钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第一百十二卷

算法部汇考四

汉徐岳《数术记遗》数术

余以天门金虎，呼吸精泉。
按《星经》云：昴者，西方白虎之宿。太白者，金之精也。太白入昴，金虎相薄，法有兵乱。周宣王时，有人采薪于郊间，歌曰：金虎入门，呼长精，吸元泉。时人莫能知其义。老君曰：太白入昴，兵其乱。徐氏，名岳东莱人，盖以汉室版荡，又谲诡见于天，将访名山，自求多福也。

羽檄星驰，郊多走马。
按：汉徵天下兵，必露檄插羽也。老君曰：天下有道，却走马以粪，天下无道，戎马生于郊也。

遂负帙游山，蹠迹志道。
蹠迹者，两足共蹑一足迹也。汉文帝河上公蹠迹为士。

备历丘岳，林壑必过。乃于太山见刘会稽，博识多闻，遍于数术。余因受业，颇稔所由。余时问曰：数有穷乎。会稽曰：吾曾游天目山中。
会稽官号，汉中人也。按《历志》：称灵帝光和中，谷城守门候太山刘洪造乾象历，又制月行迟疾阴阳历，自洪始也，方于太初四分转精密矣。洪后为会稽太守，刘洪付乾象于东莱，徐岳又授吴中书令阚泽，泽甚重焉，为注解。今案《地记》：天目山在吴兴之界。

见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生。余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两。乃云：捐闷与四维。
《艺经》云：捐闷者，周公作也。先本位以十二时相从，其文曰：周有文章，虎不如龙，豕者何为，来入兔宫。王孙出卜乃，造黄钟犬，就马厩，非类相从，羊奔蛇穴，牛入鸡笼。徐援称捐闷乃是奇两之术，发首即奇，一后乃奇两者，即为疑，更调曰大猪东行，遁虎坑兔。子欲宿入马厩，羊来入村，狗所屯。大牛何知。乘龙上蛇，往西方入猴乡，鸡鸣不止夜〈阙二字〉。其言三不能比两者，孔子所造也，布十干于其方，戊己在西南维，其文曰：火为木生，甲呼丁。夫妇义重，己随壬。贵遗则统领。辛参南丙，妻则须守乙后。火戊子，天癸就庚四维，东莱子所造也，布十二时，四维之一，其文曰：天行星纪，石随龙渊，风吹羊圈，天门地连，兔居蛇穴，马到猴边，鸡飞猪乡，鼠入虎廛，挚亦有四维之戏，与此异焉。

数不识三，妄谈知十。
三者，上中下也。十数，昴一数也。于先之意非止十等之名。将关大衍之旨事一也。

犹川人事迷其指归，乃恨司方之手爽。
司方者，指南车也。《狐疑论》称黄帝将见大隗于具茨之山。至襄城之野，川谷之山，率多斜曲。川人曰：积数之常，乃固以之，非指南车之为爽。乃指谓〈阙〉。擢司方所指者，乃为我等之西也。然则指南岂其谬也。乃行数里，川人又曰：司方所指，我等之东也。众共论之为疑，笑于时。容成子怪而问之。川人以其状白对。容成曰：在此望之具茨之山，于汝住所，复在何方。川人又曰：在我之东。容成曰：汝向言在西，今更在东，何言不常也。此非山川之移，川曲之斜，人心之惑耳。川人乃请于斜曲之中，定东西南北之术。容成曰：当竖一木为表，以索系之，表引索绕表画地为规，日初出影长则出圆规之，外向中影渐短，入规之中，候西北隅影初入规之处。则记之，乃过中影渐长，出规之外，候东北隅影初出规之处，又记之。取二记之所，即正东西也。折半以指表，则正南北也。川人志之，以为知方之术。

未识刹那之赊促，安知麻姑之桑田。
按《楞伽经》云：称量长短者，积刹那数，以成日夜。刹
那量者，壮夫一弹，日指过顷遥六十四。刹那二百四。刹那名一恒，刹那三十恒，刹那名一婆罗，三十婆罗名一摩睺罗，多三十摩睺罗多子为一日一夜。其一日一夜有六百四十八万刹那，《神仙传》称麻姑谓王方平：曰自接待以来见东海为桑田向到蓬莱水乃浅于往者略半也，岂复将为陵陆乎。方平乃曰：东海行，复扬尘耳。

不辨积微之为量，钜晓百亿与大千。
按《楞伽经》云：积微成一阿耨，七阿耨为一铜上尘，七铜上尘为一水上尘，七水上尘为兔毫上尘，七兔毫上尘为一羊毛上尘，七羊毛上尘为一牛毛上尘，七牛毛上尘为一向中由尘，七向中由尘成一虮，七虮成一虱，七虱成一麦，横七麦横成一指节，二十四指节为一肘，四肘为一弓，去肘五百弓为阿兰惹据若，摩竭国人一拘卢舍为五里八拘。卢舍为一由旬，一由旬计之为四十里也，及以算校之正得一十七里。何者，计二尺为一肘，四肘为一弓，弓长八尺也。计五百弓有四千尺也。八拘卢舍则有三万二千尺，除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之，得一十七里馀二百三十三步。《华严经》云：四天下共一日月为一世界，有千世界，有一小铁围山，绕之名曰：小千世界。有一小千世界，有中铁围山，绕之名曰中千世界。有中千世界。有大铁围，山绕之名曰大千世界，此三千大千世界。之中有百亿须弥山，乃今校之世有十亿日月十亿须弥山，何者。置小千世界之中，有一千日月以一千乘之得一百万，即中千世界中日月数也。置中千世界日月之数，以一千乘之，得即大千世界日月之数也。又云四天下者，须弥山南曰：阎浮提山，北曰郁丹越山，东曰〈阙〉提山，西曰俱瞿耶尼山，其日月一日一夜照四天下，山南日中，山北夜半，山东日中，山西夜半。及以成事验之，则有疑矣，何者。按阎浮提人，在须弥山南，及至二月八月春秋分昼夜停，以漏刻度之，则昼夜各五十刻也。然则日初出时。东向视日之当我之东，即漏刻及其日，浸当我之西五十刻。其一日一夜之中绕三天下而来，所以至晓亦得五十刻也。胡以十万为亿，有百倍日月四天下等事，有所未详也。

黄帝为法数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿兆京垓秭壤沟涧正载。三等者，谓上中下也，其下数者十十变之，若言十万，曰亿。十亿，曰兆。十兆，曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿；万万亿曰兆；万万兆曰京也。上数者数穷则变，若言万万曰亿；亿亿曰兆；兆兆曰京也。
按《诗》云：胡取禾三百亿兮。毛注曰：万万曰亿，此即中数也。郑注云：十万曰亿，此即下数也。徐援受记云：亿亿曰兆；兆兆曰京也；此即上数也；郑注以数为多故合而言之。

从亿至载，终于大衍。
按《易经》：大衍之数五十，其用四十有九。又云天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十。天数五地数五，天数二十有五，地数三十。凡天地之数五十有五也。

下数浅短计事则不尽，上数宏廓世不可用，故其传业，惟以中数耳。余时问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得穷。先生笑曰：盖未之思耳，数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环，循环之理岂有穷乎。
小兼大者，备加董氏三等术数，加更载为烦，故略焉。

余又问曰：为算之体，皆以积为名为复，更有他法乎。先生曰：隶首注术，乃有多种。及余遗忘，记忆数事而已。
其一积等　其一太乙　其一两仪　其一三才其一五行　其一八卦　其一九宫　其一运算其一了知　其一成数　其一把头　其一龟算其一珠算　其一计算
此等诸法，随须更位，惟有九宫守一不移位，依行色并应无穷。
从积以来至珠算，从一至于百千已上位更不变。改位依行色者，位依五行之色，北方水，色黑，数一。南方火，色赤，数二。东方木，色青，数三。西方金，色白，数四。中央土，色黄，数五。言位依行色各一位，第一用元珠，十位。第二用赤珠，百位。第三用青珠，千位。第四用白珠，万位。第五用黄珠，千万位。以白綖系黄珠，万万位，曰亿。以黄綖系黄珠，自馀诸位，唯兼之故，曰并应无穷也。

余慕其术，虑恐遗忘，故与好事后生记之云耳。积算，
今之常算者也，以竹为之，长四寸以效四时，方三分以象三才，言算法是包括天地以烛人情，数始四时，终于大衍，犹如循环，故曰今之常算是也。

太一算，太一之行，去来九道。
刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数从下始故曰去来九道也。

两仪算天气下通，地禀四时。
刻板横为五道，竖为位一位，两珠色青，下珠色黄，上珠其青珠，自上而下第一刻，主五。第二刻，主六。第三刻，主七。第四刻，主八。第五刻，主九。其黄珠自下而上第一刻，主一。第二刻，主二。第三刻，主三。第
四刻，主四而已。故曰天气下通地禀四时也。

三才算天地和同，随物变通。
刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人。竖为算位有三珠，青珠属天，黄珠属地，白球属人，又其三珠通行三道，若天珠在天，为九，在地，主六。在人主三，其地珠在天为八，在地主五，在人主二。人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰天地和同，随物变通也。况〈阙〉三元上元甲子一七四，中元甲子二八五，下元甲子三六九。随物变通也。

五行算以生兼生，生变无穷。
五行之法，水元生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五，今为五行，算色别九枚。以五行色数相配为算之位，假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算配黄为九亿，以青算配黄为八千，以赤算配黄为七百，以元算配黄算为六十，以一黄算为五万，以一白算为四千，以一青算为三百，以一赤算为二十，以元算为一也，故曰以生兼生，生变无穷。

八卦算针刺八方，位阙从天。
算为之法位，用一针锋所指以定算位数，一从离起，指正南离为一，西南坤为二，正西兑为三，西北乾为四，正北坎为五，东北艮为六，正东震为七，东南巽为八，至九位阙即在中央竖而指天，故曰位阙从天也。

九宫算五行参数，犹如循环。
九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。五行参数者，设位之法，依五行已注于上是也。

运筹算小往大来，运于指掌。
此法位别须算筹一枚，各长五寸至一筹，上各为五刻，上头一刻近一头刻之，其下四刻迭相去一寸，令去下头亦一寸，入手取四指三间，间有三节。初食指上节间为一位，第二节间为十位，第三节间为百位，至中指上节间为千位，中节间为万位，下节间为十万位，无名指上节间为百万位，中为千万位，下为亿也。它皆仿此。至算刻近头者一刻主五，其远头者一刻之别，从下而起主一、主二、主三、主四，若一二三四头，则向下于掌中，中若具五，则回取上头，向掌中，故曰：小往大来也，回游于手掌之间，故曰运于指掌也。

了知算首唯秉五，腹背两兼。
了算之法一位为一。了字其了有三曲，其下股之末，内主一外主九，下次第一曲内主二外主八，当第二曲内主三外主七，其第三曲内主四外主六。当了字之首则主五，故曰首唯秉五，腹背两兼也。

成数算春夏生养，秋收冬成。
算之法位，别须五色算一枚，其一算之象头，各以黄色为本，以生数也。馀色为首，其五行各配土为成数也，水元生数一，成数六。火赤生数二，成数七。木青生数三，成数八。金白生数四，成数九。若以首向东及南为生数，向西及北为成数，假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算首向北为九亿，以青算首向西为八千，以赤算首向北为七百，以元算首向西为六十，以黄算一枚竖为五万，以白算首向东为四千，以青算首向南为三百，以赤算首向东为二十，以元算首向南为一也。故首向东向南为生数，向西向北为成数。故云春夏生养，秋收冬成也。

把头算以身当五，目视四方。
把头之法，别须算二枚，一漫一齿者一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也，漫者为把为犹，即当五算生齿者。为把头一目当一算故曰以身当五目视四方也。

龟算春夏秋成，遇冬则停。
为算之法，位别一龟，龟之四面为十二时以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指巳为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥为十，龟头指不以为数，故去遇冬则停也。

珠算控带四时，经纬三才。
刻板为三，分其上下二分，以停游珠中间一分，以定算位，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当其下四珠，珠各当一至下四珠所领故云控带四时，其珠游于三方之中，故云经纬三才也。

计数既舍，数术宜从心计。
言舍数术者，谓不用算筹宜以心计之，或问曰：今有大水不知广狭，欲不用算筹度而知之，假令于水北度之者，在水北置三表令南北相直，各相去一丈，人在中表之，北平直相望，北水岸令三相直即记，南表相望相直之处其中表人目望处亦记之，又从中相望处直望水南岸三相直，看南表相
直之处亦记之，取南表二记之处高下以等，北表点记之还从中表前望之所，北望之北表下设三相直之北，即河北岸也，又望上记三相直之处，即河北岸中间则水广狭也，或曰：今有长竿一枚，不知高下既不用筹算云，何计而知之。答曰：取竿之影，任其长短。画地记之，假令手中有三尺之物，亦竖之取杖下之影长短以量竿影得矣。或问曰：今有深坑，在上看之，可知尺数几否。答曰：以一丈极意长短，假令以一丈之杖掷著，坑中人在岸上手提之，一杖舒手，望坑中之杖遥量，知其寸数，即令一人于平地捉一丈之杖，渐令却行，以前者遥望坑中寸量之，与望坑中数等者，即得。或问曰：令甲乙，各驱羊一群，人各问多少。而甲曰：更得乙一口即加五多于甲。问各几何。答曰：甲九口，乙十一口。或问曰：甲乙各驱羊行，人问其多少。甲曰：我得乙一口即与乙等，乙曰我得甲一口则倍多于甲，问各几何。答曰：甲二，乙四。或问曰：今有鸡翁一只，直五文，鸡母一只直四文，鸡儿一文。得四只，合有钱一百文，买鸡大小一百只，问各几何。答曰：鸡翁十五只，鸡母一只，鸡儿八十四只。各大小一百只。计数多少。略举其例。或问曰：今有鸡翁一只直四文，鸡母一只直三文，鸡儿三只直一文，合有钱一百文。还买鸡大小一百只，问各几何。答曰：鸡翁八只，鸡母十四只，鸡儿七十八只，合一百只。

或问鸾曰：世人乃云算位者，算子则竖，信有之乎。鸾答之曰：依如针算，则以针锋，指八卦之位，一从离起左行周匝至巽，八位既合，及其至九无位可指，是以在中竖而指天，故曰有位合算子，竖之名也。又问鸾曰：昔有吴人赵达，用一等之法头乘尾除。其有此术乎。鸾答之曰：此乃传之失实，犹公获夔一足，丁氏穿井而获一人也。何者，按乘之法，重张其位，以上呼一置得于中，置所除之数于下，又置得于上亦三重张位，然则乘之与除法用不同，欲以一算上下当六重之身，增损为众位之实，若其神也。则藉一算之功如其凡也，理不可尔。问者又曰：若如来指为妄矣，此言何从而至。鸾答之曰：此亦传之过实也，何者积一算者盖一位用一算也。头乘尾除者欲使乘别位乘时以针锋指之，除时则用针尾撝之，故有头乘尾除之名也。
宋谢《察微算经》大数
一〈大数之始也〉　　　　十〈十个一为十〉　　　　　　　　百〈十个十为百〉　千〈十个百为千〉万〈十千为万数之成也〉　十万　　　　　　　　　　　　　　百万　　　　　　　千万亿〈万万曰亿〉　　　　　十亿　　　　　　　　　　　　　　百亿　　　　　　　千亿万亿　　　　　　　　　　十万亿　　　　　　　　　　　　　百万亿　　　　　　千万亿兆〈万万亿〉　　　　　　京〈万万兆〉　　　　　　　　　　垓〈万万京〉　　　秭〈万万垓〉

小数

分〈十釐为分〉　　　　　釐〈十毫〉　　　　　　　　　　　毫〈十丝〉　　　　丝〈十忽〉　　　　忽〈十微〉微〈十纤〉　　　　　　　纤〈十沙〉　　　　　　　　　　　沙〈十尘〉　　　　尘〈埃渺〉

度

丈〈十尺〉　　　　　　　尺〈十寸〉　　　　　　　　　　　寸〈十分〉　　　　分〈十釐〉釐　　　　　　　　　　　毫　　　　　　　　　　　　　　　丝　　　　　　　　忽〈已上同前〉疋〈四丈今无定制〉　　　端〈五丈今亦不一〉

量

石〈十斗〉　　　　　　　斗〈十升〉　　　　　　　　　　　升〈十合〉　　　　合〈十勺〉勺〈十抄〉　　　　　　　抄〈十撮〉　　　　　　　　　　　撮〈十圭〉　　　　圭〈六粟〉粟〈即一粒之粟也〉　　　斛〈古一石今五斗或二斗五升〉　　釜〈六斗四升〉庾〈十六斗〉　　　　　　秉〈十六斛〉

衡

斤〈十六两〉　　　　　　两〈二十四铢〉　　　　　　　　　铢〈十累〉　　　　累〈十黍〉黍〈禾方得而有准〉　　　秤〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　钧〈二秤〉石〈四钧〉　　　　　　　引〈二百斤〉
今两之下惟用钱分，釐毫丝忽也。

亩

亩〈横一步直二百四十步即阔一丈长六十丈也〉

若以自方五尺计之，积六千尺也。

步〈方五尺也〉　　　　　分〈五寸〉　　　　　　　　　　　釐〈半寸〉　　　　毫丝　　　　　　　　　　　忽　　　　　　　　　　　　　　　里〈三百六十步〉
计一百八十丈约人行一千步。

顷〈今以百亩为顷〉
顷亩者，乃积税之总也，二十四步为一分，十分为亩，亩之以下曰釐、毫、丝、忽。

角〈一亩分为四角每角六十步也〉

九章名义

一曰方田〈以御田畴界域〉二曰粟布〈以御交质变易〉三曰衰分〈以御贵贱廪税〉四曰少广〈以御积幂方圆〉五曰商功〈以御功程积实〉六曰均输〈以御远近劳费〉七曰盈朒〈以御隐杂互见〉八曰方程〈以御杂揉正负〉九曰句股〈以御高深广远〉

用字例义

法〈样数也〉　　　　　　　　实〈本数也〉　　　　　　　　　　　因〈法之单位者又由也〉　　　　　归〈入己之数也〉加〈增添也〉　　　　　　　　减〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘〈法之多位也〉　　　　　　　　归〈先归后除合名也〉除〈减少也〉　　　　　　　　积〈乘成之数也〉　　　　　　　　　乘〈法实合变数也〉　　　　　　　如〈九数用此下一位也〉身〈本位也〉　　　　　　　　则〈法也〉　　　　　　　　　　　　左〈上边大位也〉　　　　　　　　右〈下边小位也〉纵〈直长也〉　　　　　　　　横〈广阔也〉　　　　　　　　　　　广〈横阔也〉　　　　　　　　　　阔〈横广也〉直〈长也〉　　　　　　　　　面〈方面也〉　　　　　　　　　　　高〈立起也〉　　　　　　　　　　深〈陷下也〉倍〈加上本数也〉　　　　　　并〈二数相合也〉　　　　　　　　　截〈割断也〉　　　　　　　　　　分〈拨开也〉原〈初数也〉　　　　　　　　差〈多少不同数也〉　　　　　　　　通〈会同其数〉　　　　　　　　　变〈改换其数〉约〈量度也〉　　　　　　　　中〈算盘之中〉　　　　　　　　　　进〈移上前一位〉　　　　　　　　逢〈遇有数而言逢〉上〈脊梁之上又位之左〉　　　下〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨〈随身变数也〉　　　　　　　　退〈移下后一位〉句〈短也〉　　　　　　　　　股〈长也〉　　　　　　　　　　　　弦〈句股斜去日弦弧矢亦有弦也〉斜〈两隅相去又不正也〉　　　隅〈曲角也〉　　　　　　　　　　　长〈直也〉　　　　　　　　　　　周〈外围也〉较〈相减馀也〉　　　　　　　廉〈方直也〉　　　　　　　　　　　方〈四面同数〉　　　　　　　　　径〈周中之弦〉脊〈盘中横梁隔木〉　　　　　列位〈各置位次〉　　　　　　　　　折半〈减去一半〉　　　　　　　　还原〈复旧数也〉商除〈心与意商量而除之也〉　相乘〈长阔或银货等〉　　　　　　　自乘〈法实数自相乘〉再乘〈自乘之而又乘〉　　　　遍乘〈先以一法遍乘诸数〉　　　　　商总〈合用商开之法于盘中〉　　　　　　　　　　开方〈即自乘还原也〉　　　　　　　开立〈即自乘再乘之还原也〉中实〈即商总也〉　　　　　　并率〈如一二三四五并得十五数也〉　得令〈斤两贯个石等类也〉　　　　　　　　　　　得术〈乃法首位每下该得之名〉　　　互乘〈如四处数目上下斜角相乘〉　　　　　　　　相较〈如二数以少减多馀曰较〉　　　合得〈算数定夺〉维乘〈四处顾创相乘〉　　　　若干〈一为数始十为数终未算难定〉　几何〈与若干相同〉

《梦溪笔谈》算法

审方面势覆量，高深远近算家谓之专术，专之文象形如绳木所用墨㪷也，求星辰之行步，气朔消长谓之缀术谓不可以，形察但以算数缀之，而已北齐祖暅有缀术二卷。算术求积尺之法，如刍萌刍童；方池冥谷堑堵鳖臑圆锥阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术古法凡算方积之，物有立方，谓六幂，皆方者，其法再自乘则得之，有堑堵，谓如土墙，者两边杀，两头齐其法并上下广，折半以为之。广以直高乘之，又以直高为句以上广减下广馀者为股，句股，乘弦，以为斜，高有刍童，谓如覆㪷者。四面皆杀，其法倍上长加入，下长以上广乘之倍下，长加入上长以下广乘之并，二位法以高乘之六，而二隙积者谓积之有隙者，如累棋层坛及酒家积罂之类，虽似覆㪷四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处。用刍童法求之，常失于数少予思，而得之用刍童，法为上行下行别列下广，以上广减之，馀者以高乘之六，而一并入上行。
假令积罂最上行，纵横各二罂，最下行各十二罂行，行相次先止以上行，相次率至十二，当十一行也以刍童法求之，以上行二倍之得四，并入下长十二得十六，以上广二乘之，得三十二又倍下长得二十四，以上广二并，入共得二十六，以下广十二乘之，得三百一十二，以十六与二相乘所得之。三十二并之，共得三百四十四，以高十一乘之得三千七百八十四为实，重列下广十二以上广二减之，馀十以高十一乘之，得一百一十并入实，内共三千八百九十四以六归之，得六百四十九此为罂数也。刍童求见实方之积隙，积求见合角不尽盖出羡积也。

履亩之法方圆曲直尽矣，未有会圆之术，凡圆田既能折之，须使会之复圆古法惟以中破圆法，折之其失有及三倍者，予别为折会之术置圆田。径半之以为弦，又以半径减去所割数，馀者为股，各自乘以股，除弦馀者，开方除为句倍之为割田之直径。以所割之数自乘，退一位倍之。又以圆径除所得加入直径为割田之弧，再割亦如之，减去已割之，数则再割之数也。
假令有圆田径十步，欲割二步以半径为弦五步。自乘得二十五又以半径减去所割二步馀三步为股。自乘得九，用减弦外有十六开平方除得四步，为句，倍之为所割直径，以所割之数二步自乘为四倍之得为八，退上一倍为四尺，以圆径除今圆径十，已是盈数无可除，只用四尺加入直径为所割之弧，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。

此二类皆造微之术。古书所不到者。漫志于此。