钦定四库全书
　数学钥卷三凡例
　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
凡例
　　一则
设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所
　设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除
　曰异乘同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘(与以/丙乘)

　(复以甲/乘同)以丙乘甲得数除实曰异除同除(与以丙除/复以甲除)
　(同/)以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同
　除
　　二则
设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五
　率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六
　率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乘之得
　数除实即得所求亦曰同乘同除
　　三则

凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率

　除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二
　率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也
　　四则
设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰递乘以甲乘乙
　以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘
　甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍
　　五则
命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母

　之分数
　　六则
设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各
　若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同
　若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同
　元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大
　于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实
　为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍
　元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百

　五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一

　百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比
　例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除
　倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二
　之比例若倍实一百八十与元实六十也
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　数学钥卷三凡例

钦定四库全书
　数学钥卷三上目录
　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
　粟布
　　一则籴粜一法
　　二则籴粜二法
　　三则籴粜三法
　　四则籴粜四法

　　五则籴粜五法
　　六则籴粜六法
　　七则籴粜七法
　　八则籴粜八法
　　九则撞换一法
　　十则撞换二法
　　十一则撞换三法
　　十二则盘量仓窖
　　十三则布帛

　　十四则银色一法

　　十五则银色二法
　　十六则银色三法
　　十七则银色四法
　　十八则银色五法
　　十九则银色六法
　　二十则斤两一法
　　二十一则斤两二法
　　二十二则斤两三法

　　二十三则斤两四法
　　二十四则斤两五法
　　二十五则斤两六法
　　二十六则权重一法
　　二十七则权重二法
　　(增/)二十八则权重三法
　卷三下目录
　衰分
　　一则合率差分

　　二则折半差分

　　三则四六差分
　　四则三七差分
　　五则二八差分
　　六则递减差分一法
　　七则递减差分二法
　　八则递减差分三法
　　九则带分子母差分一法
　　十则带分子母差分二法

　　十一则互和递减差分一法
　　十二则互和递减差分二法
　　十三则匿价差分一法
　　十四则匿价差分二法
　　十五则二色差分
　　十六则三色差分(四色五色六色附/)
　　十七则贵贱和率差分
　　十八则首尾和率差分
　附分法

　　一则命分

　　二则约分
　　三则乘分
　　四则课分
　　五则通分
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　数学钥卷三目录

钦定四库全书
　数学钥卷三上
　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
　粟布
　　一则
籴粜一法
　设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置
　粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求

　　二则
籴粜二法
　设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰
　置银为实以粟除之得二钱五分即所求
　　三则
籴粜三法
　设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求
　值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求
　　四则

籴粜四法

　设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两
　值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求
　解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不
　有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得
　共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银
　除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交
　易常用之法尽于此矣
　　五则

籴粜五法
　设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五
　石求值银法曰置今粟为实以原价乘之(得二十二/两七钱五)
　(分/)以原粟除之得八两七钱五分即所求
　解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故
　谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以
　原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今
　粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇奇
　零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也

　　六则

籴粜六法
　设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石
　今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以
　原粟乘之(得一千零七十/六两二钱五分)以原银除之得三十五石
　即所求
　解同前
　　七则
籴粜七法

　设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七
　斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两
　七钱五分乘粟一石七斗(得一十四两八/钱七分五釐)为实以米
　价五钱乘米八斗五升(得四钱二/分五釐)为法除之得三十
　五石即所求
　解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘
　米所得之四钱二分五釐既为八斗五升之米价亦
　一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同
　除法也

　　八则

籴粜八法
　设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱
　今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米
　价五钱乘之(得四钱二/分五釐)再以今粟三十五石乘之(得/一)
　(十四两八钱/七分五釐)为实以粟一石七斗除之得银八两七
　钱五分即所求
　解同前
　　九则

撞换一法
　设稻每石价六钱二分五釐粟每石价二钱五分今
　有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为
　实以稻价乘之(得八两七/钱五分)以粟价除之得三十五石
　即所求
　　十则
撞换二法
　设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五
　斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽

　求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗(得四石/二斗)再以

　每稷五斗乘之(得二十/一石)再以每黍四斗黍之(得八十/四石)
　再以每菽三斗乘之(得二百五/十二石)为实以换黍二斗乘
　换稷三斗(得六/斗)再以换稻四斗乘之(得二石/四斗)再以换
　麦五斗乘之(得一十/二石)为法除之得二石一斗即所求
　解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六
　斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗
　四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一
　石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为

　实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗
　为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二
　斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应
　换之菽凡四除四乘方得菽数今递乘为实递乘为
　法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数
　难于布算耳
　　十一则
撞换三法
　设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十

　三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍

　　　　　　　　　　　　　　三石黍一石共黍
　　　　　　　　　　　　　　三十三石于左列
　　　　　　　　　　　　　　麦一石菽三石共
　　　　　　　　　　　　　　菽麦一十九石于
　　　　　　　　　　　　　　右先以右上互乘
　左中(仍得/一石)以左上互乘右中(得九/石)两数相减(馀八/石)为
　长法次以左中互乘右下(仍得一/十九石)以右中互乘左下
　(得九十/九石)两数相减(馀八/十石)以长法除之(得一/十石)为短法以

　麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法
　得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数馀九石为
　菽数以换麦黍数减共黍馀三石为换菽黍数(解见/三卷)
　(下十/七则)
　　十二则
盘量仓窖
　设直仓底长七尺阔五尺高八尺求容粟数法曰以
　底阔乘长(得三十/五尺)再以高乘之(得二百/八十尺)为实取木板
　四块如图错综合之令纵广及高各一尺纳粟于内

　令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得

　　　　　　　　　　　　　　　三十三石六
　　　　　　　　　　　　　　　斗即所求
　　　　　　　　　　　　　　　解曰仓窖形
　　　　　　　　　　　　　　　状不一求积
　法俱详四卷
　　十三则
布帛
　设原买布长四十尺阔二尺二寸价银七钱五分今

　有布长三十六尺阔一尺八寸求价法曰置今布长
　三十六尺以阔一尺八寸乘之(得六十四/尺八寸)再以原价
　七钱五分乘之(得四十八/两六钱)为实另置原布长四十尺
　以阔二尺二寸乘之(得八十/八尺)为法除实得五钱五分
　二釐二毫有奇即所求
　　十四则
银色一法
　设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银
　一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分

　六釐即所求

　　十五则
银色一法
　设足色银一两一钱一分六釐改倾九三色求银数
　法曰置银一两一钱一分六釐为实以九三除之得
　一两二钱即所求
　　十六则
银色三法
　设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰

　置银五两六钱为实以八五乘之(得四两七/钱六分)再以九
　五除之得五两零一分零五毫即所求
　　十七则
银色四法
　设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置
　银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求
　　十八则
银色五法
　设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数

　法曰置银三十五两二钱为实以八八除之(得四/十两)与

　原银相减馀四两八钱即所求
　　十九则
银色六法
　设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜
　四两八钱为实以八八与一两相减馀一钱二分为
　法除之(得四/十两)与铜数相减馀三十五两二钱即所求
　　二十则
斤两一法

　设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法
　十六除之得六十五斤即所求
　　二十一则
斤两二法
　设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十
　六乘之得一千四十两即所求
　　二十二则
斤两三法
　设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法

　曰先取四两以斤法十六除之(得二/五)并六十五斤之

　下(成六五/二五)为实以价乘之得一十六两三钱一分二
　釐五毫即所求
　　二十三则
斤两四法
　设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二
　釐五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之
　得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得
　四两共六十五斤四两即所求

　　二十四则
斤两五法
　设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以
　斤法十六除之得二钱五分即所求
　　二十五则
斤两六法
　设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实
　以斤法十六乘之得四两即所求
　　二十六则

权重一法

　设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重
　四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物
　重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用
　作锤之四十六两八钱乘之(得五万零一百/六十九两六钱)再以原
　锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所
　求
　解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤
　之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除

　借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八
　也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之
　八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤
　之重法先乘后除者亦异乘同除也(本卷/五则)
　　二十七则
权重二法
　设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九
　百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作
　锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四

　十六两八钱为实以一千零七十二两乘之(得五万/零一百)

　(六十九/两六钱)以一千九百二十九两六钱除之得二十六
　两即所求
　解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二
　两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原
　锤之重
　　二十八则
权重三法
　设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤

　重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两
　求原锤重法曰置两数相乘(得六百七/十六两)平方开之得
　二十六两即所求
　解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之
　求中率之法也(二卷十/六则)○又法以等重二物一作锤
　一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法
　用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得
　近似之数至于平星提索不同一位相去愈远其差
　愈多甚至与真数悬绝留心此道者不可不知也

　数学钥卷三上

钦定四库全书
　数学钥卷三下
　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
　衰分(诸分/附)
　　一则
合率差分
　设有银一百二十一两一钱七分五釐买稻麦菽三
　等粮买稻一分每斗价九分二釐麦二分每斗价八

　分五釐菽三分每斗价三分六釐求三色粮各若干
　法曰置共银为实另二因麦价(得一钱/七分)三因菽价(得/一)
　(钱零/八釐)与稻价并(共三钱/七分)为法除实得三十二石七斗
　五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三
　因稻数得九十八石二斗五升为菽数
　解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为
　六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于
　稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五
　是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价

　除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦

　数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银
　数则以各价乘各数即得
　　二则
折半差分
　设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求
　各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙
　为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九
　十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数

　二因乙数得三百八十四两为甲数
　解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙
　衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二
　得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七
　衰而丙为七分之一故以七除实得丙数馀同前解
　　三则
四六差分
　设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六
　纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四

　衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为

　乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共
　三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数
　四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得
　一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五
　两为乙数以十三衰五分乘二十五两得三百三十
　七两五钱为甲数
　解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也盖四
　之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九

　乘九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六
　之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即
　原银三十二分五釐之一而丁应纳者则三十二分
　五釐之四故四因一衰之数得丁数也馀同前解
　　四则
三七差分
　设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七
　纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九
　衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十

　九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两

　为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二
　十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之
　得一千二百二十五两为甲数
　解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰
　则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七
　因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰
　地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍
　之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十

　一为戊衰位多者仿此
　　五则
二八差分
　设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之
　求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四
　因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共
　四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因
　之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十
　二乘之得八百两为甲数

　解曰递以四因定衰者以八四倍于二也

　　六则
递减差分一法
　设米一千一百三十四石令五等人户递减纳之一
　等二十四户二等三十三户三等四十二户四等五
　十一户五等六十户求每等及每户应纳银数法曰
　置共米为实先定五等六十户为六十衰二因四等
　户数得一百零二衰三因三等户数得一百二十六
　衰四因二等户数得一百三十二衰五因一等户数

　得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得
　二石一斗为第五等每户纳数以五等六十户乘之
　得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一
　斗得四石二斗为第四等每户纳数以四等五十一
　户乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以
　三因二石一斗得六石三斗为第三等每户纳数以
　三等四十二户乘之得二百六十四石六斗为第三
　等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等
　每户纳数以二等三十三户乘之得二百七十七石

　二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零

　五斗为第一等每户纳数以一等二十四户乘之得
　二百五十二石为第一等共纳数
　解同本卷一则
　　七则
递减差分二法
　设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲
　乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数
　法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙

　衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并
　乙四甲五得九以六减九馀三于每人衰数各增三
　戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰
　并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因
　之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六
　因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙
　数八因之得六十四石为甲数
　解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等
　则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一

　两数相减馀一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四

　人相减馀二人为法归之得五各加入每人衰数己
　得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲
　得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳
　数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲
　七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行
　矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六
　丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十
　九并之共八十五两数相减馀三十为实另以甲乙

　二人与丙丁戊己庚五人相减馀三人为法归之得
　十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九
　丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九
　馀仿此
　　八则
递减差分三法
　设米二百六十五石令三等人户纳之上等二十户
　每户多中等七斗中等五十户每户多下等五斗下
　等一百一十户求各应纳米数法曰置共米为实并

　七斗五斗(共一石/二斗)乘上等尸数(得二十/四石)以五斗因中

　等尸数(得二十/五石)两数并(共四十/九石)减实馀二百一十六
　石并三等尸数(共一百/八十户)为法除之得一石二斗为下
　等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗
　共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等户数
　得每等共纳数
　解曰共米内减去上中两等多于下等米数所馀即
　一百八十户均平公纳之米除实得一石二斗即
　每户均纳之数均纳之数即下等每户应纳之数也