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卷一百五

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百五卷目录

 测量部汇考六
  新法历书三〈测天约说上〉

历法典第一百五卷

测量部汇考六

《新法历书三》测天约说上

测天者,修历之首务。约说者,议历之初言也。不从测候无缘推算,故测量亟矣。即测候推算,亦非甚难,不可几及之事。所难者,其数曲而繁,其情密而隐耳。欲御其繁曲。宜自简者,始欲穷其隐密。宜自显者,始约说之义,则总历家之大指,先为简显之说。大指既明,即后来所作易言易知。渐次加详,如车向康庄,此为发轫已。又古之造历者,不欲求明,抑将晦之。诸凡名义,故为隐语。诸凡作法,多未及究。论其所从来,与其所以然之,故墙宇既峻经途斯狭后,来学者多不得其门而入矣。此篇虽云率略,皆从根源起义向。后因象立法,因法论义,亦复称之。务期人人可明,人人可能,人人可改。而止是其与古昔异也。或云诸天之说无从考證,以为疑义。不知历家立此诸名,皆为度数言之也。一切远近内外迟速合离,皆测候所得。舍此即推步之法,无从可用,非能妄作。安所置其疑信乎。若夫位置形模实然实不然。则天载幽元,人灵浅鲜,谁能定之。姑论而不议可矣。都为二卷,共八篇如左。
首篇

度数之学,凡有七种,共相连缀。初为二本:曰数,曰度。数者,论物几何,众其用之则算法也。度者,论物几何,大其用之,则测法量法也。
测法与量法不异,但近小之物寻尺可度者,谓之量法远,而山岳又远,而天象非寻尺可度,以仪象测知之谓之测法。其量法如算家之专术,其测法如算家之缀术也。

既有二本,因生三干:一曰视,人目所见。一曰听,人耳所闻。一曰轻重,人手所揣耳。所闻者,因生乐器乐音。手所揣者,因生举运之器、举运之法。惟目视一干又生二枝,一曰测天,一曰测地。七者,在西土庠,士俱有耑书。今翻译未广,仅有几何原本。一种或多未见未习然。欲略举测天之理与法,而不言此理此法。即说者,无所措其辞。听者,无所施其悟矣。七者之中,音乐与轻重别为二家,故兹所陈,特举其四:曰数,曰测量,曰视,曰测地。四学之中,又每举其一、二为卷中所必需,其馀未及。缕悉者,俟他日续成之也。为他篇所共赖,故列于篇。次之外曰首篇,欲知他篇,须知此篇。故又名须知篇。
数学一题

比例者,以两数相比,论其几何。
比例有二:一曰相等之比例,一曰不等之比例。若二数相等,以此较彼无馀分,名曰等比例也。若二数不等,又有二:一曰以大不等,一曰以小不等。如以四与二相比,四之中凡为二者,二是为以大,即命曰:二倍大之比例也。如以二与四相比,倍其身乃得为四,是为以小,即命曰:二分之一之比例,或命曰半比例也。
测量学十八题

第一题至第十四题,论测量之理。
第十五题至第十八题,论测量之法。
几何原本书中论线、论面、论体,今第一以至第五论线也,第六以至第十四论体也,此书中不及面,故不论面。
几何原本书中多言直线、圜线、其理易明。今不及论,论其稍异者有五题。前二题言独线,后三题言两线。
第一题〈独线一〉

长圆形者,一线作圈,而首至尾之径大于腰间径。亦名曰瘦圈,界亦名撱圈。
如甲乙丙丁圈形,甲丙与乙丁两径等,即成圈今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径,是名长圆。或问此形何从生。答曰:如一长圆柱横断之,其断处


为两面皆圆形。若断处稍斜,其两面必稍长,愈斜愈长,或称卵形,亦近似然。卵两端小大不等,非其类也。
指其面曰平,长圆若成体曰立长圆。
第二题〈独线三〉
蛇蟠线者,于平面上作一线,自内至外恒平行,恒为


圈线而不遇不尽,如上图自甲至乙者是。
旋风线者,于平圆柱上作一线。亦如蛇蟠但蜿蜒腾凌而上,如旋风也。
如上图,自甲至乙者是。螺旋线者,于球上从腰至顶作一线,如蛇蟠而渐高,如旋风而渐小。

如右图,自甲至乙者是。
此书独用螺旋线,欲解其形势,故备言之。
第三题
下三题言:二线者,或直,或不直,或相遇,或相离。

二线相遇者有三:但相遇而止,名曰至线。因至线在所至线之上,故又曰在上。其割截而过者,名曰交线,亦曰割线,亦曰截线。其至而不过又不止者,名曰切线。其至线而有所分截者,亦称割线,或曰截线,或曰分线。


如上图,甲乙线与丙乙丁线,丙乙丁圈相遇至乙而止。则甲乙为至线,又曰丙乙丁上线。
如上三图,甲乙线截丙丁线于戊,己庚线截辛壬癸圈于辛,子丑寅圈截丑卯寅圈于丑、于寅,皆谓之曰交线。


又如上图,甲乙线遇丙丁圈于丙,戊己庚圈遇戊辛壬圈于戊,皆名之曰切线也。
如上图,甲丙线分甲乙丙圈者,曰分圈线,亦曰割圈线,亦曰截圈。
第四题
两线不相遇而相离之度


恒等,名曰距等线。
或称平行线,侣线,俱通用。
如上三图,甲至己、乙至戊、丙至丁,其相离之度俱等。
第五题
两线相遇即作角。
本是一面,为两线所限,限以内即成角也。


如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙,即包一甲乙丙角。〈第二字即所指角〉其球上两圈线相交,亦作角。
如上图,甲丙、乙丁两线交而相分于戊,即成甲、成丁、丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也。
第六题

自此至第十四题,皆论体。诸体中球为第一。此书所用,独有球体,故未他及。
凡物之圆者,皆名球。诸题中名义,凡立圆物皆有之,非独天也。

第六至第八言球内之理,第九至第十四言球外之理。
球之内有心。心者,从此引出线至球面,俱相等。如左图,甲乙丙球丁为心,从丁引出线至甲至乙至


丙各等,即作百千万线皆等。
第七题〈球内〉
径者,一直线过球心两端,各至面半径者,从心至面。如上图,甲乙球丙为心,一直线过丙两端至甲、至乙。即甲乙为径线,其丙乙、丙甲皆为半径线。


第八题〈球内〉
球不离于本所而能旋转,则其一径之不动者,名为轴。轴之两端名为两极也。凡一球止有一心,凡球之转止有一轴,其径甚多,无数可尽。
如上图,甲乙丙丁球戊为心,乙丁过心。此球从甲向
丙、丙又向甲旋转而不离其处,则乙戊丁直线为不
动之处,是名轴也。乙与丁则为两极球心,若离于戊点如己,则从心所出两半径线如庚己,己辛必不等。故曰:止有此心,凡轴皆利转。若有二轴,二俱转,即相碍一不转即非轴。故曰:止有一轴,从心出直线,苟至面,皆径也,故曰无数。
第九题〈球外〉

球之面可作多圈,圈有大有小。大圈者,其心即球心。若从圈剖球为二,则其圈之径过球心也。各大圈从


圈面作垂线,各有其本圈之轴与其两极。
如上图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圈,其垂线乙丁即乙丁,为本圈之轴。乙丁两点即其两极,故大圈在两极之间,离两极俱相等。
第十题〈球外〉


小圈者,不分球为两平分,不与球同心,其去两极一近一远。愈近所向极愈小,愈近心愈大。
如上图甲乙为大圈,丙丁戊己庚皆小圈也。故一大圈之上之下可作无数小圈,众小圈之间止可作一大圈。
第十一题〈球外〉

圈不论大小,其分之有三等。
三等者,一曰大分,一曰小分,一曰细分。如两平分之为半圈,四平分之为象限,此大分也。每象限分为九十度,此小分也。每度又析为百分,每分为百秒。递析为百至纤而止。西历则每度析为六十分,每分为六十秒。递析为六十至十位而止,此细分也。
第十二题〈球外〉

两大圈交而相分为角,欲测其角之大,从交数两弧


各九十度,而遇过极之圈。两弧所容过极圈之弧度分即命为本角之度分。如上图,戊丁乙为过极圈。有甲乙丙、甲丁丙两大圈交而相分于甲、于丙,问丁甲乙角为几何。度分之角法:从甲交数各九十度而遇过极之戊丁乙圈为甲

丁甲乙。此两弧间所容,过极圈之分为丁乙弧,如丁乙六十度,即命丁甲乙角为六十度角。
第十三题〈球外〉

凡大圈俱相等。两大圈交而相分,其所分之圈分,两俱相等。
凡大圈必于本球之腰。腰者,最大之线也。凡最大之线止有一,不得有二。故展转作无数大圈俱相等圈。既相等则以大圈分大圈,其两交线必在球之腰。此交至彼交必居球之半,故无数大圈各相分,所分之


两圈分各相等。有不等者,即小圈也。
第十四题〈球外〉
大圈俱相等,故所分之度分秒各所容皆相等。小圈各不相等,故度分秒之名数等,其所容各不等。如上图,甲乙己为大圈,丙丁戊为小圈。大圈既相等,

即多作大圈皆与甲乙己圈等,而各圈之甲至乙其度皆等。若丙丁戊小圈既与甲乙己大圈不等,则甲至乙与丙至丁同,名为若干度,而所容之广狭不等。
第十五题〈以下四题言测量之法〉

长方面其中任设一点,欲定其所在为何度分。作经纬度求之。
法曰:先平分其长为若干度分,名经线。次平分其广为若干度分,名纬线。经与纬每度分之小大俱等。次视经纬之线,其过点各若干度分,即命为点所在之


度分。
如上图,甲乙丙丁长方形,欲知戊点所在。先从乙向丙作距等经线,次从乙向甲作距等纬线。次视戊点在经纬线之交为是何度,即命曰在经度之四纬度之八也。
乙至丙丙点得命为第
六乙点,不得命为第一。而命为初历家言算外者,俱准此。
第十六题

其在球也,亦如之。球之中任设一点,欲定其所在为何度分,亦先作球之经度。
法曰:先于两极之间作一大圈为腰,圈平分腰,圈为三百六十度。从各度各作一过极大圈,即半圈平分为一百八十度,是为腰圈上之经度。
如左图,甲乙丙丁球,乙丁为两极。于其间作甲戊丙


己腰圈,从戊向丙、丙向己各作过极大圈,即乙庚丁乙辛丁等线,皆腰圈上之经度。
第十七题
次作球之纬度,即定所设点在何度分。
腰圈之两旁有两极,从腰圈向极分为九十度。每度


各作一距等小圈,渐远腰渐小。至极而为一点,即第九十小圈也。次视经纬两线之交,命在设点在何度分。
如图甲乙丙丁球,上依前题。既作甲庚丙、甲辛丙各经线,次于乙戊丁腰圈上向甲极分为九十度。每度

各作一距等小圈,如壬子癸丑之类,皆纬圈也。次视经纬各遇点之交,从腰圈线考其经度,从过极线考其纬度。即命所设己点在从戊向丁之第四经圈,从戊向甲之第三纬圈。
凡言度者,各有二义:其一,一度之广,能包一度之地,是其容也。其一自此度至彼度,各以一点为界,是其限也。腰圈度之容,以各过极度之线限之过极度之容,以各距等线限之。
凡圈互相为经,亦互相为纬。如以过极为经,则距等为纬。若以距等为经,则过极为纬。如几何原本之论,线互相为直线,互相为垂线也。
第十八题

论纬圈,以大圈为宗。
过极经圈,皆大圈也,皆等距等线。限之诸度分之容,亦等距等纬。圈皆小圈也,各不等。过极圈限之诸度分之容,愈近极愈狭,至极而尽矣。故纬度之容等于经度者,独有腰圈一线,独有初度、初分、初秒之一率。过此以上无不狭也,故当以大圈为宗。大圈左右诸


纬圈之上,凡言经度之容者,皆从此推减之,圈愈小度愈狭,即差愈多也。
视学一题
凡物必有影。影有等,有大小,有尽有不尽。
不透光之物体,前对光体,后必有影焉。若光体大于物体,其影渐远渐杀,锐极

而尽。若光体小于物体,其影渐远渐大,以至无穷。若光物相等,其影亦相等,亦无穷。
测地学四题
第一题

地为圆体,与海合为一球。
何以徵之。凡人任于一处向北行二日半,则北方之星在子午线。上者必高一度。次后二日半,复高一度。恒如是为相等之差。向南行亦如之。知从南至北为圆体也。


如上图,甲为北星,丁为南星,乙辛丙圈为地球。人在乙,则见甲正在其顶,至戊则少一度矣。从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣。迨至辛则不见甲,至壬则反见丁。安得非圆体乎。若云:地为平体则见星,当如癸。从丑向寅至辰,宜常

见不隐。又丑至寅、寅至卯,若见子之高下所差等则道里宜不等。〈别有算数〉安得有时不见,又恒为相等之差也。
若人东行渐远,则诸星出地者渐先见。西行渐远,渐后见。故东西人见日月食,迟速先后各异。是知东西必圆体也。
第二题

地在大圜天之最中。
何以徵之。人任于所在见天星半,恒在上半,恒在下


故知地在最中也。
如上图,丙为地,东见甲,西见乙。甲乙以上恒为天星之半,知丙在中也。若云非中,当在丁。则东望戊,西望己,当见天之小半,而不见者大半。
第三题
地之体恒不动。

一不去本所,二亦不旋转。云:不去本所者,去即不在天之最中也。云在本所又不旋转者,若旋转,人当觉之。且不转则已,转须一日一周。其行至速,一切云行鸟飞顺行则迟,逆行则速。人或从地掷物空中,复归于地,不宜在其初所。今皆不然,足明地之不转。
第四题

地球在天中止于一点。
何以徵之。人在地面,不论所在,仰视填星岁星荧惑。彼此所见,恒是同度。故知地体较于天体则为极小。


若地大者,两人相去绝远,其视三星,彼此所见不宜同躔。
如上图,丙己戊乙为天,甲为地,丁为星。地体若大,能为天分数者,则人在庚。宜见丁在己度,人在辛,宜见丁在戊度。今不然者,是地与天其小大无分数可论

也。
名义篇第一
测天本义〈凡一条〉

问测天者,何事所论者,何义也。曰:此度数之学。度数学有七支,此为第六也。所论者,一言三曜〈日月星〉形象大小之比例,一言其各去离地心地面各几何。一言其运动自相去离几何。一言其躔离逆顺晦明朓朒,一言其五相视,五相视者:一曰会聚。
会聚或同一宿,或同一宫,或相掩,或凌犯。

二曰六合照,〈每隔一宫〉三曰隅照,〈三方相望〉四曰方照,〈四方相望〉五曰对照。〈即冲〉一因其行度;次舍以定岁月日时,此为大端也。
大圜名数〈凡十条〉

大圜者,上天下地之总名也。
亦称宇宙,亦称天下,亦称六合之内,下文通用。

天实浑圆,其中毫无空隙。譬如葱本,重重包裹,其分数几何。则自下数之,〈地居天中为最下亦曰最内〉第一为地水补其阙。
地有庳洼,水则就之。若据地面,则水土相半。蹠实论之,水之视地,仅当千分之一。

共为一球,地外为气,气之外为七政之天,七政之外为恒星〈亦曰经星下文通用〉之天,恒星之外为宗动之天,宗动之外为常静之天。
问地水与气,相次之序,其理解易明。今何以知七政在下,恒星在上。曰:有二验焉:其一,六曜有时,能掩恒星。
六曜者,月五星也。不言日者,日大光星不可见也。唐肃宗上元元年五月癸丑月掩昴。代宗大历三年正月,壬子月掩毕,八月己未月复掩毕。是月掩,恒星也。唐高宗永徽三年正月丁亥,岁星掩太微上将五月戊子荧惑掩右执法。元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星,是五纬掩恒星也。

掩之者,在下所掩者在上也。其二七政循黄道,行皆速,恒星最迟也。
问七政中,复有上下远近否。曰:有之。月最近也。何以知之。亦有二验:其一能掩日五星也。
月掩日而日为食,不待论也。唐文宗太和五年二月,甲申月掩荧惑。六年四月,辛未月掩填星于端门九年六月,庚寅月掩岁星于太微。武宗会昌二年正月,壬戌月掩太白于羽林。是月掩五星也。

其二,循黄道行二十七日有奇,而周天馀皆一年以上。是七政中为最速也。
问行度迟速以别远近,是则然矣。太白辰星与日同,一岁而周,为无远近乎。曰:旧说或云日内月外相去辽绝不应,空然无物,则当在日天之下。或云在日天之上。二说皆疑,了无确据。若以相掩正之,则大光中无复可见。论其行度则三曜运旋终古。若一两术既穷,故知从前所论皆为臆说也。独西方之国近岁有度,数名家造为望远之镜以测太白,则有时晦,有时光满,有时为上下弦。计太白附日而行远时,仅得象限之半,与月异理,因悟时在日上,故光满而体微。
若地日星参直则不可见。稍远而犹在上,则若几望之月也。

时在日下则晦。
三参直,故晦稍远而犹在下。若复苏之月体,微而光耀煜然。

在旁故为上下弦也。辰星体小,去日更近,难见其晦明。因其运行不异太白,度亦与之同理。
问荧惑岁星填星孰远近乎。曰:荧惑在岁,填星之内,在日之外,何者。一为其行黄道速于二星,迟于日也。岁星在其次外其行黄道速于填星迟于荧惑也填星在于最外,其行黄道最迟也。又恒星皆无视差,七政皆有之,以此明其远近,又最确之證,无可疑者。


问何为视差。曰:如一人在极西,一人在极东,同一时仰观七政,则其躔度各不同也。七政愈近人者,差愈大;愈远者差愈小。月最大,日次之,荧惑次之,岁星又次之,填星最小,几于无有。故知月最近,填星最远也。如上图,丙为地,甲为东目,

乙为西目。甲望戊月在己度,乙则在庚度。甲望丁星在辛度,乙则在壬度。己庚差大则月,去人近。辛壬差小则星,去人远也。
问东西相去,既是极远,何以得同在一时仰观七政。曰:此在一时一地亦可测之特缘算数,所得难可遽明。故以东西权说。若月食则亦东西同时,两地并测,亦足證知也。
问何以知七政之上复有恒星之天。曰:恒星布列,终古常然。而一体东行,行度最迟,殆如不动。既与七政异行,知其不得共居一天也。故当别有一恒星之天,众星皆丽其上矣。
问恒星天之上,何以知有宗动无星之天。曰:七政恒星,其运行皆有两种:其一自西而东,各有本行。如月二十七日而周,日则一岁,此类是也。其一自东而西,一日一周者是也。非有二天,何能作此二动。故知七政恒星之上,复有宗动一天,牵掣诸天。一日一周,而诸天更在其中,各行其本行也。又七政恒星,既随宗动西行,一日而周。其为戚速殆非思议所及,而诸天又欲各遂其本行。一东一西,势相违悖,故近于宗动东行极难,远于宗动东行渐易。此又七政恒星迟速所因矣。
问宗动天之上,又有常静大天。何以知之。曰:今所论者,度数也。姑以度数之理明之,凡测量动物皆以一不动之物为准。譬如舟行水中,迟速远近若干。道里何从知之。以离地知之。地本不动故也。若以此舟度彼舟,何从可得诸天自宗动以下,随时展转,八极不同。二行各异。若以动论动,杂糅无纪,将何凭藉。用资考算,故当有不动之天。其上有不动之道,不动之极,然后诸天运行,依此立算。凡所云某曜若干时,行天若干度分。若干时,一周天之类。所言天者,皆此天也。历家谓之天元道、天元极、天元分。至此皆系于静天终古不动矣。
常静篇第二
总论〈凡一条〉

常静天者,有三理:一为此下各动天之一切诸点
七政恒星彗孛。及诸道、诸圈之交、之分,但须测算者,总名为点。不言星者,交与分,非星也,日月大矣。亦言点:凡测皆测其心,心则点也。

藉此天以测知其所在也。二为测各动天运行之时、之度与夫各点之出入、隐见以定岁、月、日、时也。三为测诸动天之各点,相去离几何也。凡常静天上,诸名皆系之天元。因其不动以验他动也。其最尊者有三圈:一曰天元赤道圈,〈或称中圈或称腰圈下文通用〉以定诸点。二曰天元地平圈,
或称四方圈,或称八风圈,或称分光圈,下文皆通用之,

以验运行。三曰天元距圈,〈或称去离圈下文通用〉以辨去离。
论三圈〈凡七章〉
论天元赤道圈〈凡一条〉

天元赤道者,系于宗动之天,平分天体者也。
各圈各有心。天元赤道之心即大寰之心也,即地心也。各圈各有极,各有轴。天元赤道之极、之轴即大寰之极、之轴也,即地之极、之轴也。

天元赤道之左右各有距等圈。以度论则九十为天


元纬圈,其前后各有过极圈,以度论则一百八十为天元经圈。过极圈者,所以定经度、容纬度也。
如上图,甲乙为中圈,其上五经圈为甲丙,有两过极圈以限之丁甲戊,限其首丁丙戊,限其尾甲丙。在其中是大圈上所容之六经
度也。又如丙己为过极圈上四纬圈,则首尾两点有
两距等圈以限之甲丙乙,限其首庚己辛,限其尾丙己,在其中是过极圈上所容之五纬度也。
论天元地平圈〈凡三条〉

常静天下,诸所测候,欲知各点所在,与各点之道,各道之交、之分,则一中圈足矣。为地在中心不能透明,明为地隔人在各所。所见止有半天,其分明分暗处有一大圈,即地平圈也。地球之大人居各所,明暗所分,处处各异。故随在有一地平圈。
地平圈分为四象限,定天下之东西南北,故可曰方道,亦可名风道。所谓不周广,莫八风所来也。四象限分为三百六十者,是地平之经度也。地平之两端,一在人顶为顶极,一在人对足之下为底极。地平之左右各有距等小圈,从大圈至极各九十为地平之纬度。〈亦名高度亦名上度下文通用之〉其算以大圈为初度,次小圈为一度。其最高为九十度,即顶极下,亦如之。〈亦名低度亦名下度下文通用之〉其最下为九十度,即底极也。从地平经度每度出一过顶大圈。凡一百八十以定方维之分。数其


最尊而用大者,有二:一曰地平东西圈,一曰地平南北圈。如天元赤道上之有极至、极分二圈也。
极至、极分见后篇。
如上图,甲乙为地平,丙为顶极,丁为底极,丙戊丁南北圈也。甲丙乙丁东西圈也。丙子丁丙丑丁皆经圈,庚寅辛壬卯癸皆纬圈。算


地平之经度,或从东西圈起,或从南北圈起。其纬度或从地平起,或从顶极起,各任用。
地为圆体,故球之上每一点各有一地平圈。从人所居,目所四望者即是,其多无数。

如右图,戊己为地,甲乙丙丁为天。人在戊,即甲丙是其地平而庚为顶极。人在己,即乙丁是其地平而辛为顶极。
赤道地平二圈比论〈凡四条〉

常静天上有天元赤道,天元南北极恒定不动。就人目所视,又有天元地平圈。今以二圈合论,则六合之内共有三球:一为正球,二为欹球,三为平球。正有一平,有一离,此即欹欹者无数。
正球者,天元赤道之二极。在地平则天元赤道与地


平为直角,而其左右纬圈各半在地平上,半在地平下。
如上图甲戊丙己圈为天,甲乙、丙丁线为地平。甲丙即天元赤道之两极,戊乙丁己为地平之东西圈,亦即天元赤道庚辛壬癸。等则地平之经圈是正球也。

欹球者,天元赤道之二极。一在地平上,一在地平下。赤道与地平为斜角,〈斜角者一锐一钝之总名〉而天元赤道与地平之各经纬圈伏见多寡各不等。其极出地之度为用甚大。测候者,所必须也。赤道纬圈之中,随地各有一纬圈,为用甚大,名为常见纬圈。凡极出地若干度,即有一去极若干度之纬圈,其底点常切地平者是也。
如左图甲丙乙丁为地平,戊己为赤道极。若己乙为极,出地四十度则壬癸乙。常见纬圈亦去极四十度,


而纬圈之乙点即地平之乙点。
平球者,一极在顶天元赤道,与地平为一线,各距等圈皆与地平平行也。如图甲乙丙丁为地平,即为天元赤道,而戊极在顶。庚辛等纬圈皆与地平平行。
论地平南北圈〈凡一条〉

地平大圈上之过顶圈一百八十,名顶圈,皆地平圈之伴侣,故又名侣圈。其中大者二:曰东西,曰南北。其又最尊者,南北也。其两极在地平与东西侣圈之交。此圈平分球为东西二方,不但过顶极,亦过天元赤道极。与天元赤道相交为直角,亦不动。与地平圈等,但其游移也。人于地面上南北迁此圈,止有一,不得有二。东西迁则随在不同,与地平俱无数。
如左图甲乙丙为南北圈,人在戊,在己,在庚,俱南北


一线。则恒以甲乙丙圈为顶,移极不移圈。故云:有一无二也。若从己东西迁丁,为其顶,即以甲丁丙为南北圈矣。
地平南北圈与天元赤道比论〈凡一条〉
此圈交于天元赤道,即为天元赤道之极。高从天元


赤道至顶极之度即北极出地之度。
如图甲己为赤道,丙为顶极,乙为赤道极,戊丁为地平。今言甲丙与乙丁等者,甲乙弧、丙丁弧各相去九十度,各减一丙乙弧,则甲丙与乙丁等。若赤道极高之甲戊弧,亦与丙乙弧等,

其理同也。
论地平东西圈〈凡二条〉

东西,亦地平之侣圈也。其两极在地平,与南北侣圈之交。过此两极者有六。大圈亦分天元球为十二舍,地平以上常见者六舍,最尊者,地平与南北圈也。其次序从东地平起,算为初舍。入东一舍为第一,入东二舍为第二。至南北圈之底起,第四西地平上起第七,南北之顶起第十。此法为用甚大,医家、农家及行海者所必须也。


如上图丙丁壬为东西侣圈,甲乙为两极,甲丁乙为地平圈,甲戊、乙甲、庚乙等皆过极大圈也。
其用之:则以此图甲乙丙丁为地平,甲为东地平起一舍,己为底极。起四丙为西地平,起七戊为顶极。起十也。

东西圈平分球为南北二方,造日晷必用之。
论天元去离圈〈凡二条〉

天元三大圈:其一赤道,其二地平。若欲知两点相距几何,则二圈为未足也。故有去离大圈过所设二点,自此点至彼点,其间之容则相去离之度分也。若此二点俱在天元赤道,或俱在其过极圈,或俱在地平圈,即所在圈为去离圈,不用百游去离圈。
游者,游移不一,百言其多。

如左图甲乙丙丁线为地平,戊己为南北极,庚辛为


黄道。设壬癸点则子癸壬丑,大圈上之癸壬是其度分。
或问二点,或俱在纬圈,则即以纬圈为去离圈不可乎曰。凡测量必用准分之尺度。准度者,止有一不得有二。静天上之大圈分,则准度也。各纬圈之小大与

其度分之广狭,一一不等。若多寡不齐之尺度岂能得物之准分乎。故测去离必用大圈,不得用纬圈也。〈以上原本卷上〉