钦定四库全书
　九章算术卷四　　　　　晋　刘　徽　注
　　　　　　　　　　　　唐　李淳风　注释
少广以御积幂方圆
　淳风等按一亩之田广一步长二百四十步今欲截
　取其从少以益其广故曰少广
术曰置全步反分母子以最下分母遍乘诸分子及全
步

　淳风等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者
　齐其子也
各以其母除其子置之子左命通分者又以分母遍乘
诸分子反已通者皆通而同之并之为法
　淳风等按诸子悉通故可并之为法亦宜用合分术
　列数尤多若用乘则算数至繁故别置此术从省约
置所求步数以全步积分乘之为实实如法而一得从
步(案此句实如法之上原水以刘几总注列入求注又/误截为三中间法有分者至子如母而一凡三十五)

(字讹作正攴语意遂/横隔不句通今改正)
　此以田广为法以亩积步为实(案此十二字原本截/作置所求步数以全)
　(步积分乘之为实下注又今考其文意乃刘注总解/田广求从之术定以田广为广以亩积步为实非专)
　(释二/语也)法有分者当同其母齐其子以同乘法实而使
　齐子法今以分母乘全步及子子如母而一(案此三/十五字)
　(原本讹作正文今改正考注有分者言田广既有分/母子须令母同子齐也以同乘法实言母相乘为同)
　(既以子来法通其子母又必以之乘实则实齐子法/也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云)
　(以孜下分母偏乘诸分子及/全步也以其母除其子也)并以并全法则法实俱

　长意亦等也故如法而一得从步数(案此二十三字/原本截作上文)
　(法有分者已下之注今考并以并全法即此文所云/并之为法也则法宝俱长意亦等也承土法既以分)
　(母通之而长亩积步为实者亦以通之而长实与法/方相等此二句始专释置所求步数以余步积分乘)
　(之为实二语前后文意相贯自中间/讹作正立截首尾而三遂不可通)
今有田广一步半求田一亩间从几何答曰一百六十
步
术曰下有半是二分之一以一为二半为一并之得三
为法置田二百四十步亦以一为二乘之为实实如法

得从步
今有田广一步半三分步之一求田一亩问从几何答
曰一百三十步一十一分步之一十
术曰下有三分以一为六半为三三分之一为二并之
得一十一为法置田二百四十步亦以一为六乘之为
实实如法得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一求田一亩
问从几何答曰一百一十五步五分步之一

术曰下有四分以为一十二半为六三分之一为四四
分之一为二并之得二十五以为法置田二百四十步
亦以一为一十二乘之为实实如法而一得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一求田一亩问从几何答曰一百五步一百三十七分
步之一十五
术曰下有五分以一为六十半为三十三分之一为二
十四分之一为一十五五分之一为一十二并之得一

百三十七以为法置田二百四十步亦以一为六十乘
之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一求田一亩问从几何答曰九十七步四
十九分步之四十七
术曰下有六分以一为一百二十半为六十三分之一
为四十四分之一为三十五分之一为二十四六分之
一为二十并之得二百九十四以为法置田二百四十

步亦一为一百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一求田一亩问从几何答曰
九十二步一百二十一分步之六十八
术曰下有七分以一为四百二十半为二百一十三分
之一为一百四十四分之一为一百五五分之一为八
十四六分之一为七十七分之一为六十并之得一千
八十九以为法置田二百四十步亦以一为四百二十

乘之为实实如法得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一求田一亩问
从几何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十
二
术曰下有八分以一为八百四十半为四百二十三分
之一为二百八十四分之一为二百一十五分之一为
一百六十八六分之一为一百四十七分之一为一百

二十八分之一为一百五并之得二千二百八十三以
为法置四二百四十步亦以一为八百四十乘之为实
实如法得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
求田一亩问从几何答曰八十四步七千一百二十九
分步之五千九百六十四
术曰下有九分以一为二千五百二十半为一千二百

六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十五
分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一为
三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二百
八十并之得七千一百二十九以为法置四二百四十
步亦以一为二千五百二十乘之为实实如法得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
十分步之一求田一亩问从几何答曰八十一步七千

三百八十一分步之六千九百三十九
术曰下有一十分以一为二千五百二十半为一千二
百六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十
五分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一
为三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二
百八十十分之一为二百五十二并之得七千三百八
十一以为法置田二百四十步亦以一为二千五百二
十乘之为实实如法得从步

今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
十分步之一十一分步之一求田一亩问从几何答曰
七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六
百三十一
术曰下有一十一分以一为二万七千七百二十半为
一万三千八百六十三分之一为九千二百四十四分
之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四

六分之一为四千六百二十七分之一为三千九百六
十八分之一为三千四百六十五九分之一为三千八
十一十分之一为二千七百七十二十一分之一为二
千五百二十并之得八万三千七百一十一以为

法置
田二百四十步亦以一为二万七千七百二十乘之为
实实如法得从步
今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一

十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一亩
问从几何答曰七十七步八万六千二十一分步之二
万九千一百八十三
术曰下有一十二分以一万八万三千一百六十半为
四万一千五百八十三分之一为二万七千七百二十
四分之一为二万七百九十五分之一为一万六千六
百三十二六分之一为一万三千八百六十七分之一
为一万一千八百八十八分之一为一万三百九十五

九分之一为九千二百四十一十分之一为八千三百
一十六十一分之一为七千五百六十十二分之一为
六千九百三十并之得二十五万八千六十三以为法
置田二百四十步亦以一为八万三千一百六十乘之
为实实如法得从步
　淳风等按凡为术之意约省为善宜云下有一十二
　分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百
　六十三分之一为九千二百四十四分之一为六千

　九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一
　为四千六百二十七分之一为三千九百六十八分
　之一为三千四百六十五九分之一为三千八十十
　分之一为二千七百七十二十一分之一为二千五
　百二十十二分之一为二千三百一十并之得八万
　六千二十一以为法置田二百四十步亦以一为二
　万七千七百二十乘之以为实实如法得从步其术
　亦得如不繁也

今有积五万五千二百二十五步问为方几何答曰二
百三十五步
今有积二万五千二百八十二步问为方几何答曰一
百五十九步
今有积七万一千八百二十四步问为方几何答曰二
百六十八步
今有积五十六万四千七百五十二步四分步之一问
为方几何答曰七百五十一步半

今有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步
问为方几何答曰六万三千二十五步
开方
　求方幂之一面也
术曰置积为实借一算步之超一位
　言百之面十也言万之面百也
议所得以一乘所借一算为法而以除
　先得黄甲之而上下相命是自乘而除也(案注而有/黄甲黄乙)

　(朱青幂之文则知旧有图/而缺今补斗方图附于后)
除已倍法为定法
　倍之者豫张两面求幂定袤以待复除故曰定法
其复除折法而下
　欲除朱幂者本当副置所得成方倍之为定法以折
　议乘而以除如是当复步之而止乃得相命故使就
　上折下
复置借算步之如初以复议一乘之

　欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也
所得副以加定法以除以所得副从定法
　冉以黄乙之面加定法是则张两青幂之袤
复除折下如前若开之不尽者为不可开当以面命之
　术或有以借算加定法而命分者虽粗相近不可用
　也凡开积为方方之自乘当还复有积分令不加借
　算而命分则常微少其加借算而命分则又微多其
　数不可得而定故惟以面命之为不朱耳譬犹以三

　除十以其馀为三分之一而复其数可以举不以面
　命之加定法如前求其微数微数无名者以为分子
　其一退以十为母其冉退以百为母退之弥下其分
　弥细则朱幂虽有所乘之数不足言之也
若实有分者通分内子为定实乃开之讫开其母报除
　淳风等按分母可开者并通之积先合二母既开之
　后一母尚存故开分母求一母为法以报除也
若母不可开者又以母冉乘定实乃开之讫令如母而

一
　淳风等按分母不可开者本一母也又以母乘之乃
　合二母既开之后亦一母存焉故令如母而一得全
　面也
　又按此术开方者求方幂之一面也借一算者假借
　一算空有列位之名而无除积之实方隅得面是故
　借算列之于下也步之超一位者方十自乘其积有
　百方百自乘其积有万故超位至百而言十至万而

　言百也议所得以一乘所借一算为法而以除者先
　得黄甲之面以方为积者两相乘故开方除之还令
　呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法为定法
　者实积未尽当复更除故豫张两面朱幂定袤以待
　复除故曰定法也其复除折法而下者欲除朱幂本
　当副置所得成方倍之为定法以折议乘之而以除
　如是当复步之而止乃得相命故使就上折之而下
　也复置借算步之如初以复议一乘之所得副以加

　定法以除之欲除朱幂之角黄乙之幂以所得副从
　定法者再以黄乙之幂加定法是则张两青幂之袤
　故如前开之即合所问

今有积一千五百一十八步四分步之二问为圆周几
何答曰一百三十五步
　于徽术当周一百三十八步一十分步之一
　淳风等按此依密率为周一百三十八步五十分步
　之九
今有积三百步问为圆周几何答曰六十步
　于徽术当周六十一步五十分步之十九
　淳风等按依密率为周六十一步一百分步之四十

　一
术曰置积步数以十二乘之以开方除之即得周
　此术以周三径一为率与旧圆田术相反覆也于徽
　术以三百一十四乘积如二十五而一所得开方除
　之即周也开方除之即径是为据见幂以求周犹失
　之于微少其以二百乘积一百五十七而一开方除
　之即径犹失之于微多
　淳风等按此注于徽术求周之法其中不用开方除

　之即径六字今木有者衍剩也依密率八十八乘之
　七而一按周三径一之率假令周三径二半周半径
　相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等数除得幂
　一周之数十二也其积本周自乘合以二乘之十二
　而一得积三也术为一乘不长故以十二而一得此
　积今还原置此积三以方二乘之者复其本周自乘
　之数凡物自乘开方除之复其本数故开方除之耶
　周

今有积一百八十六万八百六十七尺
　此尺谓立方尺也凡物有高深深而言积者曰立方
问为立方几何答曰一百二十三尺
今有积一千九百五十三尺八分尺之一问为立方几
何答曰一十二尺半今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百
四十七问为立方几何答曰三十九尺八分尺之七
今有积一百九十三万七千五百四十一尺三十七分

尺之一十七问为立方几何答曰一百二十四尺太半
尺
开立方
　立方适等求其一面也
术曰置积为实借一算步之超二位
　言千之面十言百万之面百
议所得以冉乘所借一算为法而以除
　冉乘者亦求为方幂以上议命而除之则立方等也

除已三之为定法
　为当复除故豫张三面已定方幂为定法也
复除折而下
　复除者三面方幂已皆自乘之数须得折议定其厚
　薄耳开平幂者方百之面十开立幂者方千之面十
　据定法也有成方之幂故复除当以千为百折下一
　等也
以三乘所得数置中行

　设三廉之定长
复借一算置下行
　欲以为隅方立方等未有定数且置一算定其位
步之中超一下超二位
　上方法长自乘而折中廉法但有长故除一等下隅
　法无面长故又降一等也
复置议以一乘中
　为三廉借幂也

冉乘下
　令隅自乘为方幂也
皆副以加定法以定法除
　三面三廉一隅皆已有幂以上议命之而除去三袤
　之厚也
除已倍下并中从定法
　凡冉以中三以下加定法者三廉各当以两面之幂
　连于两方之面一隅连于三廉之端(案原本脱两方/之面一隅连于)

　(凡八字今据李淳风/注释所举此文补入)以待复除也言不尽意解此要
　当以棋乃得明耳
复除折下如前开之不尽者亦为不可开
　术亦有以定法命分者不如故幂开方以微数为分
　也
若积有分者通分内子为定实定实乃开之托开其母
以报除
　淳风等按分母可开者并通之积先合三母既开之

　后一母尚存故开分母求一母为法以报除也
若母不可开者又以母冉乘定实乃开之讫令如母而
一
　淳风等按分母不可开者本一母也又以母再乘之
　今合三母既开之后一母犹存故令如母而一得全
　面也
　又按开立方者立方适等求其一面之数也借一算
　步之超二位者立方求积方再自乘就积开之故超

　二位言千之面十言百万之面百也议所得以再乘
　所借一算为法而以除者求为方幂以议命之而除
　则立方等也除已三之为定法者为积米尽当复更
　除故豫张三面已定方幂为定法也复除折而下者
　三面方幂皆已有自乘之数须得折议定其厚薄据
　开平方百之面十其开立方则千之面十而定法已
　有成方之幂故复除之当以千为百折下一等也以
　三乘所得数置中行者设三廉之定长也复借一算

　置下行者欲以为隅方立方等未有数且置一算定
　其位也步之中超一下超二者上方法长自乘而一
　折中廉法但有长故降一等下隅法无面长故又降
　一等也复置议以一乘中者为三廉借幂也再乘下
　者当令隅自乘为方幂也皆副以加定法以定法除
　者三面三廉一隅皆已有幂以上议命之而除去三
　袤之厚也除已倍下并中从定法者三廉各当以两
　面之幂连于两方之面一隅连于三廉之端以待复

　除也其开之不尽者折下如前开方即合所问有分
　者通分纳子开之讫开其母以报除可开者并适之
　积先令三母既开之后一母尚存故开分母者求一
　母为法以报除若母不可开者又以母冉乘定实乃
　开之讫令如母而一分母不可开者本一母又以母
　冉乘今合三母既开之后亦一母尚存故令如母而
　一得全面也
今有积四千五百尺

　亦谓立方之尺也
问为立圆径几何答曰二十尺
　淳风等按依密率立圆径二十八尺计积四千一百
　九十尺二十一分尺之一十
今有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万
七千五百尺问为立圆径几何答曰一万四千三百尺
　淳风等按依密率为径一万四千六百四十三尺四
　分尺之三

术曰置积尺数以十六乘之九而一所得开立方除之
即圆径
　立圆即丸也为术者盖依周三径一之率令圆幂居
　方幂四分之三圆囷居立方亦四分之三更令圆囷
　为方率十二为丸率九凡居圆囷又四分之三也置
　四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六
　分之九也故以十六乘积九而一得立方之积丸径
　与立方等故开立方而除得径也然此意非也何以

　验之取立方棋八枚皆令立方一寸积之为立方二
　寸规之为圆囷径二寸高二寸又复横因之(案此句/有舛误)
　(后李淳风注释亦以立方棋为喻有/从规横规之语此当云又复横规之)则其形有似牟
　合方盖矣八棋皆然似阳马圆然也按合盖者方率
　也丸居其中即圆率也推此言之谓夫圆囷为方率
　岂不阙哉以周三径一为圆率则圆幂伤少令圆囷
　为方率则九积伤多互相通补是以九与十六之率
　偶与实相近而丸犹伤多耳观立方之内合盖之外

　虽哀杀有渐而多少不掩判合总结方圆相缠浓纤
　诡互不可等正欲陋形措意惧失正理敢不关疑以
　俟能言者
　黄金方寸重十六两金丸径寸重九两率生于此未
　曾验也周官考工记㮚氏为量改煎金锡则不耗不
　耗然后权之权之然后准之准之然后量之言鍊金
　使极精而后分之则可以为率也命丸径自乘三而
　一开方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺

　五尺为句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以为
　股幂谓平面方五尺之弦也以此弦幂为股亦以五
　尺为句并句股幂得七十五尺是为大弦幂开方除
　之则大弦可知也大弦即中立方之长邪邪即丸径
　故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一也
　今大弦还乘其幂即丸外立方之积也大弦幂开之
　不尽令囷幂七十五(案七十五即大弦幂是为外立/方一面自乘之幂非囷幂也囷)
　(幂当是具/幂之误)冉自乘之为面命得外立方积四十二万

　一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又
　以方乘之得积一百二十五尺一百二十五尺自乘
　为面句得积一万五千六百二十五尺之面(案句字/误彼上)
　(云命得外立方积之面此乃命/得中立方积之面也句当作命)皆以六百二十五约
　之外立方积六百七十五尺之面中立方积二十五
　尺之面也
　张衡算又谓立方为质立圆为浑衡言质之与中外
　之浑六百七十五尺之面开方除之不足一谓外质

　积二十六也内浑二十五之面谓积五尺也今徽令
　质言中浑浑又言质则二质相与之率犹衡二浑相
　与之率也衡盖亦先二质之率推以言浑之率也衡
　又言质六十四之面浑二十五之面质复言浑谓居
　质八分之五也又云方八之面圆(案此下有脱文据/前言丸居圆图四)
　(分之三此当作方八之面圆六之面故断之云图浑/相推知其复以圆图为方率浑为圆率脱六之而三)
　(字/)圆浑相推知其复以圆囷为方率浑为圆率也失
　之远矣衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾

　疏密矣虽有文辞斯乱道破义病也置外质积二十
　六以九乘之十六而一得积十四尺八分之五即质
　中之浑也以分母乘全内子得一百一十七又置内
　质积五以分母乘之得四十是谓质居浑一百一十
　七分之四十(案此言浑圆内所客之立/方是谓质当作是内质)而浑率犹为
　伤多也假令方二尺方四面并得八尺也谓之方周
　其中令圆径与方等亦二尺也丸半径以乘圆周之
　半即圆幂也半方以乘方周之半即方幂也然则方

　周知方幂之率也圆周知圆幂之率也按如衡术方
　周率八之面圆周率五之面也令方周六十四又之
　面则圆周四十尺之面也又令径二尺自乘得径四
　尺之面(案上言张衡术立方内容五圆者止圆积居/立方积八分之五以此通之立间外非周之)
　(幂亦居立方外六面之幂八分之五故设立方幂六/七四尺则立圆幂四十尺也此言又令径二尺白乘)
　(得径四尺之而二语无从得其解据下云是为圆周/率十二之面而径率一之面也谓周自乘得十二耆)
　(径自乘得一置十二开方除之得圆周三四六四三/五弱由此言之衡所定平方与平圆周径之率古周)
　(四其面一内容圆之周三四六四三五弱其径亦一/刘徽所定方圆周径之率则方周四圆周三一四一)

　(六其径一故下言衡增周人多过其实然则当云又/令径一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言径)
　(二尺自乘得径四尺之而或传写舛/误校是书者又有窜改遂致不可通)是为圆周率十
　二之面而径率一之面也衡亦以周三径一之率为
　非是故更著此法然僧周太多过其实矣
　淳风等按祖一之谓刘徽张衡二人皆以圆囷为方
　率丸为圆率乃设新法祖暅之开立圆术曰以二乘
　积(案此句有脱误据淳风中明祖暅之所定立圆术/以径冉司乘十一乘之二十一而一得圆积反是)
　(以求径当云以二十一乘积十一而一盖立圆积约/居同径之立方积二十一分之十一也君以二乘积)

　(则立圆居立方之半疏谬甚矣复云今欲求其本/清故二十一乘之十一而一正承此申明其说)开
　立方除之即立□径其意何也取立方棋一枚令立
　枢子左后之下隅从规去其右上之廉又合而横规
　之去其前上之廉(案此下有脱文据上去立相于左/后之下隅则其隅正与右前之上)
　(隅相对成内外而外之廉皆连于右前之上隔一为/右上之廉一为前上之廉一为右前之廉三廉皆当)
　(规去方是外棋三内慕一不得仅言/规去二廉也疑脱及右前之廉五字)于是立方之慕
　分而为四规内棋一谓之内棋规外棋三谓之外棋
　规(案上言规内棋一规外棋三以内棋列/棋称之此规字不得连上句当是衍文)更合四棋

　复横断之以句股言之令馀高为句内棋断上方为
　股本方之数其弦句股之法以句幂减弦幂则馀为
　股幂若令馀高自乘减本方之幂馀即内减其断上
　方之幂也本方之幂即外四棋之断上幂然则馀高
　自乘即外三棋之断上幂矣不问卑势加然也(案此/句舛)
　(误不可通反上文借立方棋以论立圆而所言/一及句脱并与乎幂不足见圆术当行脱误)然固
　有所归同而途殊者耳而乃控远以演类借况以析
　微按阳马方高数参等者列而立之横截去上则高

　自乘与断上幂数亦等马夫叠棋成立积缘幂势既
　同则积不容异由此观之规之外三棋旁蹙为一即
　一阳马也三分立方则阳马居一内棋居二可知矣
　合八小方成一大方合八内棋成一合盖内棋居小
　方三分之二则合盖居立方亦三分之二较然验矣
　置三分之二以圆幂率三率之如方幂率四而一约
　而定之以为九率故曰九居立方三分之一也(案此/句舛)
　(误据上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居/立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圆术其)

　(率乃丸居立方二十一分之十一下云圆径冉自乘/十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏)
　(术不隅矣又祖氏方幂率下四圆幂率十一亦不得/用方幂四圆幂三之疏率以解祖氏说自祖暅之开)
　(立方圆术曰至此似因传写既讹后又妄亦一改遂/不可通今考立方与圆圈犹之平方与平圆也其率)
　(亦立方积十四圆囷积十一而丸居圆囷三分之二/与十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子)
　(乘分子得二十一是为丸居立方四十二分之二十/二即二十二分之十一也祖氏求圆囷立圆平图三)
　(法本系/贯为一)等数既密心亦昭晰张衡仿旧贻哂于后刘
　徽循故未暇校新夫岂难哉柳未之思也依率立此
　圆积本以圆径冉自乘十一乘之二十一而一约此

　积今欲求其本积故二十一乘之十一而一凡物冉
　自乘开立方除之复其本数故立方除之即丸径也
　
　
　
　
　
　九章算术卷四