钦定古今图书集成经济汇编乐律典

　第五十三卷目录

乐律典第五十三卷

律吕部汇考七

《宋·蔡沈·律吕新书二》《律吕證辨》《造律第一》
班固《汉前志》曰：黄帝使伶伦，自大夏之西，昆崙之阴，取竹于解谷生，其窍厚均者，断两节间而吹之，以为黄钟之管。制十二筒以听凤之鸣，其雄鸣为六，雌鸣亦六，比黄钟之音，而皆可以生之，是为律本。至治之世，天地之气合以生风；天地之风气正，十二律定。
〈集览〉伶伦，按《索隐》：伶伦，黄帝之臣，善造十二律者。大夏之西，按《集览》：大夏，国名，在大宛国之西南二千二百里，妫水南，其都曰蓝市城。张骞曰：以骞度之，大夏去汉万二千馀里，居汉西南，昆崙之阴。按《一统志》：昆崙，山名，在西番朵耳卫东北，番名亦耳麻不剌山，极高峻，雪至夏不消，绵亘五百馀里，黄河经其南。〈补注〉大夏，西戎之国也。解谷，在昆崙之阴。窍，孔也。孟康曰：竹孔与肉厚薄等也。师古曰：比，合也。可以生之，谓上下相生也。故谓之律本。臣瓒曰：风气正，则十二月之气，各应其律，不失其序。

刘昭《汉后志》曰：伏羲作《易》，纪阳气之初，以为律法。建日冬至之声，以黄钟为宫，太簇为商，姑洗为角，林钟为徵，南吕为羽，应钟为变宫，蕤宾为变徵。此声气之元，五音之正也。又曰：截管为律，吹以考声，列以候气，道之本也。《国朝会要》曰：古者，黄钟为万事根本，故尺量权衡，皆起于黄钟。至晋隋间，累黍为尺，而以制律容受，卒不能合。及平陈，得古乐，遂用之。唐兴，因声以制乐，其器虽无法，而其声犹不失于古。五代之乱，大乐沦散，王朴始用尺定律，而声与器皆失之。故太祖患其声高，特减其一律。至是又减半律。然太常乐比唐之声，犹高五律。比今燕乐高三律。帝虽勤劳于制作，而未得其当者。有司失之，谓以尺而生律也。〈按此皆范蜀公之说〉河南程氏曰：黄钟之声，亦不难定。世自有知音者，将上下声考之。既得正，便将黍以实其管，看管实得几粒，然后推而定法可也。古法律管当实千二百粒黍，今羊头黍不相应，则将数等验之，看如何大小者，方应其数，然后为正。昔胡先生定乐，取羊头山黍，用三等筛子筛之，取中等者，特未定也。又曰：以律管定尺，乃以天地之气为准，非秬黍之比也。秬黍积数在先王时，惟此适与度量合，故可用。今时则不同。横渠张氏曰：律吕有可求之理，德性淳厚者能知之。按律吕散亡，其器不可尽见。然古人所以制作之意，则犹可考也。太史公曰：细若气，微若声，圣人因神而存之，虽妙必效。言黄钟始于声气之元也。班固所谓：黄帝使伶伦取竹，断两节间吹之，以为黄钟之宫。又曰：天地之风气正，而十二律定。刘昭所谓：伏羲纪阳气之初，以为律法。又曰：吹以考声列以候气。皆以声之清浊、气之先后求黄钟者也。是古人制作之意也。夫律长则声浊，而气先至。极长则不成声，而气不应。律短则声清而气后，至极短则不成声，而气亦不应。此其大凡也。今欲求声气之中，而莫适为准，则莫若且多截竹，以拟黄钟之管，或极其短，或极其长，长短之内，每差一分以为一管，皆即以其长权为九寸，而度其围径如黄钟之法焉。如是而更迭以吹，则中声可得，浅深以列，则中气可验。苟声和气应，则黄钟之为黄钟者，信矣。黄钟者信，则十一律与度量权衡者得矣。后世不知出此，而唯尺之求。晋氏而下，则多求之金石。梁隋以来，又参之秬黍。下至王朴，刚果自用，遂专恃累黍，而金石亦不复改矣。夫金石真伪，固难尽信。若秬黍，则岁有丰凶，地有肥瘠，种有长短，小大圆妥不同，尤不可恃。况古人谓子谷秬黍中者，实其龠，则是先得黄钟，而后度之以黍，不足则易之以大，有馀则易之以小。约九十黍之长，中容千二百黍之实，以见周径之广，以生度量权衡之数而已。非律生于黍也。百世之下，欲求百世之前之律者，其亦求之于声气之元，而毋必之于秬黍，则得之矣。
〈集览〉子谷，秬黍中者，实其龠，蔡氏传注：黄钟之龠，以子谷秬黍中者，十有二百实为一龠，十龠为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。〈补注〉临江梁氏寅曰：观蔡氏多截管之说，实得造律本原。今宜依其说，先多截管，以拟黄钟之管，或长或短之内，每差纤微，各为一管，以埋地中，候冬至验之。若诸
管中有气应者，则知此管合于造化矣。按本注更迭以吹，浅深以列，是以声气并言。今但言气而不言声，则知律管非可吹者也。

《律长短围径之数第二》

《司马迁·律书》
本文　　　　　　　　　　　改正
黄钟八寸七分一宫　　　　　八寸十分一林钟五寸七分四角　　　　　五寸十分四太簇七寸七分二商　　　　　七寸十分二南吕四寸七分八徵　　　　　四寸十分八姑洗六寸七分四羽　　　　　六寸十分四应钟四寸二分〈二分〉三羽　四寸二分三分二蕤宾五寸六分三分一　　　　五寸六分三分二〈强四百八十六〉大吕七寸四分三分一　　　　七寸五分三分二〈强四百囗囗五〉夷则五寸四分〈三分〉二商　五寸囗囗三分二〈弱二百一十六〉夹钟六寸一分三分一　　　　六寸七分三分一〈强一百九十八〉无射四寸四分三分二　　　　四寸四分三分二〈强六百囗囗二〉仲吕五寸九分〈三分〉二徵　五寸九分三分二〈强五百八十二〉按《律书》：此章所记分寸之法，与他记不同，所以难晓，故多误。盖取黄钟之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十约之为寸，故云八寸十分，一本作七分一者，误也。今以相生次序，列而正之，其应钟以下，则有小分。小分以三为法，如历家太少馀分强弱耳。其法未密也。今以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分一，一千四百五十八为三分二，馀分之多者为强，少者为弱，列于逐律之下，其误字悉正之。《隋志》引此章中黄钟、林钟、太簇、应钟四律寸分，以为与班固、司马彪、郑氏、蔡邕、杜夔、荀勖所论，虽尺有增减，而十二律之寸数并同，则是时律书尚未误也。及司马贞《索隐》，始以旧本作七分一为误，其误亦未久也。沈括亦曰：此章七字皆当作十字误，屈中画耳。大要律书用相生，分数相生之法，以黄钟为八十一分。今以十为寸法，故有八寸一分。汉前后志及诸家用审度分数审度之法，以黄钟之长为九十分，亦以十为寸法，故有九十分法虽不同，其长短则一。故《隋志》云：寸数并同也。
其黄钟下有宫，太簇下有商，姑洗下有羽，林钟下有角，南吕下有徵字。《晋志》论律书五音相生，而以宫生角，角生商，商生徵，徵生羽，羽生宫。求其理用，罔见通达者是也。仲吕下有徵，夷则下有商，应钟下有羽字，三者未详，亦疑后人误增也。下云上九商八，羽七，角六，宫五，徵九者，即是上文声律数。太簇八寸为商，姑洗七寸为羽，林钟六寸为角，南吕五寸为徵，黄钟九寸为宫。其曰宫五徵九，误字也。

《汉志》曰：《易》曰：参天两地而倚数。天之数始于一，终于二十五。其义纪之以三，故置一得三，又二十五分之六，凡二十五置，终天之数，得八十一，以天地五位之合终于十者乘之，为八百一十分，应历一统〈孟康曰：十九岁为一章，一统凡八十一章。〉千五百三十九岁之章数，黄钟之实也。繇此之义，起十二律之周径。〈孟康曰：律孔径三分，参天数也；围九分，终天数也。〉地之数始于二，终于三十。其义纪之以两，故置一得二，凡三十置，终地之数，得六十，以地中六数乘之，为三百六十分，当期之日，林钟之实也。〈孟康曰：林钟长六寸，围六分。以围乘长，得三百六十分。〉人者，继天顺地，序气成物，统八卦，调八风，理八政，正八节，谐八音，舞八风，监八方，被八荒，以终天地之功，故八八六十四。其义极天地之变，以天地五位之合终于十者乘之，为六百四十分，以应六十四卦，太簇之实也。〈孟康曰：太簇长八寸，围八分，为积六百四十分也。〉按《汉志》：以黄钟、林钟、太簇三律之长自相乘，又因之以十也。黄钟长九寸，九九八十一，又以十因之，为八百一十。林钟长六寸，六六三十六，又以十因之，为三百六十。太簇长八寸，八八六十四，又以十因之，为六百四十。黄钟应历一统，林钟当期之日，太簇应六十四卦，皆倚数配合为说而已。独黄钟云由此之义，起十二律之周径。盖黄钟十其广之分以为长，十一其长之分以为广，故空围九分，积八百一十分，其数与此相合。长九寸，积八百一十分，则其周径可以数起矣。即胡安定所谓径三分四釐六毫，围十分二釐八毫者是也。孟康不察，乃谓凡律围径不同，各以围乘长而得此数者，盖未之考也。
〈补注〉此下辨律之围径之数也。置一得三个二十五又，兼二十五分之六，共八十一分，围也。置一得六，谓得两个三十六十分也。

后汉郑康成《月令》注曰：凡律，空围九分。
孔颖达曰：诸律虽长短有差，其围皆以九分为限。

蔡邕《铜龠铭》曰：龠，黄钟之宫，长九寸。空围九分，容秬黍一千三百粒，称重十二铢，两之为一合，三分损益，转生十一律。
《月令·章句》曰：古之为钟律者，以耳齐其声。后人不能，则假数以正其度。度正则音已正矣。钟以斤两尺寸中所容受升斗之数为法，律亦以寸分长短
为度，故曰黄钟之管，长九寸，径三分，其馀皆稍短。虽大小围数无增减，以度量者，可以文载口传，与众共知。然不如耳决之明也。

韦昭《周语注》曰：黄钟之变也，管长九寸，径三分，围九分。因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。
按郑康成《月令》注云：凡律，空围九分。蔡邕《铜龠铭》亦云：空围九分，盖空围中广九分也。东都之乱，乐律散亡。邕之时未乱，当亲见之。又晓解律吕，而《月令章句》云径三分，何也。孟康韦昭之时，汉斛虽在，而律不存矣。康昭等不通律吕，故康云：黄钟、林钟、太簇，围径各异。昭云：黄钟径三分，皆无足怪者。隋氏之失，岂康昭等有以启之，与不知而作，宜圣人所深戒也。
魏徵《隋志》曰：开皇元年平陈后，牛弘、辛彦之、郑译、何妥等，参考古律度，合依时代，制律其黄钟之管，俱径三分，长九寸。度自有损益，故声有高下；围径长短，与度而差，故容黍不同。今列其数云。
晋前尺，黄钟容黍八百八粒。
梁法尺，黄钟容八百二十八。
梁表尺，黄钟三：其一容九百二十五，其一容九百一十，其一容一千一百二十。
汉官尺，黄钟容九百三十九。
古银错题，黄钟龠容一千二百。
宋氏尺，即铁尺，黄钟凡二：其一容一千二百，其一容一千四十七。
后魏前尺，黄钟容一千一百一十五。
后周玉尺，黄钟容一千二百六十七。
后魏中尺，黄钟容一千五百五十五。
后魏后尺，黄钟容一千八百一十九。
东魏尺，黄钟容二千八百六十九。
万宝常水尺律母，黄钟容黍一千三百二十。
梁表、铁尺律黄钟副别者，其长短及囗空之围径并同，而容黍或多或少，皆是作者旁庣其腹，使有盈虚也。
按梁表尺三律，与宋氏尺二律，容受不同。史谓，作者旁庣其腹，使有盈虚。则当时制作之疏，亦可见矣。晋前尺律，黄钟止容八百八黍者，失在于径三分也。古银错与玉尺、玉斗，合玉斗之容受，与晋前尺径三分四釐六毫者，不甚相远。但玉尺律径不及三分，故其律遂长，而尺长于晋前尺一寸五分八釐。盖自汉魏而下，造律竟不能成，而度之长短、量之容受、权衡之轻重，皆戾于古。大率皆由径三分之说误之也。胡安定《律吕议》曰：按历代律吕之制，黄钟之管长九寸，黍之广积九寸，度之所由起也。容千二百黍，积八百一十分，量之所由起也。重十有二铢，权衡之所由起也。既度量权衡皆出于黄钟之龠，则黄钟之龠，围径容受，可取四者之法，交相酬验，使不失其实也。今验黄钟律管，每长一分，内实十三黍又三分黍之一，围中容九方分也。后世儒者，执守孤法，多不能贯知权量之法。但制尺求律，便为坚證。因谓围九分者，取空围圆长九分尔。以是围九分之误，遂有径三分之说。若从径三围九之法，则黄钟之管，止容九百黍，积止六百七分半。如此，则黄钟之声，无从而正。权量之法，无从而生。周之嘉量，汉之铜斛，皆不合其数矣。按十二律围径，自先汉以前，传记并无明文。惟《班志》云：黄钟八百一十分。由此之义起十二律之周径，然其说乃是以律之长，自乘而因之以十，盖配合为说耳，未可以为据也。惟《审度章》云：一黍之广，度之九十分，黄钟之长，一为一分。《嘉量章》则以千二百黍实其龠，《谨权衡章》则以千二百黍为十二铢，则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三釐八毫，径三分四釐六毫也。每一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之，则一千二百也。又汉斛铭文云：律嘉量，方尺圆，其外庣旁九釐五毫，羃百六十二寸，深尺积一千六百二十寸，容十斗。嘉量之法，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百一十寸，为分者，一百六十二万。一斗积一百六十二寸，为分者，十六万二千。一升积十六寸二分，为分者一万六千二百。一合积一寸六分二釐，为分者一千六百二十。则黄钟之龠为八百一十分，明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。自孟康以律之长十之一为围之谬，其后韦昭之徒，遂皆有径三分之说，而《隋志》始著以为定论。然累九十黍径三黍，止容黍八百有奇，终与一千二百黍之法两不相通，而律竟不成。唐因声制乐，虽近于古，而律亦非是。本朝承袭，皆不能觉。独胡安定以为九分者，方分也，以破径三分之法。然所定之律，不本于声气之元，一取之秬黍。故其度量权衡，皆与古不合。又不知变律之法，但见仲吕反生，不及黄钟之数，乃迁就林钟以下诸律围径，以就黄钟清声。以夷则、南吕为径三分围九分，无射为径三分八釐，围八分四釐。应钟为径二分六釐五毫，围七分九釐五毫。夫律以空围之同，故其长短之异，可以定声之高下，而其所以为广狭长短者，又莫不有自然之数，非人之所能为也。今其律之空围不同如此，则亦不成律矣。遂使十二律之声，皆不当位，反不如和岘旧乐之为条理，亦可惜也。房庶以径三分，周围九分，累黍容受不能相通，遂废一黍为一分之法，而增益《班志》八字，以就其说。范蜀公乃从而信之，过矣。〈补注：四者之法，谓黄钟与度量权衡也〉

《黄钟之实第三》

《淮南子》曰：规始于一，一不生，故分而为阴阳，阴阳合和而万物生。故曰一生二，二生三，三生万物。天地三月而为一时，故祭祀三饭以为礼，丧纪三踊以为节，兵重三罕以为制。三参物，三三如九，故黄钟之九寸而宫音调，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。黄者，土德之色；钟者，气所种也。日冬至德气为土，土色黄，故曰黄钟。律之数六，分为雌雄，故曰十二钟，以副十二月。十二各以三成，故置一而十一，三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。
〈补注〉按陈旸《乐书》：三罕当作三军。　刘绩注曰：置一，谓安一于此也。十一三之，谓循序分为十一，而以三之数行乎中也。盖黄钟历十二辰，子一即置一也，丑三即一三也，寅九即二三也，卯二十七即三三也，辰八十一即四三也，巳二百四十三即五三也，午七百二十五即六三也，未二千一百八十七即七三也，申六千五百六十一即八三也，酉一万九千六百八十二即九三也，戌五万九千四十九即十三也，至亥得十七万七千一百四十七，故曰十一三之黄钟，为诸律之本，诸律皆从其数生。故以十二律相生之次，配其历十二辰之数。黄钟即子一也，林钟丑，三分二，为数十一万九千九十八。太簇寅，九分八，为数十五万七千四百六十四。南吕卯，二十七分十六，为数十万四千九百七十六。姑洗辰，八十一分六十四，为数十三万九千九百六十八。应钟巳，二百四十三分一百二十八，为数九万三千三百一十二。蕤宾午，七百二十九分五百一十二，为数十二万四千四百一十六。大吕未，二千二百八十七分一千二十四，为数十六万五千八百八十八。夷则申，六千五百六十一分四千九十六，为数十一万五百九十二。夹钟酉，一万九千六百八十三分八千一百九十二，为数十四万七千四百五十六。无射戌，五万九千四十九分三万二千七百六十八，为数九万八千三百四。仲吕亥，一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六，为数十三万一千七十二。再以其数相生，三分之不尽二算，而数不行，其律所以止十二，亦自然之理也。

《前汉志》曰：太极元气，函三为一。极，中也。元，始也。行于十二辰，始动于子。参之于丑，得三。又参之于寅，得九。又参之于卯，得二十七。又参之于辰，得八十一。又参之于巳，得二百四十三。又参之于午，得七百二十九。又参之于未，得二千一百八十七。又参之于申，得六千五百六十一。又参之于酉，得万九千六百八十三。又参之于戌，得五万九千囗囗四十九。又参之于亥，得十七万七千一百四十七。此阴阳合德，气钟于子，化生万物者也。
〈补注〉太极元气，函三为一。孟康曰：元气始起于子，未分之时，天地人混合为一，故子数独一也。

《律书》曰：置一而九，三之以为法，实如法得长一寸，凡得九寸。命曰黄钟之律。
按《淮南子》谓：置一而十一，三之，以为黄钟之大数。即此置一而九，三之，以为寸法者，其术一也。夫置一而九，三之，既为寸法。则七三之为分法，五三之为釐法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。律书独举寸法者，盖已于生钟分内，默具律寸分釐毫丝之法，而又于此律数之下，指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三，以九分之，则为二千一百八十七。二千一百八十七以九分之，则为二百四十三。二百四十三以九分之，则为二十七。二十七以九分之，则为三。三者，丝法也。九其三得二十七，则毫法也。九其二十七，得二百四十三，则釐法也。九其二百四十三，得二千一百八十七，则分法也。九其二千一百八十七，得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九釐，一釐九毫，一毫九丝，以之生十一律，以之生五声二变，上下乘除，参同契合，无所不通，盖数之自然也。顾自淮南、太史公之后，即无识其意者。如京房之六十律，虽亦用此十七万七千一百四十七之数，然乃谓不盈寸者十之，所得为分。又不盈分者十之，所得为小分。以其馀为强弱，不知黄钟九寸以三损益，数不出九。苟不盈分者，十之，则其奇零无时而能尽。虽泛以强弱该之，而卒无以见强弱之为几何。则其数之精微，故有不可得而纪者矣。至于杜佑、胡瑗、范蜀公等，则又不复知有此数，而以意强为之法。故《通典》则自南吕而下，各自为法，固不可以见分釐毫丝之实。胡范则止用八百一十分，乃是以积实生量之数，为律之长，而其因乘之法，亦用十数，故其馀算，亦皆弃而不录。盖非有意于弃之，实其重分累析，至于无数之可纪，故有所不得而录耳。夫自丝而下，虽非目力之所能分，然既有其数，而或一算之差，则法于此而遂变，不以约十为九之法分之，则有终不可得而齐者。故淮南、太史公之书，其论此也已详，特房等有不察耳。
司马贞《史记索隐》注：黄钟八寸，十分一，云律。九九八十一，故云八寸十分一。《汉书》云：长九寸者，九分之寸也。此则古人论律以九分为寸之明验也。〈补注〉《仪礼经传通解》云：置子之一而九，三之，至酉则得一万九千六百八十三。算为子之寸法矣。置子之实十七万七千一百四十七算，而以寸法约之，则一万九千六百八十三算为一寸，而通其实之全数，得九寸矣。又云：以子为一，而十一三之，以至于亥，则得十七万七千一百四十七算，而子为全律之数，亥为全录之实，可知矣。以寅为子之寸数，而酉为寸法，则其律有九寸可知矣。以辰为子之分数，而未为分法，则其寸有九分可知矣。以午为子之釐数，而已为釐法，则其分有九釐可知矣。以申为子之毫数，而卯为毫法，则其釐有九毫可知矣。以戌为丝数，而丑为丝法，则其毫有九丝可知矣。

《三分损益上下相生第四》

《吕氏春秋》曰：黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。
〈补注〉潜室陈氏曰：仲吕隔八生子，上生者三分益一，如林钟生太簇，自六寸上生为八寸也。下生者三分去一，如黄钟生林钟，自九寸上生为六寸也。古史谓阳必下生，阴必上生。若拘此法，则十二月之律，无比次降杀之序。以之候气，则气不应。以之制乐，则乐不和矣。故郑康成有重上生法，自黄钟生至蕤宾，则阳反生上，阴反生下，六五而终矣。其比次降杀之序，可用以候气，可用以制乐，乃天然之法，非巧算所能为者。且五声之本生于黄钟，丝最多而声最浊，则黄钟固为宫矣。若五声旋相为宫，则十二律皆可为宫也。如大吕为宫，则夹钟为商，仲吕为角，夷则为徵，无射为羽，黄钟为变宫矣。十二律之回旋，固生生而不穷。若徒以正法相生，依正声而用，则五音夺伦，君弱臣强矣，民尊臣卑矣，若事物一切夺伦而无统矣。故杜佑旋宫法，于是有正声焉，有子声焉。正声用其至，子声用其半，庶几五声协比，无相夺伦。如黄钟为宫，下六律以正声应凡五，惟变徵用子声耳。以见黄钟为诸律之母，有大君之象。若他律为宫，则下六律各不用正声应，卒用子声减半法相应，以见不敢正敌黄钟，有隆杀之义焉。然黄钟至尊，或反见役于他律者，盖诸律当权用事，则黄钟虽尊，亦当降下以相从，但不用正律耳。盖正律非他律所可役使，止可役使子律耳，以见君有常尊也。然旋宫之法，正律亦用减半以应者，盖宫常为君，商常为臣也。角常为民，徵常为事，羽常为物。子无过母之法，臣无高君之理，必用减半法以折之，则清浊高下，以次相比，无夺伦之患。所谓金声玉振，始终条理也。先儒不知此法，故律声不谐，古乐遂废。要之郑康成之重上生，杜佑之减半法，真圆机之士，非纸上之空言也。又曰：律所生者，常同位。吕所生者，常异位。故曰：律娶妻而吕生子也。且黄钟之初九，下生林钟之初六，同是初位，是为夫妇。林钟之初六，上生太簇之九二，初与二异位，是为母子。太簇之九二，下生南吕之六二，同是二位，是为夫妇。南吕之六二，上生姑洗之九三，二与三异位，是为母子。姑洗之九三，下生应钟之六三，同是三位，是为夫妇。应钟之六三，上生蕤宾之九四，三与四异位，是为母子。馀仿此。

《淮南子》曰：黄钟位子，其数八十一，主十一月。下生林钟。林钟之数五十四，主六月，上生太簇。太簇之数七十二，主正月，下生南吕。南吕之数四十八，主八月，上生姑洗。姑洗之数六十四，主三月，下生应钟。应钟之数四十二，主十月，上生蕤宾，蕤宾之数五十六，主五月，上生大吕。大吕之数五十八，主十二月，下生夷则。夷则之数五十一，主七月。上生夹钟。夹钟之数六十八，主二月，下生无射。无射之数四十五，主九月，上生仲吕。仲吕之数六十，主四月，极不生。
按《吕氏》：《淮南子》上下相生，与司马氏律书、汉前志不同。虽大吕、夹钟、仲吕用倍数则一，然吕氏、淮南不过以数之多寡，为生之上下。律吕阴阳，皆错乱而无伦，非其本法也。
〈补注〉刘绩注曰：黄钟律长九寸，以常数计之，九九八十一分也。以黄钟数三分损一分，二十七下生林钟，为数五十四。盖林钟律长六寸，以常数计之，六九五十四分也。以林钟数三分益一分，一十八，上生太簇，为数七十二。盖太簇律长八寸，以常数计之，八九七十二分也。太簇损一分，二十四下生南吕，为数四十八。其实南吕律止长五寸三分，以常数计之，五九四十五，三九二十七。釐言四十八，举成数也。馀仿此。愚谓律吕所以候气，自黄钟之管，阳皆下生，阴皆上生。自蕤宾之管，阴反下生，阳反上生。此吕氏、淮南子为不易之论也。至于制器调声，则用后《杜氏通典》十二子半声之法焉。盖正声倍子为母，子声半徵为子，今蔡氏本注，不知候气作乐，有用倍用半之不同，乃谓吕氏、淮南子律吕阴阳错乱无伦，亦未之尽也。

《律书》：生钟分：
子一分，　丑三分二，　寅九分八，　卯二十七分十六，　辰八十一分六十四，　巳二百四十三分一百二十八，　午七百二十九分五百一十二，　未二千一百八十七分一千囗囗二十四，　申六千五百六十一分四千囗囗九十六，　酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，　戌五万九千囗囗四十九分三万二千七百六十八，　亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
按此即三分损益，上下相生之数。其分字以上者，皆黄钟之全数。
子律数，寅寸数，辰分数，午釐数，申毫数，戌丝数。其丑、卯、巳、未、酉、亥，则三分律，寸分釐、毫、丝之法也。

其分字以下者，诸律所取于黄钟长短之数也。
假令子一分，则一为九寸，是黄钟之全数。丑三分二，则一为三寸，三三如九，亦是黄钟之九寸。二分取其二，故林钟得六寸。寅九分八，则一为一寸，亦是黄钟之九寸。九分取其八，故太簇得八寸。

其上下相生之序，则《晋志》所谓：在六律为阳，则当位自得而下生于阴。六吕为阴，则得其所冲，而上生于阳者是也。
丑为林钟，卯为南吕，巳为应钟，未为大吕，酉为夹钟，亥为仲吕。

大吕、夹钟、仲吕止得半声，必用倍数，乃与天地之气相应。其寸分釐毫丝，皆积九以为法，详见上章。《汉前志》曰：黄钟三分损一，下生林钟。三分林钟益一，上生太簇。三分太簇损一，下生南吕。三分南吕益一，上生姑洗。三分姑洗损一，下生应钟。三分应钟益一，上生蕤宾。三分蕤宾损一，下生大吕。三分大吕益一，上生夷则。三分夷则损一，下生夹钟。三分夹钟益一，上生无射。三分无射损一，下生仲吕。阴阳相生，自黄钟始而左旋，八八为伍。
〈补注〉孟康曰：从子数辰至未得八，下生林钟。数未至寅得八，上生太簇。律上下相生，皆以此为率。伍，耦也，八八为耦。愚按《汉前志》谓：下生大吕。与《后志》言下生上生，皆拘以阴阳，不知重上生法故也。

《律书》曰：《术》曰：下生者，倍其实，三其法。上生者，四其实，三其法。
假令黄钟九寸下生，则倍其实，为一尺八寸。三其法，乃为六寸，而得林钟。林钟六寸上生，则四其实，为二尺四寸。三其法，乃为八寸，而得太簇。他皆仿此。〈补注〉三其法，谓三分取一，为所生之数也。

《汉后志》曰：《术》曰：阳以圆为形，其性动。阴以方为节，其性静。动者数三，静者数二。以阳生阴，倍之；以阴生阳，四之；皆三而一。阳生阴曰下生，阴生阳曰上生。上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数实。皆参天两地，圆盖方覆，六耦承奇之道也。黄钟，律吕之首，而生十一律者也。
〈补注〉皆三而一，谓倍之，四之，皆三分而得其一也。

《和声第五》

《汉前志》曰：黄钟为宫，则太簇、姑洗、林钟、南吕皆以正声应，无有忽微，不复与他律为役者，同心一统之义也。非黄钟而他律，虽当其月自宫者，则其和应之律有空积忽微，不得其正。此黄钟至尊，无与并也。按：黄钟为十二律之首，他律无大于黄钟，故其正声不为他律役，其半声当为四寸五分。而前乃云无者，以十七万七千一百四十七之数不可分，又三分损益，上下相生之所不及，故亦无所用也。至于大吕之变宫，夹钟之羽，仲吕之徵，蕤宾之变徵，夷则之角，无射之商，自用变律半声，非复黄钟矣。此其所以最尊而为君之象，然亦非人之所能为，乃数之自然。他律虽欲役之，而不可得也。此一节，最为律吕旋宫用声之纲领，古人言之已详。唯杜佑《通典》再生黄钟之法为得之，而他人皆不及也。
佑说见下条。〈补注〉空积，即空围积实正数也。忽微，即馀分小数也。孟康曰：忽微，若有若无，细于发者也。谓正声无有残分也。他律为宫，则有空积。若郑氏分一寸为数千，《仪礼经传通解》云：此言黄钟惟于本宫用正律，若他律为宫，则黄钟之为高，角、徵、羽二变者，皆但用其变律，而正律不复与之为役也。此与《通典》变律之说相发明，而本志所言，有未尽者，故剟其大要，附于此云。

《汉后志·京房六十律》
黄钟〈子〉　　　　　黄钟生林钟〈未〉
林钟生太簇〈寅〉　　太簇生南吕〈酉〉
南吕生姑洗〈辰〉　　姑洗生应钟〈亥〉
应钟生蕤宾〈午〉　　蕤宾生大吕〈丑〉
大吕生夷则〈申〉　　夷则生夹钟〈卯〉
夹钟生无射〈戌〉　　无射生仲吕〈巳〉
仲吕生执始〈子〉　　执始生去灭〈未〉
去灭生时息〈寅〉　　时息生结躬〈酉〉
结躬生变虞〈辰〉　　变虞生迟内〈亥〉
迟内生盛变〈午〉　　盛变生分否〈丑〉
分否生解形〈申〉　　解形生开时〈卯〉
开时生闭掩〈戌〉　　闭掩生南中〈巳〉
南中生丙盛〈子〉　　丙盛生安度〈未〉
安度生屈齐〈寅〉　　屈齐生归期〈酉〉
归期生路时〈辰〉　　路时生未育〈亥〉
未育生离宫〈午〉　　离宫生凌阴〈丑〉
凌阴生去南〈申〉　　去南生簇嘉〈卯〉
簇嘉生邻齐〈戌〉　　邻齐生内负〈巳〉
内负生分动〈子〉　　分动生归嘉〈未〉
归嘉生随时〈寅〉　　随时生未卯〈酉〉
未卯生形始〈辰〉　　形始生迟时〈寅〉
迟时生制时〈午〉　　制时生少出〈丑〉
少出生分积〈申〉　　分积生争南〈卯〉
争南生期保〈戌〉　　期保生物应〈巳〉
物应生质未〈子〉　　质未生否与〈未〉
否与生形晋〈寅〉　　形晋生惟汗〈酉〉
惟汗生依行〈辰〉　　依行生包育〈亥〉
包育生谦待〈未〉　　谦待生未知〈寅〉
未知生白吕〈酉〉　　白吕生南授〈辰〉
南授生分乌〈亥〉　　分乌生南事〈午〉
按：世之论律者，皆以十二律为循环相生。不知三分损益之数，往而不返。仲吕再生黄钟，止得八寸七分有奇，不成黄钟正声。京房觉其如此，故仲吕再生，别名执始，转生四十八律，其三分损益不尽之算，或弃或增。夫仲吕上生不成黄钟，京房之见，则是矣。至于转生四十八律，则是不知变律之数止于六者，出于自然，不可复加。虽强加之，而亦无所用也。况律学微妙，其生数立法，正在毫釐秒忽之间。今乃以不尽之算，不容损益，遂或弃之，或增之，则其畸赢赘亏之积，亦不得为此律矣。又依行在辰，上生包育，编于黄钟之次，乃是隔九。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗，每律统五律。蕤宾、应钟，每律统四律。大吕、夹钟、仲吕、夷则、无射，每律统三律。三五不同，多寡不例。其与反生黄钟，相去五十百步之间耳。意者，房之所传，出于焦氏。焦氏卦气之学，亦去四而为六十，故其推律，亦必求合卦气之数。不知数之自然在律者，不可增，而于卦者不可减也。何承天、刘焯讥房之病，盖得其一二。然承天与焯，皆欲增林钟已下十一律之分，使至仲吕反生黄钟，还得十七万七千一百四十七之数。如此则是惟黄钟一律成律，他十一律皆不应三分损益之数，其失又甚于房矣。可谓目察秋毫，而不见其睫也。
〈补注〉按本注谓：依行在辰，上生包育，编于黄钟之次。则包育下亥字，当改为子字。自辰至子，乃是隔九，而非隔八也。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗，每律统五律，盖一子统五子，一未统五未，一寅统五寅，一酉统五酉，一辰统五辰。每律统四十八律中五律也。蕤宾、应钟，每律统四律，盖一午统四午，一亥统四亥，每律统四十八律中四律也。大吕、夹钟、仲吕、夷则、无射，每律统三律，盖一丑统三丑，一申统三申，一卯统三卯，一戌统三戌，一巳统三巳，每律统四十八律中三律也。

杜佑《通典》曰：陈仲儒云：调声之体，宫商宜浊，徵羽宜清。若依公孙崇止以十二律，而云还相为宫，清浊悉足，非惟未练五调调器之法，至于五声次第，自是不足。何者。黄钟为声气之元，其管最长，故以黄钟为宫，太簇为商，林钟为徵，则一相顺。若均之八音，犹须错采众声，配成其美。若以应钟为宫，大吕为商，蕤宾为徵，则徵浊而宫清，虽有其韵，不成音曲。若以无射为宫，则十二律中惟得取仲吕为徵，其商角羽并无其韵。若以仲吕为宫，则十二律内全无所取。何者。仲吕为十二律之穷，变律之首也。依京房书，仲吕为宫，乃以去灭为商，执始为徵，然后成韵。而崇乃以仲吕为宫，犹用林钟为商，黄钟为徵，何由可谐。
按：仲儒所以攻公孙崇者，当矣。其论应钟为宫，大吕为商，蕤宾为徵，商、徵皆浊于宫，虽有其韵，不成音曲。又谓：仲吕为宫，则十二律内全无所取，尤为的切。然仲儒所主，是京氏六十律，不知依行为宫，包育为徵，果成音曲乎，果有其韵乎。盖仲儒知仲吕之反生，不可为黄钟，而不知变至于六，则数穷不生，虽或增或弃，成就使然之数，强生馀律，亦无所用也。
〈补注〉仲儒但见应钟全四寸六分六釐，蕤宾全六寸二分八釐，遂谓徵浊而宫清。不知应钟用其全，蕤宾用其半，则徵清而宫浊也。但见仲为十二律之穷，遂谓十二律内全无所取。不知变律有六，则其韵皆足矣。

《通典》曰：十二律相生之法，自黄钟始，〈黄钟之管，九寸。〉三分损益。下生林钟，林钟上生太簇，太簇下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生仲吕。〈仲吕之管，长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四。〉此谓十二律长短相生一终于仲吕之法。又制十二钟以准，十二律之正声。
〈补注〉吴氏澄曰：吹十二管之声，管最长者，声最下。管以渐而短，则声以渐而高。于是各如其管声之高下，而铸十二钟焉。其声合于九十之管者，其钟名黄钟。其钟声如十二管之以渐而高者，名大吕，名太簇，名夹钟，名姑洗，名仲吕，名蕤宾，名林钟，名夷则，名南吕，名无射，名应钟。此十二律之名也。盖十二钟之声，由律而起。十二钟之名，则由钟而得也。

又凫氏为钟以律，计自倍半，以子声比正声，则正声为倍。以正声比子声，则子声为半。但先儒释用倍声有二义，一义云：半十二律正律，为十二子声之钟。二义云：从于仲吕之管寸数，以三分益一，上生黄钟，以所得管之寸数，然后半之，以为子声之钟。其为变正声之法者，以黄钟之管，正声九寸，子声则四寸半。又上下相生之法者，以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四，上生黄钟，三分益一，得八寸五万九千囗囗四十九分寸之五万一千八百九十六。半之，得四寸五万九千囗囗四十九分寸之二万五千九百四十八，以为黄钟。又上下相生，以至仲吕，皆以相生所得之律寸数半之，以为子声之律。
按此说，黄钟九寸生十一律，有十二子声，所谓正律、正半律也。又自仲吕上生黄钟，黄钟八寸五万九千囗囗四十九分寸之五万一千八百九十六，又生十一律，亦有十二子声，即所谓变律、变半律也。正变及半，凡四十八声，上下相生，最得《汉志》所谓黄钟不复为他律役之意，与《律书》五声大小次第之法。但变律止于应钟，虽设而无所用，则其实三十六声而已。其间阳律不用变声，而黄钟又不用正半声，阴吕不用正半声，而应钟又不用变半声。其实又二十八声而已。其详见于前篇之八章。
〈补注〉按先儒释用倍声，有二义，倍字当作子，一义，本注所谓正律、正半声也。二义，本注所谓变律、变半声也。其为变正声之法，以下三句释上二义也。又上下相生之法，此下至末释上二义也。变《通典》作半，《仪礼传通解》云：十二正律，各有一定之声，而旋相为宫，则五声皆无定位。当高者或下，当下者或高，则宫商失序，而声不和。故取其半律以为子声，常上生，而所生者短，则下取此声以为用。然以三分损益之法计之，则亦适合下生之数，而自此律又以其正律下生，则复得其本法，而为半律，又合上生之数。此惟杜氏言之，而他书不及也。又云：蕤宾以下，仲吕上生之所不及，故无变律。而唯黄、太、林、姑、南、应有之。注正变通十八律，各有半声，为三十六声。其间又有八声，虽有而无所用，实计二十八声而已。杜氏又言：变律上下相生，以至仲吕，则是又当增十二声而为四十八声，似太过而无所用也。今雅乐皆有四清音，其原盖出于此。然既欠八声且无变律，则其法又大疏略，而用有不周者，览者详之。临江梁氏曰：律有正、变、倍、半，得声气之全者，正也。不得声气之全者，变也。得气之全而声过之者，倍也。得气之全而声不及者，半也。然有倍半之声，无倍半之气。声者，钟也。气者，律也。故变自有律而倍半，则但于计律为钟之时，损益其数度而已。杜佑正律之外，有子声，是不察夫计律为钟之义。蔡氏十二律皆有半律，盖踵佑之失也。

《五声小大之次第六》

《国语》曰：大不踰宫，细不过羽。夫宫，音之主也。第不及
羽。
〈补注〉潜室陈氏曰：五声大小之相次，因本于黄钟为宫。若五声旋相为宫，则十二律皆可为宫，非特黄钟为宫而已。如应钟为宫，则大吕为商，夹钟为角，蕤宾为徵，夷则为羽，无不皆然。然当高者或下，当下者或高，而有夺伦之患。故立此五象以调之，宫必为君，而不可下于臣。商必为臣，而不可上于君。若民，若事，若物，皆当以次降杀。所以律中有以半声相应者，盖以其臣或过君，民或过臣，事或过民，物或过事，故不用正声而用半声以应之，此八音所以克谐，而不相夺伦也。

《律书》曰：律数九九八十一以为宫，三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。《通典》曰：古之神瞽考律均声，必先立黄钟之均。〈五声十二律，起于黄钟之气数〉黄钟之管，以九寸为法。〈度其中气明其阳数之极〉故用九自乘，为管丝之数。〈九九八十一数〉其增减之法，又以三为度，以上生者，皆三分益一，下生者皆三分去一。宫生徵，
三分宫数八十一，则分各二十七，下生者去一，去二十七，馀有五十四以为徵。故徵数五十四也。

徵生商，
三分徵数五十四，则分各十八。上生者益一，加十八于五十四，得七十二，以为商。故商数七十二也。

商生羽，
三分商数七十二，则分各二十四。下生者去其一，去二十四，得四十八以为羽。故羽数四十八也。

羽生角，
三分羽数四十八，则分各十六。上生者益一，加十六于四十八，则得六十四以为角。故角数六十四也。

此五声大小之次也。是黄钟为均，用五声之法，以下十一辰，辰各有五声，其为宫、商之法，亦如之。辰各有五声，合为六十声，是十二律之正声也。
按宫声之数八十一，商声之数七十二，角声之数六十四，徵声之数五十四，羽声之数四十八，是黄钟一均之数，而十一律于此取法焉。《通典》所谓以下十一辰，辰各五声，其为宫为商之法，亦如之者，是也。夫以十二律之宫，长短不同，而其臣民事物尊卑，莫不有序，而不相陵犯。良以是耳。沈括不知此理，乃以为五十四在黄钟为徵，在夹钟为角，在仲吕为商者，其亦误矣。俗乐之有清声，盖亦略知此意。但不知仲吕反生黄钟，黄钟又自林钟再生太簇，皆为变律，已非黄钟、太簇之清声耳。胡安定知其如此，故于四清声皆小其围径，则黄钟、太簇二声虽合，而大吕、夹钟二声又非本律之半。且自夷则至应钟，四律皆以次小其围径以就之，遂使十二律五声，皆有不得其正者，则亦不成乐矣。若李照蜀公止用十二律，则又全然不知此理者也。盖乐之和者，在于三分损益。乐之辨者，在于上下相生。若李照蜀公之法，其合于三分损益者，则和矣。自夷则已降，则其臣民事物，岂能尊卑有辨，而不相陵犯乎。晋荀勖之笛，梁武帝之通，亦不知此而有作者也。
〈集览〉梁武帝之通，《乐音志》：梁武帝自制礼乐，立四器，名曰通，每通皆施三弦，一元英通，二青阳通，三朱明通，四白藏通。〈补注〉《律书》见《史记》、《礼仪经传通解》云：沈括疑《史记》此说止是黄钟一均之数，非馀律之通法。合详《通典》云：十一辰宫商之法亦如之。盖若以十一律为宫，亦用此数，以乘本律之分数，而损益之。如林钟为均，则以八十一为五十四，二十七为十八之类也。愚按蔡氏本注，意谓十一律虽生于黄钟九寸，长短不齐，及生五声，皆纳以十八，一分起数，三分损益，与黄钟同。故曰其为宫商之法亦如之。沈括以五十四在黄钟为徵，在夹钟为角，在仲吕为商。不知五十四、十二律，皆以为徵也。朱子曰：唐末丧乱，乐人散亡，礼坏乐崩。朴自以私意撰四清声，古者十二律外有十二子声，又有变声六，若用清声为宫，则本声轻清而高，馀声重浊而下。又曰：所谓四清声，夹钟、大吕、黄钟、太簇是也。盖用其半数，谓如黄钟九寸，只用四寸半，馀三律亦然如此。则宫声可以概之，其声和矣。看来十二律皆有清声，只说四者，意其取数之多者言之。