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几何原本 卷五之首 第 1a 页 WYG0798-0663a.png
钦定四库全书
几何原本卷五之首
西洋利玛窦译
界说十九则
前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以
上多几何同例相比者也而本卷则总说完几何
之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比绝
不及线面体诸类也第六卷则论线论角论圜界
几何原本卷五之首
西洋利玛窦译
界说十九则
前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以
上多几何同例相比者也而本卷则总说完几何
之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比绝
不及线面体诸类也第六卷则论线论角论圜界
几何原本 卷五之首 第 1b 页 WYG0798-0663b.png
诸类及诸形之同例相比者也今先解向后所用
名目为界说十九
第一界
分者几何之几何也小能度大以小为大之分
以小几何度大几何谓之分曰几何之几
何者谓非此小几何不能为此大几何之
分也如一点无分亦非几何即不能为线
之分也一线无广狭之分非广狭之几何
名目为界说十九
第一界
分者几何之几何也小能度大以小为大之分
以小几何度大几何谓之分曰几何之几
何者谓非此小几何不能为此大几何之
分也如一点无分亦非几何即不能为线
之分也一线无广狭之分非广狭之几何
几何原本 卷五之首 第 2a 页 WYG0798-0663c.png
即不能为面之分也一面无厚薄之分非厚薄之几
何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大
几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为
乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁
之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不
足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之
若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无
赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十
何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大
几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为
乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁
之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不
足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之
若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无
赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十
几何原本 卷五之首 第 2b 页 WYG0798-0663d.png
八诸数或赢或不足皆不能尽分者也本书所论皆
指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何
之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称
小度大也不为大几何内之小几何也
第二界
若小几何能度大者则大为小之几倍
如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍
若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍
指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何
之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称
小度大也不为大几何内之小几何也
第二界
若小几何能度大者则大为小之几倍
如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍
若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍
几何原本 卷五之首 第 3a 页 WYG0798-0664a.png
第三界
比例者两几何以几何相比之理
两几何者或两数或两线或两面或两体各以同类
大小相比谓之比例若线与面或数与线相比此异
类不为比例又若白线与黑线热线与冷线相比虽
同类不以几何相比亦不为比例也
比例之说在几何为正用亦有借用者如时如音如
声如所如动如称之属皆以比例论之
比例者两几何以几何相比之理
两几何者或两数或两线或两面或两体各以同类
大小相比谓之比例若线与面或数与线相比此异
类不为比例又若白线与黑线热线与冷线相比虽
同类不以几何相比亦不为比例也
比例之说在几何为正用亦有借用者如时如音如
声如所如动如称之属皆以比例论之
几何原本 卷五之首 第 3b 页 WYG0798-0664b.png
凡两几何相比以此几何比他几何则此几何为前
率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之
线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之
线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
比例为用甚广故详论之如左
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合
如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为
小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而
率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之
线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之
线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
比例为用甚广故详论之如左
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合
如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为
小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而
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非数可明者是也
如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二
十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之
者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数
之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若
七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小
合线为无两度之线如直角方形之两边与其对角
线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽
如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二
十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之
者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数
之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若
七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小
合线为无两度之线如直角方形之两边与其对角
线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽
几何原本 卷五之首 第 4b 页 WYG0798-0664d.png
分能度两率者是也(此论详见/十卷末题)
小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也
凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比
十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六
尺之线比二尺之线是也
如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以
大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十
是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍
小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也
凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比
十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六
尺之线比二尺之线是也
如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以
大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十
是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍
几何原本 卷五之首 第 5a 页 WYG0798-0665a.png
大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一
分五为几倍大带几分
一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或
十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十
尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二
十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为
六倍大之比例也仿此为名可至无穷也
二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一
分五为几倍大带几分
一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或
十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十
尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二
十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为
六倍大之比例也仿此为名可至无穷也
二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一
几何原本 卷五之首 第 5b 页 WYG0798-0665b.png
分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至
无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二
之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带
三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二
尺与九尺名为等带三分之一也
三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几
分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是
八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不
无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二
之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带
三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二
尺与九尺名为等带三分之一也
三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几
分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是
八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不
几何原本 卷五之首 第 6a 页 WYG0798-0665c.png
能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别
带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却
能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也
则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即
名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何
内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分
或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如
九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一
带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却
能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也
则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即
名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何
内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分
或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如
九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一
几何原本 卷五之首 第 6b 页 WYG0798-0665d.png
则九与四名为二倍大带四分之一也
五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之
二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽
分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二
一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也
则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不
等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分
五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之
二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽
分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二
一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也
则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不
等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分
几何原本 卷五之首 第 7a 页 WYG0798-0666a.png
三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几
倍大带几分
凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全
数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如
分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不
必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数
如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分
数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九
倍大带几分
凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全
数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如
分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不
必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数
如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分
数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九
几何原本 卷五之首 第 7b 页 WYG0798-0666b.png
分之七即十九为命分数七为得分数也
书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数
书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若
四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数
书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之
数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四
倍即书四之一六倍即书六之一也
其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全
书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数
书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若
四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数
书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之
数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四
倍即书四之一六倍即书六之一也
其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全
几何原本 卷五之首 第 8a 页 WYG0798-0666c.png
数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一
为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之
一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命
分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此
之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又
如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带
一千分之一反书之即书一千○○一之一千也
其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其
为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之
一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命
分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此
之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又
如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带
一千分之一反书之即书一千○○一之一千也
其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其
几何原本 卷五之首 第 8b 页 WYG0798-0666d.png
全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以
所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书
一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以
大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分
数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之
三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如
等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二
十也
所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书
一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以
大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分
数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之
三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如
等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二
十也
几何原本 卷五之首 第 9a 页 WYG0798-0667a.png
其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全
数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十
二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一
名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分
数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带
一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之
命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三
带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数
数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十
二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一
名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分
数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带
一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之
命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三
带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数
几何原本 卷五之首 第 9b 页 WYG0798-0667b.png
书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五
得四十五加一为四十六即书四十六之九也
其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全
数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如
二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三
倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分
数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大
比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数
得四十五加一为四十六即书四十六之九也
其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全
数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如
二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三
倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分
数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大
比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数
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乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为
三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九
书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之
五也
以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一
第四界
两比例之理相似为同理之比例
两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比
三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九
书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之
五也
以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一
第四界
两比例之理相似为同理之比例
两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比
几何原本 卷五之首 第 10b 页 WYG0798-0667d.png
例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁
两几何之比例其理相似为同理之比
例又若戊与己两几何之比例偕己与
庚两几何之比例其理相似亦同理之
比例
凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例
有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比
例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中
两几何之比例其理相似为同理之比
例又若戊与己两几何之比例偕己与
庚两几何之比例其理相似亦同理之
比例
凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例
有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比
例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中
几何原本 卷五之首 第 11a 页 WYG0798-0668a.png
率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后
又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也
二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前
图甲自与乙比丙自与丁比是也
第五界
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何
上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比
例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相
又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也
二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前
图甲自与乙比丙自与丁比是也
第五界
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何
上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比
例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相
几何原本 卷五之首 第 11b 页 WYG0798-0668b.png
胜者如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身
即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方
形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明
而直角方形之一边一倍之即大于对角线(两边等/三角形)
(其两边并必大于/一边见一卷二十)是亦有小合比例之线也又圜之
径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合
比例之线也(圜之界当三径七分径/之一弱别见圜形书)又曲线与直线
亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一
即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方
形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明
而直角方形之一边一倍之即大于对角线(两边等/三角形)
(其两边并必大于/一边见一卷二十)是亦有小合比例之线也又圜之
径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合
比例之线也(圜之界当三径七分径/之一弱别见圜形书)又曲线与直线
亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一
几何原本 卷五之首 第 12a 页 WYG0798-0668c.png
直角方形与之等(六卷三十三/一增题今附)即曲直两线相视有
大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士
无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不
可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上
图直角钝角锐角皆有与曲线角等者若第一图甲
乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设
有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙
丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙
大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士
无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不
可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上
图直角钝角锐角皆有与曲线角等者若第一图甲
乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设
有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙
丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙
几何原本 卷五之首 第 12b 页 WYG0798-0668d.png
丙直角等矣依显壬庚癸曲线角与己庚辛
钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅
锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两
角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例
者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类
实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之
线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者
毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切
钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅
锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两
角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例
者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类
实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之
线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者
毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切
几何原本 卷五之首 第 13a 页 WYG0798-0669a.png
圜角与直线锐角亦无比例何者依三卷十六题所
说毕世倍切边角不能胜至小之锐角故也此后诸
篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备著其理
以需后论也
第六界
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第
一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或
俱为大俱为小恒如是
说毕世倍切边角不能胜至小之锐角故也此后诸
篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备著其理
以需后论也
第六界
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第
一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或
俱为大俱为小恒如是
几何原本 卷五之首 第 13b 页 WYG0798-0669b.png
两几何曷显其能为比例乎上第五界所说是也两
比例曷显其能为同理之比例乎此所说是也其术
通大合小合皆以加倍法求之如
一甲二乙三丙四丁四几何于一
甲三丙任加几倍为戊为己戊倍
甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为
庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚
与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之
比例曷显其能为同理之比例乎此所说是也其术
通大合小合皆以加倍法求之如
一甲二乙三丙四丁四几何于一
甲三丙任加几倍为戊为己戊倍
甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为
庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚
与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之
几何原本 卷五之首 第 14a 页 WYG0798-0669c.png
恒如是即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之
比例也
如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍
之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙
之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲
之戊大于倍乙之庚而倍丙之己
亦大于倍丁之辛此之谓或相等
或虽不等而俱为大俱为小若累
比例也
如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍
之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙
之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲
之戊大于倍乙之庚而倍丙之己
亦大于倍丁之辛此之谓或相等
或虽不等而俱为大俱为小若累
几何原本 卷五之首 第 14b 页 WYG0798-0669d.png
合一差即元设四几何不得为同理之比例如下第
八界所指是也
下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第
一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱
小若许其四几何为同理之比例亦如之
以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为
六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为
十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍
八界所指是也
下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第
一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱
小若许其四几何为同理之比例亦如之
以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为
六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为
十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍
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为十四为二十八其倍第一之十二既
小于倍第二之十四而倍第三之二十
四亦小于倍第四之二十八也又以第
一之三第三之六同加六倍为十八为
三十六次以第二之二第四之四同加
九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍
第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之
三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九
小于倍第二之十四而倍第三之二十
四亦小于倍第四之二十八也又以第
一之三第三之六同加六倍为十八为
三十六次以第二之二第四之四同加
九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍
第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之
三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九
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为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为
八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之
十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等
累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例
也
以上论四几何者断比例之法也其连比例法仿此
但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此
异耳
八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之
十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等
累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例
也
以上论四几何者断比例之法也其连比例法仿此
但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此
异耳
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第七界
同理比例之几何为相称之几何
甲与乙若丙与丁是四几何为同理之
比例即四几何为相称之几何又戊与
己若己与庚即三几何亦相称之几何
第八界
四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几
倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第
同理比例之几何为相称之几何
甲与乙若丙与丁是四几何为同理之
比例即四几何为相称之几何又戊与
己若己与庚即三几何亦相称之几何
第八界
四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几
倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第
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三与四之比例
此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显
为大曷显为小也谓第一第三之几
倍与第二第四之几倍依上累试之
其间有第一之几倍大于第二之几
倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第
一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲
一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各
此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显
为大曷显为小也谓第一第三之几
倍与第二第四之几倍依上累试之
其间有第一之几倍大于第二之几
倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第
一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲
一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各
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四倍为庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙
三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大
于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第
三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二
之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者
但有其一不必再试
以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大
于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有
三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大
于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第
三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二
之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者
但有其一不必再试
以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大
于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有
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第一之倍大于第二之倍而第三之倍
乃或等或小于第四之倍即第一与二
之比例大于第三与四也若以上图之
数反用之以第一为二第二为一第三
为四第四为三则第一与二之比例小
于第三与四
第九界
同理之比例至少必三率
乃或等或小于第四之倍即第一与二
之比例大于第三与四也若以上图之
数反用之以第一为二第二为一第三
为四第四为三则第一与二之比例小
于第三与四
第九界
同理之比例至少必三率
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同理之比例必两比例相比如甲与乙
若丙与丁是四率断比例也若连比例
之戊与己若己与庚则中率己既为戊
之后又为庚之前是以三率当四率也
第十界
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例
四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比
例仿此以至无穷
若丙与丁是四率断比例也若连比例
之戊与己若己与庚则中率己既为戊
之后又为庚之前是以三率当四率也
第十界
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例
四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比
例仿此以至无穷
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甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例其甲与乙若
乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲
与三丙视一甲与二乙为再加之比例
又一甲与四丁视一甲与二乙为三加
之比例何者甲丁之中有乙丙两几何
为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一
甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则
一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加
乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲
与三丙视一甲与二乙为再加之比例
又一甲与四丁视一甲与二乙为三加
之比例何者甲丁之中有乙丙两几何
为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一
甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则
一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加
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也
下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为
此形之一边与彼形之一边再加之比例何者若作
三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角
方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此
直角方形之边三尺而彼直角方形之边一尺即此
形边与彼形边若九与一也夫九与一之间有三为
同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与
下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为
此形之一边与彼形之一边再加之比例何者若作
三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角
方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此
直角方形之边三尺而彼直角方形之边一尺即此
形边与彼形边若九与一也夫九与一之间有三为
同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与
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一为比例又以九比三三比一为再加之比例也则
彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分
之一也大略第一与二之比例若线相比第一与三
若平面相比第一与四若体相比也(第一与五若算/家三乘方与六)
(若四乘方与七若五/乘方仿此以至无穷)
第十一界
同理之几何前与前相当后与后相当
上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一
彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分
之一也大略第一与二之比例若线相比第一与三
若平面相比第一与四若体相比也(第一与五若算/家三乘方与六)
(若四乘方与七若五/乘方仿此以至无穷)
第十一界
同理之几何前与前相当后与后相当
上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一
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比例之两几何有前后而同理之两
比例四几何有两前两后故特解言
比例之论常以前与前相当后与后
相当也如上甲与乙丙与丁两比例
同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比
例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两
三角形之边相比亦常以同理之两边相当不可混
也
比例四几何有两前两后故特解言
比例之论常以前与前相当后与后
相当也如上甲与乙丙与丁两比例
同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比
例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两
三角形之边相比亦常以同理之两边相当不可混
也
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上文第六第八界说几何之几倍常以一与三同倍
二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两
后各同理故
第十二界
有属理更前与前更后与后
此下说比例六理皆后论所需也
四几何甲与乙之比例若丙与丁今
更推甲与丙若乙与丁为属理 下言属理皆省曰
二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两
后各同理故
第十二界
有属理更前与前更后与后
此下说比例六理皆后论所需也
四几何甲与乙之比例若丙与丁今
更推甲与丙若乙与丁为属理 下言属理皆省曰
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更
此论未證證见本卷十六
此界之理可施于四率同类之比例若两线两面或
两面两数等不为同类即不得相更也
第十三界
有反理取后为前取前为后
甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与
甲若丁与丙为反理
此论未證證见本卷十六
此界之理可施于四率同类之比例若两线两面或
两面两数等不为同类即不得相更也
第十三界
有反理取后为前取前为后
甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与
甲若丁与丙为反理
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證见本篇四之系
此界之理亦可施于异类之比例
第十四界
有合理合前与后为一而比其后
甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合
甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊
己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合
两前后率为两一率而比两后率也
此界之理亦可施于异类之比例
第十四界
有合理合前与后为一而比其后
甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合
甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊
己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合
两前后率为两一率而比两后率也
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證见本卷十八
第十五界
有分理取前之较而比其后
甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分
推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁
己与己戊
證见本卷十七
第十五界
有分理取前之较而比其后
甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分
推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁
己与己戊
證见本卷十七
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第十六界
有转理以前为前以前之较为后
甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转
推甲乙与甲丙若丁戊与丁己
證见本卷十九
第十七界
有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则
有转理以前为前以前之较为后
甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转
推甲乙与甲丙若丁戊与丁己
證见本卷十九
第十七界
有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则
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此之第一与三若彼之第一与三又曰去其中取其
首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何
等数相为同理之连比例者甲与乙
若丁与戊乙与丙若戊与己也今平
推首甲与尾丙若首丁与尾己
平理之分又有二种如后二界
第十八界
有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后
首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何
等数相为同理之连比例者甲与乙
若丁与戊乙与丙若戊与己也今平
推首甲与尾丙若首丁与尾己
平理之分又有二种如后二界
第十八界
有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后
几何原本 卷五之首 第 23b 页 WYG0798-0674b.png
与他率若彼之后与他率
甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙
若后戊与他率己是序也今平推甲
与丙若丁与己也(此与十七界同重/宣序义以别后界)
(也/)
證见本卷二十二
第十九界
有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼
甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙
若后戊与他率己是序也今平推甲
与丙若丁与己也(此与十七界同重/宣序义以别后界)
(也/)
證见本卷二十二
第十九界
有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼
几何原本 卷五之首 第 24a 页 WYG0798-0674c.png
之前与后而此之后与他率若彼之他率与其前
甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲
与乙若戊与己又此之后乙与他率
丙若彼之他率丁与前戊是错也今
平推甲与丙若丁与己也(十八十九界推法于十七/界中通论之故两题中不)
(再著/也)
證见本卷二十三
增一几何有一几何相与为比例即此几何必有
甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲
与乙若戊与己又此之后乙与他率
丙若彼之他率丁与前戊是错也今
平推甲与丙若丁与己也(十八十九界推法于十七/界中通论之故两题中不)
(再著/也)
證见本卷二十三
增一几何有一几何相与为比例即此几何必有
几何原本 卷五之首 第 24b 页 WYG0798-0674d.png
彼几何相与为比例而两比例等一几何有一几
何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例
而两比例等(比例同理省/曰比例等)
甲几何与乙几何为比例即此几何丙
亦必有彼几何如丁相与为比例若甲
与乙也丙几何与丁几何为比例即必
有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也
此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之
何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例
而两比例等(比例同理省/曰比例等)
甲几何与乙几何为比例即此几何丙
亦必有彼几何如丁相与为比例若甲
与乙也丙几何与丁几何为比例即必
有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也
此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之
几何原本 卷五之首 第 25a 页 WYG0798-0675a.png
理备见后卷
几何原本 卷五之首 第 25b 页 WYG0798-0675b.png
几何原本卷五之首
几何原本 卷五之首 第 26a 页 WYG0798-0675c.png
钦定四库全书
几何原本卷五
西洋利玛窦撰
第一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则
此之并率亦几倍于彼之并率
解曰如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二
几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己
几何原本卷五
西洋利玛窦撰
第一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则
此之并率亦几倍于彼之并率
解曰如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二
几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己
几何原本 卷五之首 第 26b 页 WYG0798-0675d.png
并亦若干倍
论曰如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己
即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛
乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸
癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既
与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于
戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬
癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之
论曰如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己
即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛
乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸
癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既
与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于
戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬
癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之
几何原本 卷五之首 第 27a 页 WYG0798-0676a.png
分三合于戊己皆等(本卷界/说二)则甲乙丙丁并三倍大
于戊己并
第二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而
第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第
五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数
解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又
五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一
于戊己并
第二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而
第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第
五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数
解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又
五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一
几何原本 卷五之首 第 27b 页 WYG0798-0676b.png
甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六
戊辛并倍四己之数
论曰甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲
乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内
有己几何若干其数亦等(本卷界/说二)依显乙庚丙有丙
若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等
数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几
何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与
戊辛并倍四己之数
论曰甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲
乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内
有己几何若干其数亦等(本卷界/说二)依显乙庚丙有丙
若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等
数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几
何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与
几何原本 卷五之首 第 28a 页 WYG0798-0676c.png
三六并之丁辛内有四己若干亦等
注曰若第一第三两几何之数与第二第四两几
何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第
四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之
数而第五第二两几何之数与第六第四两几何
之数各等俱同本论如上二
图甲庚为第一第五之并率
其倍二丙之数与丁辛为第
注曰若第一第三两几何之数与第二第四两几
何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第
四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之
数而第五第二两几何之数与第六第四两几何
之数各等俱同本论如上二
图甲庚为第一第五之并率
其倍二丙之数与丁辛为第
几何原本 卷五之首 第 28b 页 WYG0798-0676d.png
三第六之并率其倍四己之数等也(甲庚内有丙/若干与丁辛)
(内有己若干/等故同理)他若第一第三两几何之数第五第
六两几何之数与第二第四两几何之数各等此
理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六
并之倍第四俱两倍故
第三题
四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍
第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第
(内有己若干/等故同理)他若第一第三两几何之数第五第
六两几何之数与第二第四两几何之数各等此
理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六
并之倍第四俱两倍故
第三题
四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍
第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第
几何原本 卷五之首 第 29a 页 WYG0798-0677a.png
三所倍之与第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于
四丁次作戊己两几何同若干倍于甲
于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁
论曰戊与己之倍甲与丙其数既等试
以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛
辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑
即戊内有甲若干与己内有丙若干等
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于
四丁次作戊己两几何同若干倍于甲
于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁
论曰戊与己之倍甲与丙其数既等试
以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛
辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑
即戊内有甲若干与己内有丙若干等
几何原本 卷五之首 第 29b 页 WYG0798-0677b.png
(本卷界/说二)夫戊庚与甲己癸与丙既等而甲之倍乙与
丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚
辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫
一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛
之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛
并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也(本篇/二)
又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛
壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛
丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚
辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫
一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛
之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛
并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也(本篇/二)
又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛
壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛
几何原本 卷五之首 第 30a 页 WYG0798-0677c.png
壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛
壬子丑以上任作多分皆仿此论
第四题(其系为反理/)
四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同
任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍
与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等
解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若
干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙
壬子丑以上任作多分皆仿此论
第四题(其系为反理/)
四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同
任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍
与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等
解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若
干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙
几何原本 卷五之首 第 30b 页 WYG0798-0677d.png
四丁题言一甲
所倍之戊与二
乙所倍之庚偕
三丙所倍之己
与四丁所倍之
辛比例亦等
论曰试以戊己二几何同任倍之为壬为癸别以庚
辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙
所倍之戊与二
乙所倍之庚偕
三丙所倍之己
与四丁所倍之
辛比例亦等
论曰试以戊己二几何同任倍之为壬为癸别以庚
辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙
几何原本 卷五之首 第 31a 页 WYG0798-0678a.png
而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之
倍丙也(本篇/三)依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲
与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子
丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍
乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等
即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣(本卷/界说)
(六/)夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论
几许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之
倍丙也(本篇/三)依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲
与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子
丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍
乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等
即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣(本卷/界说)
(六/)夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论
几许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之
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壬与二庚所倍之子偕三己所倍之癸与四辛所倍
之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例
必等(本卷界/说六)
一系凡四几何第一与二偕第三与四比例等即可
反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍
甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大
小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反说倍乙之
子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱
之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例
必等(本卷界/说六)
一系凡四几何第一与二偕第三与四比例等即可
反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍
甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大
小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反说倍乙之
子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱
几何原本 卷五之首 第 32a 页 WYG0798-0678c.png
同类而乙与甲亦若丁与丙(本卷界/说六)
二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕
两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或
三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例
俱等仿此以至无穷
第五题
大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍
于彼全截取之分则此全之分馀所倍于彼全之分
二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕
两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或
三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例
俱等仿此以至无穷
第五题
大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍
于彼全截取之分则此全之分馀所倍于彼全之分
几何原本 卷五之首 第 32b 页 WYG0798-0678d.png
馀亦如之
解曰甲乙大几何丙丁小几何甲乙所倍
于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁
之截分丙己题言甲戊之分馀戊乙所倍
于丙巳之分馀巳丁亦如其数
论曰试作一他几何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲
戊之倍丙巳也(本卷界/说增)甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若(甲/)戊之倍丙巳
解曰甲乙大几何丙丁小几何甲乙所倍
于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁
之截分丙己题言甲戊之分馀戊乙所倍
于丙巳之分馀巳丁亦如其数
论曰试作一他几何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲
戊之倍丙巳也(本卷界/说增)甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若(甲/)戊之倍丙巳
几何原本 卷五之首 第 33a 页 WYG0798-0679a.png
也(本篇/一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍
丙己则丙丁与庚己等也次每减同用之
丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳
丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚
丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之
分馀所倍于巳丁为丙巳之分馀者亦若
甲乙之倍丙丁也
又论曰试作一他几何为庚甲令庚甲之
丙己则丙丁与庚己等也次每减同用之
丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳
丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚
丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之
分馀所倍于巳丁为丙巳之分馀者亦若
甲乙之倍丙丁也
又论曰试作一他几何为庚甲令庚甲之
几何原本 卷五之首 第 33b 页 WYG0798-0679b.png
倍己丁若甲戊之倍丙巳(本说界/说二十)即其两并庚戊之
倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也(本篇/一)而甲乙之倍丙
丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次每减
同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁
若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之
倍丙丁也
第六题
此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减
倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也(本篇/一)而甲乙之倍丙
丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次每减
同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁
若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之
倍丙丁也
第六题
此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减
几何原本 卷五之首 第 34a 页 WYG0798-0679c.png
一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分
馀或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
解曰甲乙丙丁两几何各倍于戊巳两几
何其数等每减一甲庚丙辛甲庚丙辛之
倍戊巳其数等题言分馀庚乙辛丁或与
戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等
论曰甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分馀庚
乙与戊其或等或尚几倍必矣何者庚乙与戊不等
馀或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
解曰甲乙丙丁两几何各倍于戊巳两几
何其数等每减一甲庚丙辛甲庚丙辛之
倍戊巳其数等题言分馀庚乙辛丁或与
戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等
论曰甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分馀庚
乙与戊其或等或尚几倍必矣何者庚乙与戊不等
几何原本 卷五之首 第 34b 页 WYG0798-0679d.png
不几倍其加于甲庚不成为戊之多倍也
然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试
作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若
三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙
之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于
二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳
也(本篇/二)而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己
即壬辛与丙丁亦等次每减同用之丙辛
然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试
作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若
三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙
之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于
二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳
也(本篇/二)而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己
即壬辛与丙丁亦等次每减同用之丙辛
几何原本 卷五之首 第 35a 页 WYG0798-0680a.png
即壬丙与辛丁必等是辛丁与己亦等矣然则庚乙
之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若
庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己(本/篇)
(二/)而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍
己亦若庚乙之倍戊矣
第七题(二/支)
此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与
此相等之两几何各为比例亦等
之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若
庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己(本/篇)
(二/)而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍
己亦若庚乙之倍戊矣
第七题(二/支)
此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与
此相等之两几何各为比例亦等
几何原本 卷五之首 第 35b 页 WYG0798-0680b.png
解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大
小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比
例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为
比例亦等
论曰试作丁戊两率任同若干倍于甲乙
即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁
戊既等即丁视己与戊视己或等或大或
小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比
例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为
比例亦等
论曰试作丁戊两率任同若干倍于甲乙
即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁
戊既等即丁视己与戊视己或等或大或
小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
几何原本 卷五之首 第 36a 页 WYG0798-0680c.png
当二又当四之丙所倍之己其等大小既同类(本卷/界说)
(六/)则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反说之
当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊
其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与
四乙矣
后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙
与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也
第八题
(六/)则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反说之
当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊
其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与
四乙矣
后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙
与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也
第八题
几何原本 卷五之首 第 36b 页 WYG0798-0680d.png
大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大
于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
解曰不等两几何甲乙大丙小又有他几
何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙
与丁之比例大于丙与丁之比例又反上
言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例
论曰试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而
戊乙为分馀次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚
于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
解曰不等两几何甲乙大丙小又有他几
何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙
与丁之比例大于丙与丁之比例又反上
言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例
论曰试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而
戊乙为分馀次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚
几何原本 卷五之首 第 37a 页 WYG0798-0681a.png
己而庚己为戊乙之倍必令大于丁辛庚为甲戊之
倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加
之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等
即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣(本/篇)
(一/)甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令
仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿
倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于
辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若
倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加
之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等
即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣(本/篇)
(一/)甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令
仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿
倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于
辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若
几何原本 卷五之首 第 37b 页 WYG0798-0681b.png
壬子大于辛庚者何必又倍之为壬癸也故仅大之
壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或
小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚
己必大于子癸又辛庚不小于壬子(或大/或等)即辛己亦
大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第
三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一
率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而
第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸(辛庚元/小于壬)
壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或
小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚
己必大于子癸又辛庚不小于壬子(或大/或等)即辛己亦
大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第
三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一
率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而
第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸(辛庚元/小于壬)
几何原本 卷五之首 第 38a 页 WYG0798-0681c.png
(癸/)是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣(本/卷)
(界说/八)次反上说一丁所倍之壬癸(反说则丁当一当/三丙二甲乙四)
大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于
四甲乙所倍之辛己(壬癸必小/于辛己)是一丁与二丙之比
例大于三丁与四甲乙矣(本卷界/说八)
第九题(二支/)
两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几
何与两几何各为比例而等则两几何亦等
(界说/八)次反上说一丁所倍之壬癸(反说则丁当一当/三丙二甲乙四)
大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于
四甲乙所倍之辛己(壬癸必小/于辛己)是一丁与二丙之比
例大于三丁与四甲乙矣(本卷界/说八)
第九题(二支/)
两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几
何与两几何各为比例而等则两几何亦等
几何原本 卷五之首 第 38b 页 WYG0798-0681d.png
先解曰甲乙两几何各与丙为比例等题言甲
与乙等
论曰如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例
宜大于乙与丙(本篇/八)何先设两比例等也故比例等
则甲与乙等
后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等
论曰如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大
于丙与甲(本篇/八)何先设两比例等也
与乙等
论曰如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例
宜大于乙与丙(本篇/八)何先设两比例等也故比例等
则甲与乙等
后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等
论曰如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大
于丙与甲(本篇/八)何先设两比例等也
几何原本 卷五之首 第 39a 页 WYG0798-0682a.png
第十题(二/支)
彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之
比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大
于他与此之比例则彼几何小于此
先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比
例大于乙与丙题言甲大于乙
论曰如云不然甲与乙等即所为两比例宜等
(本篇/七)何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与
彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之
比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大
于他与此之比例则彼几何小于此
先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比
例大于乙与丙题言甲大于乙
论曰如云不然甲与乙等即所为两比例宜等
(本篇/七)何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与
几何原本 卷五之首 第 39b 页 WYG0798-0682b.png
丙之比例宜大于甲与丙(本篇/八)何先设甲与丙大也
后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲
论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等
(本篇/七)何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即
丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙
大也
第十一题
此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何
后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲
论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等
(本篇/七)何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即
丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙
大也
第十一题
此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何
几何原本 卷五之首 第 40a 页 WYG0798-0682c.png
之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比
例与此两几何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比
例等题言甲乙与丙丁之比例亦等
论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为
庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之
为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三
戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于
例与此两几何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比
例等题言甲乙与丙丁之比例亦等
论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为
庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之
为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三
戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于
几何原本 卷五之首 第 40b 页 WYG0798-0682d.png
倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四
己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大
于癸即壬亦大于丑矣(本卷界/说六)依显壬之
视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后
率任作几许倍其等大小皆同类也(本卷界/说六)则甲与
乙之比例若丙与丁也
第十二题
数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若
己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大
于癸即壬亦大于丑矣(本卷界/说六)依显壬之
视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后
率任作几许倍其等大小皆同类也(本卷界/说六)则甲与
乙之比例若丙与丁也
第十二题
数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若
几何原本 卷五之首 第 41a 页 WYG0798-0683a.png
各前率与各后率之比例
解曰甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与
乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲
丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比
例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之
比例也
论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为
庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之
解曰甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与
乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲
丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比
例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之
比例也
论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为
庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之
几何原本 卷五之首 第 41b 页 WYG0798-0683b.png
为癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若
庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若
癸之倍乙也(本篇/一)夫一甲与二乙既若三
丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之
倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五
之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并
与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前
所自倍与各后所自倍其等大小必同类也(本卷界/说六)
庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若
癸之倍乙也(本篇/一)夫一甲与二乙既若三
丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之
倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五
之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并
与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前
所自倍与各后所自倍其等大小必同类也(本卷界/说六)
几何原本 卷五之首 第 42a 页 WYG0798-0683c.png
则一甲与二乙之比例若三甲丙戊并与四乙丁己
并矣
第十三题
数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三
与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之
比例亦大于第五与六之比例
解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与
四丁之比例大于五戊与六己题言甲与乙之比例
并矣
第十三题
数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三
与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之
比例亦大于第五与六之比例
解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与
四丁之比例大于五戊与六己题言甲与乙之比例
几何原本 卷五之首 第 42b 页 WYG0798-0683d.png
亦大于戊与己
论曰试以甲丙戊各前率同任倍之为庚
辛壬别以乙丁己各后率同任倍之为癸
子丑其甲与乙既若丙与丁即三试之若
倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必
大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等
若庚小于癸即辛亦小于子矣(本卷界/说六)次
丙与丁既大于戊与己又三试之即倍丙
论曰试以甲丙戊各前率同任倍之为庚
辛壬别以乙丁己各后率同任倍之为癸
子丑其甲与乙既若丙与丁即三试之若
倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必
大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等
若庚小于癸即辛亦小于子矣(本卷界/说六)次
丙与丁既大于戊与己又三试之即倍丙
几何原本 卷五之首 第 43a 页 WYG0798-0684a.png
之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之
丑也或等或小矣(本卷界/说八)夫庚癸与辛子等大小同
类则壬丑不类于辛子者亦不类于庚癸也故甲与
乙之比例亦大于戊与己(本卷界/说八)
注曰若三丙与四丁之比例或小或等于五戊六
己则一甲与二乙之比例亦小亦等于五戊六己
依此论推显
第十四题
丑也或等或小矣(本卷界/说八)夫庚癸与辛子等大小同
类则壬丑不类于辛子者亦不类于庚癸也故甲与
乙之比例亦大于戊与己(本卷界/说八)
注曰若三丙与四丁之比例或小或等于五戊六
己则一甲与二乙之比例亦小亦等于五戊六己
依此论推显
第十四题
几何原本 卷五之首 第 43b 页 WYG0798-0684b.png
四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一
几何大于第三则第二几何亦大于第四第一或等
或小于第三则第二亦等亦小于第四
解曰甲与乙之比例若丙与丁题言甲大
于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
先论曰如甲大于丙即甲与乙之比例大
于丙与乙矣(本篇/八)夫一丙与二丁之比例既若三甲
与四乙而三甲与四乙之比例大于五丙与六乙即
几何大于第三则第二几何亦大于第四第一或等
或小于第三则第二亦等亦小于第四
解曰甲与乙之比例若丙与丁题言甲大
于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
先论曰如甲大于丙即甲与乙之比例大
于丙与乙矣(本篇/八)夫一丙与二丁之比例既若三甲
与四乙而三甲与四乙之比例大于五丙与六乙即
几何原本 卷五之首 第 44a 页 WYG0798-0684c.png
一丙与二丁之比例亦大于五丙与六乙(本篇/十三)是丁
几何小于乙也(本篇/十一)
次论曰如甲丙等即甲与乙之比例若丙
与乙(本篇/七)夫甲与乙之比例元若丙与丁
而又若丙与乙是丙与丁之比例亦若丙与乙也(本/篇)
(十/一)则乙与丁等也(本篇/九)
后论曰如甲小于丙即丙与乙之比例大于甲与乙
矣(本篇/八)夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而
几何小于乙也(本篇/十一)
次论曰如甲丙等即甲与乙之比例若丙
与乙(本篇/七)夫甲与乙之比例元若丙与丁
而又若丙与乙是丙与丁之比例亦若丙与乙也(本/篇)
(十/一)则乙与丁等也(本篇/九)
后论曰如甲小于丙即丙与乙之比例大于甲与乙
矣(本篇/八)夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而
几何原本 卷五之首 第 44b 页 WYG0798-0684d.png
三甲与四乙之比例小于五丙与六乙即
一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙
也(本篇/十三)是乙小于丁也(本篇/十)
第十五题
两分之比例与两多分并之比例等
解曰甲与乙同任倍之为丙丁为戊己题言丙丁与
戊己之比例若甲与乙
论曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲
一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙
也(本篇/十三)是乙小于丁也(本篇/十)
第十五题
两分之比例与两多分并之比例等
解曰甲与乙同任倍之为丙丁为戊己题言丙丁与
戊己之比例若甲与乙
论曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲
几何原本 卷五之首 第 45a 页 WYG0798-0685a.png
若干与戊己内有乙若干等次分丙丁为丙庚
庚辛辛丁各与甲分等分戊己为戊壬壬癸癸
己各与乙分等即丙庚与戊壬若甲与乙也(丙/庚)
(与甲等戊壬与乙/等故见本篇七)庚辛与壬癸辛丁与癸己皆
若甲与乙也(本篇/十一)则等甲之丙庚与等乙之戊
壬定若丙丁全与戊己全而丙丁全与戊己全若甲
与乙矣(本篇/十二)
第十六题(更/理)
庚辛辛丁各与甲分等分戊己为戊壬壬癸癸
己各与乙分等即丙庚与戊壬若甲与乙也(丙/庚)
(与甲等戊壬与乙/等故见本篇七)庚辛与壬癸辛丁与癸己皆
若甲与乙也(本篇/十一)则等甲之丙庚与等乙之戊
壬定若丙丁全与戊己全而丙丁全与戊己全若甲
与乙矣(本篇/十二)
第十六题(更/理)
几何原本 卷五之首 第 45b 页 WYG0798-0685b.png
四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等
解曰甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若
丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若
乙与丁
论曰试以甲与乙之任倍之为戊为己别
以丙与丁同任倍之为庚为辛即戊与己
若甲与乙也(本篇/十五)庚与辛若丙与丁也夫
甲与乙若丙与丁而戊与己亦若甲与乙即戊与己
解曰甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若
丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若
乙与丁
论曰试以甲与乙之任倍之为戊为己别
以丙与丁同任倍之为庚为辛即戊与己
若甲与乙也(本篇/十五)庚与辛若丙与丁也夫
甲与乙若丙与丁而戊与己亦若甲与乙即戊与己
几何原本 卷五之首 第 46a 页 WYG0798-0685c.png
亦若丙与丁矣依显庚与辛若丙与丁即戊与己亦
若庚与辛也(本篇/十一)次三试之若戊大于庚则己亦大
于辛也若等亦等若小亦小任作几许倍恒如是也
(本篇/十四)则倍一甲之戊倍三乙之己与倍二丙之庚倍
四丁之辛其等大小必同类也而甲与丙若乙与丁
矣
第十七题(分/理)
相合之两几何为比例等则分之为比例亦等
若庚与辛也(本篇/十一)次三试之若戊大于庚则己亦大
于辛也若等亦等若小亦小任作几许倍恒如是也
(本篇/十四)则倍一甲之戊倍三乙之己与倍二丙之庚倍
四丁之辛其等大小必同类也而甲与丙若乙与丁
矣
第十七题(分/理)
相合之两几何为比例等则分之为比例亦等
几何原本 卷五之首 第 46b 页 WYG0798-0685d.png
解曰相合之两几何其一为甲乙丁乙其
一为丙戊己戊比例等者甲乙与丁乙若
丙戊与己戊也题言分之为比例亦等者
甲丁与丁乙若丙己与己戊也
论曰试以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之
为庚辛辛壬为癸子子丑即庚壬之倍甲
乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也(本篇/一)
夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍
一为丙戊己戊比例等者甲乙与丁乙若
丙戊与己戊也题言分之为比例亦等者
甲丁与丁乙若丙己与己戊也
论曰试以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之
为庚辛辛壬为癸子子丑即庚壬之倍甲
乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也(本篇/一)
夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍
几何原本 卷五之首 第 47a 页 WYG0798-0686a.png
甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任
倍之为壬寅为丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三
子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑
卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己
戊也(本篇/二)夫一甲乙与二丁乙之比例既若三丙戊
与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若
一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三
丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若
倍之为壬寅为丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三
子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑
卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己
戊也(本篇/二)夫一甲乙与二丁乙之比例既若三丙戊
与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若
一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三
丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若
几何原本 卷五之首 第 47b 页 WYG0798-0686b.png
等亦等若小亦小也(本卷界/说六)如庚壬小于
辛寅而癸丑小于子卯者即每减一同用
之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而
癸子亦小于丑卯矣依显庚壬等辛寅而
癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等
丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯
者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛为
甲丁之倍癸子为丙己之倍壬寅为丁乙之倍丑卯
辛寅而癸丑小于子卯者即每减一同用
之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而
癸子亦小于丑卯矣依显庚壬等辛寅而
癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等
丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯
者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛为
甲丁之倍癸子为丙己之倍壬寅为丁乙之倍丑卯
几何原本 卷五之首 第 48a 页 WYG0798-0686c.png
为己戊之倍而甲丁丙己之所倍视丁乙己戊之所
倍其等大小皆同类则甲丁与丁乙若丙己与己戊
也(本卷界/说六)
第十八题(合理/)
两几何分之为比例等则合之为比例亦等
解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
比例等者甲丁与丁乙若丙己与己戊是
也题言合之为比例亦等者甲乙与丁乙
倍其等大小皆同类则甲丁与丁乙若丙己与己戊
也(本卷界/说六)
第十八题(合理/)
两几何分之为比例等则合之为比例亦等
解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
比例等者甲丁与丁乙若丙己与己戊是
也题言合之为比例亦等者甲乙与丁乙
几何原本 卷五之首 第 48b 页 WYG0798-0686d.png
若丙戊与己戊也
论曰如前论以甲丁丁乙丙己己戊同任
倍之为庚辛辛壬为癸子子丑(本篇/二)次别
以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯即庚壬之倍
甲乙若癸丑之倍丙戊也(本篇/一)而辛寅之倍丁乙若
子卯之倍乙戊也(本篇/二)夫一甲丁与二丁乙既若三
丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试
之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅
论曰如前论以甲丁丁乙丙己己戊同任
倍之为庚辛辛壬为癸子子丑(本篇/二)次别
以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯即庚壬之倍
甲乙若癸丑之倍丙戊也(本篇/一)而辛寅之倍丁乙若
子卯之倍乙戊也(本篇/二)夫一甲丁与二丁乙既若三
丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试
之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅
几何原本 卷五之首 第 49a 页 WYG0798-0687a.png
即三丙己所倍之癸子亦小于四己戊所
倍之丑卯也若等亦等若大亦大也(本卷/界说)
(六/)如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯
即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于
辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等
壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚
壬大于辛寅而癸丑大于子卯矣夫一甲乙所倍之
倍之丑卯也若等亦等若大亦大也(本卷/界说)
(六/)如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯
即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于
辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等
壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚
壬大于辛寅而癸丑大于子卯矣夫一甲乙所倍之
几何原本 卷五之首 第 49b 页 WYG0798-0687b.png
庚壬与二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑
与四己戊所倍之子卯其等大小皆同类则甲乙与
丁乙若丙戊与己戊也(本卷界/说六)
第十九题(其系为转理/)
两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例
等则分馀之比例与两全之比例亦等
解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例
若截取之甲戊与丙己题言分馀戊乙与己丁之比
与四己戊所倍之子卯其等大小皆同类则甲乙与
丁乙若丙戊与己戊也(本卷界/说六)
第十九题(其系为转理/)
两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例
等则分馀之比例与两全之比例亦等
解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例
若截取之甲戊与丙己题言分馀戊乙与己丁之比
几何原本 卷五之首 第 50a 页 WYG0798-0687c.png
例亦若甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲
乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇/十六)次分之戊乙
与甲戊若己丁与丙己也(本篇/十七)又更之戊乙与
己丁若甲戊与丙己也(本篇/十六)夫甲戊与丙己元
若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙
丁矣
一系从此题可推界说第十六之转理如上甲乙与
论曰甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲
乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇/十六)次分之戊乙
与甲戊若己丁与丙己也(本篇/十七)又更之戊乙与
己丁若甲戊与丙己也(本篇/十六)夫甲戊与丙己元
若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙
丁矣
一系从此题可推界说第十六之转理如上甲乙与
几何原本 卷五之首 第 50b 页 WYG0798-0687d.png
戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与
丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之
甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也(本篇/十六)即甲乙
全与丙丁全又若分馀之甲戊与丙己矣(本/题)又更之
则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇/十六)此转理也
注曰凡更理可施于同类之比例不可施于异类
若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦
赖更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论
丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之
甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也(本篇/十六)即甲乙
全与丙丁全又若分馀之甲戊与丙己矣(本/题)又更之
则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇/十六)此转理也
注曰凡更理可施于同类之比例不可施于异类
若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦
赖更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论
几何原本 卷五之首 第 51a 页 WYG0798-0688a.png
不赖更理以为转理明转理可施于异类也
论曰甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲
乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既
若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与
己戊也(本篇/十七)次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也
(本篇/四)次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也(本篇/十八)
第二十题(三支/)
有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于
论曰甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲
乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既
若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与
己戊也(本篇/十七)次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也
(本篇/四)次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也(本篇/十八)
第二十题(三支/)
有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于
几何原本 卷五之首 第 51b 页 WYG0798-0688b.png
第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则
第四亦等亦小于第六
先解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其
甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例
若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于
丙与乙矣(本篇/八)而甲与乙之比例若丁与戊即丁与
戊之比例亦大于丙与乙矣(本篇/十三)又丙与乙之比例
第四亦等亦小于第六
先解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其
甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例
若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于
丙与乙矣(本篇/八)而甲与乙之比例若丁与戊即丁与
戊之比例亦大于丙与乙矣(本篇/十三)又丙与乙之比例
几何原本 卷五之首 第 52a 页 WYG0798-0688c.png
若己与戊(乙与丙若戊与己反之/则丙与乙若己与戊)即丁与戊之比例
大于己与戊矣是丁大于己也(本篇/十)
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与
乙矣(本篇/七)而甲与乙之比例若丁与戊即
丁与戊之比例亦若丙与乙矣(本篇/十一)又丙
与乙之比例若己与戊(反/理)即丁与戊之比例亦若己
与戊矣是丁己等也(本篇/九)
大于己与戊矣是丁大于己也(本篇/十)
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与
乙矣(本篇/七)而甲与乙之比例若丁与戊即
丁与戊之比例亦若丙与乙矣(本篇/十一)又丙
与乙之比例若己与戊(反/理)即丁与戊之比例亦若己
与戊矣是丁己等也(本篇/九)
几何原本 卷五之首 第 52b 页 WYG0798-0688d.png
后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己
论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于
丙与乙矣(本篇/八)而甲与乙之比例若丁与
戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又
丙与乙之比例若己与戊(反/理)即丁与戊之比例小于
己于戊矣是丁小于己也(本篇/十)
第二十一题(三支/)
有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之
论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于
丙与乙矣(本篇/八)而甲与乙之比例若丁与
戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又
丙与乙之比例若己与戊(反/理)即丁与戊之比例小于
己于戊矣是丁小于己也(本篇/十)
第二十一题(三支/)
有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之
几何原本 卷五之首 第 53a 页 WYG0798-0689a.png
若第一几何大于第三则第四亦大于第六若第一
或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为
连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙
与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于
丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙(本/篇)
(八/)而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙
或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为
连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙
与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于
丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙(本/篇)
(八/)而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙
几何原本 卷五之首 第 53b 页 WYG0798-0689b.png
与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若
戊与丁也(本篇/四)则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也
(本篇/二十)
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与
乙(本篇/七)而甲与乙若戊与己即丙与乙之
比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即
丙与乙亦若戊与丁也(本篇/四)则戊与己若戊与丁也
戊与丁也(本篇/四)则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也
(本篇/二十)
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与
乙(本篇/七)而甲与乙若戊与己即丙与乙之
比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即
丙与乙亦若戊与丁也(本篇/四)则戊与己若戊与丁也
几何原本 卷五之首 第 54a 页 WYG0798-0689c.png
是丁己等也(本篇/九)
后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己
论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于
丙与乙(本篇/八)而甲与乙若戊与己即戊与
己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反
之即丙与乙若戊与丁(本篇/四)则戊与己小于戊与丁
也是丁小于己也(本篇/十)
第二十二题(平理之序/)
后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己
论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于
丙与乙(本篇/八)而甲与乙若戊与己即戊与
己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反
之即丙与乙若戊与丁(本篇/四)则戊与己小于戊与丁
也是丁小于己也(本篇/十)
第二十二题(平理之序/)
几何原本 卷五之首 第 54b 页 WYG0798-0689d.png
有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以
平理推
解曰有若干几何甲乙丙又
有若干几何丁戊己而甲与
乙之比例若丁与戊乙与丙
之比例若戊与己题言以平
理推之甲与丙之比例若丁
与己
平理推
解曰有若干几何甲乙丙又
有若干几何丁戊己而甲与
乙之比例若丁与戊乙与丙
之比例若戊与己题言以平
理推之甲与丙之比例若丁
与己
几何原本 卷五之首 第 55a 页 WYG0798-0690a.png
论曰试以甲与丁同任倍之为庚为辛别以乙与戊
同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为
丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与
倍乙之壬若倍丁之辛与倍
戊之癸也(本篇/四)依显一乙与
二丙既若三戊与四己即倍
乙之壬与倍丙之子若倍戊
之癸与倍己之丑也是庚壬
同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为
丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与
倍乙之壬若倍丁之辛与倍
戊之癸也(本篇/四)依显一乙与
二丙既若三戊与四己即倍
乙之壬与倍丙之子若倍戊
之癸与倍己之丑也是庚壬
几何原本 卷五之首 第 55b 页 WYG0798-0690b.png
子三几何辛癸丑三几何又相为连比例矣次三试
之若庚大于子即辛必大于丑也(本篇/二十)若等亦等者
小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之
子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与
己也(本卷界/说六)其几何自三以上如更有丙与寅若己
与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与
丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅
作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上
之若庚大于子即辛必大于丑也(本篇/二十)若等亦等者
小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之
子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与
己也(本卷界/说六)其几何自三以上如更有丙与寅若己
与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与
丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅
作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上
几何原本 卷五之首 第 56a 页 WYG0798-0690c.png
推论亦得甲与寅之比例若丁与卯也自四以上可
至无穷依此推显
第二十三题(平理/之错)
若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推
解曰甲乙丙若干几何丁戊
己若干几何相为连比例而
错者甲与乙若戊与己乙与
丙若丁与戊也题言以平理
至无穷依此推显
第二十三题(平理/之错)
若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推
解曰甲乙丙若干几何丁戊
己若干几何相为连比例而
错者甲与乙若戊与己乙与
丙若丁与戊也题言以平理
几何原本 卷五之首 第 56b 页 WYG0798-0690d.png
推之甲与丙之比例亦若丁与己
论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己
同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛
(本篇/十五)而甲与乙既若戊与己
即庚与辛亦若戊与己(本篇/十一)
戊与己又若所自倍之子与
丑即庚与辛亦若子与丑(本/篇)
(十/一)依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之
论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己
同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛
(本篇/十五)而甲与乙既若戊与己
即庚与辛亦若戊与己(本篇/十一)
戊与己又若所自倍之子与
丑即庚与辛亦若子与丑(本/篇)
(十/一)依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之
几何原本 卷五之首 第 57a 页 WYG0798-0691a.png
辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也
(本篇/四)是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比
例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若
等亦等若小亦小(本篇/廿一)则一甲三丁所倍之庚壬与
二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与
二丙若三丁与四己(本卷界/说六)如三以上既有甲与乙
若己与卯乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊
亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若
(本篇/四)是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比
例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若
等亦等若小亦小(本篇/廿一)则一甲三丁所倍之庚壬与
二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与
二丙若三丁与四己(本卷界/说六)如三以上既有甲与乙
若己与卯乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊
亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若
几何原本 卷五之首 第 57b 页 WYG0798-0691b.png
戊与卯次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几
何丁戊卯作又三几何相为连比例而错依上论亦
得甲与寅若丁与卯四以上悉依此推显
第二十四题
凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而
第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二
之比例若第三第六并与四
解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五
何丁戊卯作又三几何相为连比例而错依上论亦
得甲与寅若丁与卯四以上悉依此推显
第二十四题
凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而
第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二
之比例若第三第六并与四
解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五
几何原本 卷五之首 第 58a 页 WYG0798-0691c.png
乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五
乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚
若己与戊辛也(本篇/四)又甲乙与丙既若丁戊与
己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若
丁戊与戊辛也(本篇/廿二)又合之甲庚全与乙庚若丁辛
全与戊辛也(本篇/十八)夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛
而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛
乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚
若己与戊辛也(本篇/四)又甲乙与丙既若丁戊与
己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若
丁戊与戊辛也(本篇/廿二)又合之甲庚全与乙庚若丁辛
全与戊辛也(本篇/十八)夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛
而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛
几何原本 卷五之首 第 58b 页 WYG0798-0691d.png
与己矣(本篇/廿二)
注曰依本题论可推广第六题之义作后增题(第/六)
(题言几倍后增题不/止言倍其义稍广矣)
增题此两几何与彼两几何比例等于此两几何
每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等
则分馀两几何与彼两几何比例亦等
解曰如上图甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几
何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取
注曰依本题论可推广第六题之义作后增题(第/六)
(题言几倍后增题不/止言倍其义稍广矣)
增题此两几何与彼两几何比例等于此两几何
每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等
则分馀两几何与彼两几何比例亦等
解曰如上图甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几
何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取
几何原本 卷五之首 第 59a 页 WYG0798-0692a.png
之甲乙与丙若丁戊与己则分馀之乙庚与丙亦
若戊辛与己
论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙
若己与丁戊也(本篇/四)又甲庚与丙既若丁辛与己
而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与
甲乙若丁辛与丁戊也(本篇/廿二)又分之乙庚与
甲乙若戊辛与丁戊也(本篇/十七)夫乙庚与甲乙
既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己
若戊辛与己
论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙
若己与丁戊也(本篇/四)又甲庚与丙既若丁辛与己
而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与
甲乙若丁辛与丁戊也(本篇/廿二)又分之乙庚与
甲乙若戊辛与丁戊也(本篇/十七)夫乙庚与甲乙
既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己
几何原本 卷五之首 第 59b 页 WYG0798-0692b.png
即平之若戊辛与己也(本篇/廿三)
第二十五题
四几何为断比例则最大与最小两几何并大于馀两
几何并
解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最
小题言甲乙己并大于丙丁戊并
论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛
与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲
第二十五题
四几何为断比例则最大与最小两几何并大于馀两
几何并
解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最
小题言甲乙己并大于丙丁戊并
论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛
与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲
几何原本 卷五之首 第 60a 页 WYG0798-0692c.png
乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之
甲庚与丙辛即亦若分馀之庚乙与辛丁也(本/篇)
(十/九)而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛
丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙
辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲
乙己并岂不大于丙丁戊并
第二十六题
第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则
甲庚与丙辛即亦若分馀之庚乙与辛丁也(本/篇)
(十/九)而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛
丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙
辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲
乙己并岂不大于丙丁戊并
第二十六题
第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则
几何原本 卷五之首 第 60b 页 WYG0798-0692d.png
第二与一之比例小于第四与三之比例
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁
题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与
三丙
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与
乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊(本篇/十)则乙
与戊之比例大于乙与甲也(本篇/八)反之则乙与戊之
比例若丁与丙(本篇/四)而乙与甲之比例小于丁与丙
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁
题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与
三丙
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与
乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊(本篇/十)则乙
与戊之比例大于乙与甲也(本篇/八)反之则乙与戊之
比例若丁与丙(本篇/四)而乙与甲之比例小于丁与丙
几何原本 卷五之首 第 61a 页 WYG0798-0693a.png
第二十七题
第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一
与三之比例亦大于第二与四之比例
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题
言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与
四丁
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙
之比例大于戊与乙而甲几何大于戊(本篇/十)则甲与
第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一
与三之比例亦大于第二与四之比例
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题
言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与
四丁
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙
之比例大于戊与乙而甲几何大于戊(本篇/十)则甲与
几何原本 卷五之首 第 61b 页 WYG0798-0693b.png
丙之比例大于戊与丙也(本篇/八)夫戊与乙之比例既
若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁(本篇/十六)
而甲与丙之比例大于乙与丁矣
第二十八题
第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一
第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比
例
解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊
若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁(本篇/十六)
而甲与丙之比例大于乙与丁矣
第二十八题
第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一
第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比
例
解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊
几何原本 卷五之首 第 62a 页 WYG0798-0693c.png
己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于
丁己与戊己
论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊
己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙
几何大于庚乙矣(本篇/十)此二率者每加一乙丙即甲
丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与
乙丙也(本篇/八)夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊
己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也
丁己与戊己
论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊
己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙
几何大于庚乙矣(本篇/十)此二率者每加一乙丙即甲
丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与
乙丙也(本篇/八)夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊
己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也
几何原本 卷五之首 第 62b 页 WYG0798-0693d.png
(本篇/十八)而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣
第二十九题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例
分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例
解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己
题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁
戊与戊己
论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊
第二十九题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例
分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例
解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己
题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁
戊与戊己
论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊
几何原本 卷五之首 第 63a 页 WYG0798-0694a.png
己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲
丙几何大于庚丙矣(本篇/十)此二率者每减一同用之
乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大
于庚乙与乙丙也(本篇/八)夫庚丙与乙丙之比
例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之
比例亦若丁戊与戊己也(本篇/十七)而甲乙与乙
丙之比例大于丁戊与戊己矣
第三十题
丙几何大于庚丙矣(本篇/十)此二率者每减一同用之
乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大
于庚乙与乙丙也(本篇/八)夫庚丙与乙丙之比
例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之
比例亦若丁戊与戊己也(本篇/十七)而甲乙与乙
丙之比例大于丁戊与戊己矣
第三十题
几何原本 卷五之首 第 63b 页 WYG0798-0694b.png
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比
例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第
四与三之比例
解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转
之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊
论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己
分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊
己也(本篇/廿九)又反之乙丙与甲乙之比例小于戊
例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第
四与三之比例
解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转
之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊
论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己
分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊
己也(本篇/廿九)又反之乙丙与甲乙之比例小于戊
几何原本 卷五之首 第 64a 页 WYG0798-0694c.png
己与丁戊矣(本篇/廿六)又合之甲丙与甲乙之比例亦小
于丁己与丁戊也(本篇/廿八)
第三十一题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第
一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二
与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之
比例亦大于彼第一与三之比例
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙
于丁己与丁戊也(本篇/廿八)
第三十一题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第
一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二
与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之
比例亦大于彼第一与三之比例
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙
几何原本 卷五之首 第 64b 页 WYG0798-0694d.png
之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于
戊与己如是序者题言以平理推则甲与
丙之比例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙
与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于
庚(本篇/十)是甲与小庚之比例大于甲与大
乙矣(本篇/八)夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与
庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若
戊与己如是序者题言以平理推则甲与
丙之比例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙
与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于
庚(本篇/十)是甲与小庚之比例大于甲与大
乙矣(本篇/八)夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与
庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若
几何原本 卷五之首 第 65a 页 WYG0798-0695a.png
丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何
大于辛(本篇/十)是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣
(本篇/八)夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也(本/篇)
(廿/二)则甲与丙之比例大于丁与己也
第三十二题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二
与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二
之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例
大于辛(本篇/十)是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣
(本篇/八)夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也(本/篇)
(廿/二)则甲与丙之比例大于丁与己也
第三十二题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二
与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二
之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例
几何原本 卷五之首 第 65b 页 WYG0798-0695b.png
亦大于彼第一与三之比例
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙
之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如
是错者题言以平理推则甲与丙之比
例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即
乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何
大于庚(本篇/十)是甲与小庚之比例大于
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙
之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如
是错者题言以平理推则甲与丙之比
例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即
乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何
大于庚(本篇/十)是甲与小庚之比例大于
几何原本 卷五之首 第 66a 页 WYG0798-0695c.png
甲与大乙矣(本篇/八)夫甲与乙之比例既大于戊与己
即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之
比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而
甲几何大于辛(本篇/十)是大甲与丙之比例大于小
辛与丙矣(本篇/八)夫辛与丙之比例以平理推之
若丁与己也(本篇/廿三)则甲与丙之比例大于丁与
己也
第三十三题
即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之
比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而
甲几何大于辛(本篇/十)是大甲与丙之比例大于小
辛与丙矣(本篇/八)夫辛与丙之比例以平理推之
若丁与己也(本篇/廿三)则甲与丙之比例大于丁与
己也
第三十三题
几何原本 卷五之首 第 66b 页 WYG0798-0695d.png
此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比
例则此全分馀与彼全分馀之比例大于此全与彼
全之比例
解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲
戊与丙己题言两分馀戊乙与己丁之比例大
于甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己
更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙
例则此全分馀与彼全分馀之比例大于此全与彼
全之比例
解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲
戊与丙己题言两分馀戊乙与己丁之比例大
于甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己
更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙
几何原本 卷五之首 第 67a 页 WYG0798-0696a.png
己也(本篇/廿七)又转之甲乙与戊乙之比例小于丙
丁与己丁也(本篇/三十)又更之甲乙与丙丁之比例
小于戊乙与己丁也(本篇/廿七)戊乙与己丁分馀也
则分馀之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显
两全之比例小于截分则分馀之比例小于
两全
第三十四题(三支/)
若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一
丁与己丁也(本篇/三十)又更之甲乙与丙丁之比例
小于戊乙与己丁也(本篇/廿七)戊乙与己丁分馀也
则分馀之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显
两全之比例小于截分则分馀之比例小于
两全
第三十四题(三支/)
若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一
几何原本 卷五之首 第 67b 页 WYG0798-0696b.png
之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼
第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱
如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比
例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小
于此第一与彼第一之比例
解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与
丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己
题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己
第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱
如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比
例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小
于此第一与彼第一之比例
解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与
丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己
题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己
几何原本 卷五之首 第 68a 页 WYG0798-0696c.png
次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲
与丁
论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即
甲与乙之比例大于丁与戊也(本篇/廿七)又合之
甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也(本/篇)
(廿/八)又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也
(本篇/廿七)是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减
并戊也既尔即减馀甲与减馀丁之比例大于甲乙
与丁
论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即
甲与乙之比例大于丁与戊也(本篇/廿七)又合之
甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也(本/篇)
(廿/八)又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也
(本篇/廿七)是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减
并戊也既尔即减馀甲与减馀丁之比例大于甲乙
几何原本 卷五之首 第 68b 页 WYG0798-0696d.png
全与丁戊全也(本篇/卅三)依显乙与戊之比例亦
大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更
大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙
并之比例大于丁与戊己并也(本篇/廿七)又合之
甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全
与戊己并也(本篇/廿八)又更之甲乙丙全与丁戊己全之
比例大于乙丙并与戊己并也(本篇/廿七)则得次解也又
甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与
大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更
大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙
并之比例大于丁与戊己并也(本篇/廿七)又合之
甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全
与戊己并也(本篇/廿八)又更之甲乙丙全与丁戊己全之
比例大于乙丙并与戊己并也(本篇/廿七)则得次解也又
甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与
几何原本 卷五之首 第 69a 页 WYG0798-0697a.png
减并戊己即减馀甲与减馀丁之比例大于甲乙丙
全与丁戊己全也(本篇/卅三)则得后解也又乙与戊之比
例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与
己也(本篇/廿七)又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全
与己也(本篇/廿八)又更之乙丙并与戊己并之比例大于
丙与己也(本篇/廿七)而甲乙丙并与丁戊己并之比例既
大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也
则得先解也
全与丁戊己全也(本篇/卅三)则得后解也又乙与戊之比
例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与
己也(本篇/廿七)又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全
与己也(本篇/廿八)又更之乙丙并与戊己并之比例大于
丙与己也(本篇/廿七)而甲乙丙并与丁戊己并之比例既
大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也
则得先解也
几何原本 卷五之首 第 69b 页 WYG0798-0697b.png
若两率各有四几何而丙与己之比
例亦大于庚与辛即与前论同理
盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚
并与戊己辛并即甲与丁之比例更
大于乙丙庚并与戊己辛并也更之
即甲与乙丙庚并之比例大于丁与
戊己辛并也(本篇/十八)又合之甲乙丙庚
全与乙丙庚并之比例大于丁戊
例亦大于庚与辛即与前论同理
盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚
并与戊己辛并即甲与丁之比例更
大于乙丙庚并与戊己辛并也更之
即甲与乙丙庚并之比例大于丁与
戊己辛并也(本篇/十八)又合之甲乙丙庚
全与乙丙庚并之比例大于丁戊
几何原本 卷五之首 第 70a 页 WYG0798-0697c.png
己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊
己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也(本篇/廿七)
则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例
既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减馀甲与减
馀丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也(本/篇)
(卅/三)则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并
之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛
全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末
己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也(本篇/廿七)
则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例
既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减馀甲与减
馀丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也(本/篇)
(卅/三)则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并
之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛
全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末
几何原本 卷五之首 第 70b 页 WYG0798-0697d.png
庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱仿
此论可显全题之旨
几何原本卷五
此论可显全题之旨
几何原本卷五