸作甲子
线遇乙丙于子末从子作子壬子辛
子庚子己四线各引长之而分甲乙
于丑于寅于卯于辰为五平分
论曰丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两
角子癸壬与子甲丑两角各等(一卷/廿九)而甲子丑同
为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸
线令小于甲乙次从甲过癸作甲子
线遇乙丙于子末从子作子壬子辛
子庚子己四线各引长之而分甲乙
于丑于寅于卯于辰为五平分
论曰丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两
角子癸壬与子甲丑两角各等(一卷/廿九)而甲子丑同
几何原本 卷六之首 第 30a 页 WYG0798-0712c.png
角即甲子丑癸子壬两角形相似矣则子癸与癸
壬之比例若子甲与甲丑也(本篇/四)依显子壬与壬
辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与
壬癸若子壬与壬辛也(五卷/七)则子丑与丑甲亦若
子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣(五卷/十一)依显
寅卯卯辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分
又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲
丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分
壬之比例若子甲与甲丑也(本篇/四)依显子壬与壬
辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与
壬癸若子壬与壬辛也(五卷/七)则子丑与丑甲亦若
子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣(五卷/十一)依显
寅卯卯辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分
又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲
丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分
几何原本 卷六之首 第 30b 页 WYG0798-0712d.png
次用元度从甲作壬癸子丑四平分
末作戊丑己子庚癸辛壬四线相联
即分甲乙于己于辰于卯于寅为五
平分
论曰辛庚与壬癸既平行相等即辛
壬与庚癸亦平行(一卷/卅三)依显己子戊
丑俱平行而甲丑既为四平分则甲
己亦四平分(本/题)依显乙辛既为四平
末作戊丑己子庚癸辛壬四线相联
即分甲乙于己于辰于卯于寅为五
平分
论曰辛庚与壬癸既平行相等即辛
壬与庚癸亦平行(一卷/卅三)依显己子戊
丑俱平行而甲丑既为四平分则甲
己亦四平分(本/题)依显乙辛既为四平
几何原本 卷六之首 第 31a 页 WYG0798-0713a.png
分则乙寅亦四平分而通甲乙为五平分
又用法先作一器丙丁戊己为
平行线任平分为若干格每分
作平行线相联今欲分甲乙为
五平分即规取甲乙之度以一
角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即
渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分
论曰庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平
又用法先作一器丙丁戊己为
平行线任平分为若干格每分
作平行线相联今欲分甲乙为
五平分即规取甲乙之度以一
角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即
渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分
论曰庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平
几何原本 卷六之首 第 31b 页 WYG0798-0713b.png
行相等(一卷/卅三)而丙丁戊己内诸线俱平行相等戊
庚为五平分即戊壬亦五平分矣(本/题)戊壬之度既
与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也
如戊丙线上取丑点而甲乙度抵庚辛之外若丑
寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引
长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线
极小则制器宜密令相称焉
增题有直线求两分之而两分之比例若所设两线
庚为五平分即戊壬亦五平分矣(本/题)戊壬之度既
与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也
如戊丙线上取丑点而甲乙度抵庚辛之外若丑
寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引
长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线
极小则制器宜密令相称焉
增题有直线求两分之而两分之比例若所设两线
几何原本 卷六之首 第 32a 页 WYG0798-0713c.png
之比例
法曰甲乙线求两分之而两分之比例
若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而
为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁
等次作庚乙线联之末作己辛线与庚乙平行即
分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说
见本篇二
又增题两直线各三分之各互为两前后率比例
法曰甲乙线求两分之而两分之比例
若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而
为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁
等次作庚乙线联之末作己辛线与庚乙平行即
分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说
见本篇二
又增题两直线各三分之各互为两前后率比例
几何原本 卷六之首 第 32b 页 WYG0798-0713d.png
等即两中率与两前两后率各为比例亦等
解曰甲乙丙丁两线各三分之于戊
于己于庚于辛各互为两前两后率
比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚
丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己
庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己
若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也
论曰甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合
解曰甲乙丙丁两线各三分之于戊
于己于庚于辛各互为两前两后率
比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚
丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己
庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己
若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也
论曰甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合
几何原本 卷六之首 第 33a 页 WYG0798-0714a.png
之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也而甲己与己乙
既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与
辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫
己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又
若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙
亦若辛丁与庚丁也(五卷/廿二)又转之戊
乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之
己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊
既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与
辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫
己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又
若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙
亦若辛丁与庚丁也(五卷/廿二)又转之戊
乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之
己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊
几何原本 卷六之首 第 33b 页 WYG0798-0714b.png
与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚
丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也
此前解也
又简论曰如后图联甲于丙作乙甲丁角次作丁
乙辛己庚戊三线相联其甲戊与戊乙之比例既
若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行(本篇/二)甲己与
己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行(本篇/二)
而庚戊与辛己亦平行(一卷/三十)是甲戊与戊己若丙
丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也
此前解也
又简论曰如后图联甲于丙作乙甲丁角次作丁
乙辛己庚戊三线相联其甲戊与戊乙之比例既
若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行(本篇/二)甲己与
己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行(本篇/二)
而庚戊与辛己亦平行(一卷/三十)是甲戊与戊己若丙
几何原本 卷六之首 第 34a 页 WYG0798-0714c.png
庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也(本/篇)
(二/)
第十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比
例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比
例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙
丁与甲丙等次作丙乙线相联次从丁作丁戊线与
(二/)
第十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比
例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比
例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙
丁与甲丙等次作丙乙线相联次从丁作丁戊线与
几何原本 卷六之首 第 34b 页 WYG0798-0714d.png
丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求
线(如以甲丙为/前率仿此)
论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁边
平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊
也(本篇/二)而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与
丙戊也(五卷/七)
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲
乙丙直角次以甲丙线联之而甲乙引长
线(如以甲丙为/前率仿此)
论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁边
平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊
也(本篇/二)而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与
丙戊也(五卷/七)
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲
乙丙直角次以甲丙线联之而甲乙引长
几何原本 卷六之首 第 35a 页 WYG0798-0715a.png
之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁
即乙丁为所求线
论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角
至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例
之中率(本篇八/之系)则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也
既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱
仿此
第十二题
即乙丁为所求线
论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角
至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例
之中率(本篇八/之系)则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也
既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱
仿此
第十二题
几何原本 卷六之首 第 35b 页 WYG0798-0715b.png
三直线求别作一线相与为断比例
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相
与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲
乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙
次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相联次
从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊
于戊即丁戊为所求线
论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相
与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲
乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙
次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相联次
从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊
于戊即丁戊为所求线
论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即
几何原本 卷六之首 第 36a 页 WYG0798-0715c.png
甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙(本篇/二)
第十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率
者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也
先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从
乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率
第十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率
者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也
先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从
乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率
几何原本 卷六之首 第 36b 页 WYG0798-0715d.png
论曰试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角(三/卷)
(卅/一)而直角所下乙丁垂线两分对边线甲丙其甲乙
与乙丁若乙丁与乙丙也(本篇八/之系)则乙丁为甲乙乙
丙之中率
注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为
分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁
为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之
中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从
(卅/一)而直角所下乙丁垂线两分对边线甲丙其甲乙
与乙丁若乙丁与乙丙也(本篇八/之系)则乙丁为甲乙乙
丙之中率
注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为
分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁
为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之
中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从
几何原本 卷六之首 第 37a 页 WYG0798-0716a.png
垂线作角皆为直角(三卷/卅一)故依前论推显各为中率
也
增题一直线有他直线大于元线二倍以上求分
他线为两分而以元线为中率
法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分
甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙联
为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以
丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊
也
增题一直线有他直线大于元线二倍以上求分
他线为两分而以元线为中率
法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分
甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙联
为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以
丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊
几何原本 卷六之首 第 37b 页 WYG0798-0716b.png
线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己
垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之
中率
论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲
己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲
与戊己等(一卷/卅四)则丙甲亦甲己己乙之中率也
第十四题(二/支)
两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视
垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之
中率
论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲
己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲
与戊己等(一卷/卅四)则丙甲亦甲己己乙之中率也
第十四题(二/支)
两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视
几何原本 卷六之首 第 38a 页 WYG0798-0716c.png
之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相
视之边即两形等
先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方
形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此
两角各两旁之两边为互相视之边者
甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也
论曰试以两等角相联于乙令甲乙乙庚为一直线
其甲乙丙与戊乙庚既等角即戊乙乙丙亦一直线
视之边即两形等
先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方
形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此
两角各两旁之两边为互相视之边者
甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也
论曰试以两等角相联于乙令甲乙乙庚为一直线
其甲乙丙与戊乙庚既等角即戊乙乙丙亦一直线
几何原本 卷六之首 第 38b 页 WYG0798-0716d.png
(一卷十/五增题)次从辛丙己庚各引长之遇于
丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛
乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁
也(五卷/七)而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等高即
辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也(本/篇)
(一/)依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也
则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
后解曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两边为互相
丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛
乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁
也(五卷/七)而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等高即
辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也(本/篇)
(一/)依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也
则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
后解曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两边为互相
几何原本 卷六之首 第 39a 页 WYG0798-0717a.png
视之边者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙
乙己两平行方形等
论曰依上论以两等角相联其甲乙与乙庚之比例
既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平
行等高之辛乙与乙丁两形(本篇/一)戊乙与乙丙两底
之比例若平行等高之乙己与乙丁两形则辛乙与
乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等
(五卷/九)
乙己两平行方形等
论曰依上论以两等角相联其甲乙与乙庚之比例
既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平
行等高之辛乙与乙丁两形(本篇/一)戊乙与乙丙两底
之比例若平行等高之乙己与乙丁两形则辛乙与
乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等
(五卷/九)
几何原本 卷六之首 第 39b 页 WYG0798-0717b.png
第十五题(二/支)
相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视
两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即
两三角形等
先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又
等题言等角旁之各两边互相视者谓甲乙
与乙戊之比例若丁乙与乙丙也
论曰试以两等角相联于乙令甲乙乙戊为
相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视
两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即
两三角形等
先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又
等题言等角旁之各两边互相视者谓甲乙
与乙戊之比例若丁乙与乙丙也
论曰试以两等角相联于乙令甲乙乙戊为
几何原本 卷六之首 第 40a 页 WYG0798-0717c.png
一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一
直线(一卷十/五增题)次作丙戊线相联其甲乙丙乙丁戊两
角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与
乙丙戊也(五卷/七)夫甲乙丙与乙丙戊两等高形之比
例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等
高形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁
乙与乙丙
后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比
直线(一卷十/五增题)次作丙戊线相联其甲乙丙乙丁戊两
角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与
乙丙戊也(五卷/七)夫甲乙丙与乙丙戊两等高形之比
例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等
高形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁
乙与乙丙
后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比
几何原本 卷六之首 第 40b 页 WYG0798-0717d.png
例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等
论曰依前列两形令等角旁两边各为一直线其甲
乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊
两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等高角形丁乙与
乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等高角形则
甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而
甲乙丙与乙丁戊岂不相等(五卷/九)
第十六题(二/支)
论曰依前列两形令等角旁两边各为一直线其甲
乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊
两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等高角形丁乙与
乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等高角形则
甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而
甲乙丙与乙丁戊岂不相等(五卷/九)
第十六题(二/支)
几何原本 卷六之首 第 41a 页 WYG0798-0718a.png
四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线
矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形
等即四线为断比例
先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为
断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙
丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两
线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚
中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等
矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形
等即四线为断比例
先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为
断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙
丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两
线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚
中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等
几何原本 卷六之首 第 41b 页 WYG0798-0718b.png
论曰两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之
比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两边互相
视而甲丙戊庚两直角形必等(本篇/十四)
后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等
者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也
论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角
旁之各两边互相视而甲乙与己庚之比例若戊己
与乙丙也(本篇/十四)则四线为断比例矣
比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两边互相
视而甲丙戊庚两直角形必等(本篇/十四)
后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等
者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也
论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角
旁之各两边互相视而甲乙与己庚之比例若戊己
与乙丙也(本篇/十四)则四线为断比例矣
几何原本 卷六之首 第 42a 页 WYG0798-0718c.png
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上图
以上二题即算家句股法三数算法所赖也
第十七题(二/支)
三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上
直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方
形等即三线为连比例
先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊
角亦同此论如上图
以上二题即算家句股法三数算法所赖也
第十七题(二/支)
三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上
直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方
形等即三线为连比例
先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊
几何原本 卷六之首 第 42b 页 WYG0798-0718d.png
己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲
乙乙丙首尾线矩内直角形戊己
庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊
庚两形等
论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己
为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则
戊己己庚矩内直角形(即戊己上/直角方形)与甲乙乙丙首尾
线矩内之甲丙形等矣(本篇/十六)
乙乙丙首尾线矩内直角形戊己
庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊
庚两形等
论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己
为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则
戊己己庚矩内直角形(即戊己上/直角方形)与甲乙乙丙首尾
线矩内之甲丙形等矣(本篇/十六)
几何原本 卷六之首 第 43a 页 WYG0798-0719a.png
后解曰甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙
与戊己之比例若戊己与乙丙
论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例
若己庚与乙丙也(本篇/十六)而己庚与乙丙亦若等己庚
之戊己与乙丙(五卷/七)则甲乙与戊己若戊己与乙丙
矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上图
与戊己之比例若戊己与乙丙
论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例
若己庚与乙丙也(本篇/十六)而己庚与乙丙亦若等己庚
之戊己与乙丙(五卷/七)则甲乙与戊己若戊己与乙丙
矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上图
几何原本 卷六之首 第 43b 页 WYG0798-0719b.png
系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形
等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙
丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙
与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率
故
第十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等
法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚
等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙
丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙
与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率
故
第十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等
法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚
几何原本 卷六之首 第 44a 页 WYG0798-0719c.png
形相似而体势等先于设形任从一角向
各对角各作直线而分本形为若干角形
如上设形则从己向丙向丁作两直线而
分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁
己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与
丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角
形矣(一卷/卅二)次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁
各对角各作直线而分本形为若干角形
如上设形则从己向丙向丁作两直线而
分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁
己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与
丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角
形矣(一卷/卅二)次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁
几何原本 卷六之首 第 44b 页 WYG0798-0719d.png
戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与
丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角
形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲
乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势
等凡设多角形俱仿此
论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己
丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显
甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其馀各全角俱等
丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角
形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲
乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势
等凡设多角形俱仿此
论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己
丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显
甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其馀各全角俱等
几何原本 卷六之首 第 45a 页 WYG0798-0720a.png
则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙
与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬
与乙辛亦若丁己与丁戊(本篇/四)平之即甲
乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也(五卷/廿二)则甲
乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等
也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也(两形等角/即等角旁)
(各两边之比例/等见本篇四)又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己
丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若
与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬
与乙辛亦若丁己与丁戊(本篇/四)平之即甲
乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也(五卷/廿二)则甲
乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等
也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也(两形等角/即等角旁)
(各两边之比例/等见本篇四)又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己
丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若
几何原本 卷六之首 第 45b 页 WYG0798-0720b.png
己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚
也(五卷/廿二)则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例
等也依显馀角俱如是则两形为等角形而各等角
旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等
注曰凡线上形相当之各角等即形相似
而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其
乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角
相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两
也(五卷/廿二)则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例
等也依显馀角俱如是则两形为等角形而各等角
旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等
注曰凡线上形相当之各角等即形相似
而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其
乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角
相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两
几何原本 卷六之首 第 46a 页 WYG0798-0720c.png
线上则虽相似而体势不等又如上甲
丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比
例若戊辛与辛庚而馀边之比例俱等
亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直
角形虽角旁比例等而在丁丙庚
辛线上不相当则体势不等
增作本题别有一简法如设甲乙
丙丁戊己直线形求于庚线上作
丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比
例若戊辛与辛庚而馀边之比例俱等
亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直
角形虽角旁比例等而在丁丙庚
辛线上不相当则体势不等
增作本题别有一简法如设甲乙
丙丁戊己直线形求于庚线上作
几何原本 卷六之首 第 46b 页 WYG0798-0720d.png
直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲
己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各
任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取
甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬
癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所
求
论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲
辛壬甲丑子两角各等(一卷/廿九)而甲丙乙甲丙丁两
己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各
任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取
甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬
癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所
求
论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲
辛壬甲丑子两角各等(一卷/廿九)而甲丙乙甲丙丁两
几何原本 卷六之首 第 47a 页 WYG0798-0721a.png
角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬
癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸
子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸
子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲
癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊
甲戊己四三角形各相似(本篇四/之系)即甲乙与乙丙
之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬
与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则
癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸
子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸
子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲
癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊
甲戊己四三角形各相似(本篇四/之系)即甲乙与乙丙
之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬
与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则
几何原本 卷六之首 第 47b 页 WYG0798-0721b.png
乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显馀边俱如
是则两形相似而体势等也
第十九题
相似三角形之比例为其相似边再加之比例
解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与
己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与
戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两边再加之
比例
是则两形相似而体势等也
第十九题
相似三角形之比例为其相似边再加之比例
解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与
己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与
戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两边再加之
比例
几何原本 卷六之首 第 48a 页 WYG0798-0721c.png
先论曰若两角形等即乙丙与戊己两边
亦等而各两等边为相同之比例即两形
亦相同之比例就令作再加之比例亦未
免为相同之比例则相等之两形即可为
两等边再加之比例矣
后论曰若乙丙边大于戊己边即于乙丙线上截取
乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若
戊己与乙庚也(本篇/十一)次作甲庚直线其甲乙与乙丙
亦等而各两等边为相同之比例即两形
亦相同之比例就令作再加之比例亦未
免为相同之比例则相等之两形即可为
两等边再加之比例矣
后论曰若乙丙边大于戊己边即于乙丙线上截取
乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若
戊己与乙庚也(本篇/十一)次作甲庚直线其甲乙与乙丙
几何原本 卷六之首 第 48b 页 WYG0798-0721d.png
之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁
戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊
己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚
也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两
等角而各两旁之两边又互相视(本篇/十五)即两形等则
甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙
庚形矣(五卷/七)又甲乙丙与甲乙庚两等高角形之比
例若乙丙底与乙庚底(本篇/一)则甲乙丙形与丁戊己
戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊
己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚
也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两
等角而各两旁之两边又互相视(本篇/十五)即两形等则
甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙
庚形矣(五卷/七)又甲乙丙与甲乙庚两等高角形之比
例若乙丙底与乙庚底(本篇/一)则甲乙丙形与丁戊己
几何原本 卷六之首 第 49a 页 WYG0798-0722a.png
形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙
丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与
三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加
之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比
例为乙丙与戊己再加之比例也
系依本题可显凡三直线为连比例即第一线
上角形与第二线上角形之比例若第一线与
第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例
丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与
三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加
之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比
例为乙丙与戊己再加之比例也
系依本题可显凡三直线为连比例即第一线
上角形与第二线上角形之比例若第一线与
第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例
几何原本 卷六之首 第 49b 页 WYG0798-0722b.png
其甲与乙上各有角形相似而体势等则一甲线与
三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线
之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形
之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形
之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙
上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若
一甲线与三丙线
第二十题(三/支)
三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线
之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形
之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形
之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙
上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若
一甲线与三丙线
第二十题(三/支)
几何原本 卷六之首 第 50a 页 WYG0798-0722c.png
以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当
之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若
两元形之比例其元形之比例为两相似边再加之
比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线
形其乙甲戊庚己癸两角等馀相当之各角俱等而
各等角旁各两边之比例各等题先言各
以角形分之其角形之分数必等而相当
之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若
两元形之比例其元形之比例为两相似边再加之
比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线
形其乙甲戊庚己癸两角等馀相当之各角俱等而
各等角旁各两边之比例各等题先言各
以角形分之其角形之分数必等而相当
几何原本 卷六之首 第 50b 页 WYG0798-0722d.png
之各角形各相似
论曰试从乙甲戊庚己癸两角向各对角
俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形
既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既
与庚角等而角旁各两边之比例亦等即甲乙丙与
己庚辛两角形必相似(本篇/六)乙甲丙与庚己辛两角
甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两边之
比例各等(本篇/四)依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似
论曰试从乙甲戊庚己癸两角向各对角
俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形
既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既
与庚角等而角旁各两边之比例亦等即甲乙丙与
己庚辛两角形必相似(本篇/六)乙甲丙与庚己辛两角
甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两边之
比例各等(本篇/四)依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似
几何原本 卷六之首 第 51a 页 WYG0798-0723a.png
又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚而丙乙与
丙丁若辛庚与辛壬(两元形/相似故)平之即甲丙与丙丁若
己辛与辛壬也(五卷/廿二)又乙丙丁角既与庚辛壬角等
而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙
丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形
亦等角形亦相似矣(本篇/六)
次解曰题又言各相当角形之比例若两元形之比
例
丙丁若辛庚与辛壬(两元形/相似故)平之即甲丙与丙丁若
己辛与辛壬也(五卷/廿二)又乙丙丁角既与庚辛壬角等
而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙
丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形
亦等角形亦相似矣(本篇/六)
次解曰题又言各相当角形之比例若两元形之比
例
几何原本 卷六之首 第 51b 页 WYG0798-0723b.png
论曰甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例
为甲丙己辛两相似边再加之比例(本篇/十九)依显甲丙
丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲
乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁
与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与
己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之
比例则此形中诸角形之比例若彼形中
诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为
为甲丙己辛两相似边再加之比例(本篇/十九)依显甲丙
丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲
乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁
与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与
己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之
比例则此形中诸角形之比例若彼形中
诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为
几何原本 卷六之首 第 52a 页 WYG0798-0723c.png
后率而一前与一后之比例又若并前与并后之比
例(五卷/十二)即此一角形与相当彼一角形之比例若此
元形与彼元形之比例矣
后解曰题又言两多边元形之比例为两相似边再
加之比例
论曰甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙
丁戊与己庚辛壬癸两多边形之比例而甲乙丙与
己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似边再加之
例(五卷/十二)即此一角形与相当彼一角形之比例若此
元形与彼元形之比例矣
后解曰题又言两多边元形之比例为两相似边再
加之比例
论曰甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙
丁戊与己庚辛壬癸两多边形之比例而甲乙丙与
己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似边再加之
几何原本 卷六之首 第 52b 页 WYG0798-0723d.png
比例(本篇/十九)则两元形亦为甲乙己庚再加之比例
增题此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼
线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形
为四倍大之比例则此方形边与彼方形边为二
倍大之比例
先解曰甲线倍乙线题言甲上方形与乙
上方形为四倍大之比例
论曰凡直角方形俱相似(本卷界/说一)依本题
增题此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼
线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形
为四倍大之比例则此方形边与彼方形边为二
倍大之比例
先解曰甲线倍乙线题言甲上方形与乙
上方形为四倍大之比例
论曰凡直角方形俱相似(本卷界/说一)依本题
几何原本 卷六之首 第 53a 页 WYG0798-0724a.png
论则甲方形与乙方形之比例为甲线与乙线再
加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方
形为四倍大之比例矣何者四倍大之比
例为二倍大再加之比例若一二四为连
比例故也
后解曰若甲上方形与乙上方形为四倍大之比
例题言甲边与乙边为二倍大之比例
论曰两方形四倍大之比例既为两边再加之比
加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方
形为四倍大之比例矣何者四倍大之比
例为二倍大再加之比例若一二四为连
比例故也
后解曰若甲上方形与乙上方形为四倍大之比
例题言甲边与乙边为二倍大之比例
论曰两方形四倍大之比例既为两边再加之比
几何原本 卷六之首 第 53b 页 WYG0798-0724b.png
例则甲边二倍大于乙边
系依此题可显三直线为连比例如甲乙
丙则第一线上多边形与第二线上相似
多边形之比例若第一线与第三线之比
例
此系与本篇第十九题之系同论
第二十一题
两直线形各与他直线形相似则自相似
系依此题可显三直线为连比例如甲乙
丙则第一线上多边形与第二线上相似
多边形之比例若第一线与第三线之比
例
此系与本篇第十九题之系同论
第二十一题
两直线形各与他直线形相似则自相似
几何原本 卷六之首 第 54a 页 WYG0798-0724c.png
解曰甲乙丙丁戊己两直线形各与庚辛壬
形相似题言两形亦自相似
论曰甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各
角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之
各角等即两形之各角自相等(公/论)两形之各
角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁
各边之比例等(五卷/十一)而丁戊己形与庚壬辛
形各等角旁各边之比例亦等也是甲乙丙
形相似题言两形亦自相似
论曰甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各
角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之
各角等即两形之各角自相等(公/论)两形之各
角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁
各边之比例等(五卷/十一)而丁戊己形与庚壬辛
形各等角旁各边之比例亦等也是甲乙丙
几何原本 卷六之首 第 54b 页 WYG0798-0724d.png
形与丁戊己形各等角旁各边之比例亦等也各角
既等各边之比例又等即两形定相似矣(本卷界/说一)
第二十二题(二/支)
四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直
线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直
线形为断比例则四直线为断比例
先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲
乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任
既等各边之比例又等即两形定相似矣(本卷界/说一)
第二十二题(二/支)
四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直
线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直
线形为断比例则四直线为断比例
先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲
乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任
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作直线形自相似如甲乙壬丙丁癸
于戊己庚辛上各任作直线形自相
似如戊己丑子庚辛卯寅题言四形
亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸
若戊丑与庚卯也
论曰试以甲乙丙丁两线求其连比
例之末率线为辰(本篇/十一)次以戊己庚辛两线求其连
比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊
于戊己庚辛上各任作直线形自相
似如戊己丑子庚辛卯寅题言四形
亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸
若戊丑与庚卯也
论曰试以甲乙丙丁两线求其连比
例之末率线为辰(本篇/十一)次以戊己庚辛两线求其连
比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊
几何原本 卷六之首 第 55b 页 WYG0798-0725b.png
己与己也(五卷/廿二)夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比
例若甲乙线与辰线(本篇十九/及廿之系)而戊丑与庚卯两相
似形之比例若戊己线与己线则甲乙
壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚卯
矣(五卷/十一)
后解曰如前四形为断比例题言甲乙
丙丁戊己庚辛四线亦为断比例
论曰试以甲乙丙丁戊己三线求其断
例若甲乙线与辰线(本篇十九/及廿之系)而戊丑与庚卯两相
似形之比例若戊己线与己线则甲乙
壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚卯
矣(五卷/十一)
后解曰如前四形为断比例题言甲乙
丙丁戊己庚辛四线亦为断比例
论曰试以甲乙丙丁戊己三线求其断
几何原本 卷六之首 第 56a 页 WYG0798-0725c.png
比例之末率线为午未(本篇/十二)次于午未上作直线形
与戊丑相似而体势等为午未酉申(本篇/十八)午酉与戊
丑相似即与庚卯亦相似而甲乙与丙丁之比例既
若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之
比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例
元若戊丑与庚卯则戊丑与午酉亦若戊丑与庚卯
也(五卷/十一)而午酉与庚卯等也(五卷/九)午酉与庚卯既等
又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午
与戊丑相似而体势等为午未酉申(本篇/十八)午酉与戊
丑相似即与庚卯亦相似而甲乙与丙丁之比例既
若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之
比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例
元若戊丑与庚卯则戊丑与午酉亦若戊丑与庚卯
也(五卷/十一)而午酉与庚卯等也(五卷/九)午酉与庚卯既等
又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午
几何原本 卷六之首 第 56b 页 WYG0798-0725d.png
未必等(见下方/补论)则戊己与午未之比例若戊己与庚
辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙
丁亦若戊己与庚辛也
补论曰庚卯午酉两直线形相等相似而体势等即
在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或
言庚辛大于午未也则辛卯宜亦大于未酉矣(五卷/十四)
而庚卯形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言
小仿此(补论者前此未著而论中无他/论可徵故别作一论以足未备)
辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙
丁亦若戊己与庚辛也
补论曰庚卯午酉两直线形相等相似而体势等即
在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或
言庚辛大于午未也则辛卯宜亦大于未酉矣(五卷/十四)
而庚卯形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言
小仿此(补论者前此未著而论中无他/论可徵故别作一论以足未备)
几何原本 卷六之首 第 57a 页 WYG0798-0726a.png
又补论曰甲乙丙丁戊己两直线形相等相
似而体势等即相似边如甲乙与丁戊必等
者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也
即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率
线为庚(本篇/十一)其甲乙与丁戊既若丁戊与庚
而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大
于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己
形(本篇十九/及廿之系)甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊
似而体势等即相似边如甲乙与丁戊必等
者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也
即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率
线为庚(本篇/十一)其甲乙与丁戊既若丁戊与庚
而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大
于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己
形(本篇十九/及廿之系)甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊
几何原本 卷六之首 第 57b 页 WYG0798-0726b.png
己何先设两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小
仿此
增论曰本题别有简论今先显四线之比例等而甲
乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑
与庚卯两形者盖甲乙与丙丁之比
例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁
癸之比例为甲乙与丙丁再加之比
例(本篇/十九)戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加
仿此
增论曰本题别有简论今先显四线之比例等而甲
乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑
与庚卯两形者盖甲乙与丙丁之比
例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁
癸之比例为甲乙与丙丁再加之比
例(本篇/十九)戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加
几何原本 卷六之首 第 58a 页 WYG0798-0726c.png
之比例是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯也
次增论曰今显四形之比例等而甲乙与丙丁两
线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙
丁癸之比例若戊丑与庚卯而甲乙壬与丙丁癸
之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚
卯为戊己与庚辛再加之比例(本篇/十九)则甲乙与丙
丁之比例若戊己与庚辛矣
第二十三题
次增论曰今显四形之比例等而甲乙与丙丁两
线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙
丁癸之比例若戊丑与庚卯而甲乙壬与丙丁癸
之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚
卯为戊己与庚辛再加之比例(本篇/十九)则甲乙与丙
丁之比例若戊己与庚辛矣
第二十三题
几何原本 卷六之首 第 58b 页 WYG0798-0726d.png
等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结
解曰甲丙丙己两平行方形之乙丙
丁戊丙庚两角等题言两形之比例以
各等角旁各两边之比例相结者谓两
比例之前率在此形两比例之后率在
彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙
与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相
结也
解曰甲丙丙己两平行方形之乙丙
丁戊丙庚两角等题言两形之比例以
各等角旁各两边之比例相结者谓两
比例之前率在此形两比例之后率在
彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙
与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相
结也
几何原本 卷六之首 第 59a 页 WYG0798-0727a.png
论曰试以两等相联于丙而乙丙丙庚作一直线其
乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线
(一卷十/五增)次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一
壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线
为癸(本篇/十二)末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末
率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与
丙辛两形(本篇/一)而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙
与丙辛亦若壬与癸也(五卷/十一)依显丙辛与丙己亦若
乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线
(一卷十/五增)次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一
壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线
为癸(本篇/十二)末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末
率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与
丙辛两形(本篇/一)而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙
与丙辛亦若壬与癸也(五卷/十一)依显丙辛与丙己亦若
几何原本 卷六之首 第 59b 页 WYG0798-0727b.png
癸与子也平之即甲丙与丙己若壬与子也(五卷/廿二)夫
壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结(本/卷)
(界说/五)而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙
戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙
庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以
乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先
以乙丙丙戊为一直线可依上推显
后注曰此不同理之比例也两形不相似(本篇/十九)又
壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结(本/卷)
(界说/五)而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙
戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙
庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以
乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先
以乙丙丙戊为一直线可依上推显
后注曰此不同理之比例也两形不相似(本篇/十九)又
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不相等之形也等角旁各两边不互相视(本篇/十四)故
必用相结之理必须借象之术其法假虚形实所
以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十
壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子
二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百
若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸
癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍
大于子(反二倍者癸/得子之半)三乘半得一五则壬与子为
必用相结之理必须借象之术其法假虚形实所
以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十
壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子
二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百
若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸
癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍
大于子(反二倍者癸/得子之半)三乘半得一五则壬与子为
几何原本 卷六之首 第 60b 页 WYG0798-0727d.png
等带半之比例也其曰借象者乙丙与丙庚丁丙与
丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与
子同中率而不同理之二比例以为象(本卷界/说五)初作
壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊
(本篇/十二)则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首
尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一
率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相
结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之
丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与
子同中率而不同理之二比例以为象(本卷界/说五)初作
壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊
(本篇/十二)则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首
尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一
率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相
结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之
几何原本 卷六之首 第 61a 页 WYG0798-0728a.png
两比例而合为一连比例亦能使两不同理之比
例首尾合而为一比例矣自三以上可仿此相借
以至无穷也(本卷界/说五)
第二十四题
平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线
任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而
与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两
例首尾合而为一比例矣自三以上可仿此相借
以至无穷也(本卷界/说五)
第二十四题
平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线
任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而
与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两
几何原本 卷六之首 第 61b 页 WYG0798-0728b.png
角线方形自相似亦与全形相似
论曰试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲
戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等
甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己
壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚
形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角
矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙
丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角(一卷/廿九)
论曰试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲
戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等
甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己
壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚
形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角
矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙
丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角(一卷/廿九)
几何原本 卷六之首 第 62a 页 WYG0798-0728c.png
(可推仍见本/篇四之系)即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬
而庚乙两角旁各两边之比例等也(六卷/四)又乙丙与
丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若
壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也(五卷/廿二)
则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各
角旁各两边之比例皆等是两角线方形自相似亦
与全形相似
第二十五题
而庚乙两角旁各两边之比例等也(六卷/四)又乙丙与
丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若
壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也(五卷/廿二)
则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各
角旁各两边之比例皆等是两角线方形自相似亦
与全形相似
第二十五题
几何原本 卷六之首 第 62b 页 WYG0798-0728d.png
两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等
法曰甲乙两直线形求作他直线形与
甲相似与乙相等先于求相似之甲形
任取一边如丙丁于丙丁边上作平行
方形与甲等为丙戊(一卷四/四四五)次于丁戊
边上作平行方形与乙等而戊丁庚角
与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线
也(一卷四/五可推)次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率(本篇/十三)
法曰甲乙两直线形求作他直线形与
甲相似与乙相等先于求相似之甲形
任取一边如丙丁于丙丁边上作平行
方形与甲等为丙戊(一卷四/四四五)次于丁戊
边上作平行方形与乙等而戊丁庚角
与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线
也(一卷四/五可推)次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率(本篇/十三)
几何原本 卷六之首 第 63a 页 WYG0798-0729a.png
末于壬癸上作子形与甲相似而体势等(本篇/十八)即子
形与乙等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二
十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁
上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之
比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等
高平行方形之比例也(本篇/一)则丙戊与丁辛若甲与
子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也(丙戊与甲等/丁辛与乙等)则
形与乙等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二
十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁
上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之
比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等
高平行方形之比例也(本篇/一)则丙戊与丁辛若甲与
子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也(丙戊与甲等/丁辛与乙等)则
几何原本 卷六之首 第 63b 页 WYG0798-0729b.png
甲与乙之比例若甲与子也(五卷/十一)而乙形与子形等
矣(五卷/九)
第二十六题
平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而
体势等又一角同则减形必依元形之对角线
解曰乙丁平行方形之内减戊庚平行
方形元形减形相似而体势等又戊甲
庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对
矣(五卷/九)
第二十六题
平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而
体势等又一角同则减形必依元形之对角线
解曰乙丁平行方形之内减戊庚平行
方形元形减形相似而体势等又戊甲
庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对
几何原本 卷六之首 第 64a 页 WYG0798-0729c.png
角线
论曰试作甲己己丙对角两线若两线
为一直线即显戊庚形依甲丙对角线
矣如云甲己己丙非一直线令别作元
形之对角线而分戊己边于辛即作辛壬线与己庚
平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直
对角线则宜相似而体势等矣(本篇/廿四)是乙甲与甲丁
之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊
论曰试作甲己己丙对角两线若两线
为一直线即显戊庚形依甲丙对角线
矣如云甲己己丙非一直线令别作元
形之对角线而分戊己边于辛即作辛壬线与己庚
平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直
对角线则宜相似而体势等矣(本篇/廿四)是乙甲与甲丁
之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊
几何原本 卷六之首 第 64b 页 WYG0798-0729d.png
甲与甲庚(元设形相似/而体势等)今若所云则戊甲与甲庚亦
若戊甲与甲壬矣(五卷/十一)而甲壬分与甲庚全亦等矣
(五卷/九)可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与
己戊平行依前论驳之
第二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线
上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙
依形必大于此有阙依形
若戊甲与甲壬矣(五卷/十一)而甲壬分与甲庚全亦等矣
(五卷/九)可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与
己戊平行依前论驳之
第二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线
上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙
依形必大于此有阙依形
几何原本 卷六之首 第 65a 页 WYG0798-0730a.png
解曰甲乙线平分于丙于半线丙乙上任
作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次
作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为
甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半
线上之阙形(本卷界/说六)此两形相等相似势体又等题
言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙
戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形
必大于此有阙依形
作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次
作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为
甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半
线上之阙形(本卷界/说六)此两形相等相似势体又等题
言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙
戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形
必大于此有阙依形
几何原本 卷六之首 第 65b 页 WYG0798-0730b.png
论曰试于乙丁对角线上任取一点为庚从庚作己
庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依
甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸
壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体
势等(本篇/廿四)夫丙庚庚戊两馀方形既等(一卷/四三)若每加
一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与
丙己俱在两平行线内底等即两形等(一卷/三六)而丙己
与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方
庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依
甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸
壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体
势等(本篇/廿四)夫丙庚庚戊两馀方形既等(一卷/四三)若每加
一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与
丙己俱在两平行线内底等即两形等(一卷/三六)而丙己
与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方
几何原本 卷六之首 第 66a 页 WYG0798-0730c.png
形与子丑磬折形亦等也丙戊平行方形函子丑磬
折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折
形而等丙戊之甲丁形(丙戊甲丁同在两平行线/内又等底故见一卷三六)必
大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线
作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于
甲丁也为其必有庚丁之较故也
又论甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平
行方形同在两平行线内又底等即两形
折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折
形而等丙戊之甲丁形(丙戊甲丁同在两平行线/内又等底故见一卷三六)必
大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线
作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于
甲丁也为其必有庚丁之较故也
又论甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平
行方形同在两平行线内又底等即两形
几何原本 卷六之首 第 66b 页 WYG0798-0730d.png
等(一卷/卅六)而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较馀
一庚丁形其大于丙庚亦如之(庚戊丙庚两馀方形/等故见一卷四三)
即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较馀一庚丁形
也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚点在丙戊形外即引乙丁对
角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次
引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑
线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行
一庚丁形其大于丙庚亦如之(庚戊丙庚两馀方形/等故见一卷四三)
即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较馀一庚丁形
也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚点在丙戊形外即引乙丁对
角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次
引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑
线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行
几何原本 卷六之首 第 67a 页 WYG0798-0731a.png
即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形又得己
丑与丙戊相似而体势等者(两形同依乙庚对角/线故见本篇廿四)为
其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形
论曰试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等
(一卷/卅四)而辛丁丁丑两形亦等(一卷/卅六)其丁丑己丁两馀
方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既
较馀一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较馀一庚丁
形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于
丑与丙戊相似而体势等者(两形同依乙庚对角/线故见本篇廿四)为
其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形
论曰试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等
(一卷/卅四)而辛丁丁丑两形亦等(一卷/卅六)其丁丑己丁两馀
方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既
较馀一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较馀一庚丁
形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于
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甲庚者亦较馀一庚丁形矣依显凡乙丁对角线引
出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形
俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
第二十八题
一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等
而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不
大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似
者
出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形
俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
第二十八题
一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等
而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不
大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似
者
几何原本 卷六之首 第 68a 页 WYG0798-0731c.png
法曰甲乙线求作依线之有阙平行方形与所设直
线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以
甲乙线两平分于戊次于戊乙半线
上作戊己庚乙平行方形与丁相似
而体势等(本篇/十八)次作甲辛庚乙满元
线平行方形若甲己平行方形与丙
等者(本篇/廿五)即得所求矣若甲己大于
丙者(题言甲己小即不/可作见本篇廿七)即等甲己之
线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以
甲乙线两平分于戊次于戊乙半线
上作戊己庚乙平行方形与丁相似
而体势等(本篇/十八)次作甲辛庚乙满元
线平行方形若甲己平行方形与丙
等者(本篇/廿五)即得所求矣若甲己大于
丙者(题言甲己小即不/可作见本篇廿七)即等甲己之
几何原本 卷六之首 第 68b 页 WYG0798-0731d.png
戊庚亦大于丙也则寻戊庚之大于丙几何假令其
较为壬(两直线形不等相减之/较法见一卷四五增)即作癸子丑寅平行
方形与壬等又与戊庚形相似而体势(本篇/廿五)则戊庚
平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊
庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳
庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸
丑即戊己己庚两边亦大于寅癸癸子也次截取己巳
己卯与癸子癸寅等而作己己辰卯平行方形必与
较为壬(两直线形不等相减之/较法见一卷四五增)即作癸子丑寅平行
方形与壬等又与戊庚形相似而体势(本篇/廿五)则戊庚
平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊
庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳
庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸
丑即戊己己庚两边亦大于寅癸癸子也次截取己巳
己卯与癸子癸寅等而作己己辰卯平行方形必与
几何原本 卷六之首 第 69a 页 WYG0798-0732a.png
癸丑形相等相似而体势等矣又卯
己形既与戊庚相似而体势等必同
依乙己对角线也(本篇/廿六)次于己辰线
引出抵甲乙元线于卯辰两界各引
出作午未线即甲辰为依甲乙线之
有阙平行方形与丙等而其阙形乙
辰与戊庚相似(本篇/廿四)即亦与丁相似
论曰辰庚与辰戊两馀方形既等(一卷/四三)每加一乙辰
己形既与戊庚相似而体势等必同
依乙己对角线也(本篇/廿六)次于己辰线
引出抵甲乙元线于卯辰两界各引
出作午未线即甲辰为依甲乙线之
有阙平行方形与丙等而其阙形乙
辰与戊庚相似(本篇/廿四)即亦与丁相似
论曰辰庚与辰戊两馀方形既等(一卷/四三)每加一乙辰
几何原本 卷六之首 第 69b 页 WYG0798-0732b.png
角线方形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未
亦等(戊午戊未同在平行线内/又底等故见一卷卅六)乙己与戊未既等又
每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形
亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙
及癸丑等戊庚所截去之卯己又与癸丑等则申酉
罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也
第二十九题
一直线求作依线之带馀平行方形与所设直线形等
亦等(戊午戊未同在平行线内/又底等故见一卷卅六)乙己与戊未既等又
每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形
亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙
及癸丑等戊庚所截去之卯己又与癸丑等则申酉
罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也
第二十九题
一直线求作依线之带馀平行方形与所设直线形等
几何原本 卷六之首 第 70a 页 WYG0798-0732c.png
而其馀形与所设平行方形相似
法曰甲乙线求作依线之带馀平行
方形与所设直线形丙等而其馀形
与所设平行方形丁相似先以甲乙
线两平分于戊次于戊乙半线上作
戊己庚乙平行方形与丁相似而体
势等(本篇/十八)次别作一平行方形与丙及
戊庚并等为辛(二卷/十四)次别作一平行方形与辛等又
法曰甲乙线求作依线之带馀平行
方形与所设直线形丙等而其馀形
与所设平行方形丁相似先以甲乙
线两平分于戊次于戊乙半线上作
戊己庚乙平行方形与丁相似而体
势等(本篇/十八)次别作一平行方形与丙及
戊庚并等为辛(二卷/十四)次别作一平行方形与辛等又
几何原本 卷六之首 第 70b 页 WYG0798-0732d.png
与丁相似而体势等为壬癸子丑(本篇/廿五)其丑癸既与
辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与
壬癸两边之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸
两线必大于戊巳与巳庚也(若等或小即丑/癸不大于戊庚)次于巳
戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等
而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角
线而等(本篇/廿六)又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙
引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲
辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与
壬癸两边之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸
两线必大于戊巳与巳庚也(若等或小即丑/癸不大于戊庚)次于巳
戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等
而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角
线而等(本篇/廿六)又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙
引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲
几何原本 卷六之首 第 71a 页 WYG0798-0733a.png
未线与己卯平行即得甲辰带馀平行方形依甲乙
线与丙等而己午为其馀形与戊庚形相似而体势
等(本篇/廿四)即与丁相似而体势等
论曰甲卯戊午两形既等(一卷/卅六)戊午与乙寅两馀方
形又等(一卷/四三)则甲卯与乙寅亦等矣而每加一卯己
形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊
辰寅罄折形元与丙等(丑癸即卯寅与丙及戊庚并/等每减一戊庚即罄折形与)
(丙/等)即甲辰亦与丙等
线与丙等而己午为其馀形与戊庚形相似而体势
等(本篇/廿四)即与丁相似而体势等
论曰甲卯戊午两形既等(一卷/卅六)戊午与乙寅两馀方
形又等(一卷/四三)则甲卯与乙寅亦等矣而每加一卯己
形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊
辰寅罄折形元与丙等(丑癸即卯寅与丙及戊庚并/等每减一戊庚即罄折形与)
(丙/等)即甲辰亦与丙等
几何原本 卷六之首 第 71b 页 WYG0798-0733b.png
第三十题
一直线求作理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲
乙丙丁直角方形次依丁甲边作丁己带
馀平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其馀形
又与甲丙形相似(本篇/廿九)即甲己亦直角方形矣(惟直/角方)
(形恒与直角/方形相似)则戊己线分甲乙于辛为理分中末线
也(本卷界/说三)
一直线求作理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲
乙丙丁直角方形次依丁甲边作丁己带
馀平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其馀形
又与甲丙形相似(本篇/廿九)即甲己亦直角方形矣(惟直/角方)
(形恒与直角/方形相似)则戊己线分甲乙于辛为理分中末线
也(本卷界/说三)
几何原本 卷六之首 第 72a 页 WYG0798-0733c.png
论曰丁己与甲丙两形既等每减一甲戊形即所存
甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两
角既等(两皆直/角故)即两角旁之各两边线为互相视之
线也(本篇/十四)而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线
其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中
末也
又论曰甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之
辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为
甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两
角既等(两皆直/角故)即两角旁之各两边线为互相视之
线也(本篇/十四)而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线
其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中
末也
又论曰甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之
辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为
几何原本 卷六之首 第 72b 页 WYG0798-0733d.png
连比例(本篇/十七)而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣
又法曰甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内
直角形与甲丙上直角方形等(二卷/十一)即甲乙之
分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线
为连比例故(本篇/廿七)
第三十一题
三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形
若相似而体势等则一形与两形并等
又法曰甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内
直角形与甲丙上直角方形等(二卷/十一)即甲乙之
分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线
为连比例故(本篇/廿七)
第三十一题
三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形
若相似而体势等则一形与两形并等
几何原本 卷六之首 第 73a 页 WYG0798-0734a.png
解曰甲乙丙三边直角形乙甲丙为直
角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊
次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙
壬辛两形与乙丁形相似而体势等(本/篇)
(十/八)题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题
之系即乙丙与丙甲两边之比例若丙甲与丙癸两
边则一乙丙边与三丙癸边之比例若一乙丙上之
角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊
次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙
壬辛两形与乙丁形相似而体势等(本/篇)
(十/八)题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题
之系即乙丙与丙甲两边之比例若丙甲与丙癸两
边则一乙丙边与三丙癸边之比例若一乙丙上之
几何原本 卷六之首 第 73b 页 WYG0798-0734b.png
乙丁形与二甲丙上之丙辛形也(本篇十九或/二十之系)反之
则丙癸与乙丙两边之比例若丙辛与乙丁两形也
依显乙癸与乙丙两边之比例若乙庚与乙丁两形
也(乙丙乙甲乙癸三边为连/比例故见本篇八之系)夫一丙癸与二乙丙之
比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之
比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与
二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既
一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并
则丙癸与乙丙两边之比例若丙辛与乙丁两形也
依显乙癸与乙丙两边之比例若乙庚与乙丁两形
也(乙丙乙甲乙癸三边为连/比例故见本篇八之系)夫一丙癸与二乙丙之
比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之
比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与
二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既
一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并
几何原本 卷六之首 第 74a 页 WYG0798-0734c.png
与四乙丁亦等(五卷/廿四)
又论曰甲乙丙与癸甲丙两角形既相
似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比
例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸(本篇/八)
即乙丙与丙甲两边相似则癸甲丙与
甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例
(本篇/十九)而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙
再加之比例(本篇十/九二十)则癸甲丙与甲乙丙两角形之
又论曰甲乙丙与癸甲丙两角形既相
似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比
例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸(本篇/八)
即乙丙与丙甲两边相似则癸甲丙与
甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例
(本篇/十九)而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙
再加之比例(本篇十/九二十)则癸甲丙与甲乙丙两角形之
几何原本 卷六之首 第 74b 页 WYG0798-0734d.png
比例若丙辛与乙丁两形也(五卷/十一)依显癸乙甲与甲
乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲
癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而
五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁
也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若
三丙辛六乙庚并与四乙丁也(五卷/廿四)既一甲癸丙五
癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四
乙丁亦等
乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲
癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而
五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁
也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若
三丙辛六乙庚并与四乙丁也(五卷/廿四)既一甲癸丙五
癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四
乙丁亦等
几何原本 卷六之首 第 75a 页 WYG0798-0735a.png
又论曰一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形
之比例若三丙辛形与四乙丁形(此两率之比例皆/甲丙与乙丙再加)
(之比例见本/篇十九二十)又五甲乙上直角方形与二乙丙上直
角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙
上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形
之比例若三丙辛六乙庚两形并与四
乙丁形(五卷/廿四)既甲丙甲乙上两直角方
形并与乙丙上直角方形等(一卷/四十)则丙
之比例若三丙辛形与四乙丁形(此两率之比例皆/甲丙与乙丙再加)
(之比例见本/篇十九二十)又五甲乙上直角方形与二乙丙上直
角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙
上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形
之比例若三丙辛六乙庚两形并与四
乙丁形(五卷/廿四)既甲丙甲乙上两直角方
形并与乙丙上直角方形等(一卷/四十)则丙
几何原本 卷六之首 第 75b 页 WYG0798-0735b.png
辛乙庚两形并与乙丁形等
增题角形之一边上一形与馀两边上两形相似
而体势等者其一形与两形并等则馀两边内角
必直角
解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲
乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并
等题言乙甲丙必直角
论曰试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁
增题角形之一边上一形与馀两边上两形相似
而体势等者其一形与两形并等则馀两边内角
必直角
解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲
乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并
等题言乙甲丙必直角
论曰试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁
几何原本 卷六之首 第 76a 页 WYG0798-0735c.png
丙线其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形与乙
丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而
体势等之两形并等矣(本/题)又甲丁与甲乙等其上
两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦
等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁
丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等(本/篇)
(廿二/补论)夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲
乙等甲丙同边其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与
丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而
体势等之两形并等矣(本/题)又甲丁与甲乙等其上
两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦
等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁
丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等(本/篇)
(廿二/补论)夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲
乙等甲丙同边其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与
几何原本 卷六之首 第 76b 页 WYG0798-0735d.png
乙甲丙两角必等丁甲丙既直角则乙甲丙亦直
角
第三十二题
两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两
形成一外角若各相似之各两边各平行则
其馀各一边相联为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙边
与丁丙丁戊边相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁
角
第三十二题
两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两
形成一外角若各相似之各两边各平行则
其馀各一边相联为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙边
与丁丙丁戊边相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁
几何原本 卷六之首 第 77a 页 WYG0798-0736a.png
丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角
而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两边各平行
题言乙丙丙戊为一直线
论曰甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙
丁等(一卷/廿九)依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲
丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角
旁各两边比例又等即两形为等角形而乙角与丁
丙戊角必等(本篇/六)次于乙角加甲角于丁丙戊角加
而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两边各平行
题言乙丙丙戊为一直线
论曰甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙
丁等(一卷/廿九)依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲
丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角
旁各两边比例又等即两形为等角形而乙角与丁
丙戊角必等(本篇/六)次于乙角加甲角于丁丙戊角加
几何原本 卷六之首 第 77b 页 WYG0798-0736b.png
等甲之甲丙丁角即乙甲两角并与等甲丙丁丁丙
戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲
乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫
甲乙丙形之内三角等两直角(一卷/卅二)则甲丙乙甲丙
戊并亦等两直角而为一直线(一卷/十四)
第三十三题(三/支)
等圜之乘圜分角或在心或在界其各相当两乘圜角
之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比
戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲
乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫
甲乙丙形之内三角等两直角(一卷/卅二)则甲丙乙甲丙
戊并亦等两直角而为一直线(一卷/十四)
第三十三题(三/支)
等圜之乘圜分角或在心或在界其各相当两乘圜角
之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比
几何原本 卷六之首 第 78a 页 WYG0798-0736c.png
例亦若所乘两圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为
辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其
乘圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界
者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚
两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角
次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙
丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为
辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其
乘圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界
者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚
两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角
次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙
丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分
几何原本 卷六之首 第 78b 页 WYG0798-0736d.png
内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内
己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分
先论曰试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙
丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等(四卷/一)其丙
壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等(三卷/十八)而
乙丁丙与丙丁壬两角亦等(三卷/廿七)依显己庚庚癸癸
子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙
壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁
己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分
先论曰试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙
丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等(四卷/一)其丙
壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等(三卷/十八)而
乙丁丙与丙丁壬两角亦等(三卷/廿七)依显己庚庚癸癸
子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙
壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁
几何原本 卷六之首 第 79a 页 WYG0798-0737a.png
壬内地倍乙丁丙角之数而己庚癸子圜分倍己庚
圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛
庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分
数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也
然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙
壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦
大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬
三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍
圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛
庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分
数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也
然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙
壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦
大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬
三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍
几何原本 卷六之首 第 79b 页 WYG0798-0737b.png
之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等
大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比
例若三乙丁丙与四己辛庚也(五卷界/说六)
次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦
倍大于己戊庚(三卷/二十)即乙丁丙与己辛庚两角之比
例若乙甲丙与己戊庚两角矣(五卷/廿五)则乙甲丙与己
戊庚在界乘圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也
(五卷/十一)若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显(用地当/角说见)
大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比
例若三乙丁丙与四己辛庚也(五卷界/说六)
次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦
倍大于己戊庚(三卷/二十)即乙丁丙与己辛庚两角之比
例若乙甲丙与己戊庚两角矣(五卷/廿五)则乙甲丙与己
戊庚在界乘圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也
(五卷/十一)若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显(用地当/角说见)
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(三卷廿/增题)
后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜
分内作丙寅壬角此两角所乘之乙甲壬丙与丙乙
甲壬两圜分既等(三卷/廿七)即两角亦等而乙丑丙与丙
寅壬两圜小分亦相似亦相等(乙丙与丙壬两合圜/线等故见三卷廿四)
次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙
丁壬两分圜形等(一卷/四)则乙丁壬分圜形倍乙丁丙
分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显
后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜
分内作丙寅壬角此两角所乘之乙甲壬丙与丙乙
甲壬两圜分既等(三卷/廿七)即两角亦等而乙丑丙与丙
寅壬两圜小分亦相似亦相等(乙丙与丙壬两合圜/线等故见三卷廿四)
次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙
丁壬两分圜形等(一卷/四)则乙丁壬分圜形倍乙丁丙
分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显
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己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸
子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于
己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等
于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小
矣(五卷界/说六)是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜
分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形
偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛
子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于
己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等
于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小
矣(五卷界/说六)是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜
分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形
偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛
子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
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皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若
三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也(五卷界/说六)
一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乘圜
分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界
与圜心角所乘之圜分
丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线
竟不及有比例之面故因其义类增益数题用补
三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也(五卷界/说六)
一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乘圜
分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界
与圜心角所乘之圜分
丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线
竟不及有比例之面故因其义类增益数题用补
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阙如左云窦复增一题窃弁于首仍以题旨从先
生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先
生旧增也
今增题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲
乙丙与丁戊己为甲丙与丁
己再加之比例
论曰如云不然当言甲乙丙
生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先
生旧增也
今增题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲
乙丙与丁戊己为甲丙与丁
己再加之比例
论曰如云不然当言甲乙丙
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圜与小于丁戊己之庚辛壬
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜为甲丙与丁己再加之比
例也(五卷界说/二十增)若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜
于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未
己申酉戌多边切形其多边为偶数又等而全不
至内圜也(四卷十/六补题)次于甲乙丙圜内作甲午乙寅
丙卯辰己多边切形与丁戊己圜内切形相似(四/卷)
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜为甲丙与丁己再加之比
例也(五卷界说/二十增)若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜
于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未
己申酉戌多边切形其多边为偶数又等而全不
至内圜也(四卷十/六补题)次于甲乙丙圜内作甲午乙寅
丙卯辰己多边切形与丁戊己圜内切形相似(四/卷)
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(十六补/题可推)其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午
乙寅丙相似之两多边形则为两相似边再加之
比例也(本篇/二十)而甲丙与丁己两线为两形之相似
边据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形
甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再
加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将
庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于
全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与
乙寅丙相似之两多边形则为两相似边再加之
比例也(本篇/二十)而甲丙与丁己两线为两形之相似
边据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形
甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再
加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将
庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于
全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与
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丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲
丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与
甲乙丙两圜之比例为丁己
与甲丙两径再加之比例也
设他圜乾兑离令癸子丑与
甲乙丙之比例若丁戊己与
乾兑离(五卷界/说增)则丁戊己与
乾兑离两圜亦宜为丁己与
丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与
甲乙丙两圜之比例为丁己
与甲丙两径再加之比例也
设他圜乾兑离令癸子丑与
甲乙丙之比例若丁戊己与
乾兑离(五卷界/说增)则丁戊己与
乾兑离两圜亦宜为丁己与
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甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己
即甲乙丙亦大于乾兑离而丁戊己与小于甲乙
丙之乾兑离两圜能为丁己与甲丙两径再加之
比例乎(前己驳有两圜其第一与他圜之小于/第二者不得为元圜两径再加之比例)夫
甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己
者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为
其元两径再加之比例
一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分
即甲乙丙亦大于乾兑离而丁戊己与小于甲乙
丙之乾兑离两圜能为丁己与甲丙两径再加之
比例乎(前己驳有两圜其第一与他圜之小于/第二者不得为元圜两径再加之比例)夫
甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己
者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为
其元两径再加之比例
一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分
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任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故
二系三边直角形对直角边为径所作圜与
馀两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等
圜分与相似两圜分并等(本篇卅/一可推)
三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比
例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求
各圜之相与为比例者(本篇十九二/十之系可推)
一增题直线形求减所命分其所减所存各作形
二系三边直角形对直角边为径所作圜与
馀两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等
圜分与相似两圜分并等(本篇卅/一可推)
三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比
例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求
各圜之相与为比例者(本篇十九二/十之系可推)
一增题直线形求减所命分其所减所存各作形
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与所设形相似而体势等
法曰如甲直线形求减三分之一其所
减所存各作形与所设乙形相似而体
势等先作丙丁形与甲等与乙相似而
体势等(本篇/廿五)次任于其一边如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚
戊次从庚作己庚为丙戊之垂线(本篇/九)次作己丙
己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各
法曰如甲直线形求减三分之一其所
减所存各作形与所设乙形相似而体
势等先作丙丁形与甲等与乙相似而
体势等(本篇/廿五)次任于其一边如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚
戊次从庚作己庚为丙戊之垂线(本篇/九)次作己丙
己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各
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与丙丁相似而体势等(本篇/十八)即所求
论曰丙己戊角形既负半圜为直角(三卷/卅一)即丙丁
直线形与己辛己壬相似之两形并等(本篇/卅)而于
等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相
似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬
为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形
既相似(本篇/八)即丙庚与庚己之比例若丙己与己
戊也(本篇/四)夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙
论曰丙己戊角形既负半圜为直角(三卷/卅一)即丙丁
直线形与己辛己壬相似之两形并等(本篇/卅)而于
等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相
似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬
为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形
既相似(本篇/八)即丙庚与庚己之比例若丙己与己
戊也(本篇/四)夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙
几何原本 卷六之首 第 85b 页 WYG0798-0740b.png
庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例(本篇八/之系)而
己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似边再
加之比例(本篇十/九二十)即丙庚与庚戊两线之比例若
己辛与己戊两形也(两比例为两同理/比例之再加故)合之则丙
戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁
与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己
壬而己壬为等甲之丙丁三分之一
若直线形求减之不论所减所存何形其法更易
己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似边再
加之比例(本篇十/九二十)即丙庚与庚戊两线之比例若
己辛与己戊两形也(两比例为两同理/比例之再加故)合之则丙
戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁
与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己
壬而己壬为等甲之丙丁三分之一
若直线形求减之不论所减所存何形其法更易
几何原本 卷六之首 第 86a 页 WYG0798-0740c.png
如甲形求减三分之一先作乙丙平
行线形与甲等(一卷/四一)次分乙丁为三
平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平
行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一(本篇/一)
今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形边
馀法同前如上图
又今附依此法可方一初月形(方初月形/者谓作直)
(角方形与/初月形等)如甲乙丙丁圜其界上有附圜
行线形与甲等(一卷/四一)次分乙丁为三
平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平
行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一(本篇/一)
今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形边
馀法同前如上图
又今附依此法可方一初月形(方初月形/者谓作直)
(角方形与/初月形等)如甲乙丙丁圜其界上有附圜
几何原本 卷六之首 第 86b 页 WYG0798-0740d.png
四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方
形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直
角方形(三卷/六)次用方形法四平分之即
其一为所求方形与初月形等何者甲
乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等
(本增题/之今附)甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦
自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与
乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙
形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直
角方形(三卷/六)次用方形法四平分之即
其一为所求方形与初月形等何者甲
乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等
(本增题/之今附)甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦
自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与
乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙
几何原本 卷六之首 第 87a 页 WYG0798-0741a.png
己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月
形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角
方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙
戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜
界上四初月形并等
二增题两直线形求别作一直线形为连比例
法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为
连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁
形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角
方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙
戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜
界上四初月形并等
二增题两直线形求别作一直线形为连比例
法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为
连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁
几何原本 卷六之首 第 87b 页 WYG0798-0741b.png
相似而体势等(本篇/廿五)次以两形相似之
各一边如戊己乙丙为前中率线而求
其连比例之末率线为辛壬(本篇/十一)末于
辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等(本篇/十八)
即所求
论曰戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三
形相似而体势等者亦为连比例(本篇/廿二)
今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当
各一边如戊己乙丙为前中率线而求
其连比例之末率线为辛壬(本篇/十一)末于
辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等(本篇/十八)
即所求
论曰戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三
形相似而体势等者亦为连比例(本篇/廿二)
今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当
几何原本 卷六之首 第 88a 页 WYG0798-0741c.png
形边依上法作之
三增题三直线形求别作一直线形为断比例
法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别
作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等
与乙丁相似而体势等(本篇/廿五)次以三形之任各一
边如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率
线为寅卯(本篇/十二)末于寅卯上作寅卯
辰形与己庚辛相似而体势等(本篇/十八)
三增题三直线形求别作一直线形为断比例
法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别
作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等
与乙丁相似而体势等(本篇/廿五)次以三形之任各一
边如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率
线为寅卯(本篇/十二)末于寅卯上作寅卯
辰形与己庚辛相似而体势等(本篇/十八)
几何原本 卷六之首 第 88b 页 WYG0798-0741d.png
即所求
论曰四线既为断比例即其线上形
相似而体势等者亦为断比例(本篇/廿二)
今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当
形边依上法作之
四增题两直线形求别作一形为连比例之中率
法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比
例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁
论曰四线既为断比例即其线上形
相似而体势等者亦为断比例(本篇/廿二)
今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当
形边依上法作之
四增题两直线形求别作一形为连比例之中率
法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比
例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁
几何原本 卷六之首 第 89a 页 WYG0798-0742a.png
相似而体势等(本篇/廿五)次求戊己乙丙
两直线连比例之中率为辛壬(本篇/十三)
末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙
丙上形相似而体势等(本篇/十八)即所求
论曰戊己辛壬乙丙三线既为连比例
即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形
亦为连比例(本篇/廿二)
又法曰甲乙两直线形求别作一形为
两直线连比例之中率为辛壬(本篇/十三)
末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙
丙上形相似而体势等(本篇/十八)即所求
论曰戊己辛壬乙丙三线既为连比例
即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形
亦为连比例(本篇/廿二)
又法曰甲乙两直线形求别作一形为
几何原本 卷六之首 第 89b 页 WYG0798-0742b.png
连比例之中率先作丁丙己戊平行线形任直斜
角与甲等(一卷/四五)次作庚戊壬辛平行线
形与乙等与丁己形相似而体势等(本/篇)
(廿/五)次置两平行线形以戊角相联而丁
戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直
线(一卷十/五增)末从两形引长各边成丙子辛癸平行
线形即两馀方形俱为丁己庚壬两形之中率
论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与
角与甲等(一卷/四五)次作庚戊壬辛平行线
形与乙等与丁己形相似而体势等(本/篇)
(廿/五)次置两平行线形以戊角相联而丁
戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直
线(一卷十/五增)末从两形引长各边成丙子辛癸平行
线形即两馀方形俱为丁己庚壬两形之中率
论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与
几何原本 卷六之首 第 90a 页 WYG0798-0742c.png
己戊之比例若戊壬与戊庚也更之即丁戊与戊
壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例
亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例
又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中
率矣
又论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即同依
丙辛对角线(本篇/廿六)而子戊戊癸两馀方形自相等
则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形
壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例
亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例
又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中
率矣
又论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即同依
丙辛对角线(本篇/廿六)而子戊戊癸两馀方形自相等
则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形
几何原本 卷六之首 第 90b 页 WYG0798-0742d.png
何者此两比例皆若丁戊与戊壬也则子戊戊癸
皆丁己庚壬之中率也
今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜
径当形边依上前法作之
五增一直线形求分作两直线形俱与所设形相
似而体势等其比例若所设两几何之比例
法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形
相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与
皆丁己庚壬之中率也
今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜
径当形边依上前法作之
五增一直线形求分作两直线形俱与所设形相
似而体势等其比例若所设两几何之比例
法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形
相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与
几何原本 卷六之首 第 91a 页 WYG0798-0743a.png
丙线之比例先作戊己庚辛直线形
与甲等与丁相似而体势等(本篇/廿五)次
任用其一边如戊辛两分之于壬令
戊壬与壬辛之比例若乙与丙也(分/法)
(先以乙丙两线联为一直线次截/戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十)次于戊辛上作
戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作
戊癸癸辛线相联末于戊癸癸辛上作戊丑子癸
癸卯寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等(本篇/十八)
与甲等与丁相似而体势等(本篇/廿五)次
任用其一边如戊辛两分之于壬令
戊壬与壬辛之比例若乙与丙也(分/法)
(先以乙丙两线联为一直线次截/戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十)次于戊辛上作
戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作
戊癸癸辛线相联末于戊癸癸辛上作戊丑子癸
癸卯寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等(本篇/十八)
几何原本 卷六之首 第 91b 页 WYG0798-0743b.png
即此两形并与甲等又各与丁相似而体势等其
比例又若乙与丙
论曰戊癸辛既负半圜为直角(三卷/卅一)即戊子癸寅
两形并与等戊庚之甲等(本篇/卅一)又戊壬与壬癸之
比例若戊癸与癸辛(俱在直角两旁/故见本篇四)戊壬壬癸壬
辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸
再加之比例(本篇八/之系)而戊子与癸寅两形亦为戊
癸与癸辛两相似边再加之比例(本篇/二十)则戊壬与
比例又若乙与丙
论曰戊癸辛既负半圜为直角(三卷/卅一)即戊子癸寅
两形并与等戊庚之甲等(本篇/卅一)又戊壬与壬癸之
比例若戊癸与癸辛(俱在直角两旁/故见本篇四)戊壬壬癸壬
辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸
再加之比例(本篇八/之系)而戊子与癸寅两形亦为戊
癸与癸辛两相似边再加之比例(本篇/二十)则戊壬与
几何原本 卷六之首 第 92a 页 WYG0798-0743c.png
壬辛之比例亦若戊子与癸寅也(两比例为两同/理比例之再加)
(故/)夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅
亦若乙与丙也
今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何
亦以圜径当形边依上法作之
六增题一直线形求分作两直线形俱与所设形
相似而体势等其两分形两相似边之比例若所
设两几何之比例
(故/)夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅
亦若乙与丙也
今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何
亦以圜径当形边依上法作之
六增题一直线形求分作两直线形俱与所设形
相似而体势等其两分形两相似边之比例若所
设两几何之比例
几何原本 卷六之首 第 92b 页 WYG0798-0743d.png
法曰甲直线形求分作两直线形
俱与所设丁形相似而体势等其
两分形两相似边之比例若所设
两几何如乙线与丙线之比例先
以乙与丙两线求其连比例之末
率为戊(本篇/十一)次作己庚辛直线形与甲等与丁相
似而体势等次任用其一边如己辛两分之于壬
令己壬与壬辛之比例若乙与戊也(本篇/十)次于己
俱与所设丁形相似而体势等其
两分形两相似边之比例若所设
两几何如乙线与丙线之比例先
以乙与丙两线求其连比例之末
率为戊(本篇/十一)次作己庚辛直线形与甲等与丁相
似而体势等次任用其一边如己辛两分之于壬
令己壬与壬辛之比例若乙与戊也(本篇/十)次于己
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辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之
垂线次作己癸癸辛两线相联未于己癸癸辛上
作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即
此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相
似边之比例若乙与丙
论曰己癸辛既负半圜为直角(三卷/卅)即己子癸癸
丑辛两形并与等己庚辛之甲等(本篇/卅一)又己壬与
壬癸之比例若己癸与癸辛(俱在直角两旁/故见本篇四)己壬
垂线次作己癸癸辛两线相联未于己癸癸辛上
作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即
此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相
似边之比例若乙与丙
论曰己癸辛既负半圜为直角(三卷/卅)即己子癸癸
丑辛两形并与等己庚辛之甲等(本篇/卅一)又己壬与
壬癸之比例若己癸与癸辛(俱在直角两旁/故见本篇四)己壬
几何原本 卷六之首 第 93b 页 WYG0798-0744b.png
壬癸壬辛三线为连比例即己壬与壬辛为己壬
与壬癸再加之比例(本篇八/之系)夫己壬与壬癸之比
例既若己子癸癸丑辛两形相似
边之己癸与癸辛而乙与戊元若
己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙
再加之比例则己癸癸辛之比例
若乙与丙
今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所
与壬癸再加之比例(本篇八/之系)夫己壬与壬癸之比
例既若己子癸癸丑辛两形相似
边之己癸与癸辛而乙与戊元若
己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙
再加之比例则己癸癸辛之比例
若乙与丙
今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所
几何原本 卷六之首 第 94a 页 WYG0798-0744c.png
所设两几何仿此
七增题两直线形求并作一直线形与所设形相
似而体势等
法曰甲乙两直线形求并作一形与
所设丙形相似而体势等先作戊丁
己形与甲等作己庚辛形与乙等又
各与丙相似而体势等(本篇/廿五)次置两
形令相似之戊己己辛两边联为直
七增题两直线形求并作一直线形与所设形相
似而体势等
法曰甲乙两直线形求并作一形与
所设丙形相似而体势等先作戊丁
己形与甲等作己庚辛形与乙等又
各与丙相似而体势等(本篇/廿五)次置两
形令相似之戊己己辛两边联为直
几何原本 卷六之首 第 94b 页 WYG0798-0744d.png
角次作戊辛线相联末依戊辛线作戊辛壬与丙
相似而体势等即与上两形并等(本篇/卅一)如所求
又法曰作一平行方形与甲乙两形并等(一卷/四五)次
作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体
势等即所求
今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形边依上
法作之
八增题圜内两合线交而相分其所分之线彼此
相似而体势等即与上两形并等(本篇/卅一)如所求
又法曰作一平行方形与甲乙两形并等(一卷/四五)次
作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体
势等即所求
今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形边依上
法作之
八增题圜内两合线交而相分其所分之线彼此
几何原本 卷六之首 第 95a 页 WYG0798-0745a.png
互相视
解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合
线交而相分于戊题言所分之甲戊戊
丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊
与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙
戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等
(三卷/卅五)即等角旁之两边为互相视之边(本篇/十四)
解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合
线交而相分于戊题言所分之甲戊戊
丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊
与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙
戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等
(三卷/卅五)即等角旁之两边为互相视之边(本篇/十四)
几何原本 卷六之首 第 95b 页 WYG0798-0745b.png
九增题圜外任取一点从点出两直线皆割圜至
规内其两全线与两规外线彼此互相视若从点
作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外
线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊点从戊作
戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于
甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相
视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也
规内其两全线与两规外线彼此互相视若从点
作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外
线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊点从戊作
戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于
甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相
视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也
几何原本 卷六之首 第 96a 页 WYG0798-0745c.png
又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也
论曰试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙
矩内直角形与戊己上直角方形等(三卷/卅六)又戊丁
偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方
形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲
两矩内直角形自相等而等角旁之两
边为互相视之边(本篇/十四)又戊丙偕戊乙
戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方
论曰试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙
矩内直角形与戊己上直角方形等(三卷/卅六)又戊丁
偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方
形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲
两矩内直角形自相等而等角旁之两
边为互相视之边(本篇/十四)又戊丙偕戊乙
戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方
几何原本 卷六之首 第 96b 页 WYG0798-0745d.png
形等(三卷/卅六)即戊丙戊己戊乙三线为连比例戊丁
戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与
其规外线之各中率(本篇/十七)
十增题两直线相遇作角从两线之各一界互下
垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至
垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲
作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为
戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与
其规外线之各中率(本篇/十七)
十增题两直线相遇作角从两线之各一界互下
垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至
垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲
作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为
几何原本 卷六之首 第 97a 页 WYG0798-0746a.png
钝角即如前图两垂线当至甲乙丙
乙之各引出线上为甲丁为丙戊其
甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙
丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线
当在甲乙丙乙之内交而相分于己也
题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视
者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁
乙若乙丙与乙戊也
乙之各引出线上为甲丁为丙戊其
甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙
丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线
当在甲乙丙乙之内交而相分于己也
题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视
者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁
乙若乙丙与乙戊也
几何原本 卷六之首 第 97b 页 WYG0798-0746b.png
论曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两
角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两
角各等(两为直角两于前图为/交角于后图为同角故)即两形
为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙
戊也(本篇/四)更之则甲乙与乙丙若丁乙
与乙戊也
又论曰依前图可推后图之甲丁丙戊交而相分
于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲
角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两
角各等(两为直角两于前图为/交角于后图为同角故)即两形
为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙
戊也(本篇/四)更之则甲乙与乙丙若丁乙
与乙戊也
又论曰依前图可推后图之甲丁丙戊交而相分
于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲
几何原本 卷六之首 第 98a 页 WYG0798-0746c.png
己戊丙己丁既为等角形即甲己与己戊若丙己
与己丁也(本篇/四)更之则甲己与丙己若己戊与己
丁也
十一增题平行线形内两直线与两边平行相交
而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆
等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚
辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题
言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相
与己丁也(本篇/四)更之则甲己与丙己若己戊与己
丁也
十一增题平行线形内两直线与两边平行相交
而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆
等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚
辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题
言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相
几何原本 卷六之首 第 98b 页 WYG0798-0746d.png
与为比例皆等
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己
两形(本篇/一)又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己
亦若乙壬与壬丙也(五卷/十二)依显乙壬与戊庚亦若
壬丙与庚己也
十二增题凡四边形之对角两线交而相分其所
分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己
两形(本篇/一)又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己
亦若乙壬与壬丙也(五卷/十二)依显乙壬与戊庚亦若
壬丙与庚己也
十二增题凡四边形之对角两线交而相分其所
分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交
几何原本 卷六之首 第 99a 页 WYG0798-0747a.png
相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙甲戊
乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等
论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁
与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形
(本篇/一)即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与
乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与
丁戊丙也
十三增题三角形任于一边任取一点从点求作
乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等
论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁
与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形
(本篇/一)即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与
乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与
丁戊丙也
十三增题三角形任于一边任取一点从点求作
几何原本 卷六之首 第 99b 页 WYG0798-0747b.png
一线分本形为两形其两形之比例若所设两几
何之比例
先法曰甲乙丙角形任于一边如乙丙
上任取一点为丁求从丁作一线分本
形为两形其两形之比例若所设两几
何如戊线与己线之比例先以乙丙线
两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己(本/篇)
(十/)其庚与丁若同点即作丁甲线则乙丁与丁丙
何之比例
先法曰甲乙丙角形任于一边如乙丙
上任取一点为丁求从丁作一线分本
形为两形其两形之比例若所设两几
何如戊线与己线之比例先以乙丙线
两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己(本/篇)
(十/)其庚与丁若同点即作丁甲线则乙丁与丁丙
几何原本 卷六之首 第 100a 页 WYG0798-0747c.png
两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也(本篇/一)
是丁甲线所分两形之比例若戊与己
次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲线次
从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线
相联即丁辛线分本形为两形其比例若
戊与己者谓乙丁辛甲无法四边形与丁
丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也
论曰试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等(一/卷)
是丁甲线所分两形之比例若戊与己
次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲线次
从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线
相联即丁辛线分本形为两形其比例若
戊与己者谓乙丁辛甲无法四边形与丁
丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也
论曰试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等(一/卷)
几何原本 卷六之首 第 100b 页 WYG0798-0747d.png
(卅/七)次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角
形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若
甲乙丙与丙辛丁也(五卷/七)分之则乙庚甲角形与
丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四边形与
丙辛丁角形也(五卷/十七)乙庚甲与丙庚甲两角形之
比例既若乙庚与庚丙(本篇/一)则乙丁辛甲无法四
边形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也
则亦若戊与己也
形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若
甲乙丙与丙辛丁也(五卷/七)分之则乙庚甲角形与
丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四边形与
丙辛丁角形也(五卷/十七)乙庚甲与丙庚甲两角形之
比例既若乙庚与庚丙(本篇/一)则乙丁辛甲无法四
边形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也
则亦若戊与己也
几何原本 卷六之首 第 101a 页 WYG0798-0748a.png
后法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲线次
从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线
相联即丁辛线分本形为两形其比例若
戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无
法四边之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也
论曰试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角
形等(一卷/卅七)次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙
辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形
从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线
相联即丁辛线分本形为两形其比例若
戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无
法四边之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也
论曰试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角
形等(一卷/卅七)次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙
辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形
几何原本 卷六之首 第 101b 页 WYG0798-0748b.png
之比例若甲乙丙与乙辛丁也(五卷/七)分之
则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若
丁丙甲辛无法四边形与乙辛丁角形也
(五卷/十七)反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形
之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四边形
也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙(本/篇)
则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四边形之比
例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也
则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若
丁丙甲辛无法四边形与乙辛丁角形也
(五卷/十七)反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形
之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四边形
也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙(本/篇)
则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四边形之比
例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也
几何原本 卷六之首 第 102a 页 WYG0798-0748c.png
系凡角形任于一边任取一点从点求减命分之
一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每
少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之
比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形
与所减分之比例其倍数若命分之数也
十四增题一直线形求别作一直线形相似而体
势等其小大之比例如所设两几何之比例
法曰甲直线形求别作直线形相似而体势等其
一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每
少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之
比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形
与所减分之比例其倍数若命分之数也
十四增题一直线形求别作一直线形相似而体
势等其小大之比例如所设两几何之比例
法曰甲直线形求别作直线形相似而体势等其
几何原本 卷六之首 第 102b 页 WYG0798-0748d.png
甲形与所作形小大之比例若所设
两几何如乙与丙两线之比例先以
乙丙及任用甲之一边如丁戊三线
求其断比例之末率为己(本篇/十二)次求
丁戊及己之中率线为庚辛(本篇/十三)末
从庚辛上作壬直线形与甲相似而
体势等即甲与壬之比例若乙与丙
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即
两几何如乙与丙两线之比例先以
乙丙及任用甲之一边如丁戊三线
求其断比例之末率为己(本篇/十二)次求
丁戊及己之中率线为庚辛(本篇/十三)末
从庚辛上作壬直线形与甲相似而
体势等即甲与壬之比例若乙与丙
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即
几何原本 卷六之首 第 103a 页 WYG0798-0749a.png
一丁戊与三己之比例若相似而体
势等之甲与壬(本篇十九/二十之系)
若先设大甲求作小壬若乙与丙其
法同如上图
用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍
大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分
之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形
与他形皆相似而体势等
势等之甲与壬(本篇十九/二十之系)
若先设大甲求作小壬若乙与丙其
法同如上图
用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍
大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分
之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形
与他形皆相似而体势等
几何原本 卷六之首 第 103b 页 WYG0798-0749b.png
有用法作直角方形平行线形及各形
之相加相减者如甲乙丙丁直角方形
求别作五倍大之他形先以甲乙线引
长之以甲乙为度截取五分至戊令乙
至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚
戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所
求方形之一边也末作乙庚辛己直角方形即五
之相加相减者如甲乙丙丁直角方形
求别作五倍大之他形先以甲乙线引
长之以甲乙为度截取五分至戊令乙
至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚
戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所
求方形之一边也末作乙庚辛己直角方形即五
几何原本 卷六之首 第 104a 页 WYG0798-0749c.png
倍大于甲丙向者乙庚既为戊乙乙甲
之中率线(本篇十/三之系)即一戊乙与三乙甲
之比例若二庚乙上直角方形与三甲
乙上直角方形之比例也(本篇二/十之系)戊乙
既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙
若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙
之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙
三分之一相加相减仿此以至无穷如甲乙丙丁
之中率线(本篇十/三之系)即一戊乙与三乙甲
之比例若二庚乙上直角方形与三甲
乙上直角方形之比例也(本篇二/十之系)戊乙
既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙
若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙
之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙
三分之一相加相减仿此以至无穷如甲乙丙丁
几何原本 卷六之首 第 104b 页 WYG0798-0749d.png
平行直角形求别作二倍大之他形相似而体势
等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至
戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以
甲戊两平分于己次以己为心甲戊
为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行
遇圜界于庚即乙庚为所求直角形
之一边也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从
辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长
等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至
戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以
甲戊两平分于己次以己为心甲戊
为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行
遇圜界于庚即乙庚为所求直角形
之一边也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从
辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长
几何原本 卷六之首 第 105a 页 WYG0798-0750a.png
之与辛壬线遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸
平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等
何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例(本篇十/三之系)如
前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲
辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形
甲丙也(本篇二/十之系)戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二
倍于甲丙
用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似
平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等
何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例(本篇十/三之系)如
前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲
辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形
甲丙也(本篇二/十之系)戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二
倍于甲丙
用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似
几何原本 卷六之首 第 105b 页 WYG0798-0750b.png
而体势等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形
相加相减俱仿此以至无穷
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于
甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷
以上用法与本增题同但此用法随作随得中率
线不费寻求致为简易耳
十五增题诸三角形求作内切直角方形
法曰如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从
相加相减俱仿此以至无穷
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于
甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷
以上用法与本增题同但此用法随作随得中率
线不费寻求致为简易耳
十五增题诸三角形求作内切直角方形
法曰如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从
几何原本 卷六之首 第 106a 页 WYG0798-0750c.png
甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与
戊丁之比例若甲丁与乙丙(本/篇)
(十一/增题)末从戊作己庚线与乙丙
平行从己从庚作己辛庚壬两
线皆与戊丁平行即得己壬形
如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线馀
法同(如第二第/三图是)
以甲丁线两分于戊令甲戊与
戊丁之比例若甲丁与乙丙(本/篇)
(十一/增题)末从戊作己庚线与乙丙
平行从己从庚作己辛庚壬两
线皆与戊丁平行即得己壬形
如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线馀
法同(如第二第/三图是)
几何原本 卷六之首 第 106b 页 WYG0798-0750d.png
论曰己戊庚线既与乙丙平行即乙丁与丁丙若
己戊与戊庚也(本篇四/之增题)合之即乙丙与丁丙若己
庚与戊庚也又丁丙与甲丁若
戊庚与甲戊(甲丁丙与甲戊庚/为等角形故见本)
(篇四/之系)平之即乙丙与甲丁若己
庚与甲戊也又甲丁与乙丙若
甲戊与戊丁平之即乙丙与乙
丙若己庚与戊丁也乙丙与乙
己戊与戊庚也(本篇四/之增题)合之即乙丙与丁丙若己
庚与戊庚也又丁丙与甲丁若
戊庚与甲戊(甲丁丙与甲戊庚/为等角形故见本)
(篇四/之系)平之即乙丙与甲丁若己
庚与甲戊也又甲丁与乙丙若
甲戊与戊丁平之即乙丙与乙
丙若己庚与戊丁也乙丙与乙
几何原本 卷六之首 第 107a 页 WYG0798-0751a.png
丙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬
又等(一卷/卅四)戊丁与己辛庚壬亦等则己庚庚壬壬
辛辛己四边俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦
直角(一卷/廿九)其馀亦皆直角而己壬为直角方形
又法曰若直角三边形求依乙角作
内切直角方形则以垂线甲乙两分
于丁令甲丁与丁乙之比例若甲乙
与乙丙(本篇/十)次从丁作丁戊直线与乙丙平行从
又等(一卷/卅四)戊丁与己辛庚壬亦等则己庚庚壬壬
辛辛己四边俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦
直角(一卷/廿九)其馀亦皆直角而己壬为直角方形
又法曰若直角三边形求依乙角作
内切直角方形则以垂线甲乙两分
于丁令甲丁与丁乙之比例若甲乙
与乙丙(本篇/十)次从丁作丁戊直线与乙丙平行从
几何原本 卷六之首 第 107b 页 WYG0798-0751b.png
戊作戊己直线与甲乙平行即得丁己形如所求
论曰乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁(甲乙丙甲丁/戊为等角形)
(故见本篇/四之系)而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之
即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也乙丙与乙丙同
线必等即丁戊与丁乙必等而丁己为直角方形
今附如上三边直角形依乙角作内切直角方形
其方形边必为甲丁己丙两分馀边之中率何者
甲丁与丁戊若戊己与己丙故(本篇四/之系)
论曰乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁(甲乙丙甲丁/戊为等角形)
(故见本篇/四之系)而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之
即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也乙丙与乙丙同
线必等即丁戊与丁乙必等而丁己为直角方形
今附如上三边直角形依乙角作内切直角方形
其方形边必为甲丁己丙两分馀边之中率何者
甲丁与丁戊若戊己与己丙故(本篇四/之系)
几何原本 卷六之首 第 108a 页 WYG0798-0751c.png
几何原本 卷六之首 第 108b 页 WYG0798-0751d.png
几何原本卷六