钦定四库全书

　　明史卷三十二

　　大学士张廷玉等奉　敕修

　　志第八

　　历二

　　大统历法一上(法原)

　　造历者各有本原史宜备录使后世有以考如太初之
起数钟律大衍之造端蓍策皆详本志授时历以测验

算术为宗惟求合天不牵合律吕卦爻然其法之所以
立数之所从出以及晷影星度皆有全书郭守敬齐履
谦傅中有书名可考元史漫无采摭仅存李谦之议录
历经之初稿其后改三应率及立成之数与夫割圆弧
矢之法平立定三差之原尽削不载使作者精意湮没
识者憾焉今据大统历通轨及历草诸书稍为编次首
法原次立成次推步而法原之目七曰句股测望曰弧
矢割圆曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰

日月五星平立定三差曰里差刻漏

　　句股测望

　　北京立四丈表冬至日午正测得景长七丈九尺八寸
五分随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六
分半为半弧背　求得矢度五度九十一分半　置周
天半径截矢馀五十四度九十六分为股乃本地去戴
日下之度　以弦股别句术求得句二十六度一十七
分六十六秒为日出地半弧弦

　　北京立四丈表夏至日午正测得景长一丈一尺七寸
一分随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六
分半为半弧背　求得矢度四十三度七十四分少
置周天半径截矢馀一十七度一十三分二十五秒为
句乃本地去戴日下之度　以句弦别股术求得股五
十八度四十五分半为日出地半弧弦

　　以二至日度相并得一百度七十三度折半得五十度
三十六分半为北京赤道出地度　以赤道出地度转

减周天四之一馀四十度九十四分九十三秒七十五
微为北京北极出地度

　　弧矢割圆

　　周天径一百二十一度七十五分少(少不用)　半径六十
○度八十七分半(又为黄赤道大弦)　二至黄赤道内外半弧
背二十四度(所测就整)　二至黄赤道弧矢四度八十四分
八十二秒　黄赤道大句二十三度八十分七十秒
黄赤道大股五十六度○二分六十八秒(半径内减去矢度之数)

割圆求矢术　置半弧背度自之为半弧背羃周天径
自之为上廉　上廉乘半弧背羃为正实　上廉乘径
为益从方　半弧背倍之乘径为下廉　以初商乘上
廉得数以减益从方馀为从方　置初商自之以减下
廉馀以初商乘之为从廉　从方从廉相并为下法
下法乘初商以减正实实不足减改初商实有不尽次
第商除之　倍初商数与次商相并以乘上廉得数以
减益从方馀为从方　并初商次商而自之又以初商

自之并二数以减下廉馀以初商倍数并次商乘之为
从廉　从方从廉相并为下法　下法乘次商以减馀
实而定次商有不尽者如法商之皆以商得数为矢度
之数(黄赤道同用)

　　如以半弧背一度求矢度　术曰置半弧背一度自之
得一度为半弧背羃　置周天径一百二十一度太自
之得一万四千八百二十三度○六分二十五秒为上
廉　上廉乘半弧背羃得一万四千八百二十三度○

六分二五为正实　上廉又乘径得一百八十○万四
千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方
半弧背一度倍之得二度以乘径得二百四十三度五
十分为下廉　初商八十秒　置初商八十秒乘上廉
一万四千八百二十三度○六二五得一百一十八度
五八四五以减益从方一百八十○万四千七百○七
度八五九三七五馀一百八十○万四千五百八十九
度二七四八七五为从方　又置初商八十秒自之得

六十四微以减下廉馀二百四十三度四九九九三六
仍以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八为从
廉　以从廉从方并之共得一百八十○万四千五百
九十一度二二二八七四四八八为下法　下法乘初
商得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九
九五九○四以减正实馀实三百八十六度三十三分
二七一七○○四○九六　次商二秒　置初商八十
秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒

乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得二百四
十○度一三三六一二五以减益从方馀一百八十○
万四千四百六十七度七二五七六二五为从方　又
置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒
自之之数得一秒三十一微以减下廉馀二百四十三
度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三
度九十四分四六九七八七七八为从廉　以从廉从
方并得一百八十○万四千四百七十一度六十七分

○四六○三七七八为下法　下法乘次商得三百六
十○度八九四三三四○九二○七五五六以减馀实
仍馀二十五度四三八三八二九一二○二○四四(不足
一秒弃不用下同)

　　凡求得矢度八十二秒馀度各如上法求到矢度以为
黄赤相求及其内外度之根(数详后)

　　黄赤道差

　　求黄道各度下赤道积度术　置周天半径内减去黄

道矢度馀为黄赤道小弦　置黄赤道小弦以黄赤道
大股乘之(大股见割圆)为实黄赤道大弦(半径)为法实如法而
一为黄赤道小股　置黄道矢自乘为实以周天全径
为法实如法而一为黄道半背弦差　以差去减黄道
积度(即黄道半弧背)馀为黄道半弧弦　置黄道半弧弦自之
为股羃黄赤道小股自之为句羃二羃并之以开平方
法除之为赤道小弦　置黄道半弧弦以周天半径(亦为
赤道大弦)乘之为实以赤道小弦为法而一为赤道半弧弦

　　置黄赤道小股(亦为赤道横小句)以赤道大弦(即半径)乘之为
实以赤道小弦为法而一为赤道横大句以减半径馀
为赤道横弧矢　横弧矢自之为实以全径为法而一
为赤道半背弦差　以差加赤道半弧弦为赤道积度
如黄道半弧背一度求赤道积度　术曰置半径六十
○度八十七分五十秒(即黄赤道大弦)内减黄道矢八十二秒
馀六十○度八六六八为黄赤道小弦　置黄赤道小
弦以黄赤道大股五十六度○二六八乘之得三千四

百一十○度一七二○三○二四为实以黄赤道大弦
六十○度八七五为法实如法而一得五十六度○一
分九十二秒为黄赤道小股(又为赤道小句)　置矢度八十二
秒自之得六十七微以全径一百二十一度七五为法
除之得五十五纤为黄道半背弦差　置黄道半弧背
一度内减黄道半背弦差馀为半弧弦因差在微以下
不减即用一度为半弧弦　置黄道半弧弦一度自之
得一度为股羃黄赤道小股五十六度○一九二自之

得三千一百三十八度一五○七六八六四为句羃二
羃并得三千一百三十九度一五○七六八六四为弦
实平方开之得五十六度○二八一为赤道小弦　置
黄道半弧弦一度以半径(即赤道大弦)乘之得六十○度八
七五为实以赤道小弦五十六度○二八一为法除之
得一度○八分六十五秒为赤道半弧弦　置黄赤道
小股五十六度○一九二(又为赤道小句)以赤道大弦(半径)六十
○度八七五乘之得三千四百一十○度一六八八为

实以赤道小弦为法除之得六十○度八十六分五十
三秒为赤道横大句　置半径六十○度八十七分五
十秒内减赤道大句六十○度八十六分五十三秒馀
九十七秒为赤道横弧矢　置赤道横弧矢九十七秒
自之得九十四微○九以全径为法除之得七十七纤
为赤道背弦差　置赤道半弧弦一度○八分六十五
秒加赤道背弦差为赤道积度今差在微已下不加即
用半弧弦为积度

　　凡求得赤道积度一度○八分六十五秒馀度各如上
法求到各黄道度下赤道积度两数相减即得黄赤道
差乃至后之率其分后以赤道度求黄道反此求之其
数并同

　　黄赤道相求弧矢诸率立成上

　　黄赤相求弧矢诸率立成下
　　道积皮　赤道半弧弦　赤道矢度　道积度　度率　黄赤道差

　　按郭守敬创法五端内一曰黄赤道差此其根率也
旧法以一百一度相减相乘授时立术以句股弧矢
方圆斜直所容求其差数合于浑象之理视古为密
顾至元历经所载甚略又误以黄道矢度为积差黄
道矢差为差率今正之

　　凡浑圆中剖则成平圆任割

　　平圆之一分成弧矢形皆有

　　弧背有弧弦有矢剖弧矢形

　　而半之则有半弧背有半弧

　　弦有矢因弦矢生句股形以

　　半弧弦为句矢减半径之馀

　　为股半径为弦句股内成小

　　句股则有小句小股小弦而

　　大小可互求平侧可互用浑

　　圆之理斯为密近

　　平者为赤道斜者为黄道因

　　二至黄赤之距生大句

　　股因各度黄赤之距生小

　　句股

　　外大圆为赤道从北极平

　　视则黄道在赤道内有赤

　　道各度即各有其半弧弦

　　以生大句股又各有其相

　　当之黄道半弧弦以生小

　　句股此二者皆可互求

　　按旧史无图然表亦图之属也今句股割圆弧矢之
法实为历家测算之本非图不明因存其要者数端

　　黄赤道内外度

　　推黄道各度距赤道内外及去极远近术　置半径内
减去赤道小弦馀为赤道二弦差(又为黄赤道小弧矢又为内外矢又为股
弦差)　置半径内减去黄道矢度馀为黄赤道小弦以二
至黄赤道内外半弧弦乘之为实以黄赤道大弦为法
(即半径)除之为黄赤道小弧弦(即黄赤道内外半弧弦又为黄赤道小句)　置

　　黄赤道小弧矢自之(即赤道二弦差)以全径除之为半背弦差以差
加黄赤道小弧矢为黄赤道小弧半背即黄赤道内外
度　置黄赤道内外度视在盈初缩末限以加在缩初
盈末限以减皆加减象限度即各得太阳去北极度分
如冬至后四十四度求太阳去赤道内外及去极度
术曰置半径六十○度八十七分半内减黄道四十四
度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒馀二度
五十一分八十一秒为黄赤道小弧矢(即内外矢)　置半径

六十　度八七五内减黄道四十四度矢一十六度五
十六分八十二秒馀四十四度三十○分六十八秒为
黄赤道小弦　置黄赤道小弦以二至黄赤道内外半
弧弦二十三度七十一分乘之得一千○五十○度五
十一分四二三八为实以黄赤道大弦六十○度八七
五为法除之得一十七度二十五分六十九秒为黄赤
道小弧弦(即内外半弧弦)　置黄赤道小弧矢二度五十一分
八十一秒自之为实以全径一百二十一度七十五分

除之得五分二十一秒为背弦差以差加黄赤道小弧
弦一十七度二十五分六十九秒得一十七度三十○
分八十九秒为二至前后四十四度太阳去赤道内外
度　置象限九十一度三十一分四十三秒七五以内
外度一十七度三○八九加之得一百○八度六十二
分三十二秒七五为冬至后四十四度太阳去北极度
黄道每度去赤道内外及去北极立成

　　白道交周

　　推白赤道正交距黄赤道正交极数　术曰置实测白
道出入黄道内外六度为半弧弦又为大圆弧矢又为
股弦差置半径六十○度八七五自之得三千七百○
五度七六五六二五以矢六度而一得六百一十七度
六十三分为股弦和加矢六度共六百二十三度六十
三分为大圆径依法求得容阔五度七十分又为小句

　　又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句

　　以大句为法除大股五十六度○六分五十秒得二
度三十七分(就整)为度差　以度差乘小句得小股一十
三度四十七分八十二秒为容半长　置半径六十○
度八七五为大弦以乘小句五度七十分为实以大句
二十三度七十一分为法除之得一十四度六十三分
为小弦又为白赤道正交距黄赤道正交半弧弦　依
法求得半弧背一十四度六十六分为白赤道正交距
黄赤道正交极数