钦定四库全书
　九章录要卷六
　　　　　　　　　　　　　松江屠文漪撰
少广法
　古九章四曰少广以御积幂方员
开平方法　平方开除先列实视实有几位(凡实之大/数从千起)
　(者四位从万起者五位盖实尾虽止于十而无以下/小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚)
　(位一定不/可易也)即知须几开而尽(凡经再开者开得平方/大数从十起三开者百)

　(四开者千或实尾一开虚拟而未经开/者即开得数终于十而无以下小数也)率实两位而
　一开逆从实尾向左数之(尾在/右也)至实首则一位亦一
　开也其开之法有三曰方曰廉曰隅(方法亦谓之商/意中商量而定)
　(之也隅即次商三/商而又自有隅法)初开视实首位以起方法实首一
　位开者(一位之实/多不过九)取三及以下数自乘两位开者(两/位)
　(之实少不/下十一)取三及以上数自乘所取以自乘之数初
　商也列实首之左(亦有不列于左而即借实/首位列之者说详于后)自乘所
　得数用以减实是为初开馀实须再开则用廉法廉

　法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右
　即以次商为隅法自乘得数用减实讫(于廉法下一/位减之观后)
　(假例/自明)是为再开自三开以后俱仿此
　(或问廉隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广/其前方则不必四边俱加而但于两边各加一廉其)
　(长如前方之数廉有二故倍之也此未及廉之广以/除实得次商次商乃廉之广数而所加二廉其长各)
　(如前方之数则二廉相会之一角犹缺一小平方其/四边皆与廉之广等故又以次商为隅法而自乘以)
　(足之/也)
　假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位

　此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一
　为初商列甲之左而以一自乘仍得一即于甲位去
　一此初开也再开倍前方一得二(前方是一百倍之/为二百而此且勿)
　(论也但谓之一/谓之二可耳)为廉法以二除乙之五(乙丙两位为/再开之位而)
　(廉法当于乙位除隅/法当于丙位除也)则于乙减四存一于甲空位列
　二为次商而以隅二自乘得四于丙位减之则去乙
　之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得
　二十四(前方一下复有二则且谓之一十二矣/不计其为一百二十也虽更多亦然)为廉

　法先以二除丙之七(丁戊两位为三开之位则廉法/当于丁位除而廉法有二十四)
　(即二当于丙位除/四乃于丁位除也)则于丙减六存一于乙空位列三
　为三商次以四与三相乘得一十二于丙丁两位减
　之(廉之四当于丁位除而与商乘得一十/二即一又当于丙位除矣隅法亦然)则并去丙
　之一丁之二又以隅三自乘得九于戊位减之适尽
　得方一百二十三
　又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊
　己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲

　乙数四十五(甲四乙五并而计之则曰四十/五而不必问其为四十五万也)且取六
　为初商列甲之左而以六自乘得三十六于甲乙两
　位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍
　六得一十二为廉法先以一除乙之九则于乙减七
　存二于甲空位列七为次商(不用实者以八开/之则 不足也)次以
　二与七相乘得一十四于乙丙两位减之则减乙二
　为一丙九为五又以隅七自乘得四十九于丙丁两
　位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍

　六十七得一百三十四为廉法先以一除乙之一(戊/己)
　(两位为三开之位则廉法之一当于丙位除而乙位/当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之盖)
　(乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不/同假使乙位空而丙位有一则以廉一除丙当去丙)
　(之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一/无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳)
　则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又
　减乙九为八为三商而加丙一为二(乙之一丙之十/也试列十于丙)
　(而以廉一除之与此同/则除乙犹之除丙耳)次以三与八相乘得二十四
　于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四

　与八相乘得三十二于丁戊两位减之则去丁之三
　减戊八为六又以隅八自乘得六十四于戊己两位
　减之适尽得方六百七十八
　又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开
　而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲
　左而以二自乘得四即于甲减四存二此初开也再
　开倍二得四为廉法以四除甲之二则改甲二为五
　又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六

　为次商(此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同/除也前例只是以廉一除丙之十此例只是)
　(以廉四除乙之二十七/合观二例其义益明)乃以隅六自乘得三十六减
　乙丙实并尽得方二十六
开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八
　十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系
　甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲
　左而以八自乘得六十四于甲乙两位减之则去甲
　之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为

　廉法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值
　空位矣(丙丁为再开之位则廉之六当于丙位除一/当于乙位除而除得次商当在甲位今若去)
　(乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当/为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而)
　(甲位空矣可知无次/商宜便接三开也)三开倍八十得一百六十(前方/八下)
　(有空位则谓之八十也/若更有空位亦递进之)为廉法仍先以一除乙之一
　(戊己为三开之位则廉法当于戊位除而廉法有一/百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有)
　(实又须以除丙之法除之盖除乙犹之除丙/其说已详前二例矣 三商自当在乙位也)则改乙
　一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乘得

　五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又
　以隅九自乘得八十一于戊己两位减之适尽得方
　八百零九
开方初商列位法　凡初商列于实首位之左者为多
　而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者
　必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙
　为次开之位而乙属廉丙属隅也廉法于乙位除即
　除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实

　首两位开则丙丁为次开之位而丙属廉丁属隅也
　廉法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃
　当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得
　不列甲之左矣(五以上更/不必言)若实首既以两位开而初
　商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当
　在乙位而初商当列甲位又何疑乎(四以下更/不必言)且如
　实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商
　而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃

　以初商四列甲位再开倍四得八为廉法以除乙之
　八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自
　乘得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商
　四列甲左竟似四百零九其误甚矣盖开得商数中
　间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟
　议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而
　以后俱任其自然之数可耳
　又按右例若以初商列甲左次以廉八除乙之八或

　去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乘减丁之
　一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎盖丙丁
　为次开之位而廉法止有八则当于丙位除除得次
　商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次
　商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且
　致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此
　弊矣
开方馀实命分法　开方馀实仅及所开方数一倍以

　下则命分命分者倍方加一数以命之(倍方者廉法/加一数者隅)
　(法/)假如实五十五开得方七而馀实六即倍七又加
　一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五
　分之六并整为七零一十五分之六也
开方求零分密法　开方馀实欲除令尽即所得方数
　必带零分而若以所命之分为方数试以自乘见积
　颇朒于原实则法犹疏也且如实二十开得方四而
　馀实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃

　化整俱为零曰九之四十母子各自乘以见方积母
　得八十一(此原实一之方积也盖一实而纵横俱/分为九则其中应有方积八十一矣)子
　得一千六百(此总方/积也)以母积除子积归整得实一十九
　又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当
　更有法以开之其法倍九之四十(倍之为/廉法也)为九之八
　十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为
　三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四
　之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以

　母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱
　为零母子各自乘以见方积母得一千二百九十六
　子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得
　实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千
　二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十
　则其法已密矣
　又法如实二十开得方四而馀实四但倍方为分母
　不复加隅而以馀实为子曰八之四约为二之一并

　整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各
　自乘以见方积母得四子得八十一以母积除子积
　归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更
　有法以开之其法倍二之九为一之九(本欲倍其子/而半其母则)
　(子自倍矣不/须更用约法)以除盈四之一得三十六之一与前方
　二之九相减(此与前法正同而盈朒并减有辨盖前/方朒于原实则以廉法除所朒之数而)
　(与之相并前方盈于原实则以廉/法除所盈之数而与之相减也)得七十二之三百
　二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与

　前法同(按二法所得数其归正同盖/偶同耳他处则往往小异也)
　右二法开方自乘得积并盈于原实一千二百九十
　六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一
　十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八
　之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一
　万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六
　十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八
　十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十

　二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四
　又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化
　整俱为零母子各自乘以见方积母得一亿三千四
　百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千
　七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归
　整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百
　六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依
　法再开

　又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化
　实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实
　之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化
　为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以
　母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自
　乘以见方积得一百之二千四百零一以母积除子
　积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百
　之一也或增二开三开者仿此

零分开方法　原实系整数而开之带零分者前法已
　详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得
　数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开
　得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别
　算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四
　化为九之四十(此只依命分之数聊示/其法耳未及密率也)此当用整除
　零分法以三乘九为母以四十为子得方二十七之
　四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三

　此当用零分除整法以四十为母以九乘三为子得
　方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又
　五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用
　零分除零分法以一十三乘九为母以五乘四十为
　子得方一百一十七之二百也盖原实之母本法也
　原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分
　篇中于开方法未详兹乃尽其变云
长方以积与长广较求长广　法以四乘积并较实开

　方得长广和和较相并半之得长相减半之得广
长方以积与长广和求长广　法以四乘积减和实开
　方得长广较　按四乘积者以四长方两纵两横列
　四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不
　满者正较自乘之小平方故知和实中有四积一较
　实也(二法亦见句股章彼以八乘/积者句股之积半长方积也)右二法可该下文
　纵方七法而七法更不可不讲者盖变化无穷之用
　出焉固非右二法所能及矣具详于左

带纵并方廉开平方法长方以积与较求广者其长
　之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方廉
　开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其
　商以带纵并之为方法(常法以方与商为一/此以方与商为二)乃以乘
　商减实再开倍前商亦以带纵并之为廉法以除实
　得次商其隅法如常
　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较
　一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三

　十二(须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡/商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦)
　(然/)为方法乃以方法乘商以三乘二得六(此处只作/二与三且)
　(勿论其为二十/与三十可也)于甲位减之(依常法商二自乘当于/甲位减今与方法三相)
　(乘亦/同也)则减甲八为二次以二乘二得四于乙位减之
　(六于甲位减则四当于乙位减/故初开而减及次开之廉位也)则减乙六为二此初
　开也再开倍前商二得四并纵得五十二(倍商是四/十也 倍)
　(商不/倍纵)为廉法先以五除甲之二(倍商之四当于乙位/除因带纵首之一而)
　(成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除/乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位)

　(也此五只作五若倍商四纵首/六并成一十乃当进一位耳)则改甲二为四为次
　商次以二乘四得八于丙位减之(五于乙位除则二/当于丙位除故廉)
　(法而减及/隅位也)则减乙二为一加丙四为六又以隅四自
　乘得一十六减乙丙两位实尽得广二十四(并较得/长三十)
　(六/)
　又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位(戊/己)
　(为虚/位)带纵七百二十初商得二(若商三则并纵首之/七为一十又与商乘)
　(得三十而实首只二/十三不足除故用二)列甲左(不列甲位者/带纵故也)而以纵并

　商得九百二十为方法乃以方法乘商以九乘二得
　一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五
　次以二乘二得四于丙位减之则减乙五为四加丙
　空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千
　一百二十为廉法先以一除乙之四(倍商之四当于/丙位除因并纵)
　(首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除/得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也)则
　去乙之四于甲空位列四为次商次以一乘四得四
　于丙位减之则减丙六为二次以二乘四得八于丁

　位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乘
　得一十六减丙丁实并尽得广二百四十(并较得长/九百六十)
　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带
　纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七
　十二为方法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲
　位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减
　乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二
　此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二

　为廉法先以二除乙之二而其下实不足除知再开
　值空位矣(倍商之二当于乙位除除得次商当在甲/位今若去乙之二而列一于甲为次商即)
　(丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而/下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非)
　(次商/也)三开倍前商一十得二十(此一与二皆百也/谓之十者依常法)并
　纵得二百七十二为廉法仍先以二除乙之二(倍商/之二)
　(十当于丙位除乙位有实/故以除丙之法除乙也)则改乙二为九加丙二为
　四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而
　加丙四为六次以七乘八得五十六于丙丁两位减

　之则去丙之六加丁四为八次以二乘八得一十六
　于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以
　隅八自乘得六十四减丁戊实并尽得广一百零八
　(并较得长/一百八十)
　又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位
　带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之(若/初)
　(商一则并纵得一百七十二而/乙丙两位无七与二可除也)初商得九(此当借列/实首甲位)
　而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乘商

　以一乘九得九于乙位减之(初商之九当于丙位减/因并纵首之七而成一)
　(十六则此一当/进而于乙位减)则去甲之一加乙六为七次以六乘
　九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙
　一为七次以二乘九得一十八于丙丁两位减之则
　减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九
　得一十八并纵得二百五十二为廉法先以二除乙
　之一(倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而/成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之)
　(法除/乙也)则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二

　存三于乙加一为六为次商次以五乘六得三十于
　丙位减之则去丙之三次以二乘六得一十二于丁
　戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自
　乘得三十六减丁戊实并尽得广九十六(并较得长/一百六十)
　(八/)
　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊
　己六位带纵一千零八十八初商得一(初商是百而/纵乃至千故)
　(只可/用一)列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方

　法乃以方法乘商以一乘一仍得一于甲位减之(方/一)
　(百之一当于乙位减此是/纵首一千之一故进一位)则去甲之一次一仍得一
　于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减
　之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位
　减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍
　前商一得二并纵得一千二百八十八为廉法先以
　一除乙之四(倍商之二当于丙位减此是纵首/之一故进一位也下三开仿此)则于
　乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乘三得

　六于丙位减之则减丙七为一次以八乘三得二十
　四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁
　六为二次以八乘三得二十四于丁戊两位减之则
　去丁之二减戊六为二又以隅三自乘得九于丁位
　减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍
　前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为
　廉法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位
　列六为三商次以三乘六得一十八于丙丁两位减

　之则去丙之二加丁一为三次以四乘六得二十四
　于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八
　乘六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加
　己四为六又以隅六自乘得三十六减戊己实并尽
　得广一百三十六(并较得长一千/二百二十四)
带纵减积开平方法　长方积较求广或于实内减长
　积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为
　带纵初开亦稍朒其商先以带纵乘商减实乃以商

　自乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干
　亦先以带纵乘商减实乃以廉法除实合次商其隅
　法如常
　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二
　初商得二列甲左而先以纵乘商以一乘二得二于
　甲位减之(此纵之一商之二皆十也依常法商二自/乘于甲位减今以纵一乘商二亦同盖凡)
　(十与十百与百相乘皆于本位减必相乘又得十乃/进一位若商系十而乘纵之百则当进一位商系百)
　(而乘纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以/所商应除之位为本位而进退之也负纵益积仿此)

　则减甲八为六次以二乘二得四于乙位减之则减
　乙六为二乃以商二自乘得四于甲位减之则又减
　甲六为二此初开也再开倍前商二得四为廉法约
　计次商当得四(约计减积之馀尚有商廉/相乘及隅自乘之数也)亦先以纵
　乘商以一乘四得四于乙位减之(次商即再开之隅/隅本位在丙然隅)
　(四只是四数而所与乘之纵一则是一十故进一位/也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比)
　(再开又退/一位矣)则减甲二为一加乙二为八次以二乘四
　得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以

　廉四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四
　除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商
　又以隅四自乘得一十六减乙丙实并尽得广二十
　四
　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带
　纵七十二初商得一列甲左而先以纵乘商以七乘
　一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二
　于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乘得一于

　甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得
　二为廉法约计次商不足除知再开值空位(乙位实/二试拟)
　(一为次商而以纵首之七相乘当比初开退一位于/丙位减之则丙实只有二必减及于乙而廉已不足)
　(除未暇论其他矣故/知再开值空位也)三开倍前商一十得二十为廉
　法约计三商当得八亦先以纵乘商以七乘八得五
　十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六
　丁四为八次以二乘八得一十六于丁戊两位减之
　则减丁八为六加戊空为四乃以廉二除乙之一则

　改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加
　三为八为三商又以隅八自乘得六十四减丁戊实
　并尽得广一百零八　按积较求广虽有二法只如
　一法耳前法并纵于方廉以除实此法分纵与方廉
　先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一
　度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用
　不容废云
负纵减方廉开平方法　长方以积与较求长者其广

　之积少于长当损其法之长名负纵减方廉开平方
　列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减
　之为方法乃以乘商减实再开倍前商亦以负纵减
　之为廉法以除实得次商其隅法如常　假如长方
　积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初
　商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃
　以方法乘商以一乘三得三于甲位减之则减甲八
　为五次以八乘三得二十四于甲乙两位减之则减

　甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六
　减负纵得四十八为廉法先以四除甲之三则改甲
　三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲
　减一存六为次商而于乙加四为八次以八乘六得
　四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为
　六又以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三
　十六(减较得广/二十四)
　又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负

　纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十
　八为方法乃以方法乘商以二乘一仍得二于乙位
　减之(商系百而乘方之/十故退一位也)则减乙九为七次八仍得八
　于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也
　再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为廉法
　先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而
　其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙
　加一为八次以二乘八得一十六于乙丙两位减之

　则减乙八为七去丙之六次以八乘八得六十四于
　丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之
　四又以隅八自乘得六十四减乙丙实并尽得长一
　百八十(减较得广/一百零八)
负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广
　而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负
　纵初开亦稍盈其商先以负纵乘商益实乃以商自
　乘减实再开倍前商为廉法约计当得次商若干亦

　先以负纵乘商益实乃以廉法除实合次商其隅法
　如常
　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二
　初商得三(此当列甲左第二位因有益积故也初开/毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方)
　(诸例其商位每不可拘善算/者自了然于心手之间耳)而先以负纵乘商以一
　乘三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲
　八为一次以二乘三得六于乙位加之则加甲一为
　二减乙六为二乃以商三自乘得九于甲位减之则

　去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三
　得六为廉法约计次商当得六亦先以负纵乘商以
　一乘六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乘
　六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四
　为六乃以廉六除甲之三则改甲三为五又以六除
　乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又
　以隅六自乘得三十六减乙丙实并尽得长三十六
　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊

　己六位负纵一千零八十八此当增一开(负纵至千/而依实位)
　(初商只是百/数无是理也)初商得一列甲左第二位而先以负纵
　乘商以一乘一仍得一于甲左空位加之(甲左空位/是商千应)
　(除之本位也商千乘/纵千当于本位加)则列一于甲左次八仍得八于
　乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八
　于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一
　自乘得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开
　也再开倍前商一得二为廉法约计次商当得二亦

　先以负纵乘商以一乘二得二于甲位加之则加甲
　二为四次以八乘二得一十六于乙丙两位加之则
　加乙五为七去丙之四次以八乘二得一十六于丙
　丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以廉二除
　甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以
　隅二自乘得四于乙位减之则减乙七为三此再开
　也三开倍前商一十二得二十四为廉法约计三商
　当得二亦先以负纵乘商以一乘二得二于乙位加

　之则加乙三为五次以八乘二得一十六于丙丁两
　位加之则加丙二为三丁空为六次以八乘二得一
　十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二
　乃以廉二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列
　二为三商次以四乘二得八于丙位减之则去乙之
　一加丙三为五又以隅二自乘得四于丁位减之则
　减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得
　二百四十四为廉法约计四商当得四亦先以负纵

　乘商以一乘四得四于丙位加之则加丙五为九次
　以八乘四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为
　七戊二为四次以八乘四得三十二于戊己两位加
　之则加戊四为七己四为六乃以廉二除丙之九则
　于丙减八存一于乙空位列四为四商次以四乘四
　得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为
　一次以四乘四得一十六于丁戊两位减之则去丁
　之一减戊七为一又以隅四自乘得一十六减戊己

　实并尽得长一千二百二十四　按积较求长二法
　不同论负纵以并方廉为便而使负纵多初商少乃
　宜用益积也别拟取捷之术凡负纵减商而商不足
　则以所负商数为负方(亦可称馀/负纵也)以负方乘商益积
　即初开毕矣自再开以后减廉固无碍耳
带纵负隅益积开平方法　长方以积与和求广者用
　和为带纵(此与用较为带纵又别用较为带纵者以/纵并方廉而乘商减实用和为带纵者直)
　(以纵乘商减实耳然且患纵多/积少而须益积及减纵二法矣)则已兼长广而积有

　长广相乘无广自乘故置负隅法以益积而以带纵
　开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为
　带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乘负隅(一/为)
　(负隅则可不必置算亦不必乘而必言置算言乘者/此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自)
　(见/)为方法先以方法乘商益实乃以带纵乘商减实
　再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若干
　以乘负隅为隅法先以廉法乘商益实又以隅法乘
　商(隅乘商云者因有负隅之乘故又分隅与商为二/也然负隅若止于一则直云商自乘或隅自乘亦)

　(可/耳)益实乃以带纵除实合次商
　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和
　六十求广者初商得二(此当列甲/左第二位)而以乘负隅仍得
　二为方法先以方二乘商二得四于甲位加之则于
　甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乘商二得
　一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之
　二此初开也再开倍前商二得四以乘负隅仍得四
　为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅法

　先以廉四乘商四得一十六于甲乙两位加之则加
　甲空为二减乙六为二又以隅四乘商四得一十六
　于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵
　六除甲之二(以纵除与以廉除其位同此纵之六与/廉之四皆十也以十随十当于廉本位)
　(乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则/甲乙同除也 至此宜将初商仍移入甲左矣)则改
　甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙
　之六于甲加一为四为次商得广二十四
带纵负隅减纵开平方法　长方积和求广或减负隅

　于纵而以馀纵开之名带纵负隅减纵开平方列实
　定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其
　商以乘负隅为方法以方法减纵乃以馀纵乘商减
　实再开倍前商以乘负隅为廉法约计当得次商若
　干以乘负隅为隅法以廉法减纵又以隅法减纵乃
　以馀纵除实合次商
　假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初
　商得二列甲左而以乘负隅仍得二为方法以方法

　减纵馀四十乃以纵四乘商二得八于甲位减之则
　去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乘负隅
　仍得四为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四
　为隅法以廉法减纵馀二十又以隅法减纵馀一十
　六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位
　列四为次商次以六乘四得二十四减乙丙实并尽
　得广二十四
　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊

　己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以
　乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀一千二百六
　十乃以纵乘商以一乘一仍得一于甲位减之则去
　甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次
　六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开
　倍前商一得二以乘负隅仍得二为廉法约计次商
　当得三以乘负隅仍得三为隅法以廉法减纵馀一
　千一百六十又以隅法减纵馀一千一百三十乃以

　纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为
　次商次以一乘三得三于丙位减之则去乙之一加
　丙空为七次以三乘三得九于丁位减之则减丙七
　为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得
　二十六以乘负隅仍得二十六为廉法约计三商当
　得六以乘负隅仍得六为隅法以廉法减纵馀一千
　一百又以隅法减纵馀一千零九十四乃以纵一除
　丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九

　乘六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊
　六为二又以四乘六得二十四减戊己实并尽得广
　一百三十六　按积和求广二法以减纵法为优盖
　初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以
　廉减纵而以馀纵求之如第一例馀实六十四且作
　四与十六相乘之数而馀纵二十析之亦得四与十
　六两数即四为次商为隅法以再减馀纵得一十六
　而以纵除实正得次商矣如第二例直以廉减馀之

　纵约馀实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而
　纵多商少隅减之馀与廉减之馀当不至大相悬也
　然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施
　之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乘理当
　小异不得仅如右二说且开除往往遇负积更须参
　用下文翻法耳
带纵负隅减纵翻法开平方法　长方以积与和求长
　者积有长广相乘无长自乘法当损广以益长故以

　和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乘负
　隅为方法以方法减纵以馀纵乘商减积而积常不
　足则翻以所负积数为积再开倍前商以乘负隅为
　廉法以廉法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数
　为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商
　又以次商乘负隅为隅法以乘商减负积名带纵负
　隅减纵翻法开平方
　假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和

　一百二十求长者初商得七(此虽列甲左而除得次/商乃在乙位则又当借)
　(列甲/位也)而以乘负隅仍得七为方法以方法减纵馀五
　十乃以纵五乘商七得三十五于甲乙两位减之而
　积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六
　而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前
　商七得一十四以乘负隅仍得一十四为廉法以廉
　法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去
　丙之四于乙空位列二为次商又以次商乘负隅仍

　得二为隅法以乘商二得四减丁位负积适尽得长
　七十二
　又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊
　己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一
　(若初商九百或八百商愈少则/负积且愈多故知当为一千也)列甲左第二位而以
　乘负隅仍得一为方法以方法减纵馀三百六十乃
　以纵乘商以三乘一仍得三于甲位减之(商千之位/在甲左商)
　(千乘纵百则退一/位故当于甲位减)以六乘一仍得六于乙位减之而

　积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙
　之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列
　九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为
　负积此初开也再开倍前商一得二以乘负隅仍得
　二为廉法以廉法减纵而纵不足六百四十即以负
　纵六除甲之一(倍商之二是千也依常法当于甲位/除除得次商当在甲左此负纵之六)
　(是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除/除得次商乃在甲位盖非次商应列之位特因负纵)
　(数朒/故耳)则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于

　乙减六存七于甲加一为二为次商(此当于再开毕/后移列甲左盖)
　(三开则负纵亦盈至千/与常法倍商数等矣)次以四乘二得八于丙位减
　之则减乙七为六加丙三为五又以次商乘负隅仍
　得二为隅法以乘商二得四于乙位减之则减乙六
　为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乘
　负隅仍得二十四为廉法以廉法减纵而纵不足一
　千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲
　空位列二为三商次以四乘二得八于丁位减之则

　减丙五为四加丁五为七又以三商乘负隅仍得二
　为隅法以乘商二得四于丁位减之则减丁七为三
　此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四
　以乘负隅仍得二百四十四为廉法以廉法减纵而
　纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙
　之四于乙空位列四为四商次以八乘四得三十二
　于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四
　商乘负隅仍得四为隅法以乘商四得一十六减戊

　己负积并尽得长一千二百二十四　按积和求广
　初开后必有馀积(若遇负积即初商是长非广/也此亦指一为负隅者而言)求长
　则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开
　所负之积不妨于再开所益积内减之(再开所负于/三开所益减)
　但欲约次商患其茫然无绪可寻故只仿减纵法盖
　减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻
　法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于
　左

　一求长而初开后乃有馀积此其初商必与求广相
　同者也既有馀积则以廉减纵亦必有馀纵(若积馀/纵负乃)
　(是商数过盈非所求/之长当改商就朒)且如实一万九千四百四十和
　二百八十八初商得一百(求广求/长同)而馀积六百四十
　再开以廉减纵馀八十八约馀积为八与八十相乘
　之数而馀纵析之亦得八与八十两数此若求广即
　再开为空位以八为三商以再减馀纵得八十而以
　除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为

　次商以再减馀纵得八而以除积正得次商为长一
　百八十盖只用减纵法而广长皆得可不须翻法也
　又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一
　百而馀积一千九百四十四再开以廉减纵馀九十
　约馀积一千九百(其下小数且/置不算也)为四十与五十相乘
　之数则朒为三十与六十相乘之数则盈而馀纵析
　之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若
　求广则取盈数(宜有馀/积也)以三十为次商(广不合有一/百六十故不)

　(用/六)以再减馀纵得六十而以除积一千八百得次商
　仍馀积一百四十四三开以廉减纵馀三十约馀积
　为六与二十四相乘之数而馀纵析之亦得六与二
　十四两数即以六为三商以再减馀纵得二十四而
　以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒
　数(宜负/积也)以五十为次商(长不合止一百/四十故不用四)以再减馀纵
　得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以
　廉减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商

　而以隅四自乘得一十六减负积尽为长一百五十
　四盖始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以
　得长非可执一云(右一条及下四条所举假例皆以/一为负隅故例中不言负隅之乘)
　(取省文便览也又自此以下凡积纵商廉诸数百则/曰百千则曰千而不复著甲乙之位非前后互异正)
　(取参观以/相发明耳)
　一负积当以负纵除而以廉减纵适尽者约负积得
　次商以乘负隅为隅法以乘商减负积(既无负纵则/独用隅法减)
　(负积也或以负隅除负积/以常法平方开之亦可)如实八百六十四初商三

　十而负积三十六再开以廉减纵适尽即约负积得
　次商六为隅法自乘得三十六减负积尽为长三十
　六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负
　积六百二十五再开以廉减纵适尽即约负积得次
　商二十为隅法自乘得四百减负积三开以廉减纵
　纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以
　隅五自乘得二十五减负积尽为长一百二十五(负/积)
　(六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开廉/法之四十犹翻法三开负纵之四十也盖纵廉相减)

　(负纵即是馀廉而在负隅法中方廉隅皆负/也纵乃正也以相减则负纵固是馀负廉也)
　一以廉减纵有馀纵不可以除负积者约计当得次
　商若干以乘负隅为隅法再减馀纵纵负则以负纵
　除负积合次商(负纵与隅法皆所用以除负积者也/无负纵则独用隅法有馀纵则以隅)
　(法相/减)如实一千六百六十六和八十三初商四十而
　负积五十四再开以廉减纵馀三即约九为次商以
　再减馀纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四
　十九也

　一以廉减纵有馀纵不可以除负积再以隅减纵适
　尽者此为有商无除(隅与纵相减并尽既无负纵即/无馀隅矣无可用以除负积者)
　(也/)而其负积则续商以除之如实五万五千五百七
　十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再
　开以廉减纵馀八十即以八十为次商(若以九十为/次商则减纵)
　(而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十/当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积)
　(又负于法/不得行也)以再减馀纵适尽无可除三开以廉减纵
　纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以

　隅五自乘得二十五减负积尽为长二百八十五
　一以廉减纵有馀纵再以隅减纵仍有馀纵者以馀
　纵乘商益负积(馀纵以减积负纵以减负积/然则馀纵当以益负积矣)而续商
　以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四
　初商一百而负积二百七十二再开以廉减纵馀六
　十四即以六十为次商(不以七十为次商者犹前/例不可以九十为次商也)以
　再减馀纵仍馀四则以馀纵乘商得二百四十以益
　负积得五百一十二三开以廉减纵纵负五十六乃

　以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八
　自乘得六十四减负积尽为长一百六十八
　右自带纵并方廉开平方至此凡有纵方七法六法
　所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此
　外更有隅算开平方一法其以商廉相乘与负隅同
　而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带
　纵盖隅有正负犹纵有正负也(若以一为隅算则与/无隅算同商廉固即)
　(是隅算/之一也)以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣

　隅算法前未有例于后见之云
平方以斜径求方　法以斜径自乘为实以二为隅算
　开方　假如方田斜径七十步求方者以斜径自乘
　得四千九百为实以二为隅算初商四十以乘隅算
　得八十为方法以方法乘商得三千二百减实再开
　倍前商得八十以乘隅算得一百六十为廉法以廉
　法除实一千四百四十得九为次商又以次商乘隅
　算得一十八为隅法以隅法乘商得一百六十二减

　实不尽九十八倍商加隅仍乘隅算以命分为一百
　九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十
　九零九十九之四十九也　按斜径自乘之实倍方
　积故以二为隅算开之(或不用隅算以斜径/实半之开方亦得)旧说率
　方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱
　未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也
平方以方求斜径　法倍方积开方
大小两方以共积及两方互乘数求大小方　法倍两

　方互乘数减共积开方得两方较乃以两方互乘数
　为实以较为带纵用带纵并方廉开之(言并方廉而/或用减积可)
　(知不待言/也他仿此)得小方或以较为负纵用负纵减方廉开
　之得大方
　又法倍两方互乘数并共积开方得两方和乃以两
　方互乘数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅
　减纵开之得小方或用翻法开之得大方(按此盖以/句股法通)
　(之大方股也小方句也共积弦实也两方互乘数句/股相乘长方积也故倍互乘数则与共积相并减而)

　(开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乘/数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较)
　(以见大小方不用/纵方之法亦可耳)
大小两方以共积及两方较求大小方　法以较实减
　共积馀为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵
　并方廉开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减
　方廉开之得大方　假如大小两方田共积七千五
　百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乘
　得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以

　二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乘隅
　算得一百四十为方法先以负纵乘商得三千九百
　二十益实乃以方法乘商得九千八百减实再开倍
　前商得一百四十以乘隅算得二百八十为廉法约
　计次商当得四以乘隅算得八为隅法先以负纵乘
　商得二百二十四益实乃以廉法除实一千一百二
　十合次商又以隅法乘商得三十二减实尽得大方
　七十四(此以隅算负纵益积/法为例馀可类推)

大小两方以共积及两方和求大小方　法以和实减
　共积馀为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅
　减纵开之得小方或用翻法开之得大方(按右二条/但倍共积)
　(以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较/兼和较以见大小方最为便易然欲仿此意而推之)
　(三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实/倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不)
　(过递增其隅算负隅之数及中方以较较为/纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也)
大小三方以共积及三方之两较求各方　法以两较
　实减共积馀为实以三为隅算而视其较若系大与

　小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并
　方廉开之得小方系大与中大与小之两较则倍两
　较为负纵用隅算负纵减方廉开之得大方或系大
　与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之
　较(可知中方/近小方也)则倍两较之较为带纵用隅算带纵并
　方廉开之大与中之较朒于中与小之较(中方近/大方也)则
　倍较较为负纵用隅算负纵减方廉开之大与中之
　较中与小之较等则直用隅算开之得中方

大小三方以共积及三方之两和求各方　法以两和
　实减共积馀为实以三为负隅倍两和为带纵用带
　纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得
　大方(按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也/以此为实则除之常有馀实矣并两和又倍之)
　(其数亦复不少以此为纵则减之常有馀纵矣故举/大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大)
　(方不须翻法也惟大方与中小二/方盈朒迥殊者乃间用翻法耳)
　右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方
　以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有

　带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较
　为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不
　异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲
　乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之
　四较即先求戊方以四较实减共积馀为实以五为
　隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方廉开之求甲
　方者用负纵(若四较皆以甲方为主即/先求甲方也 甲大戊小)并如右法至
　于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固

　自有说假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较
　而以甲与乙之较减之馀则较较也盖以大于乙之
　较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近
　大方为近小方而较较为带纵为负纵矣(乙下于甲/一等似近)
　(大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较/不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也)
　(等并三较与一较之数/ 者但用隅算开之)丙丁仿此其以和求者只如
　右法云
三广田以积与三广之两较及长广较求长广　法以

　中广与长之较为带纵(必以中广为主此算三广之/定法 既称长广则中广必)
　(朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之/也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳)以
　中广与南北广之两较并而四除之为旁纵(长既有/纵广不)
　(当又称纵而广之有较/亦纵也故谓之旁纵)而中广朒则为旁带纵中广
　盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方
　廉兼减积开之(带纵法以并方廉为便而两纵分属/长广两边则初开未可皆并入方故)
　(兼用减积法至再开或减积或并廉/者廉固统长广两边不妨并两纵也)旁负纵者用带
　纵并方廉兼负纵益积减廉开之(带纵既用并方廉/法而两纵分属长)

　(廉两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法/至再开或益积或减廉者廉统长广两边不妨且并)
　(且减/也)得中广　假如三广田积二千四百六十五步
　中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六
　十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以
　两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十
　并带纵得七十七为方法先以方法乘旁带纵得八
　百四十七减积乃以方法乘商得七百七十减积再
　开倍前商得二十并带纵得八十七为廉法约计次

　商当得八为隅法先以隅法乘旁带纵得八十八减
　积乃以廉法除积六百九十六合次商又以隅八自
　乘得六十四减积尽得中广一十八(各加较得南广/二十六北广五)
　(十四长/八十五)或再开以旁带纵并入廉法得九十八以除
　积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简
　捷
　又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广
　一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者

　以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六
　为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方
　法乘旁负纵得四百八十益积乃以方法乘商得二
　千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一
　十为廉法约计次商当得五为隅法先以隅法乘旁
　负纵得三十益积乃以廉法除积五百五十合次商
　又以隅五自乘得二十五减积尽得中广三十五(各/加)
　(减较得南广二十北/广二十六长八十五)或再开以旁负纵减廉法得一

　百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减
　积尽尤便(按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为/纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵)
　(者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当/为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下)
　(文各条例中其法更加隅算及负/隅者纵与旁纵断不可移易也)
方长带偏斜田以积及四边之三较求长广　法以一
　边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱
　盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所馀盈
　朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带

　纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三
　广田法　假如偏斜田积四千一百四十八步东长
　盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各
　长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为
　负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负
　纵得五十七为方法先以方法乘旁带纵得二百二
　十八减积乃以方法乘商得三千四百二十减积再
　开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁

　带纵得一百二十一为廉法以廉法除积四百八十
　四得四为次商而以隅四自乘得一十六减积尽得
　东长六十四(各加减较得南广五十四/北广六十八西长七十二)
　又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一
　百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步
　求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十
　为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百
　(此因负纵多而初/商少兼用益积法)先以负纵乘旁带纵得一千二百

　益积(凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积盖/以方法相乘则减积耳方法之中有商有带纵)
　(方也商也带纵也皆正也两正相乘/宜减积一正一负相乘宜益积也)次以商乘旁带
　纵得一千减积又以负纵乘商得一万二千益积乃
　以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减负纵
　得八十并旁带纵得九十为廉法以廉法除积七千
　二百得八十为次商而以隅八十自乘得六千四百
　减积尽得东长一百八十(南广五十北广/七十西长二百)
　又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二

　十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六
　步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二
　十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百
　先以负纵乘旁负纵得九百六十减积(凡负纵皆用/之益积此旁)
　(负纵何以减积盖一正一负相乘宜益积/则两负相乘又宜减积也两负如无负也)次以商乘
　旁负纵得八百益积又以负纵乘商得一万二千益
　积乃以商自乘得一万减积再开倍前商得二百减
　负纵得八十又减旁负纵得七十二为廉法以廉法

　除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乘
　得四千九百减积尽得东长一百七十(南广四十五/北广五十五)
　(西长一百/五十四)　按右三例第一例以负纵减方廉兼带
　纵减积并廉也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵
　而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二
　十为负方第二例以负方乘旁带纵得二百益积又
　以负方乘商得二千益积第三例以负方乘旁负纵
　得一百六十减积又以负方乘商得二千益积即初

　开各毕矣前著例颇详者欲使其中条理显然而捷
　径自出也
三广田以积与三广和两广较及长广较求长广　法
　以四乘积为实以和为带纵一为隅算(凡三广必倍/中广并边两)
　(广而四除之以为广今四乘积则可以当四除矣乃/以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵)
　(隅算固所求/之中广也)以中广与长之较为旁带纵(如中广反/盈于长则)
　(为负/也)用隅算双带纵并方廉兼减积开之得中广(以/加)
　(长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北/各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可)

　(以次第推也为按此以长广较为旁纵者和不得为/旁纵也凡和 带纵必加隅算及负隅而隅算负隅)
　(势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁/纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可)
　(移/耳)
方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广
　法以二乘积为实以和为带纵一为负隅(以三边和/为带纵非)
　(有二长即有二广故以二乘积而有二长者一为负/隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以)
　(求长因以减/纵中之长)以长较或广较半之为旁纵(求长则取/长较求广)
　(则取/广较)其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用

　带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广　假如偏
　斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八
　十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求
　各长广者以二乘积得八千二百九十六为实以一
　为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得
　四为旁带纵初商六十以乘负隅仍得六十为方法
　以方法减纵馀一百二十六先以馀纵乘旁带纵得
　五百零四减实乃以馀纵乘商得七千五百六十减

　实再开倍前商得一百二十以乘负隅仍得一百二
　十为廉法约计次商当得四以乘负隅仍得四为隅
　法以廉法减纵馀六十六又以隅法减纵馀六十二
　乃先以隅法乘旁带纵得一十六益实(在负隅法中/方廉隅皆负)
　(也旁带纵以正而与/负乘故宜益实也)而以馀纵减实二百四十八合
　次商得东长六十四(以减和更以广较推之得南广/五十四北广六十八以长较见)
　(西长七/十二)或再开以旁带纵乘负隅仍得四(凡纵不与/隅算及负)
　(隅二者相乘而旁纵自再开以后欲与廉纵相并减/则必与二者相乘也前以隅法乘之而益积隅法固)

　(已先乘/负隅矣)以减纵馀五十八(带纵而乘负/隅故以减纵)而以除实二
　百三十二合次商亦便
　又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一
　百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六
　步此须用带纵负隅减纵翻法(倍积为实则除实宜/有馀实一长二广为)
　(纵则减纵宜有馀纵而或须用/翻法者必其田狭长之甚也)而兼旁纵开之以二
　乘积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十
　四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百

　(若商八十或九十则负积愈多而八十且有馀纵无/以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故)
　(定商/一百)以乘负隅仍得一百为方法以方法减纵馀七
　十四先以馀纵乘旁带纵得四百四十四减实乃以
　馀纵乘商得七千四百减实实负一千三百四十四
　再开倍前商得二百以乘负隅仍得二百为廉法以
　廉法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乘负
　隅仍得二十为隅法先以隅法乘旁带纵得一百二
　十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以

　隅法乘商得四百减负实三开倍前商得二百四十
　以乘负隅仍得二百四十为廉法以廉法减纵纵负
　六十六约计三商当得四以乘负隅仍得四为隅法
　先以隅法乘旁带纵得二十四减负实乃以负纵除
　负实二百六十四合三商又以隅法乘商得一十六
　减负实尽得东长一百二十四(南广二十二北广二/十八西长一百三十)
　(六/)或再开以旁带纵乘负隅仍得六以并负纵得三
　十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法

　减负实四百三开以旁带纵乘负隅仍得六以并负
　纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而
　以隅法减负实尽尤便　按算术固不能尽言即如
　偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和
　为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实
　开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以
　四乘积为实以东西和除之得南北和而并东南和
　东北和以南北和减之半其馀得东长如三广田举

　积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负
　隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明
　之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其说凡
　诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉
长方以重长重广共步及积求长广　法以共步为带
　纵而求长则以长数(重几长则为几/数也下广数同)为负隅以广数
　乘积为实求广则以广数为负隅以长数乘积为实
　用带纵负隅减纵及翻法开之(不论求长求广但负/隅数少乘积数多者)

　(积与纵常有馀往往用带纵负隅减纵法负隅数多/乘积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭)
　(长之甚者则不然临算/当自知之不可预定耳)　假如长方积八百六十四
　步二长五广共一百九十二步为带纵以五乘积得
　四千三百二十为实(五乘积则得长乘广之数/五而可以五广为带纵也)以二
　为负隅(实中无长自乘之数而带纵有二长/故以二为负隅不益实即减纵也)用带纵
　负隅减纵开之得长三十六或以二乘积得一千七
　百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十
　四　更有重长重广重和重较共步及积求长广者

　如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八
　十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四
　长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前
　求之若重较数多既益广尽为长而尚有馀较者此
　则不可求长但可求广(原积无长乘较之数故不可/求长原积有广自乘及广乘)
　(较之数各一/故可求广)且如积八百六十四步一和六较三长
　四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五
　广又以六较之五益广为长共得九长而馀一较则

　以九长减较为广乃得九广十较而以十乘积得八
　千六百四十为实以一为隅算(十乘积则得广自乘/及广乘较之数各十)
　(而带纵少一广故以/一为隅算并纵也)以共步为带纵用隅算带纵并
　方廉开之得广二十四
长方以长广母子分数之共步及积求长广　法以长
　母乘广子为广率为广数以广母乘长子为长率为
　长数以两母相乘为总率以乘共步为带纵乃如前
　重长重广例求之　假如长方积八百四十步五分

　长之二四分广之一共二十步求长广者以五乘一
　得五为广率为五广以四乘二得八为长率为八长
　以五与四乘得二十为总率以乘共步得四百为带
　纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乘积得
　六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵
　开之得广二十四或以五乘积得四千二百为实以
　八为负隅用翻法开之得长三十五
长方匿原积以长乘重长重广积步及较或以广乘重

　长重广积步及较求长广　法以乘积为实并长广
　数为隅算而长乘求长则以广数乘较为负纵用隅
　算负纵减方廉开之广乘求广则以长数乘较为带
　纵用隅算带纵并方廉开之若广乘求长则以广数
　乘较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方
　廉兼益积开之长乘求广则以长数乘较为带纵又
　以较为旁带纵用隅算双带纵并方廉兼减积开之
　　假如长方匿其原积而以广乘六长三广得六千

　九百一十二步其长广较一十二步求长者以乘积
　六千九百一十二为实以九为隅算以三乘较得三
　十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以
　乘隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法
　先以方法乘旁负纵得二千八百零八益实乃以方
　法乘商得七千零二十减实再开倍前商得六十以
　乘隅算得五百四十减负纵得五百零四为廉法约
　计次商当得六以乘隅算得五十四为隅法先以隅

　法乘旁负纵得六百四十八益实乃以廉法除实三
　千零二十四合次商又以隅法乘商得三百二十四
　减实尽得长三十六或再开以旁负纵乘隅算得一
　百零八以减廉法得三百九十六以除实二千三百
　七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷　右法
　更有以长乘重长重广重和重较或以广乘之而以
　其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言
　矣若以较益广尽为长而尚有馀较如前九长一较

　之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而
　长乘求长则以一乘较为带纵广乘求广则以十乘
　较为带纵(九广十/较也)广乘求长则以一乘较为带纵又
　以较为旁负纵长乘求广则以十乘较为带纵又以
　较为旁带纵依例开之
长方匿原积以长乘重长重广积步及和或以广乘重
　长重广积步及和求长广　此与前一条相似而不
　同以长乘者但可求长以广乘者但可求广(隅算及/负隅无)

　(旁加者势不能也故长乘不便/于求广广乘不便于求长矣)法亦以乘积为实而
　长乘求长则以广数乘和为带纵广乘求广则以长
　数乘和为带纵又以长广数相减馀数为隅算不足
　数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵
　并方廉或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三
　广长乘求长则以三乘和为带纵以三为隅算(六长/三广)
　(相减长馀三以为隅算之数盖/并三长于带纵得六长三广也)广乘求广则以六乘
　和为带纵以三为负隅(六长三广相减广不足三以/为负隅之数盖减三广于带)

　(纵亦得六/长三广也)开之是也　右法长广所乘若更兼重和
　重较者先约和较为长广而约得馀较如前九长一
　较之比亦别有法且如九长一较长乘求长则以一
　乘和为负纵以十一为隅算(减一长一广于隅/算得九长一较也)广乘
　求广则以十乘和为带纵以十一为负隅(减十一广/于带纵亦)
　(得九长/一较也)依例开之
　
　九章录要卷六