钦定四库全书
　几何原本卷一之首
　　　　　　　　　　　　　西洋利玛窦译
　　界说三十六则
　凡造论先当分别解说论中所用名目故曰界说
　凡历法地理乐律算章技艺工巧诸事有度有数者
　皆依赖十府中几何府属凡论几何先从一点始
　自点引之为线线展为面面积为体是名三度

　第一界
点者无分
　无长短广狭厚薄　如下图(凡图十干为识干尽用/十二支支尽用八卦八)
　(音/)
　(甲/)
　第二界
线有长无广
　试如一平面光照之有光无光之间不容一物是线

　也真平真圆相遇其相遇处止有一点行则止有一线
　
　线有直有曲
　第三界
线之界是点(凡线有界者/两界必是点)
　第四界
直线止有两端两端之间上下更无一点
　两点之间至径者直线也稍曲则绕而长矣

　直线之中点能遮两界
　凡量远近皆用直线
　　　　甲乙丙是直线甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是
　　　　曲线
　第五界
面者止有长有广
　　体所见为面
　凡体之影极似于面(无厚/之极)

　想一线横行所留之迹即成面也
　
　
　第六界
面之界是线
　第七界
平面一面平在界之内
　平面中间线能遮两界

　平面者诸方皆作直线
　　　　　试如一方面用一直绳施于　角绕面运
　　　　　转不碍于空是平面也
　　　　　若曲面者则中间线不遮两界
　第八界
平角者两直线于平面纵横相遇交接处

　凡言甲乙丙角皆指平角
　　　如上甲乙乙丙二线平行相遇不能作角
　
　　　　如上甲乙乙丙二线虽相遇不作平角为是
　　　　曲线
　所谓角止是两线相遇不以线之大小较论
　第九界
直线相遇作角为直线角

　平地两直线相遇为直线角本书中所论止是直线
　角但作角有三等今附著于此一直线角二曲线角
　三杂线角　如下六图
　
　
　第十界
直线垂于横直线之上若两角等必两成直角而直线
　下垂者谓之横线之垂线

　量法常用两直角及垂线垂线加于横线之上必不
　作锐角及钝角
　　　　若甲乙线至丙丁上则乙之左右作两角相
　　　　等为直角而甲乙为垂线
　若甲乙为横线则丙丁又为甲乙之垂线何者丙乙
　与甲乙相遇虽止一直角然甲线若垂下过乙则丙
　线上下定成两直角所以丙乙亦为甲乙之垂线(如/今)
　(用短尺一纵一横互相/为直线互相为垂线)

　凡直线上有两角相连是相等者定俱直角中间线
　为垂线
　反用之若是直角则两线定俱是垂线
　第十一界
凡角大于直角为钝角
　　　　如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大
　　　　于甲乙丁则甲乙丙为钝角
　第十二界

凡角小于直角为锐角
　如前图甲乙丁是
　通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等
　乃至无数
　是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指
　角也　如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角
　若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角
　第十三界

界者一物之终始
　今所论有三界点为线之界线为面之界面为体之
　界体不可为界
　第十四界
或在一界或在多界之间为形
　一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方
　及平立三角六八角等物　图见后卷
　第十五界

圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱
　等
　　　　　若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与
　　　　　乙至丁丙至丁其线俱等
　外圆线为圜之界内形为圜
　一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如
　上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲
　丁复元处其中形即成圜

　第十六界
圜之中处为圜心
　第十七界
自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜
　两平分
　　　　　甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线
　　　　　为圜径
　第十八界

径线与半圜之界所作形为半圜
　第十九界
在直线界中之形为直线形
　第二十界
在三直线界中之形为三边形
　第二十一界
在四直线界中之形为四边形
　第二十二界

在多直线界中之形为多边形(五边以/上俱是)
　第二十三界
三边形三边线等为平边三角形
　
　
　第二十四界
三边形有两边线等为两边等三角形(或锐/或钝)

　
　第二十五界
三边形三边线俱不等为三不等三角形
　
　第二十六界
三边形有一直角为三边直角形
　
　

　第二十七界
三边形有一钝角为三边钝角形
　
　
　第二十八界
三边形有三锐角为三边各锐角形
　凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰
　第二十九界

四边形四边线等而角直为直角方形
　
　
　第三十界
直角形其角俱是直角其边两两相等
　　　　　如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相
　　　　　等甲丙与乙丁自相等
　第三十一界

斜方形四边等俱非直角
　
　
　第三十二界
长斜方形其边两两相等俱非直角
　
　
　第三十三界

以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆
　谓之无法四边形
　
　
　第三十四界
两直线于同面行至无穷不相离亦不相远而不得相
　遇为平行线
　

　
　
　第三十五界
一形每两边有平行线为平行线方形
　
　
　第三十六界
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角

　线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对
　角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形
　有对角线者为角线方形其两形无对角线者为馀
　方形
　　　　　甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对
　　　　　角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平
　　　　　行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线
　交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬

　己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬
　戊及壬己丁辛谓之馀方形
　　求作四则
　求作者不得言不可作
　第一求
自此点至彼点求作一直线
　此求亦出上篇盖自此点直行至彼点即是直线
自甲至乙或至丙至丁俱可作直线

　
　
　第二求
一有界直线求从彼界直行引长之
　　　　　如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直
　　　　　行
　第三求
不论大小以点为心求作一圜

　
　
　第四求
设一度于此求作彼度较此度或大或小(凡言度者或/线或面或体)
　　(皆/是)或言较小作大可作较大作小不可作何者小
　　之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数
　　者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数
　　减半成五十减之又减至一而止一以下不可损

　　矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也
　　度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者
　　减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半
　　万世不竭亦此理也何者自有而分不免为有若
　　减之可尽是有化为无也有化为无犹可言也令
　　巳分者更复合之合之又合仍为尺棰是始合之
　　初两无能并为一有也两无能并为一有不可言也
　　公论十九则

　公论者不可疑
　第一论
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
　第二论
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
　第三论
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
　第四论

有多度不等若所加之度等则合并之度不等
　第五论
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
　第六论
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
　第七论
有多度俱半于此度则彼多度亦等
　第八论

有二度自相合则二度必等(以一度加/一度之上)
　第九论
全大于其分(如一尺大于一寸寸者全/尺中十分中之一分也)
　第十论
直角俱相等(见界/说十)
　第十一论
有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方
　两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至

　　　　相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵
　　　　线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直
　　　　角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长
　愈相近必有相遇之处
　欲明此理宜察平行线不得相遇者(界说/卅四)加一垂线
　即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者
　其行不得不相遇矣
　第十二论

两直线不能为有界之形
　
　
　第十三论
两直线止能于一点相遇
　如云线长界近相交不止一点试于丙乙二界各出
　　　　　直线交于丁假令其交不止一点当引至
　　　　　甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁

　丙亦如之(界说/十七)夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦
　右半也(界说/十七)甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右
　半是全与其分等也(本篇/九)
　第十四论
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加
　之差等
　　　　甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁
　　　　己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大

　于丁己亦如之
　第十五论
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元
　所赢之度等
　　　　如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加
　　　　乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊
　　　　庚线也而戊乙大于己丁亦如之
　第十六论

有几何度等若所减之度不等则馀度所赢之度与减
　去所赢之度等
　　　　甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己
　　　　丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于
　　　　甲戊亦如之
　第十七论
有几何度不等若所减之度等则馀度所赢之度与元
　所赢之度等

　　　　如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊
　　　　减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者
　　　　亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣
　第十八论
全与诸分之并等
　第十九论
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全
　所减之度则此较亦倍于彼较(相减之/馀曰较)

　如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较
　十四彼较七
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　几何原本卷一之首

钦定四库全书
　几何原本卷一
　　　　　　　　　　　　　西洋利玛窦撰
　第一题
于有界直线上求立平边三角形
　　　　法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲
　　　　为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为
　　　　界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲

　至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形
　论曰以甲为心至圜之界其甲乙线与甲丙甲丁线
　等以乙为心则乙甲线与乙丙乙丁线亦等何者凡
　为圜自心至界各线俱等故(界说/十五)既乙丙等于乙甲
　　　　　而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙
　　　　　丙(公论/一)三边等如所求(凡论有二种此/以是为论者正)
　　　　　(论也下/仿此)

　　　　　其用法不必作两圜但以甲为心乙为界
　　　　　作近丙一短界线乙为心甲为界亦如之
　　两短界线交处即得丙
　　诸三角形俱推前用法作之(详本篇/廿二)
　第二题
一直线线或内或外有一点求以点为界作直线与元
　线等
　

　　　　　法曰有甲点及乙丙线求以甲为界作一
　　　　　线与乙丙等先以丙为心乙为界(乙为心/丙为界)
　　　　　(亦可/作)作丙乙圜(第三/求)次观甲点若在丙乙
　　　　　之外则自甲至丙作甲丙线(第一/求)如上前
　　　　　图或甲在丙乙之内则截取甲至丙一分
　　　　　线如上后图两法俱以甲丙线为底任于
　上下作甲丁丙平边三角形(本篇/一)次自三角形两腰
　线引长之(第二/求)其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊

　线其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线末以丁
　为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于
　庚即甲庚线与乙丙线等
　　　　　论曰丁戊丁庚线同以丁为心戊庚为界
　　　　　故等(界说/十五)于丁戊线减丁丙丁庚线减丁
　　　　　甲其所减两腰线等则所存亦等(公论/三)夫
　　　　　丙戊与丙乙同以丙为心戊乙为界亦等
　　　　　(界说/十五)即甲庚与丙乙等(公论/一)

　若所设甲点即在丙乙线之一界其法尤易假如点
　在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求
　第三题
两直线一长一短求于长线减去短线之度
　　　　法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先以
　　　　甲为度从乙引至别界作乙丁线(本篇/二)次以
　　　　乙为心丁为界作圜(第三/求)圜界与乙丙交于
　戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜

　故(界说/十五)
　第四题
两三角形若相当之两腰线各等各两腰线间之角等
　则两底线必等而两形亦等其馀各两角相当者俱
　等
　　　　解曰甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两
　　　　角等甲丙与丁己两线甲乙与丁戊两线各
　　　　等题言乙丙与戊己两底线必等而两三角

　　　　形亦等甲乙丙与丁戊己两角甲丙乙与丁
　　　　己戊两角俱等
　　　　论曰如云乙丙与戊己不等即令将甲角置
　丁角之上两角必相合无大小甲丙与丁己甲乙与
　丁戊亦必相合无大小(公论/八)此二俱等而云乙丙与
　戊己不等必乙丙底或在戊己之上为庚或在其下
　为辛矣戊己既为直线而戊庚己又为直线则两线
　当别作一形是两线能相合为形也辛仿此(公论十/二 此)

　(以非为论者驳/论也下仿此)
　第五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出
　之其底之外两角亦等
　　　　　　解曰甲乙丙三角形其甲丙与甲乙两
　　　　　　腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又
　　　　　　自甲丙线任引至戊甲乙线任引至丁
　其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等

　论曰试如甲戊线稍长即从甲戊截取一分与甲丁
　等为甲己(本篇/三)次自丙至丁乙至己各作直线(第一/求)
　即甲己乙甲丁丙两三角形必等何者此两形之甲
　角同甲己与甲丁两腰又等甲乙与甲丙两腰又等
　则其底丙丁与乙己必等而底线两端相当之各两
　　　　　　角亦等矣(本篇/四)又乙丙己与丙乙丁两
　　　　　　三角形亦等何者此两形之丙丁乙与
　　　　　　乙己丙两角既等(本/论)而甲己甲丁两腰

　各减相等之甲丙甲乙线即所存丙己乙丁两腰又
　等(公论/三)丙丁与乙己两底又等(本/论)又乙丙同腰即乙
　丙丁与丙乙己两角亦等也则丙之外乙丙己角与
　乙之外丙乙丁角必等矣(本篇/四)次观甲乙己与甲丙
　丁两角既等于甲乙己减丙乙己角甲丙丁减乙丙
　丁角则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等(公论/三)
　　　　　增从前形知三边等形其三角俱等
　第六题

三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
　　　　　解曰甲乙丙三角形其甲乙丙与甲丙乙
　　　　　两角等题言甲乙与甲丙两腰亦等
　论曰如云两腰线不等而一长一短试辩之若甲乙
　为长线即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线而
　乙丁与甲丙等(本篇/三)次自丁至丙作直线则本形成
　两三角形其一为甲乙丙其一为丁乙丙而甲乙丙
　全形与丁乙丙分形同也是全与其分等也(公论/九)何

　者彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙
　两线既等丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙
　　　　　丙又同线而元设丁乙丙与甲丙乙两角
　　　　　等则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也(本篇/四)
　是全与其分等也故底线两端之两角等者两腰必
　等也
　第七题
一线为底出两腰线其相遇止有一点不得别有腰线

　与元腰线等而于此点外相遇
　　　　解曰甲乙线为底于甲于乙各出一线至丙
　　　　点相遇题言此为一定之处不得于甲上更
　　　　出一线与甲丙等乙上更出一线与乙丙等
　而不于丙相遇
　论曰若言有别相遇于丁者即问丁当在丙内邪丙
　外邪若言丁在丙内则有二说俱不可通何者若言
　丁在甲丙元线之内则如第一图丁在甲丙两界之

　间矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙与甲丁等
　也是全与其分等也(公论/九)若言丁在甲丙乙三角顶
　间则如第二图丁在甲丙乙之间矣即令自丙至丁
　作丙丁线而乙丁丙甲丁丙又成两三角形次从乙
　丁引出至己从乙丙引出至戊则乙丁丙形之乙丁
　乙丙两腰等者其底线两端之两角乙丁丙乙丙丁
　　　　宜亦等也其底之外两角己丁丙戊丙丁宜
　　　　亦等也(本篇/五)而甲丁丙形之甲丁甲丙两腰

　　　　等者其底线两端之两角甲丙丁甲丁丙宜
　　　　亦等也(本篇/五)夫甲丙丁角本小于戊丙丁角
　　　　而为其分今言甲丁丙与甲丙丁两角等则
　　　　甲丁丙亦小于戊丙丁矣何况己丁丙又甲
　　　　丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外两
　　　　角等乎若言丁在丙外又有三说俱不可通
　何者若言丁在甲丙元线外是丁甲即在丙甲元线
　之上则甲丙与甲丁等矣即如上第一说驳之若言

　丁在甲丙乙三角顶外即如上第二说驳之若言丁
　在丙外而后出二线一在三角形内一在其外甲丁
　线与乙丙线相交如第五图即令将丙丁相联作直
　线是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜与甲丁丙
　两角等也(本篇/五)夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而为
　其分据如彼论则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又
　丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜与丁丙乙两角
　等也(本篇/五)夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分

　据如彼论则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二说
　者岂不自相戾乎
　第八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角
　必等
　　　　解曰甲乙丙丁戊己两三角形其甲乙与丁
　　　　戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙与戊己
　　　　两底亦等题言甲与丁两角必等

　　　　论曰试以丁戊己形加于甲乙丙形之上问
　　　　丁角在甲角上邪否邪若在上即两角等矣
　　　　(公论/八)或谓不然乃在于庚即问庚当在丁戊
　线之内邪或在三角顶之内邪或在三角顶之外邪
　皆依前论驳之(本篇/七)
　系本题止论甲丁角若旋转依法论之即三角皆同
　可见凡线等则角必等不可疑也
　第九题

有直线角求两平分之
　　　　　　法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙
　　　　　　线任截一分为甲丁(本篇/三)次于甲丙亦
　截甲戊与甲丁等次自丁至戊作直线次以丁戊为
　底立平边三角形(本篇/一)为丁戊己形末自己至甲作
　直线即乙甲丙角为两平分
　论曰丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两
　线等甲己同是一线戊己与丁己两底又等(何言两/底等初)

　(从戊丁底作此三角平形/此二线为腰各等戊丁故)则丁甲己与戊甲己两角
　必等(本篇/八)
　　　　　　　用法如上截取甲丁甲戊即以丁为
　　　　　　　心向乙丙间任作一短界线次用元
　　度以戊为心亦如之两界线交处得己(本篇/一)
　第十题
一有界线求两平分之
　　　　法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲

　　　　乙丙两边等三角形(本篇/一)次以甲丙乙角两
　平分之(本篇/九)得丙丁直线即分甲乙于丁
　论曰丙丁乙丙丁甲两三角形之丙乙丙甲两腰等
　而丙丁同线甲丙丁与乙丙丁两角又等(本篇/九)则甲
　丁与乙丁两线必等(本篇/四)
　　　　　　用法以甲为心任用一度但须长于甲
　　　　　　乙线之半向上向下各作一短界线次
　　用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末

　　作丙丁直线即分甲乙于戊
　第十一题
一直线任于一点上求作垂线
　法曰甲乙直线任指一点于丙求丙上作垂线先于
　　　　　丙左右任用一度各截一界为丁为戊(本/篇)
　　　　　(二/)次以丁戊为底作两边等角形(本篇/一)为
　　　　　丁己戊末自己至丙作直线即己丙为甲
　乙之垂线

　论曰丁己丙与戊己丙两角形之己丁己戊两腰等
　而己丙同线丙丁与丙戊两底又等即两形必等丁
　与戊两角亦等(本篇/五)丁己丙与戊己丙两角亦等(本/篇)
　(八/九)则丁丙己与戊丙己两角必等矣等即是直角直
　角即是垂线(界说十角此后三角/形多称 形省文也)
　　　　　　用法于丙点左右如上截取丁与戊即
　　　　　　以丁为心任用一度但须长于丙丁线
　　向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之

　　两界线交处即己
　　　　　　　又用法于丙左右如上截取丁与戊
　　　　　　　即任用一度以丁为心于丙上下方
　　　　　　　各作短界线次用元度以戊为心亦
　　如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直
　　线交于丙点即得是用法又为尝巧之法
　　　　　　增若甲乙线所欲立垂线之点乃在线
　　　　　　末甲界上甲外无馀线可截则于甲乙

　　　　　　线上任取一点为丙如前法于丙上立
　　　　　　丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之(本/篇)
　　　　　　(九/)为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂
　　　　　　线上截戊丙线(本篇/三)次于戊上如前法
　　立垂线与己丙线相遇为庚末自庚至甲作直线
　　如所求
　　论曰庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙戊丙两线
　　既等庚丙同线戊丙庚与甲丙庚两角又等即甲

　　庚戊庚两线必等(本篇/四)而对同边之甲角戊角亦
　　等(本篇/四)戊既直角则甲亦直角是甲庚为甲乙之
　　垂线(界说/十)
　　　　　　用法甲点上欲立垂线先以甲为心向
　　　　　　元线上方任抵一界作丙点次用元度
　　以丙为心作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次
　　自丁至丙作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与
　　圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求(此法/今未)

　　(能论论见第三/卷第三十一题)
　第十二题
有无界直线线外有一点求于点上作垂线至直线上
　　　　　法曰甲乙线外有丙点求从丙作垂线至
　　　　　甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙
　　　　　线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙次
　两平分丁戊于己(本篇/十)末自丙至己作直线即丙己
　为甲乙之垂线

　　　　　论曰丙己丁丙己戊两角形之丙丁丙戊
　　　　　两线等丙己同线则丙戊己与丙丁己两
　　　　　角必等(本篇/八)而丁丙己与戊丙己两角又
　等则丙己丁与丙己戊等皆直角(本篇/四)而丙己定为
　垂线矣
　　　　　　　用法以丙为心向直线两处各作短
　　　　　　　界线为甲为乙次用元度以甲为心
　　向丙点相望处作短界线乙为心亦如之两界线

　　交处为丁末自丙至丁作直线则丙戊为垂线
　　　　　　　又用法于甲乙线上近甲近乙任取
　　　　　　　一点为心以丙为界作一圜界于丙
　　　　　　　点及相望处各稍引长之次于甲乙
　　　　　　　线上视前心或相望如前图或进或
　　　　　　　退如后图任移一点为心以丙为界
　　　　　　　作一圜界至与前圜交处得丁末自
　　丙至丁作直线得戊(若近界作垂线无/可截取亦用此法)

　第十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
　　　　解曰甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙与
　　　　甲乙丁作两角题言此两角当是直角若非
　　　　直角即是一锐一钝而并之等于两直角
　　　　论曰试于乙上作垂线为戊乙(本篇/十一)令戊乙
　丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两锐角并
　之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两锐角

　又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁
　两直角等也(公论/十八)次于甲乙戊又加戊乙丙并此锐
　直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙
　锐直两角又加甲乙丁锐角并此三角定与甲乙丁
　甲乙丙锐钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三
　角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两
　直角等(公论/一)
　第十四题

一直线于线上一点出不同方两直线偕元线每旁作
　两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直
　线
　　　　　解曰甲乙线于丙点上左出一线为丙丁
　　　　　右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角
　　　　　与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线
　论曰如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一
　线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也

　若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲
　丙丁两角此两角宜与两直角等(本篇/十三)如此即甲丙
　　　　　戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦
　　　　　等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙
　　　　　己两角较之果相等乎(公论/三)夫甲丙己本
　小于甲丙戊而为其分今曰相等是全与其分等也
　(公论/九)若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙
　庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等(本篇/十三)如此即

　甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣
　试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等
　乎(公论/三)夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰相
　等是全与其分等也(公论/九)两者皆非则丁丙戊是一
　直线
　第十五题
凡两直线相交作四角每两交角必等
　解曰甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁

　　　　戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等
　　　　论曰丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙
　两角与两直角等(本篇/十三)甲戊线至丙丁线上则甲戊
　丙甲戊丁两角与两直角等(本篇/十三)如此即丁戊乙甲
　戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等(公论/十)试减同
　用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等(公/论)
　(三/)又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与
　两直角等(本篇/十三)乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊

　　　　乙两角与两直角等(本篇/十三)如此即甲戊丁丁
　　　　戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角(公论/十)试
　减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等
　一系推显两直线相交于中点上作四角与四直角
　等
　二系一点之上两直线相交不论几许线几许角定
　与四直角等(公论/十八)
　　增题一直线内出不同方两直线而所作两交角

　　等即后出两线为一直线
　　　　　　解曰甲乙线内取丙点出丙丁丙戊两
　　　　　　线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或
　　甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直
　　线
　　论曰甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙
　　角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两
　　角等(公论/二)而甲丙戊戊丙乙与两直角等(本篇/十三)则

　　丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一
　　直线(本篇/十四)
　第十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
　　　　　　解曰甲乙丙角形自乙甲线引之至丁
　　　　　　题言外角丁甲丙必大于相对之内角
　甲乙丙甲丙乙
　论曰欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两

　　　　　平分于戊(本篇/十)自乙至戊作直线引长之
　　　　　从戊外截取戊巳与乙戊等(本篇/三)次自甲
　　　　　至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之
　戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙
　戊丙两交角又等(本篇/十五)则甲己与乙丙两底亦等(本/篇)
　(四/)两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角
　亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己
　甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于

　相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试
　自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛(本/篇)
　(十/)自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙
　辛等(本篇/三)次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬
　辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙
　丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚
　甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等(本篇/十五)则甲乙
　丙内角不小于丁甲丙外角乎其馀乙丙上作外角

　俱大于相对之内角依此推显
　第十七题
凡三角形之每两角必小于两直角
　　　　　解曰甲乙丙角形题言甲乙丙甲丙乙两
　　　　　角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两
　　　　　角皆小于两直角
　论曰试用两边线丙甲引出至戊丙乙引出至丁即
　甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣(本篇/十六)此两

　率者每加一甲乙丙角则甲乙丁甲乙丙必大于甲
　丙乙甲乙丙矣(公论/四)夫甲乙丁甲乙丙与两直角等
　也(本篇/十三)则甲丙乙甲乙丙小于两直角也馀二仿此
　第十八题
凡三角形大边对大角小边对小角
　　　　解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙
　　　　丙边题言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
　角

　论曰甲丙边大于甲乙边即于甲丙线上截甲丁与
　甲乙等(本篇/三)自乙至丁作直线则甲乙丁与甲丁乙
　两角等矣(本篇/五)夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角
　必大于相对之丁丙乙内角(本篇/十六)则甲乙丁角亦大
　于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不又
　大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则乙甲丙角
　亦大于甲丙乙角依此推显
　第十九题

凡三角形大角对大边小角对小边
　　　　解曰甲乙丙角形乙角大于丙角题言对乙
　　　　角之甲丙边必大于对丙角之甲乙边
　论曰如云不然令言或等或小若言甲丙与甲乙等
　则甲丙角宜与甲乙角等矣(本篇/五)何设乙角大于丙
　角也若言甲丙小于甲乙则甲丙边对甲乙大角宜
　大(本篇/十八)又何言小也如甲角大于丙角则乙丙边大
　于甲乙边依此推显

　第二十题
凡三角形之两边并之必大于一边
　　　　解曰甲乙丙角形题言甲丙甲乙边并之必
　　　　大于乙丙边甲丙丙乙并之必大于甲乙甲
　乙乙丙并之必大于甲丙
　论曰试于丙甲边引长之以甲乙为度截取甲丁(本/篇)
　(三/)自丁至乙作直线令甲丁甲乙两腰等而甲丁乙
　甲乙丁两角亦等(本篇/五)即丙乙丁角大于甲乙丁角

　亦大于丙丁乙角矣夫丁丙边对丙乙丁大角也岂
　不大于乙丙边对丙丁乙小角者乎(本篇/十九)又甲丁甲
　乙两线各加甲丙线等也则甲乙加甲丙者与丙丁
　等矣丙丁既大于乙丙则甲乙甲丙两边并必大于
　乙丙边也馀二仿此
　第二十一题
凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其
　内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所

　作角必大于相对角
　　　　解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一
　　　　线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小于甲
　　　　乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角
　论曰试用内一线引长之如乙丁引之至戊即乙甲
　戊角形之乙甲甲戊两线并必大于乙戊线也(本篇/二十)
　此二率者每加一戊丙线则乙甲甲戊戊丙并必大
　于乙戊戊丙并矣(公论/四)又戊丁丙角形之戊丁戊丙

　线并必大于丁丙线也此二率者每加一丁乙线则
　戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣(公论/四)夫乙
　甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙岂不更大于丁丙丁
　乙乎(本篇/二十)又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相对
　之乙甲戊内角(本篇/十六)即丁戊丙角形之乙丁丙外角
　更大于相对之丁戊丙内角矣而乙丁丙角岂不更
　大于乙甲丙角乎
　第二十二题

三直线求作三角形其每两线并大于一线也
　　　　　法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于
　　　　　第三线(若两线比第三线或等或小即/不能作三角形见本篇二十)求
　　　　　作三角形先任作丁戊线长于三线并次
　　　　　以甲为度从丁截取丁巳线(本篇/三)以乙为
　　　　　度从己截取己庚线以丙为度从庚截取
　庚辛线次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心
　辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末

　以庚巳为底作癸庚癸巳两直线即得己癸庚三角
　形(用壬亦可作线若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不/到丑即是两 或等或小于第三线不成三角形)
　(矣/)
　论曰此角形之丁己己癸线皆同圜之半径等(界说/十五)
　则己癸与甲等庚辛庚癸线亦皆同圜之半径等则
　庚癸与丙等己庚元以乙为度则角形三线与所设
　三线等
　　　　　用法任以一线为底以底之一界为心第

　　　　　二线为度向上作短界线次以又一界为
　　　　　心第三线为度向上作短界线两界线交
　　　　　处向下作两腰如所求
　　　　　若设一三角形求别作一形与之等亦用
　　　　　此法
　第二十三题
一直线任于一点上求作一角与所设角等
　法曰甲乙线于丙点求作一角与丁戊己角等先于

　　　　　戊丁线任取一点为庚于戊巳线任取一
　　　　　点为辛自庚至辛作直线次依甲乙线作
　　　　　丙壬癸角形与戊庚辛角形等(本篇/廿二)即丙
　　　　　壬丙癸两腰与戊庚戊辛两腰等壬癸底
　与庚辛底又等则丙角与戊角必等(本篇/八)
　第二十四题
两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底
　亦大

　　　　解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁
　　　　戊两腰甲丙与丁巳两腰各等若乙甲丙角
　　　　大于戊丁己角题言乙丙底必大于戊巳底
　　　　论曰试依丁戊线从丁点作戊丁庚角与乙
　　　　甲丙角等(本篇/廿三)则戊丁庚角大于戊丁己角
　　　　而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚线与丁
　　　　巳等(本篇/三)即丁庚丁巳俱与甲丙等又自戊
　　　　至庚作直线是甲乙与丁戊甲丙与丁庚腰

　　　　线各等乙甲丙与戊丁庚两角亦等而乙丙
　　　　与戊庚两底必等也(本篇/四)次问所作戊庚底
　　　　今在戊巳底上邪抑同在一线邪抑在其下
　　　　邪若在上即如第二图自己至庚作直线则
　　　　丁庚己角形之丁庚丁巳两腰等而丁庚己
　　　　与丁己庚两角亦等矣(本篇/五)夫戊庚己角乃
　　　　丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相
　　　　等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分则

　　　　戊庚己益小于戊巳庚也(公论/九)则对戊庚己
　　　　小角之戊己腰必小于对戊己庚大角之戊
　　　　庚腰也(本篇/十九)若戊巳与戊庚两底同线即如
　　　　第四图戊己乃戊庚之分则戊己必小于戊
　庚也(公论/九)若戊庚在戊巳之下即如第六图自己至
　庚作直线次引丁庚线出于壬引丁巳线出于辛则
　丁庚丁巳两腰等而辛巳庚壬庚己两外角亦等矣
　(本篇/五)夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己

　亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之
　分则戊庚巳益小于戊己庚也(公论/九)则对戊庚己小
　角之戊巳腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也(本/篇)
　(十/九)是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙(本篇/四)也
　第二十五题
两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角
　亦大
　解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊甲丙

　　　　与丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底题
　　　　言乙甲丙角大于戊丁巳角
　　　　论曰如云不然令言或小或等若言等则两
　形之两腰各等腰间角又等宜两底亦等(本篇/四)何设
　乙丙底大也若言乙甲丙角小则对乙甲丙角之乙
　丙线宜亦小(本篇/廿四)何设乙丙底大也
　第二十六题(二支/)
两三角形有相当之两角等及相当之一边等则馀两

　边必等馀一角亦等其一边不论在两角之内及一
　角之对
　　　　先解一边在两角之内者曰甲乙丙角形之
　　　　甲乙丙甲丙乙两角与丁戊己角形之丁戊
　　　　巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙边与
　戊巳边又等题言甲乙与丁戊两边甲丙与丁巳两
　边各等而乙甲丙角与戊丁巳角亦等
　论曰如云两边不等而丁戊大于甲乙令于丁戊线

　截取庚戊与甲乙等(本篇/三)次自庚至己作直线即庚
　戊巳角形之庚戊戊巳两边宜与甲乙乙丙两边等
　矣夫乙角与戊角元等则甲丙与庚巳宜等(本篇/四)而
　庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也(本篇/四)既设丁己戊
　与甲丙乙两角等今又言庚己戊与甲丙乙两角等
　　　　是庚己戊与丁己戊亦等全与其分等矣(公/论)
　　　　(九/)以此见两边必等两边既等则馀一角亦
　　　　等

　　　　后解相等边不在两角之内而在一角之对
　　　　者曰甲乙丙角形之乙角丙角与丁戊己角
　　　　形之戊角丁己戊角各等而对丙之甲乙边
　与对己之丁戊边又等题言甲丙与丁己两边丙乙
　与己戊两边各等而甲角与戊丁己角亦等
　论曰如云两边不等而戊己大于乙丙令于戊己线
　截取戊庚与乙丙等(本篇/三)次自丁至庚作直线即丁
　戊庚角形之丁戊戊庚两边宜与甲乙乙丙两边等

　矣夫乙角与戊角元等则甲丙与丁庚宜等(本篇/四)而
　丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也既设丁巳戊与甲
　丙乙两角等今又言丁庚戊与甲丙乙两角等是丁
　庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣(本篇/十六)可乎以
　此见两边必等两边既等则馀一角亦等
　第二十七题
两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直
　线必平行

　　　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于
　　　　庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲
　　　　乙丙丁两线必平行
　　　　论曰如云不然则甲乙丙丁两直线必至相
　遇于壬而庚辛壬成三角形则甲庚辛外角宜大于
　相对之庚辛壬内角矣(本篇/十六)乃先设相等乎若设乙
　庚辛角与丙辛庚角等亦依此论若言甲乙丙丁两
　直线相遇于癸亦依此论

　第二十八题(二支/)
两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内
　角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
　　　　先解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交
　　　　于庚于辛其戊庚甲外角与同方相对之庚
　　　　辛丙内角等题言甲乙丙丁两线必平行
　　　　论曰乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等(本/篇)
　(廿/七)戊庚甲与乙庚辛两交角亦等(本篇/十五)即两直线必

　平行
　后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等题言甲
　乙丙丁两线必平行
　论曰甲庚辛丙辛庚两角与两直角等而甲庚戊甲
　庚辛两角亦与两直角等(本篇/十三)试减同用之甲庚辛
　即所存甲庚戊与丙辛庚等矣既外角与同方相对
　之内角等即甲乙丙丁必平行(本/题)
　第二十九题(三支/)

两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角
　与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
　　　　先解曰此反前二题故同前图有甲乙丙丁
　　　　二平行线加他直线戊巳交于庚于辛题言
　　　　甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等
　论曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚则丁辛庚加
　辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣(公论/四)夫辛庚甲
　辛庚乙元与两直角等(本篇/十三)据如彼论则丁辛庚辛

　庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直线向乙丁
　行必相遇也(公论/十一)可谓平行线乎
　次解曰戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等
　论曰乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等(本/题)则乙庚
　辛交角相等之戊庚甲(本篇/十五)与丙辛庚必等(公论/一)
　后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等
　论曰戊庚甲与庚辛丙两角既等(本/题)而每加一甲庚
　辛角则庚辛丙甲庚辛两角与甲庚辛戊庚甲两角

　必等(公论/二)夫甲庚辛戊庚甲本与两直角等(本篇/十三)则
　甲庚辛丙辛庚两内角亦与两直角等
　第三十题
两直线与他直线平行则元两线亦平行
　解曰此题所指线在同面者不同面线后别有论如
　甲乙丙丁两直线各与他线戊巳平行题言甲乙与
　丙丁亦平行
　论曰试作庚辛直线交加于三直线甲乙于壬戊巳

　　　　　　　于子丙丁于癸其甲乙与戊巳既平
　　　　　　　行即甲壬子与相对之己子壬两内
　　　　　　　角等(本篇/廿九)丙丁与戊巳既平行即丁
　　　　　　　癸子内角与己子壬外角亦等(本篇/廿九)
　丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等(公论/一)而甲
　乙丙丁为平行线(本篇/廿七)
　第三十一题
一点上求作直线与所设直线平行

　　　　法曰甲点上求作直线与乙丙平行先从甲点
　　　　向乙丙线任指一处作直线为甲丁即乙丙线上
　　　　成甲丁乙角次于甲点上作一角与甲丁乙等(本/篇)
　(廿/三)为戊甲丁从戊甲线引之至己即己戊与乙丙平行
　论曰戊己乙丙两线有甲丁线联之其所作戊甲丁
　与甲丁乙相对之两内角等即平行线(本篇/廿七)
　　增从此题生一用法设一角两线求作有法四边
　　形有角与所设角等两两边线与所设线等

　　　　　　法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊
　　　　　　线与甲等己丁线与乙等末依丁戊平
　　　　　　行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
　　　　　本题用法于甲点求作直线与乙丙平行
　　　　　先作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界
　　　　　次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于
　　戊己次取戊己圜界为度于庚辛圜界截取庚辛
　　末自甲至辛作直线各引长之即所求

　　　　　又用法以甲点为心于乙丙线近乙处任
　　　　　指一点作短界线为丁次用元度以丁为
　　　　　心于乙丙上向丙截取一分作短界线为
　　戊次用元度以戊为心向上与甲平处作短界线
　　又用元度以甲为心向甲平处作短界线后两界
　　线交处为己自甲至己作直线各引长之即所求
　第三十二题(二支/)
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之

　内三角并与两直角等
　先解曰甲乙丙角形试从乙丙边引至丁题言甲丙
　　　　丁外角与相对之内两角甲乙并等
　　　　论曰试作戊丙线与甲乙平行(本篇/三一)令甲丙
　　　　为甲乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对
　之甲丙戊角等(本篇/廿九)又乙丁线与两平行线相遇则
　戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等(本篇/廿九)既甲丙
　戊与乙甲丙等而戊丙丁与甲乙丙又等则甲丙丁

　外角与内两角甲乙并等矣
　后解曰甲乙丙三角并与两直角等
　论曰既甲丙丁角与甲乙两角并等更于甲丙丁加
　甲丙乙则甲丙丁甲丙乙两角并与甲乙丙内三角
　并等矣(公论/二)夫甲丙丁甲丙乙并元与两直角等(本/篇)
　(十/三)则甲乙丙内三角并亦与两直角等
　　增从此推知凡第一形当两直角第二形当四直
　　角第三形当六直角自此以上至于无穷每命形

　　　　之数倍之为所当直角之数(凡一线二线不/能为形故三边)
　　　　(为第一形四边为第二形五边为第/三形六边为第四形仿此以至无穷)又视每
　　　　形边数减二边即所存边数是本形之数
　　　　论曰如上四图第一形三边减二边存一边
　　　　即是本形一数倍之当两直角(本/题)第二形四
　　　　边减二边存二边即是本形二数倍之当四
　　直角欲显此理试以第二形作一对角线成两三
　　角形每形当两直角并之则当四直角矣第三形

　　　　五边减二边存三边即是本形三数倍之当
　　　　六直角欲显此理试以第三形作两对角线
　　　　成三三角形每形当两直角并之亦当六直
　　　　角矣其馀依此推显以至无穷
　　　　又一法每形视其边数每边当两直角而减
　　　　四直角其存者即本形所当直角
　　论曰欲显此理试于形中任作一点从此点向各
　　角俱作直线令每形所分角形之数如其边数每

　　　　一分形三角当二直角(本/题)其近点之处不论
　　　　几角皆当四直角(本篇十/五之系)次减近点诸角即
　　　　是减四直角其存者则本形所当直角如上
　　　　第四形六边中间任指一点从点向各角分
　　　　为六三角形每一分形三角六形共十八角
　　　　今于近点处减当四直角之六角所存近边
　　十二角当八直角馀仿此
　一系凡诸种角形之三角并俱相等(本题/增)

　二系凡两腰等角形若腰间直角则馀两角每当直
　角之半腰间钝角则馀两角俱小于半直角腰间锐
　角则馀两角俱大于半直角
　三系平边角形每角当直角三分之二
　四系平边角形若从一角向对边作垂线分为两角
　形此分形各有一直角在垂线之下两旁则垂线之
　上两旁角每当直角三分之一其馀两角每当直角
　三分之二

　　　　　增从三系可分一直角为三平分其法任
　　　　　于一边立平边角形次分对直角一边为
　　两平分从此边对角作垂线即所求如上图甲乙
　　丙直角求三分之先于甲乙线上作甲乙丁平边
　　角形(本篇/一)次平分甲丁于戊(本篇/九)末作乙戊直线
　第三十三题
两平行相等线之界有两线联之其两线亦平行亦相
　等

　　　　解曰甲乙丙丁两平行相等线有甲丙乙丁
　　　　两线联之题言甲丙乙丁亦平行相等线
　　　　论曰试作甲丁对角线为甲乙丙丁之交加
　线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等(本篇/廿九)又甲丁线
　上下两角形之甲乙丙丁两边既等甲丁同边则对
　乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等
　(本篇/廿九)而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也(本篇/四)此两角
　者甲丙乙丁之内相对角也两角既等则甲丙乙丁

　两线必平行(本篇/廿七)
　第三十四题
凡平行线方形每相对两边线各等每相对两角各等
　对角线分本形两平分
　　　　解曰甲乙丁丙平行方形(界说/三五)题言甲乙与
　　　　丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与
　　　　丙两角乙甲丙与丙丁乙两角各等又言若
　作甲丁对角线即分本形为两平分

　论曰甲乙与丙丁既平行则乙甲丁与丙丁甲相对
　之两内角等(本篇/廿九)甲丙与乙丁既平行则乙丁甲与
　丙甲丁相对之两内角等(本篇/廿九)甲乙丁角形之乙甲
　丁乙丁甲两角与甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两
　角既各等甲丁同边则甲乙与丙丁甲丙与乙丁俱
　等也而丙角与相对之乙角亦等矣(本篇/廿六)又乙丁甲
　角加丙丁甲角与丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙
　甲丙与丙丁乙相对两角亦等也(公论/二)又甲乙丁甲

　丁丙两角形之甲乙乙丁两边与丁丙丙甲两边各
　等腰间之乙角与丙角亦等则两角形必等(本篇/四)而
　甲丁线分本形为两平分
　第三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等
　　　　解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与
　　　　丙丁乙巳两平行方形同丙丁底题言此两
　　　　形等等者不谓腰等角等谓所函之地等后

　言形等者多仿此
　先论曰设己在甲戊之内其丙丁戊甲与丙丁乙己
　皆平行方形丙丁同底则甲戊与丙丁巳乙与丙丁
　各相对之两边各等(本篇/三四)而甲戊与己乙亦等(公论/一)
　试于甲戊己乙两线各减己戊即甲己与戊乙亦等
　(公论/三)而甲丙与戊丁元等(本篇/三四)乙戊丁外角与己甲
　丙内角又等(本篇/廿九)则乙戊丁与己甲丙两角形必等
　矣(本篇/四)次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形

　则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也(公论/二)
　　　　次论曰设己戊同点依前甲戊与戊乙等乙
　　　　戊丁与戊甲丙两角形等(本篇/四)而每加一戊
　　　　丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行
　　　　方形必等(公论/二)
　　　　后论曰设己点在戊之外而丙己与戊丁两
　　　　线交于庚依前甲戊与己乙两线等而每加
　　　　一戊己线即戊乙与甲己两线亦等(公论/二)因

　　　　显己甲丙与乙戊丁两角形亦等(本篇/四)次每
　　　　减一己戊庚角形则所存戊庚丙甲与乙己
　　　　庚丁两无法四边形亦等(公论/三)次于两无法
　　　　形每加一庚丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁
　乙己两平行方形必等(公论/二)
　第三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁

　　　　乙两平行方形而丙戊与辛丁两底等题言
　　　　两形亦等
　　　　论曰试自丙至庚戊至乙各作直线相联其
　丙戊庚乙各与辛丁等则丙戊与庚乙亦等(本篇/卅四)庚
　乙与丙戊既平行线则庚丙与乙戊亦平行线(本篇/卅三)
　而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者
　等矣(本篇/三五)庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚
　乙底者亦等矣(本篇/三五)既尔则庚辛丁乙与甲丙戊己

　亦等(公论/一)
　第三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
　　　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙
　　　　丁两角形同丙丁底题言两形必等
　　　　论曰试自丁至戊作直线与甲丙平行次自
　丁至己作直线与乙丙平行(本篇/三一)夫甲丙丁戊乙丙
　丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行线内同丙丁

　　　　底既等(本篇/三五)则甲丙丁角形为甲丙丁戊方
　　　　形之半与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之
　　　　半者(甲丁乙丁两对角线平/分两方形见本篇卅四)亦等(公论/七)
　第三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
　　　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊与乙
　　　　己丁两角形而丙戊与己丁两底等题言两
　　　　形必等

　论曰试自庚至戊辛至丁各作直线与甲丙乙己平
　行(本篇/卅一)其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等
　(本篇/卅六)则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者
　(本篇/卅四)亦等(公论/七)
　　　　　增凡角形任于一边两平分之向对角作
　　　　　直线即分本形为两平分
　　论曰甲乙丙角形试以乙丙边两平分于丁(本篇/十)
　　自丁至甲作直线即甲丁线分本形为两平分何

　　者试于甲角上作直线与乙丙平行(本篇/卅一)则甲乙
　　丁甲丁丙两角形在两平行线内两底等两形亦
　　等(本/题)
　　　　　二增题凡角形任于一边任作一点求从
　　　　　点分本形为两平分
　　　　　法曰甲乙丙角形从丁点求两平分先自
　　丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊
　　(本篇/十)作戊己线与甲丁平行(本篇/卅一)末作己丁直线

　　即分本形为两平分
　　论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在
　　两平行线内同己戊底者等而每加一己戊丙形
　　则己丁丙与甲戊丙两角形亦等(公论/二)夫甲戊丙
　　为甲乙丙之半(本题/增)则己丁丙亦甲乙丙之半
　第三十九题
两三角形其底同其形等必在两平行线内
　解曰甲乙丙与丁丙乙两角形之乙丙底同其形复

　　　　　等题言在两平行线内者盖云自甲至丁
　　　　　作直线必与乙丙平行
　　　　　论曰如云不然令从甲别作直线与乙丙
　　　　　平行(本篇/卅一)必在甲丁之上或在其下矣设
　在上为甲戊而乙丁线引出至戊即作戊丙直线是
　甲乙丙宜与戊丙乙两角形等矣(本篇/卅七)夫甲乙丙与
　丁丙乙既等而与戊丙乙复等是全与其分等也(公/论)
　(九/)设在甲丁下为甲己即作己丙直线是己丙乙与

　丁丙乙亦等如前驳之
　第四十题
两三角形其底等其形等必在两平行线内
　　　　　解曰甲乙丙与丁戊己两角形之乙丙与
　　　　　戊己两底等其形亦等题言在两平行线
　　　　　内者盖云自甲至丁作直线必与乙己平
　行
　论曰如云不然令从甲别作直线与乙己平行(本篇/卅一)

　必在甲丁之上或在其下矣设在上为甲庚而戊丁
　线引出至庚即作庚己直线是甲乙丙宜与庚戊己
　两角形等矣(本篇/三八)夫甲乙丙与丁戊己既等而与庚
　戊己复等是全与其分等也(公论/九)设在甲丁下为甲
　辛即作辛己直线是辛戊己与丁戊己亦等如前驳之
　第四十一题
两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍
　大于三角形

　　　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁戊方
　　　　形乙丁丙角形同丙丁底题言方形倍大于
　　　　角形
　论曰试作甲丁直线分方形为两平分则甲丙丁与
　乙丁丙两角形等矣(本篇/卅七)夫甲丙丁戊倍大于甲丙
　丁(本篇/卅三)必倍大于乙丁丙
　第四十二题
有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设

　角等
　　　　法曰设甲乙丙角形丁角求作平行方形与
　　　　甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平
　　　　分如乙丙边平分于戊(本篇/十)次作丙戊己角
　与丁角等(本篇/廿)次自甲作直线与乙丙平行(本篇/卅一)而
　与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为丙
　庚(本篇/卅一)而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方
　形与甲乙丙角形等

　论曰试自甲至戊作直线其甲戊丙角形与己戊丙
　庚平行方形在两平行线内同底则己戊丙庚倍大
　于甲戊丙矣(本篇/四一)夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙(本篇/卅八)
　(增/)即与己戊丙庚等(公论/六)
　第四十三题
凡方形对角线旁两馀方形自相等
　解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之乙
　壬庚戊与庚己丁辛两馀方形(界说/卅六)必等

　　　　论曰甲乙丙甲丙丁两角形等(本篇/卅四)甲戊庚
　　　　甲庚辛两角形亦等(本篇/卅四)而于甲乙丙减甲
　　　　戊庚于甲丙丁减甲庚辛则所存乙丙庚戊
　　　　与庚丙丁辛两无法四边形亦等矣(公论/三)又
　　　　庚壬丙己角线方形之庚丙己庚丙壬两角
　　　　形等(本篇/三四)而于两无法四边形每减其一则
　所存乙壬庚戊与庚己丁辛两馀方形安得不等(公论/三)
　第四十四题

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角
　有与所设角等
　　　　　法曰设甲线乙角形丙角求于甲线上作
　　　　　平行方形与乙角形等而有丙角先作丁
　　　　　戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚
　　　　　角与丙角等(本篇/四二)次于庚己线引长之作
　　　　　己辛线与甲等次作辛壬线与戊己平行
　　　　　(本篇/三一)次于丁戊引长之与辛壬线遇于壬

　次自壬至己作对角线引出之又自丁庚引长之与
　对线角遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬
　辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子
　线得丑即己丑子辛平行方形如所求
　论曰此方形之己辛线与甲等而辛己丑角为戊己
　庚之交角(本篇/十五)则与丙等又本形与戊己庚丁同为
　馀方形等(本篇/四三)则与乙角形等
　第四十五题

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有
　与所设角等
　　　　　　法曰设甲乙丙五边形丁角求作平行
　　　　　　方形与五边形等而有丁角先分五边
　　　　　　形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛
　　　　　　平行方形与甲等而有丁角(本篇/四二)次于
　戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形
　与乙等而有丁角(本篇/四四)末复引前线作壬癸子丑平

　行方形与丙等而有丁角(本篇/四四)即此三形并为一平
　行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至
　无穷俱仿此法
　论曰戊己庚与辛庚癸两角等而每加一己庚辛角
　即辛庚癸己庚辛两角定与己庚辛戊己庚两角等
　夫己庚辛戊己庚是两平行线内角与两直角等也
　(本篇/廿九)则己庚辛辛庚癸亦与两直角等而己庚庚癸
　为一直线也(本篇/十四)又戊辛庚与戊己庚两对角等而

　辛壬癸与辛庚癸两对角亦等则戊己庚辛庚辛壬
　癸皆平行方形也(本篇/卅四)壬癸子丑依此推显(本篇/三十)即
　与戊己癸壬并为一平行方形矣
　　增题两直线形不等求相减之较几何
　　　　　　法曰甲与乙两直线形甲大于乙以乙
　　　　　　减甲求较几何先任作丁丙己戊平行
　　　　　　方形与甲等次于丙丁线上依丁角作
　　　　　　丁丙辛庚平行方形与乙等(本/题)即得辛

　　庚戊己为相减之较矣何者丁丙己戊之大于丁
　　丙辛庚较馀一辛庚戊己也则甲大于乙亦辛庚
　　戊己也
　第四十六题
一直线上求立直角方形
　　　　法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两
　　　　界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等
　(本篇/十一)次作丁丙线相联即甲乙丙丁为直角方形

　论曰甲乙两角俱直角则丁甲丙乙为平行线(本篇/廿八)
　此两线自相等则丁丙与甲乙亦平行线(本篇/三三)而甲
　乙丙丁四线俱平行俱相等又甲乙俱直角则相对
　丁丙亦俱直角(本篇/卅四)而甲乙丙丁定为四直角方形
　第四十七题
凡三边直角形对直角边上所作直角方形与馀两边
　上所作两直角方形并等
　解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙边上作

　　　　　　乙丙丁戊直角方形(本篇/四六)题言此形与
　　　　　　甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上
　　　　　　所作甲丙辛壬两直角方形并等
　　　　　　论曰试从甲作甲癸直线与乙戊丙丁
　　　　　　平行(本篇卅一/)分乙丙边于子次自甲
　　　　　　至丁至戊各作直线末自乙至辛自丙
　至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚
　甲甲丙是一直线(本篇/十四)依显乙甲甲壬亦一直线又

　丙乙戊与甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即
　甲乙戊与丙乙己两角亦等(公论/二)依显甲丙丁与乙
　丙辛两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与
　丙乙己角形之己乙乙丙两边等甲乙戊与丙乙己
　两角复等则对等角之甲戊与丙己两边亦等而此
　两角形亦等矣(本篇/四)夫甲乙己庚直角方形倍大于
　同乙己底同在平行线内之丙乙己角形(本篇/四一)而乙
　戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内

　之甲乙戊角形则甲乙己庚不与乙戊癸子等乎(公/论)
　(六/)依显甲丙辛壬直角方形与丙丁癸子直角形等
　则乙戊丁丙一形与甲乙己庚甲丙辛壬两形并等
　矣
　　　　　一增凡直角方形之对角线上作直角方
　　　　　形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之
　　甲丙线上作直角方形倍大于甲乙丙丁形
　　二增题设不等两直角方形如一以甲为边一以

　　乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与
　　元设两形并等
　　　　　法曰先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直
　　　　　角而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末
　　于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己
　　戊己丁两腰遇于己(公论/十一)而等(本篇/六)即己戊己丁
　　两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙
　　戊丙丁上所作两直角方形并等

　　论曰己丁戊己戊丁两角既皆半于直角则丁己
　　戊为直角(本篇/卅二)而对直角之丁戊线上所作直角
　　方形与两腰线上所作两直角方形并等矣(本/题)己
　　戊与己丁既等则其上所作两直角方形自相等
　　矣又丁戊线上所作直角方形与丙丁丙戊线上
　　所作两直角方形并既等则己戊己丁上两直角
　　方形并与丙戊丙丁上两直角方形并亦等
　　三增题多直角方形求并作一直角方形与之等

　　　　　　法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊为
　　　　　　边任等不等求作一直角方形与五形
　　　　　　并等先作己庚辛直角而己庚线与甲
　　　　　　等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己
　　　　　　辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线
　　旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋
　　作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线题言
　　己子线上所作直角方形即所求

　　论曰己辛上作直角方形与甲乙两形并等(本/题)己
　　壬上作直角方形与己辛及丙两形并等馀仿此
　　推显可至无穷
　　　　　四增三边直角形以两边求第三边长短
　　　　　之数
　　　　　法曰甲乙丙角形甲为直角先得甲乙甲
　　丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长
　　短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与

　　乙丙上所作直角方形等(本/题)则甲乙之羃(自乘之/数曰羃)
　　得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙
　　之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得
　　甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲
　　乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形
　　　　　等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百
　　　　　百减三十六得甲丙之羃六十四六十四
　　　　　开方得八即甲丙八也求甲乙仿此　此

　　以开方尽实者为例其不尽实者自具算家分法
　第四十八题
凡三角形之一边上所作直角方形与馀边所作两直
　角方形并等则对一边之角必直角
　　　　解曰此反前题如甲乙丙角形其甲丙边上
　　　　所作直角方形与甲乙乙丙边上所作两直
　角方形并等题言甲乙丙角必直角
　论曰试于乙上作甲乙丁直角而乙丁与乙丙两线

　等次作丁甲线相联其甲乙丁既直角则甲丁上直
　角方形与甲乙乙丁上两直角方形并等(本篇/四七)而甲
　乙乙丁上两直角方形并与甲乙乙丙上两直角方
　形并又等(甲乙同乙丁/乙丙等故)即丁甲上直角方形与甲丙
　上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁两腰
　与甲乙丙角形之甲乙乙丙两腰既等而丁甲甲丙
　两底又等则对底线之两角亦等(本篇/八)甲乙丁既直
　角即甲乙丙亦直角

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　几何原本卷一