李冶〈朱世杰〉 杨恭懿 王恂 郭守敬 齐履谦
李冶
李冶，字仁卿，真定槁城人。本名治，后改今名。登金进士第，辟知钧州事。大兵入钧州，冶北渡河侨寓忻、崞诸州。
世祖在潜邸，闻其紧，遣使召之，且曰：「素闻仁卿学优才赡，潜德不耀，久欲一见，其勿辞。」既至，问亡金居官者孰贤，对曰：「险夷一节，惟完颜仲德。」又问：「合达及布哈何如？」对曰：「二人短于将略，任之不疑，此金所以亡也。」又问魏征、曹彬，对曰：「谠言忠论，唐之诤臣，征为第一。彬伐江南，不妄杀一人，拟之方叔、召虎可也。」又问：「今有如魏征者乎？驿曰：「近世侧媚城风，欲求魏徽之贤，实难其人。」又问人才贤否，对曰：「天下未尝无才，求则得之，舍则失之。如魏璠、王鹗、李献卿、蔺光庭、赵复、郝经、王约等，皆有用之才，又皆王所聘者，举而用之，何所不可。然四海之大，岂上此数子。诚能旁求于外，则人才汇进矣。世祖嘉纳之。
中统元年，复聘之，欲处以清要，以老病，退乞还山。至元二年，召为翰林学士、知制诰同修国史。就职斯月，复以老病辞。
冶精于演算法，著《测圆海镜》十二卷。其自序曰：「数本难穷，吾欲以力强穷之，不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。然则数果不可穷耶！既已名之数矣，则又何为而不可究乎？故谓数为难穷，斯可；谓为不可穷，斯不可。何则？彼冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪幽，而神情鬼状未有不合者矣。予自幼喜算数，恒病考圆之朮乖于自然，如古率、微率、密率之不同，截弧、截矢，截背之互见内外诸角，析剖支条，莫不各自名家。及反覆研究，而卒无以当吾心者。老大以来，得洞渊之朮，日夕玩绎，而向之病我者始爆然落手而无遗。客有从馀求其说者，于是又为衍之，遂累一百七十问。既成纺，客复目之为测圆海镜。昔半山老人集唐百家诗选，自谓废日力于此，良可惜，明道以谢上蔡。记诵为元物丧志，况九九之贱技乎。耆好酸碱，平生每自戒约，竟莫能已。吾亦不知其然而然也。故尝为之解曰：「由技兼乎事者言之，夷之，礼夔之，乐亦不免为一技。由技进乎道者言之，石之斤，之轮，非圣人之所与者乎。览吾之书，其悯我者，当以百数，笑我者，当以千数，乃吾之所得，则自得焉耳，宁秒计人悯笑哉？」又著《益古演段》三卷，以发挥天元如积之朮与《测圆海镜》相表里。冶病且革。语春子克修曰：「吾平生著述可尽燔，独《测圆海镜》虽小朮，吾尝精思致力，后世必有知者，庶可布广垂永乎。」卒年八十有八，谥文正。冶之立天元朮，在算学中为最精。
朱世杰
同时有朱世杰，充类尽义，演为四元，与冶并称绝学。世杰，字汉卿；寓大都，不知何许人。
著《四元玉鉴》三卷，凡二百八十问，列开方演段诸图凡四：一曰今古开方会用之图，二曰四五较自乘演段之图。谓算学精妙，无过演段，前明五和，后辨五较，自知优劣也。次则假令四问。其立天元曰一气混元，天地二元曰两仪象元，天地人三元曰三才运元，天地人物四元曰四象会元。法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上。乘除往来，用假像真，以虚问实，错综正负，分成四式，必以寄之剔之，馀筹易位而和会，以成开方之式焉。又撰《算学启蒙》三卷，自乘除加减以至天元如积总二十门，较《四元玉鉴》为便于初学。世杰书之茭草形段如象招数果垛叠藏诸朮，与郭守敬授时草平立定三差，所谓垛积招差者相通。故祖颐序世杰之书，谓与授时朮相为表里焉。
杨恭懿
杨恭懿，字元甫，奉元高陵人。父天德，金兴定进士，以安化令兼录事及州判官。金章南郊，太常卿孙通样授币而立，御史将劾其不恭，从天德问之，曰：「授坐，不立。」御史惭而止，由是知名。
恭懿博学强记，通《易》、《礼》、《春秋》三经。年二十四，始得朱子集注章句及《太极图说》、小学、《近思录》诸书，叹曰：「人伦日用之常，天道性命之妙，皆萃于此书矣。」许衡至陕西，偿懿敬事之，所造益深。丁父忧，水浆不入口者五日，杖而后起，斥浮屠法不用。衡会葬归，谓问人曰：「杨君居丧尽礼，其功可当于肇修人纪也。」御史王恽荐其贤。
至元七年，与许衡俱被召。恭懿辞。衡拜中书左丞，与丞相安童共事，日誉恭懿贤，安章以闻。十年，帝遣协律郎申敬召之，以疾辞。十一年，容宗教下中书，使如汉聘四皓者以聘恭懿。安童遣郎中张元智致裕宗命，恭懿始至京师。帝遣国王和童劳之，召见，询其先世及师孙本末甚悉。恭懿退而呕血，帝复赐医药。侍讲学士徒单公履请设科取士，诏与恭懿议之。恭懿言：「明诏有云：‘士不治经学、孔孟之道，日为诗赋空文’，此言诚万事治安之本。今欲取士，宜敕有司举有行检、通经史之士，使无投牒自荐，试以五经四书大小义，史论、时务策。夫既从事实学则士风纯民俗厚国家得识治之才矣。」奏入，帝善之。安童咨世务于恭懿，倚以自助，会其北征，恭懿遂乞病归。
十三年，诏修历法。或荐恭懿尝推历，终一甲子，得日月薄食者七十有奇。十六年，召恭懿撰《历议》。十七年，《授时历》成，恭懿与许衡等上之。是日，诸臣方跪读奏，帝命衡与恭懿起曰：「卿二老，毋自劳也。」授集贤学士，兼太史院事。明年，复告归。二十年，召为太子宾客。二十二年，召为昭文馆大学士，领太史院事。二十九年，召议中书省事。皆不行。三十一年卒，年七十，谥文康。
恭懿疾革，门人问之，忽太息曰：「有是哉，国衰矣！」闻者乱以他言。后成宗登极，诏下，则世祖果以是日崩，人以为至诚所格云。子宙，莆城令。
王恂
王恂，字敬甫，中山唐县人。父良，金末为中山府掾，时民遭寇乱，多以诖误系狱，良前后所活数百人。已而弃去吏业，潜心伊洛之学及天文、律历，无不精究，年九十二卒。
恂性颖悟，生三岁，家人示以书，辄识风、丁二宁。母刘氏，授以《千字文》，再过目，即成诵。六岁就学，十三学九数，尽通其法。太保刘秉忠北上，过中山，见而奇之。及南还，从秉忠学于易州之紫金山。
秉忠荐之世祖，召见于六盘山，命辅导裕宗为太子伴读。中统二年，擢太子赞善，时年二十八。三年，裕宗封燕王，守中书令，兼判枢密院事，敕两府大臣，凡有咨禀，必令王恂与闻。初，中书左丞许衡集唐、虞以来嘉言善政，为书以进。世祖尝令恂讲解，且命太子受业焉。又诏恂于太子起居饮食慎为调护，非所宜接之人，勿令得侍左右。恂言：「太子，天下本，付托至重，当延名德与之居处。」帝深然之。
恂早以算朮名，裕宗尝差问焉。恂曰：「算数，六艺之一。定国家，安人民，乃大事也。」每侍左右，必发三纲五常、为学之道及历代治忽兴亡之所以名。又以辽、金之事近接耳目者，论著其得失上之。裕宗问以心之所守，恂曰：「许衡尝言，人心如印板，惟板本不差，则虽摹千万纸皆不差；本既差，则摹之于纸，无不差矣。」诏择勋戚子弟，使学于恂。及恂从裕宗抚军称海，乃以诸生属之许衡，衡告老而去，复命恂领国子祭酒。国学之制，实始于此。 帝以金《大明历》岁久浸疏，欲厘正之，知恂精于算朮，遂以命之。恂荐许衡能明历理，驿召衡赴阙，命领改历事，官属悉听恂辟置。至元十六年，授嘉义大夫、太史令。十七年，历成，赐名《授时历》。
十八年，卒年四十七。初，恂病，裕宗屡遣医诊治，及葬，赙钞二千贯。后帝思治历之功，以钞五十贯赐其家。延佑二年，赐推忠守正功臣、光禄大夫、司徒、上柱国、定国公，谥文肃。
子宽、宾，并从许衡游，得星历之传于家。裕宗尝召见，语之曰：「汝父起于书生，贫无赀蓄。，今赐汝五千贯钞，用尽可复以闻。」因恤之厚如此。宽由保章正，历兵部郎中，知蠡州。宾由保章副，累迁秘书监。
郭守敬
郭守敬，字若思，顺德邢台人。生有异禀，巧思绝人。祖父荣，通算学，飞水利。时刘秉忠、张文谦、张易、王恂同学于易州紫金山，荣使守敬从秉忠受学。
中统三年，文谦荐守敬于世祖。召见，面陈水利六事：一，引中都玉泉水至通州，又于兰榆河口开河，避浮鸡甸之险。二，引顺德达活泉灌田。三，开顺德澧河故道。四，引漳澄三河入澧河灌田。五，引怀孟沁河人御河灌田，六，开黄河引河，由新、旧孟州至温县灌田。世祖叹曰：「任事者如此，人不为素餐矣。」授提举诸路河渠。四年，授银符、河渠副使。
至元元年，从张文谦行省西夏。修中兴路唐来、汉延二渠，凡旧渠之壤废者，皆更立闸堰，以通灌溉，民便之。
二年，授都水少监。守敬言：「京师西麻峪村，分引卢沟水东流，穿西山而出，是为金口，灌溉之利，不可胜言。兵兴以后，典守者以大石塞之。若按故积，使水通流，可以助京畿之漕运。」又言：「当于金口西预开减水口，通大河，防涨水突入之患。」帝善之，而未施行。十二年，丞相伯颜伐宋，议立水站，命守敬按视。守敬自陵州至大名，又自济州至沛县，又南至吕梁，又自东平至纲城，又自东平清河逾旧黄河至御河，自卫州河至东平，自东平西南水泊至御河，乃得汶、泗与御河相通形势，为图奏之。
初，秉忠以《大明历》自辽、金承用二百馀年，浸已后天，议修正之，事未及行而秉忠卒。十三年，宋平，帝思用其言。遂以守敬与王恂率南北日官，分掌测验推步于下，而命文谦与枢密副使张易领之，左丞许衡以通算理，亦命参预其事。守敬以测验由于仪表，作简仪、仰仪、正方案、景符、眺几诸器，测验之精，不爽毫釐。是年，都水监并于工部，守敬除工部郎中。
十六年，改局为太吏院，王恂为太史令，守敬为同知太史院事，赐印，立官署。及奏进仪表式，守敬当世祖前指陈算理，至于日昃，帝听之无倦容。奏请设监侯官二十七所，立表取直测景，从之。自丙子之冬至日测晷景，得丁丑、戊寅、己卯三年冬至加时，减《大明历》十九刻二十分，又增损古岁馀岁差法，上考春秋以来冬至，无不尽合。以月食朮及金水二星距、冬至日躔，校旧历，退七十六分。以日转迟疾中平行度，验月离宿度，加旧历三十刻。以线代管窥测赤道宿度，以四正定气立损益，以定日之盈缩，分二十八限为三百六十六，以定月之迟疾。以赤道变九道定月行，以迟疾转定度分定朔，而不用平行度，以日月实合时刻定晦，而不用虚进法，以距离綧朒定交食，其法视古皆密。又悉去诸历积年日月法之傅会，一本天道自然之数，可以施之永久。
十七年，新历成。守敬与诸臣奏上，赐名《授时历》，颁行天下。
十九年王恂卒。时新历虽颁然推步之式，与立成之数，皆未有定稿。守敬比次编类整齐分秒，为《推步》七卷《立成》二卷，《历议稿》三卷，《乾坤选释》二卷，《上中下三历法式》十二卷。二十年，守敬拜太史令，奏上之。又有《时候笺注》二卷，《修改源流》七卷，《仪象法式》二卷，《晷景考》二十卷。《五星细行考》五十卷，《古今交食考》一卷，《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷《新测无名诸星》一卷，《距离考》一卷，并藏之官。
二十八年，守敬建言引白浮泉水经瓮山泊，自西水门入城，汇于积水潭，复出南水门入旧运粮河，可省通州至大都陆运之费。从之。事具《河渠志》。
三十年，世祖还自上都，过积水潭，见舳胪蔽水，大悦，赐名通惠河，赐守敬钞一万二千五百贯，以旧职兼提调通惠河漕运事。三十一年，拜昭文馆大学士、知太史院事。大德二年，召守敬至上都，议开铁幡竿渠。守敬奏：「山水频年暴下，非大为渠堰，广六七步不可。」执政难之，缩其广三之一。明年大雨，山水下注，渠不能容，漂没人畜卢帐，几犯行宫。成宗谓左右曰：「郭太史神人也，惜其言不用耳。」七年，诏内外官年及七十，并听致仕，独守敬不允。自是翰
林、太史院、司天台官不致仕，著为令。延佑三年卒。
其门人齐履廉谓守敬纯德实学，为世师法，其不可及者有三：一曰水利之学，二曰历数之学，三曰仪象制造之学。许衡尤推服守敬，以为异人云。
史臣曰：「先正阮文达公有言，推步之要，测与算二者而已。郭守敬简仪、仰仪之制，前此言测候者未及也。垛积招差句股弧矢之法，前此言步算者弗知也。测之精，算之密，上考下求，若应准绳，可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。
齐履谦
齐履谦，字伯恒，大名人，父义，通算朮。履谦年十一，教以推步星历之法。
至元十六年，初立太史局，改治新历，履廉补星历生。太史王恂问以算数，履廉随问随答，恂大奇之。新历成，复预修《历经》、《历议》。二十九年，授星历教。都城刻漏，旧以木为之，其形如碑，名碑漏，内设曲筒，铸铜为丸，自碑首转行而下，鸣铙以为节，久坏，晨昏失度。大德元年，中书省使履谦视之，因见刻汛漏旁有宋旧铜壶四，于是按图考定莲花、宝山等漏，命工改作。又请重建鼓楼，增置更鼓，当时遵用之。
二年，迁保章正，始专历官之政。三年八月朔，时加巳，依历，日蚀二分有奇，至其时不蚀，履谦曰：「当蚀不蚀，在古有之，矧时近午，阳盛阴微，宜当蚀不蚀。」遂考唐开元以来当蚀不蚀者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌，依历，日蚀五十七秒。众以涉交既渚，且近浊，欲匿不报。履谦曰：「吾所掌者常数也，其食与否，则系于天。」独以状闻，及其时，果食。众尝争没日不能决，履廉曰：「气本十五日，而间有十六日者，馀分之积也。故历法以所积之日，命为没日，不出本气者是。」众服其议。
七年，上以地震，诏问弭灾之道。履谦按《春秋》言：「地为阴而主静妻道、子道、臣道也三者失其道，则地为之弗宁。大臣当反躬责己，去专制之威，以答天变。」时成宗寝疾，宰相有专威福者，故履谦言及之。九年冬，始立南郊，祀昊天上帝，履谦摄司天台官。旧制，享祀，司天虽掌时刻，无钟鼓更漏，往往至旦始行事。履谦请用钟鼓更漏，俾早晏有节，从之。
至大二年，太常请修社稷坛浚太庙庭中井。或以太岁所直，欲止其役。履谦曰：「国家以四海为家，岁君岂专在是耶！三年，擢授时郎秋官正，兼领冬官正事。四年，仁宗即位，台臣言履谦学行，可教国学子弟，擢国子监丞，改授奉直大夫、国子司业，与吴澄并命，时号得人。未几，复以履谦佥太史院事。
皇庆二年春，彗星出东井。履谦奏宜增修善政以答天意。因陈时务八事。仁宗为之动容，顾宰臣命速行之。延祐元年，复以履谦为国子司业。时初命国子生岁贡六人，以入学生后为次第。履谦曰：「不考其业，何兴善得人。」乃酌旧制，立升斋、积分等法，复季考其学行，以次递升，既升上斋，又必逾再岁，始与私试。孟月、伸月试经疑、经义，季月试古赋诏诰章表策，蒙古色目试明经策问。辞理俱优者一分，辞平里优者为半分，岁终积至八分者充高等，以四十人为额。然后集贤、礼部定其艺业及格者六人以充岁贡。三年不通一经及在学不满一岁者，并黜之。帝从其议。五年，出为滨州知州，丁母忧，不果行。
至治元年，拜太史院使。泰定二年九月，以本官奉使宣抚江西，福建、黜罢官吏贪污者四百馀人，州县有以先贤子孙充房夫诸设者悉遣之。福建宪司职田，每亩岁输米三石，民不胜苦。履谦命准令输之，由是召怨，及还都，宪司果以他事诬之。未几，皆坐事免，履谦始得直，复为太中史院使。天历二年九月卒。
著《大学四传小注》一卷，《中庸章句续解》一卷，《论语言仁通旨》二卷，《书传详说》一卷，《易苘辞旨略》二卷，《易本说》四卷，《春秋诸国统纪》六卷《经世书入式》一卷，《外篇微旨》一卷，《二至晷景考》二卷，《经串演操八法》一卷。
履谦以律本于气，气候之法具载前史，欲择僻地为密室，取金门之竹及河内葭莩以候气，列其事上之。又得黑石古律管一，长尺有八寸，外方，内圆空，中有隔，隔中有小窍，隔上九寸，其空均直，约径三分，以应黄钟之数；隔下九寸，其空自小窍杀至管底，约径二寸馀。其制与律家所说不同。盖古所谓玉律者也。适履谦迁他官，事遂寝，有志者深惜之。至顺三年五月，赠翰林学士、资善大夫、上护军，追封汝南郡公，谥文懿。