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卷一百二十三

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十三卷目录

 算法部汇考十五
 算法统宗十一〈难题一〉

历法典第一百二十三卷

算法部汇考十五

《算法统宗十一》难题一序目

夫难题昉于永乐四年。临江刘公仕隆偕内阁诸君预修大典,退公之暇,编成《难法》,附于九章通明之后。及钱唐吴信民《九章比类》,与诸家算法中诗词、歌括、口号,总集名曰《难题》。难者,难也。然似难而实非难,惟其词语巧捏,使算师一时迷惑莫知,措手不知。难法皆不离于九章。非九章之外,其难题惟在乎立法。立法既明,则迎刃而破,又何难之有哉。今分列《九章立法明辩》,附集杂法于统宗之后,俾好事者共览云。
方田一〈凡七问〉


昨日丈量田地回,记得长步整三十。广斜相并五十步,不知几亩及分釐。
答曰:二亩。
法曰:置广斜相并五十步自乘,得二千五百步。另以长三十步自乘,得九百步。二位相减,馀一千六百步。折半,得八百步为实。以广斜五十步为法除之,得阔一十六步。以乘长三十步,得四百八十步。以亩法二四除之。合问。〈此是句弦和〉


三十八万四千步,正长端的无差误。六丝二忽五微阔,不知共该多少亩。
答曰:一亩。
法曰:置长三十八万四千步为实。以阔六丝二忽五微为法乘之,得二百四十步。以亩法二四除之。合问。〈此是直田长阔间积〉


一段环田径不知,二周相并最幽微。皆知一亩无零积,一百六十不差池。三般可以见端的,只要名家仔细推。
答曰:径三步,外周八十九步,内周七十一步。
法曰:通田一亩得二百四十步为实。另以二周相并一百六十步折半,得八十步。为法除之,得径三步。以三步自乘,得九步。以减八十步,馀七十一步为内周。以减总一百六十,馀得外周八十九步。合问。
凤栖梧

一段环出余久虑。众说分明,亦有谁人悟。忘了二周并径步。人道二周不及为,差处七十有馀单。二步三事,通知答曰分明注。五亩二分无零数。元机奥妙堪思慕。〈题解内周不及外周七十二〉
答曰:径一十二步,内周六十八步,外周一百四十步。
法曰:以亩法通田五亩二分得一千二百四十八步。倍之得二千四百九十六步为实。以不及七十二步,以六除得径一十二步。为法除之得二百零八步。以减不及七十二步,馀一百三十六步,折半得内周六十八步。加不及七十二步,得外周。合问。〈此是环田问周径〉弧矢问难,已载少广章中,故不重述。
双捣练

长十六,阔十五,不多不少恰一亩。内有八个古坟墓,更有一条十字路。阔一步。每个墓,周六步。十字路,阔一步。每亩价银二两五。除了墓,除了路,问君该剩多少数。
答曰:路墓共占地二分二釐五毫,〈内八墓计二十四步路计三十步〉
路墓地图

剩地七分七釐五毫,该银一两九钱三分七釐五毫。
法曰:通田一亩为二百四十步。于上另置墓八个。以每个周六步自乘得三十六步。以十二除

之得三步。八墓共积二十四步。又十字路阔一步,长一十六步,阔一十五步二,共三十一步。除路中心一步,实三十步加八墓,共二十四步。通共占地五十四步。以亩法二四除之,得二分二釐五毫为占地数。以减去一亩,馀剩地七分七釐五毫。以每亩价银二两五钱乘之,得剩地价银。合问。
竿上安箍歌

圆圆三丈一高竿,稍尖头径尺二宽。今有铁箍径九寸,试问将来何处安。答曰:自上而下二丈二尺五寸。
法曰:置竿高三丈为实,以头径一尺二寸为法除之得二尺五寸。以箍径九寸乘之,得自上而下二丈二尺五寸。上安箍只离头七尺五寸。合问。〈此如方锥作方台问截高〉


今有直田不知亩,长阔相和十七步。平不及长廿五尺,请问田该多少数。
答曰:二分五釐,计六十步。
法曰:置相和一十七步,减不及五步,馀一十二步为长。以阔五步相乘。合问。


今有直田用较除,一百二十步无馀。长阔相和该一百,问公三事几何如。
答曰:长六十步,阔四十步,较二十步。
法曰:置较除一百二十步减长阔相和一百步,馀二十步为较。以减相和一百步馀八十步,折半得四十步为阔。加较二十得长六十。合问。
粟布二
哑子买肉歌

哑子来买肉,难言钱数目。一斤少四十,九两多十六。试问能算者,合与多少肉。
答曰:一十一两,每两该钱八文。
法曰:置少四十加多十六共五十六为实。以多十六减九两,馀七两。为法除之,得八文。却以九两因之,得七十二。加多十六,共得原钱八十八文。以八归之,得肉一十一两。合问。
解曰:若买一斤少钱四十文,若买九两多钱十六文。
老人问甲歌

有一公公不记年,手持竹杖在门前。借问公公年几岁,家中数目记分明。一两八铢泥弹子,每岁盘中放一丸。日久岁深经雨湿,总然化作一泥团。秤重八斤零八两,加减方知得几年。
答曰:一百零二岁
法曰:置总八斤半,以每斤三百八十四铢乘之,得三千二百六十四铢为实。以每岁一两作二十四铢加入八铢共三十二铢,为法除之。合问。
西江月

白面秤来四斤,使油一斤相和。今来有面九斤多,六两五钱不错。已用香油和合,二斤十二无讹。再添多少面来和,不会应须问我。答曰:添面一斤九两五钱。法曰:合用异乘同除法。置今有油二斤十二两,先将十二两化为七五于二斤之次。以乘原面四斤得面一十一斤为实。以原用油一斤为法除之如故。仍得实面一十一斤减去已用面九斤六两五钱,馀为添面一斤九两五钱。合问。
梅气清

三石五斗粟,会换芝麻三石足。又有五斗五升麻,换来小麦量八斗。今有小麦换粟米,九石六斗无零数。
解题曰:假如有粟米三石五斗换芝麻三石,又如芝麻五斗五升换折小麦八斗。今却有小麦九石六斗要换粟米,问:该若干。

答曰:粟米七石七斗。
法曰:合用异乘同乘法。置今有小麦九石六斗以乘所问芝痲五斗五升,得五石二斗八升。再以粟米三石五斗乘之,得一十八石四斗八升为实。又用异除同除法置所换芝麻三石,以乘小麦八斗,得二石四斗。为法除之,得粟米七石七斗。合问。
解法曰:置米三石五斗为实,以换麻三石为法除之,得麻每石换米一石一斗有零。又云麻五斗五升换麦八斗。置麻五斗五升,以每石折米一石一斗并零乘之,得米六斗四升并零为实。以换麦八斗为法除之,得麦每石折米八斗有零。又云今有麦九石六斗换米,问:该几何。置麦九石六斗,以麦每石折米八斗并零乘之,得米七石七斗。此乃用法之理,是一乘一除理之然也。盖因除法多有畸零,数之不尽,故前法用总乘,然后用总除。真是大术矣。
西江月

甲钏九成二两,乙钗七色相同。李银铺内偶相逢,各欲改成器用。其子未详所以,误将一处销镕。当时闷恼李三翁,又把算师扰动。
答曰:共销镕八成色金四两,甲该分二两二钱五分,〈折足色一两八钱〉 乙该分一两七钱五分。〈折足色一两四钱〉法曰:置甲金二两折足色一两八钱,乙金七成二两折足色一两四钱,并之得足色三两二钱。以原金二共四两归之,得八色。就以八为法除甲一两八钱,得甲金二两二钱五分。亦以法八除乙一两四钱,得乙金一两七钱五分。合问。

肆中听得语吟吟,薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三
客。薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九,三十三客醉醺醺。试问高明能算士,几多醨酒几多醇。
答曰:好酒十瓶,薄酒九瓶。
解曰:共三十三人饮酒一十九瓶好酒,三人饮一瓶薄酒,一人饮三瓶。

法曰:列置问衰。〈一瓶三人〉〈三瓶一人 十九瓶三十三人〉先以右上一瓶互乘左中一人,得一人。又以左上三人互乘右中三瓶,得九瓶。相减馀八瓶为法。另以右中三瓶互乘左下三十三人,得九十九人。另以左上三人乘右中三瓶,得九瓶。再乘共酒一十九瓶,得一百七十一人。内减九十九人,馀七十二人为实。以法八瓶除之,得薄酒九瓶。以减总酒,馀得好酒十瓶。合问。
水仙子

为商出外去经营,将带白银去贩参。为当初不记原银锭,只记得七钱七分买六斤。脚钱便使用三分,总记用牙钱四锭,是六分中取二分。问先生贩买数分明。
答曰:人参四万三千五百斤,原银六千两,牙钱二百两,脚钱二百一十七两五钱。
解曰:每人参六斤价七钱七分,又用脚钱三分、牙钱二百两,乃是六十分中取二分也。

法曰:置牙钱四锭,以锭率五十两乘之,得二百两。以六十分取二分,该得原银六千两。减牙钱二百两,馀剩五千八百两。以买参六斤因之,得三万四千八百斤为实。却以价七钱七分,用脚钱三分共八钱为法除之,得参四万三千五百斤。以每六斤归之,得七千二百五十斤。以参价七钱七分乘之,得参价五千五百八十二两五钱。以减总银五千八百两,馀得脚银。合问。


二丈四长尺八阔,四两半银休打脱。三丈六长尺六问,该银多少要交割。
答曰:六两。
法曰:用异乘同除法置令长三丈六尺,阔一尺六寸相乘,得五丈七尺六寸。以乘卖银四两五钱,得二百五十九两二钱为实。以原长二丈四尺,阔一尺八寸相乘,得四丈三尺二寸。为法除之。合问。


足色黄金整一斤,银匠误侵四两银。斤两虽然不曾耗,借问却该几色金。
答曰:八色。
法曰:置金一十六为实,另以金加银四两,共二十两。为法除之。合问。


足色纹银十二两,欲倾八成预忖量。分两虽然添得重,入铜多少得相当。
答曰:入铜三两。
法曰:置纹银一十二两,以八色归之,得一十五两。减去原银一十二两,馀三两为入铜数。合问。


一斤半盐换斤油,五万白盐载一舟。斤两内除相为换,须教二色一般筹。
答曰:各二万斤。
法曰:置总盐五万斤为实,并盐油共得二斤。半为法除之得各二万斤。合问。
铺金问积歌

皇城内丹墀中,周围有八里。铺金二寸深,方寸十六两。秤来有一斤,不知多少数。特来问缘因。
答曰:金七百二十万斤。
法曰:置周八里以四归之,得每面二里。自乘得四里。又以每里三百六十步乘之,得一千四百四十步。以每步二千五百寸乘之,得三百六十万寸。又以深二寸因之,得七百二十万寸,即七百二十万斤也。合问。
西江月

客向新街籴米,共量八十四石。一千二百七十知,石价尽依乡例。雇觅小车搬运,装钱三百三十。脚言家内缺粮食,只据原钱要米。
答曰:客米六十六石六斗七升五合,脚米一十七石三斗二升五合。
法曰:此乃就物抽分之法。置米八十四石,以价一千二百七十文乘之,得一十万零六千六百八十文为实。另以石价并脚钱共一千六百文为法除实,得客米数。以减总米馀为脚米。合问。
衰分三
西江月

净拣棉花弹细,相和共雇王孀。九斤十二是张昌,李德五斤四两。纺绩织成布匹,一百八尺曾量。两家分布要明彰,莫得些儿偏向。
答曰:张昌七丈零二寸,李德三丈七尺八寸。
法曰:列各衰张昌九斤十二两,李德五斤四两,各以两法通之,张得一百五十六两,李得八十四两。副并共得二百四十两为法。另以织布一百零八尺乘张一百五十六两,得张一千六百八十四丈八尺。乘李八十四两,得李九百零七丈二尺。各自为实,以法除之。合问。


赵嫂自言快绩麻,李宅张家雇了他。李宅六斤十二两,二斤四两是张家。共织七十二尺布,二人分布闹喧哗。借问乡中能算士,如何分得的无差。
答曰:张宅五丈四尺,李宅一丈八尺。
法曰:置共织布七十二尺为实,并二麻张六斤一十二两。以斤加六得一百零八两。李二斤四两以斤加六得三十六两,共一百四十四两。为法除之,每两得五寸。以乘各出麻。合问。
诵课增倍歌

有个学生心性巧,一部孟子三日了。每日增添一倍多,问君每日读多少。
答曰:头一日读四千九百五十五字,第二日读九千九百一十字,第三日读一万九千八百二十字。法曰:置〈一 二 四〉并为七衰为法,以孟子字数三万四千六百八十五字为实。以法除之,得四千九百五十五字为头日之数。倍之为第二日数。又倍之为第三日数。合问。
行程减等歌

三百七十八里关,初行健步不为难。次日脚痛减一半,六朝才得到其关。要见每朝行里数,请公仔细算相还。
答曰:初日一百九十二里,次日九十六里,三日四十八里,四日二十四里,五日一十二里,六
日六里。
法曰:置三百七十八里为实,列置衰。〈一 二 四 八 十六 三十二〉并得六十三衰,为法除实得六里为第六日之数。递加一倍。合问。
浮屠增级歌

远望巍巍塔七层,红光点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯。
答曰:顶层三盏。
法曰:置共灯数为实,列置衰。〈一 二 四 八 十六 三十二 六十四〉并之得一百二十七衰。为法除实,得三为顶层灯数。各加倍,得各层灯数。合问。
三等赔偿鹧鸪天

八马九牛十四羊,赶在村南牧草场。吃了人家一段谷,议定赔他六石粮。牛一只,比二羊,四牛二马可赔偿。若还算得无差错,姓字超群到处扬。
答曰:马八共赔三石,牛九共赔一石六斗八升七合五勺,羊十四共赔一石三斗一升二合五勺。
解曰:马八只、牛九只、羊十四只,共议赔谷六石。羊一分,牛二分,马四分。

法曰:置米六石为实。另置马八,以四因得三十二衰。牛九以二因得一十八衰。羊一十四衰并得六十四衰,为法除之,得九升三合七勺五抄,为一羊所吃赔谷数。为法遍乘各衰。先以羊一十四衰乘之,得一石三斗一升二合五勺,为羊主赔数。又以牛衰十八乘之,得一石六斗八升七合五勺,为牛主赔数。又以马衰三十二乘之,得三石为马主赔数。合问。
五爵分金歌

公侯伯子男,五四三二一。假有金五秤,依率要分讫。答曰:公一秤十斤,侯一秤五斤,伯一秤,子一十斤,男五斤。
法曰:置金五枰,以每秤一十五斤乘,得七十五斤为实。列公五、侯四、伯三、子二、男一,副并得一十五。为法除实得五斤,为男所得数。加五得十斤为子所得数。再加五得一秤为伯所得数。又加五得一秤零五斤为侯所得数。再加五得一秒一十斤为公所得数。合问。
八子分绵歌

九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠。次第每人多十七,要将第八数来言。务要分明依次第,孝和休惹外人传。
答曰:长子一百八十四斤,次子一百六十七斤,三子一百五十斤,四子一百三十三斤,五子一百一十六斤,六子九十九斤,七子八十二斤,
八子六十五斤。
法曰:置七衰〈一 二 三 四 五 六 七〉并得二十八衰为实。以多十七乘之,得四百七十六。以减总绵数,馀五百二十。以八子除之,得六十五斤,为第八子数。加十七得八十二斤,为七子数。仿此递加十七至长。合问。
九儿问甲歌

一个公公九个儿,若问生年总不知。自长排来争三岁,共年二百七岁期。借问长儿多少岁,各儿岁数要详推。答曰:长儿三十五岁,次儿三十二岁,三儿二十九岁,四儿二十六岁,五儿二十三岁,六儿二
十岁,七儿一十七岁,八儿一十四岁,九儿一
十一岁。
法曰:列八衰。〈以一 二 三 四 五 六 七 八〉各以差三岁因之,为各人之衰数。长儿因得三,次儿因得六,三儿因得九,四儿因得十二,五儿因得一十五,六儿因得一十八,七儿因得二十一,八儿因得二十四。并入衰得一百零八数,以减总二百零七岁,馀九十九岁。以九人除之得一十一岁,为第九儿之年岁。次递加三岁至长。合问。
依等算钞歌

甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平。甲乙念三七钱钞,〈二十三两七钱〉念六一钱戊己庚。〈二十六两一钱〉惟有丙丁钞无数,要依等第数分明。请问高明能算者,细推详算莫差争。
答曰:甲该钞一十二两二钱,乙该钞一十一两五钱,丙该钞一十两零八钱,丁该钞一十两零一钱,戊该钞九两四钱,己该钞八两七钱,庚该
钞八两。
法曰:置戊、己、庚三人,添一为四。以三乘之,得十二,折半,得六。减去三馀三为下差率。另以甲乙二人乘,总七人得十四。减去下差率三,馀得十一为上差率。列置戊、己、庚、甲、乙。〈三二〉〈馀三 得六 二十六两一钱 得五十二两二钱 馀十一 得三十三 二十三两七钱 得七十一两一钱〉先以左上二互乘右中三,得六。又以左上二乘右下二十六两一钱,得五十二两二钱。次以右上三乘左中十一,得三十三。以减去右中六馀二十七为法。又以右上三乘左下二十三两七钱,得七十一两一钱。减去右下五十二两二钱,馀一十八两九钱为实。以法二十七除之,得七钱为一差之数。另置甲乙共钞二十三两七钱,加入差七钱,共二十四两四钱,折半得一十二两二钱为甲所得数。除差七钱,馀一十一两五钱,是乙钞。各减七钱得各数。
竹筒容米歌

家有九节竹一茎,为因盛米不均平。下头三节三升九,上稍四节贮三升。惟有中间二节竹,要将米数次第盛。若是先生能算法,教君直算到天明。
答曰:第一节容米一升四合,第二节一升三合,第三节一升二合,第四节一升一合,第五节一升,第六节九合,第七节八合,第八节七合,第九节六合。法曰:置上四节加一为五与四乘,得二十。折半得一十。减去四,馀得六,为下差率。另以下三节以总九节乘之,得二十七。减去下差率六,馀二十一为上差率。列置,〈右四 左三〉〈馀六 得一十八 三升 得九分 馀二十一 得八十四 三升九合 得一十五分六釐〉先以左上三互乘右中六,得一十八。次以右上四互乘左中二十一,得八十四。以少减多,馀六十六为法。复以左上三乘右下三,得九分。又以右上四乘左下三升九,合得一十五分六釐。减去九分馀六分六釐,为一节之差数。却以下三节盛米三升九合为实,以法六十六乘之,得二百五十七分四釐。以三归之,得八十五分八釐,是第二节数。加六分六釐为第一节数,减六分六釐得七十九分一釐为第三节数。又减去六分六釐,馀七十二分六釐为第四节数。每节次第减六分六釐,得各数。以法六十六除之。合问。
原法下头三节贮四升米不尽者多,今改为三升九合却尽矣。


一万六百八两银,四个商人依率分。原银轮递四六出,休将六折术瞒人。
答曰:甲四千四百零六两四钱,乙二千九百三十七两六钱,丙一千九百五十八两四钱,丁一千三百零五两六钱。
解曰:四六者乃是每两多五。故自丁起递用加五为衰,并之为法除实。

法曰:各列置衰,〈丁四 丙六 乙九 甲一十三衰五分〉副并得三十二衰五分为法。另以银一万零六百零八两,以乘各衰。甲十三衰五分得一十四万三千二百零八两,乙九衰得九万五千四百七十二两,丙六衰得六万三千六百四十八两,丁四衰得四万二千四百三十二两。各自为实,以法各除之。合问。


三千四百十两银,五个为商照本分。原银轮递二八出,休将八折易瞒人。
答曰:甲二千五百六十两,乙六百四十两,丙一百六十两,丁四十两,戊一十两。
解曰:二八者,乃是每两多四。故自戊起依次递用四,因为衰并之为法。

法曰:各列置衰,〈戊二 丁八 丙三十二 乙一百二十八 甲五百一十二〉副并得六百八十二衰为法。以所分银三千四百一十两为实,以法除之,得五十为一衰。以乘各衰得各人数。合问。


三百六十九斤丝,出钱四客要分之。原本皆是八折出,莫教一客少些儿。
答曰:甲一百二十五斤,乙一百斤,丙八十斤,
丁六十四斤。
法曰:各列置衰,〈甲一千 乙八百 丙六百四十 丁五百一十二〉副并得二千九百五十二为法。另以所分丝三百六十九斤乘未并各衰。甲一千得三十六万九千,乙八百得二十九万五千二百,丙六百四十得二十三万六千一百六十,丁五百一十二得一十八万八千九百二十八。各自为实,以法除实,得各人丝。合问。


甲乙丙丁戊,分银一两五。甲多戊钱三,互和折半与。答曰:甲三钱六分五釐,乙三钱三分二釐五毫,丙三钱,丁二钱六分七釐五毫,戊二钱三分五釐。
解曰:甲多戊一钱三分也。

法曰:此互和减半之法。置分银一两五钱为实,以例用〈一分 三分 五分 七分 九分〉并之,得二钱五分。为法除之,得六钱,乃首尾之数。于内减中多戊一钱三分,馀四钱七分,折半得戊二钱三分五釐。仍加多一钱三分,得甲三钱六分五釐。互和甲戊,共得六钱,折半得丙三钱。互和加甲三钱六分五釐,共得六钱六分五釐,折半得乙银三钱三分二釐五毫。并丙戊共五钱三分五釐,折半得丁二钱六分七釐五毫。合问。
西江月

群羊一百四十,剪毛不惮勤劳。群中有母有羊羔,先剪二羊比较。大羊剪毛斤二,一十二两羔毛。百五十斤是根苗,子母各该多少。
答曰:大羊一百二十只,小羊二十只。
法曰:置羊一百四十,以大羊剪毛一斤二加六为一十八两。乘之得二千五百二十两。以减共剪毛一百五十斤,亦加六为二千四百两,馀一百二十两为实。另以大羊毛一十八两,减小羊毛一十二两,馀六两。为法除之,得小羊二十只。以减总羊,馀得大羊一百二十只。合问。
二果问价歌

九百九十九文钱,甜果苦果买一千。甜果九个十一文,苦果七个四文钱。试问甜苦果几个,又问各该几个钱。
答曰:甜果六百五十七个该钱八百零三文,苦果三百四十三个该钱一百九十六文。
法曰:列置,〈九个十一文〉〈七个四文 一千个九百九十九文〉先以右上九个互乘左中四文,得三十六个。次以右中七个互乘左上一十一文,得七十七文。以少减多馀四十一为长法。又以右中七个互乘左下九百九十九文,得六千九百九十三文。再以左中四文互乘右下一千个得四千。以少减多馀二千九百九十三文。却以长法除之,得七十三为短法。若求甜果,以七十三乘九个,得甜果六百五十七个。另以七十三乘一十一文,得甜果钱八百零三文。于总果内除六百五十七,馀苦果三百四十三个。又于总钱减去甜果钱,馀得苦果钱。合问。
均舟载盐歌

四千三百五十盐,大小船只要齐肩。五百盐装三大只,三百盐装四小船。请问船只多少数,每只船载几引盐。
答曰:大船一十八只装盐三千引,小船一十八只装盐一千三百五十引。
法曰:列置,〈四只 三只〉〈三百 五百〉先以左上三只互乘右下三百引,得九百。次以右上四只互乘左下五百,得二千。并之得二千九百。为法列置三四乘得一十二只。以乘总盐得五万二千二百为实。以法除之,得十八,是大小船数。先以大船盐五百因之,得九千。再以船三只归之,得盐三千引。又置小船一十八只,以盐三百因之,得五千四百。又以船四只归之,得盐一千三百五十引。合问。
增钱剥浅歌

邻家有客乱争喧,相见问其所以然。二百三十六担货,程途远近论船钱。九十五担六分算,八十五担四分还。更有五十六担货,二分五釐算为先。只因剥浅争船价,二两五钱二分添。请问高明能算士,各人分派免忧煎。
解曰:假如赵一、钱二、孙三三人共货二百三十六担,雇船一只。原各以程途远近不等,水脚多寡不同。内赵一货九十五担交卸甚远,每担船脚银六分。钱二货八十五担卸处颇近,每担船脚四分。孙三货五十六担程途又,近每担船脚二分五釐。算其银付足外,因中途剥浅贴银二两五钱二分,照依远近船钱派分,各该若干。
答曰:赵一该贴一两三钱六分八釐,钱二该贴八
钱一分六釐,孙三该贴三钱三分六釐。
法曰:置赵一货九十五担,以每担船脚银六分乘之,得五两七钱。另以钱二货八十五担,以每担船银四分乘之,得三两四钱。又以孙三货五十六担,以每担船银二分五釐乘之,得一两四钱。并三数原船脚银一十两零五钱为法,却以贴银二两五钱二分为实。以法除之,得二钱四分,乃是船脚每两贴剥之数。就以此二钱四分为法,以乘各客船脚银数。即得。
笔套取齐歌

八万三千短竹竿,将来要把笔头安。管三套五为期定,问君多少配成完。
答曰:管套各得一十五万五千六百二十五个,管竹五万一千八百七十五竿,套竹三万一千一百二十五竿。
解题:共有短竹八万三千竿,每一竿截作笔管三个,每一竿截为笔套五个。问:各该用竹若干裁截配合成笔。

法曰:置竹八万三千为实,以管三套五并作八,为法除之得一万零三百七十五又为实。另以管三乘套五得一十五。又为法乘实得管套各得一十五万五千六百二十五个,列置。问管竹以三归之,问套竹以五归之。合问。
金毬问积歌

有个金毬里面空,毬高尺二厚三分。一寸自方十六两,试问金毬多少金。
答曰:一百三十八斤一十两零二钱四分。
解曰:金毬者,形如立圆。高尺二即圆中之径也。厚三分者,乃中径。之两头俱有,故并共厚六分。以减全径尺二,馀得内中空径一尺一寸四分也。其用立圆之法,自再乘毕。又用九因十六除者,何也。其平圆居方内四分之三,故用三因四归,得积。今立圆而又多一,再乘者故。以三三如九因之,平圆四归而一。今立圆亦再以四自乘,得一十六而除之,是也。若毬周问积,置周数以三归,求出径数。同法算积。

法曰:置毬高一十二寸自乘、再乘,得一千七百二十八寸。以九因十六除,得九百七十二寸,是全个金毬之实。另置径一十二寸,减去径两头共厚六分,馀得毬中空径一十一寸四分。亦自乘、再乘,得一千四百八十一寸五分四釐。亦以九因十六除,得八百三十三寸三分六釐为毬内空积之数。以减全毬积数,馀一百三十八寸六分四釐。以一百三十八寸变为一百三十八斤零者,用加六之法,得一十两零二钱四分。合问。
西江月

帝城三五元宵,鳌山两样灯毬。都来一秤三斤油,七两又来添凑。三两分为四盏,四两分作三瓯。三停盏子二停瓯,请问先生知否。
答曰:瓯一百二十只油十斤,盏一百八十个油八斤七两。
法曰:置油一秤为一十五斤。又添三斤,共一十八斤。每斤用加六法得二百八十八两。又添七两共二百九十五两。以每两二十四铢乘之,得七千零八十铢为实。另置油三两,以二十四铢乘,得七十二铢。以四盏归之,每盏得一十八铢。又以三停乘之,得五十四铢为盏之法。另又置油四两以二十四铢乘之,得九十六铢。以三瓯归之,每瓯得三十二铢。又以二停乘之,得六十四铢为瓯之法。并瓯盏二法,共一百一十八为总法。除实七千零八十铢,得六十为则。以二停因,得一百二十为瓯数。以每瓯油三十二铢乘之,得三千八百四十铢。以每斤三百八十四铢除之,得十斤为瓯油总数。另以则六十以三停因之,得一百八十为盏总数。以每盏油一十八铢乘之,得三千二百四十铢。以每两二十四铢除之,得一百三十五两。以斤法一十六两除之,呼见一无除作九,一无除起一。下还一六八除四十八馀七两,不可除,即是八斤七两为盏油总数。并瓯总油共一十八斤七两。合问。
以碗知僧歌

巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,恰合用尽不差争。三人共餐一碗饭,四人共尝一碗羹。请问高明能算者,算来寺内几多僧。答曰:六百二十四人,饭碗二百零八只,羹碗一百五十六只。
法曰:以三人、四人相乘,得一十二人。以乘总碗三百六十四只,得四千三百六十八为实。另以三四并之,得七。为法除之,得僧数。用三归得饭碗。用四归得羹碗。合问。
河边洗碗歌

妇人洗碗在河滨,试问家中客几人。答曰不知人数目,六十五碗自分明。二人共餐一碗饭,三人共吃一碗羹。四人共肉无馀数,请问布算莫差争。答曰:客六十人,饭碗三十只,羹碗二十只,肉碗一十五只。
法曰:以二人乘三人得六人。又以四人乘之,得二十四人。以乘总六十五碗,得一千五百六十为实。另列维乘,〈得六 得一十二〉先以二乘三得六。次
以三乘四,得一十二。又以四乘二得八。并之,得二十六。为法除实,得六十人。各列以二归,得饭碗。以三归得羹碗。以四归得肉碗。合问。
书生分卷歌

《毛诗》《春秋》《周易》书,九十四册共无馀。《毛诗》二册三人共,《春秋》一本四人呼。《周易》五人读一本,要分每样几多书。就见学生多少数,请君布算莫踌蹰。
答曰:《毛诗》四十本,《春秋》三十册,《周易》二十四本,学生各经一百二十名,总计三百六十人。
法曰:列置三人、四人、五人维乘,以三人乘四人,得一十二。又以四人乘五人,得二十。又以五人乘三人,得一十五。并之,得四十七为法。另以共书九十四本在位,以《诗》三人乘之,得二百八十二本。再以《易》四人乘之,得一千一百二十八本。又以《书》五人乘之,得五千六百四十本为实。以法四十七除之,得各经学生一百二十名。列三位以三人归之,得《诗经》四十本。以四人归之,得《春秋》三十本。以五人归之,得《易经》二十四本。并三经学生,共三百六十人。合问。
僧分馒头歌

一百馒头一百僧,大和三个更无争。小和三人分一个,大小和尚得几丁。
答曰:大和尚二十五人该馒头七十五个,小和尚七十五人该馒头二十五个。
法曰:置僧一百名为实,以三个、一个并得四个。为法除之,得大僧二十五人。以每人三个因之,得馒头七十五个。于总僧内减大僧,馀七十五为小僧。以三人归之,得馒头二十五个。合问。


一千官军一千布,一官四匹无零数。四军才分布一匹,请问官军多少数。
答曰:官二百员该布八百匹,军八百名该布二百匹。
法曰:置官军共一千为实,以四匹、一匹并得五匹。为法除之,得官二百员。以每员四匹因之,得布八百匹。于总官军内减二百,馀八百名为军。以四军归之,得布二百匹。合问。


今有千文买百鸡,五十雄价不差池。草鸡每个三十足,小者十文三个知。
答曰:公鸡八只价钱四百文,母鸡十一只价钱三百三十文,小鸡八十一只价钱二百七十文。
原法曰:置钱千文为实,另置公鸡一、母鸡一,各以小鸡三因之,得公鸡三,母鸡三,小鸡三,共得九。为法除实,得十一为母鸡数。不尽一,返减下法九馀八为公鸡数。另列总鸡一百只,减去公鸡八只,母鸡一十一只,馀八十一只为小鸡数。各以价钱因之。合问。
又引前法置所答数。公鸡八只,增四作十二。母鸡十一,减七为四小鸡。八十一益三为八十四,共百鸡,千文也。此乃张丘建云。鸡公增四,鸡母减七,鸡雏益三,又细参之。仍置原数,却将鸡公八只减四得四只。鸡母十一增七,得一十八只。鸡雏八十一减三得七十八只。亦得百鸡千文也。其一法而生三,故在变通之意也。
水仙子

元宵十五闹纵横,来往观灯街上行。我见灯上下红光映,绕三遭,数不真。从头儿三数无零,五数时四瓯不尽,七数时六盏不停。端的是几盏明灯。
解题:初以三算之恰尽。次以五算之,馀四盏。再以七算之,馀六盏。问:共灯若干。

答曰:六十九盏。
法曰:此如孙子物不知总法也。先置三数无零,不必下五数剩四。每一下二十一数,四共该下八十四数。七数剩六。每一下十五数,六共该下九十数,并之共得一百七十四,减去满法一百零五,馀得六十九盏。合问。