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卷八十

钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第八十卷目录

 历法总部艺文一
  三统历说         汉刘歆
  历议          后汉张衡
  历数议           蔡邕
  进景初历疏        魏杨伟
  春秋长历论        晋杜预
  上历新法表       宋何承天
  历议            前人
  覆奏元嘉历法疏      钱乐之
  请改元嘉历疏       祖冲之

历法典第八十卷

历法总部艺文一

三统历说         汉刘歆

《汉书》云:初孝成世,刘向总六历,列是非,作《五纪论》。向子歆究其微眇,作三统历及谱以说《春秋》,推法密要,故述焉。

夫历《春秋》者,天时也,列人事而因以天时。《传》曰:民受天地之中以生,所谓命也。是故有礼谊动作威仪之则,以定命也,能者养之以福,不能者败以取祸。故列十二公二百四十二年之事,以阴阳之中制其礼。故春为阳中,万物以生;秋为阴中,万物以成。是以事举其中,礼取其和,历数以闰正天地之中,以作事厚生,皆所以定命也。《易》金、火相革之卦,曰汤武革命,顺乎天而应乎人,又曰治历明时,所以和人道也。周道既衰,幽王既丧,天子不能班朔,鲁历不正,以闰馀一之岁为蔀首。故《春秋》刺十一月乙亥朔,日有食之。于是辰在申,而司历以为在建戌,史书建亥。哀十二年,亦以建申流火之月为建亥,而怪蛰虫之不伏也。自文公闰月不告朔,至此百有馀年,莫能正历数。故子贡欲去其饩羊,孔子爱其礼,而著其法于《春秋》《经》曰:冬十月朔,日有食之。《传》曰:不书,日官失之也。天子有日官,诸侯有日御,日官居卿以底日,礼也。日御不失日以授百官于朝。言告朔也。元典历始曰元。《传》曰:元,善之长也。共养三德为善。又曰:元,礼之长也。合三体而为之原,故曰元。于春三月,每月书王,元之三统也。三统合于一元,故因元一而九三之以为法,十一三之以为实。实如法得一。黄钟初九,律之首,阳之变也。因而六之,以九为法,得林钟初六,吕之首,阴之变也。皆参天两地之法也。上生六而倍之,下生六而损之,皆以九为法。九六,阴阳夫妇子母之道也。律娶妻而吕生子,天地之情也。六律六吕,而十二辰立矣。五声清浊,而十日行矣。《传》曰天六地五,数之常也。天有六气,降生五味。夫五六者,天地之中合,而民所受以生也。故日有六甲,辰有五子,十一而天地之道毕,言终而复始。太极中央元气,故为黄钟,其实一龠,以其长自乘,故八十一为日法,所以生权衡度量,礼乐之所繇出也。经元一以统始。《易》,太极之首也。《春秋》二以目岁,《易》两仪之中也。于春每月书王,《易》三极之统也。于四时虽亡事必书时月,《易》四象之节也。时月以建分至启闭之分,《易》八卦之位也。象事成败,《易》吉凶之效也。朝聘会盟,《易》大业之本也。故《易》《春秋》,天人之道也。《传》曰:龟,象也。筮,数也。物生而后有象,象而后有滋,滋而后有数。是故元始有象一也,春秋二也,三统三也,四时四也,合而为十,成五体。以五乘十,大衍之数也,而道据其一,其馀四十九,所当用也,故蓍以为数。以象两两之,又以象三三之,又以象四四之,又归奇象闰十九及所据一加之,因以再扐两之,是为月法之实。如日法得一,则一月之日数也,而三辰之会交矣,是以能生吉凶。故《易》曰:天一地二,天三地四,天五地六,天七地八,天九地十。天数五,地数五,五位相得而各有合。天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有五,此所以成变化而行鬼神也。并终数为十九,《易》穷则变,故为闰法。参天九,两地十,是为会数。参天数二十五,两地数三十,是为朔望之会。以会数乘之,则周于朔旦冬至,是为会月。九会而复元,黄钟初九之数也。经于四时,虽亡事必书时月。时所以纪启闭也,月所以纪分至也。启闭者,节也。分至者,中也。节不必在其月,故时中必在正数之月。故《传》曰:先王之正时也,履端于始,举正于中,归馀于终。履端于始,序则不愆;举正于中,民则不惑;归馀于终,事则不悖。此圣王之重闰也。以五位乘会数,而朔旦冬至,是为章月。四分月法,以其一乘章月,是为中法。参闰法为周至,以乘月法,以减中法而约之,则六扐之数,为一月之闰法,其馀七分。此中朔相求之术也。朔不得中,是为闰月,言阴阳虽交,不得中不生。故月法乘闰法,是为统岁。三统,是为元岁。元岁之闰,阴阳灾,三统闰法。《易》九厄曰:初入元,百六,阳九;次三百七十四,阴九;次四百八十,阳九;次七百二十,阴七;次七百二十,阳七;次六百,阴五;次六百,阳五;次四百八十,阴三;次四百八十,阳三。凡四千六百一十七岁,与一元终。经岁四千五百六十,灾岁五十七。是以《春秋》曰:举正于中。又曰:闰月不告朔,非礼也。闰以正时,时以作事,事以厚生,生民之道于是乎在矣。不告闰朔,弃时正也,何以为民。故鲁僖五年,春王正月辛亥朔,日南至,公既视朔,遂登观台以壬,而书礼也。凡分至启闭,必书云物,为备故也。至昭二十年二月己丑,日南至,失闰,至在非其月。梓慎望氛气而弗正,不履端于始也。故《传》不曰冬至,而曰日南至。极于牵牛之初,日中之时景最长,以此知其南至也。斗纲之端连贯营室,织女之纪指牵牛之初,以纪日月,故曰星纪。五星起其初,日月起其中,凡十二次。日至其初为节,至其中斗建下为十二辰。视其建而知其次。故曰制礼上物,不过十二,天之大数也。《经》曰春王正月,《传》曰周正月,火出,于夏为三月,商为四月,周为五月。夏数得天,得四时之正也。三代各据一统,明三统常合,而迭为首,登降三统之首,周还五行之道也。故三五相包而生。天统之正,始施于子半,日萌色赤。地统受之于丑初,日肇化而黄,至丑半,日牙化而白。人统受之于寅初,日孽成而黑,至寅半,日生成而青。天施复于子,地化自丑毕于辰,人生自寅成于申。故历数三统,天以甲子,地以甲辰,人以甲申。孟仲季迭用事为统首。三微之统既著,而五行自青始,其序亦如之。五行与三统相错。《传》曰:天有三辰,地有五行,然则三统五星可知也。《易》曰:参五以变,错综其数。通其变,遂成天地之文;极其数,遂定天下之象。太极运三辰五星于上,而元气转三统五行于下。其于人,皇极统三德五事。故三辰之合于三统也,日合于天统,月合于地统,斗合于人统。五星之合于五行,水合于辰星,火合于荧惑,金合于太白,木合于岁星,土合于填星。三辰五星而相经纬也。天以一生水,地以二生火,天以三生木,地以四生金,天以五生土。五胜相乘,以生小周,以乘乾坤之策,而成大周。阴阳比类,交错相成,故九六之变登降于六体。三微而成著,三著而成象,二象十有八变而成卦,四营而成易,为七十二,参三统两四时相乘之数也。参之则得乾之策,两之则得坤之策。以阳九九之,为六百四十八,以阴六六之,为四百三十二,凡一千八十,阴阳各一卦之微算策也。八之,为八千六百四十,而八卦小成。引而信之,又八之,为六万九千一百二十,天地再之,为十三万八千二百四十,然后大成。五星会终,触类而长之,以乘章岁,为二百六十二万六千五百六十,而与日月会。三会为七百八十七万九千六百八十,而与三统会。三统二千三百六十三万九千四十,而复于太极上元。九章岁而六之为法,太极上元为实,实如法得一,阴一阳各万一千五百二十,当万物气体之数,天下之能事毕矣。

历议          后汉张衡

延光二年,谒者亶诵言当用甲寅元,河南梁丰言当复用太初。尚书郎张衡、周兴皆能历,数难诵、丰,或不对,或言失误。衡、兴参案仪注,考往校今,以为九道法最密。诏下公卿详议。太尉恺等上侍中施延等议:太初过天,日一度,弦望失正,月以晦见西方,食不与天相应;元和改从四方,四方虽密于太初,皆不可用。甲寅元与天相应,合图谶,可施行。博士黄广、大行令任佥议,如九道。河南尹祉等议:即用甲寅元,当除《元命苞》天地开辟,获麟中百一十四岁,推闰月六直其日,或朔、晦、弦、望,二十四气宿度不相应者非一。用九道为朔,月有比三大二小,皆疏远。元和变历,以应《保乾图》三百岁斗历改宪之文。四分历本起图谶,最得其正,不宜易。恺等议,宜从太初。尚书令忠上奏:诸从太初者,徒以世宗攘外廓境,享国久长为辞。或云孝章改四分,灾异率甚,未有善应。臣伏惟汉祖受命,因秦之纪,违于帝典。太宗遵修,三阶以平,哀、平之际,同承太初,妖孽累仍,痾祸非一。议者不以成数相参,汎采妄说,归福太初,致咎四分。漏见曲论,未可为是。臣辄复重难衡兴议云云。上然其言,遂改历事。

五纪论推步行度,当时比诸术为近,然犹未稽于古。及向子歆,欲以合春秋横断年数,损夏益周考之表纪,差谬数百。两历相课六千一百五十六岁,而太初多一日,冬至日直斗而云,在牵牛,迂阔不可复用。昭然如此。史官所共见,非独衡兴前以为九道密。近今议者,以为有阙及甲寅元复多违失,皆未可取正。昔仲尼顺假马之名,以崇君之义。况天之历数,不可任疑,从虚以非易是。

历数议           蔡邕

熹平四年,五官郎中冯。光、沛相上计掾陈晃言:历元不正,故妖民叛寇益州,盗贼相续为历用甲寅为元而用庚申,图纬无以庚为元者。近秦所用代周之元。太史治历郎中郭香、刘固意造妄说,乞与本庚申元经纬有明,受虚欺重诛。乙卯,诏书下三府,与儒林明道者详议,务得道真。以群臣会司徒府议。太尉耽等,以邕议劾光、晃不敬,正鬼薪法,诏勿治罪。

历数精微,去圣久远,得失更迭,术术无常是。以承秦,历用颛顼,元用乙卯。百有二岁,孝武皇帝始改正朔,历用太初,元用丁丑,行之百八十九岁。孝章皇帝改从四分,元用庚申。今光、晃各以庚申为非,甲寅为是。按历法,黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁,凡六家,各自有元。光、晃所据,则殷历元也。他元虽不明于图谶,各家术,皆当有效于其当时。黄帝始用太初丁丑之元有,六家纷错,争讼是非。太史令张寿王挟甲寅元以非汉历,杂候清台,课在下第,卒以疏阔,连见劾奏,太初效验,无所漏失。是则虽非图谶之元,而有效于前者也。及用四分以来,考之行度,密于太初,是又新元效于今者也。延光元年,中谒者亶诵亦非四分庚申,上言当用命历序甲寅元。公卿百僚参议正处,竟不施行。且三光之行,迟速进退,不必若一。术家以算,追而求之,取合于当时而已。故有古今之术。今之不能上通于古,亦犹古术之不能下通于今也。《元命苞》《乾凿度》皆以为开辟至获麟二百七十六万岁;及命历序积获麟至汉,起庚子蔀之二十三岁,竟己酉、戊子及丁卯蔀六十九岁,合为二百七十五岁。汉元年岁在乙未,上至获麟则岁在庚申。推此以上,上极开辟,则不在庚申。谶虽无文,其数见存。而光、晃以为开辟至获麟二百七十五万九千八百八十六岁,获麟至汉,百六十二岁,转差少一百一十四岁。云当满足,则上违乾凿度、元命苞,中使获麟不得在哀公十四年,下不及命历序获麟汉相去四蔀年数,与秦记谱注不相应。当今历正月癸亥朔,光、晃以为乙丑朔。乙丑之与癸亥,无题勒款识可与众共别者,须以弦望晦朔、光魄亏满可得而见者,考其符验。而光、晃历以《考灵曜》二十八宿度数及冬至日所在,与今史官甘、石旧文错异,不可考校;以今浑天图仪检天文,亦不合于《考灵曜》。光、晃诚能自依其术,更造望仪,以追天度,远有验于图书,近有效于三光,可以易夺甘石,穷服诸术者,实宜用之。难问光、晃,但言图谶,所言不服。元和二年二月甲寅,制书曰:朕闻古先圣王,先天而天不违,后天而奉天时。史官用太初邓平术,冬至之日,日在斗二十二度,而历以为牵牛中星,先立春一日,则四分数之立春也,而以折狱断大刑,于气已迕,用望平和,盖亦远矣。今改行四分,以遵于尧,以顺孔圣奉天之文。是始用四分历庚申元之诏也。深引河洛图谶以为符验,非史官私意独所兴搆。而光、晃以为固意造妄说,违反经文,谬之甚者。昔尧命羲和历象日月星辰,舜叶时月正日,汤、武革命,治历明时,可谓正矣。且犹遇水遭旱,戒以蛮夷猾夏,寇贼奸宄。而光、晃以为阴阳不和,奸臣盗贼,皆元之咎,诚非其理。元和二年,乃用庚申,至今九十二岁,而光、晃言秦所用代周之元,不知从秦来,汉三易元,不常庚申。光、晃区区,信用所学,亦妄虚无造欺语之愆。至于改朔易元,往者寿王之术已课不效,亶诵之议不用,元和诏书文备义著,非群臣议者所能变易。
刘昭曰:不有君子其能国乎。观蔡邕之议,可以言天机矣。贤明在朝,弘益远哉。公卿结正,足惩浅妄之徒,诏书勿治,亦深盍各之致。

进景初历疏        魏杨伟

臣览载籍,断考历数,时以纪农,月以纪事,其所由来。遐而尚矣。乃自少昊,则元鸟,司分颛顼帝喾,则重黎司天。唐帝、虞舜则羲和掌日。三代因之,则世有日官。日官司历,则颁之诸侯,诸侯受之,则颁于境内。夏后之代羲和,湎淫废时,乱日,则书载引征。由此观之,审农时而重人事者,历代然也。逮至周室既衰,战国横骛,告朔之羊,废而不绍登台之礼。灭而不遵闰分,乖次而不识,孟陬失纪,而莫寤。大火犹西流,而怪蛰虫之不藏也。是时也,天子不协时,司历不书日,诸侯不受职,日御不分朔,人事不恤,废弃农时。仲尼之拨乱于《春秋》,托褒贬、纠正司历失闰,则讥而书之,登台颁朔,则谓之有礼。自此以降,暨于秦汉,乃复以孟冬为岁首,闰为后。九月中节,乖错时月,纰谬加时,后天蚀不在朔,累载相袭,久而不革。至武帝元封七年,始乃寤其缪焉。于是改正朔,更历数,使大才通人造太初历,校中朔所差,以正闰分课中星,得度以考疏密,以建寅之月为正朔,以黄钟之月为历初。其历斗分太多,后遂疏阔,至元和二年,复用四分历施,而行之至于今日,考察日蚀,率常在晦,是则斗分太多,故先密后疏,而不可用也。是以臣前以制典,馀日推考,天路稽之前,典验之以蚀朔,详而精之,更建密历则不先不后,古今中天,以昔在唐帝协日,正时允釐。百工咸熙,庶绩也。欲使当今国之典礼,凡百制度皆韬,合往古郁,然备足乃改正朔,更历数,以大吕之月为岁首,以建子之月为历初。臣以为昔在帝代则法曰:颛顼曩目,轩辕则历曰:黄帝暨至。汉之孝武革、正朔,更历数改元,曰太初因名太初历。今改元为景初,宜曰景初历。臣之所建景初历,法数则约要,施用则近密,治之则省功,学之则易知。虽复使研桑心算,隶首运筹,重黎司晷,羲和察景,以考天路,步验日月,究极精微尽术数之极者,皆未能并臣如此之妙也。是以累代历数皆疏而不密,自黄帝以来,改革不已。

春秋长历论        晋杜预

《书》称:期三百六旬有六日,以闰月定四时,成岁。允釐百工,庶绩咸熙。是以天子必置日官,诸侯必置日御,世修其业,以考其术,举全数而言,故曰六日,其实五日四分之一日。日行一度而月日行十三度十九分度之有畸,日官当会集此之迟疾,以考成晦朔、错综以设闰月,闰月无中气,而北斗邪指两辰之间,所以异于他月也。积此以相通,四时八节无违。乃得成岁。其微密至矣。得其精微,以合天道,事叙而不悖,故《传》曰:闰以正时,时以作事,事以厚生,生民之道于是乎在。然阴阳之运,随动而差,差而不已,遂与历错。故仲尼、丘明每于朔闰发文,盖矫正得失,因以宣明历数也。桓十七年,日食得朔,而史阙其日。单书朔。僖十五年,日食。而史阙朔与日。故《传》因其得失并起,时史之谬,兼以明其馀日食,或历失其正也。庄二十五年,经书六月辛未朔,日有食之。鼓用牲于社。周之六月,夏之四月,所谓正阳之月也。而时历误。实是七月之朔,非六月,故《传》云非常也。唯正月之朔慝未作,日有食之,于是乎有用币于社,伐鼓于朝,此非用币伐鼓,常月因变而起历误也。文十五年经文,皆同,而更复发《传》曰非礼,明前传欲以审正阳之月,后传发例欲以明诸侯之礼也。此乃圣贤之微旨,先儒所未喻也。昭十七年,夏六月,日有食之,而平子言:非正阳之月,以诬一朝,近于指鹿为马。故《传》曰不君矣。且因以明此月为得天正也。刘子骏造三统历,以修《春秋》《春秋》日食有甲乙者,三十四而三统历唯一食,历术比诸家既最疏,又六千馀岁,辄益一日。凡岁当累日为次,而无故益之,此不可行之。甚者。班固前代名儒,而谓之最密,非徒班固也。自古以来,诸论《春秋》者,多述谬误,或造家术,或用黄帝。以来诸历以推经传朔日,皆不得谐合。日食于朔,此乃天验,经、传又书其朔食,可谓得天,而刘贾诸儒之说,皆以为月二日、或三日,公违圣人,明文其蔽,在于守一元不与天消息也。余感《春秋》之事,尝著历论,极言历之通理。其大指曰:天行不息,日月星辰各运其舍,皆动物也。物动则不一,虽行度,大量可得,而限累日为月以新。故相序不得,不有毫毛之差。此自然之理也。故春秋日有频月而食者,旷年不食者,理不得一而算守恒数,故历无不有差失也。始失于毫毛,而尚未可觉,积而成多,以失弦望朔晦则不得不改。宪以从之。《书》所谓钦若昊天。历象日月星辰,《易》所谓治历明时,言当顺天以求合,非为合以验天者也。推此论之,春秋二百馀年,其治历变通多矣。虽数术绝灭,还寻经传微旨,大量可知。时之违谬,则经传有验,学者固当曲循经传,月日日之食以考朔晦也。以推时验而皆不然,各据其学,以推春秋,此无异度己之迹,而欲削他人之足也。余为历论之后,至咸宁中,善算李修夏显,依论体为术,名乾度历表,上朝廷。其术合日行四分之数,而微增月,行用三百岁,改宪之意。二元相推,七十馀岁。承以强弱,强弱之差,盖少而适足,以远通盈,缩时尚书及史官以乾度与太始历参校古今记注,乾度历殊胜。今其术具存,时又并考古今十历,以验《春秋》。知三统历之最疏也。今具列其时得失之数。又据经、传微旨,證据及失闰,旨考日辰朔、晦以相发明,为经传长历,诸经传證据,及失闰时,文字谬误,皆甄发之。虽未必其得天,盖《春秋》当时文历也,学者览焉。

上历新法表       宋何承天

臣授性顽惰,少所关解。自昔幼年,颇好历数,耽情注意,迄于白首。臣亡舅故秘书监徐广,素善其事,有既往七曜历,每记其得失。自太和至泰元之末,四十许年。因臣比岁考校,至今又四十载。故其疏密差会,皆可知也。夫圆极常动,七曜运行,离合去来,虽有定势,以新故相涉,自然有毫末之差,连日累岁,积微成著。是以《虞书》著钦若之典,《周易》明治历之训,言当顺天以求合,非为合以验天也。汉代杂候清台,以昏明中星,课日所在,虽不可见,月盈则蚀,必当其冲,以月推日,则躔次可知焉。舍易而不为,役心于难事,此臣所不解也。《尧典》云:日永星火,以正仲夏。今季夏则火中。又宵中星虚,以殷仲秋。今季秋则虚中。尔来二千七百馀年,以中星检之,所差二十七八度。则尧冬令至,日在须女十度左右也。汉之太初历,冬至在牵牛初,后汉四分及魏景初法,同在斗三十一。臣以月蚀检之,则景初今之冬至,应在斗十七。又史官受诏,以土圭测景,考校二至,差三日有馀。从来积岁及交州所上,检其增减,亦相符验。然则今之二至,非天之二至也。天之南,日在斗十三四矣。此则十九年七闰,数微多差。复改法易章,则用算滋繁,宜当随时迁革,以取其合。案《后汉志》,春分日长,秋分日短,差过半刻。寻二分在二至之间,而有长短,因识春分近夏至,故长;秋分近冬至,故短也。杨伟不悟,即用之,上历表云:自古及今,凡诸历数,皆未能并己之妙。何此不晓,亦何以云。是故臣更建元嘉历,以六百八为一纪,半之为度法,七十五为室分,以建寅之月为岁首,雨水为气初,以诸法闰馀一之岁为章首。冬至从上三日五时。日之所在,移旧四度。又月有迟疾,合朔月蚀,不在朔望,亦非历意也。故元嘉皆以盈缩定其小馀,以正朔望之日。伏惟陛下允迪圣哲,先天不违,劬劳庶政,寅亮鸿业,究渊思于往籍,探妙旨于未闻,穷神知化,罔不该览。是以愚臣欣遇盛明,效其管穴。伏愿以臣所上元嘉法下史官考其疏密,若谬有可采,庶或补正阙谬,以备万分。

历议            前人

夫历数之术,若心所不达,虽复通人前识,无救其为敝也。是以多历年岁,未能有定。四分于天,出三百年而盈一日。积代不悟,徒云建历之本,必先立元,假言谶纬,遂关治乱,此之为蔽,亦已甚矣。刘歆三统法尤复疏阔,方于四分,六千馀年又益一日。扬雄心惑其说,采为太元,班固谓最密,著于《汉志》;司马彪因曰自太初元年始用三统历,施行百有馀年。曾不忆刘歆之生,不逮太初,二三君子言历,几乎不知而妄言欤。

覆奏元嘉历法疏      钱乐之

太子率更令领国子博士何承天,表更改元嘉历法,以月蚀检今冬至日在斗十七,以土圭测影,知冬至巳差三日。诏使付外检署。以元嘉十一年被敕,使考月蚀,土圭测影,检署由来用伟〈杨伟〉景初法,冬至之日,日在斗二十一度少。检十一年七月十六日望月蚀,加时在卯,到十五日四更二唱丑初始蚀,到四唱蚀既,在营室十五度末。景初其日日在轸三度。以月蚀所冲考之,其日日应在翼十五度半。又到十三年十二月十六日望月蚀,加时在酉,到亥初始食,到一更三唱蚀既,在鬼四度。景初其日日在女三。以冲考之,其日日应在牛六度半。又到十四年十二月十六日望月蚀,加时在戌之半,到二更四唱亥末始蚀,到三更一唱食既,在井三十八度。景初其日日在斗二十五。以冲考之,其日日应在斗二十二度半。到十五年五月十五日望月蚀,加时在戌,其日月始生而已,蚀光己生四分之一格,在斗十六度许。景初其日日在井二十四。考取其冲,其日日应在井二十。又到十七年九月十六日望月蚀,加时在子之少,到十五日未二更一唱始蚀,到三唱蚀十五分之十二格,在昴一度半。景初其日在房二。以冲考之,则其日日在氐十三度半。凡此五蚀。以月冲一百八十二度半考之,冬至之日,日并不在斗二十一度少,并在斗十七度半间,悉如承天所上。又去十一年起,以土圭测景。其年景初法十一月七日冬至,前后阴不见影。到十二年十一月十八日冬至,其十五日影极长。到十三年十一月二十九日冬至,其二十六日影极长。到十四年十一月十一日冬至,其前后并阴不见。到十五年十一月二十一日冬至,十八日影极长。到十六年十一月二日冬至,其十月二十九日影极长。到十七年十一月十三日冬至,其十日影极长。到十八年十一月二十五日冬至,二十一日影极长。到十九年十一月六日冬至,其三日影极长。到二十年十一月十六日冬至,其前后阴不见影。寻校前后,以影极长为冬至,并差三日。以月蚀检日所在,已差四度。土圭测影,冬至又差三日。今之冬至,乃在斗十四间,又如承天所上。又承天法,每月朔望及弦,皆定大小馀,于推交会时刻虽审,皆用盈缩,则月有频三大、频二小,比旧法殊为异。旧日蚀不唯在朔,亦有在晦及二日。《公羊传》所谓或失之前,或失之后。愚谓此一条自宜仍旧。员外散骑郎皮延宗又难承天:若晦朔定大小馀,纪首值盈,则退一日,便应以故岁之晦,为新纪之首。承天乃改新法依旧术,不复每月定大小馀,如延宗所难,太史所上。有司奏:治历改宪,经国盛典,爰及汉、魏,屡有变革。良由术无常是,取协当时。方今皇猷载晖,旧域光被,诚应综覈晷度,以播维新。承天历术,合可施用。宋二十二年,普用元嘉历。诏可。

请改元嘉历疏       祖冲之

古历疏舛,颇不精密,群氏纠纷,莫审其要。何承天所奏,意存改革,而置法简略,今已乖远。以臣校之,三睹厥谬:日月所在,差觉三度;二至晷影,几失一日;五星见伏,至差四旬,留逆进退,或移两宿。分至乖失,则节闰非正;宿度违天,则伺察无准。臣生属圣辰,逮在昌运,敢率愚瞽,更创新历。谨立改易之意有二,设法之情有三。改者,其一,以旧法一章十九岁有七闰,之数为多,经二百年,辄差一日。节闰既移,则应改法,历纪屡迁,实由此条。今改章法,三百九十一年有一百四十四闰。令却合周、汉,则将来永用,无复差动。其二,以《尧典》云:日短星昴,以正仲冬。以此推之,唐代冬至,日在今宿之左五十许度。汉代之初,即用秦历,冬至日在牵牛六度。汉武改立太初历,冬至日在牛初。后汉四分法,冬至日在斗二十二。晋时姜岌以月蚀检日,知冬至在斗十七。今参以中星,课以蚀望,冬至之日,在斗十一。通而计之,未盈百载,所差二度。旧法并令冬至日有定处,天数既差,则七曜宿度渐与历舛。乖谬既著,辄应改制,仅合一时,莫能通远,迁革不已,又由此条。今令冬至所在,岁岁微差,却检汉注,并皆审密,将来久用,无烦屡改。又设法者,其一,以子为辰首,位在正北,爻应初九,斗气之瑞,虚为北方,列宿之中,元气肇初,宜在此次。前儒虞喜,备论其义。今历上元日度,发自虚一。其二,以日辰之号,甲子为先,历法设元,应在此岁。而黄帝以来,世代所用,凡十一历,上元之岁,莫值此名。今历上元,岁在甲子。其三,以上元之岁,历中众条,并应以此为始,而景初历交会迟疾,亦置纪差,裁合朔气而已。条序纷互,不及古意。今设法,日月五纬,交会迟疾,悉以上元岁首为始。则合璧之曜,信而有徵,连珠之晖,于是乎在,群流共源,实精古法。若夫测以定形,据以实效,县象著明,尺表之验可推,动气幽微,寸管之候不忒。今臣所立,易以取信。但深练始终,大存整密,革新变旧,有约有繁。用约之条,理不自惧,用繁之意,顾非谬然。何者。夫纪闰参差,数各有分,分之为体,非细不密。臣是用深惜毫釐,以全求妙之准,不辞积累,以成永定之制。非为思而莫悟,知而不改也,窃恐赞有然否,每崇远而随近;论有是非,或贵耳而遗目。所以竭其管穴,俯洗同异之嫌,披心日月,仰希葵藿之照。若臣所上,万一可采,伏愿颁宣群司,赐垂详究,庶陈锱铢,少增盛典。