钦定四库全书
　庄氏算学卷三
　　　　　　　　　　　　淮徐海道庄亨阳撰
　勾股测量
立表杆测法(凡立表杆必用垂线取直并准/量所立地距人立尺寸以取)
　　测高(设有一旗杆距人立处三/丈欲知其高立表杆测之)
法以距旗杆三丈处立一表杆高四尺(如图/丁丙)向前又立
一表杆高八尺(如图/戊己)看两表端与旗杆顶齐(如图/甲丁)量两

表间相距五尺(如图/丁庚)乃以五尺为一率前表八尺内减
后表四尺馀四尺(如图/戊庚)为二率距旗杆三丈(如图/丁辛)为三
率求得四率二丈四尺(如图/甲辛)加入后表四尺得二丈八尺(如/图)
(甲/乙)即旗杆之高也

　　测远(设有一树欲知其/远用表杆测之)
法先立一表杆对树(如图/甲乙)次于表杆处取直角横量十
五丈立一表杆(如/丙)再依次表立一表杆对树参直(如/丁)乃
于丁表处作垂线至丙乙线界(如图/丁己)量得五丈复量丙
　
　
　
　

己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈(丙/乙)为
三率求得四率二十五丈(如图/甲乙)即树之远也
　比例(比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而/得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乘以一)
　　　(率归除得四/率为所求)
　　正比例(一名异/乘同除)
法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得
四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设
如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银

若干　法以原有之三人为一率一两八钱为二率今
有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏
银总数
　　转比例(一名同/乘异除)
法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得
四率为所求假如有田一亩原阔八步长三十步今要
阔十二步该长若干　法以今阔十二步为一率原长
三十步为二率原阔八步为三率求得四率二十步即

今所求之长数(盖乘除之数递增递减者为正比例总数/相同分者多则得数转少分者少则得数)
(转多为/转比例)
　　正比例带分
　　设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤
　　十二两该换锡若干
法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤
九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百
二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡

数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两
　　转比例带分
　　设如营造每日用五十六人计一月又九分月之
　　三可以完工今每日用六十四人完工该几何日
法以今用六十四人为一率因分母为九(即命一月/为九分也)加
入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得
四率十分半满分母九分收为一月馀一分半即命为
一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分

半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二
率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数
　　合率比例(系合两比例或合三比/例用一次除乘而得)
　　设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱
　　每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈
　　应换绵布若干
法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乘得二两二
钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乘得一

两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八
丈即夏布四十五丈所换绵布之数(此两比例合/为一比例法)如分两
比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今
夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四
十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布
七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八
丈即为夏布所换绵布之数
　　设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十

　　只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅几何
法以羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只再
以所换鸡二十只乘之得三千六百只为一率以原
鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只再以原
鹅八只乘之得一万四千四百只为二率今羊五只为
三率求得四率二十只即羊五只所换鹅数(此三比例/合为一比)
(例/法)如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊
二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得

四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一
百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为
二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四
率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只
所换鹅数以鸡二十只为一率鹅八只为二率今羊五
只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即
羊五只所换鹅数也
　　测高(设有一旗杆不知其远今欲/求其高用表杆两测求之)

法先立一表杆高四尺(如图/丁丙)向前又立一表杆高八尺
(如图/戊己)看两表端与旗杆顶齐(如图/甲丁)量两表间相距五尺
(如图/丁庚)记之再退后三丈对准前表立一表杆高四尺(如/图)
(壬/癸)向前又立一表杆高八尺(如图/子丑)看两表端与旗杆顶齐
(如图/甲壬)量两表间相距一丈(如图/壬卯)乃以再测之距度一丈
与先测之距度五尺相减馀五尺(如图/壬寅)为一率前表八
尺与后表四尺相减馀四尺(如图/子卯)为二率先测与再测
相距之三丈(如图/壬丁)为三率求得四率二丈四尺(如图/甲辛)加

入后表高四尺得二丈八尺(如图/甲乙)即旗杆之高如欲求其
远则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减馀五
尺(如图/壬寅)为一率再测之距度一丈(如图/壬卯)
　
　
　
　
　

为二率两测相距之三丈(如图/壬丁)为三率求得四率六丈(如/图)
(壬/辛)即旗杆距退后表杆之远
　　又法设塔一座欲知其高用相等两表测之
法先立一表杆比人目高四尺人离表杆六尺看塔顶
与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目
高四尺人离表杆八尺看塔顶与表端齐乃以前表距
分六尺与后表距分八尺相减馀二尺(如图/己壬)为一率表比
人目高四尺(如图/辛庚)为二率两表相距六丈(如图/辛戊)为三率

求得四率十二丈(如图/甲癸)加表比人目高四尺(如图/癸乙)共十
二丈四尺(如图/甲乙)即人目以上之高再加人目距地之尺寸
即塔顶距地平之高如求塔距前表之远则以两表
　
　
　
　
　

距分相减之二尺(如图/己壬)为一率前表距分六尺(如图/丙丁)为
二率两表相距之六尺(如图/辛戊)为三率求得四率十八丈
(如图/戊癸)即塔距前表之远再加六丈即塔距后表之远
　　又法设楼一座欲知其高以不等两表测之
法先立一长表比人目高六尺人离表五尺四寸看楼
脊与表端齐又退后二丈立一短表比人目高四尺人
离表六尺四寸看楼脊与表端齐乃以前表比人目高
六尺(如图/丙丁)为一率前表距分五尺四寸(如图/目丁)为二率后

表比人目高四尺(如图戊己/与庚辛同)为三率求得四率三尺六
寸(如图/目辛)为前表与后表同高所得之距分(庚目辛勾股/形与戊壬己)
(勾股/形同)爰以三尺六寸(如图目辛/与壬己同)与后表距分六尺四寸
(如图/目己)相减馀二尺八寸(如/目)图壬为一率后表比人目高四
尺(如图/戊己)为二率前表距分五尺四寸(如图/目丁)内减三尺六
寸馀一尺八寸(如图/辛丁)与两表相距之二丈(如图/己丁)相减馀
一丈八尺二寸(如图/戊庚)为三率求得四率二丈六尺(如图/甲癸)
加表比人目之高四尺(如图/癸乙)共得三丈(如图/甲乙)即人目以

上之高再加人目距地尺寸即楼脊距地之高
　
　
　
　
　　又日景测高(设一旗杆量日景/长十丈问高几何)
法于同时立一表杆高四尺量表景长二尺乃以表景
二尺为一率表高四尺为二率旗杆之景一丈为三率

求得四率二丈即旗杆之高
　
　
　
　
　　矩度测量(矩度之制必用正方每边定一百分或/二百分横竖俱界线画成小方分对中)
　　　　　　(心所出线两边安表取中心/安游表定准坠线以成勾股)
　　测高(设有一旗杆距人立处/三丈欲测其高几何)

法用矩度以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十
分(此矩度系界画为一百分自/中心平分半矩为五十分)乃以半矩五十分(如图/丁己)为一
率所得距分四十分(如图/辛己)为二率距旗杆三丈(如图/丁庚)为三
率求得四率二丈四尺(如图/甲庚)即矩度中心所对地平至旗
杆顶之高再加矩度中心距地(如图/庚乙)即所求旗杆之高也

　　测远(设有一树欲求其/远用矩度测之)
法须平安矩度以定表与游表定准正方直角定表对
树随游表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度
定表对表杆游表对树得矩中心距分三十分乃以距
　
　
　
　

分三十分(如图/戊丁)为一率半矩五十分(如图/戊丙)为二率横量
十五丈(如图/丙乙)为三率求得四率二十五丈(如图/甲乙)即所求
树之远也
　　重矩测高(设山一座欲知其/高以重矩测之)
法用矩度以定表看地平游表看山顶得距地平分四
十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表
所看原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前
矩距分四十分(如图/己庚)为一率半矩五十分(如图/丙庚)为二率

后矩距分三十二分(如图/辛壬)为三率求得四率四十分(如/图)
(丙/子)乃以后矩之半矩五十分与四十分相减(后矩之辛/壬丑勾股)
(形与前矩之癸子/丙勾股形相同)馀十分(如图/丁丑)为一率后矩距分三十
二分(如图/辛壬)为二率两矩相距九丈(如图/丁丙)为三率求得四
率二十八丈八尺(如图/甲戊)即矩度中心所对地平至山顶
之高再加矩度中心矩即所求山之高　若求山距后
矩之远则以相距矩分相减之十分(如图/丁丑)为一率半矩
五十分(如图/丁壬)为二率两矩相距之九丈(如图/丁丙)为三率求

得四率四十五丈(如图/丁戊)即后矩距山之远减两矩相距
九丈即前矩距山之远
　
　
　
　
　　又法设有一石欲知其远不取直角于左右两处
　　测之

法先平安矩度于右以定表对左矩中心游表看石得
距中心距分三十七分五釐其游表之斜矩分为六十
二分五釐次安矩度于左以定表对右矩中心游表看
石得距中心距分十一分二釐五毫其游表之斜距分
为五十一分二釐五毫横量两矩相距三十九丈乃以
两矩中心距分相并得四十八分七釐五毫(如图甲乙/与丙丁两)
(勾股/相并)为一率右矩游表之斜距分六十二分五釐(如图/右丁)
为二率横量三十九丈(如图/右左)为三率求得四率五十丈

(如图/石右)即右矩距石之远如求左矩距石则仍以四十八
分七釐五毫为一率以左矩游表之斜距分五十一分
二釐五毫(如图/甲左)为二率仍以三十九丈为三率求得四
率四十一丈(如图/石左)即左矩距石之远也

　　又法设隔河一树欲知其远不能定直角斜对树
　　两测求之
法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安
一矩度(如止用一矩度则/记准一处亦可)以先安矩度定表看后安矩
度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游
表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩
度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表
之斜距分为五十二分二釐乃以先安矩度之中心距

分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为
三十四分(如图/戊乙)为一率先安矩度游表之斜距分七十
分(如图/乙先)为二率横量十七丈(如图/先后)为三率求得四率三
十五丈(如图/树先)即先安矩度距树之远如求后安矩度距
树则仍以三十四分为一率以后安矩度游表之斜距
分五十二分二釐(如图丁后/与戊先等)为二率仍以十七丈为三
率求得四率二十六丈一尺(如图/树后)即后安矩度距树之
远

　
　
　
　
　尖圆体(圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二/分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角)
　　　　(堆得圆底尖/堆四分之三)
　　圆底尖堆设积米一堆高五尺底周一十四尺问
　　该米数几何

法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十
五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二毫有馀为
尖圆堆之㡳面积再与高五尺相乘得七十七尺九百
八十五寸九百二十分六百釐有馀(为长圆/体积)三归之得
二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有
馀为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之
得米一十石零三升九合八勺有馀即所求圆底尖堆
之米数

　　倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米
　　几何
法以底周六尺(此全圆/周之半)倍之得一十二尺为全周乃用
圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十
一分五十五釐有馀(为全圆/面积)折半得五尺七十二寸九
十五分七十七釐有馀为倚壁尖堆之底面积再以高
四尺乘之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有
馀(为半周长/圆体积)三归之得七尺六百三十九寸四百三十

六分有馀为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百
寸除之得三石零五升五合七勺有馀即所求倚壁尖
堆之米数
　　倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆高五尺周一
　　十二尺该米几何
法以周一十二尺(此全圆周/四分之一)四因之得四十八尺为全
周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三
十四寸六十四分九十釐有馀(此全圆/面积)四归之得四十

五尺八十三寸六十六分二十二釐有馀为倚壁内角
准之底面积再与高五尺相乘得二百二十九尺一百
八十三寸一百一十分(为长圆一/角之体积)三归之得七十六尺
三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然
后以石率除之得三十石零五斗五升七合有馀即所
求倚壁内角堆之米数
　　倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆高六尺底周
　　三十三尺该米几何

法以周三十三尺(此全圆周/四分之三)三归四因得四十四尺为
全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺
六寸一十九分八十一釐九十二毫有馀四归三因得
一百一十五尺五十四寸六十四分八十六釐四十四
毫有馀为倚壁外堆之底面积再以高六尺乘之得六
百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十
釐有馀三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十
二分八百八十釐有馀为倚壁外角堆之积数然后以

石率除之得九十二石三升七合有馀即所求倚壁外
角堆之米数
　截积
　　正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今
　　欲于一边截积四十五尺问截阔几何
法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边
以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之阔于十
五尺内减三尺馀十二尺即截剩馀积之阔也

　　正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲
　　截积一百六十五尺馀积仍为正方形问应得边
　　数几何
法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减
馀一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之
正方边
　　长方形截积设长方形一万九千二百尺长比阔
　　多四十尺今减积二千八百八十尺问馀积长阔

　　各几何
法以总积一万九千二百尺用带纵平方得长一百六
十尺阔一百二十尺今如欲截阔则以长一百六十尺
除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之阔于原
阔一百二十尺内减十八尺馀一百零二尺即截剩馀
积之阔如欲截长则以阔一百二十尺除截积二千二
百八十尺得二十四尺为截积之阔于原长一百六十
尺内减二十四尺馀一百三十六尺即截剩馀积之长

　截积
　　勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今
　　从上段截积五十四尺问应截长阔各几何
　
　
　
　
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五

十四尺倍之(即甲丁与丁戊/相乘之长方)为三率求得四率八十一
尺开方得九尺即所截之阔(盖股与勾之比必同于甲/丁丁戊相乘之长方与丁)
(戊自乘之/正方之比)再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二
率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之
长
　　勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今
　　从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上
　　阔各若干

法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四
百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率
六百四十八尺乃以勾二十七尺自乘得七百二十九
尺内减所得四率六百四十八尺馀八十一尺开方得
九尺为所截之阔再以勾二十七尺为一率股三十六
尺为二率阔九尺与勾二十七尺相减馀十八尺(如图/己丙)
为三率求得四率二十四尺(如图戊己/与丁乙等)即所截之长
或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺

内减从下段所截之斜方积四百三十二尺馀五十四
尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所
得之阔即上阔上段之长与股三十六相减即下段所
截之长
　　三角形截积算法与勾股形同(底阔如勾/中长如股)
　
　
　

　　斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺
　　下阔二十尺上阔十二尺今从上股截积一百六十
　　八尺该截长阔各几何
　
　
　
　
法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二

尺馀八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三
十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上阔十
二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二
尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔
乃以上下两阔相较减之八尺为一率长二十四尺为
二率截阔与上阔相减馀四尺为三率求得四率十二
尺即所截之长
　　斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上阔十

　　二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺
　　求截长阔
法以长二十四尺为一率下阔内减上阔馀八尺为二
率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率
求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四
百尺内减所得四率一百四十四尺馀二百五十六尺
开方得一十六尺即所截之阔再以上下两阔较减所馀
之八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减

截阔十六尺馀四尺为三率求得四率十二尺即所截
下段之长
　梯形
　　梯形截上段积截下段积
法俱与斜方形同
　
　
　

上下两阔较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二
倍故其比例皆同
　　梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上
　　阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百
　　五十尺求截长阔几何

法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十
尺较减馀六十尺折半得三十尺(如图/乙戊)为二率截积四
百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十
五尺开方得一十五尺为所截之阔(如图/乙辛)乃以半较三
十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三
率求得四率六十尺即所截之长
　　梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺
　　上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积

　　四千二百尺求所截之上下阔
法以上阔四十尺与下阔八十尺较减馀四十尺折半
得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积
　
　
　
　
四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除

之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和加较二
十尺得九十尺折半得四十五尺即下阔减较二十尺
得五十尺折半得二十五尺即上阔
　分积
　　三角形平分面积一半仍与原形同式
　　设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边
　　四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与
　　原形同式问所截三边各长若干

　
　
　
　
法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一
百六十八丈为二率底边四十二丈自乘得一千七百
六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二
十九丈六尺九寸八分四釐八毫为所截之底边乃以

原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得
四率二十四丈零四寸一分六釐有馀即所截之大腰
边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三
率求得四率十四丈一尺四寸二分有馀即所截之小
腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法
仿此
　　圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢
　　阔二寸四分求弦长

　
　
　
　
　甲乙为全径甲戊为矢丙丁为弦甲丙丁为截弧
　矢形
法以矢阔二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢阔
二寸四分馀九寸六分为末率首末率相乘得二十三

寸零四分开方得四寸八分为中率(即丙/戊)倍之得九寸
六分为弧矢形之弦
　　圆面截弧矢形有弦求矢设圆形径一尺七寸弦
　　长一尺五寸求矢阔
法以弦长一尺五寸折半得七寸五分自乘得五十六
寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长阔和用
带纵和数开方法算之得阔四寸五分即弦矢形之矢
　　弧矢形求圆径设弧矢形弦长一尺一寸矢阔四

　　寸求圆径
法以矢阔四寸为首率弦长一尺二寸折半得六寸为
中率以中率六寸自乘首率四寸除之得九寸为圆之
截径加矢阔四寸即圆径
　　圆面截弧矢形求积

法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截
弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半
径数与弧背之丈尺相乘得数折半为弧背三角形之
面积又自圆心至弦作一平三角形用半径与矢相减
馀数为中垂线以中垂线与弦相乘得数折半为平三
角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积
又法以矢与弦相加以半矢乘之得数为弧矢形面积
　此法较前法微疏如无八线表则以此法算之

　并积
　　两正方形并积有边较求分积及边
　　设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方
　　边多六尺问分积及各边几何

法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方
边较六尺自乘得三十六尺与八百二十尺相减馀七
百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六
尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十
一尺为小正方之边以方边各自乘得积数
　　两正方形并积有边总求分积及边设大小两正
　　方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺
　　求分积及各边之数几何

法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺
又以两边和三十五丈自乘得一千二百二十五尺与
倍积相减馀九尺开方得三尺即两方边之较两边和
三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方
之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各
自乘得积数
　　两正方形相并有边较积较求各边设大方边比
　　小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三

　　尺求各方边
　
　
　
　
法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九
尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大
正方之边减较七尺馀二十一尺为小正方之边

　　两正方形相并有边总积较求各边设大小两正
　　方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百
　　五十五尺求各边
法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得
五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得
十八尺即大正方之边减较五尺馀十三尺即小正方
之边
　　两正方形并积有积较求各边设大小两正方积

　　共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二
　　尺求各边
法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减馀九十
八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即
小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加
得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边
　　三正方形并积有三边较求各边设三正方形共
　　积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方

　　边比小方边多三尺求各方边
　
　
　
　
法以大方边比小方边所多之较六尺自乘得三十六尺
又以次方边比小方边所多之较三尺自乘得九尺两
数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减馀三

百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积(其阔为/三小正)
(方边长为三小正方边两/大方边较两次方边较)又以大方边较六尺倍之得
十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八
尺为长阔较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺
归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得
十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四
尺即大正方
　容面

　　圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何
　
　
　
　
法以圆径十尺自乘得一百尺折半得五十尺开平方
得七尺零七分一釐有馀即圆面内所容正方边也
　　圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之

　　一边尺寸几何
　
　
　
　
　乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为弦乙丙
　为勾则甲丙为股
法以圆径二十尺为弦折半十尺为勾用勾弦求股法

得十七尺三寸二分有馀即圆面内所容三角形之一边
　　三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰
　　十五尺底四十四尺问内容正方边几何
　
　
　
　
法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与

底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺
为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸
二分八釐有馀即三角形内所容正方边也
　
　
　
　
　　三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容

　　圆面径几何
　乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙
　丁弦之半则甲丙勾亦必为甲丁弦之半甲丁与乙
　甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍
　之即为全径
法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九釐
有馀为中垂线以三归之得三寸四分六釐有馀为
圆面半径倍之得六寸九分二釐有馀即所求圆

面径
　　勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方
　　边几何
法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾
九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四
分二釐有馀即勾股形内所容正方面边也
　　勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面
　　径几何

　
　
　
　
　
　乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股
　和内减乙丁弦所馀为戊丙及丙己二段各为圆面
　之半径相并即为全径

法以勾股求弦法求得十五尺为弦乃以勾九尺与股
十二尺相加得二十一尺内减弦数十五尺馀六尺即
所容圆面径
　　锐角钝角三角形容圆面式
　
　
　
　

法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长
方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全
径
　按分递折比例　二八差分　三七差分　四六差
　分　递折差分　加倍减半差分
　　设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银
　　赏米人数各几何
法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为

二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数
再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米
人数
　　设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之
　　求各得米数若干
法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为
丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八
石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八

石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率
百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三
率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数
　　设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊
　　五等人户照二八递减纳之甲户三十乙户四十
　　丙户五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干
法以递减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归
八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户

为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二
相乘得一万五千三百六十为甲户共衰数　以乙户
四十与乙衰一百二十八相乘得五千一百二十为乙
户共衰数　以丙户五十与丙衰三十二相乘得一千
六百为丙户共衰数　以丁户六十与丁衰八相乘得
四百八十为丁户共衰数　以戊户七十与戊衰二相
乘得一百四十为戊户共衰数　乃以五等衰数相并
得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五

石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率
五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三
十乘之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳
粮数　以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石
九斗七升六合为一乙户应纳粮数以乙户四十乘之
得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数　以丙衰
三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户
五十乘之得数为丙户共纳粮数　丁戊二等算法仿此

　以上系二八差分之式
　　设有银五千两令二县分支东县支七分西县支
　　三分问各支若干
法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率
若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县
应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两
即西县应支之数
　　设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几

　　刻方到
法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七
里馀三里为三率求得四率为六数即再行六刻方
到
　　设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三
　　七分织问各该若干
法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一
分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并

得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为
二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八
两七钱为织缎馀数以绫衰二十一分为三率则求
得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分
为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数
　　设有田一百三十八亩每亩徵米二斗今欲七分
　　徵米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干
法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乘田一

百三十八亩得总米二十七石六斗为二率七分为三
率求得四率十九石三斗二升即徵米之数再以总米
二十七石六斗减去徵米十九石三斗二升馀八石二
斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十
六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率
一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四
钱八分即米三分折丝之数
　以上系三七差分法

　　设有水田三百亩令上下二户四六分灌问各灌
　　若干亩
法以四分六分相并得十分为一率田三百亩为二率
以六分为三率求得四率一百八十亩即上户应灌之
田以四分为三率求得四率一百二十亩即下户应灌
之田
　　设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟
　　按四六递次应载问各载若干

法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分
为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相
并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六
石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百
八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率
则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求
得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四
率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九

十六石为各舟应运粮之数
　　设有熟稻七百九十九亩六分八釐令甲乙丙三
　　人挨次以十分之六收穫问各分收若干
法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相
并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九亩六分
八釐为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八亩
又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四亩八分
以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六亩八分

八釐即三人应收之米数
　以上系四六差分法
　　设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分
　　之七递次贩货出卖问每人该银若干
法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九
十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得
二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五
钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人

五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第
四人一百七十一两五钱为各贩货之数
　　设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得
　　净熟铜三百四十八两问原铜几何
法以八分自乘再乘得五百十二分为一率十分自乘
再乘得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求
得四率四百八十四两三钱七分五釐即原铜之数
　　设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户

　　挨次照十分之六出之上户二十五中户三十下
　　户四十八问每户出若干
法以一百为上等分数以二十五户乘之得二千五百
分以六十为中等分数以三十五户乘之得一千八百
分以三十六为下等分数以四十八户乘之得一千七
百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一
率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰
为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八

寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数
　　设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸
　　问日织绢若干
法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八
为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸
为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为
初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八
尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织

合之共六丈七尺五寸也
　　设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍
　　每次还银二百两三次本利还尽亦无馀银问原
　　本若干
法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共
分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分
为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分
四为第一次还银分合并得七分与二百两相乘得一

千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银
数
　　设有田一千二百亩令甲乙丙丁四人挨次递减
　　一半分种问各种若干亩
法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得
十五分为一率田一千二百亩为二率以甲八分为三
率求得四率六百四十亩即甲所种田数折半则乙得
三百二十亩又减半则丙得一百六十亩又减半则丁

得八十亩也
　　设有银三千一百六十两令三等人递次减半分
　　用一等二十名二等二十四名三等三十名问每
　　等人得银几何
法以四为一等分数以二十乘之得八十分二为二等
分数以二十四乘之得四十八分一为三等分数以三
十乘之得三十分合并得一百五十八分为一率银三
千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率

一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一
人应得银数
　以上皆各等差分之例
　按数加减比例　递加递减差分　超位加减差分
　互和折半差分　首尾互准差分
　　设有金六十两令甲乙丙三人依次递加五两分
　　之问各得若干
法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四

率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两
则为丙之数
　　设有银九百九十六两分给八人自末名以上递
　　加十七两问首末二人各得若干
法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率
求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八
两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再
加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一

百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两
为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一
百一十六两为第五人应得银数再以十七两递减三
次馀六十五两即末一人应得银数
　　设有一百人首名赏银一百两以下递减五钱问
　　该银若干
法以一分为一率递减五钱为二率九十九分为三率
求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于

一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数
又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乘
之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两
即赏银总数
　　设一人行路日增六里共行三百二十里但知初
　　末两日所行共一百六十里问该行几日初末两
　　日各该若干里
法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃

共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为
三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半
得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行
里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二
日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十
一里
　　设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日
　　渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干

法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一
日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数
亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初
日下计末日俱得六分与递加六寸相乘得三十六寸
于一百零四寸内减之馀六十八寸初日所织之数加
之得一百四十寸为末日所织之数
　　设有田七百二十亩令甲乙丙三人依次递减分
　　耕问各该若干亩

法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六
分为一率田七百二十亩为二率一分为三率求得四
率一百二十亩为丙所耕之田二因之乙得二百四十
亩三因之甲得三百六十亩凡命法中不足所减分数
者以此为例
　　设有粮一千一百三十四石令五等户递减纳之
　　一等二十四户二等三十三户三等四十四等五
　　十一五等六十问每户纳若干

法以五四三二一为五等衰分以五衰乘二十四户得
一百二十分以四衰乘三十三户得一百三十二分以
三衰乘四十二户得一百二十六分以二衰乘五十二
户得一百零二分以一衰乘六十户得六十户五数合
并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石
为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一
户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因
之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第

二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一户算之
　以上递加递减例
　　设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁
　　九分问各得若干
法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石
为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三
石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六
斗四升即各得分数

　　设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园
　　价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干
法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加
四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五
千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价
加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价
　　设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价
　　为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干

法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十
四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三
率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两
即各畜之价
　　设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次
　　获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本
　　利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银
　　若干

法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共
衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于
十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十
分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求
得四率十五即原本银数
　　设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二
　　等五十名三等一百一十名一等比二等每名加
　　七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米

　　若干
法以五斗米数与二等五十名人数相乘得米二十五
石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十
名人数相乘得米二十四石合并得四十九石于总米
五百三十五石内减去此数馀得四百八十六石乃以
三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石
为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人
应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七

斗为三石九斗是一等人所得
　以上系超位加减
　　设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分
　　之但知甲多于丙三十六石问各该米若干
法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率
求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三
十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减
于乙数为四十二石属丙

　　设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分
　　之但知赵多于李十八两问各该银若干
法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率
求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵
多于李之十八两三归(四人用三归若三人则用/二归五人则用四归也)得六
两即四人递加之数较折半得三两加于六十两即钱
银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三
两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李

　以上互相折半
　　设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两
　　丁得五十一两问乙丙两人银数
法以三分为甲多于丁之衰数(四人故用三分若五人/则用四分六人则用五)
(分/也)为一率于六十九两中减去五十一两馀十八两为
二率一分为三率求得四率六两为四人递加之较于
丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两
得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半

即得中数
　　设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运
　　二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一
　　斗其递加之数俱相等问每人运粮若干
法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一
人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之
得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分
之中数一分半与第六分相减馀四分半为一率第一

二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之
八石七斗相减馀三石一斗五升为二率一分为三率
求得四率七斗即每人递加之数由第一人而上递加
七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十
石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗
　　设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗
　　第七八两人共得八石三斗其递加之数俱相等
　　问每人应得米数若干

法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两
人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五
升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分
之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减
馀六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升
与第七第八相和折半之四石一斗五升相减馀
一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人
递加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六

石一斗为第一人应得米数以次递减三斗即以下诸
人之数
　　设有竹九节截为九筒递次长短不均但知根底
　　三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问
　　九筒各盛米数
法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之
数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和
折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分

半相减馀二分半为一率以一升三合与七合五勺相
减馀五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即
每节递加之较自第一节所盛一升三合而加一合即
第一节所盛米数递减一合即以下诸节之数也
　　设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人递减纳
　　之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳几何
法以四分为甲多于戊之衰(自甲至戊隔四位故/以四分为衰数也)三分
为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之

(次递加三分而各衰五四三/二一俱用三因其比例仍同)十五分为第二次比第七
次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第
七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六
分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第
七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三
分相减馀三分为前两次多于后五次之较又以后五
次同前二次相减馀三次为后五次多于前两次之较
夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三

总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率
每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六
石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石
亦共一百二十石
　　设有粮一千零九十二石令七次递减运送定前
　　二次与后五次运数相等问每次运数若干
法以十八分为第一次比第七次所多衰数(第一至第/七隔六位)
(应以六为所多衰数则每位递加一分但前后较归除/不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一)

(次递加三分而各衰五四三/二一俱用三因其比例仍同)十五分为第二次比第七
次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第
七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六
分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第
七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三
分相减馀三分为前两次多于后五次之较又以后五
次同前二次相减馀三次为后五次多于前两次之较
夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三

次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求
得四率一分即第七次之分数每次递加三分则第六
次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并
得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三
十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九
十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即
第七次一分之运数再以每次各分较乘之则第一次
得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗

合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百
零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百
零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五
石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数
　以上首尾互准
　边求积
　　设三广田南阔六十步北阔八十步中阔四十步
　　长一百二十步中阔距南北边相等问积几何

法宜截作两梯形田算之以南阔六十步与中阔四十
步合并折半得五十步与半长六十步相乘得三十步
为南半截梯形积又以北阔八十步与中阔四十步合
并折半得六十步与半长六十步相乘得三千六百步
为北半截梯形积两形相合六千六百步以亩法除之
得二十七亩五分即三广积法
　积求边
　　设三广田积二十七亩五分南阔六十步北阔八

　　十步中阔四十步中阔距南北边相等问长几何
法以二十七亩五分用亩法化步得步数四因之置南
北阔将中阔数倍之三数相并为法除之得一百二十
步即三广田之长
如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求
边皆截两梯形算之
　
　庄氏算学卷三