声明:本站书库内容主要引用自 archive.org,kanripo.org, db.itkc.or.kr 和 zh.wikisource.org
几何原本 卷三之首 第 1a 页 WYG0798-0618a.png
钦定四库全书
几何原本卷三之首
西洋利玛窦译
界说十则
第一界
凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜
三卷将论圜之情故先为圜界说此解
圜之等者如上图甲乙乙丙两径等或
几何原本卷三之首
西洋利玛窦译
界说十则
第一界
凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜
三卷将论圜之情故先为圜界说此解
圜之等者如上图甲乙乙丙两径等或
几何原本 卷三之首 第 1b 页 WYG0798-0618b.png
丁己戊庚从心至圜界等即甲己乙乙
庚丙两圜等若下图甲乙乙丙两径不
等或丁己戊庚从心至圜界不等则两圜亦不等矣
第二界
凡直线切圜界过之而不与界交为切线
甲乙线切乙己丁圜之界乙又引长之至
丙而不与界交其甲丙线全在圜外为切
线若戊己线先切圜界而引之至庚入圜
庚丙两圜等若下图甲乙乙丙两径不
等或丁己戊庚从心至圜界不等则两圜亦不等矣
第二界
凡直线切圜界过之而不与界交为切线
甲乙线切乙己丁圜之界乙又引长之至
丙而不与界交其甲丙线全在圜外为切
线若戊己线先切圜界而引之至庚入圜
几何原本 卷三之首 第 2a 页 WYG0798-0618c.png
内则交线也
第三界
凡两圜相切而不相交为切圜
甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一图
或切于内如第三图其第二
第四图则交圜也
第四界
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距
第三界
凡两圜相切而不相交为切圜
甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一图
或切于内如第三图其第二
第四图则交圜也
第四界
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距
几何原本 卷三之首 第 2b 页 WYG0798-0618d.png
心远近之度
凡一点至一直线上惟垂线至近其他即
远垂线一而已远者无数也故欲知点与
线相去远近必用垂线为度试如前图甲
点与乙丙线相去远近必以甲丁垂线为
度为甲丁一线独去直线至近他若甲戊
甲己诸线愈大愈远乃至无数故如后图
说甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两线其去戊心远近
凡一点至一直线上惟垂线至近其他即
远垂线一而已远者无数也故欲知点与
线相去远近必用垂线为度试如前图甲
点与乙丙线相去远近必以甲丁垂线为
度为甲丁一线独去直线至近他若甲戊
甲己诸线愈大愈远乃至无数故如后图
说甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两线其去戊心远近
几何原本 卷三之首 第 3a 页 WYG0798-0619a.png
等为己戊庚戊两垂线等故若辛壬线去戊心近矣
为戊癸垂线小故
第五界
凡直线割圜之形为圜分
甲乙丙丁圜之乙丁直线任割圜之一分
如甲乙丁及乙丙丁两形皆为圜分凡分
有三形其过心者为半圜分函心者为圜大分不函
心者为圜小分又割圜之直线为弦所割圜界之一
为戊癸垂线小故
第五界
凡直线割圜之形为圜分
甲乙丙丁圜之乙丁直线任割圜之一分
如甲乙丁及乙丙丁两形皆为圜分凡分
有三形其过心者为半圜分函心者为圜大分不函
心者为圜小分又割圜之直线为弦所割圜界之一
几何原本 卷三之首 第 3b 页 WYG0798-0619b.png
分为弧
第六界
凡圜界偕直线内角为圜分角
以下三界论圜角三种本界所言杂
圜也其在半圜分内为半圜角在大
分内为大分角在小分内为小分角
第七界
凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角
第六界
凡圜界偕直线内角为圜分角
以下三界论圜角三种本界所言杂
圜也其在半圜分内为半圜角在大
分内为大分角在小分内为小分角
第七界
凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角
几何原本 卷三之首 第 4a 页 WYG0798-0619c.png
甲乙丙圜分甲丙为底于乙点出两直线作
甲乙丙角形其甲乙丙角为负甲乙丙圜分
角
第八界
若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角
甲乙丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁两线其
乙甲丁角为乘乙丙丁圜分角
圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜
甲乙丙角形其甲乙丙角为负甲乙丙圜分
角
第八界
若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角
甲乙丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁两线其
乙甲丁角为乘乙丙丁圜分角
圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜
几何原本 卷三之首 第 4b 页 WYG0798-0619d.png
或两圜相切其两圜相切者又或内或外
如上图甲乙线切丙丁戊圜于丙即甲丙
丁乙丙戊两角为切边角又丙丁戊己戊
庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两
圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱
为切边角
第九界
凡从圜心以两直线作角偕圜界作三角形为分圜形
如上图甲乙线切丙丁戊圜于丙即甲丙
丁乙丙戊两角为切边角又丙丁戊己戊
庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两
圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱
为切边角
第九界
凡从圜心以两直线作角偕圜界作三角形为分圜形
几何原本 卷三之首 第 5a 页 WYG0798-0620a.png
甲乙丙丁圜从戊心出戊甲戊丙两线偕甲
丁丙圜界作角形为分圜形
第十界
凡圜内两负圜分角相等即所负之圜分相似
甲乙丙丁圜内有甲乙己与丁丙戊两负
圜分角等则所负甲乙丁己与丁丙甲戊
两圜分相似
又有两圜或等或不等其负圜分角等即圜分俱
丁丙圜界作角形为分圜形
第十界
凡圜内两负圜分角相等即所负之圜分相似
甲乙丙丁圜内有甲乙己与丁丙戊两负
圜分角等则所负甲乙丁己与丁丙甲戊
两圜分相似
又有两圜或等或不等其负圜分角等即圜分俱
几何原本 卷三之首 第 5b 页 WYG0798-0620b.png
相似如上三图三
圜之甲乙丙丁戊
己庚辛壬三负圜分角等即所负甲乙丙丁戊己
庚辛壬三圜分相似(相似者如云同为/几分圜之几也)
几何原本卷三之首
圜之甲乙丙丁戊
己庚辛壬三负圜分角等即所负甲乙丙丁戊己
庚辛壬三圜分相似(相似者如云同为/几分圜之几也)
几何原本卷三之首
几何原本 卷三之首 第 6a 页 WYG0798-0620c.png
钦定四库全书
几何原本卷三
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求寻其心
法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两
界任作一甲丙直线次两平分之于戊(一/卷)
(十/)次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜
几何原本卷三
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求寻其心
法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两
界任作一甲丙直线次两平分之于戊(一/卷)
(十/)次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜
几何原本 卷三之首 第 6b 页 WYG0798-0620d.png
心
论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下
何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言
心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作
直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊
角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚
丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚
戊丙两角宜亦等(一卷/八)而为两直角矣(一卷界/说十)夫乙
论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下
何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言
心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作
直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊
角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚
丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚
戊丙两角宜亦等(一卷/八)而为两直角矣(一卷界/说十)夫乙
几何原本 卷三之首 第 7a 页 WYG0798-0621a.png
戊甲既直角而庚戊甲又为直角可不可也
系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直
角即圜心在其内
第二题
圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内
解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直
线相联题言甲丙线全在圜内
论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊
系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直
角即圜心在其内
第二题
圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内
解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直
线相联题言甲丙线全在圜内
论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊
几何原本 卷三之首 第 7b 页 WYG0798-0621b.png
心(本篇/一)次作戊甲戊丙两直线次于甲丁丙线上作
戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角
形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙
甲两角宜等(一卷/五)而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大
于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角(一卷/十六)则对戊丁
甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣(一卷/十九)夫戊甲与
戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙
亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角
形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙
甲两角宜等(一卷/五)而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大
于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角(一卷/十六)则对戊丁
甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣(一卷/十九)夫戊甲与
戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙
亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
几何原本 卷三之首 第 8a 页 WYG0798-0621c.png
在圜界依前论令戊甲大于戊乙亦不可通也
第三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角
为两直角必两平分
解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁
线为两平分于己题言甲己必是垂线而
己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙
丁必两平分
第三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角
为两直角必两平分
解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁
线为两平分于己题言甲己必是垂线而
己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙
丁必两平分
几何原本 卷三之首 第 8b 页 WYG0798-0621d.png
先论曰试从甲作甲乙甲丁两线即甲乙己角形之
乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙
甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边
之甲己乙甲己丁亦等(一卷/八)而为两直角矣
后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙
甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等(一卷/五)又
甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形
之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁
乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙
甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边
之甲己乙甲己丁亦等(一卷/八)而为两直角矣
后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙
甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等(一卷/五)又
甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形
之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁
几何原本 卷三之首 第 9a 页 WYG0798-0622a.png
两边又等则己乙己丁两边亦等(一卷/廿六)
欲显次论之旨又有一说如甲丁上直角方形与甲
己己丁上两直角方形并等(一卷/四七)而甲乙上直角方
形与甲己乙己上两直角方形并亦等即
甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁
上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直
角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而
两边亦等
欲显次论之旨又有一说如甲丁上直角方形与甲
己己丁上两直角方形并等(一卷/四七)而甲乙上直角方
形与甲己乙己上两直角方形并亦等即
甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁
上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直
角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而
两边亦等
几何原本 卷三之首 第 9b 页 WYG0798-0622b.png
第四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线
俱不过己心(若一过心一不过心即两线/不得俱为两平分其理易显)
而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱
为两平分
论曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊试令
寻本圜心于己(本篇/一)从己至戊作甲乙之垂线其己
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线
俱不过己心(若一过心一不过心即两线/不得俱为两平分其理易显)
而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱
为两平分
论曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊试令
寻本圜心于己(本篇/一)从己至戊作甲乙之垂线其己
几何原本 卷三之首 第 10a 页 WYG0798-0622c.png
戊既分甲乙为两平分即为两直角(本篇/三)而又能分
丙丁为两平分亦宜为两直角是己戊甲为直角而
己戊丙亦直角全与其分等矣
第五题
两圜相交必不同心
解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁题
言两圜不同心
论曰若言丙为同心令自丙至乙至甲各作直线其
丙丁为两平分亦宜为两直角是己戊甲为直角而
己戊丙亦直角全与其分等矣
第五题
两圜相交必不同心
解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁题
言两圜不同心
论曰若言丙为同心令自丙至乙至甲各作直线其
几何原本 卷三之首 第 10b 页 WYG0798-0622d.png
丙乙至圜交而丙甲截两圜之界于戊于
甲夫丙既为戊乙丁圜之心则丙乙与丙
戊等而又为甲乙丁圜之心则丙乙与丙甲又等是
丙戊与丙甲亦等而全与其分等也
第六题
两圜内相切必不同心
解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙题言两圜
不同心
甲夫丙既为戊乙丁圜之心则丙乙与丙
戊等而又为甲乙丁圜之心则丙乙与丙甲又等是
丙戊与丙甲亦等而全与其分等也
第六题
两圜内相切必不同心
解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙题言两圜
不同心
几何原本 卷三之首 第 11a 页 WYG0798-0623a.png
论曰若言丁为同心令自丁至乙至丙各作直线其
丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既
为甲乙圜之心则丁乙与丁甲等而又为丙乙圜之
心则丁乙与丁丙又等是丁甲与丁丙亦等而全与
其分等也
第七题
圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线
最大不过心线最小馀线愈近心者愈大愈近不过
丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既
为甲乙圜之心则丁乙与丁甲等而又为丙乙圜之
心则丁乙与丁丙又等是丁甲与丁丙亦等而全与
其分等也
第七题
圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线
最大不过心线最小馀线愈近心者愈大愈近不过
几何原本 卷三之首 第 11b 页 WYG0798-0623b.png
心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离
心任取一点为庚从庚至圜界任出几线
为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸线
惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小
三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近
心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁止
可出两线等
解曰甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离
心任取一点为庚从庚至圜界任出几线
为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸线
惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小
三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近
心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁止
可出两线等
几何原本 卷三之首 第 12a 页 WYG0798-0623c.png
先论曰试从已心出三线至丙至丁至戊其丙己庚
角形之丙己己庚两边并大于丙庚一边(一卷/二十)而丙
己己庚等于甲己己庚则庚甲大于庚丙依显庚丁
庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
次论曰己庚戊角形之己戊一边小于己庚庚戊两
边并(一卷/二十)而己戊与己乙等则己乙小于己庚庚戊
并矣次各减同用之己庚则庚乙小于庚戊依显庚
戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
角形之丙己己庚两边并大于丙庚一边(一卷/二十)而丙
己己庚等于甲己己庚则庚甲大于庚丙依显庚丁
庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
次论曰己庚戊角形之己戊一边小于己庚庚戊两
边并(一卷/二十)而己戊与己乙等则己乙小于己庚庚戊
并矣次各减同用之己庚则庚乙小于庚戊依显庚
戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
几何原本 卷三之首 第 12b 页 WYG0798-0623d.png
三论曰丙己庚角形之丙己与丁己庚角形之丁己
两边等己庚同边而丙己庚角大于丁己庚角(全大/于分)
则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边(一卷/廿四)依
显庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小
后论曰试依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界为
己辛线次从庚作庚辛线其戊己庚角形之戊己腰
与庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰间角
又等则对等角之庚戊庚辛两底亦等(一卷/四)而庚乙
两边等己庚同边而丙己庚角大于丁己庚角(全大/于分)
则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边(一卷/廿四)依
显庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小
后论曰试依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界为
己辛线次从庚作庚辛线其戊己庚角形之戊己腰
与庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰间角
又等则对等角之庚戊庚辛两底亦等(一卷/四)而庚乙
几何原本 卷三之首 第 13a 页 WYG0798-0624a.png
两旁之庚戊庚辛等矣此外若有从庚出线在辛之
上即依第三论大于庚辛在辛之下即小于庚辛故
云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两线等
第八题
圜外任取一点从点任出几线其至规内则过圜心线
最大馀线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径
之馀者最小馀线愈近径馀愈小而诸线中止两线
等
上即依第三论大于庚辛在辛之下即小于庚辛故
云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两线等
第八题
圜外任取一点从点任出几线其至规内则过圜心线
最大馀线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径
之馀者最小馀线愈近径馀愈小而诸线中止两线
等
几何原本 卷三之首 第 13b 页 WYG0798-0624b.png
解曰乙丙丁戊圜之外从甲点任
出几线其一为过癸心之甲壬其
馀为甲辛为甲庚为甲己皆至规
内(规内线者如/车辐之指牙)题先言过心之甲
壬最大次言近心之甲辛大于离心之甲庚甲庚又
大于甲己三反上言规外之甲乙为乙壬径馀者(规/外)
(线者如车/辐之凑毂)最小四言甲丙近径馀小于甲丁甲丁又
小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线等
出几线其一为过癸心之甲壬其
馀为甲辛为甲庚为甲己皆至规
内(规内线者如/车辐之指牙)题先言过心之甲
壬最大次言近心之甲辛大于离心之甲庚甲庚又
大于甲己三反上言规外之甲乙为乙壬径馀者(规/外)
(线者如车/辐之凑毂)最小四言甲丙近径馀小于甲丁甲丁又
小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线等
几何原本 卷三之首 第 14a 页 WYG0798-0624c.png
先论曰试从癸心至丙丁戊己庚辛各出直线其甲
癸辛角形之甲癸癸辛两边并大于甲辛一边(一卷/二十)
而甲癸癸辛与甲壬等则甲壬大于甲辛依显甲壬
更大于甲庚甲己而过心之甲壬最大
次论曰甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚
两边等甲癸同边而甲癸辛角大于甲癸庚角(全大/于分)
则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边(一卷/廿四)依
显甲庚大于甲己而规内线愈离心愈小
癸辛角形之甲癸癸辛两边并大于甲辛一边(一卷/二十)
而甲癸癸辛与甲壬等则甲壬大于甲辛依显甲壬
更大于甲庚甲己而过心之甲壬最大
次论曰甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚
两边等甲癸同边而甲癸辛角大于甲癸庚角(全大/于分)
则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边(一卷/廿四)依
显甲庚大于甲己而规内线愈离心愈小
几何原本 卷三之首 第 14b 页 WYG0798-0624d.png
三论曰甲癸丙角形之甲癸一边
小于甲丙丙癸两边并(一卷/二十)次每
减一相等之乙癸丙癸则甲乙小
于甲丙矣依显甲乙更小于甲丁
甲戊而规外甲乙最小
四论曰甲丁癸角形之内从甲与癸出甲丙丙癸两
边并小于甲丁丁癸两边并(一卷/廿一)此二率者每减一
相等之丙癸丁癸则甲丙小于甲丁矣依显甲丙更
小于甲丙丙癸两边并(一卷/二十)次每
减一相等之乙癸丙癸则甲乙小
于甲丙矣依显甲乙更小于甲丁
甲戊而规外甲乙最小
四论曰甲丁癸角形之内从甲与癸出甲丙丙癸两
边并小于甲丁丁癸两边并(一卷/廿一)此二率者每减一
相等之丙癸丁癸则甲丙小于甲丁矣依显甲丙更
几何原本 卷三之首 第 15a 页 WYG0798-0625a.png
小于甲戊而愈近径馀甲乙者愈小
后论曰试依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作
甲子线其甲子癸角形之甲癸癸子两腰与甲癸丙
角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰间角又等则对
等角之甲子甲丙两底亦等也(一卷/四)此外若有从甲
出线在子之上即依第四论小于甲丙在子之下即
大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两线等
第九题
后论曰试依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作
甲子线其甲子癸角形之甲癸癸子两腰与甲癸丙
角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰间角又等则对
等角之甲子甲丙两底亦等也(一卷/四)此外若有从甲
出线在子之上即依第四论小于甲丙在子之下即
大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两线等
第九题
几何原本 卷三之首 第 15b 页 WYG0798-0625b.png
圜内从一点至界作三线以上皆等即此点必圜心
解曰从甲点至乙丙丁圜界作甲乙甲丙
甲丁三直线若等题言甲点为圜心三以
上等者更不待论
论曰试于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直
线相联此两线各两平分于戊于己从甲
出两直线为甲戊为甲己其甲乙戊角形
之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰
解曰从甲点至乙丙丁圜界作甲乙甲丙
甲丁三直线若等题言甲点为圜心三以
上等者更不待论
论曰试于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直
线相联此两线各两平分于戊于己从甲
出两直线为甲戊为甲己其甲乙戊角形
之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰
几何原本 卷三之首 第 16a 页 WYG0798-0625c.png
乙戊戊丙两底又等即甲戊乙与甲戊丙两角亦等
(一卷/八)为两直角依显甲己丙甲己丁亦等为两直角
则甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分为直角而此两
线俱为函心线(本篇一/之系)定相遇于甲甲为圜心矣
又论曰若言甲非心心在于戊者令戊甲
相联引作己庚径线即甲是戊心外所取
一点而从甲所出线愈近心者宜愈大矣
(本篇/七)则甲丁宜大于甲丙而先设等何也
(一卷/八)为两直角依显甲己丙甲己丁亦等为两直角
则甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分为直角而此两
线俱为函心线(本篇一/之系)定相遇于甲甲为圜心矣
又论曰若言甲非心心在于戊者令戊甲
相联引作己庚径线即甲是戊心外所取
一点而从甲所出线愈近心者宜愈大矣
(本篇/七)则甲丁宜大于甲丙而先设等何也
几何原本 卷三之首 第 16b 页 WYG0798-0625d.png
第十题
两圜相交止于两点
论曰若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁
辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙
乙丁两直线相联此两线各两平分于壬
于癸次从壬癸作子壬子癸两垂线其子
壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各为两直角
即子壬子癸两线俱为甲庚乙丁辛戊圜之函心线
两圜相交止于两点
论曰若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁
辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙
乙丁两直线相联此两线各两平分于壬
于癸次从壬癸作子壬子癸两垂线其子
壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各为两直角
即子壬子癸两线俱为甲庚乙丁辛戊圜之函心线
几何原本 卷三之首 第 17a 页 WYG0798-0626a.png
(本篇一/之系)而子为其心矣依显甲乙丙丁戊
己圜亦以子为心也夫两交之圜尚不得
同心(本篇/五)何缘得有三交
又论曰若言两圜三相交于甲于乙于丁
令先寻甲庚乙丁辛戊圜之心于壬(本篇/一)
次从心至三交界作壬甲壬乙壬丁三线
此三线等也(一卷界/说十五)又甲乙丙丁戊己圜
内有从壬出之壬甲壬乙壬丁三相等线
己圜亦以子为心也夫两交之圜尚不得
同心(本篇/五)何缘得有三交
又论曰若言两圜三相交于甲于乙于丁
令先寻甲庚乙丁辛戊圜之心于壬(本篇/一)
次从心至三交界作壬甲壬乙壬丁三线
此三线等也(一卷界/说十五)又甲乙丙丁戊己圜
内有从壬出之壬甲壬乙壬丁三相等线
几何原本 卷三之首 第 17b 页 WYG0798-0626b.png
则壬又为甲乙丙丁戊己圜之心(本篇/九)不亦交圜同
心乎(本篇/五)
第十一题
两圜内相切作直线联两心引出之必至切界
解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而
己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心题言
作直线联庚己两心引抵圜界必至甲
论曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令从
心乎(本篇/五)
第十一题
两圜内相切作直线联两心引出之必至切界
解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而
己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心题言
作直线联庚己两心引抵圜界必至甲
论曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令从
几何原本 卷三之首 第 18a 页 WYG0798-0626c.png
甲作甲己甲庚两线其甲己庚角形之庚己己甲
两边并大于庚甲一边(一卷/二十)而同圜心所出之庚甲庚
丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各减同
用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲与己乙是
内圜同心所出等线则己乙亦大于己丁而分大于
全也可乎若曰庚为甲乙丙心己为甲丁戊心亦依
前转说之甲己庚角形之己庚庚甲两边并大于
甲己一边(一卷/二十)而同圜心所出之己甲己戊宜等即
两边并大于庚甲一边(一卷/二十)而同圜心所出之庚甲庚
丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各减同
用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲与己乙是
内圜同心所出等线则己乙亦大于己丁而分大于
全也可乎若曰庚为甲乙丙心己为甲丁戊心亦依
前转说之甲己庚角形之己庚庚甲两边并大于
甲己一边(一卷/二十)而同圜心所出之己甲己戊宜等即
几何原本 卷三之首 第 18b 页 WYG0798-0626d.png
己庚庚甲大于己戊矣此二率者各减同
用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲
与庚丙是内圜同心所出等线则庚丙
亦大于庚戊而分大子全也可乎
第十二题
两圜外相切以直线联两心必过切界
解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心
为己丁乙戊心为庚题言作己庚直线必过乙
用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲
与庚丙是内圜同心所出等线则庚丙
亦大于庚戊而分大子全也可乎
第十二题
两圜外相切以直线联两心必过切界
解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心
为己丁乙戊心为庚题言作己庚直线必过乙
几何原本 卷三之首 第 19a 页 WYG0798-0627a.png
论曰如云不然而己庚线截两圜界于戊于
丙令于切界作乙己乙庚两线其乙己庚角
形之己乙乙庚两边并大于己庚一边而乙
庚与庚戊乙己与己丙俱同心所出线宜各等即庚
戊丙己两线并亦大于庚己一线矣(一卷/二十)夫庚己线
分为庚戊丙己尚馀丙戊而云庚戊丙己大于庚己
则分大于全也故直线联己庚必过乙
第十三题(二支/)
丙令于切界作乙己乙庚两线其乙己庚角
形之己乙乙庚两边并大于己庚一边而乙
庚与庚戊乙己与己丙俱同心所出线宜各等即庚
戊丙己两线并亦大于庚己一线矣(一卷/二十)夫庚己线
分为庚戊丙己尚馀丙戊而云庚戊丙己大于庚己
则分大于全也故直线联己庚必过乙
第十三题(二支/)
几何原本 卷三之首 第 19b 页 WYG0798-0627b.png
圜相切不论内外止以一点
先论曰甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相
切若云有两点相切于甲又于丙令作直
线函两圜心庚辛引出之如前图宜至相
切之甲之丙(本篇/十一)则甲丙为两圜之同径
矣而此径线者两平分于庚又两平分于
辛何也(一直线止以/一点两平分)若云庚辛引出直线
一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如后图令从两
先论曰甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相
切若云有两点相切于甲又于丙令作直
线函两圜心庚辛引出之如前图宜至相
切之甲之丙(本篇/十一)则甲丙为两圜之同径
矣而此径线者两平分于庚又两平分于
辛何也(一直线止以/一点两平分)若云庚辛引出直线
一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如后图令从两
几何原本 卷三之首 第 20a 页 WYG0798-0627c.png
心各作直线至又相切之丙次问之甲乙丙丁圜之
心为庚邪辛邪如曰庚也而辛为甲戊内己之心则
丙庚辛角形之庚辛辛丙两边并大于庚丙一边(一/卷)
(二/十)而庚辛辛丙与庚癸宜等(辛癸辛丙同/圜心所出故)即庚癸亦
大于庚丙矣夫庚丙与庚壬者外圜同心所出等线
也将庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚为甲戊
丙己之心则丙庚辛角形之辛庚庚丙两边并大于
辛丙一边(一卷/二十)而辛丙与辛甲宜等即辛庚庚丙亦
心为庚邪辛邪如曰庚也而辛为甲戊内己之心则
丙庚辛角形之庚辛辛丙两边并大于庚丙一边(一/卷)
(二/十)而庚辛辛丙与庚癸宜等(辛癸辛丙同/圜心所出故)即庚癸亦
大于庚丙矣夫庚丙与庚壬者外圜同心所出等线
也将庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚为甲戊
丙己之心则丙庚辛角形之辛庚庚丙两边并大于
辛丙一边(一卷/二十)而辛丙与辛甲宜等即辛庚庚丙亦
几何原本 卷三之首 第 20b 页 WYG0798-0627d.png
大于辛甲矣此二率者各减同用之辛庚即庚丙亦
大于庚甲也夫庚甲与庚丙者亦同圜心所出等线
也而安有大小
后论曰甲乙与乙丙两圜外相切于已从甲
乙之丁心丙乙之戊心作直线相联必过已
(本篇/十三)若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
作直线其丁乙乙戊并宜与丁戊等而为角形之两
腰又宜大于丁戊(一卷/二十)则两圜相切安得两点
大于庚甲也夫庚甲与庚丙者亦同圜心所出等线
也而安有大小
后论曰甲乙与乙丙两圜外相切于已从甲
乙之丁心丙乙之戊心作直线相联必过已
(本篇/十三)若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
作直线其丁乙乙戊并宜与丁戊等而为角形之两
腰又宜大于丁戊(一卷/二十)则两圜相切安得两点
几何原本 卷三之首 第 21a 页 WYG0798-0628a.png
又后论曰更令于两相切之乙之己作直线
相联其直线当在甲乙圜内(本篇/二)又当在乙
丙圜内何所置之
第十四题(二支/)
圜内两直线等即距心之远近等距心之远近等即两
直线等
先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等
题言两线距戊心远近亦等
相联其直线当在甲乙圜内(本篇/二)又当在乙
丙圜内何所置之
第十四题(二支/)
圜内两直线等即距心之远近等距心之远近等即两
直线等
先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等
题言两线距戊心远近亦等
几何原本 卷三之首 第 21b 页 WYG0798-0628b.png
论曰试从戊心向甲乙作戊己向丁丙作
戊庚各垂线次自丁自甲至戊各作直线
其戊己戊庚既各分甲乙丁丙线为两平
分(本篇/三)而甲乙丁丙等则平分之甲己丁庚亦等夫
甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等
(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两
直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即
戊己戊庚上两直角方形亦等则戊己戊庚两线亦
戊庚各垂线次自丁自甲至戊各作直线
其戊己戊庚既各分甲乙丁丙线为两平
分(本篇/三)而甲乙丁丙等则平分之甲己丁庚亦等夫
甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等
(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两
直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即
戊己戊庚上两直角方形亦等则戊己戊庚两线亦
几何原本 卷三之首 第 22a 页 WYG0798-0628c.png
等是甲乙丁丙两线距心之度等(本卷界/说四)
后解曰甲乙丁丙两线距戊心远近等题言甲乙丁
丙两线亦等
论曰依前论从戊作戊己戊庚两垂线既
等(本卷界/说四)而分甲乙丁丙各为两平分(本/篇)
(三/)其甲戊上直角方形与甲己己戊上两
直角方形并等(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形与
丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直
后解曰甲乙丁丙两线距戊心远近等题言甲乙丁
丙两线亦等
论曰依前论从戊作戊己戊庚两垂线既
等(本卷界/说四)而分甲乙丁丙各为两平分(本/篇)
(三/)其甲戊上直角方形与甲己己戊上两
直角方形并等(一卷/四七)等甲戊之丁戊上直角方形与
丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直
几何原本 卷三之首 第 22b 页 WYG0798-0628d.png
角方形并与丁庚庚戊上两直角方形并亦等此二
率者每减一相等之己戊戊庚上直角方形即所存
甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两线等
也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等
第十五题
径为圜内之大线其馀线者近心大于远心
解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其径甲己其近心线
为辛壬远心线为丙丁题言甲乙最大辛壬近心大
率者每减一相等之己戊戊庚上直角方形即所存
甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两线等
也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等
第十五题
径为圜内之大线其馀线者近心大于远心
解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其径甲己其近心线
为辛壬远心线为丙丁题言甲乙最大辛壬近心大
几何原本 卷三之首 第 23a 页 WYG0798-0629a.png
于丙丁远心
论曰试从庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚
子各垂线其丙丁距心远于辛壬即庚癸
大于庚子(本卷界/说四)次于庚癸线截庚丑与庚子等次
从丑作乙戊为庚癸之垂线末于庚乙庚丙庚丁庚
戊各作直线相联其庚丑既等于庚子即乙戊与辛
壬各以垂线距心远近等(本卷界/说四)而两线亦等(本篇/十四)
夫庚乙庚戊并大于乙戊(一卷/二十)而与甲己等即甲己
论曰试从庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚
子各垂线其丙丁距心远于辛壬即庚癸
大于庚子(本卷界/说四)次于庚癸线截庚丑与庚子等次
从丑作乙戊为庚癸之垂线末于庚乙庚丙庚丁庚
戊各作直线相联其庚丑既等于庚子即乙戊与辛
壬各以垂线距心远近等(本卷界/说四)而两线亦等(本篇/十四)
夫庚乙庚戊并大于乙戊(一卷/二十)而与甲己等即甲己
几何原本 卷三之首 第 23b 页 WYG0798-0629b.png
大于乙戊亦大于辛壬矣依显甲己大于
他线则甲己最大又乙庚戊角形之乙庚
庚戊两腰与丙庚丁角形之丙庚庚丁两
腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角则乙戊底大于丙
丁底(一卷/廿四)故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心
线大于远心线也
第十六题(三支/)
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边
他线则甲己最大又乙庚戊角形之乙庚
庚戊两腰与丙庚丁角形之丙庚庚丁两
腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角则乙戊底大于丙
丁底(一卷/廿四)故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心
线大于远心线也
第十六题(三支/)
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边
几何原本 卷三之首 第 24a 页 WYG0798-0629c.png
角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直
线锐角切边角小于各直线锐角
先解曰甲乙丙圜丁为心甲丙为径从
甲作甲丙之垂线题言此线全在圜外
论曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
直线即丁甲乙与丁乙甲两角等(一卷/五)丁甲既为直
角丁乙又为直角乎夫角形三角并等两直角(一卷/十七)
岂得形内自有两直角也则垂线必在圜外若己戊
线锐角切边角小于各直线锐角
先解曰甲乙丙圜丁为心甲丙为径从
甲作甲丙之垂线题言此线全在圜外
论曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
直线即丁甲乙与丁乙甲两角等(一卷/五)丁甲既为直
角丁乙又为直角乎夫角形三角并等两直角(一卷/十七)
岂得形内自有两直角也则垂线必在圜外若己戊
几何原本 卷三之首 第 24b 页 WYG0798-0629d.png
必不在圜内若甲乙又不在圜界之上(如云在界/亦依此论)故
曰全在圜外
次解曰题又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内
论曰若云可作如庚甲令从丁心向庚
甲作丁辛为庚甲之垂线(一卷/十二)夫丁甲
辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于
两直角(一卷/十七)而丁辛甲为直角即对小角之丁辛线
曰全在圜外
次解曰题又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内
论曰若云可作如庚甲令从丁心向庚
甲作丁辛为庚甲之垂线(一卷/十二)夫丁甲
辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于
两直角(一卷/十七)而丁辛甲为直角即对小角之丁辛线
几何原本 卷三之首 第 25a 页 WYG0798-0630a.png
小于对大角之甲丁线矣(一卷/十九)甲丁者与丁壬为同
圜相等者也将丁壬亦大于丁辛乎则戊甲乙角之
内不得更作一直线而戊甲之下但有直线必入本
圜之内也
后解曰题又言丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙
圜分角大于各直线锐角而戊甲垂线偕乙甲圜界
所作切边角小于各直线锐角
论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直
圜相等者也将丁壬亦大于丁辛乎则戊甲乙角之
内不得更作一直线而戊甲之下但有直线必入本
圜之内也
后解曰题又言丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙
圜分角大于各直线锐角而戊甲垂线偕乙甲圜界
所作切边角小于各直线锐角
论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直
几何原本 卷三之首 第 25b 页 WYG0798-0630b.png
线偕戊甲所作各直线锐角皆小于圜分角而切边
角小于各直线锐角
系己甲线必切圜以一点
增先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲
丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言
戊甲全在圜外
增正论曰试于甲戊线内任取一点为庚自庚至
丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角
角小于各直线锐角
系己甲线必切圜以一点
增先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲
丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言
戊甲全在圜外
增正论曰试于甲戊线内任取一点为庚自庚至
丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角
几何原本 卷三之首 第 26a 页 WYG0798-0630c.png
小于两直角(一卷/十七)而丁甲庚为直角即丁庚甲小
于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线
矣(一卷/十九)则庚点在圜之外也凡戊甲以内作点皆
依此论故戊甲线全在圜外
增次解曰从甲作甲辛线在戊甲之
下题言甲辛必割圜为分
增正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁
壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直
于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线
矣(一卷/十九)则庚点在圜之外也凡戊甲以内作点皆
依此论故戊甲线全在圜外
增次解曰从甲作甲辛线在戊甲之
下题言甲辛必割圜为分
增正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁
壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直
几何原本 卷三之首 第 26b 页 WYG0798-0630d.png
角而丁壬甲辛两线必相遇(分论/十一)其相遇又必在
圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直
角等即甲壬丁必为直角(一卷/卅二)而对大角之甲丁
线必大于对小角之丁壬线矣(一卷/十九)夫甲丁线仅
至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也
后支前已正论
或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者
闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深著明
圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直
角等即甲壬丁必为直角(一卷/卅二)而对大角之甲丁
线必大于对小角之丁壬线矣(一卷/十九)夫甲丁线仅
至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也
后支前已正论
或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者
闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深著明
几何原本 卷三之首 第 27a 页 WYG0798-0631a.png
矣今切边之内有角非几何乎此几何何独不可
分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几
何若从大者半减之减之又减必至一处小于所
设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于
直线锐角是亦小几何也彼直线锐角是亦大几
何也若从直线锐角半减之减之又减何以终竟
不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得
容一直线如此著明便当并无切边角无角则无
分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几
何若从大者半减之减之又减必至一处小于所
设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于
直线锐角是亦小几何也彼直线锐角是亦大几
何也若从直线锐角半减之减之又减何以终竟
不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得
容一直线如此著明便当并无切边角无角则无
几何原本 卷三之首 第 27b 页 WYG0798-0631b.png
几何此则不可得分耳且几何原本书中无有至
大不可加之率无有至小不可减之率若切边角
不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也
有圜有线安得无切边角且既言直线锐角大于
切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且
子言直线与圜界并无切边角
则两圜外相切亦无角乎曰然
曰试如作甲己乙圜其心丙而
大不可加之率无有至小不可减之率若切边角
不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也
有圜有线安得无切边角且既言直线锐角大于
切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且
子言直线与圜界并无切边角
则两圜外相切亦无角乎曰然
曰试如作甲己乙圜其心丙而
几何原本 卷三之首 第 28a 页 WYG0798-0631c.png
丁戊为切线即丁甲己为切边角次移心于庚又
作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己
次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角
而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又
于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外
相切于甲依子所说疑无角焉然两圜外相切而
以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截
两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两
作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己
次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角
而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又
于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外
相切于甲依子所说疑无角焉然两圜外相切而
以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截
两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两
几何原本 卷三之首 第 28b 页 WYG0798-0631d.png
直线交罗相遇于甲也能不皆以一点乎如以一
点也即此一点之外不能无空即不能不为四切
边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书
中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可
以直线分之耳若用圜线则可分矣如
甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作
丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛
圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一
点也即此一点之外不能无空即不能不为四切
边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书
中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可
以直线分之耳若用圜线则可分矣如
甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作
丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛
圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一
几何原本 卷三之首 第 29a 页 WYG0798-0632a.png
心作甲己壬圜又得丁甲壬切边小角即又小于
丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何
谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以
圜角分圜角则与其说合矣彼所言大小两几何
者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线
分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直
线角岂能相较为大小哉
增题有两种几何一大一小以小率半增之递增
丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何
谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以
圜角分圜角则与其说合矣彼所言大小两几何
者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线
分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直
线角岂能相较为大小哉
增题有两种几何一大一小以小率半增之递增
几何原本 卷三之首 第 29b 页 WYG0798-0632b.png
至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大
者恒大元小者恒小
解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直
线锐角为大率今别作甲丙甲丁等圜
俱切戊己线于甲其切边角愈增愈大
如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚
辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切
边角恒小乃至终古不得相比
者恒大元小者恒小
解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直
线锐角为大率今别作甲丙甲丁等圜
俱切戊己线于甲其切边角愈增愈大
如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚
辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切
边角恒小乃至终古不得相比
几何原本 卷三之首 第 30a 页 WYG0798-0632c.png
又增题旧有一说以一小率加一大率之上或以
一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至
一相等之处又一说有率大于此率者有率小于
此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论
也若用以律本题即不可得故今斥不为公论
解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲
界定在于甲而引丙线逐线渐移之向
已其所经丁戊己及中间逐线所经无
一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至
一相等之处又一说有率大于此率者有率小于
此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论
也若用以律本题即不可得故今斥不为公论
解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲
界定在于甲而引丙线逐线渐移之向
已其所经丁戊己及中间逐线所经无
几何原本 卷三之首 第 30b 页 WYG0798-0632d.png
数然依本题论则甲丙所经凡割圜时皆为锐角
即小于半圜分角才离锐角便为直角即大于半
圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一
旧说未为公论又直线锐角皆小于半圜分角直
角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终
无等者可见后一旧说未为公论也
第十七题
设一点一圜求从点作切线
即小于半圜分角才离锐角便为直角即大于半
圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一
旧说未为公论又直线锐角皆小于半圜分角直
角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终
无等者可见后一旧说未为公论也
第十七题
设一点一圜求从点作切线
几何原本 卷三之首 第 31a 页 WYG0798-0633a.png
法曰甲点求作直线切乙丙圜其圜心丁
先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以
丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁
之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙
圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙
论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲
丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等(一卷界/说十五)
丁角同即甲丙乙戊两底亦等(一卷/四)而戊
先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以
丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁
之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙
圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙
论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲
丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等(一卷界/说十五)
丁角同即甲丙乙戊两底亦等(一卷/四)而戊
几何原本 卷三之首 第 31b 页 WYG0798-0633b.png
乙丁为直角即甲丙丁亦直角则甲丙偕乙丙圜之
半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线(本篇十/六之系)
第十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至
切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
论曰如云不然令从戊别作垂线如至已
而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直
半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线(本篇十/六之系)
第十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至
切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
论曰如云不然令从戊别作垂线如至已
而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直
几何原本 卷三之首 第 32a 页 WYG0798-0633c.png
角即宜大于己丙戊角(一卷/十七)而对大角之戊丙边宜
大于对小角之戊己边矣(一卷/十九)夫戊丙与戊丁等也
戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎
又论曰若云丙非直角即其两旁角一锐一钝令乙
丙戊为锐角则锐角乃大于半圜分角乎(本篇/十六)
第十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙
大于对小角之戊己边矣(一卷/十九)夫戊丙与戊丁等也
戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎
又论曰若云丙非直角即其两旁角一锐一钝令乙
丙戊为锐角则锐角乃大于半圜分角乎(本篇/十六)
第十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙
几何原本 卷三之首 第 32b 页 WYG0798-0633d.png
之垂线题言圜心在戊丙线内
论曰如云不然心在于已令从已作己丙
直线即己丙亦为甲乙之垂线(本篇/十八)而已
丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣
第二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍
大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负
论曰如云不然心在于已令从已作己丙
直线即己丙亦为甲乙之垂线(本篇/十八)而已
丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣
第二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍
大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负
几何原本 卷三之首 第 33a 页 WYG0798-0634a.png
圜角同以乙丙圜分为底题言乙丁丙角倍大于乙
甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上
图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角
形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角
等(一卷/五)而乙丁戊外角与内相对两角并等(一卷/卅二)即
乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙
甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上
图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角
形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角
等(一卷/五)而乙丁戊外角与内相对两角并等(一卷/卅二)即
乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙
甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
几何原本 卷三之首 第 33b 页 WYG0798-0634b.png
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙
线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁
丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两
角并(一卷/卅二)而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等(一/卷)
(五/)则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截
丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊
线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同
线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁
丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两
角并(一卷/卅二)而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等(一/卷)
(五/)则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截
丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊
线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同
几何原本 卷三之首 第 34a 页 WYG0798-0634c.png
以戊乙两圜分为底如前次论戊丁丙角倍大于戊
甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜
角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙
角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍
大于乙甲丙角
增若乙丁丁丙不作角于心或为半圜
或小于半圜则丁心外馀地亦倍大于
同底之负圜角
甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜
角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙
角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍
大于乙甲丙角
增若乙丁丁丙不作角于心或为半圜
或小于半圜则丁心外馀地亦倍大于
同底之负圜角
几何原本 卷三之首 第 34b 页 WYG0798-0634d.png
论曰试从甲过丁心作甲戊线即丁心外馀地分
为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大
于乙甲丁丁甲丙两角
第二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜
分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两
角等
为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大
于乙甲丁丁甲丙两角
第二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜
分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两
角等
几何原本 卷三之首 第 35a 页 WYG0798-0635a.png
先论函心大分所作曰试从戊作戊丁戊丙线其丁
戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角(本篇/十二)即
甲乙两角自相等(公论/七)
后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙
丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲
从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更
从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角
既倍大于丁甲己负圜角(本篇/二十)依显丙戊
戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角(本篇/十二)即
甲乙两角自相等(公论/七)
后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙
丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲
从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更
从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角
既倍大于丁甲己负圜角(本篇/二十)依显丙戊
几何原本 卷三之首 第 35b 页 WYG0798-0635b.png
己分圜角亦倍大于丙甲己负圜角而丁戊庚庚戊
己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙
三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙
丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等
又后论曰二十题增言分圜不作角其心外馀地倍
大于同底各负圜角即各角自相等
又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试
作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并
己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙
三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙
丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等
又后论曰二十题增言分圜不作角其心外馀地倍
大于同底各负圜角即各角自相等
又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试
作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并
几何原本 卷三之首 第 36a 页 WYG0798-0635c.png
与乙丙己角形之三角并等(一卷/卅二)次每减
一交角相等之甲己丁乙己丙(一卷/十五)即己
甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两
角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲
丁丙乙函心大分内又等(本题第/一论)则丁甲
丙与丙乙丁亦等
又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两
线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大
一交角相等之甲己丁乙己丙(一卷/十五)即己
甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两
角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲
丁丙乙函心大分内又等(本题第/一论)则丁甲
丙与丙乙丁亦等
又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两
线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大
几何原本 卷三之首 第 36b 页 WYG0798-0635d.png
分次于甲己乙己各作直线相联其丁甲
已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界
即等(本题第/一论)依显丙乙己与丙甲已两角
同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率
并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等
第二十二题
圜内切界四边形每相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形
已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界
即等(本题第/一论)依显丙乙己与丙甲已两角
同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率
并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等
第二十二题
圜内切界四边形每相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形
几何原本 卷三之首 第 37a 页 WYG0798-0636a.png
题言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲
乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁
甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等(本/篇)
(廿/一)依显丙甲丁丙乙丁两角亦等则甲乙
丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙
丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙
丙丁甲并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三
乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁
甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等(本/篇)
(廿/一)依显丙甲丁丙乙丁两角亦等则甲乙
丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙
丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙
丙丁甲并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三
几何原本 卷三之首 第 37b 页 WYG0798-0636b.png
角并元与两直角等(一卷/卅二)则甲乙丙丙丁甲相对两
角并与两直角等依显乙丙丁丁甲乙并亦与两直
角等
第二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
论曰如云不然令于甲乙线上作同方两
圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲
丁乙其两圜相交止于甲乙两点(本篇/十)即
角并与两直角等依显乙丙丁丁甲乙并亦与两直
角等
第二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
论曰如云不然令于甲乙线上作同方两
圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲
丁乙其两圜相交止于甲乙两点(本篇/十)即
几何原本 卷三之首 第 38a 页 WYG0798-0636c.png
一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁线截
甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两线相联夫两圜
分相似者其负圜角宜等(本卷界/说十)则乙丙甲外角与
相对之乙丁甲内角等乎(一卷/十六)
第二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
解曰甲乙丙丁两线上作甲丙乙丙己丁相似两圜
分题言两圜分等
甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两线相联夫两圜
分相似者其负圜角宜等(本卷界/说十)则乙丙甲外角与
相对之乙丁甲内角等乎(一卷/十六)
第二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
解曰甲乙丙丁两线上作甲丙乙丙己丁相似两圜
分题言两圜分等
几何原本 卷三之首 第 38b 页 WYG0798-0636d.png
论曰甲乙丙丁两线既等试以甲乙线加
丙丁线上两线必相合即甲丙乙丙己丁
两圜分相加亦相合如云不然必两圜分
相加或在内或在外或半在内半在外矣
若在内在外即一直线上有两圜分相似
而不相等也(本篇/廿三)若半在内半在外即两
圜三相交也(本篇/十)两俱不可故相似者必
等
丙丁线上两线必相合即甲丙乙丙己丁
两圜分相加亦相合如云不然必两圜分
相加或在内或在外或半在内半在外矣
若在内在外即一直线上有两圜分相似
而不相等也(本篇/廿三)若半在内半在外即两
圜三相交也(本篇/十)两俱不可故相似者必
等
几何原本 卷三之首 第 39a 页 WYG0798-0637a.png
第二十五题
有圜之分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作
甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙
线相联其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
或小若大即甲乙丙当为圜之小分何也乙丁分甲
丙为两平分即知圜之心必在乙丁线内(本篇一/之系)而
心在丁点之外则从丁点所出丁乙为不过心径线
有圜之分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作
甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙
线相联其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
或小若大即甲乙丙当为圜之小分何也乙丁分甲
丙为两平分即知圜之心必在乙丁线内(本篇一/之系)而
心在丁点之外则从丁点所出丁乙为不过心径线
几何原本 卷三之首 第 39b 页 WYG0798-0637b.png
至小(本篇/七)故对小边之丁甲乙角小于对大边之丁
乙甲角也(一卷/十八)即作乙甲戊角与丁乙甲角等次从
乙丁引出一线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与
丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁
戊两皆直角即对直角之甲戊与戊丙两线等(一卷/四)
夫甲戊与乙戊以对角等故既等(一卷/六)戊丙与甲戊
又等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇/九)
乙甲角也(一卷/十八)即作乙甲戊角与丁乙甲角等次从
乙丁引出一线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与
丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁
戊两皆直角即对直角之甲戊与戊丙两线等(一卷/四)
夫甲戊与乙戊以对角等故既等(一卷/六)戊丙与甲戊
又等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇/九)
几何原本 卷三之首 第 40a 页 WYG0798-0637c.png
次法兼论曰若丁乙甲丁甲乙两角等即甲
乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙
丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等(一/卷)
(五/)今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必
等(一卷/六)丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁
为圜心(本篇/九)
后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙
当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分
乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙
丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等(一/卷)
(五/)今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必
等(一卷/六)丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁
为圜心(本篇/九)
后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙
当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分
几何原本 卷三之首 第 40b 页 WYG0798-0637d.png
即知圜心在乙丁线内(本篇一/之系)而丁点在心之外则
所出丁乙为过心径线至大(本篇/七)故对大边之丁甲
乙大于对小边之丁乙甲也(一卷/十八)即作乙甲戊角与
丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜
心
论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与
丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁
戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等(一卷/四)
所出丁乙为过心径线至大(本篇/七)故对大边之丁甲
乙大于对小边之丁乙甲也(一卷/十八)即作乙甲戊角与
丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜
心
论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与
丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁
戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等(一卷/四)
几何原本 卷三之首 第 41a 页 WYG0798-0638a.png
夫乙戊与甲戊以对角等故既等(一卷/五)戊丙与甲戊
亦等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇/九)
增求圜分之心有一简法于甲乙丙圜
分任取三点于甲于乙于丙以两直线
联之各两平分于丁于戊从丁从戊作
甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己
即已为圜心
论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两
亦等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇/九)
增求圜分之心有一简法于甲乙丙圜
分任取三点于甲于乙于丙以两直线
联之各两平分于丁于戊从丁从戊作
甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己
即已为圜心
论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两
几何原本 卷三之首 第 41b 页 WYG0798-0638b.png
线即圜之心当在两垂线内(本篇/一)而相遇于已即
已为圜心
其用法圜界上任取四点为甲为乙为
丙为丁每两点各自为心相向各任作
圜分四圜分两两相交于戊于己于庚
于辛从戊己从庚辛各作直线引长之
交于壬即壬为圜心
论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各
已为圜心
其用法圜界上任取四点为甲为乙为
丙为丁每两点各自为心相向各任作
圜分四圜分两两相交于戊于己于庚
于辛从戊己从庚辛各作直线引长之
交于壬即壬为圜心
论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各
几何原本 卷三之首 第 42a 页 WYG0798-0638c.png
为同圜等圜之半径各等即甲戊己角形之甲戊
己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己
戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己
癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己
癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角
之乙癸边亦等(一卷/八)则甲癸己乙癸己俱为直角
而戊己线必过心(本篇/一)依显庚辛线亦过心而相
遇于壬为圜心
己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己
戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己
癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己
癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角
之乙癸边亦等(一卷/八)则甲癸己乙癸己俱为直角
而戊己线必过心(本篇/一)依显庚辛线亦过心而相
遇于壬为圜心
几何原本 卷三之首 第 42b 页 WYG0798-0638d.png
第二十六题(二支/)
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦
等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其
心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜
角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等
论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任
取两点于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦
等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其
心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜
角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等
论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任
取两点于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊
几何原本 卷三之首 第 43a 页 WYG0798-0639a.png
作戊丁戊己各两线次作甲丙丁己两线
相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角
即乙与戊自相等(本篇/二十)而所负甲乙丙与
丁戊己两圜分相似(本卷界/说十)又甲庚丙角
形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁
辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己
两边亦等(一卷/四)而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分
在等线上亦等(本篇/廿四)夫相等圜减相等圜分则所存
相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角
即乙与戊自相等(本篇/二十)而所负甲乙丙与
丁戊己两圜分相似(本卷界/说十)又甲庚丙角
形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁
辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己
两边亦等(一卷/四)而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分
在等线上亦等(本篇/廿四)夫相等圜减相等圜分则所存
几何原本 卷三之首 第 43b 页 WYG0798-0639b.png
甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乘之圜分等
后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所
乘之甲丙丁己两圜分亦等
论曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚
辛自相等(本篇/二十)依前论甲丙丁己两边亦自相等而
甲乙丙与丁戊己两圜分亦等(本篇/廿四)今于相等圜减
相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等
注曰后解极易明盖庚辛角既各倍于乙戊则依
后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所
乘之甲丙丁己两圜分亦等
论曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚
辛自相等(本篇/二十)依前论甲丙丁己两边亦自相等而
甲乙丙与丁戊己两圜分亦等(本篇/廿四)今于相等圜减
相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等
注曰后解极易明盖庚辛角既各倍于乙戊则依
几何原本 卷三之首 第 44a 页 WYG0798-0639c.png
先论甲丙丁己自相等(在心之乘圜角即/分圜角随类异名)
第二十七题(二支/)
等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两
圜等其心为庚为辛若甲庚丙乘
圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等题
言甲庚丙丁辛己两角等
论曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角与丁辛
第二十七题(二支/)
等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两
圜等其心为庚为辛若甲庚丙乘
圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等题
言甲庚丙丁辛己两角等
论曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角与丁辛
几何原本 卷三之首 第 44b 页 WYG0798-0639d.png
己角等即甲壬圜分宜与丁己圜分等(本/篇)
(廿/六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦
等乎
后解在界者曰甲丙丁己两圜分等题言
其上乙戊两角亦等
论曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角与戊角
等其甲乙壬与丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜
等(本篇/廿六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎
(廿/六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦
等乎
后解在界者曰甲丙丁己两圜分等题言
其上乙戊两角亦等
论曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角与戊角
等其甲乙壬与丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜
等(本篇/廿六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎
几何原本 卷三之首 第 45a 页 WYG0798-0640a.png
增题从此推显两直线不相交而在一
圜之内若两线界相去之圜分等则两
线必平行若两线平行则两线界相去
之圜分等
先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两线其相去
之甲乙丁丙两圜分等题言两线必平行
论曰试自甲至丙作直线相联其甲乙丁丙既等
即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等(本/题)既内相对
圜之内若两线界相去之圜分等则两
线必平行若两线平行则两线界相去
之圜分等
先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两线其相去
之甲乙丁丙两圜分等题言两线必平行
论曰试自甲至丙作直线相联其甲乙丁丙既等
即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等(本/题)既内相对
几何原本 卷三之首 第 45b 页 WYG0798-0640b.png
之两角等即两线必平行(一卷/廿七)
后解曰甲丁乙丙为平行线题言甲乙
丁丙两圜分必等
论曰试作甲丙线其甲丁乙丙既平行
即内相对之两角甲丙乙丙甲丁必等(一卷/廿七)而所
乘圜分甲乙丁丙亦等(本篇/廿六)
第二十八题
等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各
后解曰甲丁乙丙为平行线题言甲乙
丁丙两圜分必等
论曰试作甲丙线其甲丁乙丙既平行
即内相对之两角甲丙乙丙甲丁必等(一卷/廿七)而所
乘圜分甲乙丁丙亦等(本篇/廿六)
第二十八题
等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各
几何原本 卷三之首 第 46a 页 WYG0798-0640c.png
等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为
辛圜内有甲丙丁己两直线等题言甲乙
丙与丁戊己两大分甲丙与丁己两小分
各等
论曰试于甲庚庚丙丁辛辛己各作直线
其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之
丁己两底既等而甲庚庚丙两腰与丁辛辛己两腰
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为
辛圜内有甲丙丁己两直线等题言甲乙
丙与丁戊己两大分甲丙与丁己两小分
各等
论曰试于甲庚庚丙丁辛辛己各作直线
其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之
丁己两底既等而甲庚庚丙两腰与丁辛辛己两腰
几何原本 卷三之首 第 46b 页 WYG0798-0640d.png
又等即庚辛两角亦等(一卷/八)其所乘之甲丙丁己两
小分必等(本篇/廿六)次减相等之甲丙丁己两小分则所
存甲乙丙丁戊己两大分亦等
第二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
解曰依前题两圜之甲乙丙丁戊
己两圜分等而甲丙丁己两圜分
亦等题言甲丙丁己两线必等
小分必等(本篇/廿六)次减相等之甲丙丁己两小分则所
存甲乙丙丁戊己两大分亦等
第二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
解曰依前题两圜之甲乙丙丁戊
己两圜分等而甲丙丁己两圜分
亦等题言甲丙丁己两线必等
几何原本 卷三之首 第 47a 页 WYG0798-0641a.png
论曰依前题作四线其甲庚丙角形之甲
庚庚丙两腰与丁辛己角形之丁辛辛己
两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两
圜分等即庚辛两角亦等(本篇/廿七)而对等角
之甲丙丁己两线必等(一卷/四)
注曰第二十六至二十九四题所说俱等圜其在
同圜亦依此论
第三十题
庚庚丙两腰与丁辛己角形之丁辛辛己
两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两
圜分等即庚辛两角亦等(本篇/廿七)而对等角
之甲丙丁己两线必等(一卷/四)
注曰第二十六至二十九四题所说俱等圜其在
同圜亦依此论
第三十题
几何原本 卷三之首 第 47b 页 WYG0798-0641b.png
有圜之分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两
界作甲丙线次两平分于丁从丁作乙丁
为甲丙之垂线即乙丁分甲乙丙圜分为
两平分
论曰从乙作乙甲乙丙两线其甲乙丁角形之甲丁
与丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙
与丙丁乙两直角又等即对直角之甲乙乙丙两底
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两
界作甲丙线次两平分于丁从丁作乙丁
为甲丙之垂线即乙丁分甲乙丙圜分为
两平分
论曰从乙作乙甲乙丙两线其甲乙丁角形之甲丁
与丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙
与丙丁乙两直角又等即对直角之甲乙乙丙两底
几何原本 卷三之首 第 48a 页 WYG0798-0641c.png
亦等(一卷/四)而甲乙与乙丙两圜分亦等(本篇/十八)则甲乙
丙圜界两平分于乙矣
第三十一题(五支/)
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于
直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角
解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半
圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角
负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙
丙圜界两平分于乙矣
第三十一题(五支/)
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于
直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角
解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半
圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角
负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙
几何原本 卷三之首 第 48b 页 WYG0798-0641d.png
大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半
圜之甲乙丙为直角二言负大分之乙甲丙角小于
直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙
甲大圜分角大于直角后言丙乙戊小圜分角小于
直角
先论曰试作乙丁线次以甲乙线引长之至已其丁
乙丁甲两线等即丁乙甲丁甲乙两角等(一卷/五)依显
丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角与乙甲丙
圜之甲乙丙为直角二言负大分之乙甲丙角小于
直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙
甲大圜分角大于直角后言丙乙戊小圜分角小于
直角
先论曰试作乙丁线次以甲乙线引长之至已其丁
乙丁甲两线等即丁乙甲丁甲乙两角等(一卷/五)依显
丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角与乙甲丙
几何原本 卷三之首 第 49a 页 WYG0798-0643a.png
甲丙乙两角并等又己乙丙外角亦与相对之乙甲
丙甲丙乙两内角并等(一卷/卅二)则己乙丙与甲乙丙等
为直角
二论曰甲乙丙角形之甲乙丙既为直角则乙甲丙
小于直角(一卷/十七)
三论曰甲乙戊丙四边形在圜之内其乙甲丙乙戊
丙相对两角并等两直角(本篇/廿二)而乙甲丙小于直角
则乙戊丙大于直角
丙甲丙乙两内角并等(一卷/卅二)则己乙丙与甲乙丙等
为直角
二论曰甲乙丙角形之甲乙丙既为直角则乙甲丙
小于直角(一卷/十七)
三论曰甲乙戊丙四边形在圜之内其乙甲丙乙戊
丙相对两角并等两直角(本篇/廿二)而乙甲丙小于直角
则乙戊丙大于直角
几何原本 卷三之首 第 49b 页 WYG0798-0643b.png
四论曰甲乙丙直角为丙乙甲大圜分角之分则大
于直角
后论曰丙乙戊小圜分角为己乙丙直角之分则小
于直角
此题别有四解四论先解曰甲乙丙半圜其
心丁其上任作甲乙丙角题言此为直角
论曰试作乙丁线其丁乙丁甲两线既等即
丁乙甲丁甲乙两角亦等(一卷/五)而乙丁丙外角既与
于直角
后论曰丙乙戊小圜分角为己乙丙直角之分则小
于直角
此题别有四解四论先解曰甲乙丙半圜其
心丁其上任作甲乙丙角题言此为直角
论曰试作乙丁线其丁乙丁甲两线既等即
丁乙甲丁甲乙两角亦等(一卷/五)而乙丁丙外角既与
几何原本 卷三之首 第 50a 页 WYG0798-0643c.png
丁乙甲丁甲乙相对之两内角并等(一卷/卅二)即倍大于
丁乙甲角依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即
乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁
甲乙丁丙并等两直角(一卷/十三)则甲乙丙为直角
二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙
丙角题言此小于直角
论曰试作甲丁戊径线次作乙戊线相联
其甲乙戊既为直角(本题/一论)即甲乙丙为其分而小于
丁乙甲角依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即
乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁
甲乙丁丙并等两直角(一卷/十三)则甲乙丙为直角
二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙
丙角题言此小于直角
论曰试作甲丁戊径线次作乙戊线相联
其甲乙戊既为直角(本题/一论)即甲乙丙为其分而小于
几何原本 卷三之首 第 50b 页 WYG0798-0643d.png
直角
三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙
丙角题言此大于直角
论曰试作甲丁戊径线而引乙丙圜界至
戊次作乙戊线其甲乙戊既负半圜之直角而为甲
乙丙角之分则甲乙丙大于直角
四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊
题言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙
丙角题言此大于直角
论曰试作甲丁戊径线而引乙丙圜界至
戊次作乙戊线其甲乙戊既负半圜之直角而为甲
乙丙角之分则甲乙丙大于直角
四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊
题言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
几何原本 卷三之首 第 51a 页 WYG0798-0644a.png
小于直角
论曰试作乙戊丙径线次作乙甲线引
长之至己其乙甲丙直角为丙甲乙大
圜分角之分而丙甲丁小圜分角又为己甲丙直角
之分则大分角大于直角小分角小于直角
一系凡角形之内一角与两角并等其一角必直角
何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内
交角岂非直角
论曰试作乙戊丙径线次作乙甲线引
长之至己其乙甲丙直角为丙甲乙大
圜分角之分而丙甲丁小圜分角又为己甲丙直角
之分则大分角大于直角小分角小于直角
一系凡角形之内一角与两角并等其一角必直角
何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内
交角岂非直角
几何原本 卷三之首 第 51b 页 WYG0798-0644b.png
二系大分之角大于直角小分之角小于直角终无
有角等于直角又从小过大从大过小非大即小终
无相等依此题四五论甚明与本篇十六题增注互
相发也
第三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为
负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互
相等
有角等于直角又从小过大从大过小非大即小终
无相等依此题四五论甚明与本篇十六题增注互
相发也
第三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为
负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互
相等
几何原本 卷三之首 第 52a 页 WYG0798-0644c.png
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙从丙任作丙戊直线
割圜为两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角
题言甲丙戊角与丙庚戊角乙丙戊角与
丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰如前图甲丙戊乙
丙戊两皆直角(一卷/十八)而丙庚戊丙丁戊两
负半圜角亦皆直角(本篇/卅一)则交互相等
后论割圜线不过心者曰如后图试作丙
割圜为两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角
题言甲丙戊角与丙庚戊角乙丙戊角与
丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰如前图甲丙戊乙
丙戊两皆直角(一卷/十八)而丙庚戊丙丁戊两
负半圜角亦皆直角(本篇/卅一)则交互相等
后论割圜线不过心者曰如后图试作丙
几何原本 卷三之首 第 52b 页 WYG0798-0644d.png
己过心直线次作戊己线相联其己丙为
甲乙之垂线(一卷/十八)而丙戊己为直角(本篇/卅一)
即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦
等于甲丙己角矣此两率者各减同用之戊丙己角
即所存戊己丙与甲丙戊等也夫戊己丙与丙庚戊
元等(本卷/廿一)则甲丙戊与丙庚戊交互相等又丙丁戊
庚四边形之丙丁戊丙庚戊两对角并等两直角(本/篇)
(廿/二)而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角(一卷/十三)此二
甲乙之垂线(一卷/十八)而丙戊己为直角(本篇/卅一)
即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦
等于甲丙己角矣此两率者各减同用之戊丙己角
即所存戊己丙与甲丙戊等也夫戊己丙与丙庚戊
元等(本卷/廿一)则甲丙戊与丙庚戊交互相等又丙丁戊
庚四边形之丙丁戊丙庚戊两对角并等两直角(本/篇)
(廿/二)而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角(一卷/十三)此二
几何原本 卷三之首 第 53a 页 WYG0798-0645a.png
率者各减一相等之甲丙戊丙庚戊则所存丙丁戊
乙丙戊亦交互相等
第三十三题
一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等
先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负
圜分角与丙等其丙角或直或锐或钝若直
角先以甲乙两平分于丁次以丁为心甲乙
为界作半圜圜分内作甲戊乙角即负半圜角为直
乙丙戊亦交互相等
第三十三题
一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等
先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负
圜分角与丙等其丙角或直或锐或钝若直
角先以甲乙两平分于丁次以丁为心甲乙
为界作半圜圜分内作甲戊乙角即负半圜角为直
几何原本 卷三之首 第 53b 页 WYG0798-0645b.png
角(本篇/卅一)如所求
次法曰若设丙锐角先于甲点上作丁
甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之
垂线于甲乙之上次作己乙甲角与己
甲乙角等而乙己线与甲戊线遇于己
即己乙己甲两线等(一卷/六)末以己为心甲为界作甲
庚圜必过乙即甲庚乙圜分内甲乙线上所作负圜
角必为锐角而与丙等
次法曰若设丙锐角先于甲点上作丁
甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之
垂线于甲乙之上次作己乙甲角与己
甲乙角等而乙己线与甲戊线遇于己
即己乙己甲两线等(一卷/六)末以己为心甲为界作甲
庚圜必过乙即甲庚乙圜分内甲乙线上所作负圜
角必为锐角而与丙等
几何原本 卷三之首 第 54a 页 WYG0798-0645c.png
论曰试作甲庚乙角其甲己戊线过己心而丁甲又
为戊甲之垂线即丁甲线切甲庚乙圜于甲(本篇十/六之系)
则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等(本篇/卅二)如所求
后法曰若设辛钝角依前作壬甲乙钝角与辛等次
作戊甲为壬甲之垂线馀仿第二法而于甲乙线上
作甲癸乙等即与辛等
后论同次
第三十四题
为戊甲之垂线即丁甲线切甲庚乙圜于甲(本篇十/六之系)
则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等(本篇/卅二)如所求
后法曰若设辛钝角依前作壬甲乙钝角与辛等次
作戊甲为壬甲之垂线馀仿第二法而于甲乙线上
作甲癸乙等即与辛等
后论同次
第三十四题
几何原本 卷三之首 第 54b 页 WYG0798-0645d.png
设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等
法曰设甲乙丙圜求割一分而负圜分角
与丁等先作戊己直线切圜于甲(本篇/十七)次
作已甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上
所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
何者已甲乙角与丁等亦与甲丙乙交互相等故(本/篇)
(卅/二)
第三十五题
法曰设甲乙丙圜求割一分而负圜分角
与丁等先作戊己直线切圜于甲(本篇/十七)次
作已甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上
所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
何者已甲乙角与丁等亦与甲丙乙交互相等故(本/篇)
(卅/二)
第三十五题
几何原本 卷三之首 第 55a 页 WYG0798-0646a.png
圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两线交
而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕
戊丁两矩内直角形等其两线或俱过心
或一过心一不过心或俱不过心若俱过心者其各
分四线等即两矩内直角形亦等
先论曰圜内线独丙丁过己心者又有二种其一丙
丁平分甲乙线于戊即丙戊线在甲乙上为两直角
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两线交
而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕
戊丁两矩内直角形等其两线或俱过心
或一过心一不过心或俱不过心若俱过心者其各
分四线等即两矩内直角形亦等
先论曰圜内线独丙丁过己心者又有二种其一丙
丁平分甲乙线于戊即丙戊线在甲乙上为两直角
几何原本 卷三之首 第 55b 页 WYG0798-0646b.png
(本篇/三)试作已乙线相联其丙丁线既两平
分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩
内直角形及已戊上直角方形并与等已
丁之已乙上直角方形等(二卷/五)夫已乙上直角方形
与已戊戊乙上两直角方形并等(一卷/四七)即丙戊偕戊
丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙
上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直
角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙
分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩
内直角形及已戊上直角方形并与等已
丁之已乙上直角方形等(二卷/五)夫已乙上直角方形
与已戊戊乙上两直角方形并等(一卷/四七)即丙戊偕戊
丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙
上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直
角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙
几何原本 卷三之首 第 56a 页 WYG0798-0646c.png
上直角方形等乎戊乙与甲戊既等即甲戊偕戊乙
矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲
乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直
线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直
角(本篇/三)其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳
戊上直角方形并与等已丁之已乙上直
角方形等(二卷/五)而已戊上直角方形与已
矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲
乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直
线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直
角(本篇/三)其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳
戊上直角方形并与等已丁之已乙上直
角方形等(二卷/五)而已戊上直角方形与已
几何原本 卷三之首 第 56b 页 WYG0798-0646d.png
庚庚戊上两直角方形并等(一卷/四七)已乙上直角方形
与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁
矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚
庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直
角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上
直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊
乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上
直角方形等(二卷/五)此二相等率者每减同用之庚戊
与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁
矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚
庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直
角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上
直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊
乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上
直角方形等(二卷/五)此二相等率者每减同用之庚戊
几何原本 卷三之首 第 57a 页 WYG0798-0647a.png
上直角方形则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内
直角形等矣
后论曰圜内两线俱不过心者又有二种
或一线平分或两俱任分皆从已心与戊
相联作直线引长之为庚辛线依上论甲
戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分
任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角
形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形
直角形等矣
后论曰圜内两线俱不过心者又有二种
或一线平分或两俱任分皆从已心与戊
相联作直线引长之为庚辛线依上论甲
戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分
任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角
形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形
几何原本 卷三之首 第 57b 页 WYG0798-0647b.png
不论丙丁线平分任分亦与过心之庚戊偕戊辛矩
内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内
直角形等
第三十六题
圜外任取一点从点出两直线一切圜一割圜其割圜
之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方
形等
解曰甲乙丙圜外任取丁点从丁作丁乙线切圜于
内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内
直角形等
第三十六题
圜外任取一点从点出两直线一切圜一割圜其割圜
之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方
形等
解曰甲乙丙圜外任取丁点从丁作丁乙线切圜于
几何原本 卷三之首 第 58a 页 WYG0798-0647c.png
乙(本篇/十七)作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩
内直角形与丁乙上直角方形等
先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁
乙之垂线(本篇/十八)其甲丙线平分于戊又引
出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形
及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方
形等(二卷/六)而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直
角方形并等(一卷/四七)即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊
内直角形与丁乙上直角方形等
先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁
乙之垂线(本篇/十八)其甲丙线平分于戊又引
出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形
及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方
形等(二卷/六)而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直
角方形并等(一卷/四七)即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊
几何原本 卷三之首 第 58b 页 WYG0798-0647d.png
乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此
两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁
偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
后论丁甲不过戊心者曰试
以甲丙线两平分于已次从
戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
四线即戊乙为丁乙之垂线(本篇/十八)戊已为甲丙之垂
线(本篇/三)其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线
两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁
偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
后论丁甲不过戊心者曰试
以甲丙线两平分于已次从
戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
四线即戊乙为丁乙之垂线(本篇/十八)戊已为甲丙之垂
线(本篇/三)其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线
几何原本 卷三之首 第 59a 页 WYG0798-0648a.png
即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直
角方形并与已丁上直角方形等(二卷/六)次
每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙
矩内直角形及已丙戊已上两直角方形
并与己丁戊己上两直角方形并等夫己
丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊
乙上直角方形等(一卷/四七)而戊丁上直角方形与己丁
戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角
角方形并与已丁上直角方形等(二卷/六)次
每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙
矩内直角形及已丙戊已上两直角方形
并与己丁戊己上两直角方形并等夫己
丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊
乙上直角方形等(一卷/四七)而戊丁上直角方形与己丁
戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角
几何原本 卷三之首 第 59b 页 WYG0798-0648b.png
形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣又
戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等
即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并
与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊
乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与
丁乙上直角方形等
一系若从圜外一点作数线至规内各全
线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作
戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等
即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并
与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊
乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与
丁乙上直角方形等
一系若从圜外一点作数线至规内各全
线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作
几何原本 卷三之首 第 60a 页 WYG0798-0648c.png
甲丙甲丁甲戊各线截圜界于己于庚于辛其甲丙
偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱
等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲
乙上直角方形俱等故(本/题)
二系从圜外一点作两直线切圜此两线
等如甲点作甲乙甲丙两切圜线即甲丙
与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界
于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊
偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱
等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲
乙上直角方形俱等故(本/题)
二系从圜外一点作两直线切圜此两线
等如甲点作甲乙甲丙两切圜线即甲丙
与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界
于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊
几何原本 卷三之首 第 60b 页 WYG0798-0648d.png
矩内直角形等(本/题)则此两直角方形自相等
三系从圜外一点止可作两直线切圜若
言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作
甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两
线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角(本篇/十八)
试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大
于甲乙戊角(一卷/廿一)安得为直角也又甲乙甲丁若俱
切圜即两线宜等(本题/二系)试作甲戊线截圜于己则甲
三系从圜外一点止可作两直线切圜若
言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作
甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两
线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角(本篇/十八)
试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大
于甲乙戊角(一卷/廿一)安得为直角也又甲乙甲丁若俱
切圜即两线宜等(本题/二系)试作甲戊线截圜于己则甲
几何原本 卷三之首 第 61a 页 WYG0798-0649a.png
丁为近己线甚小当小于远己之甲乙线(本篇/八)又安
得相等也故一点上止可作切圜线两也
第三十七题
圜外任于一点出两直线一至规外一割圜至规内而
割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外
之线上直角方形等则至规外之线必切圜
解曰甲乙丙圜其心戊从丁点作丁乙至规外之线
遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界
得相等也故一点上止可作切圜线两也
第三十七题
圜外任于一点出两直线一至规外一割圜至规内而
割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外
之线上直角方形等则至规外之线必切圜
解曰甲乙丙圜其心戊从丁点作丁乙至规外之线
遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界
几何原本 卷三之首 第 61b 页 WYG0798-0649b.png
于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形与丁乙
上直角方形等题言丁乙为切圜线
论曰试从丁作丁己线切圜于己(本篇/十七)次
作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心
者又作丁戊直线其丁己上直角方形与
丁甲偕丁丙矩内直角形等(本篇/卅六)而丁乙
上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁
乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦
上直角方形等题言丁乙为切圜线
论曰试从丁作丁己线切圜于己(本篇/十七)次
作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心
者又作丁戊直线其丁己上直角方形与
丁甲偕丁丙矩内直角形等(本篇/卅六)而丁乙
上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁
乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦
几何原本 卷三之首 第 62a 页 WYG0798-0649c.png
等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊与丁己戊角形之丁
己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等
(一卷/八)而对丁戊底之丁己戊为直角(本篇/十八)即丁乙戊
亦直角故丁乙为切圜线(本篇十/六之系)
己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等
(一卷/八)而对丁戊底之丁己戊为直角(本篇/十八)即丁乙戊
亦直角故丁乙为切圜线(本篇十/六之系)
几何原本 卷三之首 第 62b 页 WYG0798-0649d.png
几何原本卷三