钦定四库全书
　数学钥卷一凡例
　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
凡例(计十四则/)
　　一则
数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代
　指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正
　文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等

　字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形
　　　　　　　　　　则指第二图或错举二字谓
　　　　　　　　　　第一图为甲丁或乙丙形谓
　　　　　　　　　　第二图为戊辛或巳庚形又
　　　　　　　　　　指第一图左下角曰甲角右
　　　　　　　　　　下角曰乙角又或有两角相
　　　　　　　　　　连如第三图两形相同一角
　如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字
　曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角

　　二则

四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四
　边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边
　等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱
　　　　　　　　　　　　　　不等两角中矩两
　　　　　　　　　　　　　　角不中矩者曰斜
　　　　　　　　　　　　　　方形如第四图角
　　　　　　　　　　　　　　不中矩两边相等
　　　　　　　　　　　　　　者曰梯形如第五

　　　　　　　　　　　　　　图边及角俱不等
　者曰无法形如第六图三边形有一方角者(甲为/方角)曰
　勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图
　　三则
形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰阔或曰
　广在下者或曰底斜对两角者曰弦
　　四则
形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃
　　五则

线之作志处曰点

　　六则
两线相并曰和
　　七则
以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼
　形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于
　甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之
　　　　　　　差丁己形之大于丁戊形为庚己形
　　　　　　　则庚己为两形之较形或曰两形之

　　　　　　　差
　　八则
甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上
　　　　　　　　　　方形其形之容即甲乙自乘
　　　　　　　　　　之数丁戊衡线戊己纵线内
　　　　　　　　　　作丁己直形己庚与丁戊等
　庚丁与戊己等曰丁戊偕戊己两线矩内形其形之
　容即丁戊戊己相乘之数
　　九则

甲乙衡线上作丙丁纵线而丙丁乙与丙丁甲两角俱

　　　　　　　方角则丙丁为甲乙线上之垂线
　
　
　　十则
两直线引至无穷不相离亦不相遇曰平行线平行线
　内任作几形皆等高如甲乙丙丁两线平行两线内
　　　　　　　作戊己庚三角形与辛壬直形两形
　　　　　　　之高必相等凡两形等高者则曰同

　　　　　　　在平行线内
　　十一则
甲乙丙三形并为一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形
　
　
　
　　十二则
方形并举四边曰方周
　　十三则

方形或圆形外实中虚曰环其中虚处曰虚形或曰缺

　形
　　十四则
甲乙形以丙丁线分之成甲丁丙乙两形或再以戊己
　　　　　　　线分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
　　　　　　　谓甲丁等二形或甲庚等四形曰分
　　　　　　　形谓甲乙元形曰全形
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

　数学钥卷一凡例

钦定四库全书
　数学钥卷一目录
　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
　方田上(直线类/)
　　一则实积求亩
　　二则直形求积
　　三则方形求积
　　四则勾股求积(二法/)

　　五则三角形求积
　　六则斜方形求积
　　七则梯形求积
　　(西/法)八则象目形求积(二法/)
　　九则诸直线形求积
　　十则积求方边(即开平方/)　(二法/)
　　十一则方边求斜弦
　　十二则斜弦求方边
　　十三则直积求长与阔(即带纵开平方/)

　　十四则直形以长求阔

　　十五则直形以阔求长
　　十六则直形长阔求弦
　　十七则直形阔弦求长
　　十八则直形长弦求阔
　　十九则直形长及弦阔差求阔
　　二十则直形阔及弦长差求长
　　二十一则直形弦及长阔和求长阔差
　　二十二则直形长及弦阔和求阔

　　二十三则直形阔及弦长和求长
　　二十四则直形弦及长阔差求长与阔
　　二十五则直形长弦和及阔弦和求长与阔
　　二十六则直形长弦差及阔弦差求长与阔
　　二十七则直形积及长阔和求长阔差
　　二十八则直形积及长阔和求弦
　　二十九则两边等之三角形求对角之垂线
　　(增/)三十则有一方角之三角形求对角之垂线
　　(增/)三十一则不等边而无方角之三角形求对角

　　　之垂线

　　三十二则方周求积
　　三十三则方环以周求积
　　(增/)三十四则方环以积及阔求边
　　三十五则直形依长截阔
　　三十六则直形依阔截长
　　三十七则直形截勾股
　　三十八则直形截三角
　　三十九则直形截斜方

　　四十则直形截梯形
　　四十一则三角形以截积截阔求截长(勾股截积/)
　　　(同/)
　　四十二则三角形以截积截长求截阔
　　四十三则三角形以截长求截阔
　　四十四则三角形以截阔求截长
　　四十五则三角形以截积求截长
　　四十六则三角形以截积求截阔
　　四十七则斜方形以截积截长求截阔(梯形截积/)

　　　(同/)

　　四十八则斜方形以截积截阔求截长
　　四十九则斜方形以截阔求截长
　　五十则斜方形以截长求截阔
　　五十一则斜方形依小边截积求截阔
　　五十二则斜方形依大边截积求截阔
　　五十三则梯形截勾股
　　五十四则梯形截斜方
　　五十五则梯形截无法五边形

　　(增/)五十六则方环截外周
　　(增/)五十七则方环截内周
　
　
　
　
　
　
　

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钦定四库全书
　数学钥卷一
　　　　　　　　　　　　　柘城杜知耕撰
方田上(直线/类)
　　一则
实积求亩
　设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实
　以亩法二四除之得一百二十三亩即所求

　解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙阔一
　　　　　　　步(即五/尺)馀三边各与甲乙等则甲丙
　　　　　　　方形为积一步二百四十倍之则为
　　　　　　　一亩故亩法用二四也本卷及二卷
　　　　　　　皆言求积之法得积以此法求之即
　得亩数
　　二则
直形求积
　设直田长十步阔八步求积法曰置长为实以阔乘

　之得八十步即所求

　　　　　　　解曰直田长阔不等求积之法任取
　　　　　　　一边为此一边之倍数(或以阔乘长/或以长乘阔)
　　　　　　　如甲戊形之戊乙己甲各二步则二
　　　　　　　倍甲乙边八步之数而甲戊形得积
　一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步
　之数故得积八十步也
　　三则
方形求积

　设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步
　　　　　　　即所求
　　　　　　　解曰方田四边皆等以此边为此边
　　　　　　　之倍数与以他边为此边之倍数同
　　　　　　　故法用自乘也
　　四则
勾股求积
　设勾股田股长十二步勾阔八步求积法曰置股为
　实以勾乘之(得九十/六步)折半得四十八步即所求

　解曰勾股形当等高等阔直形之半如甲乙丙勾股

　　　　　　　　　　　　　　形另作丁己直形
　　　　　　　　　　　　　　与之等高(谓丁庚/与甲丙)
　　　　　　　　　　　　　　(等/)等阔(谓丁戊与/甲乙等)
　　　　　　　　　　　　　　以庚戊线分之则
　成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等
　夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股
　形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己
　直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾

　(四/步)乘之所得同前(半股为实以/勾乘之亦得)
　解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两
　分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁
　己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积
　即勾股积也
　　五则
三角形求积
　设三角田中长一十二步底阔八步求积法同勾股
　田

　解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙

　　　　　　　　　　　　　　己线分之则三角
　　　　　　　　　　　　　　形内成甲己丙乙
　　　　　　　　　　　　　　己丙两勾股形直
　　　　　　　　　　　　　　形内成甲丙己丁
　　　　　　　　　　　　　　两分形从前解推
　　　　　　　　　　　　　　之甲己丙勾股形
　　　　　　　　　　　　　　当甲丙分形之半
　　　　　　　　　　　　　　乙己丙勾股形当

　己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角
　全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同
　也　或两边等(如第/一图)或三边等(如第/二图)或三边俱不等
　(如第/三图)法皆同
　　六则
斜方形求积
　　　　　　　　　　　　　　设斜方田长一十
　　　　　　　　　　　　　　五步上阔六步下
　　　　　　　　　　　　　　阔十步求积法曰

　　　　　　　　　　　　　　置长为实以两阔

　相并(共一十/六步)折半(得八/步)为法乘之得一百二十步即
　所求
　解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所馀必甲庚
　辛勾股形勾股形既为等高等阔直形之半(本卷/四则)则
　己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛
　丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等
　法并两阔折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得
　乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也

　安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
　　七则
梯形求积
　设梯田长一十五步上阔六步下阔十步求积法同
　斜方田
　解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形馀甲丙戊乙丁
　　　　　　　　　　　　　　己两勾股形必与
　　　　　　　　　　　　　　辛丙己庚两分形
　　　　　　　　　　　　　　等今戊丁直形与

　　　　　　　　　　　　　　两分形并则与全

　梯形等矣故并两阔折半乘长得积也
　　八则
象目形求积
　设象目田阔八步正长一十二步求积法曰置正长
　　　　　　　　　　　　　　为实以阔乘之得
　　　　　　　　　　　　　　九十六步即所求
　　　　　　　　　　　　　　解曰几何原本云
　　　　　　　　　　　　　　甲乙丙丁象目形

　　　　　　　　　　　　　　甲戊为正长自乙
　作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成
　甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内(等高即在/平行线内)而
　同底(等阔即/同底)则两形必相等何也甲戊乙己两线既
　平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙
　丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两
　线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形
　亦等于两形内每减一己丙庚三角形所馀甲庚己
　戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每

　加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形

　安得不等法以阔乘正长得甲己直形之积即甲乙
　丙丁象目形之积
　又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自
　丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
　　　　　　　解曰象目田以甲丁线分之则成相
　　　　　　　等之两三角形甲丁即底丙戊即中
　　　　　　　长也故以底乘长得全积也(三角法/以底乘)
　　　　　　　(长折半得积今不折/故得两形之共积)

　
　　九则
诸直线形求积
　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　可作三
　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　第二图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　可作一
　　　　　　　　　　　　　　　　　　斜方形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三角

　形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图
　可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一
　勾股形第六图可作两三角形其馀千形万状凡属
　直线边者皆依方直三角勾股裁之
　　十则
积求方边(即开/平方)
　设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中
　为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方

　法左右对呼除实一万步(馀二万六/千一百步)倍方法(得二/百步)为
　　　　　　　　　　廉法次商九十步于左初商
　　　　　　　　　　之次(共一百/九十步)亦置九十步于
　　　　　　　　　　右廉法之次为隅法(共二百/九十步)
　　　　　　　　　　以左次商与廉法对呼除实
　　　　　　　　　　一万八千步(馀八千/一百步)又以左
　　　　　　　　　　次商与隅法对呼除实八千
　一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数
　解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也(即大/方积)次

　商与廉法对呼所除者甲壬壬丁两直形也(即两/廉)必

　倍方法为廉法者以廉有二也次商与隅法对呼所
　除者庚戊方形也(即隅/方)四形恰尽实积则初次两商
　　　　　　　　　　之数为方田边无疑矣
　　　　　　　　　　又设方田积七万一千八百
　　　　　　　　　　二十四步求方边法曰置积
　　　　　　　　　　于中为实初商二百步于左
　　　　　　　　　　亦置二百步于右为方法左
　　　　　　　　　　右对呼除实四万步(馀三万/一千八)

　　　　　　　　　　(百二十/四步)倍方法(得四/百步)为廉法
　次商六十步于左初商之次亦置六十步于廉法之
　次为隅法先以次商与廉法对呼除实二万四千步
　再以次商与隅法对呼除实三千六百步(馀实四千/二百二十)
　(四/步)又倍次商(得一百/二十步)并右廉法(共五百/二十步)复为廉法三
　商八步于左初商次商之次(共二百六/十八步)亦置八步于
　右廉法之次复为隅法先以三商与廉法对呼除实
　四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十
　四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即

　所求方边之数

　解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商
　不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此
　　十一则
方边求斜弦
　设方田方五十步求弦法曰置方数自乘(得二千/五百步)倍
　　　　　　　之(得五/千步)平方开之(本卷/十则)得七十步零
　　　　　　　七分有奇即所求
　　　　　　　解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙弦

　　　　　　　线次作己庚辛壬方形令方边与甲
　丁方形之弦线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形
　何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角
　形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙
　丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四
　三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因
　知斜弦自乘之方形(即庚壬/方形)倍大于方边自乘之方
　形(即甲丁/方形)法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚
　壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方

　形之弦也

　　十二则
斜弦求方边
　设方田弦长七十步零七分有奇求方边法曰置弦
　自乘(得五/千步)折半(得二千/五百步)平方开之得五十步即所求
　解曰置弦自乘求庚壬方积也(图同/上则)折半即甲丁方
　积也故平方开之得甲乙
　　十三则
直积求长与阔(即带纵/开平方)

　设直田积九百七十二步长阔差九步求长与阔法
　　　　　　　曰置积四因之(得三千八百/八十八步)又长阔
　　　　　　　差自乘(得八十/一步)两数并(共三千九百/六十九步)
　　　　　　　平方开之得六十三步加长阔差(共/七)
　　　　　　　(十二/步)折半得三十六步即长以长阔
　　　　　　　差减长馀二十七步即阔
　解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之
　较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两
　分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子

　己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛

　辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬
　辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子
　子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲
　乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线
　矩内形也四因之者矩内形四也长阔差自乘即较
　线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之
　得甲乙元线即长阔相和之度也(开方所得之/六十三步)长阔
　和增一长阔差即两长两长折半非一长而何以长

　阔差减长非阔而何
　　十四则
直形以长求阔
　　　　　　　设直田积九百七十二步长三十六
　　　　　　　步求阔法曰置积为实以长除之得
　　　　　　　二十七步即所求
　　　　　　　解曰阔为长之倍数故以长除积得
　阔(本卷/二则)
　　十五则

直形以阔求长

　设直田积九百七十二步阔二十七步求长法曰置
　积为实以阔除之得三十六步即所求
　解曰长亦为阔之倍数故以阔除实得长(本卷/二则)
　　十六则
直形长阔求弦
　　　　　　　设直田阔二十七步长三十六步求
　　　　　　　弦法曰长阔各自乘(长得一千二百/九十六步阔得)
　　　　　　　(七百二/十九步)两数并(共二千零/二十五步)平方开之

　　　　　　　得四十五步即所求
　解曰此即勾股求弦(六卷/一则)
　　十七则
直形阔弦求长
　设直田阔二十七步弦四十五步求长法曰弦阔各
　自乘(弦得二千零二十五步/阔得七百二十九步)两数相减(馀一千二/百九十六)平
　方开之得三十六步即所求
　解曰此即勾弦求股(六卷/二则)
　　十八则

直形长弦求阔

　设直田长三十六步弦四十五步求阔法曰弦长各
　自乘(弦得二千零二十五步长/得一千二百九十六步)两数相减(馀七百二/十九步)
　平方开之得二十七步即所求
　解曰此即股弦求勾(六卷/三则)
　　十九则
直形长及弦阔差求阔
　设直田长三十六步弦阔差一十八步求阔法曰长
　与弦阔差各自乘(长得一千二百九十六步/弦阔差得三百二十四步)两数相

　减(馀九百七/十二步)折半(得四百八/十六步)以弦阔差为法除之得
　二十七步即所求
　解曰此即股与勾弦较求勾(六卷十/四则)
　　二十则
直形阔及弦长差求长
　设直田阔二十七步弦长差九步求长法曰置阔自
　乘(得七百二/十九步)以弦长差为法除之(得八十/一步)减弦长差
　(馀七十/二步)折半得三十六步即所求
　解曰此即勾与股弦较求股(六卷十/五则)

　　二十一则

直形弦及长阔和求长阔差
　设直田长阔和六十三步弦四十五步求长阔差法
　曰置弦自乘(得二千零/二十五步)倍之(得四千零/五十步)另置长阔和
　自乘(得三千九百/六十九步)两数相减(馀八十/一步)平方开之得九
　步即长阔差以减长阔和(馀五十/四步)折半得二十七步
　即阔加长阔差得三十六步即长
　解曰此即弦与勾股和求勾股较(六卷/七则)
　　二十二则

直形长及弦阔和求阔
　设直田弦阔和七十二步长三十六步求阔法曰置
　长自乘(得一千二百/九十六步)以弦阔和为法除之得一十八
　步即弦阔差以减弦阔和(馀五十/四步)折半得二十七步
　即所求
　解曰此即股与勾弦和求勾弦较(六卷十/八则)
　　二十三则
直形阔及弦长和求长
　设直田弦长和八十一步阔二十七步求长法曰置

　阔自乘(得七百二/十九步)以弦长和为法除之得九步即弦

　长差以减弦长和(馀七十/二步)折半得三十六步即所求
　解曰此即勾与股弦和求股弦较(六卷十/九则)
　　二十四则
直形弦及长阔差求长与阔
　设直田长阔差九步弦四十五步求长与阔法曰置
　弦自乘(得二千零/二十五步)倍之(得四千零/五十步)另置长阔差自乘
　(得八十/一步)两数相减(馀三千九百/六十九步)平方开之得六十三
　步即长阔和加长阔差(共七十/二步)折半得三十六步即

　长减长阔差馀二十七步即阔
　解曰此即弦与勾股较求勾股和(六卷/十则)
　　二十五则
直形长弦和及阔弦和求长与阔
　设直田长弦和八十一步阔弦和七十二步求长与
　阔法曰置长弦和以阔弦和乘之(得五千八百/三十二步)倍之
　(得一万一千六/百六十四步)平方开之得一百零八步与长弦和
　相减馀二十七步即阔与阔弦和相减馀三十六步
　即长

　解曰此即勾弦和股弦和求勾与股(六卷十/三则)

　　二十六则
直形长弦差及阔弦差求长与阔
　设直田长弦差九步阔弦差一十八步求长与阔法
　曰置长弦差以阔弦差乘之(得一百六/十二步)倍之(得三百/二十四)
　(步/)平方开之得一十八步加阔弦差得三十六步即
　长加长弦差得二十七步即阔
　解曰此勾弦较股弦较求勾与股(六卷二/十则)
　　二十七则

直形积及长阔和求长阔差
　设直田长阔和六十三步积九百七十二步求长阔
　差法曰置长阔和自乘(得三千九百/六十九步)另置积四因之
　(得三千八百/八十八步)两数相减(馀八十/一步)平方开之得九步即
　所求
　解曰长阔和自乘之方积当直田积四长阔差自乘
　之方积一故以长阔和自乘减去四直田积馀以平
　方开之得长阔差也(本卷十/三则)
　　二十八则

直形积及长阔和求弦

　设直田积九百七十二步长阔和六十三步求弦法
　曰置长阔和自乘(得三千九百/六十九步)另置积倍之(得一千/九百四)
　(十四/步)两数相减(馀二千零/二十五步)平方开之得四十五步即
　所求
　　　　　　　解曰甲戊形长阔和自乘之方也庚
　　　　　　　辛形弦自乘之方也甲戊形内勾股
　　　　　　　八及长阔差自乘之方一庚辛形内
　　　　　　　勾股四及长阔差自乘之方一每二

　　　　　　　勾股当一直形(如一丙乙丑辛直形/内有乙丙辛丑辛丙)
　(两勾/股形)是长阔和上方形大于弦上方形之较为二直
　田积也故法以长阔和自乘减去二直田积平方开
　之即得弦度也
　　二十九则
两边等之三角形求对角之垂线
　　　　　　　设三角田底阔六步两馀边各五步
　　　　　　　求中长法曰置底折半(得三自/步)乘(得/九)
　　　　　　　(步/)馀边亦自乘(得二十/五步)两数相减(馀/一)

　　　　　　　(十六/步)平方开之得四步即所求

　解曰丙乙作弦乙丁作勾以所求之丙丁作股此即
　勾弦求股法也(六卷/二则)甲乙边折半即得勾者以乙丙
　丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法
　在
　　三十则
有一方角之三角形求对角之垂线
　设不等边三角田有一方角(丙为方角/即勾股田)底阔十步乙
　丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘

　(得三十/六步)以底除之(得三步六分○此即丁乙/之度以下仍勾弦求股法)又自乘
　　　　　　　(得一十二步/九分六釐)与丙乙边自乘之数相
　　　　　　　减(馀二十三/步零四釐)平方开之得四步八分
　　　　　　　即所求
　　　　　　　解曰此勾股求对角垂线法也(六卷/二十)
　　　　　　　(五/则)因有方角故用之若无方角此法
　又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下
　则
　　三十一则

不等边而无方角之三角形求对角之垂线

　　　　　　　设三角田底阔一十五步乙丙边八
　　　　　　　步甲丙边十步求中长法曰置乙丙
　　　　　　　甲丙两边各自乘(乙丙得六十四步/甲丙得一百步)
　　　　　　　两数相减(馀三十/六步)为实以底除之(得/二)
　　　　　　　(步四/分)以减底(馀一十二/步六分)折半(得六步/三分)
　(即乙丁之度以/下勾弦求股法)又自乘(得三十九步/六分九釐)另置乙丙自乘
　(得六十/四步)两数相减(馀二十四步/三分一釐)平方开之得四步九
　分三釐有奇即所求

　解曰甲乙丙三角形丁为对角点另作庚辛为乙丙
　　　　　　　　　　　　　　边上方壬癸为甲
　　　　　　　　　　　　　　丙边上方壬癸大
　　　　　　　　　　　　　　于庚辛之较为卯
　　　　　　　　　　　　　　子丑磬折形若移
　　　　　　　　　　　　　　丑于寅则成卯子
　　　　　　　　　　　　　　寅直形又作辰巳
　　　　　　　　　　　　　　为丁乙上方午未
　　　　　　　　　　　　　　为甲丁上方午未

　大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成

　申酉亥直形申酉亥与卯子寅两直形必相等何也
　甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙
　两勾股形既皆勾股形则丙乙弦上方形必与丙丁
　股乙丁勾上两方形并等甲丙弦上方形必与丙丁
　股甲丁勾上两方形并等(六卷/一则)从此推之则甲丙上
　方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方
　形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之
　丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之卯

　子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉
　亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减馀
　即卯子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申
　酉亥直形以甲乙底为长(以甲丁乙丁两线并为/长即以甲乙全线为长)以
　甲丁乙丁之较线甲己为阔者也故以甲乙底除之
　得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去
　甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁馀仍勾
　弦求股法(六卷/二则)同前则
　　三十二则

方周求积

　设方田周二百步求积法曰置周自乘(得四/万步)以方法
　十六除之得二千五百步即所求
　　　　　　　　　　　　　　解曰假如一步以
　　　　　　　　　　　　　　四面计之则周四
　　　　　　　　　　　　　　步四步自乘得一
　　　　　　　　　　　　　　十六步是周自乘
　之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此
　法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田

　长六十步阔四十步周亦得二百步实积止得二千
　四百步如以前法求之则多积百步矣
　　三十三则
方环以周求积
　设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积
　法曰二周各自乘(外周得七万八千四百步/内周得一万四千四百步)两数相
　　　　　　　减(馀六万/四千步)以方法十六除之得四千
　　　　　　　步即所求
　　　　　　　解曰此方内减方法也○如知环阔

　　　　　　　则用梯田法置两周相并折半以阔

　乘之即得环积
　　三十四则
方环以积及阔求边
　设方环田积四千步阔二十步求内外边法曰置阔
　自乘(得四/百步)以四因之(得一千/六百步)以减环积(馀二千/四百步)馀积
　　　　　　　以四归之(得六/百步)以阔除之得三十步
　　　　　　　即内边倍阔(得四/十步)加之得七十步即
　　　　　　　外边

　　　　　　　解曰法以环阔自乘者求环之隅方
　也(即甲/等)以四因之者环之隅有四也(即甲乙丙/丁四方形)以减
　环积所馀必四直形也(即戊己庚/辛四直形)四归之者取四直
　形之一也以阔除之即得内边者其直形以环之阔
　为阔以内边之度为长也加两阔即得外边者外边
　大于内边之较为两阔也○或四因环阔除积得五
　十步(即直方两形/并之共长)加阔得外边减阔得内边
　　三十五则
直形依长截阔

　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步

　　　　　　　求截阔法曰置积为实以元长除之
　　　　　　　得三十二步即所求
　　　　　　　解曰即以长求阔法(本卷十/四则)
　
　　三十六则
直形依阔截长
　设直田阔六十四步依元阔截积二千七百二十步
　求截长法曰置积为实以元阔除之得四十二步五

　分即所求
　　　　　　　解曰即以阔求长法(本卷十/五则)
　
　
　
　　三十七则
直形截勾股
　设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步
　成勾股形法曰置积倍之(得二千七/百二十步)以元长除之得

　三十二步即所求

　　　　　　　解曰勾股形当等高等阔直形之半
　　　　　　　法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙
　　　　　　　直形既倍勾股积则必与勾股等高
　　　　　　　等阔矣故求乙丙直形之阔即勾股
　之阔也
　　三十八则
直形截三角
　设直田阔六十四步依元阔截积一千三百六十步

　成三角形求长法曰置积倍之(得二千七/百二十步)以元阔除
　　　　　　　之得四十二步五分即所求
　　　　　　　解曰三角形亦当等高等阔直形之
　　　　　　　半法倍三角积即甲乙直形积也甲
　　　　　　　乙直形既倍三角积则必与三角形
　等高等阔矣故求甲乙直形之长即三角形之长也
　　三十九则
直形截斜方
　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步

　成斜方形两阔相差五步求两阔法曰置积为实以

　　　　　　　元长除之(得三十/二步)另置相差五步折
　　　　　　　半(得二步/五分)并三十二步得三十四步
　　　　　　　五分即大边减三十二步得二十九
　　　　　　　步五分即小边
　解曰以元长除积者求甲乙直形之阔也甲乙直形
　之阔为斜方两阔之中度(谓小于大边二步五分/大于小边亦二步五分)故
　置差折半增减之即得两阔
　　四十则

直形截梯形
　设直田阔六十步依元阔截积三千七百八十步成
　梯形两阔相差一十二步求长法曰置积为实倍元
　阔(得一百/二十步)减相差一十二步(馀一百/零八步)折半(得五十/四步)为
　　　　　　　法除之得七十步即所求
　　　　　　　解曰倍阔减差折半者求甲乙直形
　　　　　　　之阔也甲乙直形阔为梯形两边之
　　　　　　　中度(谓小于大边六步/大于小边亦六步)则直形之容
　必与梯形等故求直形之长即得梯形之长

　　四十一则

三角形以截积截阔求截长(勾股截/积同)
　　　　　　　设三角田依角截积一千三百六十
　　　　　　　步截阔六十四步求截长法曰置积
　　　　　　　倍之(得二千七/百二十步)以阔除之得四十二
　　　　　　　步五分即所求
　解曰此与直田截三角同(本卷三/十八则)
　　四十二则
三角形以截积截长求截阔

　设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二
　步五分求截阔法曰置积倍之(得二千七/百二十步)以长除之
　得六十四步即所求
　解曰此与直田截勾股同(本卷三/十七则)
　　四十三则
三角形以截长求截阔
　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截长一
　百五十步求截阔法曰置截长为实以元阔乘之(得/二)
　(万二千/五百步)以元长除之得一百一十二步五分即所求

　解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行

　则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙
　甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲
　乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也(泰西几/何原本)甲乙丙即
　元形丁戊丙即截形也则截长与截阔之比例必若
　元长与元阔矣截阔与元阔之比例亦必若截长与
　　　　　　　　　　　　　　元长矣(谓截长大/于截阔几)
　　　　　　　　　　　　　　(分之几则元长亦/大于元阔几分之)
　　　　　　　　　　　　　　(几截阔小于元阔/几分之几则截长)

　　　　　　　　　　　　　　(亦小于元长/几分之几)法以
　元阔乘截长以元长除之者借元长及元阔之比例
　因截长以求截阔也(求比例用异乘同/除法详三卷五则)
　　四十四则
三角形以截阔求截长
　设三角田元长二百步阔一百五十步截阔一百一
　十二步五分求截长法曰置截阔为实以元长乘之
　(得二万二/千五百步)以元阔除之得一百五十步即所求
　解曰此借元阔元长之比例因截阔以求截长也

　　四十五则

三角形以截积求截长
　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截积八
　千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之(得一/万六)
　(千八百七/十五步)为实以元长乘之(得三百三十/七万五千步)以元阔除
　之(得二万二/千五百步)平方开之得一百五十步即所求
　　　　　　　　　　　　　　解曰甲乙丙即元
　　　　　　　　　　　　　　形丁戊丙即截形
　　　　　　　　　　　　　　丁壬为截形等高

　　　　　　　　　　　　　　等阔之直形辛壬
　为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等
　两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊(几何原本/云凡两形)
　(等高形与形之/比例若线与线)辛戊与截长丙庚等而丁戊即截阔
　是丁壬与辛壬之比例若截阔与截长也分形之比
　例元与全形等(本卷四/十三则)则丁壬与辛壬之比例又若
　元阔与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长
　乘元阔除之者借元长元阔之比例因丁壬直形以
　求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开

　之得截长也

　　四十六则
三角形以截积求截阔
　设三角田元长二百步阔一百五十步自角截积八
　千四百三十七步五分求截阔法曰置截积倍之(得/一)
　(万六千八百/七十五步)为实以元阔乘之(得二百五十三万/一千二百五十步)以
　　　　　　　　　　　　　　元长除之(得一万/二千六)
　　　　　　　　　　　　　　(百五十六步/二分五釐)平方
　　　　　　　　　　　　　　开之得一百一十

　　　　　　　　　　　　　　二步五分即所求
　解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等
　高等阔之直形丁辛为截阔丁戊上方形丁壬丁辛
　两形之阔必相等两形既等阔则其比例必若戊壬
　与戊辛戊辛与截阔等戊壬与截长等是丁壬与丁
　辛之比例若截长与截阔亦若元长与元阔矣法倍
　截积者求丁壬直形也以元阔乘元长除之者借元
　长元阔之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛
　为截阔丁戊上方形故平方开之得截阔也○以上

　皆自角截积法若自底截积则以截积减元积馀积

　亦以上法求之得阔即截阔得长减元长馀为截长
　　四十七则
斜方形以截积截长求截阔(梯形截/积同)
　　　　　　　　　　设斜方田元长九十步大边
　　　　　　　　　　阔三十八步小边阔二十步
　　　　　　　　　　依小边截积八百二十二步
　　　　　　　　　　五分截长三十五步求截阔
　　　　　　　　　　法曰置积为实以截长除之

　　　　　　　　　　(得二十三/步五分)倍之(得四十/七步)减小
　边元阔馀二十七步即所求
　解曰以截长除积者求甲丙直形之阔甲乙也甲乙
　为小边及截阔之中度倍之则与小边及截阔并等
　矣故减小边即得截阔也
　　四十八则
斜方形以截积截阔求截长
　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二
　十步依小边截积八百二十二步五分截阔二十七

　步求截长法曰置积为实以截阔与小边元阔并(得/四)

　(十七/步)折半(得二十三/步五分)为法除之得三十五步即所求
　解曰以截阔与小边相并折半者求两阔之中度甲
　乙也(同前/图)故以除积得截长
　　四十九则
斜方形以截阔求截长
　　　　　　　　　　设斜方田元长九十步大边
　　　　　　　　　　阔三十八步小边阔二十步
　　　　　　　　　　截阔二十七步求截长法曰

　　　　　　　　　　置小边元阔与截阔相减(馀/七)
　(步/)为实以元长乘之(得六百/三十步)另以两元阔相减(馀一/十八)
　(步/)除之得三十五步即所求
　解曰小边与截阔相减所馀必庚己两元阔相减所
　馀必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与
　三角形同(本卷四/十三则)
　　五十则
斜方形以截长求截阔
　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二

　十步自小边截长三十五步求截阔法曰置截长为

　实以两元阔相减(馀一十/八步)乘之(得六百/三十步)以元长除之
　(得七/步)并小边元阔得二十七步即所求
　解曰七步即己庚之度也(图同/前)故加小边元阔得截
　阔馀同前解
　　五十一则
斜方形依小边截积求截阔
　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二
　十步自小边截积八百二十二步五分求截阔法曰

　置积为实以两元阔相减(馀一十/八步)乘之(得一万四千/八百零五步)
　以元长除之(得一百六十/四步五分)倍之(得三百二/十九步)另以小边
　元阔自乘(得四/百步)两数并(共七百二/十九步)平方开之得二十
　七步即所求
　解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为
　两元阔辛己为截阔丙戊为元长丙庚为截长庚己
　　　　　　　　　　为小边与截阔之较线甲戊
　　　　　　　　　　为两元阔之较线癸辛为截
　　　　　　　　　　阔上方形子辛为小边上方

　　　　　　　　　　形(庚辛与/丙丁等)癸辛之大于子辛

　者为丑寅两廉与卯一隅卯隅即较线庚己上方形
　也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一
　勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较
　线己庚乘之必成一廉(两廉俱以小边为/长以较线为阔)若以截长
　丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以
　庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形
　之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一廉
　半隅也又全形之比例与截形等(本卷四/十九则)丙戊之与

　甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除
　之以两边较线甲戊乘之亦得一廉半隅与前同倍
　之则成两廉一隅夫小边上方形之小于截阔上方
　形者此两廉一隅也并之则成截阔上方形矣故平
　方开之得截阔
　　五十二则
斜方形依大边截积求截阔
　设斜方田元长九十步大边阔三十八步小边阔二
　十步自大边截积一千七百八十七步五分求截阔

　法曰置积为实以两元阔相减(馀一十/八步)乘之(得三万/二千一)

　(百七十/五步)以元长除之(得三百五十/七步五分)倍之(得七百一/十五步)另
　以大边元阔自乘(得一千四百/四十四步)两数相减(馀七百二/十九步)
　平方开之得二十七步即所求
　　　　　　　　　　　　解曰既自大边截积则
　　　　　　　　　　　　元形之大边亦即截形
　　　　　　　　　　　　之大边而截阔为小边
　　　　　　　　　　　　小边上方形之小于大
　边上方形者两廉一隅也故于大边上方形内减去

　两廉一隅平方开之即得截阔○若并求长得阔用
　本卷四十八则法求之
　　五十三则
梯形截勾股
　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二
　十步自一角截勾股积三百四十八步四分八釐求
　　　　　　　　　　截阔法曰置积倍之(得六百/九十六)
　　　　　　　　　　(步九分/六釐)以两元阔相减(馀六/十步)
　　　　　　　　　　折半(得三/十步)乘之(得二万零九/百零八步八)

　　　　　　　　　　(分/)以元长除之(得一百七十/四步二分四)

　(釐/)平方开之得一十三步二分即所求
　解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所馀必戊
　丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故
　法同勾股(本卷四/十六则)○若求长则倍截积以截阔除之
　即得(本卷三/十八则)
　　五十四则
梯形截斜方
　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二

　十步截斜方积三千六百步求截阔法曰置积为实
　　　　　　　　　　以元长除之(得三/十步)另以两元
　　　　　　　　　　阔相减(馀六/十步)四归之(得一十/五步)
　　　　　　　　　　两数并得四十五步即所求
　　　　　　　　　　解曰元长除截积得己戊甲
　庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲
　己为大边大于小边四分之一矣故四归两阔之较
　并己戊得截阔
　　五十五则

梯形截无法五边形

　设梯田元长一百二十步大边阔八十步小边阔二
　十步截五边形(即甲戊/己丁丙)积五千六百五十一步五分
　二釐求截阔法曰先求梯田全积(本卷/七则)减去截积(馀/三)
　　　　　　　　　　(百四十八步/四分八釐)以梯田截勾股
　　　　　　　　　　法求之(本卷五/十三则)得阔(一十三/步二分)
　　　　　　　　　　以减大边元阔馀六十六步
　　　　　　　　　　八分即所求
　解曰一十三步二分者乙己戊馀形之阔乙戊也大

　边元阔甲乙减去乙戊馀甲戊即截阔
　　五十六则
方环截外周
　设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
　　　　　　　环内方法曰置元方自乘(得四千/九百步)减
　　　　　　　去截积(馀二千/五百步)平方开之得五十步
　　　　　　　即所求
　　　　　　　解曰馀环外方即截环内方
　　五十七则

方环截内周

　设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截
　环外方法曰置内方自乘(得九/百步)与截积并(得二千/五百步)平
　方开之得五十步即所求
　解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也