欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第八十六卷目錄

曆法典第八十六卷

儀象部彙考四

《新法曆書二》渾天儀說二

前以天行之效顯儀之理，此復依天行之法晰儀之用。大端以求三曜，〈日、月、星〉為要領矣。至分論之，或依本行與黃赤二道相較，彼此得經緯度。或依宗動之行與地平天頂及子午等圈相較，求諸曜出沒之時。又或依方位、地平、高度彼此相較求星距太陽遠近，與出沒之先後伏見之期限。總於本儀得全用焉。但恆星距黃道內外甚遠，不能盡載圈上，又或光色微渺，未足測景，〈以景定度測時〉則自有天球之實儀在，借之以資本用，雖虛實兩儀，大意相同。而推之亦略有異。此所以並論天球也。即本卷諸用尚多缺略，然欲求其難當自其易者，始欲求其煩當自其簡者。始則從茲而詳，及之姑以俟之他篇。

安儀

凡測天諸儀有黃、赤道等圈，必以本圈正合天上所有之圈為準。如在天有過頂者，儀中相當圈宜豎立以應之，有距頂向南、北、東、西者，儀中相當之圈亦宜向南、北、或東西地平，皆與天上之圈合。則日月諸星行度為儀圈所得者，即天上諸曜實行之度分也。今渾儀雖未盡乎測天，然能以日景考查時刻，並求各方北極出地之度，及太陽高弧距地平等，用則必一切方位與天脗合。先以兩極依出地度安定，徐以羅針所得，正其南北，又以垂線取準地平，任置臺几之上，以聽次第用焉。

求北極出地度

北極高、庳隨地東、西，同南、北不一。此乃晝夜長短、寒暑異同。日月諸曜距天頂遠近之所繇也。法先將本儀取準地平，考正南、北，隨以游表於黃道上，定住太陽本日躔度，轉儀切子午圈正面，候太陽當正午之時視表，周無景即本北極高度已定，而極高之度必為子午圈自地平至極中之弧也。若表尚射景，漸運子午圈於架內，或上、或下，展轉那移，至表無景乃止。而因以得北極出地之度。

或先設象限等器於正午時，測定太陽出地平高度，次於本儀黃道上查取本日太陽躔度。置子午圈正面下隨運儀，令自地平至躔度間子午圈之弧與前所測之度等。則自北極至地平度分即本北極出地度分，或不候午正即將游表，置太陽本躔度與時盤午正初刻正對子午圈，後用日晷等器測定時刻，以所得時轉儀，令居子午圈下，後視表無景，〈如射景將子午圈上下那移無景乃止〉則子午圈自地平至極中之弧亦準，可得本北極高度。

或以星求之。即近極諸星中，〈因恆不沒〉任測一星。先於最庳處識所測高度，待旋至最高處復測之，所得高度加前測之度，總而半之，為本北極高度。此常法也。今不拘出沒，或距極遠近之星，一測其至天中之高，〈另用一器〉即轉球，〈天球〉令本星居子午圈下，較儀上地平與前所測等，則本儀北極亦自距地平為弧，因得本方北極高度，或依所測天中星高度，即球上查其本星之赤道緯，以加〈距南用加〉減〈距北用減〉於至中之高度，得本赤道高。因得本北極高度。如測大角高七十一度，球上查緯得距北二十一度，宜高度內減之，〈因距北故〉存五十度為赤道高。應四十度為順天府北極出地高度。

求太陽躔度

太陽依黃道右旋，每日約行一度謂之躔度。法先依本北極出地高，令地平與子午圈如法安置，候午正初刻，將遊表以直角切子午圈，上下試之，遇表無射景，乃止轉儀。視黃道正居表下之度，即太陽本日所躔度。

又一法。用象限等儀測太陽距赤道度，因得其距南、或北隨於本儀子午圈上點定作識。乃令全儀運轉，視黃道度正交其點，即本日太陽躔度。但距赤道等度，與子午圈相交之點，黃道可有二處。必依晝漸長、或短，求之，即得其度在冬夏至之前、或後也。假如崇禎七年七月初八日壬申，曆局午正，測得太陽高六十八度一十五分，因得距赤道北一十八度一十分，

北極高三十九度五十五分，即赤道高五十度○五分。

依之作識得大梁宮二十一度，或鶉火宮九度，俱與所識點相交，第此時夏至已過，晝漸短，即知所得必為鶉火宮度。

求恆星黃道經緯度

恆星較黃道有經、有緯，而共以黃極為主，必依黃道右行，任從冬至、或春分起算為之經，本道南北為緯法。以高弧切球上，使從黃極過星所至經度即本星之黃經度。所居黃道上及星間之弧即黃緯度。但星距北必高弧安之黃北極星，距南高弧亦安黃南極。如貫索大星。距黃道北以高弧從黃北極過本星，視至大火宮六度有奇，即貫索大星之黃經度。又自黃道北至本星處約得四十四度三十分，即其黃緯度也。若先得星黃經緯度，欲查球上星所當在之處。亦用高弧。依球上本星黃經度，因之安高弧初度，令末度至黃極中，〈黃極南北依星距南或北〉任黃道內外順高弧數星緯度所止之點，即星居球上之處。假如崇禎元年測定心宿中星在黃道析木宮四度三十六分，距南四度二十七分，依此度分安高弧至南黃極，從球上黃道數起，得本距度之限即心宿中星所居之處。

求太陽赤經緯

太陽依黃道行近，考定冬、夏二至距赤道南北最遠之處為二十三度三十一分三十秒。迨二至前後每日相距不等，而二道又以斜交惟分至之點，彼此得同經餘，俱不得合一也。今求緯度法。令本儀轉，任取黃道若干度，正合子午圈下，即於本子午圈視兩道間所容之弧得數即黃赤相距之緯也。求經度。亦任取春分或冬至起筭，視黃道度在子午圈為限順數，其赤道圈之度即黃道上之赤經度。若依地平求之，必先安儀使兩極與本地平齊。即用地平當子午圈，則赤經弧必過赤極與赤道以直角相交，而東西所限赤緯弧亦為本圈南北所量。雖子午圈本當過極諸圈與赤道正球相交，而地平與正球亦不異。是故所指度分即得赤道經緯度分。

求恆星赤經緯

法以赤極為準，必順十二宮為經，赤道南北為緯。先轉其球以所求星切子午圈下，後視赤道是何度分，此即本星赤經度。又視赤道與星在子午圈上，所開之弧容何度分，乃其星之赤緯度。如設狼星居子午圈，得本圈下赤道度自夏至起，算約七度三十分即狼星赤經度分又赤道南距狼星一十六度乃即本星之赤緯度。求五星赤經緯法與同。但先以黃經緯點星於球上如法，使高弧自黃極中至黃道本經度過星處，即依高弧之黃緯點球作識，後轉球，令其點合子午圈亦可得赤經緯也。若先算定恆星赤經緯於球上，考其處，即從春分依赤道順查星經度，移至子午圈下，乃本圈上南、或北，〈依星距〉查其緯度用點作識，即其星所居之處也。如崇禎元年心宿中星，得赤經二百四十一度四十三分，以本度分轉球至子午圈，因星緯度距南二十五度三十分，隨以此度正對子午圈下作，必指其本星之實處。

求黃道每度赤道緯

法任取黃道何度，移置子午圈正面，即從黃道中線至赤道上視本圈，所得若干度為黃道度之赤道緯。〈南或北依所求點得所距〉若從北極起算，亦於子午圈從極數至所求之點亦是。如求清明初度緯，得其距赤道北約五度，距北極八十五度，寒露初度距赤道南約五度，距北極九十五度餘，俱倣此。

求黃道各弧出沒之時

黃道上出沒較赤道圈之出沒恆異。蓋赤道等弧，或正球、斜球。

南、北兩極并在地平為正球，一極出地平上，一極入地平下為斜球。

所應出入之時恆如一。黃道不然，遇正出或遲斜出反速，每日早晚先後不等，隨地有變。試以最長之晝其見出止六宮，最短之晝亦為六宮。如太陽在鶉首初度，〈晝長時〉任北極高若干，使本度切儀，東地平漸轉至正午，必見壽星初度東出矣。復轉至西地平，即星紀初度東出總得黃道半圈為其所出沒也。又如太陽躔星紀初度，〈晝短時〉本儀東地平轉至正午為降婁初度，東出至本躔度，西入則東出者必鶉首初度本等。自早至晚亦得半圈，是黃道與地平皆大圈，相交必各平分故耳。法用赤道圈之度，或十五三十四，十五多寡，等弧以限定時刻，為黃道所同出入，則黃道不拘大小弧，總在其時內行者為是。假如北極高四十度，依本地求降婁全宮之升度應時若干。先以其初度在東地平，因并得赤道初升度。〈二道相交為春分，即各升度之初界。

〉轉儀使出至本宮末度，即見東地平，指赤道上一十八度強化為時，約得四刻一十二分，即降婁宮全升之時也。又求其入地平時，亦以本初度切西地平。試令本宮之度盡入，得赤道同入之弧為三十七度四十餘分，化為時得十刻有奇。即本宮全入之時，與先所升之時大相懸遠。欲用時盤求之，即其初度之或出、或入，視子午圈所指何時。轉儀至全宮之出入已盡，復視時盤與子午圈正切者，得時刻前後差若干。即黃道出入之總時矣。

因以度數變為時，而即以時變度數法。總度分秒各數以四相乘，所得為次行時之小數。如乘度得時之分，乘分得時之秒。試以一十六度二十分化為時，以度乘四得六十四分，以二十分乘四得八十秒，總為一時○五分二十秒。又總時分秒各數以四相除，所存為次行度之大數。故以時之微得度之秒，以秒得分，以分得度，以時得六十度之弧。因之推表，或度在初行可當分，亦可當秒。則時分秒在次行，以度數變為時數，或時在初行度，次之則以分秒微在初行度分秒，俱在後行，以時數反變為度數，若查表總數，初行不盡，即取其近小者，以餘數再查之，故列表如左：

<h3 id="度數變為時表〈此下以時反復查度數〉" style="text-align: center">度數變為時表〈此下以時反復查度數〉缺求兩星出沒之距時

凡兩星在赤經度上同出沒者，此正球也。斜球不然。蓋距赤道北，其較赤道同度之星必先出後沒，距南者反是。故求星出沒之距時，惟以定其斜升度為先，法依本北極高安球，任取一星居東地平，並識赤道同居之度即本星斜升度，〈或從春分、或從冬至起算其法一〉復取一星亦如前，查其斜升度，乃以後得數受減前得之數，若不足減，則借全周減之餘赤道弧為二星東出其間相距之弧，化為時，即二星前後之距時也。求星之西入亦然。假如北極高四十度，移畢宿大星于東地平，得赤道同出為四十九度三十分，即本星依本地斜升度與井宿距星相較，亦令其居東地平得赤道同出為七十度，以減前度餘二十度三十分，為二星相較之弧，化時得五刻半，為二星東出之距時。若星入時，求法同，所得距時異。如畢宿大星至西地平得赤道同入為七十八度三十分，其井宿距星同入之赤道度為一百一十一度三十分，相減餘三十三度，乃得八刻一十二分，為二星西入之距時。

求星出沒與在地平上之時

論恆星之出沒難以定時者，繇太陽與之遠近逐日不一，而在地平上之總時則百餘年後其本行漸變，其赤緯而時亦與之不同矣。若五星出沒隨太陽本行亦無定，而在地平上之時則因本行恆出赤道內外亦因之有異。法依本北極高安球，將太陽本躔度與時盤午正初刻正切子午圈，下次轉球，任取一星居東地平，即于時盤得其星出之時刻，復轉球，令其星至西地平，亦如前得其星入之時刻，通計前後，因得其在地平之總時，或欲密求應依赤道度法。以本日躔度，切子午圈下並識同居圈下之赤道度，次轉球，令星至各地平，〈東或西〉復視此時赤道交子午圈之度為何度，兩赤道度以後得數受減前數，不足借全周，減之餘為星出沒之度，變之，即得若干時刻。假如北極高四十度，夏至日，求畢宿大星出沒之時。依法鶉首初度在子午圈，并得赤道度為九十度，移本星至東地平，即赤道三百二十度，居子午圈以減前九十度餘二百三十度，化得一十五時〈小時〉二十分，即寅初一刻○五分。〈午正起算〉為夏至日畢宿大星之東出也，又移本星於西地平，得赤道在子午圈為一百六十九度，減前九十度，餘七十九度，化得五時一十六分，即酉初一刻○一分，為本日畢宿大星之西入。第此法亦就恆星近日之本行為然也。若執此以求前後數十年或數百年，則因其本行有變與，太陽相較必不能合其出沒亦必自異，大率百年中依黃道行約差一度三十五分，每年差五十一秒，恆依此數前減後加，則得其正矣。論五星其在地平上之時，必先依本經緯度識之球上，而後可以如法查取與前同。

求黃道升降度

黃道每度分出入所得赤道在地平度分同出入者，謂之升降度。法轉儀，任黃道某度在東地平，得同居東地平之赤道度，即其升度。又本黃道度在西地平得同居西地平之赤道度，即其降度。然惟正球不異於赤經度，而斜球則異，愈斜則二道之度其差愈遠。如實沈初度距春分六十度，試令正球在東地平，得赤道同居約五十八度，如以斜球使北極高三十度，得赤道同居約四十七度，北極高四十度，赤道止居地平四十一度，此皆斜球中實沈初度之升度也。是赤道較黃道恆少，如北極高三十度，得赤道與實沈初度之同入約七十度，北極高四十度，則赤道同入約七十五度，此其斜球之降度，是赤道較黃道反多也。至欲以赤道升降度反查黃道同出入之度，法同此。

求黃道見與不見之弧

依北極出地異同，故黃道隨處有先後全見或恆見與恆不見之弧。因太陽左行，遂以出入分晝夜，此常法也。然亦有出而不入，入而不出之時，何也。北極高度較二道相距最遠之餘弧，〈二道相距二十三度半，餘弧為六十六度有奇〉或小或大、或等不同。小則黃道諸度每日盡為出入，無恆見與恆不見之弧。而晝夜並得滿二十四小時。若極高與二道相距之餘弧等，即天頂距極與二道相距亦等。必其天旋行能令冬夏二至與地平齊。故太陽在夏至之日常不入得晝長二十四小時而無夜，太陽在冬至之日常不出必夜長二十四小時而無晝。設北極高弧大於二道相距之餘弧，即極與天頂近，夏至左右之弧，黃道常隨天旋不入，冬至左右之弧黃道常隨天旋不出，則得恆見與恆不見之弧。而本地晝夜長短，每至數月。試令本儀北極高七十五度，則見黃道自大梁宮一十度至鶉火宮二十度為恆見不入之弧。太陽此間依宗動行，雖數十次，周天恆晝無夜，又自大火宮一十度至元枵宮二十度為恆不見之弧，太陽此間行數十次，周天長夜無晝。但太陽近地平時每為蒙氣中映之，使起入得地遲出反得速，宜以加減均之乃可。〈見日躔曆指〉

求星當見之時

依北極出地高，各方有恆見恆不見之星。蓋近北極星常在地平上，而近南極星則又在地平下，此定理也。惟往往出沒諸星，每較太陽遠近以為隱見之限。今欲求其見在何時，并其時刻若干，則如法。安球〈依本極高〉任取一星至東地平，並識其黃道同居地平度，復查太陽本躔度，因其距之遠近定本星之出見。假如畢宿大星在東地平，因得黃道之實沈十度，同出其西沒必為析木十度矣。設使日躔在實沈十度，即本星曉出昏入，通不可見。設析木十度為躔度，則本星反昏出曉入，終夜恆見矣。故求其當見之時，必先以躔度與時盤午正相對，隨查星之大小等第。〈凡六等〉以定其距日光若干為見不見之限乃準。如畢宿大星為第一等，距日光〈距日光與距日不同〉十度，其見限也。設太陽躔鶉首初度北極高四十度，令本度正對時盤午正得本星出地平為寅初初刻，漸轉球，至太陽將近地平，其未出約差十度，〈以正對星紀初度未入前尚高十度可考〉得寅初一刻，此後不復見星矣。則本日得見畢宿大星者僅一刻。又設日躔在鶉首十五度，距本星更遠，依法轉球，得本星東出為丑正初刻。至太陽近地平，其不見星之時為寅初二刻。總計見時約六刻，或太陽去之愈遠，其見時愈多，漸可一夜恆見也。

求日月諸曜出沒之廣

赤道交地平之處為正東、正西，而從此左右之地平則限諸曜出沒之廣者也。法依極高安儀以太陽諸曜至地平相交之處為號限弧，即在東或西，可得出沒之廣。假如太陽躔實沈十五度，北極高四十度，轉儀令十五度至地平，得偏北二十九度，強東西皆同此。即本度依本地太陽出沒之廣也。蓋廣弧大小不一，其緣有二：一緣黃道斜交赤道。因相交之點前後愈遠，必得本弧愈大；一緣地平所得有正球、斜球，〈正斜球解見前〉因正即廣弧小，因斜即廣弧大，而愈斜愈大。如北極高二十度，得鶉首初度出沒廣二十四度，極高四十度，得鶉首初度出沒廣三十一度，使極高五十度，即本度廣三十七度，此皆斜球也。若正球則本度出沒之廣大概不外二道相距之弧。

以出沒之廣，求本黃道度及北極高度

夫出沒之廣，或以測得，或任設若干度，而以之求本黃道度。法先定度於地平圈，依其在正東、西之距南或北，令本儀以黃道之中線正交其度，乃識黃道何度。即本黃道出沒之廣之度也。欲求北極高度，亦先於地平圈，查本出沒之廣所得度。用點作識，遂令儀轉，使本太陽躔度正交本地平度。蓋必相交，然後儀上之極高正合天上之極高，否則將子午圈低昂試之，必躔度與地平所識度脗合乃止。

求太陽地平經度

凡圈有經緯者，必以縱距為經，橫距為緯。若諸曜不正行於圈下，即隨其距等之圈可當經行。今諸曜較地平以高度相距得緯，而最距之極即天頂以南北距得經。而初界在正東、正西，末界在正南、正北。雖諸曜出離地平，而經度仍歸之法。如黃道上太陽本躔度未有高度，必令之至地平，因求地平經度與求出沒之廣同。設太陽距地平有高度，則依前法，求高度若干。以高弧過其度，下至地平，即限其地平經度或在東西之南，若北，如北極高四十度，日躔在實沈初度，設本度在西，地平高五十度，以高弧過之，得其至地平距正西南約二十三度，即實沈初度。依本高度及極高之西，地平經度也。若依時刻考之，先以本躔度正對午正，隨轉儀，令所得時切子午圈下，乃以高弧過其躔度，如前，查地平經度，假令前得二十三度，今以申初初刻，求之所得復同。

求太陽出地平高度

日月諸曜東昇漸至天中，所得高度不獨前後時有異。即前後等，逐日相較亦皆異者，乃其依黃道行，去赤道內外遠近恆不一故也。法以本儀黃道上，本躔度正切子午圈下，其正切之處至地平圈即得太陽午正初刻之高。因視赤道此時交東地平度，依所得度東入十五度，隨將高弧過本躔度下至地平圈，而高弧所載度分，即太陽午初初刻之高度。若以前度出十五度，必高弧過本躔度至西地平，顯太陽未初初刻之高餘時俱倣此。欲逐刻求之，即以三度四十五分出入赤道為準。蓋躔度之交地平距午前後等，得高度亦等。假如北極高四十度，日躔為鶉首初度，移居子午圈得其距地平約高七十三度半，此時則秋分。初度交東地平使依赤道入三十度，即巳正，而高弧過躔度至地平為五十七度三十餘分，乃太陽在巳正之高度，或出三十度，即未正。而躔度西距地平所得高度亦五十七度三十餘分。設太陽躔星紀初度以本度居子午圈，得其地平高二十六度三十分，乃春分。初度在東地平，使入三十度為巳正，測得高度二十三度四十分，轉儀往西，如前出三十度，得未正高度相等。若用時盤求之免，查赤道度，必先以盤上午正及躔度，如法居子午圈，任儀左右轉，至本時交子午圈亦如前，得高度矣。或更以日景求高度與求時刻無異。〈見後段〉但遇表無景處，即過高弧以定日高焉。

用渾儀成高弧表

凡製長圓地平象限等，日晷界時刻及節氣線，必依高弧得所以然。法依本北極高正儀，隨將黃道上本節氣躔度，使之從子午圈或左或右任取一刻或四刻為限，而每限必與高弧相交，因得太陽在某節氣某日某時刻，高度若干，其時刻在午正前後等者，得高度亦等。故求其左不必復求其右。試以夏至初度北極高四十度，得其午正高七十三度三十分，未初高六十九度一十二分，未正五十九度五十一分，戌初高四度一十五分，午前及他節氣俱倣此。但距兩至等，得同時高度亦等。如芒種與小暑、小滿與大暑、甚至大雪與小寒之類是也。因極高四十度列表如左：

圖缺求恆星地平經緯度

恒星較地平經緯與太陽地平經緯不異。俱以南北得經，高度得緯。法先依極高安球，隨以太陽躔度移居子午圈，並與時盤午正脗合。任取某時刻于盤上，以之正對子午圈，後令高弧與所求星相交，即得球上本星本時所向方位，及所距地平遠近之度。如北極高四十度，太陽躔星紀初度，如法正對時盤，設寅初，求角。宿南星之地平經緯，乃以盤上寅初初刻對子午圈，以高弧過其星得交度一十七度，為本星當時之高度。即本地平緯也。因而高弧偏東南二十七度為本星方位。即本地平經也。復依此視球上方位得氐宿東出五車，偏西軒轅距午略東，俱一、一與天上相應。即更以象限等器測星之高，用高弧試于球上，鮮有不合者，則雖大象、森羅，而此器殆最為彰著者矣。

求星前後合伏之時

諸星會合太陽前後，伏見必依其體之大小，而本行遲速則又須時多寡不一。蓋體大易顯，雖近太陽，亦得見體小，必距太陽遠。始見稍近，即伏矣。遠近約有定限，如土星，限一十一度，木星十度，火與水十一度有半，金星五度，至恆星則依六等定限，約為十度。十二度、十四、十五、十六、及十七度。此外最小者惟暗乃見，而最大者即更近亦得見矣。論遲疾，因五緯右旋各有順行、退行之異，伏見難以時限，而恆星則共一本行，獨以形體分別其見伏之時耳。若依黃道以星與太陽相距定合伏，則誤也。蓋黃道升降有斜、正，能變其星見之時，雖設距度同，其見時必異。故正球出沒之星自不等於斜球出沒之星也。法先於球上任取一星，使之交西地平，後以高弧為定則，必在東地平上量星距日之限，令本限交黃道度所得之數，即星在西夕伏之度也。如使星交東地平，安高弧於西，量星距日限至黃道上所得交度，即星在東晨見度也。總以太陽日行分，依前後度為限，遂得各星合伏不見之期。如設畢宿大星距太陽十度應伏，試令北極高四十度，以黃道度相距，因本星黃經約在實沈五度，宜太陽躔大梁二十五度，即星夕伏，而今不然也。必太陽在大梁十四度，星即不見，何也。使本星交西地平高弧在東以十度，交黃道得正對大梁者，為大火宮十四度，是大梁十四度，星伏黃道上，畢宿大星已距太陽二十餘度，蓋斜入故也。復依黃道距論晨見，宜太陽躔實沈十五度，其星即見，而今又不然也。直至太陽在本宮二十七度星乃見，蓋移星於東地平，安高弧於西，則高弧十度已交析木二十七度，乃與實沈二十七度為正相對之處。是本星已距太陽二十二度，亦繇斜出故也。大都躔度前後相距約四十三度，因得畢宿大星前後合伏不見應四十三日有半矣。若五緯，則宜先定其經緯度於球面，餘法同前。如崇禎七年十二月二十日，大統載金星夕伏，至次年正月初三日晨見，臨期實測不伏。試以天球考之，〈北極高四十度〉此時因金星退行，大統所載夕伏之時距太陽甚遠，測時尚高十八度，固不足論。惟次年正月初二日，太陽躔元寺枵二十九度，金星在娵訾一度○二分，緯距北約九度，乃移星至西地平，而日躔對度〈在東〉尚高出五度餘，故夕可見。〈依前定限〉其正月初一日太陽躔元枵二十八度，金星在娵訾一度三十九分，緯距北約八度半，復轉星至東地平，其西對度較太陽亦高五度餘，故次日夕見者前一日反晨見，又水星大統載崇禎八年三月十八日晨見，至四月二十四日晨伏不見。依新法推本星自三月初二日夕伏不見，直至六月初六日始夕見，前此俱伏，何也。三月十八日，太陽躔大梁一十三度，水星在本宮初度，距南三十六分，依黃道雖出距限之外，〈十一度半〉然使之交東地平，而與太陽相對之處止高五度，尚在距限內，其不得見也宜矣。至四月初三日距太陽最遠，乃太陽躔大梁二十六度半，星仍在本宮初度，但距南二度半，較日躔之對度亦止高九度，故亦不得見。凡此皆繇於黃道斜升、斜降也。

求晝夜長短

太陽左旋因之以分晝夜，必依赤道上取同出弧為晝長，同入弧為夜長，法儀上查太陽本日躔度，移至東地平，因識赤道同在地平之度，後轉儀，令本躔度至西地平，仍視赤道在東為何度，則總前後相距之弧。如法化時，即得晝長若干，因得夜長亦若干。假如順天府北極高四十度，求最長之晝。設夏至太陽躔鶉首初度，即令本躔度交東地平，並得赤道對黃道之度約七十度。〈自春分起筭〉隨轉儀，令本躔度至西地平，即得赤道東出為二百九十三度，與前七十度相減，餘二百二十三度，化時得一十四小時三刻半。即順天府最長之晝。餘日長短法俱同。求夜長。本法以前夏至本躔度，安西地平得赤道同居為一百一十一度，復令本躔度東出，則西地平得赤道為二百四十八度，相減餘一百三十七度，變得九小時○七分餘，為當日晝所餘也。欲用時盤，則以午正與本躔度準對，即晝夜各時俱為子午圈所限，而并得太陽出沒之時，如前夏至日出子午圈切寅正二刻，餘日入切戌初二刻是也。

以晝長時復求北極出地高

法取最長之晝查，黃道上太陽本躔度。令居子午圈下，並與時盤午正脗合，後轉儀，以本太陽出地平之時正對子午圈為度，架內起儀、或稍下，游移試之，務使本躔度得交東地平，即得本方北極高度。假如順天府最長晝〈夏至日〉約十五小時，半之為七時○二刻。算得寅正二刻，乃太陽自東出至午正之時刻也。先以鶉首初度〈夏至日〉與時盤午正，並居子午圈隨將寅正二刻代居其下，惟游移本圈，令鶉首初度至東地平，即得儀上極高四十度，為順天府北極出地度也。

求晝時刻

太陽西行每三度四十五分為一刻十五度，為一小時。〈四刻〉冬夏朝夕皆如此法。先依本北極安儀隨置，遊表於本躔度，移居子午圈與時盤午正相對，後令儀轉，〈東或西〉至表無射景，則子午圈所切盤上時刻即其時刻。或不用遊表，止取本躔度，與時盤午正居子午圈下，隨用他器測日輪高度，以所得度識之高弧上，如法安弧，令高弧與躔度合為一處，則視子午圈所指即其時刻。

求朦朧時刻

太陽在地平下體雖不見，而光實射於空中，則此昏明之際，政所謂朦朧時刻是也。定限為一十八度，如距太陽在限外者，固宜地面周暗全無照光，然即在限之內因所行不同，為時亦各有多寡，或躔度在黃道為正出入，則太陽徑離地平，其行速，為朦朧短或躔度在黃道為斜出入，則太陽略遶地平，其行較遲，得朦朧長。試令如法安儀，將高弧上十八度與日躔正對之度，〈在東用西互易之〉從地平數起，依限於赤道圈作識，隨去高弧，視本躔度之對度在赤道上交地平為何度，則依赤道相距之弧變時，即得朦朧長短時刻。欲用時盤，則以午正與本躔度正對子午圈，餘法同前。如北極高四十度，太陽在星紀初度，若查晨刻，必安高弧於西地平，令弧上十八度與鶉首初度等，即時盤約得卯正，〈躔度東入十八度故〉則是本日朦朧之初刻，計至太陽出，約差六刻，或安高弧於東地平，令本儀以鶉首初度與弧上十八度等，得酉正為昏刻之末界，此時太陽已西入六刻。又如太陽在鶉首初度，宜以星紀初度與高弧十八度等，東西俱同前法，得本日晨初在丑正二刻，昏末在亥初二刻，總朦朧各得八刻，因知朝夕所得同，而冬夏所得異也。

求距太陽出入前後時刻

以太陽出沒之時較，所得時即於晝夜長短，中推取此亦一法也。然又有從升入之度求得者，如法安儀，豎表於本躔度，轉儀，令表無射景，因識赤道交東地平度，〈赤道升度是〉復轉儀，使東至躔度交本地平，亦並識其赤道同居之度，〈日升度是〉兩升度相較，必前減後餘為日出距本時之弧，化時，即所求前距時刻。或於表無射景時識，赤道交西地平度，〈赤道入度是〉又復定赤道與本躔度在西同居之度，〈日入度是〉兩入度相較，必後減前，得赤道弧為後距時刻。如北極高四十度，日躔鶉首初度設巳正初刻，表無射景，必東地平得赤道一百四十九度，西地平三百二十九度，令躔度至東復得赤道六十九度，與前度相減餘八十度，化為五小時○二刻。即本日巳正之前距時刻。若令躔度至西復得赤道一百一十一度，借全周減前三百二十九度，餘一百四十二度，化得九小時○二刻。乃本日巳正之後距時刻也。欲用時盤，必先以午正與本躔度，上之遊表居子午圈，至表無景處，得本時刻，隨將躔度交東西地平，則本圈兩次所指時刻，即距本時之前後時刻。

求七曜時分

七曜輪轉各主一時，名為不等時，蓋晝夜雖共分二十四時，然此則晝自晝，夜自夜，各平分必得十二時，而晝夜之長短所不論也。所以赤道上弧亦不得定以十五度為一小時。

七曜輪轉之時，一太陽，二金，三水，四太陰，五土，六木，七火。因推每曜，當得一時，必自日出起算，所得第一時之曜即為本日之主。如遇昴日，其第一時應太陽本日，遂屬太陽。依次輪轉，次日第一時屬太陰，太陰亦為次日之主，餘倣此。

法先查晝長總時，〈依前法〉化為分，以十二除之，所得數為本晝不等之一時。次於黃道圈查本晝躔度，令與時盤午正，依法相對，復移躔度至東地平以定日出時。〈依常法〉從此依先得七政不等時，平分盤周，自日出至日沒之處，後用表依常法測日，依新分盤得時。如北極高四十度，最長晝為一十五小時，化得九百分，以十二除之，得七十五分為本日一不等時。〈正五刻〉或依前，設巳正表對太陽無景時，盤得新分四時三十分，為自日出至巳正之不等時也。與十二相減，餘七時四十五分為巳正至日沒之不等時也。

求夜時刻

太陽依左行分晝夜，故此獨為時刻之原。乃欲以星曜定時者，必先求其赤道上經度距太陽若干，隨以相應之距弧加於午正變為時，即所當測之時刻。法依極安球，令本躔度及時盤午正相對，後用象限等器測星出地高度，并識其方位，〈東或西〉依之安高弧。轉球，以星對高弧於前所測度，視子午圈所切時刻即本時刻。或不測星高度，〈先以本躔度合時盤午正〉止將本儀取正南北，視至天中之星，〈或出沒之星亦可〉即於球上移居子午圈，而圈下所指時刻是其時刻。假如太陽躔降婁初度，即將本度正合盤上午正。設角宿南星至天中，乃移球上本星居子午圈下，得時為丑初初刻○六分，凡星及各節氣躔度俱準此。若依赤道度求時，如前法，以本躔度及時盤午正居子午圈，並識圈下同居之赤道度，轉球，以星所測得度正對高弧，復識其居子午圈之赤道度，將前後相距之赤道弧化為時，乃星居午正之時刻，必加於午正時，得所求時刻。如前角宿南星至天之中，得赤道同居為一百九十六度，

從春分起算順數，因躔度在降婁初度，故止用星赤度化時。

查表應十三小時○四分，加於午正為丑初初刻○四分。

日躔不正在春分，後得度減去前度，不足借全周

減之。

求太陽等曜距午正之弧

法先以本曜所行度與時盤午正居子午圈，因識其同居之赤道度，後轉儀，任所設時居子午圈，復識其同居之赤經度兩經度相減所餘必本曜距午正之弧。如太陽躔壽星十五度，赤經為一百九十四度，轉儀，令辰正初刻居子午圈，則同居赤經為一百三十三度，前後度相減，餘六十一度，即太陽距午正之弧也。他曜倣此。

求日月食之原

日、月、地三體必并居一直線上始有食，蓋日體恆居一直線之初界，而彼界則月體、地體疊居焉。如月體居界末，則月面之日光食於地景；地體居界末，則地上之日光食於月景。〈月體厚不能透光故〉但太陽本行恆依黃道中線，而地居天之中心，一為日光所照，則此面受光，彼面必生景。雖所射景與日正對，亦不能越黃道之中線以為規也。乃太陰本行多在黃道內，外大端距日與地所居之直線遠，則朔朢無食，惟出入黃道之處與日與地相參直在一線上，則朔朢必食。試於本儀考之。設太陰在陰，〈黃道北〉陽曆，〈黃道南〉距兩交甚遠，任太陽在何宮度，使轉太陰本圈與日體會為朔，或正對為朢，從而視之，必日、月不能與地並居一直線，無緣得食。若移太陰至正交或中交，不拘得何宮度，與日相會或相朢，必日、月地之體並居一直線，本朔朢時雖欲不食，不可得也。

求交食方位

日月相食之輪，或從失光之處求之，或從存光之處求之，其起復方位恆自不同。此中繇於多緣。如黃道斜月在南北二曜居午正前後，俱能變易方位，一一細推其故甚難。惟於儀上視之，瞭如指掌法。論日食，依先所算黃道上二曜視度，中心圖一小圈當日輪，并依太陰視距，或南或北，復圖一圈與前約等，即當月輪。

求初虧，俱依二曜初虧各視度；求食甚復圓，必依食甚復圓時之視度。

隨令時盤午正與躔度相對，轉儀，令子午圈切初虧等時，後以高弧正居二曜之心，所至地平即其所食方位也。若月食法同，惟與太陽正對之處，圖地景圈徑約一度半，其左右或前後依月距及各宮度繪圈略小，即得月食之象。假如崇禎九年正月，月食三分餘，因太陽躔娵訾約二度，以本度對時盤午正，乃於太陽正對處。〈實沈約二度〉圖景並月體圈，轉儀，令卯初〈初虧時〉正居子午圈，即因月輪距南約五十分，〈以本行未至景心論〉以高弧試之，尚距正東十餘度。得其向東北至食甚時，月輪又低東行，又多約與景心南北相對，故此時得其向正北也。若欲查二曜初虧等時距地平高，即依時轉儀，令高弧從天頂過二曜之中心至地平，數之即得二曜高度。如前月食初虧，依卯初定儀，而以高弧過太陰圈心，則地平上約得十九度，即月初虧高度也。

求彗星遊星經緯度

先任測一恆星之高度，如法安球，必使高弧依所測星高度與球上本星脗合。隨測彗星或五緯地平經緯度，而以本經度查於球之地平，隨將高弧過所測之星，高於球上，用點作識。因較黃、赤道所距度，皆依前法，即得其星之經緯度。又一法，先測彗星高度，并測一恆星與本星相距之度，隨依彗星方向，將高度於高弧上用點作識，乃復用規器於赤道上量其二星相距度，而以一銳指恆星，一銳指高弧所識點，〈高弧進或退必以規銳至其點為定〉即得彗星經緯度。或不必測彗星高度，而惟測與一恆星相距之度，復以界尺量之，更求一恆星與此二星同在一直線，而球上任將高弧縱橫安之，必依二恆星引對。則高弧所得恆星距彗星度點之球上又可得彗星實度。遊星俱倣此。若彗星有尾，欲圖全容，即依前法先測得其首，後測其渾體之長短，并量一恆星同居直線上，隨於球上使高弧從首至本恆星，依先所測之長識之球面，即得星尾之所止。或正引高弧向太陽躔度，以數其長短於球上，為號亦得。蓋因彗尾多向太陽對度故也。〈以上原本卷二〉

立象者何。任所得時刻應何宮度，依之以推定十二舍也。而各舍所當居之度分，並經、緯、諸曜，皆從本度起算，則此因時之變，得天之容，乃占驗所繇以生。第此中緊要在定每舍之初界。〈即初度〉舉所應得分數，繪以方圖或圓形，隨點入星曜，即渾天之象成矣。法依本北極高安球，以本日躔度與時盤午正較對，始轉球與盤，將先所得時刻居子午圈下，而本球宛然一當時之天象。次於西地平識同居之赤道度，並得相應之黃道度，即第七舍初界。次起半圈至赤道上，距三十度之限，所得黃道度乃第八舍初界。逓起逓加，盡得地平上各舍初界。而地平下諸舍，則以黃道相對處可定。如一與七，二與八，三與九，四與十，五與十一，六與十二之類是也。假如崇禎九年正月十五日辛酉曉朢月食，順天府食甚在卯正一刻○二分，日躔在娵訾宮一度五十三分。因此時，求各舍躔度。先以日躔對時盤午正，依法轉儀，得西地平交赤道一百五十○度，交黃道鶉火宮一十三度，此即七舍初界。正對東地平，得元枵宮一十三度，為第一舍初界。〈即命宮是〉上居天中，得析木宮○二度，為第十舍初界。正下得實沈宮○二度，為第四舍初界。半圈交赤道一百八十度，〈距前數三十度〉得黃道壽星宮初度，為第八舍初界。正對之降婁初度起第二舍，又以半圈交赤道二百一十度，得大火宮九度，為第九舍正對之大梁九度，即第三舍。後移半圈至子午圈之東，得析木宮二十度，為第十一舍，星紀一十度為第十二舍，而正對處即實沈鶉首相等之處，為第五及第六舍。因而上、下、左、右四角〈四角占驗最得力處〉定矣。復求緯星所居之舍，或依表預算，或徑用推定。七政細行，則以本北極高及本時刻，取各曜相應度分，入其舍，若星近舍初界有距度，或可入前舍中，必先以黃經緯安球上，隨以本曜所居之處，求於本舍。而以前所立象定球漸移，半圈，如法起舍，乃星入前後界內者，即得本舍是也。若地平下各舍之星，法起南極於架上，與北極等高，移前第一舍之初界至西地平，而天容在地平下者，反居地平上。即得諸曜本舍之界。如以鶉火十三度，交西地平至壽星初度總弧內，得前月食。惟木星與太陰略近，查丙子年七政細行食甚時，木星躔鶉火二十九度五十七分，而火星則躔大火三度三十分，應入八舍，土星躔星紀一十一度三十分，緯北三十四分，必在十二舍之初界。太陽、金、水二星皆在娵訾宮，因同入命舍其土星。依本經度，惟緯北三十四分，故得在十二舍之初界，若距黃道北或一度半、或二度，試以舍圈限之，必其已入十一舍，因近頂緯多故也。求恆星法同此。蓋此象一立，則凡各曜性情勢力強弱可考，而知窮理之家，借以觀變於未然，鮮有不驗者。〈其法詳天文卷中〉

求兩星於立象圈上相合之時

凡兩星本各無力，一合即增力，此實足為所立象損益之原也。故以初得某星、某宮度，主人生命等事者安東地平，〈依本地北極高〉即應查其與某星相合否。蓋轉立象圈於球面上下，得二星在通徑上，即命星在地平時，其星必合，否則令球與立象圈各自那轉，復求其當合時，法必得二星能如此合，遂識赤道交子午圈度，次移本日躔度合子午圈，併識其同居赤道度，乃以前赤道交度減後赤道交度，餘度化為時刻，即得二星應合之時。如極高四十度，一星在鶉尾宮二度，距緯南三度，又一星在本宮四度，距緯北一度，本日躔鶉首宮七度，試轉儀，併半圈見子午圈西，未合必過東近地平方可得合。而合時赤道則以七十五度交子午圈，便移日躔至子午圈下，得同居赤道九十七度為前度，所減〈先借全周後減〉餘三百三十八度，化為時得二十二時二刻○四分，即二星去午時後合圈下之限。

求經緯星相照度

凡兩星相照，增力或阻力多以向黃道為準，大約有五等。如會合，即同度同分為密，而同度不同分者則謂之疏。六照以六十度為界，四照止於一象限，三照以四宮相距，而云然朢照則以正相對而得半圈之距，乃此數照。又各有親或遠者。蓋星體居正照之界即親而力強，若體未正居其界，而第以光居之即遠而力弱，至若光之前後雖同，而各星所定之限有異。如土得十度，〈前十後十〉木十二度，火八度，太陽十七度，金、水皆七度，太陰復十二度，經星凡第一等有七度三十分，二等五度三十分，三等三度三十分，四等一度三十分，五、六等最微力弱，不入其數。總之，除會朢二照，餘皆以順十二宮為左照，逆十二宮為右照。試於儀上考之，法用規器量黃道上任取一照之界，〈六十九十等度〉以星為心，於黃道左右分順與逆照之限。假如求大角，四照以九十度為限，將規一銳居本星體一銳，指左界九十度，必至星紀十七度為順照，指右界九十度必至鶉首十七度為逆照。若七政，必先依各經緯度安其本位，餘法同前。又一法，用立象半圈，先依北極出地安球，任取本時升度居地平，乃移半圈，徑過其星，依之於赤道上作識，後轉球，從前所識赤道度，相距三四等照界，仍移半圈，其上所指黃道度即星照所至界也。假如升度在壽星十六度，求軒轅大星六照限。必移升度於東地平，立象圈過星，指赤道一百三十八度，復加六十度，應一百九十八度，居立象圈即併得壽星宮十六度，居本圈為軒轅大星六照之左限，其右限則以反減六十度為法。

求歲旋

凡從前所取時刻至太陽復躔元度分，其中相去總數謂之歲旋。蓋依後時所立象，較前象所得七政等星居舍內，應增或阻前星之力，即效驗所繇變也。法令球依前立象之時定住視，赤道交子午圈若干度，為前象天中升度。今越若干年，復求後象天中之升度，必每去一歲加八十八度四十九分，滿全周則去之餘數，即後象赤道交子午圈度，使之於本圈正合，可得天容依歲旋之時。因以定各舍宮度，而各星安舍法亦同前。假如崇禎元年正月酉正時，立前象因太陽躔元枵一十六度一十九分，依法轉球，令時盤酉正交子午圈，得赤道交本圈之升度為五十度，設相去八年，復立象，為崇禎八年十二月二十九日，〈太陽躔元度是〉則以八乘八十八度四十九分，去全周餘四十度三十三分，為後象之升度。移居子午圈，得本圈指酉初二刻，為歲旋之時。如用立成表，細求即後歲中。先查太陽躔元度分之日為歲旋終之日，次以後象升度減太陽是日之升度，〈不足減借全周減之〉餘數化為時刻分，即得當日立象之時刻焉。假如因十二月二十九日太陽躔元度為歲旋終之日，其升度三百一十八度四十八分，後象升度四十度三十三分，不足減，借全周共得四百○度三十三分，減去前數，餘八十一度四十五分，化為五小時一刻一十二分。〈從午正起筭〉

加升度表缺引照元，與增力元相合。

凡初得某星、某宮居某舍，因之以占所效，是謂照元。設更有一星或一宮所居舍，能增力或阻前效，即謂為增力元。二元必各依定時著力乃就中，求以前者至後之位，或反以後者至前之位。俱依赤道弧相應二元之距為限，轉球，查其弧之大小為引，則一度應一年度數，既定應在何時亦可限矣。故引後至前，以順宗動為正，而引前至後，則因五緯逆行時用之，遂名曰反引。皆於球上可得正引者何。轉球先依天象安定，令黃道應第一舍初界之度，正居東地平，次查照元移象圈徑，過其上併識赤道合子午圈度，又轉球右行，以增力元至半圈，復識赤道交子午圈度，則先後所識之間弧乃指正引限，而總數可推年時也。欲反引安球，令之轉同前，惟立象圈宜先徑過增力元，復識轉球時赤道過子午圈弧，因以定其中相去之年。假如北極高四十度，設大梁十度在第一舍，初界太陰離黃道娵訾二十度，距北二度為照元，火星近東地平，躔大梁六度，距南三度為增力元，必先依各經緯度，帶二曜於球上，然後令象圈過太陰處，所交赤道點約為三百五十二度，〈用本圈與用子午圈同〉次定住象圈，移火星與本圈正對，約得赤道交圈點為二十八度。以所得前後度相減餘中弧為三十六度，即正引之限。求反引法亦同。但引限在地平下必先起南極依，北極出地度，令黃道第一舍初界之度。正居西地平，餘法同前。〈見前第二卷〉

求引二元應止黃道何度

因照元漸離初得之象圈，乃更有黃道相應，故任至某年亦可求其相應度。法先安球，依本象，令象圈與照元合隨，查赤道交子午圈度，因之順或逆取本度與年數所止限，移至子午圈，必此時交象圈黃道度即其年所引照元止限也。如北極高四十度，設壽星十六度東出太陽躔元枵六度為照元，依去四十二年之數，復求躔度。因安壽星十六度於本地平，安象圈於鶉火六度，〈與元枵對度因後在地平下故〉得子午圈交赤道一百一十度，以加四十二度，依之應一百五十二度，交子午圈得象圈，交鶉尾一十六度，即娵訾一十六度，〈正對宮度是〉為照元去四十二年所至限。若照元自居四角，不必用象圈。依所取年數轉球，復居本角黃道度即照元所止度，設壽星十六度為照元，而出地平者亦即此度，則得地平交赤道二百零一度。令球右轉以赤道四十三度至地平，則所并居之大火十九度即為照元。任取之年後止限，又設增力元亦居地平等角，即以同居赤道度減年數之度所止限，復移至地平等角，亦即得黃道交地平等角為其當年所至之限。或增力元不正居角，仍用象圈與之交，并識其所過赤道度減總年數餘度，限移至本象圈復得并交黃道度為增力元當年之限也。

依渾儀解圓線三角形

圓線三角形者何。乃過球心大圈相交三弧之形，而各弧不及圈之半周所成也。蓋形內每兩弧共抱一角在間者謂之腰弧。而與角相對之弧即底弧，或又謂直角三角形內以所抱直角弧為底弧，及垂弧即與勾股不異。而以所正對直角者為弦弧。論角，其大小以對弧之大小為則。蓋用規器以本角為心，以九十度為界，則兩腰間之弧〈腰先引長〉必量其角得本弧為一象限，即對角為直角。過象限為鈍角，不及象限乃為銳角。凡弧或角不及滿象限之度，名之為餘。又凡兩腰引長至合一點則得抱角之對。三角形以底弧為公底，以對角為等角，而餘弧、餘角皆前三角形所不及滿一百八十度之餘弧、餘角者也。因止一直角三角形得餘皆鈍角者，則與直角正對之形內腰間角必直餘，反皆銳也。如止一直角三角形，得餘一鈍一銳者，則與銳角正對之形內惟前形直角，相連之

圖

角為直角，餘皆銳角也。如圖：乙戊丙形內設戊為直角，乙、丙皆鈍角，即其對形乙甲丙內，得甲為直角，乙丙皆銳角也。又丁丙戊形內設丙為銳角，戊直角，丁鈍角，即其對形為丁己戊，而戊角獨直，丁、己皆銳角。論斜角形，如三角總為銳

角，必對形獨存一銳角，餘皆鈍角也。設乙甲丙形內甲為銳角，即得對形乙戊丙內戊亦為銳角，乙丙皆鈍角。如三角總為鈍角，乃對形反存一鈍角，餘皆銳角也。設乙戊丙形內、戊為鈍角，即乙甲丙內甲亦鈍角。今解三角形法多論不及一象限之弧，即銳角之底是也。因以斜鈍角形先變為銳角形，以直角形有一或二鈍角者，亦先改為對形，則就中推求之法與解原形不異。即餘弧、餘角之理所繇出也。今用渾天儀解之亦倣此。但先解直角形，盡之於三比法，有以先得一銳角，并與各弧者，又餘、銳角復并與各弧者，又以其底同各腰，或并得二腰者，各列法如左：

任取一弧一銳角，求餘弧及餘角

設甲乙丙三角形內，甲為直角，其底乙丙餘弧即腰，則乙與丙皆銳角也。先設得乙丙直角之底弧及乙角，欲求餘。盡解本三角形法，架內北起子午圈，令赤道前高依本角之度，然後或東、或西，自赤道交地平處與本地平，查底多寡之度以為限，移過極圈至此限上即三角形儀上定矣。如乙角為二十三度半，以

圖

前子午圈弧為則，使赤道依之，其左右交地平角即得對弧以定大小。今甲為直角，必於赤道交過極圈處，求之，則地平上得底。若設乙丙底弧為六十度，而移過極圈至本度，〈從乙角算起〉因大腰在赤道弧約為五十八度，小腰在過極圈弧

圖

為二十度有半，自過極圈交地平，查各圈滿一象限即以其限，安高弧得二圈間之弧為丙銳角之對弧約七十八度。又設以小腰及本角，求餘弧及餘角。即先定角等法同前。而以所先得甲丙弧〈如二十度半〉與過極圈上為點，移之至交地

平，必自得腰與底弧合前度，即丙角亦在高弧同矣。或以大腰查求其餘。亦先定乙角而轉儀以漸進，赤道弧入地平，令自其二圈相交之處獨餘五十八度。至過極圈交赤道之角必餘，法餘度亦合前也。今試以三弧各與丙角為先得，如底為六十度，求餘弧、餘角。法移過極圈至地平距子午東或西三十度，〈六十度餘是〉定住球，使高弧距二圈相交之處各滿一象限，得間弧為七十八度。即所設之形準否，則宜前或後，起子午圈必令高弧對丙角，如其度為止，即子午圈自地平以上得對乙角之弧，而直角兩腰皆明矣。或設先得大腰與丙角，必進或退赤道圈定其腰之大小。〈如五十八度〉即安高弧而起子午圈，依前法，求餘弧及餘角也。或以小腰及丙角，求餘。即先於過極圈查腰弧大小之度，使之交地平，以試高弧得全形。蓋對角弧不及其度，即球宜北起過極圈，宜南下若對弧已過其度，則球反宜南起隨移過極圈，東西得正。然後餘角、餘弧皆依前法準得矣。任取一腰、一底或二腰，求餘弧及諸角。先設得小腰與底弧皆依前度法。令球轉東或西以過極圈，限底弧之度。〈如六十度〉視本過極圈自赤道至交地平弧若正合其度，〈如二十度半〉即三角形已定。否則前後起儀，求小腰務合於地平。乃所對大腰亦復得五十八度。而查乙角、丙角必同前。又設得大腰與底弧，亦先定底弧度。漸起球或下令之左右轉，以并對大腰度，即小腰亦自合，而求角。必依前法也。或復設得二腰，求底與角。即先定大腰，令球下或起即得餘腰與底，而求角亦不異前也。