钦定四库全书
　

九章算术卷七　　　　　晋　刘　徽　注
　　　　　　　　　　　　唐　李淳风　注释
盈不足以御隐杂互见
今有共买物人出八盈三人出七不足四问人数物价
各几何答曰七人物价五十三
今有共买鸡人出九盈一十一人出六不足十六问人
数鸡价各几何答曰九人鸡价七十

今有共买琎人出半盈四人出少半不足三问人数琎
价各几何答曰四十二人琎价十七
今有共买牛七家共出一百九十不足三百三十九家
共出二百七十盈三十问家数牛价各几何答曰一百
二十六家牛价三千七百五十
　按此术并盈不足者为众家之差故以为实置所出
　率各以家数除之各得一家所出率以少减多者得
　一家之差以除即家数以出率乘之减盈故得牛价

　也
术曰盈不足相与同共买物者(案此十字原本讹在有/分者通之句下共讹作)
(其遂不可/通今改正)置所出率盈不足各居其下令维乘所出率
并以为实并盈不足为法(案此下原本有实如法而一/五字考此术法实皆以设差)
(约之实为物价法为人数与他术实如/法而一者不同此五字后人所加今删)
　按盈者谓之朓不足者谓之朒所出率谓之假令盈
　朒维乘两设者欲为同齐之意据共买物人出八盈
　三人出七不足四齐其假令同其盈朒盈朒俱十二

　通计齐则不盈不朒之正数故可并之为实并盈不
　足为法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二
　十一者是三假令亦朒十二并七假令合为一实故
　并三四为法(案此条原本讹在以御隐/杂互见之下今改正移此)
有分者通之
　若两设有分者齐其子同其母此问两设俱见零分
　故齐其子同其母(案此条首句之上原本有注云二/字接上条故并三四为法之下系)
　(后人连合注文田其更端不相通/贯窜入注云二字以别之今删正)

副置所出率(案原本脱/副字今补)以少减多馀以约法实实为物
价法为人数(案此术前列四问本会通为一徽注辞不/达意后人失其解遂妄加改窜据第二问)
(人出九盈十一人出六不足十六以十六互乘九得一/百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十为)
(实所谓相与同共买物者置所出率盈不足各俱其下/令维乘所出率并以为实也盈十一及不足十六并之)
(二十七为法所谓并盈不足为法也于出九减出六馀/三以三约实二百一十得价七十以三约法二十七得)
(九人所谓副置所出率以少减多馀以约法实实为物/价法为人数也其第一问所出率相减馀一则法实无)
(庸约故维乘并之径得物价并盈不足径得人数偶省/一算耳第三问人出半盈四人出少半不足三半即二)
(分之一少半即三分之一也又即为二人共出一盈四/三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通)

(六十七万五千得价三千七百五十以一百八十约法/二万二千六百八十得一百二十六家是副置所出率)
(以少减多馀以约法实也三四两问皆所谓有分者通/之也由此观之后人改窜之谬显然后两盈两不足相)
(与同共买物者后人亦/改窜其文谬戻仿此)
　令下维乘上讫以同约之不可约故以乘同之所出
　率以少减多者馀谓之设差以为少设则并盈朒是
　为定实故以少设约定实则法为人数适足之实故
　为物价(案二十字有舛误当云故以少设/约法则为人数约实则为物价)盈朒当与
　少设相通不可遍约亦当分母乘设差为约法实此

　(条首句之上原本有又云二字接上条故齐其子同/其母之下亦后人连合注文田其更端窜入此二字)
　(以别之/今改正)
其一术曰并盈不足为实以所出率以少减多馀为法
实如法得一以所出率乘之减盈增不足即物价
　此术意谓盈不足众众人之差以所出率以少减多
　馀为一人之差以一人之差约众人之差故得人数
　也(案此条原本讹在第/一问之下今改正)
今有共买金人出四百盈三千四百人出三百盈一百

问人数金价各几何答曰三十三人金价九千八百
今有共买羊人出五不出四十五人出七不足三问人
数羊价各几何答曰二十一人羊价一百五十
术曰两盈两不足相与同共买物者(案此十二字原本/亦讹在后有分者)
(通之句下共讹/作其今改正)置所出率盈不足各居其下令维乘所
出率以少减多馀为实两盈两不足以少减多馀为法
(案此下原本有实如法而/一五字亦后人妄加今删)有分者通之副置所出率(案/原)
(木脱副/字今补)以少减多馀以约法实实为物价法为人数

　按此术两盈两不足者两设皆不足于正数其所以
　变化犹两盈(案此有脱误当云两盈者两设皆逾于/正数两不足者两设皆不足于正数其)
　(所以变化则两/不足亦犹两盈)而或有势同而情违者当其为实俱
　令不足其相乘减则遗其所不足焉故其馀所以为
　实者无朒数以损焉盖出而有馀两盈两设皆通于
　正数(案以上讹/舛不可通)假令与共买物人出八盈三人出九
　盈十齐其假令同其两盈两盈俱三十(案原本脱/盈字今补)举
　齐则兼去其馀所以为实者无盈数两盈以少减多

　馀为法齐之八十者是十假令而凡盈三十者是齐
　十以十三之(案此七字舛误不可通/当云是三以十齐之)齐之二十七者
　是三假令而凡盈三十者是三以十之(案此五字亦/舛误当云是)
　(十以三/齐之)今假令两盈共十三以三减十馀七为一实
　故令以三减十馀七为法所出率以少减多馀谓之
　设差因设差为少设则两盈之差是为定实故以设
　法人数约实即得全数(案此十二字亦舛误当云故/以少设约法则为人数约实)
　(则得/物价)

其一术曰置所出率以少减多馀为法两盈两不足以
少减多馀为实实如法而一得人数以所出率乘之减
盈增不足即物价
　置所出率以少减多得一人之差两盈两不足相减
　馀为众人之差(案原本脱/馀字今补)故以一人之差除之得人
　数以所出率乘之减盈增不足即物价
今有共买犬人出五不足九十人出五十适足问人数
大价各几何答曰二人犬价一百

术曰以盈及不足之数为实实置所出率以少多馀为
法实如法得一其求物价者以适足乘人数得物价
　此术意谓以所出率以少减多者馀是一人不足之
　差不足数为众人之差以一人差约之故得人之数
　也适足数为实者(案此句讹舛当云/盈不足数为实者)数单见即众人
　差故以为实所出率以少减多馀即一人差(案原本/脱馀字)
　(今/补)故以为法以除众人差得人数以适足乘人数即
　得物价也

今有米在十斗桶中不知其数满中添粟而舂之得米
七斗问故果几何答曰二斗五升
术曰以盈不足术求之假令故米二斗不足二升令之
三斗有馀二升(案此下有脱文当云以盈不足维乘假/令之数并为实并盈不足为法实如法)
(而一得故/米斗数)
　按桶受一斛若使故米二斗须添粟八斗以满之八
　斗得粝米四斗八升课于七斗是为不足二升若使
　故米三斗须添粟七斗以满之七斗得粝米四斗二

　升课于七斗是为有馀二升以盈不足维乘假令之
　数者欲为齐同之意(案此下原本云为齐同者假令/据共买物人出八盈三人出七)
　(不足四齐其假令同其盈朒俱十二通计齐即不盈/不朒之正数故可以并之为实并盈不足为法齐之)
　(三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者是三/假令而凡物十二并七假令合为一实故亦并三四)
　(为法几一百字已见前此处系重/出衍文与上下绝不相涉今删去)实如法即得故米
　斗数乃不盈不朒之正数也今有垣高九尺瓜生其上蔓日长七寸瓠其其下蔓日
长一尺问几何日相逄瓜瓠各长几何答曰五日十七

分日之五瓜长三尺七寸一十七分寸之一瓠长五尺
二寸一十七分寸之一十六
术曰假令五日不足五寸令之六日有馀一尺二寸(案/此)
(下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并/为实并盈不足为法实如法而一得日数)
　按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五
　寸瓠生五日上延蔓五尺课于九尺之垣是为不足
　五寸令之六日有馀一尺二寸者若使瓜生六日下
　垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺课于九尺之

　垣是为有馀一尺二寸以盈不足维乘假令之数者
　欲为齐同之意(案此下原本云假令据共买物者人/出八盈三人出七不足四齐其假令)
　(同其盈朒俱十二通计齐即不盈不朒之正数故可/并以为实并盈不足为法齐之三十二者是四假令)
　(有盈十二齐之二十一者足三假令而凡朒十二并/七假令合为一实故亦并三四为法凡九十六字即)
　(上条重出衍文复杂入于此/与上下亦绝不相涉今删去)实如法而一即设差不
　盈不朒之正数即

数

即得日数以瓜瓠一日之长乘之故
　各得其长之数也
今有蒲生一日长三尺莞生一日长一尺蒲日自半莞

生日自倍问几何日而长等答曰二日十三分日之六
各长四尺八寸一十三分寸之六
术曰假令二日不足一尺五寸令之三日有馀一尺七
寸半(案此下有脱文当云以盈不足维秉假令之数并/为实并盈不足为法实如法而一得日数不尽者)
(等数约之而命分以后一日所长乘日分子如/日分母而一各增二长为二物共长齐等之数)
　按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日长四尺五
　寸莞生二日长三尺是为未相及一尺五寸故曰不
　足令之三日有馀一尺七寸半者蒲增前七寸半莞

　增前四尺是为过一尺七寸半故曰有馀以盈不足
　乘除之又以后一日所长各乘日分子如日分母而
　一者各得日分子之长也故各增二长即得其数
今有醇酒一斗直钱五十行酒一斗直钱一十今将钱
三十得酒二斗问醇行酒各得几何答曰醇酒二升半
行酒一斗七升半
术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有馀一十令之醇
酒二升行酒一斗八升不足二(案此下有脱文当云各/以盈不足维乘之并为)

(实并盈不足为法实如/法而一得二酒之数)
　据醇酒五升直钱二十五行酒一斗五升直钱一十
　五课于三十是为有馀十据醇酒二升直钱一十行
　酒一斗八升直钱一十八课于三十是为不足二以
　盈不足术求之此问已有重说及其齐同之意也今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛问
大小器各容几何答曰大器容二十四分斛之十三小
器容二十四分斛之七

术曰假令大器五斗小器亦五斗盈一十斗令之大器
五斗五升小器二斗五升不足二斗
　按大器容五斗大器五容二斛五斗以减二斛馀五
　斗即小器一所容故曰小器亦五斗小器五容二斛
　五斗大器一合为三斛课于两斛乃多十斗令之大
　器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以减三斛
　馀二斗五升即小器一所容故曰小器二斗五升大
　器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合为

　一斛八斗课于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不
　足维乘除之(案此句有脱文当云以盈不足维乘/之各并为实并盈不足为法除之)
今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以
易油还自和馀漆问出漆得油和漆各几何答曰出漆
一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升
四分升之三
术曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有
馀二升

　按此术三斗之漆出九升得油一斗二升可和漆一
　斗五升馀有二斗一升则六升无油可和故曰不足
　六升令之出漆一斗二升则易得油一斗六升可和
　漆二斗于三斗之中已出一斗二升馀有一斗八升
　见在油合和得漆二斗则是有馀二升以盈不足维
　乘之为实并盈不足为法实如法而一得出漆升数
　(案此下有脱文当/云求油及和漆者)四五各为所求率四三各为所有
　率而今有之即得也

今有玉方一寸重七两石方一寸重六两今有石立方
三寸中有玉并重十一斤问玉石重各几何答曰玉一
十四寸重六斤二两石一十三寸重四斤一十四两
术曰假令皆玉多十三两令之皆石不足一十四两不
足为玉多为石各以一寸之重乘之得玉石之积重
　立方三寸是一面之方计积二十七寸玉方一寸重
　七两石方一寸重六两是为玉石重差一两假令皆
　玉合有一百八十九两课于一十一斤有馀一十三

　两(案此下原本衍/故谓二字今删)玉重而石轻故有此多即二十七
　寸之中有十三寸寸损一两则以为石重故言多为
　石言多之数出于石以为玉假令皆石合有一百六
　十二两课于十一斤少十四两故曰不足此不足即
　以重为轻故令减少数于石重即二十七寸之中有
　十四寸寸增一两也(案此句有脱文当云寸/增一两则以为玉重也)
今有善田一亩价三百恶田七亩价五百今并买一顷
价钱一万问善恶田各几何答曰善田一十二亩半恶

田八十七亩半
术曰假令善田二十亩恶田八十亩多一千七百一十
四钱七分钱之二令之善田一十亩恶田九十亩不足
五百七十一钱七分钱之三
　按善田二十亩直钱六千恶田八十亩直钱五千七
　百一十四七分钱之二课于一万是多一千七百一
　十四七分钱之二令之善田十亩直钱三千恶田九
　十亩直钱六千四百二十八七分钱之四课于一万

　是为不足五百七十一七分钱之三以盈不足术求
　之也
今有黄金九枚白银一十一枚称之重适等交易其一
金轻十三两问金银一枚各重几何答曰金重二斤三
两一十八铢银重一斤一十三两六铢
术曰假令黄金三斤白银二斤一十一分斤之五不足
四十九于右行令之黄金二斤白银一斤一十一分斤
之七多一十五于左行以分母各乘其行内之数以盈

不足维乘所出率并以为实并盈不足为法实如法得
黄金重分母乘法以除得银重约之得分也
　按此术假令黄金九白银一十一俱重二十七斤金
　九约之得三斤银一十一约之得二斤一十一分斤
　之五各为金银一枚重数就金重二十七斤之中减
　一金之重以益银银重二十七斤之中减一银之重
　以益金则金重二十六斤一十一分斤之五银重二
　十七斤一十一分斤之六以少减多则金轻一十七

　两一十一分两之五课于一十三两多四两一十一
　分两之五通分内子言之是为不足四十九又令之
　黄金九一枚重二斤九枚重一十八斤白银一十一
　亦合重一十八斤也乃以一十一除之得一枚一斤
　一十一分斤之七为银一枚之重数今就金重一十
　八斤之中减一枚金以益银复减一枚银以益金则
　金重一十七斤一十一分斤之七银重一十八斤一
　十一分斤之四以少减多即金轻一十一分斤之八

　课于一十三两少一两一十一分两之四通分内子
　言之是为多一十五以盈不足为之如法得金重(案/此)
　(二句有脱误当云以盈不/足术求之实如法得金重)以除者为银两分母故同
　之(案此二句亦脱误当云分母/乘法以除者谓银两分母同)须通法而后乃除得
　银重馀皆约之者术省故也
今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里良马
初日行一百九十三里日增一十三里驽马初日行九
十七里日减半里良马先至齐复还迎驽马问几何日

相逢及各行几何答曰一十五日一百九十一分日之
一百三十五而相逢良马行四千五百三十四里一百
九十一分里之四十六驽马行一千四百六十五里一
百九十一分里之一百四十五
术曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日
多一百四十里以盈不足维乘假令之数并而为实并
盈不足为法实如法而一得日数不尽者以等数除之
而命分(案以盈不足维乘至此原本讹入注内今据前/术体例改正又此下仍有脱文当云求二马各)

(行里数以十五日初末之行并而半之十五乘之又以/后一日之定行乘日分子日分母为法得一各加于前)
(破半里为半/法以入残分)
　求良马行者十四乘益疾里数而半之加良马初日
　之行里数(案此下有脱文当云以乘十五日得十五/日之凡行又以十五日乘益疾里数加良)
　(马初日/之行)以乘日分子如日分母而一所得前良马凡
　行里数即得其不尽而命分(案此二句有舛误当云/所得及其不尽而命分)
　(加于前良马凡/行里数即得)求驽马行者以十四乘半里又半之
　以减驽马初日之行里数以乘十五日之凡行(案又/半之)

　(至此有讹脱当云以减驽马初日之行里数馀以并/初日之行又半之乘十五日得驽马十五日之凡行)
　又以十五日乘半里以减驽马初日之行馀以乘日
　分子如日分母而一所得加前里即驽马定行里数
　其奇半里者为半法以半法增残分即得其不尽者
　而命分按令十五日不足三百三十七里半者据良
　马十五日凡行四千二百六十里除先去齐三千里
　定还迎驽马一千二百六十里驽马十五日凡行一
　千四百二里半并良马二马所行得二千六百六十

　二里半课于三千里少三百三十七里半故曰不足
　令之十六日多一百四十里者据良马十六日凡行
　四千六百四十八里先除去齐三千里定还迎驽马
　一千六百四十八里驽马十六日凡行一千四百九
　十二里并良驽二马所行得三千一百四十里课于
　三千里馀有一百四十里故谓之多也以盈不足之
　(案此五字脱误不可通当云以盈不足维/乘假令之数并而为实并盈不足为法)实如法而
　一得日数者即设差不盈不朒之正数以二马初日

　所行里乘十五日为一十五日平行数求初末益疾
　减迟之数者并一与十四以十四乘而半之为中平
　之积(案此下原本有减益疾/之数五字系衍文今删)又令益疾减迟里数乘
　之各为减益之中平里故各减益平行数得一十五
　日定行里若求后一日以十六日之定行里数乘日
　分子如日分母而一各得日分子之定行里数故各　并十五日定行里即得其驽马奇半里者法为全里
　之分故破半里为半法以增残分即合所问也

今有人持钱之蜀贾利十三初返归一万四千次返归
一万三千次返归一万二千次返归一万一千后返归
一万凡五返归钱本利俱尽问本持钱及利各几何答
曰本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三
分钱之八万四千八百七十六利二万九千五百三十
一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六
千四百一十七
术曰假令本钱三万不足一千七百三十八钱半令之

四万多三万五千三百九十钱八分
　按假令本钱三万并利为三万九千除初返归留馀
　加利为三万二千五百除二返归留馀又加利为二
　万五千三百五十除第三返归留馀又加利为一万
　七千三百五十五除第四返归留馀又加利为八千
　二百六十一钱半除第五返归留合一万钱不足一
　千七百三十八钱半若使本钱四万并利为五万二
　千除初返归留馀加利为四万九千四百除第二返

　归留馀又加利为四万七千三百二十除第三返归
　留馀又加利为四万五千九百一十六除第四返归
　留馀又加利为四万五千三百九十钱八分除第五
　返归留合一万馀三万五千三百九十钱八分故曰
　多
　又术置后返归一万以十乘之十三而一即后所持
　之本加一万一千又以十乘之十三而一即第四返
　之本加一万二千又以十乘之十三而一即第三返

　之本加一万三千又十乘之十三而一即第二返之
　本加一万四千又以十乘之十三而一即初持之本
　并五返之钱以减之即利也
今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺小鼠亦日一尺
大鼠日自倍小鼠日自半问几何日相逢各穿几何答
曰二日一十七分日之二大鼠穿三尺四寸十七分寸
之一十二小鼠穿一尺五寸十七分寸之五
术曰假令二日不足五寸令之三日有馀三尺七寸半

　大鼠日倍二日合穿三尺小鼠日自半合穿一尺五
　寸并大鼠所穿合四尺五寸课于垣厚五尺是为不
　足五寸令之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七
　寸半并之以减垣厚五尺有馀三尺七寸半以盈不
　足术求之即得以后一日所穿(案原本讹作/求今改正)乘日分
　子如日分母而一即各得日分子之中所穿故各增
　二日定穿即合所问也
　九章算术卷七