钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第七十六卷目录

历法典第七十六卷

历法总部总论四

《草木子》叶子奇论历元

汉太初历，凡十九年七闰为一章。章者，至朔分齐，闰无馀分也。二十七章五百一十三岁为一会。会者，日月交会一终也。凡三会八十一章，一千五百三十九岁为一统，闰朔并无馀分，但非甲子岁首也。凡三统二百四十三章，四千六百一十七岁为一元，至是闰朔并无馀分，又值甲子岁首也。此扬子云拟之以作太元也。唐大衍历亦以初年甲子日子时，朔旦冬至在岁次甲子之首，谓之至朔同日。第二十年为第二章首，复得至朔同日，然非甲子之先期夜半，乃是癸卯日卯时。第三十九年至朔同于癸未日午时。第五十八年为第四章首，至朔复同于癸亥日卯时。第七十七年至朔又复同于癸卯日子时。因其至朔同在夜半，与初年第一章同，遂以七十六年名一蔀。蔀者，蒙蔽暗昧之时也。凡四章为一蔀，总二十蔀，名曰一纪，计一千五百二十年。必然至朔同于甲子日之先期夜半，但非甲子岁首耳。总三纪积四千五百六十年，至朔，同于甲子之先期夜半。又甲子岁首，总会如初，名曰一元。此僧一行推之演大易也。历说虽多，不出此二家之术也。

论授时历

历自上古黄帝以后，莫不随时考验，以与天合。故历法无数更之弊。及秦，灭先世之术，置闰于岁终，古法殚废矣。由汉而下，以积年日法为推步之准，以至于今。夫天运流行而不息，欲以一定之法拘之，未有久而不差之理。差而必改，其势有不得不然者，乃命改造仪象，日测月验，以与天合，庶永终无弊。元诏定历命曰：授时，取《尧典》敬授人时之义。自古历多用一定之法，故未久而差，由不知天为动物而岁亦略有差也。古历虽立差法，五十年差一度又太过，一百年差一度又不及，七十五年差一度稍为近之，尚未精密。守敬以八十一年而差一度，算已往，减一算；算将来，加一算，始为精密。

《管窥集要》闰法

《易·大传》归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。《书·尧典》以闰月定四时成岁。《蔡氏传》云云：故一岁闰率则十日九百四十分日之六百单一云云。五岁再闰，则五十四日九百四十分之三百七十五十有九岁。七闰则气朔分齐，是为一章也。
愚案：闰法大抵皆是三十三月左右一闰。若是自正月至四月闰，则只间一年便满三十三月，又须置闰。所谓五岁再闰者，此也。若是自五月至十二月闰，则须间二年方满三十三月，却置一闰。所谓三岁一闰者，此也。往往多是三二次三年一闰了，方有个五年再闰。闰法须是补前借后，恰好得二十九日零四百九十九分了，〈此以九百四十分为一日所谓分母也〉方可置。岂有只满五十四日九百四十分日之三百七十五便于此置两闰之理。蔡氏非不知此，特为五岁再闰之文所拘故，如此说耳。《大传》亦非谓三年一闰了便五年再闰，特以揲法有一扐再扐，而闰法亦有一闰再闰。归奇归馀有相类处，故如此配，不以辞害意可也。
《书·尧典》以闰月定四时成岁。《蔡传》云云：五岁再闰则五十四日九百四十分日之三百七十五十有九岁，七闰则气朔分齐，是为一章也。今世儒者有篡说云云。愚曰：一闰二十九日六时三刻强，三岁一闰于三岁闰率之数而有馀；二闰五十九日六刻强，五岁再闰于五岁闰率之数而不足。或者遂疑五岁再闰之说，谓五岁馀分而以日法计之，仅得五十四日有奇，不可置两闰。殊不知置闰之法非必置一闰。月即截然，于所馀日及零分都无馀欠也。置一闰而有馀，则留所馀之分以起后闰；置两闰而不足，则借下年之日以终前闰。直置十九岁七闰，然后气朔分齐，而为一章也。但七闰之中为三岁一闰者五，为五岁再闰者二，有多少之不同耳。既历中有五岁再闰之法，则传者之言尚可訾乎。愚又案：《书传旁通》及《书传纂图》所列十九岁七闰，细数虽各不同，实互相备。但《纂图》有少缺误处，今以愚说足之观者可考。
《旁通》所载：一年闰率十日八百二十七分
二年闰率二十一日七百一十四分
三年闰率三十二日六百一分
除二十九日四百九十九作一闰外馀三日一百二分是

四年闰率一十三日九百二十九分
五年闰率二十四日八百一十六分
借下年四日六百二十三分凑作再闰

六年闰率六日二百四分
七年闰率一十七日九十一分
八年闰率二十七日九百一十八分
借下年一日五百二十一分凑作第三闰

九年闰率九日三百六分
十年闰率二十日一百九十三分
十一年闰率三十一日八十分
作第四闰外馀一日五百二十一分

十二年闰率一十二日四百八分
十三年闰率二十三日二百九十五分
十四年闰率三十四日一百八十二分
作第五闰外馀四日六百二十三分

十五年闰率一十五日五百一十分
十六年闰率二十六日三百九十七分
借下年三日一百二分凑作第六闰

十七年闰率七日七百二十五分
十八年闰率一十八日六百一十二分
十九年闰率二十九日四百九十九分
正作第七闰无馀无欠

按《纂说》中，愚曰之说，其曰：置闰之法非必置一闰。月即截然，于所馀日及零分都无馀欠也。此说以年计之则似是，以月计之则实非。何则。盖置闰之年，其馀分未必截然无馀是矣。而不可有所欠，欠则必不当于此年置闰也。历家必于三十三月左右置一闰，而补前借后必各得一半，则后月节气必在此月之中，而中气不在其月，则闰在是矣。是固天然恰好当在此置，非人所可移前移后，强置之所不当置之月也。春秋于是闰三月之讥，正是为不当置而强置者发，推彼以明此，可也。其曰：置一闰而有馀，则留所馀之分以起后闰，此不易之论也。其曰：置两闰而不足，则借下年之日以终前闰，此不通之论也。既曰不足，则所闰之月必当于下年所当恰好置闰之月。
所谓恰好，即月之有节气无中气者。

置岂有预借先闰之理，考于授时历纪年置闰之次，可见何尝有预借下年之日先于上年置闰之例哉。愚曰之说，盖因《旁通》《纂图》所载，而误《旁通》《纂图》之误，盖因《蔡传》五岁再闰之说为说，则不得不如此误也。盖第二闰既在第五年，第三闰若不借下年日凑作在第八年，则必在第九年，乃成四年一闰矣。第三第四第五闰既三个三年一闰相连，若不又借下年日凑作在第十六年，则必在第十七年，而成四个三年一闰相连矣。此《旁通》所以不得不如此误也。《纂图》不思不可四个三年一闰相连，幸免此一误。而愚曰反以为误过矣。蔡氏则为《系辞》五岁再闰之文所拘而如此说，殊不思《系辞》特以闰，以三年一闰五年再闰二等，而揲法亦有一扐再扐二等，故取其象以相配耳。初非谓一闰，之后即须再闰，学者不以辞害意可也，如以辞而已矣，则乾坤之策三百有六十当期之日，期之日必三百六十五日四分日之一，以乾坤之策当之而不足。二篇之策万有一千五百二十当万物之数，既止于万，以二篇之策当之而有馀矣。如以圣人取象之意推之，则皆不必泥可也。然则置闰之法又何可以五岁再闰之辞泥乎。管见如此，未知当否，姑志于此，以俟知者而就正云。其一章置闰之次具于左方，以便遗忘同志者宜取焉。
一年二年三年，第一闰当在此年八月置，或进在七月或退在九月者，间亦有之。
四年五年六年，第二闰当在此年五月置，或进在四月或退在六月者，间亦有之。
七年八年九年，第三闰当在此年二月置，或进在正月或退在三月者，间亦有之。
已上三闰皆是三年一闰。

十年十一年，第四闰当在此年十月置，或进在九月或退在十一月者，间亦有之。
此是五年再闰。

十二年十三年十四年，第五闰当在此年六月置，或进在五月或退在七月置者，间亦有之。
十五年十六年十七年，第六闰当在此年三月置，或进在二月或退在四月者，间亦有之。
已上二闰皆是三年一闰。

十八年十九年，第七闰当于此年十二月置，或进在十一月退在明年正月者有之。
此是五年再闰。
右十九岁七闰之数次大约如此。盖因授时历纪年，
斟酌其序则然耳。以类而推，不中不远矣。其气朔盈虚积实，细数则自如《旁通》《纂图》所推，但《旁通》《纂图》皆只定其所闰之年，而不言其所闰在何月，则是闰年，非闰月也。愚不知其若然定其所闰之月，则如所谓借下年日数凑作闰者，当于此年何月置耶。识者岂宜无见于此。愚奚庸赘，

闰无中气

置闰之法积十九年所馀之日而已。七闰大略已见日度所馀之说矣。所谓斗柄两辰之间，其说易明。所谓闰无中气者，二十四气十二为中，十二为节。一月兼具中节则为常月，其节气或在月中，其中气或在月晦朔之间，是谓无中气则为闰也。《尚书正义》曰无闰，即三年差一月，以正月为二月也。九年差三月，以春为夏也。十七年差六月，则四时相反也。此履端归馀所以重闰，课历得失必考诸闰也。

释春秋讥失位

《左传·襄公二十七年经书》：冬十二月乙亥朔日有食之。《传》云：十一月乙亥朔日有食之辰在申，司历过，再失闰矣。杜预以长历推之，曰周十一月，今九月也。斗当建戌而犹在申，故知再失闰也。前志《刘歆历谱》亦以为辰在申，而司历以为在戌。史书以为建亥周十二月，夏建亥之月也。其说与杜预皆同。后秦姜岌乃谓襄公二十七年十月乙亥朔日有食之，以定朔。而考其交会，应在此月，不为再失闰。又曰：刘歆三统历不可施于春秋，而传之违失亦甚多，皆此类也。观岌之言，非惟不取刘歆之说并《左氏传》《杜预长历》而非之矣。唐一行亦曰：长历日干不在其月，则改易闰馀以求合。故闰月相拒，近则十馀月，远则七十馀月。此杜预所甚谬也。然则左氏杜预所谓再失闰者，皆非欤意者。数百载之下仰求数百载之上，各据一法，各探一说，所以不同也。古之书传编年纪时日，非如后世之详悉。惟春秋井井有条，而又因史策之误而书之，以示司历之过。故后人推考前代之岁月，凡得一言一话，则据以为證。如得火犹西流之说，则据以为再失闰三失闰之辩；如得十月之交朔日辛卯日有食之说，则据以为平朔定朔之辩；亦如得左氏再失闰之一说，则据以推春秋之年代也。何怪乎。纷纷异端，迭相訾毁者乎。

释火西流

《哀公十二年经书》：冬十二月，螽。仲尼以为火伏而后蛰者毕。今火犹西流，司历过也。《杜预注》云：周十二月，今之十月。是岁，失置一闰，误以九月为十月也，故有螽。《刘歆历谱》云：以建申流火之月为建亥，司历误以七月为十月也。《张晏注班志》云：当八月建酉，而司历误以八月为十月，再失闰也。杜预谓九月误为十月则一失闰，张晏又谓八月误为十月则再失闰，刘歆谓七月误为十月则三失闰。三者之说，何如哉。按仲尼之言曰：火伏而后蛰者毕，今火犹西流，司历过也。夫大火，心星也。心星伏而入北方，则十月也。心星犹西流而未入北方，则犹九月也。刘歆知七月流火而不知大火八月亦谓之西流也，张晏知八月流火而不知九月犹西流也。火犹西流，蛰虫未毕伏，以九月为十月，明矣。以九月为十月，则失一闰晓然矣。杜预之言是，歆晏之言非也。《杜预长历》以《刘歆三统历》最疏，其谓是欤。张晏误以襄公二十七年再失闰之事而释此也。《一行议历》亦云以九月为十月。鲁自文公不知朔至，哀公凡百馀年莫能正历，其为失闰多矣。故《春秋》日食甲乙者三十四，而《刘歆三统历》惟一食。杜预以此知其历术，此诸家最疏也。杜预推《春秋》之传详且审矣。然闰月相距，近则十馀月，远则七十馀月。一行又何复以此讥杜预之谬失。《春秋》假日月以定历数，故合朔先天则经书日食以纠之，中气后天则传书南至以明之，后人推究何以纷纷而无定论也。

《古今治平略》帝王历法

历法何昉乎。自伏羲画八卦以象二十四气，炎帝分八节以纪农功，至黄帝创受河图始设灵台，立天神地祇物类之官，使羲和占日，常仪占月，车区占星气，伶伦造律吕，大挠作甲子，隶首造算数，容成总斯六术，以考定气运。天以六节，地以五制，司天气者六期为备，终地纪者五岁为周。五六合者，三十岁。七百二十气为一纪，六十岁千四百四十气为一周。于是因五量治五气，起消息察发敛以作调历。而是岁己酉十一月朔旦，日南至而得宝鼎焉。乃迎日推策，积馀分以置闰，配甲子而作蔀。于是时惠而辰从，代有专官，以司其事。少昊时，凤鸟氏实为历正焉。颛顼受命，命南正重司天，北正黎司地。是岁正月朔旦立春，五星会于天历营室，乃建孟春之月为历元。其后二官咸废厥职。闰馀乖次，孟陬殄灭，摄提无纪，历数失序。迨唐尧立羲和之官，治历象，日月星辰，敬授人时。所谓日中星鸟，日末星火，宵中星虚，日短星昴，非轨度之可见者乎。所谓以殷仲春，以正仲夏，以殷仲秋，以正仲冬，非时序之可推者乎。所谓期三百六旬有六日，以闰月定四时成岁，非其数之可积者乎。帝舜承之在璿玑玉衡，以齐七政嗣是。夏正建寅，殷正建丑，周正建子。时夏有昆吾，殷有巫咸，周有史佚，皆能宣明其事。而《周礼》设官分职，则大司徒以土圭之法，测土深，正日景，以求地中，司治历之事，占天而主日；太史氏尸之以正岁年叙事焉。冯相氏掌十有二岁，十有二月，十有二辰，十日，二十有八星之位，以会天位，以辨四时之序。盖天行岁历一辰十有二岁而一周，月与日会，亦月历一辰十有二月而一周，辰则日月相会之次也。辰十有二，曰元枵，曰娵訾，曰降娄，曰大梁，曰实沈，曰鹑首，曰鹑火，曰鹑尾，曰寿星，曰大火，曰析木，曰星纪。而二十有八星之位，则日月所宿躔舍焉。故曰：历者，历也。历日月星辰之历次，而正其经纪者也。又《保章氏》志日月星辰之变动，以观天下之迁，辨其吉凶。夏商治历之事，不可复详，而以周制推之，虽三代岁建不同，而要以中星正，则天运可求，分至定，则日行可准，振古如兹，莫之有易也。周德既衰，史不记时，君不告朔，治历之权，不秉于天子。故当其时，鲁有梓慎，晋有卜偃，郑有子韦，齐有甘德，楚有唐昧，赵有尹臬，魏有石申，各掌著于天文图验之事。如鲁哀十年，以建申之月为建亥，而仲尼叹之。周襄王二十六年闰三月，而《春秋》非之。左氏曰：先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。履端于始，序则不愆；与正于中，民则不惑；归馀于终，事则不悖。诚伤之也。然则《春秋》之于四时，虽无事必书时月，时以纪启闭，月以纪分至，诚所以正时而作事厚生者也。至于秦灭六国，兵戎极烦，又升至尊之日浅，未暇修历，而自以为获水德之瑞正，以十月色尚黑，岂不益谬哉。

两汉历法

汉兴，初袭秦正朔，以张苍言，主颛顼历用之，而晦朔月见，弦望满亏，未能睹其真。至武帝元封元年，公孙卿、壶遂、司马迁等言历纪坏废，宜改正朔。诏选邓平等及民间能治算者二十馀人，更造密度，而唐都洛下闳与焉。乃以前历上元泰初四千六百一十七岁，至元封七年，复得阏逢摄提格之岁，仲冬十一月甲子朔旦冬至，日月在建星，太岁在子，得本初星度以造汉太初历。其法以律为宗，曰：律容一龠，即八十一寸，则一日之分也。与长相终。长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。夫律阳阴九六，爻象之所从出也。故黄钟纪元气之谓律。律者，法也，物莫不取法焉。盖以律转历也。于是察观星度、日月之行，以推算之。先藉半日，名阳历，先朔月生；不藉，名阴历，朔而后月生。而以阳历朝诸侯王，群臣便议上。上使校历官淳于陵渠覆校。陵渠言太初历，晦朔弦望最密，而冬至之夕，日月如合璧，五星如连珠。乃诏用邓平所造八十一分历，罢废尤疏远者十七家，实始行夏时也。遂诏以元封七年为太初元年。其后元凤三年，太史丞张寿王言更历非是，诏杂候于上林清台，课诸历疏密十一家尽。六年，寿王课最疏太初历第一，自汉历初起尽元凤六年三十六岁而是非始定，至孝成时刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微渺，作三统历。其说以为三统合于一元而三代各据一统。三统常合而迭，为首登降三统之首，周还五行之道也。故三五相包而生。天统之正始施于子半，地统受之于丑初，人统受之于寅初。太极运三辰五星于上，元气转三统五行于下，而皇极建三德五事于中，故三辰之合于三统也。日合于天统，月合于地统，斗合于人统。五星之合于五行也，水合于辰星，火合于荧惑，金合于太白，木合于岁星，土合于填星。故历三辰五星相经纬也。会三统而复于太极，以当万物气体之数，天下之能事毕矣。至后汉，太初历施行百馀年，而历稍后天，朔乃或在月晦。永平中，诏历官张盛景防鲍邺等，以四分法，与旧历，杨岑课弦望，而盛等所中多岑，六事四分之术颇行。至元和，而太初失天益远。章帝诏改行四分历，以九道法候弦望无差，而以庚申为元。然至熹平三年，二十九事之中，月先历食者十六，于是差矣。会稽尉刘洪悟以为四分疏阔者，斗分太多故也。更以五百八十九为纪法，百四十五为斗分，作乾象法。冬至日在斗二十二度，以术追日月五星之行，推而上则合于古，引而下则应于今。其为之也，依《易》立数，遁行相号，潜处相求，为乾象历。盖月行有迟速，以日行课其疏密，而日月黄道赤道表里之度始精。大儒郑元受之，以为穷幽极微，加注释焉。嗣是，改历者皆斟酌乾象以为推步之表，至此而汉历凡五改矣。

三国六朝历法

三国时，蜀仍汉四分，吴用乾象，魏初韩翊本乾象法造黄初历，以四千八百八十三为纪法，一千二百五为斗分。其后陈群等言：翊所造，皆用洪法，小益斗分，所错无几。杨伟因改造景初历。盖二历皆写子模母，终不过洪之术也。晋初，因景初改名泰始历，杜预又著《春秋长历》，以为天行不息，日月星辰各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度可得而限。然累日为月，累月为岁，新故相涉，不得不有毫末之差，始失于毫末，积而成多以失弦望晦朔，则不得不改宪以从之。《书》所谓钦若，《易》所谓明时，言当顺天以求合，非为合以验天者也。至哉言乎。咸宁中，李修卜显依预论为术，名乾度历。表上之时，尚书史官以乾度与太始参较，乾度殊胜。渡江后，更以乾象五星法代杨伟历。穆帝永初中，王朔之又造通历，以甲子为上元。其后太元中，姜岌造三纪甲子元历，以为中历斗分强，不可施于今，乾象半分细，不可追于古，景初近之，而日之所在，犹差四度，盖日所在之度难知。汉世惟验诸昏明中星，为法已疏阔。于是即月食度分，以其冲知日度所在，而躔次乃得其正。然终晋之世，惟用泰始而馀历不果施行。宋武帝初，改泰始为永初历。元嘉中，以前历合朔不在朔，月食不在望。何承天以为朔望弦羸缩不辨知也。于是即朔弦望皆承大小馀正，朔望之日更测中星，知尧时冬至，日在须女十度。旧历在斗十七度，今测景所验，乃当在斗十三四度。于是更立新法，冬至徙而上三日五时，日视旧移四度以定气至，名元嘉历，自宋迄齐多循用焉。其时祖冲之世天官，觉其失，考古法为甲子元历，未上。而河西王牧犍亦遣使献赵𢾺所撰甲寅元历，亦未施行。梁天监中，冲之子暅疏言：先臣在晋，仰观十二代历，历元不同，斗分疏密随异。当代用之，各执一法而不能相通，譬之家异，权度即轻重不得不随异也。夫斗分者，日月初躔星辰之纪也。日月合朔于此，而一阳滋始，万物萌芽，此律历之所起也。今以元嘉历测冬至斗分日月所在，觉差三度，而二至晷影差几。一日诸五星伏见，尤舛诏太史以暅所上历与旧历对课疏密，冲之历皆密，由是施行。大同十年，又诏太史虞氏造大同新历，未及用而遭侯景之乱。陈氏亦用祖冲之历。盖南朝之历曰永初曰元嘉曰甲寅元曰甲子元曰大同新历，然甲寅元与大同不用永初，又复因晋四朝所用惟元嘉甲子元二历而已。北魏入中原，但得景初历。世祖克沮渠氏得赵𢾺元始历，时人以为密，行之。太武时崔浩为五寅元历，未及施行。久之，世宗以元始浸疏，命更造新历。至肃宗正光中，崔光取张龙翔等九家所上历，候验得失，合为一历，以甲子为元，应魏之水德，命曰正光历。东魏兴和元年，以正光历渐差，命李业兴更修，号兴光历。齐文宣受禅，宋景业援图谶作天保历，逆以为文宣受命之符，文宣悦而施行。后董峻郑元伟立议非之，上甲寅元历。时广平人刘孝孙、张孟宾，同知历，并更创新法。其年，诸历家豫刻日食疏密。六月戊申朔，太阳亏。刘孝孙言食于卯，张孟宾言食于申，郑元伟董峻言食于辰，宋景业言食于巳，至日食乃于卯辰之间。其言皆不能中。西魏入关尚行正光历，周明帝武定元年始造周历。于是诸日者采祖暅旧识，通简南北之术。然周齐并时，而历差一日，颇睹其谬。故正光废而天和作矣。天和历上于甄鸾大象年间，太史马显等上丙寅元历，施行之。隋高祖辅周，欲以符命耀天下，道士张宾知其意，自言历星有代谢之證，乃更造新历，名己巳元历。其法依何承天法，微加增损，行于开皇之四年。而刘孝孙、刘焯、张冑元并称其失，议论蜂起，久之不定。至十四年，令参问日食事，冑元所剋前后妙衷，时起分数合，于是令参定新术。而刘焯闻冑元进用，又增损孝孙历法，名七曜新术，奏之，与冑元之法颇乖爽。开皇二十年，帝命皇太子召集历算之士，焯复增修其书，名皇极历。太子嘉之，未获考验，以官不称意称疾归。盖北朝之历，曰五寅元，曰元始，曰正光，曰灵宪，此元魏之历也；曰兴光，曰太保，曰甲寅元，此东魏高齐之历也；曰天和，曰景寅元，曰己巳元，曰皇极，此后周隋氏之历也。言历者不一，行之数十年辄复差，故南历则以何承天为宗，而北历则依赵𢾺祖冲之为据要，皆沿习旧法而增损焉耳。

唐代历法

唐终始二百九十馀年，历凡八改。武德初，傅仁均所造曰戊寅元历，行之尽一年，而月食比不效。乃诏崔善为祖孝孙等考定之。至高宗时而疏。太史令李淳风作麟德历，以献其法损益中晷术，以考日为本，为木浑图以测黄道。当时以为密诏，与瞿昙罗所上经纬历参行。至开元中，日食复比不效，于是诏僧一行作新历。历成而一行卒，诏张说与历官陈元景等次为大衍历，颁于有司。时善历算者瞿昙撰怨不能预，与元景等，言大衍独述天竺九执历，而其法未尽。右司禦南宫说亦非之。诏令日官于灵台课候，大衍十得七八，麟德三四，九执才一二，而是非乃定。肃宗时，用山人韩颖言，更历，节增二日为至德历，而不与天合。宝应元年，台官郭献之等更历，曰五纪，考五星进退偶合，诏颁用之。迄建中又变，曰正元。元和又变，曰观象。自是嗣世缵绪，必更历纪。穆宗长庆中，又改曰宣明。然皆因大衍旧术，于晷漏交会稍增损之以为名，其制法简易，合望密近，惟宣明庶几焉。至昭宗时数亦浸差少，詹事边冈，与日官更造崇元历，亦大衍之旧馀，殊途而一致者也。盖自太初至麟德凡二十有三家，惟一行所为历，其倚数立法皆本易，大衍而立术以应之，唐之历，莫善于大衍矣。其《本议》曰：天数始于一，地数始于二，故合二始以位刚柔。天数终于九，地数终于十，故合二终以纪闰馀。天数中于五，地数中于六，故合二中以通律历。自五以降，为五行之生数；自六以往，为五材之成数。错而乘之，以生数衍成数位。一、六而退极，五、十而增极；以一、六为爻位之统，五、十为大衍之母。成数乘生数，其算六百，为天中之积。生数乘成数，其算亦六百，为地中之积。合之千有二百，以五十约之，则四象周六爻也；以二十四约之，则太极包四十九之用也。综成数，约中积，皆十五。综生数，约中积，皆四十。兼而为天地之数，以五位取之，则复得二中之合也。此大衍所以为天地之枢，如环无端而为律历之大纪也。其《中气议》曰：历气始于冬至，无所取之，取于晷景也。二分为东西之中，二至为南北之极。而晷景进退有至不至者，乃日行盈缩使然，不可强而叶也。盖历术在于常数而不在于变行，既叶中行之率，则可以两齐先后之变。今曲就其变而少者失三，多者失五，是舍常数而从变行也，必不合矣。其《合朔议》曰：日月合度谓之朔，无所取之取之食也。《春秋》所书日食参《左传》所记注，其下系以列国之事，盖列国之赴告也。列国赴告不一，则其历有不可以一术齐者矣。故合朔先天，则经书日食，以纠之；中气后天，则传书南至以明之；其在晦日若二日，则原于定朔以得之；列国历殊，则稽六家之术以知之。此四者，治历之大端也。长历，其日不在其月，则改易闰馀以求合，此甚谬也。新历本《春秋》日食古史交会加时。及史官候簿所详稽，其进退之中以立常率，然后以日躔月离先后屈伸之变而损益之，故经朔与躔离三者，迭相为经。若权衡相持，而千五百年之间，朔必在昼，望必在夜。其加时又合，则三术之交各当其正。若乾度盈虚与时消息，告谴于经数之表，变常于潜遁之中，则虽圣人然且不质，非等历之所能及矣。其《日度议》曰：古历日有常度，周天为岁终，故系星度于节气。其说似是而非，故久而益差。虞喜乃立差以追其变，使五十年退一度；何承天以为太过，乃倍其年而反不及；皇极取二家中数为七十五年，盖近之，然而未尽合也。大扺古历分率简易，岁久辄差，达历数者随时迁革以合其变。故三代之兴皆揆测天行，考正星次为一代之制，及继体守文畴人代嗣，则谨循先王旧制而审行焉，固其理也。《春秋》起蛰而郊龙见而雩。以岁差推之，周历立夏日在觜觿二度昏角一度中，则龙见当在建巳之初。至春秋时已潜退五度，犹在建辰之月。据麟德历以小满后十三日而雩则龙角过中不时矣。故唐礼当以建巳之初农祥始见而雩。《传》曰：凡土功，龙见而戒事。火见而致用，水昏正而栽，日至而毕。以岁差推之，周初霜降，日在心五度，角、亢晨见。立冬，火见营室中。后七日，水星昏正，可以兴板干。故祖冲之以定之方中，直营室八度为得时也。据晋历立冬后二十五日火见，大雪后营室乃中。其时阳气静复，而以之缮城隍，治宫室，是谓发天地之房，所失多矣。则唐制宜以元枵中天兴土功。其《日蚀议》曰：日，君道也；月，臣道也。日月嘉会，而阴阳辑睦，则阳不疚于位，以常其明，阴含章示冲，以隐其形。若望而正于黄道，是谓臣干君，阳斯蚀之矣。朔而正于黄道，是谓臣壅君，阳为之蚀矣。乃以为古太平之世，日不蚀星不孛，盖有之矣。若过至，其分月或变行而避之，或五星潜在日下禦侮而救之，或涉交数浅而不食，或在阳历阳盛阴微而不蚀。四者皆德教休明之所由生也。近古大儒刘歆贾逵之伦以日蚀非常，故阙而不论。夫使日蚀不可以常数求，则无以课历数之疏密。使日蚀而皆可以常数求，亦何以占政教之休咎哉。故必稽古史亏蚀浅深，加时朓朒数协者，反覆求之，由历数之中以参辰象之变，观辰象之变，以求历数之中，类其所同而中可知矣，辨其所异而变可知矣。其循度则合于历，失行则合于占。占道顺成常执中以追变，历道逆数常执中以俟变，天道如示指掌矣。其《五星议》曰：日月，所以著尊卑不易之象；五星，所以示政教从时之义也。故日月之失行也，常微而少；五星之失行也，常著而多。其五星留逆伏见之效，表里盈缩之行皆系之于时，而时有变行，改其常度与人事相符，俯仰而神理从效焉。故较推必稽古今注记。八气均而行度齐，上下相距，反覆相求以初为常，而以其独异于常者为占旧法，以二星相近为失行，三星以上为失甚。天竺历以为五曜之精皆有所好恶。遇所好之星则趋之，遇所恶之星则舍之。趋之行疾，舍之行迟。凡皆以精气相感也。故五星各立岁差，以究五精之运，而周二十八舍之变，其推法密要如此。

五代历法

五代初，用唐崇元历。而晋高祖时，马重绩始更造新历，不复推古上元甲子冬至七曜之会，而起唐天宝十四载乙未为上元，用正月雨水为气首。此首乃初唐建中时，术者曹士荐所变，号符天历。然世谓之小历，祇行于民间，而重绩乃用以为法，遂施于朝廷，赐号调元历。行之五年辄差，而复用崇元。周广顺中，博士王处讷私撰明元历于家，民间又有万分历，而蜀有永昌历、正象历，南唐有齐政历。周世宗时，端明殿学士王朴通历。于是以步日，步月，步星，步发敛，著为书四篇，上之世宗，颁行之，曰钦天历。而朴历自成一家，言其法，总日躔差度为盈缩二历，分月离迟疾为二百四十八限，以考衰序之渐，以审朓朒。而朔望正校赤道九限，更其率数以步黄道，使日躔有常度，分黄道八节。辨其内外以揆九道，使月行如循环而二曜协。观天势之升降，察轨道之斜正，以制食差而交会，密测岳台之中晷，辨二至之日夜，以刻躔离而晷漏精推星行之顺逆伏留，使舒亟有渐而五纬齐然不能宏深简易而径急，是取至其所长，虽圣人出不能废也。

宋代历法

宋初承用钦天历。建隆二年以钦天时刻差谬，命有司重加研覈，而王处讷上新历，号应天历。太平兴国中，以应天置闰有差，诏吴昭素徐莹董昭等各造新历，而昭素法颇精密，赐号乾元。其后朔望复差。咸平四年，史序王熙元献新历，更名仪天。时赵昭逸言其荧惑度数稍谬，复推验之，果如其说。久之，星躔复失度。天圣中，司天监上新历，赐名崇天。英宗初，有司言崇天五星之行及诸气节有差，又以日蚀不效，诏周琮等各造新历，令范镇详定，谓惟琮历最密，乃用之，号明天历。初，石道言琮历不可用。至熙宁中，月食东方与历不叶，诏历官杂候。时有言卫朴通历法，召朴至。朴言其失在置元不当，诏其改造。朴以己学为之视，明天历数，减二刻，历成，号奉天历。九年，奉天以日蚀不当，诏集历家考验。有司言失于后天，遂改作元祐。六年历成，诏以观天，为名崇宁。姚虞辅改曰占天。未几，蔡京令虞辅改，用帝受命之年即位之日造历元，用庚辰日起己卯。历成，名以纪元。盖宋自开国迄靖康丙午百六十馀年，而历凡八改。南渡建炎三年更造统元历，元用甲子日起甲子。盖自古造历多起朔旦甲子夜半冬至惩京，用受命年月日之失也。然暗用纪元法推算而以统元为名。孝宗初，日食不验，于是改造乾道历已，又改为淳熙历。时孝宗务知历法疏密，朝廷益重历事。十二年，杨忠辅言淳熙历简陋于天道，不合赵涣。亦言淳熙法皆后天一辰。绍熙元年颁新历，名曰会元。至庆元四年，会元占候复差，日官草泽互有异同。忠辅更之，名曰统天。然自淳熙以来，三历皆出自刘孝荣一人之手。统天颁用之初，即以测日食不验因仍。至开禧时，置闰遂差一月。乃诏集草泽，精算造者、尝献历者与造统天历者皆延之，而开禧新历议论始定。寻韩𠈁冑当国，或谓非所急，无复敢言历差者。而开禧历附统天并行于世。淳祐四年，韩祥更造新历，赐名会天。咸淳六年，以冬至至后为闰不协，因更历。七年颁行，即成天历也。盖自南渡之初迄德祐丙子又百五十年，而历复八改。嗟夫。使其立法吻合天道，则千岁日至可坐而致。奚必数数更法以求牵合元象哉。宋儒程氏有言历数〈缺〉法，大抵主于日。日一事正则其他皆可。推观邵尧。夫立岁差法只于岁月交感之际，以阴阳亏盈求之，遂不差，可谓冠绝古今矣。邵子之言曰：历不能无差。今之学历者，但知历法，不知历理。能布算者，洛下闳也。能推步者，甘公石公也。洛下闳等知历法，惟扬雄知历法又知历理。呜呼，斯言固深于历者矣。

元代历法

元初，承用金历。世祖欲釐正之，命王恂杨恭懿、郭守敬领其事。恂等言愿得通天道，知历理。大臣如许衡者总之，历宜精，于是命衡领太史院。而是时守敬于历象特精，诸历事受成焉。守敬言：司天莫大于测景。古今历以唐一行所造大衍为称首，则以唐开元间令南宫说行天下测景所历地最广也。今国家疆宇，比唐尤广袤，宜遣使者四往测景，成一代之制。而测验莫先于仪表。今司天仪，本宋皇祐中于汴京所造，与大都浑天规环不协，比量南北极差四度有奇，又表石年深偏侧，难以遵用。请别创仪表，相比覈宜可精。于是创简仪，仰仪，及诸仪，各臻其精妙，以为天枢附极而动。昔人尝展管候之宿度馀分，终未得其的。用二线测馀分，纤微可考，作候极仪。极辰既位天体，斯正作浑天仪。仪象形似，莫适于用作玲珑仪以表之矩方。测天之正圆，欲合也，实难法，当以圆求圆作仰观仪。古有经纬仪相连络而不动，作新仪。东西运转南北低昂而七政列舍，中外宫去极度分灿然，作立运仪。日有中道，月有九行，用为测验，其致一也，作證理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，测景则难，作窥几。历法之验在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之；两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。皆创以己意为之，又作仰规覆矩，图异方浑。盖图日出入永短，图与诸仪互参验。当是时，监候官十四人分道行测景，东至高句骊，西极滇池，南踰朱厓，北尽铁勒凡二十七所，而守敬作悬正仪坐正仪，令行四方。测景者用之，仰察躔离，近取晷景，微入刻秒，远周寰海，遍参历法，酌稽中数，盖五年而历成。衡守敬具疏言：帝王之事，莫重于历。自黄帝尧舜爰及三代，历无定法。迨汉造太初历以迄于今，历经七十改。其创法者十有三家，今始改治新历。臣等用创造简仪高表，凭其测实数，所考正者凡七事：一曰冬至，二曰岁馀，三曰日躔，四曰月离，五曰入交，六曰二十八宿距度，七曰出入。昼夜刻所创法凡五事：一曰太阳盈缩，二曰月行迟疾，三曰黄赤道差，四曰黄赤道内外度，五曰白道交周。诸推步之式与见成之数皆比次篇类整齐分秒为成书，皆视古加密而去诸历法积算年月，傅会之误，则固顺天道之自然而合也。诏赐名授时历，颁行天下。考其法，一以考测为主，取二至远近日晷酌其中而用之，以至元辛巳岁前冬至日时分秒为气应，以冬至距朔之日为闰应，而历代所谓积年之法俱废矣。以日为百分分为百秒而历代所谓日法俱废矣。以岁实加气应即来岁之冬至也。以岁实加闰应满朔实去之即来岁之闰馀也。上考往古则每百年长一，下验将来则每百年消一，何其密而备简而明也。所谓顺天以求合而不为合以验天者也。夫历法之所以易于差忒者，以宿度宿未真，以天运之不齐耳，何也。周天三百六十有五四分之一，言其常数也。殊不知天运常有馀，而岁运常不足，二差甚微，人初不觉。晋虞喜以为五十年退一度，何承天以为太过，进之而又不及，刘焯折取二家中数为七十五年，折之，近似矣。然天有自然之运，而以己意断之，可乎。故郭守敬始测景验气，减周岁为三百六十五日二十四分二十五秒，加周天为三百六十五度二十五分七十五秒，强弱相减，差一分五十秒，积六十六年有奇而退一度，定为岁差。夫古未有闰也，至尧而后置闰。闰法立则四时之气候齐矣。古未有岁差也，至虞喜诸人而后有岁差。岁差立则七政之躔度明矣。二者相用而不可偏废者也。天运之可验者，莫显于日月之交食，而交食之不爽，又系乎朔望之有定耳。何也，日行一度，月行十三度有奇，言其平行也。二十九日有奇而会，言其经朔也。殊不知日者，阳之精也。行南陆则盈，行北陆则缩。月者，阴之精也。近日则行疾，远日则行迟。古者止用经缩，故月一大一小，日食或在朔二，月食或在望之前后。汉魏以后，日食多在晦，其弊盖坐此也。张衡以月行迟疾分为九道，何承天以日行盈缩推定小馀，唐李淳风作甲子元历始立定朔之法，淳风又以晦月频见，乃以朔日小馀，在日法四分之三已上者，虚进一日，谓之进朔。进之诚是也，然日躔有自然之度，而以己意附之，可乎。故虞𠠎尝曰：朔在会同，苟躔次既合，何疑于频大。日月相离，何拘于间小。一行亦曰：天事诚密，虽四大三小，庸何伤。郭守敬祖，用其说，一以辰集时刻所在之日为定朔。夫定朔立则交会之时日不紊矣。交会准则天运之先后可验矣。二者相因而不可失一者也。史谓其推验之精，自古及今，无出其右，良不诬哉。

明代历法

明太祖吴元年，闻括苍刘基名，聘至都，以为太史令，基于是率其属，造戊申大统历以上。洪武初，召集天下，通知律历名家者，赴京议历，法占天象。三年，立钦天监设官，凡元象图书，非其职不得习。其习业者，分四科：曰天文，曰漏刻，曰大统历，曰回回历。自五官正而下至天文生，各专科肄焉。五官正理历法造历，凡历，注帝御历三十事，民历三十二事，壬遁历六十七事。灵台郎辨日月星辰之躔次分野，以占候保章正专，志天文之变；辨吉凶之占挈壶正知漏孔壶为漏浮箭为刻，以考中星昏明之度。而统于监正丞十七年，制观星盘，修天文分野，书书成，赐秦晋燕周楚齐六王俾读焉。又筑钦天监观星台于鸡鸣山。是岁，博士元统言：本朝历以大统为名，而积分犹踵，授时之数非所以重。始敬正也。按：授时法以至元辛巳为历元，至洪武甲子积一百又四年，经云大约七十年而差一度。今年远数盈天数渐差，请以洪武甲子岁冬至为历元。书奏报可擢统为监正，而监丞李德芳言授时历上推往古，每年长一日；下推将来，每年消一日，永久不可易也。今统所造历不周消长之法非是统复疏争之。上曰：是皆难凭，但以七政交会行度无差者为是。乃以洪武甲子为历元而造历，依授时法推算如初三十年革回回监正，正统中造己巳历，颁行之，而疏寻废不行。正德中，礼部主事郑善夫，以岁中月食者二，奉命往观象。台督监官验候，以为新旧法互有得失，宜徵海内究心天文及能为算者，使得尽心更元定历之事。其说主算极于秒微，积之无差而后精，故言欲定岁差，宜定岁法于二至馀分丝忽之间，定日法于气朔盈虚一画之际，定日月交食于半秒难分之所。似中历家肯綮。至嘉靖初，光禄少卿管监事华湘言：历所以差，由天周有馀而日周不足也。日之差验于中星尧冬至昏昴中，而日在虚七度躔元枵之十。今冬至昏室中日在箕三度躔析木之寅，计去尧三千馀年，而差者五十度矣。再以赤黄道考之，至元辛巳改历，冬至赤道岁差一度五十秒，今退天三度五十二分五十秒。黄道岁差九十二分九十八秒，今退天三度二十五分七十四秒。故正德戊寅，日食庚辰，月食时刻分秒，起复方位，类与推算迕。臣伏揆治历，有不可不择者三家：专门之裔，明经之儒，精算之士。臣三者无一，早夜皇皇，罔知所措，伏乞敕礼部延访，有能知历理如扬雄，精历数如邵雍，智巧天授如僧一行郭守敬者，徵赴京师，令详定岁差，成一代之制。万历初，郑世子载堉疏请改历，兼采众说之所长，辑为一书，名曰律历。融通其大旨出于许衡。与衡历不同，彼以大统授时。二历相较，考古则气差三日，推今则时差九刻。夫时差九刻，在亥子之间则移一日，在晦朔之交则移一月。设移而前，则生明在初二之昏矣；设移而后，则生明在初四之夕矣。弦望亦宜各差一日，今似未至此也。要知历家虽有成法必以测验为准，庶几无弊之道与。二十四年，河南佥事邢云路奏言：窥天之器，无踰观象、测景、候时、筹策四事。乃今之日至，大统推在申正二刻，臣测在未正一刻，是大统实后天九刻馀矣。不宁唯是，今年立春、夏至、立冬，皆适值子半之交，臣测立春乙亥，而大统推丙子，臣测夏至壬辰，而大统推癸巳，臣测立冬己酉，而大统推庚戌。夫立春与冬，乃王者行阳德阴德之令，而夏至，则其祀方泽之斯也。今皆相隔一日，则理人事神之谓何。且历法疏密，验在交食，乃今年闰八月朔，日有食之，大统推初亏巳正二刻，食几既；而臣候初亏巳正一刻，食止七分馀。大统实后天几二刻。而计闰应及转应，若交应，则各宜如法增损之矣。此而不改，窃恐愈久愈差，将不流而至春秋之食晦不止也。臣故曰：闰应转应交应之宜俱改也。其时相继疏请改历者，纷纷悉留中不行。